ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES

DEFINICIÓNDEFINICIÓNEs aquella ecuación que implica una derivada o un diferencial, por ejemplo:

2

2

a. 3 5

b.

c. 3 2 x

dy xdxdP kPdtdy dy y edx dx

¿Cuáles son ecuaciones diferenciales?

) 1A xy

) si , 0yE y x yx

) ( )dTD k T adt

2 2) 1B x y

) 1 kt

BC QAe

) 2 0F y y

ORDEN DE UNA E.D. ES DE LA DERIVADA DE MAYOR ORDEN DE LA

ECUACION DIFERENCIAL

GRADO DE UNA E.D. ES EL EXPONENTE AL QUE ESTA ELEVADA LA

DERIVADA DE MAYOR ORDEN

Definición: Solución de una Ec. Diferencial es una función en forma explícita o implícita que satisface la ecuación.

Una caracterización completa de todas las soluciones posibles de la ecuación se denomina solución general, y una solución que satisface las condiciones alternas especificadas se denomina solución particular.

Solución de una ecuación diferencial

Recordando:

Resuelva:7x + 5 = 2x + 20

¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo encuentra la solución?¿x = 4 es solución de la ecuación?... ¿por qué?

Ahora bien, en la ecuación diferencial:dI ktdt

¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo encuentra la solución?

Ejercicios:

Compruebe que las funciones son solucionesde la ecuación diferencial correspondiente:

1. y = x3 – x2 + c ; y´ = 3x2 – 2x

2. y = 4000 – Be-0.2x ; y´ = 0.20(4000 – y)

3. ; 02´3 yyyxx eCeCy 221

( )dy g xdx

El tipo más sencillo de E. D. tiene la forma:

Ejemplo 1Halle la solución general de la ecuación diferencial

2 3dy x xdx

y la solución particular que satisface y = 2 cuando x = 1.

Ecuaciones diferenciales de variables separables

De la ecuación diferencial2y xy

su solución general esta dada por:

2

2yx C

¿Cómo podemos encontrar esta solución?

Una ecuación diferencial se dice que es de variable separable si puede escribirse de la forma:

La solución general se obtiene integrando en ambos miembros de esta ecuación, es decir,

E. D. de variables separables

( ) ( )g y dy h x dx

( ) ( )g y dy h x dx C

Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales:

2

2D) dy xdx y

Ejemplo

2) A y xy

) si , 0yB y x yx

2) xE y e y

.

Halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales:

Ejercicios:

) ; (0) 0x yA y e y

1) , 0, (2) 2B y y yy

;)cos() xedxdyC y 0)0( y

.