Ecuaciones diferenciales para aplicarla en la ingenieria

EJERCICIOS.

CABUDARE, 18 de Marzo de 2012.

UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓNESCUELA DE ELÉCTRICA

Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV ( Intensivo)Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico

1). Determine si la función es solución de la ecuación diferencial

a)

y =5 {e} ^ {-x} -4

Solución:

Reemplazando la función solución y su derivada en la e.d

y =5 {e} ^ {-x} -4

b)

y=12

senx−12+cosx+10 e−¿x ; y '+ y=senx ¿

Función= y= ½ senx -1/2 cosx+10e−¿x ¿

Ecuación diferencial= y '+ y=senx

1. Calculando la primera derivada de la función, solución:

y '=12

cosx+ 12

sen x−10 e−¿x ¿

dydx

=6 cos2 x−e− x;d y2

d x2 =-12sen 2x+e− x

y=3 sen2 x+e−x

y + 4y= 5 {e} ^ {-x

−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−4¿¿¿

−12 sen2 x+e−¿x=5 e−¿x−12 sen2 x−4 e−¿x¿¿¿

−12 sen2 x+e−¿x=−12 sen2x+e−¿x¿¿

e−¿x−12 sen2x=e−¿x−12 sen2 x ¿¿

2. Reemplazando la función solución y su derivada en la ec.

y '+ y=senx

12

cosx+ 12

sen x−10 e−¿x+ 12

sen x−12

cosx+10 e−¿x=sen x ¿¿

sen x=senx

c)

y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ; y (4 )−5 y +4y=¿¿

Función = y=c1 e−¿x+c2 ex+c3e−¿2x+c4 e2 x ¿¿

1) y '=−c1 e−¿x+c2 ex−2c3 e−¿2 x+2 c4 e2 x¿¿

2)

y} = {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } +4 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {4c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿

ed= y(4 )−5 y +4y=

y ' } =- {c} rsub {1} e {-} ^ {x } + {c} rsub {2} {e} ^ {x } -8 {c} rsub {3} {e {-} ^ {2x } + {8c} rsub {4} e} ^ { }} ^ {stack { 2x } ¿¿

y(4)=−c1e−¿x+c2 ex+16 c3e−¿2 x+16 c4 e2 x ¿¿

y(4)−5 y +4y=

−c1 e−¿x+c2e x+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5¿¿¿+

4 ¿

c1 e−¿x+c2ex+16 c3 e−¿2 x+16 c4 e2 x−5 c1e−¿x−5 c2 ex−20 c3 e−¿2x−20 c4 e2 x ¿¿¿¿+

4 c1e−¿x+4c2 ex+4 c3 e−¿2 x+4 c4 e2 x=0¿¿

0=0

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

Solución:

b) ( xy+ y2+x2 ) dx−x2dy=0

Solución:

La ecuación es homogénea y se debe aplicar la sustitución de y , dy en la siguiente formula.

y=v . x y dy=vdx+xdv

e y sen2 xdx+cos x ( e2 y− y ) dy=0A)

e y sen2 sds=−cosx (e2 y− y ) dy

sen2 xdxcosx

=−(e2 y− y )

e y dy

2 senxcosxcosx

dx=−e− x ( e2 x− y ) dy

2 senxdx=(−e y+ ye− y ) dy

Para el cálculo podemos realizar una integral:

∫2 senxdx=∫(−e y¿¿+ ye− y )dy+e¿¿

−2 cosx=−e y− ye− y−e− y+c

( xvx+x2 v2+x2) dx−x2 (vdx+xdv )=0

vx2+x2 v2+xydx−x2 vdx−x3 dv=0

vx2+v2 x2+x2−x2 v¿dx=x3 dv

( v2 x2+x2) dx=x3 dv

Ya que la x la presentamos 2 veces podemos sacarla de dentro del paréntesis y

multiplicar a la v2 y 1 (resultado de una sola x).

x2 ( v2+1 ) dx=x3 dv

x2 dxx3 = dv

v2+1

dxx

= dv

v2+1

Nuevamente realizamos una integral para el cálculo:

∫ dxx

=∫ dv

v2+1+c

ln|x|=tg−1 ( v )+c1=tg−1 (v )=μ|x|−c1

tg−1 (v )=μ|x|+c

v=tg (μ|x|+c)

v=yx

←yx=tg1(μ|x|+c)

y=x , t(lu|x|+c )

c).( y2 cos x ) dx+(4+5 ysenx ) dy=0

Solución:

M= y2 cosx y N=4+5 ysenx

My

=2 ycosx yNx

=5 ycosx

∂ M∂ y

≠N

∂ x, no es exacta.

Buscamos un factor que nos ayuda a realizar el cálculo (factor integrante).

f =e∫Mdy

;siendo M=∂ N /∂ x−∂ M /∂ yM

=∫ ycosx−2 ycosx

y2 cosx

M¿ 3 ycosx

y2cosx← M=3

y

f =e∫ 3

ydy

f =e3 lny ← f =e lny 3= f= y3

Luego de tener f sacamos la ecuación diferencial y se multiplica con la misma:

( y5 cosx ) dx+( 4 y3+5 y4 senx ) dy=0

M= y5 cosx ; N=4 y3+5 y4 senx

∂ M∂ y

=5 y4 cosx;∂ N∂ x

=5 y4 cosx ←∂ M∂ y

=∂ N∂ x

Como resultado nos da la ecuación:

Solución def (x , y )=c

(1 ) ∂ f∂ x

=M∂ f∂ x

= y5cosx

(2) ∂ f∂ y

=N∂ f∂ y

=4 y3+5 y4 senx

f¿ ( x , y )= y5 cosx+h( y )← f (x , y )= y5 senx+h ( y )(a) la integramos.

Derivamos (a) respecto ay= ∂ f∂ y

=5 y4 senx+h ' ( y ) (b)

Igualando (b) y (2) ¿5 y4 senx+h ' ( y )=4 y3+5 y4 senx ← h' ( y )=4 y3

h ( y )=4 y3 dy

h ( y )= y4

f ( x , y )= y5 senx+ y 4

f ( x , y )=c ← y5 senx+ y4=c

d). y'−2

xy=x2 cos x

Sustituimos en a

Es unas ecuación lineal en P(x )=−2x

Y q(x) = x2 cosx

M=e∫p ( x )dx=e∫

− dxx2

=e−2 lnx← M=e lnx−2

M=x−2

y= 1M

¿

y= 1

x−2(∫ x−2 . x2. cosxdx+c)

y=x2 (∫cos|xdx|+c )=x2 ( senx+c )

y=x2 senx+c x2

3). Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.

A. y} - {3 y} ^ {'} +2 y = {3 e} ^ {- x} - 10 cos 3 ¿

Es una solución homogénea asociada.

Solución:

y} - {3y} ^ {1} +2y=0 {m} ^ {2} -3m+2= ¿

(m - 1) (m - 2) = 0

m1 = 1 ; 𝝁 2 = 2

Yn=c1 em1 x+c2em2 x

Yn=c1 ex+c2 e2 x

Solución:

f ( x )=3 e−x−10 cos3 x ,la soluciónes de la forma :

yp=Αe− x+Βcos3 x+Csen3 x

y p '=−Ae− x - 3Bsen3x + 3Ccos3x

yp= {Ae} ^ {- x} - 9 Bcos 3 x - 9 Csen 3

Sustituyendo: Yp ,Yp ´ yYp en la ecuaci ó n diferencial

Yp - {3 Yp} ^ {'+2Yp=0

Ae− x−9 Bcos3x−9 Csen3 x−3 (−Ae− x−3 Bsen3 x+3Ccos 3 x )

+2¿+Bcos3x+Csen3x) =3 e− x−10 cos3 x

6 Ae− x+ (−7B−9 c ) cos3+(9 B−7C ) sen3 x=3 e− x−10 cos3 x

Igualando coeficientes de términos semejantes ajuntamos:

6A = 3 A= 12

-7B – 9C = -𝝁 B = 7

13

9B – 7C = 0 C= 9

13

Yp=12

e− x+ 713

cos 3 x+ 913

sen3 x

Y= yn+YpY =C1 ex+C2 e2x+12

e−x+ 713

cos3 x+ 913

sen 3 x

B). y(6 )−5 y(4 )+16 y ' ' '+36 y ' '−16 y '−32 y=0

La ecuacion es homogénea:

d6−5d4+16 d3+ 36d2−16 d−32 d . y=0

32=(± 1;± 2 ;± 4 ;± 8 ;±16)

1 0 - 5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0

-1 0 4 -16 -32

1 0 -4 16 32 0

-2 4 0 -32

1 -2 0 16 0

1

-1

-2

0=1

D=-1

D=-2

D=-2

d=−(−4 )±√(−4)2−4.1 .8

2 .1

LA SOLUCION ES:

1 0 - 5 16 36 -16 -32

1 1 -4 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0

-1 0 4 -16 -32

1 0 -4 16 32 0

-2 4 0 -32

1 -2 0 16 0

D=2+26

D=2-26

Y=C1 ex+C2 e−x+C3e−2 x+C4¿

X e−2x +C5¿

e2x SemX +C5¿ e

2x+cos2 X¿¿¿