ECUACIONES Ing. Robin Anguizaca F. Es aquella que se compone de dos expresiones numéricas unidas...

ECUACIONESIng. Robin Anguizaca F.

Es aquella que se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual.

Ejemplo

20 + 5 = 10 + 5 + 5 + 5 1º miembro 2º miembro

Igualdad

Es aquella que contiene en sus miembros letras (incognitas) y números relacionados por operaciones aritméticas. También se puede llamar igualdad algebraica.

Ejemplo:

x+10=20-12

Ecuación

DefinicionesEcuación: Igualdad que contiene variables.Ecuación Lineal: Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.Solución de una ecuación lineal: Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma.Resolver la ecuación: Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.

Propiedades de la Igualdad

Para que una ecuación permanezca balanceada Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:

Propiedad Aditiva

Propiedad Multiplicativa

Recordar que...

Una ecuación es como una balanza de dos platillos…

Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.

Ejemplo:

Si añado 2 en el lado izquierdo

Hay que añadir 2 también, en el lado derecho

Propiedad Aditiva

Asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado.

Si a = b, entonces, a + c = b + c

Ejemplo: Dada la Ecuación 2x + 5 = 11

2x + 5 – 5 = 11 – 5 2x + 0 = 6

Propiedad Multiplicativa

Asegura que al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado.

Si a = b entonces a . c = b . c

Ejemplo: Dada la Ecuación 2x + 5 = 11

2x + 5 – 5 = 11 – 5 2x + 0 = 6

2x = 6 2 2 x = 3

Propiedad simétrica

Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.

Si a - b = c, entonces c = a - b

Ejemplos:

Si 5-1 = x entonces x = 5-1

Si 39 + 11 = 50 entonces 50 = 39 + 11

Propiedad transitiva

Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros también son iguales.

Si a = c y b = c, entonces a = b

Ejemplos:Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5

Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Propiedad cancelativa

Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.

Si a + b = c + b, entonces a = c

Ejemplos:

*Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12

*Si (8 / 4) (5) = (2) (5), entonces 8 /4 = 2

* Aplicación de las Propiedades de la Igualdad

*Demostración de proceso para resolver ecuación

6x – 9 = 27Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo.

Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2.

Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.

Demostración de proceso para resolver ecuación

6x – 9 = 27 Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad.

Se elimina una operación haciendo la operación contraria:

Se elimina una suma restando

Se elimina una resta sumando

Se elimina una multiplicación dividiendo

Se elimina una división multiplicando.

6x – 9 = 27

6x –9 + 9 = 27 + 9

6x + 0 = 36

6x = 36

6 6

x = 6

*Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6

3x – 1 = - 4x + 6

3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1

3x = - 4x + 7

3x + 4x = 4x + - 4x + 7

7x = 7

7 7

x = 1

Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10

2(x – 8) = 10

2x – 16 = 10

2x = 10 + 16

2x = 26

2 2

x = 13

1. Quitar paréntesis

2. Suprimir de ambos términos los miembros iguales

3. Pasar a un miembro los términos que contengan la incógnita, y al otro miembro los números

4. Reducir términos semejantes

5. Despejar la incógnita.

Pasos para resolver ecuación de primer grado

3x+4=(2x+8)-(6+x)1. Quitar paréntesis:

3x+4=2x+8-6-x2. Pasar la incógnita al 1º miembro:

3x-2x+x=8-6-43. Reducir términos semejantes:

2x=-24. Despejar la incógnita:

x=-1

Pasos para resolver ecuación de primer grado

1·Leer el problema

2·Apuntar datos

3·Escribir la ecuación

4·Resolver la ecuación

5·Interpretar el resultado

6·comprobar el resultado obtenido

Pasos para resolver problemas literales de Ecuaciones

PROBLEMA

Paula tiene 16 años y su madre 38.¿cuántos años hace que la edad de la madre de Paula era el triple que la edad de su hija?

Paula:16 años // Madre:38 años // años : x

38-x=3(16-x) // 38-x=48-x // x+x=48-38 // 2x=10 // x=10/2=5

Ecuaciones que contienen fracciones

Ecuaciones que contienen fracciones

Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones:

Método de Proporciones

Método de No-Proporciones

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de Proporciones

Aplica cuando es una proporción.

Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.

Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2

2x – 4 = x + 8

3 5

En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad.

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de Proporciones

x – 4 = x + 4

3 2

2 (x – 4) = 3 (x + 4)

2x – 8 = 3x + 12

-12 + -8 = 3x – 2x

-20 = x

Se multiplica cruzado.

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de No-Proporciones

Aplica cuando la ecuación no es una proporción.

5 - 2x = 9

3

x + 3 = 2x - 5

4 5 3

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de No-Proporciones 5 - 2x = 9

3 5 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3

3 1 15 – 2x = 27

-2x = 27 – 15 -2x = 12 -2 -2 x = -6

Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD.

Ecuaciones Especiales

Ecuación IdentidadEsta ecuación tiene solución infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito).

Ejemplo:

2x + 1 = 5x + 1 - 3x

2x + 1 = 2x + 1

2x – 2x = 1 – 1

0 = 0

Solución son todos los números RealesEnunciado cierto

Ecuación InconsistenteEsta ecuación no tiene solución.

Ejemplo:

2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)

6x + 2 = 9x + 3 – 3x

6x + 2 = 6x + 3

6x – 6x = 3 – 2

0 = 1

No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.

Enunciado falso

Ejercicios de Práctica

*Ejemplos de Ecuaciones

3x + 5 = 8

-2x - 6y = 12

x2 – 6x + 8 = 25

y3 + 8y2 – 10y = 36

¿Cuáles son lineales?

*Ejemplos de Ecuaciones

3x + 5 = 8

-2x - 6y = 12

x2 – 6x + 8 = 25

y3 + 8y2 – 10y = 36

¿Cuáles son lineales

en una variable?

*Resuelve las siguientes ecuaciones:

x – 8 = 20 6 = 4 - 5x

x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8

3x = 81 16 + x = 3x - 5

-5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3)

2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5

6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)

Respuestas

x = 28 x = 2/-5

x = 48 x = 20/3

x = 27 x = 21/2

x = -9 x = 2/3

x = 3 No tiene solución

x = 9/2 La solución es todos los Reales