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Propagación de Ondas
Tema 4: Ejemplos de Líneas de Transmisión
Pablo Luis López Espí y Jesús Alpuente Hermosilla
Ingeniería de Telecomunicación Tema 4
1
Ejem
plos
de
Líne
as d
e Tr
ansm
isió
n.
Ejemplos de Líneas de Transmisión
Cable coaxial.Ondas de tensión y de corriente.Parámetros primarios.Impedancia característica.Potencia transmitida. Potencia máxima.Atenuación.Modelos comerciales.Modos superiores.
Líneas de tirasMateriales dieléctricos. Propiedades de los sustratos comerciales.Línea biplaca.
Ondas de tensión y corriente.Parámetros primarios y secundarios.Potencia trnasmitida.Atenuación.
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Cable coaxial
Cable coaxial:
Planteamos la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas
2a 2bε
E
H
2 0tV∇ =
Si la frecuencia es suficientemente baja, en cada sección transversal hay una estructura de campos tipo TEM.
Si la frecuencia es alta en el coaxial pueden aparecer modos TE y TM.
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Cable coaxial. Ecuación de Laplace.
Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas
Además el cable coaxial tiene simetría con respecto a φ por lo que la variación de V con respecto a esta coordenada es nula.
Condiciones de contorno
En el conductor interior el potencial vale V0, V(ρ = a) = V0.
En el conductor exterior el potencial es cero, V(ρ = b) = 0.
2
2 2
1 1 0V Vρρ ρ ρ ρ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
1 0Vρρ ρ ρ
⎛ ⎞∂ ∂ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
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e Tr
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Cable coaxial. Ecuación de Laplace (II)
Para satisfacer la ecuación anterior, el término que se encuentra dentro del paréntesis debe ser igual a una constante:
Despejando queda:
La ecuación diferencial anterior tiene por solución:
Sabemos por las condiciones de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0
1V Cρρ
∂ =∂
1V Cρ ρ
∂ =∂
( ) ( )1 2lnV C Cρ ρ= +
( )( )( )0
ln
lnbV V
ab
ρρ =
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Líne
as d
e Tr
ansm
isió
n.
Cable coaxial. Campos y corriente.
Una vez conocido el potencial es posible hallar la distribución de los campos:
Operando se llega a:
La corriente I0 se calcula a través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores
( )1 ˆ
t t
t t
E V
H z Eη
= −∇
= ×
r
r
( )0 1 ˆ
lnt
VEb
aρ
ρ=
( )0 1 ˆ
lnt
VHb
aφ
ρη=
⋅
( ) ( )
( )
( )
00
1 1
20
0
00
1 ˆ ˆln
ln
2ln
tC C
VI H dl a db a
aV d
ba
VIb
a
π
φ φ φη
φη
πη
⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
=⋅
⋅=⋅
∫ ∫
∫
rr
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Cable coaxial. Parámetros primarios.
Inductancia
Capacidad
Resistencia
Conductancia
ln( / ) ( / )2
b a H mμπ
=l
2 ( / )ln( / )
c F mb aπε=
1 1 1 ( / )2 2 C
r ma b
ωμπ σ⎛ ⎞= + Ω⎜ ⎟⎝ ⎠
2 ( / )ln( / )
Dg S mb aπσ=
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n.Cable coaxial. Impedancia característica y potencia transmitida
La impedancia característica del cable coaxial es:
Potencia transmitida:
0
0
ln2C
V bZI a
ηπ
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )12T t tP e E H dS∗⎡ ⎤= ℜ ×⎣ ⎦∫
ˆdS d d zρ ρ φ= ⋅ ⋅ ⋅r
20 0
0
ˆˆ1 ˆ2 ln ln
b
Ta
V VP e d d zb ba a
π ρ φ ρ ρ φρ ρη
∗
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= ℜ × ⋅ ⋅ ⋅
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
2 20 0 0
0
1 12 ln ln ln
b
Ta
V V VP e d db b ba a a
π πρ φρη η
∗
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ℜ ⋅ ⋅ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
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Cable coaxial. Potencia máxima.
La potencia máxima que se puede transmitir por un cable coaxial está limitada por el campo eléctrico máximo o campo eléctrico de ruptura:
Sustituyendo este valor en la expresión de la potencia transmisible se obtiene:
( )0 1(máx)
lnt RUP
VE Eb a
a= ≤
( )2
2
ln(máx) RUP
T
bE b aP
ba
πη⋅ ⋅=
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e Tr
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n.
Cable coaxial. Atenuación del conductor.
Atenuación en un cable coaxial debida a los conductores
Sustituyendo el valor del campo H
212lc S S
c
P R H dl= ∫2 2
1 2
12lc S t t
C C
P R H dl H dl⎡ ⎤
= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
( )2 2
02 2
0
1 1 1 12 ln
lc SVP R d
b a ba
π
φη
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )2
02 2lnS
lcR V a bP
b aba
πη
⋅ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
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Cable coaxial. Atenuación del dieléctrico.
Atenuación debida al dieléctrico
Sustituyendo los valores de la conductividad y del campo eléctrico transversal:
22 2
0
1 12 2
b
ld D D tS a
P E dS E d dπ
σ σ ρ ρ φ= = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
( )2 2
002
0
1 ''2 ln
b
lda
V drP db r
a
π
ωε ε φ= ⋅ ⋅∫ ∫ ( )2
0 0''ln
ldVP
ba
ωε ε π=
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n.
Cable coaxial. Atenuaciones.
Constantes de atenuación: La atenuación total se minimiza eligiendo el valor de b/a.
El mínimo está en b/a = 3,6. la impedancia característica del medio es ZC = 77 Ω
Para transmitir la máxima capacidad de potencia:
Valor óptimo en b/a = 1,65. La impedancia característica que se obtiene es de ZC = 30 Ω
Solución de compromiso es tomar 50 Ω a la que corresponde un valor de b/a = 2,3
( )2 ln
''2 '
SC
D
R a bb ab
ak
αη
εαε
+=
=
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n.Cable coaxial. Atenuaciones (II).
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as d
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n.
Cable coaxial. Modelos comerciales.
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as d
e Tr
ansm
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n.
Cable coaxial. Modelos comerciales (II).
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as d
e Tr
ansm
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Cable coaxial. Modos superiores.
El cable coaxial, además del modo TEM fundamental estudiado, puede propagar también modos TE y TM, conocidos como modos superiores.Estos modos pueden propagarse a partir de una frecuencia mínima o frecuencia de corte.El primero de los modos superiores confinados es el TE01
Su longitud de onda de corte está dada por:
( )C a bλ π= +
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Líne
as d
e Tr
ansm
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n.
Líneas de tiras. Materiales dieléctricos.
Propiedades:Bajas pérdidas: Valores bajos de tangente de pérdidas.Alta constante dieléctrica: reduce las dimensiones del circuito.Buena resistencia mecánica.Buena conducción térmica. Temperatura de transición alta.Alta uniformidad en las propiedades.Alto valor del campo eléctrico de ruptura.
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n.Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos comerciales.
Se venden en planchas de distintos tamaños y espesores de dieléctrico (d) y metal (t)
d
t
ε, μ, σD
177,8.00705
142,24.00564
106,68.00423
71,12.00282
35,56.00141
17,78.00071/2
9,14.000361/4
Grosor (μm)
Grosor (in)Peso (oz./ft2)
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e Tr
ansm
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n.Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos comerciales.
Existe una amplia variedad en cuanto a las tangentes de pérdidas y constantes dieléctricas:
0.002310.2 +/- 0.25RT/Duroid 6010Rogers
0.00310.0AR 1000Arlon
0.00126.15 +/- 0.15RT/Duroid 6006Rogers
0.00204.50 +/- 0.045TMM-4Rogers
0.00264.5 +/- 0.15AR 450Arlon
0.014 (*)3.9-4.4FR4
0.0033.00 +/- 0.05AD 300Arlon
0.00283.00 +/- 0.05TLC-30Taconic
0.00092.17 +/- 0.02Ultralam 217Rogers
Tangente de pérdidas a 10 GHzεNombreFabricante
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Líne
as d
e Tr
ansm
isió
n.
Línea biplaca.
Está formada por dos conductores planos paralelos .
L
d
W
ε, μ, σD
Entre ambos conductores es posible definir un potencial eléctrico.
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Ejem
plos
de
Líne
as d
e Tr
ansm
isió
n.
Línea biplaca. Ecuación de Laplace.
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
Condiciones de contorno
En el conductor superior el potencial vale V0, V(y = d) = V0.
En el conductor inferior el potencial es cero, V(y=0) = 0.
2
2 0d Vdy
=
La ecuación diferencial anterior tiene por solución:
Sabemos por las condiciones de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0
1 2( )V y C y C= +
0( ) VV y yd
=
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Líne
as d
e Tr
ansm
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n.
Línea biplaca. Campos y corriente.
Una vez conocido el potencial es posible hallar la distribución de los campos:
Operando se llega a:
La corriente I0 se calcula a través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores
( )1 ˆ
t t
t t
E V
H z Eη
= −∇
= ×
r
r
0ˆtVE yd
= −
0ˆtVH x
dη=
⋅
( )00
1 1
0
0
00
ˆ ˆtC C
W
VI H dl x dx xd
V dxd
V WId
η
η
η
⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
=⋅
⋅=⋅
∫ ∫
∫
rr
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Líne
as d
e Tr
ansm
isió
n.
Línea biplaca. Parámetros primarios.
Inductancia
Capacidad
Resistencia
Conductancia
( / )d H mW
μ=l
( / )Wc F md
ε=
2 ( / )2 C
r mW
ωμσ
= Ω
( / )DWg S md
σ=
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as d
e Tr
ansm
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n.Línea biplaca. Impedancia característica y potencia transmitida
La impedancia característica del cable coaxial es:
Potencia transmitida:
0
0C
V dZI W
η= =
( )12T t tP e E H dS∗⎡ ⎤= ℜ ×⎣ ⎦∫
ˆdS d d zρ ρ φ= ⋅ ⋅ ⋅r
0 0
0 0
1 ˆ ˆ ˆ.2
d W
TV VP e y x dx dy zd dη
∗⎡ ⎤⎛ ⎞= ℜ − × ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
20
2TV WP
dη=
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Líne
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e Tr
ansm
isió
n.
Línea biplaca. Atenuación.
Atenuación debida a los conductores
Atenuación debida al dieléctrico
“Interesan materiales dieléctricos con baja tangente de pérdidas y conductores con alta conductividad”
( ) 1 CC
C
Np md
ωμαη σ
=
( ) 2tan
2D Np m
dW
ωε δαη
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
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