Ejemplos Diagramas Bode

2.1 Diseño de

compensadores en

dominio de la frecuencia

La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y

desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del

tiempo.

Respuesta en frecuencia

Motivación:

Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde más

rápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de

tal sistema es de 0.25 segundos. Entre otros ejemplos.

Sin embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos

(en dimensión, parametrización, identificación, etc), sus

comportamientos son más difíciles de determinar analíticamente.

Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales

sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuencia

Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control,

proveen un conjunto de análisis y herramientas gráficas que no están

limitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.

El análisis de respuesta en frecuencia:

• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.

• Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones

racionales.

• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar.

• Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.

• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.

• Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y

la respuesta transitoria en el tiempo.

RELACION ENTRE M.F. Y ρ

2

1

2

2 2

4 2

4 2

1

1

4 2

( )( 2 )

( ) 90 tan2

1(2 )

1 4 2

. . 180 ( )

1 4 2. . 180 90 tan

2

2. . tan

1 4 2

n

n

n

n

n

n

G Ss s

G s

M F G s

M F

M F

El margen de fase y el factor de

amortiguamiento relativo se relacionan en

forma directa. La figura B muestra una

gráfica del margen de fase y como una

función del factor de amortiguamiento relativo

ρ. Observe que, para el sistema estándar de

segundo orden , el margen de fase y el

factor de amortiguamiento relativo ρ se

relacionan aproximadamente mediante una

línea recta para 0 ≤ρ≤ 0.6, del modo

siguiente: ρ=M.F/100

ρ

M.F

FIGURA B

ρ=M.F/100

Curvas Mr contra ρ y Mp

contra ρ

Mr

Mp

ρ

La correlación entre M r, y M p como una

función de ρ aparece en la figura anterior.

Se observa una relación estrecha entre Mr,

y M p para ρ> 0.4. Para valores muy

pequeños de ρ, Mr , se vuelve muy grande

(M r » 1), en tanto que el valor de M p no

excede de 1.

La aplicabilidad de la correlación existente entre

la respuesta transitoria y la respuesta en

frecuencia para el sistema de segundo orden de

la figura A en sistemas de orden superior

depende de la presencia de un par de polos

dominantes en lazo cerrado complejos

conjugados en estos sistemas de orden

superior. Es evidente que, si la respuesta en

frecuencia de un sistema de orden superior es

dominada por un par de polos en lazo cerrado

complejos conjugados, la correlación entre la

respuesta transitoria y la respuesta en

frecuencia existente para el sistema de segundo

orden se puede extender al sistema de orden

superior.

Para sistemas de orden superior, lineales e invariantes con el

tiempo, que tienen un par de polos dominantes en lazo

cerrado complejos conjugados, por lo general existen las

siguientes relaciones entre la respuesta transitoria a escalón y

la respuesta en frecuencia:

1.-El valor de M r, indica la estabilidad relativa. Por lo general se obtiene un

desempeño transitorio satisfactorio si el valor de M r, está en el rango de

1.0 < M r < 1.4 (0 dB <M r < 3 dB), que corresponde a un factor de

amortiguamiento relativo efectivo de 0.4 < ρ< 0.7. Para valores de M r,

mayores que 1.5, la respuesta transitoria a escalón puede presentar

varios sobrepasos. (Observe que, en general, un valor grande de M r,

corresponde a un sobrepaso grande en la respuesta transitoria a

escalón. Si el sistema está sujeto a señales de ruido cuyas frecuencias

están cerca de la frecuencia de resonancia w r el ruido se amplifica en la

salida y presenta problemas serios.)

2 . La magnitud de la frecuencia de resonancia ω r, indica la velocidad de

respuesta transitoria. Entre más grande es el valor de ω r, más rápida es la

respuesta en tiempo. En otras palabras, el tiempo de

levantamiento(crecimiento) varía inversamente con respecto a ω r, En

términos de respuesta en frecuencia en lazo abierto, la frecuencia natural

amortiguada en la respuesta transitoria está en algún punto entre la

frecuencia de cruce de ganancia y la frecuencia de cruce de fase.

3 . La frecuencia del pico de resonancia w r y la frecuencia natural

amortiguada W d para la respuesta transitoria a escalón están muy

cercanas entre sí para sistemas ligeramente amortiguados.

Las tres relaciones que se acaban de listar son útiles para correlacionar la

respuesta transitoria a escalón con la respuesta en frecuencia de sistemas

de orden superior, siempre y cuando éstas se aproximen mediante un

sistema de segundo orden o un par de polos complejos conjugados en

lazo cerrado. Si un sistema de orden superior satisface esta condición, un

conjunto de especificaciones en el dominio del tiempo se traduce en

especificaciones en el dominio de la frecuencia. Esto simplifica

enormemente el trabajo de diseño o de compensación de los sistemas de

orden superior.

Todos los fundamentos que se han hecho para el

análisis en los temas anteriores llevan al último paso:

diseño de sistemas de control

+ - Controlador Proceso Salida del sistema

(variable controlada)

y(t)

Variable

manipulada

u(t)

e(t)

El diseño involucra los 3 pasos siguientes:

1. Determinar que debe hacer el sistema y como hacerlo

(especificaciones de diseño)

2. Determinar la configuración del controlador

(compensador)

3. Determinar los valores de los parámetros del controlador

para alcanzar los objetivos de diseño.

1. Especificaciones de diseño Especificaciones únicas

para cada aplicación

individual y normalmente

incluyen especificaciones

como:

• Estabilidad

• Precisión en estado estable (error)

•Características de respuesta en frecuencia: Mr, MG, MF

El diseño de sistemas de control lineales se realiza en el

dominio de la frecuencia.

2. El objetivo de diseño es que la variable controlada,

representada por la salida y(t) se comporte en cierta forma

deseada. El problema esencialmente involucra el determinar

de la señal de control u(t) dentro de un intervalo prescrito

para que todos los objetivos de diseño sean satisfechos.

La mayoría de los métodos de diseño de sistemas de control

convencionales se basan en el diseño de una configuración

fija, en el que el diseñador decide la configuración básica del

sistema diseñado completo y el lugar donde el controlador

estará colocado en relación con el proceso controlado.

Configuraciones más habituales:

a) Compensación en serie (cascada)

+ -

r(t) Controlador

Gc(s)

Proceso

Gp(s) y(t) u(t) e(t)

H(s)

El controlador se coloca en serie con el proceso controlado

b) Compensación mediante realimentación (paralela)

+ -

r(t)

Controlador

Gc(s)

Proceso

Gp(s)

y(t) u(t) e(t)

H(s)

-

El controlador está colocado en la trayectoria menor de realimentación

3. Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es

determinar los valores de los parámetros del controlador.

Estos parámetros son típicamente coeficientes de una o más

funciones de transferencia que componen al controlador.

Normalmente los parámetros del controlador interactúan

unos con otros y afectan las especificaciones de diseño en

formas conflictivas.

Mientras más especificaciones de diseño y más parámetros

haya, el proceso de diseño se vuelve más complicado.

Terminología Red de adelanto, red de atraso, y red de adelanto y atraso:

si se aplica un entrada sinusoidal a la entrada de la red, y la salida estacionaria (que es también sinusoidal) tiene un adelanto de fase, entonces la red se llama red de adelanto.

Si la salida en estado estacionario tiene un atraso de fase, entonces la red se denomina red de atraso.

En una red de atraso-adelanto, se producen en la salida tanto atraso como adelanto de fase, pero en diferentes regiones de frecuencias; un atraso de fase se produce en la región de bajas frecuencias y un adelanto de fase en la región de alta frecuencia.

A un compensador con características de red de adelanto, red de atraso, o red de atraso-adelanto, se le denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atraso-adelanto.

Tiempo: )()( teKtu pLa salida del controlador

es proporcional a la

magnitud del error

Regulador P (Proporcional)

E(s) U(s) Kp Kp = constante

proporcional

•Aumenta la ganancia

• Reduce los errores en régimen

permanente.

•Modifica el transitorio y puede

tender a desestabilizar el sistema

en muchos casos si Kp aumenta

demasiado.

( ) ( )pU S K E S

Pasos del diseño: (1/2)

1ro.- Dibujar el Diagrama de Bode del sistema sin compensar.

2do.-Calcular el margen de fase deseado a partir del sobrepico (o coeficiente de amortiguamiento) especificado:

1

4 2

2*. .

1 4 2

M F Tan

2 2

( /100)

( /100)

p

p

Ln M

Ln M

Estas fórmulas sólo son exactas para los sistemas de segundo orden,

En el resto de los casos son una aproximación a lo que se quiere.

Pasos del diseño: (2/2)

3ro.-Se busca en el Bode de Fase la frecuencia de cruce de ganancia, w1 , para la que se tiene el margen de fase calculado en el paso anterior.

4to.-Ver el valor del Bode de Magnitud en esta frecuencia y calcular la K necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en esta frecuencia:

Ejemplo: Se desea encontrar la ganancia K necesaria para que el sistema con

F.T. siguiente y con realimentación unitaria , tenga sobreimpulso

máximo de 9.48%

Primero calculamos ρ a partir del sobreimpulso

Calculamos M.F. a partir de ρ; como ρ=0.6 utilizamos M.F= 0.6*100=60°

360( ) ( )

( 100)( 36)G S H s

s s s

2 2

( /100)0.6

( /100)

p

p

Ln M

Ln M

1

4 2

2*. . 59.21

1 4 2

M F Tan

Hallamos respuesta al escalon

unitario del sist. Sin controlador

%**Respuesta al escalón unitario con realimentación unitaria

%** G(s)*H(S)= 360/(S*(s+100)*(s+36))

n=[0 0 0 360];

d=[1 136 3600 0];

G=tf(n,d);

T=feedback(G,1);

step(T),grid

Se dibuja el diagrama de Bode y se busca la frecuencia a la que se tiene

dicho margen de fase. (Ver en MATLAB).

%**Diagramas de Bode(margen de ganancia y fase)

%** G(s)*H(S)= 360/(S*(s+100)*(s+36))

n=[0 0 0 360];

d=[1 136 3600 0];

bode(n,d);grid

%**Margenes de ganancia y fase

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(n,d)

gmbod=20*log10(gm)

Para buscar esta frecuencia calculamos el ángulo de fase necesario:

Angulo=-180°+59.21=-120.79≈-121

Del grafico se tiene w1 =14.7 rad/s

Del grafico se tiene que subir 44.1 dB, para que curva

de magnitud sea 0 dB, para lo cual necesitamos un

valor de K que se calcula de la siguiente forma:

44.1=20Log K→K= 1044.1/20 =160.32

Entonces la función de transferencia de sistema sin

controlador debe ser multiplicada por 160.32 ,siendo la

función de transferencia del sistema con controlador P:

57715.2( ) ( )

( 100)( 36)cG s G s

s s s

Hallamos M.G y M.F con

MATLAB del sist. controlador

%**Diagramas de Bode(margen de ganancia y fase)

%** G(s)*H(S)= 57715.2/(S*(s+100)*(s+36))

n=[0 0 0 57715.2];

d=[1 136 3600 0];

bode(n,d);grid

%**Margenes de ganancia y fase

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(n,d)

gmbod=20*log10(gm)

gm =

8.4830

pm =

59.4513

wpc =

60.0000

wgc =

14.6867

gmbod =

18.5710

Hallamos respuesta al escalon

unitario del sist. con controlador

%**Respuesta al escalon unitario con

realimentacion unitario

%** G(s)*H(S)= 57715.2 /(S*(s+100)*(s+36))

n=[0 0 0 57715.2];

d=[1 136 3600 57715.2];

step(n,d);grid

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: sys

Final value: 1

System: sys

Peak amplitude: 1.08

Overshoot (%): 8.4

At time (seconds): 0.181

CALCULO DE “K” SIN

DIAGRAMA DE BODE

Primero calculamos ρ a partir del

sobreimpulso

Calculamos M.F. a partir de ρ;

2 2

( /100)0.6

( /100)

p

p

Ln M

Ln M

1

4 2

2*. . 59.21

1 4 2

M F Tan

Representamos en su forma

Polar

La función de transferencia en lazo

abierto

1 1

2 2 2 2

1 1

1 1

36090 tan tan

100 36100 * 36

. . 180 90 tan tan ; M.F.=59.21100 36

59.21=90° tan tan ;100 36

Re se tiene =14.81 rad/s

GH

M F deseamos

solviendo

Hallamos la ganancia del sistema a

14.81 rad/s

2 2 2 2

14.81

2 2 2 2

14.81

3

3

360

100 * 36

360

14.81 14.81 100 * 14.81 36

6.177415369*10

Ganancia 20*log6.177415369*10 44.18 dB

tiene que subir 44.18 dB para que pase por 0 dB

Ganancia

Ganancia

Ganancia

se

Finalmente hallamos K

Con la siguiente relación:

44.18=20Log K

K= 1044.18/20 =161.80

Compensación de fase Compensación por adelanto de fase: lead

Compensación por retraso de fase: lag

En general:

2

1

T

21 TT

1

1

1

T

1

1

T

2

2

1

T

Los polos más rápidos están colocados más a la derecha en el Bode

LEAD

Compensación por adelanto

LAG

Compensación por retraso

1

1c

sTG s K

sT

1

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (de

g)Ma

gnitu

de (d

B)

0

5

10

15

20

10-2

10-1

100

101

102

103

-60

-30

0

1 Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Phas

e (de

g)Ma

gnitu

de (d

B)

-20

-15

-10

-5

0

10-2

10-1

100

101

102

103

0

30

60

Compensación por adelanto

de fase

Mejora el transitorio, aunque también

cambia el permanente (error).

La función principal del compensador

de adelanto es volver a dar forma a

la curva de respuesta en frecuencia a

fin de ofrecer un ángulo de adelanto

de fase suficiente para compensar el

atraso de fase excesivo asociado con

los componentes del sistema fijo.

Características de los

compensadores de adelanto

Sea un compensador de adelanto que tiene

la función de transferencia siguiente:

Diagrama polar para

con Kc=1 ω | | ∟

0 α 0°

∞ 1 0°

El valor mínimo de α está limitado por la construcción

física del compensador de adelanto. El valor mínimo

de α normalmente se toma alrededor de 0.05. (Esto

significa que el adelanto de fase máxima que puede

producir el compensador de adelanto es de 65°).

Para un valor determinado de α, el ángulo entre el eje

real positivo y la línea tangente dibujada desde el

origen hasta el semicírculo proporciona el ángulo de

adelanto de fase máximo,ωm. Se llamará Øm a la

frecuencia en el punto tangente, el ángulo de fase en

ω=ωm , donde:

Diagrama de Bode de compensador

de adelanto cuando Kc=1y α=0.1.

0.1

𝑇

1

𝑇

1

α𝑇 100

𝑇

ωm

ωm = √1

𝑇α𝑇=

1

𝑇√α

1 1

1 1

1 1 1 1

tan tan

tan tan

1 1 1tan tan ; tan tan

1tan

2

1sen

1

1

1

m m m

m m

m

m

m

m

T T

T T

T TT T

sen

sen

Considere el sistema de la figura y Suponga

que las especificaciones del desempeño se dan

en términos del margen de fase, del margen de

ganancia, de las constantes de error estático

de velocidad, etc.

Procedimiento para diseñar un

compensador de adelanto(1)

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

Defina: Kcα = K

La función de transferencia en lazo abierto del sistema

compensado es

Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento

sobre la constante estática de error determinada.

Procedimiento para diseñar un

compensador de adelanto(2)

2. Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode de G 1(jω), el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el valor del margen de fase.

3. Determine el ángulo de adelanto de fase Øm necesario que se agregará al sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5° a 12° al ángulo de fase necesario.

Procedimiento para diseñar un

compensador de adelanto(3)

4. Determine el factor de atenuación α a partir de la ecuación:

Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado G 1(jω), es igual a -20 log (1/√α).

Seleccione ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a ωm= 1/(√α*T), y el cambio de fase máximo Øm ocurre en ella.

5.- Determine el cero y polo del compensador

Cero Polo

m1

1 m

Sen

Sen

Procedimiento para diseñar un

compensador de adelanto(4)

6 . Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de α establecido en el paso 4, calcule la constante K, a partir de

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser así, repita el proceso de diseño modificando la ubicación de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio

Ejemplo1

Considere el sistema con realimentación

unitaria y F.T. directa

Se desea diseñar un compensador para el

sistema tal que el coeficiente de error estático

de velocidad sea 20, el margen de fase no sea

menor a 50º, y el margen de ganancia sea por

lo menos de 10dB.

4( )

( 2)G S

s s

SOLUCIÓN UTILIZANDO

DIAGRAMA DE BODE

1.-Para hallar el error estático de velocidad para

este sistema que es tipo 1, la entrada debe

ser una rampa y por lo tanto tenemos que:

2.-se trazan los diagramas de Bode o

analíticamente y se obtienen los márgenes de

fase y de ganancia

0 0

4 ( 1)( ) ( ) lim 2 20

( 2)( 1)

10

c s s

K TsLimSG S G S s K

s s Ts

K

1

40( )

( 2)G S

s s

Wm=9

-6.0dB

3.-se necesita un adelanto de fase de al menos(50-

17.96)º+5° se tomara = 37.04º

4.-Se halla valor de α

-20 log (1/√α)=-20 log (1/√0.248)=- 6.055 dB

ωm= 1/(√α*T)=1/(√0.248*T)=9(del grafico)

1/(√0.248*T)=9→T=0.223

1/T=4.482

m

1 37.040.248

1 37.04

sen

Sen

5.- Cero: 1/T=4.4833

Polo:1/(αT)=18.07

6.-Kc=K/ α=10/0.248=40.32

40.32( 4.482)( )

( 18.07)c

sG S

s

4 40.32( 4.482)( ) ( )

( 2) ( 18.07)c

sG S G S

s s s

Diagrama de Bode de:

N=[0 0 161.28 722.8569];

D=[1 20.07 36.14 0];

Bode(N,D);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(N,D)

El procedimiento hasta el paso 2 es lo

mismo y hallando M.F y M.G analíticamente

SOLUCIÓN UTILIZANDO

MÉTODO ANALÍTICO

1

12 2

1

12 2

1 1

1 1

40 40( ) 90 tan

(2 ) 22

180 90 tan2

.

401 6.1685

2

. . 180 90 tan2

. . 17.96

wG jw

jw jw w w

ww

M G

ww w

wM F

M F

3.-se necesita un adelanto de fase de al

menos(50- 17.96)º+5° se tomara = 37.04º

4.-Se halla valor de α -20 log (1/√α)=-20 log (1/√0.248)=- 6.055 dB

ωm= 1/(√α*T)=1/(√0.248*T)=8.8511

1/(√0.248*T)=8.8511→T=0.226

1/T=4.407 y 1/(α*T)=17.773

1 37.040.248

1 37.04

sen

Sen

2 2

4 2

4020log 6.055,

2

4 6450.8951 0

8.8511

m m

m m

m

w w

w w

w

Ejemplo2

2

4( 2.7)( )

( 0.7418 0.8554 )( 0.7418 0.8554 )( 9.5165)

4*2.7 / 9.5165 1.095( )

( 1)( 0.1420) 1.142 0.142

lc

lc

sG s

s i s i s

G ss s s s

Diseñar el compensador para el siguiente sistema con función de transferencia

directa

Tenga un error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario del 1% y un

sobreimpulso no superior al 2% y un tiempo de pico a lo sumo 20 segundos, teniendo

en cuenta que la realimentación es unitaria

2

4( 2.7)( )

( 1)( 10 1.4)

SG S

S S S

Se tiene:

Nos piden un error del 1%

Hallamos M.F. a partir de Mp=2% y tp=20s.

0 2

4( 2.7)lim 7.714

( 1)( 10 1.4)

1 10.1147

1 1 7.714

p s

ss

p

sK

s s s

eK

' '

'

c

'

c

1 199;

1 100

La ganancia del compensador K :

99K 12.83

7.714

ss p

p

p

p

e KK

se obtiene de

K

K

2 2

(2 /100)0.7797

(2 /100)

Ln

Ln

Calculamos M.F. necesario para lograr el amortiguamiento, al cual le sumamos 5° para contrarrestar la fase que introduce el controlador

Hallamos Bode de KcGp(s)=

N=[0 0 51.32 138.564];

D=[1 11 11.4 1.4];

bode(N,D);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(N,D)

Gmbode=20*log10(gm)

1

4 2

2*. . 69

1 4 2

M F requerido Tan

2

51.32( 2.7)

( 1)( 10 1.4)

s

s s s

M-F=47°

Del grafico anterior M.F.=47° y M.G.→∞

3.-se necesita un adelanto de fase de al

menos(69- 47)º+5° se tomara Øm= 27º

4.-Se halla valor de α

-20 log (1/√α)=-20 log (1/√0.3755)=- 4.25 dB

ωm= 1/(√α*T)=1/(√0.3755*T)=7.22(del grafico)

1/(√0.3755*T)=7.22→T=0.2260

1/T=4.4242

1 270.3755

1 27

sen

Sen

5.- Cero: 1/T=4.4242

Polo:1/(αT)=11.78

12.83( 4.4242)

( )( 11.78)

c

sG S

s

Diagrama de Bode de:

N=[0 0 51.32 365.61 613.03];

D=[1 22.78 140.98 135.69 16.492];

bode(N,D);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(N,D)

2

4( 2.7) 12.83( 4.4242)( ) ( )

( 1)( 10 1.4) ( 11.78)c

s sG s G s

s s s s

Compensación por retraso

de fase

Se reduce la ganancia para

frecuencias altas en un factor igual al

módulo del cociente entre el polo y el

cero del compesador.

Se introduce un retraso de fase.

El compesador lag se puede ver

como un filtro de primer orden.

Mejora el estacionario.

Aumenta ligeramente el transitorio

Aumenta en una unidad el orden del

sistema.

Reduce el ancho de banda del

sistema ya que disminuye la

frecuencia de cruce.

11

11c c c

sTs TG s K KTs

sT

Pasos en el diseño:

Sea la función de transferencia del regulador:

Renombramos:

1 1

1 1c c

Ts TsG s K K

Ts Ts

La función de transferencia del sistema compensado será:

1

1

1 1

1 1c

Ts TsG s G s K G s G s

Ts Ts

G s KG s

La función principal de un

compensador de fase es proporcionar

una atenuación en el rango de altas

frecuencias a fin de aportar un

margen de fase suficiente al sistema.

Pasos en el diseño del

compensador en atraso:

1. Se determina la ganancia K para satisfacer los requerimientos de la constante de error estático dada.

2. Si el sistema no compensado G1(j ω)=KG(j ω) no satisface las especificaciones en márgenes de fase y ganancia, se halla el punto de frecuencia donde el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto es igual a –180º más el margen de fase requerido es el margen de fase especificado más 5º a 12º. (La suma de 5º a 12º compensa el atraso de fase del compensador). Se elige esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

3. Para evitar efectos perjudiciales del atraso de fase debido al compensador en atraso, el polo y cero del compensador en atraso deben ubicarse por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia:

Pasos en el diseño:

Se debe elegir la frecuencia de cruce ω=1/T (cero del compensador) una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. El polo y el cero se seleccionan para que queden a frecuencias bajas y así afecten lo menos posible al margen de fase. Si las constantes de tiempo del compensador en atraso no se hacen demasiado grandes, la frecuencia de cruce ω=1/T se puede elegir una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia).

4. Se determina la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuación es –20log β, se determina el valor de β. Luego, la otra frecuencia de cruce (correspondiente al polo del compensador en atraso) se determina de ω=(1/ βT).

5.-Usando el valor de K calculado al principio y el de β, se calcula la constante Kc como K/ β.

Ejemplo 1

Para el siguiente sistema

diseñar un compensador en atraso de tal

manera que el sistema compensando

cumpla con las siguientes especificaciones.

= 5 s-1

MF ≥40º

MG ≥ 10 dB

2

2( ) ( )

( 3 2)G s H s

S S S

v

Solución: método analítico

1.-Se tiene:

2.-Determinamos M.F y M.G

20

2 ( 1)* * 5

( 3 2) ( 1)

5

s

STv Lim S K

S S S BST

K

1 2

1

1 22 2 2

10( )

(2 3 )

10 3( ) 90 tan

2(2 ) 9

G jwjw w jw

wG jw

ww w w

Igualando a -180° para hallar M.G.

1

2

2 2 2

12 2 2

1 1 1

1 1

2

1

390 tan 180

2

2;

(2 ) 9. . 0.6

10

. . 4.436

101; 1.8022

(2 ) 9

3. . 180 90 tan

2

. . 90 (103) 13

w

w

w

w w wM G

M G dB

ww w w

wM F

w

M F

1

2

1

2

3180 90 tan 52

2

3tan 38

2

0.4646

c

c

c

c

c

w

w

w

w

w

MF requerido=40º + 12º = 52º

W cruce = 0.464 para 52º; el cero elegimos a una década 1/T=0.0464

1 0.464 2 2 2

1 0.464 2 2 2

1020*log ( ) 20*log

(2 ) 9

1020*log ( ) 20*log

0.464 (2 0.464 ) 9*0.464

20*log(9.522) 19.5745

Hay que bajar 19.5745 dB para pasar por 0 dB

c

c

w

w

G jww w w

G jw

dB

4.- Se determina la atenuación de 19.5745 dB para bajar la curva de

magnitud a 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Esta atenuación es –20log β=-19.5745

β=9.71. El polo del compensador en atraso) se determina de ω=(1/

βT)=0.0464/9.71=0.004778

5.-Kc=K/β=5/9.71=0.515

2

2 ( 0.0464)( ) ( ) 0.515

( 3 2) ( 0.004778)c

sG S G S

s s s s

N=[0 0 0 1.03 0.047792];

D=[1 3.004778 2.014334 0.0095565 0];

bode(N,D);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(N,D)

Gmbode=20*log10(gm)

gm =

5.4608

pm =

47.2699

wpc =

1.3693

wgc =

0.4586

Gmbode =

14.7452

Ejemplo2:

Raíces de la ecuación característica:

-7.0266 ; -1.0367 + 1.4478i; -1.0367 - 1.4478i

C(s)/R(s)=2.1428/(s +1.0367 + 1.4478i)(s+1.0367 - 1.4478i)

Solución: Utilizando

diagrama de Bode

2

2

2 2 2

2

1

2 2

ORIGINAL

2.1428

2 2.0734 3.1708

3.1708 1.7806

2 2.0734 0.5822

% *100 =10.544%

Deseamos un sobreimpulso del 5% a lo sumo

(5 /100)0.69

(5 /100)

n

n n

n n

n

p

SISTEMA

b

s s s s

M e

Ln

Ln

1

4 2

2*. . 10 74.62 75

1 4 2

M F requerido Tan

2.-Calculamos M.F. necesario para lograr el amortiguamiento, al cual

le sumamos 10° para contrarrestar la fase que introduce el

controlador

3.-Obtenemos el diagrama de Bode del sistema sin compensar

multiplicado por la ganancia calculada Kc y buscamos en dicho

diagrama el valor de frecuencia(wf=1.32) para el cual la fase es

M.F. requerido(75°) y el valor de Bode de Magnitud para esa

frecuencia(M=16.8 dB)

N=[0 0 18.442 138.315];

D=[1 9.1 15.74 7.28];

bode(N,D);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(N,D)

ω=1/T (cero del compensador) se elige a una década por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Del grafico wc=1.32, ω=1/T=1.32/10=0.132 (cero del

compensador)

4.- Se determina la atenuación de 16.8 dB para bajar la curva de

magnitud a 0dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

Esta atenuación es –20log β=-16.8

β=7. El polo del compensador en atraso) se determina de ω=(1/

βT)=0.132/7=0.0188

5.-Para reajustar la ganancia del compensador y la ganancia del

sistema no se vea afectada .Para ello dividimos el polo entre el

cero y lo multiplicamos por la ganancia obtenida anteriormente

Kcf=(9.221*0.0188)/0.132=1.3132

2( 7.5) ( 0.132)( ) ( ) 1.3132

( 7)( 1.3)( 0.8) ( 0.0188)c

s sG S G S

s s s s

'

`

'

`

2*7.5) (0.132)*1.3132* 19

(7)(1.3)(0.8) (0.0188)

1 10.05 o 5%

1 20

p

ss

p

k

Ek

GH=zpk([-0.132 -7.5 ],[-0.0188 -0.8 -1.3 -7],[2.6264])

bode(GH);grid

[gm,pm,wpc,wgc]=margin(GH)

Compensación en atraso-adelanto

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

( ) 1, 11

( 1) ( 1)( ) *

( 1)( 1)

c c

c c

s s

G s K

s s

s sG s K

s s

3. Suponga el compensador en atraso-.adelanto

1 0

1

Im

Re

•Es común seleccionar

•Para el compensador

es en atraso.

•Para el compensador

es en adelanto.

•La frecuencia es aquella donde

el ángulo de fase es cero.

10

1

Diagrama polar .,1 cK

1

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

0

10

20

º0

1

001.0

dB

º90

º90

10

1

01.0

1 2

0.1 1( )

1

1

1

10

1

100

Diagrama de Bode del compensador atraso-adelanto.

.10,,1 12 cK

211

1

La frecuencia se obtiene de: 1

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

Compensadores en atraso-adelanto

Ejemplo: Compense el siguiente sistema cuya función de transferencia:

se desea que la constante de error estático de velocidad sea de . , , el

margen de fase sea de 50° y el margen de ganancia al menos de 10dB. Utilice un

compensador atraso- adelanto.

)2)(1()(

sss

KsG

vK 110 seg

1) Como el sistema tiene ganancia ajustable , se considera . K 1cK

Del requisito de error de error estático de velocidad, se obtiene

1 2

0 01 2

( 1) ( 1)lim ( ) ( ) lim * 10

( 1) ( 1)( 2) 2( 1)

cv c c

s s

K Ks s KK sG s G s sK

s s s s s

20K

1 3 2

20 20( )

( 1)( 2) 3 2G s

s s s s s s

Trazamos diagrama de Bode de

2) Hallamos M.F. y M.G.

%trazar diagrama de Bode

n=[0 0 0 20];

d=[1 3 2 0];

bode(n,d);grid

%Calcular MG,MF,Wpiy W1

[mg,mf,wpi,w1]=margin(n,d)

mgdb=20*log10(mg)

mg =

0.3000

mf =

-28.0814

wpi =

1.4142

w1 =

2.4253

mgdb =

-10.4576

Mf=-28 ° sistema inestable

MG=-10.5 dB sistema inestable

20 dB/dec

(-10.5,1.41) 0.5

5

20 dB/dec

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

3) En el diseño de un compensador atraso-adelanto se selecciona la nueva

frecuencia de cruce de ganancia a partir de la curva de G 1(jω), Se observa que

en

a fin de que el adelanto de fase requerido en ωc =1.41 rad/s sea alrededor de 50°, lo

que es muy posible mediante un compensador de atraso-adelanto

1( ) 180ºG j 1.41 / .c rad seg

4) Se selecciona la frecuencia de corte del cero del compensador de la parte atraso,

una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce:

2

10.141 / .rad seg

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

5) Con el máximo adelanto de fase deseado, se obtiene

11

1

1 11

msen

si º50m 548.7

pero se escoge que corresponde a 10 º9.54m

6) Con esto la frecuencia de corte del polo del compensador parte atraso es

2

10.0141 / .rad seg

Entonces la parte de atraso del compensador queda:

0.141

0.0141

s

s

Compensación utilizando métodos de respuesta en frecuencia

7) Para la parte de adelanto, se utiliza el valor de magnitud en la frecuencia de cruce

de ganancia (ver Diagrama de Bode). Como la nueva frecuencia de cruce de

ganancia es ω=1.41 rad/s; se encuentra que G1(J1.41)=10.5 dB, a partir de este

requisito es posible dibujar una linea recta de pendiente 20dB/dec .

Que pase por el el punto (1.41 rad/seg. , -10.5 dB ), se traza una línea recta de

pendiente 20 dB/década, donde intersecte la línea de -20 dB es la frecuencia de corte

del cero de adelanto ( )y donde intersecte la línea de 0 dB, es la

frecuencia de corte del polo de adelanto ( ). la parte de adelanto

es

0.5 / .rad seg

5 / .rad seg

0.5

5

s

s

El compensador atraso-adelanto queda

0.141 0.5( )

0.0141 5c

s sG s

s s

0.141 0.5 20( ) ( )

0.0141 5 ( 1)( 2)c

s sG s G s

s s s s s

g=zpk([-0.141 -0.5],[0 -0.0141 -1 -2 -5],[20])

bode(g);grid

%Calcular MG,MF,Wpi y W1

[mg,mf,wpi,w1]=margin(g)

mgdb=20*log10(mg)

Programa para hallar mf y mg

de sistema compensado

zero/pole/gain:

20 (s+0.142) (s+0.5)

------------------------------

s (s+0.0142) (s+1) (s+2) (s+5)

mg =

4.5058

mf =

50.8638

wpi =

3.5296

w1 =

1.3747

mgdb =

13.0755

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phase (

deg)

-150

-100

-50

0

50

100

150

Magnitude (

dB

)