View
12
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
metodos
Citation preview
Ejemplo 4
Encontrar la integral de un semicrculo de radio R (por variar nomenclatura, trabaje sobre los
ejes y y z ). La ecuacin de un crculo de radio = R es: y2 + z2 = R2 (en lugar de x usar z , para variar nomenclatura)
f(z) = 22 zRy
Usando la regla compuesta de Simpson, encontrar la integral de un semicrculo de radio R.
Dividirlo en 4 subintervalos N = 4 ( 2 en el lado derecho y 2 en el lado izquierdo).
Hacerlo para R = 0, R = 2, R = 2 3 , R = 4).
I = dzzR
R
R
22
Para R = 0 I = dzzz
z
0
0
220
Para R = 2 I = dzzz
z
2
2
222
Para la practica del Laboratorio 5 (Diferenciacin e Integracin) se deber resolver el ejercicio nmero cuatro (4) que se encuentra al final de esta seccin usando la herramienta SCILAB.
Este material hace parte del captulo 6 del libro del profesor Tito Flrez Caldern (Profesor Titular) quien es el autor de MTODOS NUMRICOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA, tercera edicin, 2011 ISBN: 978-958-719-822-5, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ingeniera, Departamento de Ingeniera de Sistemas e Industrial; material autorizado por su autor para su publicacin con prpositos puramente docentes.
Ejemplos y enunciado del Punto 2 de la practica del laboratorio 5.
Clculo de la Integral Total
Para R = 2 3 I = dzzz
z
32
32
22
32
Para R = 4 I = dzzz
z
4
4
224
Como la funcin es simtrica, se considerar el lado derecho (eje z positivo) y se multiplicar
por 2. Cada lado tendr 2 subintervalos.
Por ser simtrico se transforma en:
I = 2* dzzR
R
0
22 (parte derecha) y N = 2.
Si R = 4 N
xxH
inicialfinal = (4 0) / 2 = 2
n
abh
=
n
H= 2/2 = 1
e = O(h4) = O(14) no se espera gran exactitud.
Solucin:
R = 0
N = 2 ; xinicial = 0; xfinal = 0
N
xxH
inicialfinal = (0 0) / N = 0
n
abh
=
n
H=
2
0= 0
n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).
n = 2 (para Simpson)
Ii = )4(3
21 iii yyyh
Ii = 0
= 2*
2
1i
iI = 0 + 0 = 0
R = 2
N = 2; xinicial = 0; xfinal = 2
Clculo de la Integral Total
N
xxH
inicialfinal = (2 0) / 2 = 1
n
abh
=
n
H=
2
1= 0.5
n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).
n = 2 (para Simpson)
I1 : xi = a = xinicial = 0
Ii = )4(3
21 iii yyyh
Ii = ))2()(4(3
222222 haRhaRaRh
I1 = ))5.0*20(2)5.0*10(2402(3
222222 h
I1 = )1.731.93*42(3
h
= 1.91
I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1*1 = 1
Ii = )4(3
21 iii yyyh
I2 = ))5.0*21(2)5.0*11(2412(3
222222 h
I2 = )0 1.32*41.73(3
h
= 1.17
= 2*
2
1i
iI = 2* (1.91 + 1.17) 6.2 (real = 6.28)
R = 32
N = 2 ; xinicial = 0; xfinal = 2 3
N
xxH
inicialfinal = (2 3 0) / 2 = 3
n
abh
=
n
H=
2
3
Clculo de la Integral Total
n = grado del polinomio = nmero de intervalos ( n minscula ).
n = 2 (para Simpson)
I1 : xi = a = xinicial = 0
Ii = )4(3
21 iii yyyh
Ii = ))2()(4(3
222222 haRhaRaRh
I1 = ))2/32()3 2()2/3()3 2(40)3 2((3
222222 h
I1 = )2.99993.35*43.46(3
h
= 5.73
I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1* 3 = 3
I2 = ))2/323()3 2()2/33()3 2(43)3 2((3
22222
2 h
I2 = )0 2.29*42.99(3
h
= 3.51
= 2*
2
1i
iI = 2* (5.73 + 3.51 ) 18.5 (real =18.8....)
R = 4
N = 2; xinicial = 0; xfinal = 4
N
xxH
inicialfinal = (4 0) / 2 = 2
n
abh
=
n
H=
2
2 = 1
n = grado del polinomio = nmero de intervalos (n minscula ).
n = 2 (para Simpson)
I1 : xi = a = xinicial = 0
Ii = )4(3
21 iii yyyh
Clculo de la Integral Total
Ii = ))2()(4(3
222222 haRhaRaRh
I1 = ))1*20(4)10(4404(3
222222 h
I1 = )3.46 3.87*4 4(3
h
= 7.65
I2 : xi = a = xinicial +1H = 0 + 1*2 = 2
Ii = )4(3
21 iii yyyh
I2 = ))1*22(4)1*12(4424(3
222222 h
I2 = )02.64*4 3.46(3
h
= 4.68
= 2*
2
1i
iI = 2* (7.65 + 4.68) 25 (real = 25.13.)
Ejemplo 5
Se tiene la siguiente tabla:
X 0 3 6 9 12 15 18
Y 0 6.2 18.5 25 18.5 6.2 0
1er H 2o H 3er H
Encontrar la integral usando la regla compuesta de Simpson.
Acurdese que en la regla de Simpson 2
Hh , es decir, cada intervalo H debe tener 2h (3
puntos) subintervalos de h. Por lo tanto, es lgico que el nmero de subintervalos de h debe
ser mltiplo de 2. (La tabla tiene 6 subintervalos de h, lo cual es un mltiplo de 2. La tabla se
hizo a propsito para poderla resolver por la regla compuesta de Simpson).
1er intervalo de H: 0 6 2 intervalo de H: 6 12
Clculo de la Integral Total
3er intervalo de H: 12 18
Se puede encontrar la integral usando la regla compuesta del trapecio?, 3/8 de Simpson?,
Boole?
Para hacer la integral numrica en s, se necesitan los (xi, yi) no f(x). f(x) sirve para
encontrar los yi.
Distancia entre dos puntos en x = x = h = 3 H = 2h = 2*3 = 6
Como la regla de Simpson necesita 2 subintervalos de h, el nmero de integrales a realizar es
= 6/2 = 3:
I1 : desde x = 0 hasta x = 6
I2 : desde x = 6 hasta x = 12
I3 : desde x = 12 hasta x = 18
I1: xi = a = 0; yi = 0
Ii = )4(3
21 iii yyyh
I1 = )5.182.6*40(3
3 = 43.3
I2 : xi = a = 6; yi = 18.5
Ii = )4(3
21 iii yyyh
I2 = )5.1825*45.18(3
3 = 137
I3 : xi = a = 12; yi = 18.5
Ii = )4(3
21 iii yyyh
I3 = )02.6*45.18(3
3 = 43.3
= I1 + I2+ I3 = (43.3 + 137 +43.3) = 223.6 (respuesta terica: 72 = 226.2).
6.6. Integrales dobles
Se explicar a travs del siguiente ejemplo:
Ejemplo
Integrales dobles
Se tiene un pan (ver figura A) cuya base est sobre los ejes x y z y su altura sobre el ejey. Visto lateralmente (viendo el eje x de izquierda a derecha), el contorno superior tiene forma de funcin seno, cuya altura, a medida que nos desplazamos sobre el eje x, es R=4*sin(x/18) (x est en radianes). Su altura mxima es 4 cm. y la longitud del pan sobre el eje x es de 18 cm. Al hacer un corte transversal (viendo el eje z de izquierda a derecha), se observa que tiene forma de un semicrculo. La ecuacin de la altura del pan es:
2
2
22
18
*sin4 z
xzRy
180 x ;
)18/sin(4)18/sin(4 xRzRx
El volumen del pan es:
dzdxzx
Vx
x
xz
xz
*18
*sin4
18
0
)18/sin(4
)18/sin(4
2
2
xinicial: extremo izquierdo del pan (x = 0)
xfinal: extremo derecho del pan (x = 18)
Calcular la integral doble (el volumen del pan) usando la regla compuesta de Simpson 1/3.
Integrales dobles
Figura A.
Le parece difcil?
Lo curioso es que esta doble integral ya se desarroll a travs de los 2 ejemplos anteriores
(ejemplo 4 y ejemplo 5).
Cmo se hizo?
Se cort el pan en 6 rodajas (nmero par) de ancho h =6
inicialfinal xx = (18-0)/6 =3
Se calcul el rea de cada cara de las rodajas.
Se integr esas reas, produciendo el volumen (la integral de un rea, produce unvolumen).
dzdxzx
Vx
x
xz
xz
*18
*sin4
18
0
)18/sin(4
)18/sin(4
2
2
Para encontrar el rea de cada una de las caras
03
69
1215
18 -4
-2
0
2
4
0
2
4
ZX
Y =
sqrt
(R
2 -
Z2 )
Integrales dobles
Ax=0 : rea de la cara en x = 0;
Ax=3 : rea de la cara en x = 3;
Ax=6 : rea de la cara en x = 6;
Ax=9 : rea de la cara en x = 9;
Ax=12 : rea de la cara en x = 12;
Ax=15 : rea de la cara en x = 15;
Ax=18 : rea de la cara en x = 18;
Se barre la integral exterior ( x ) desde x_inferior hasta el x_superior, con pasos de x =h=3
Para cada uno de estos x, se reemplaza su valor en la integral interna.
dzzA
z
z
x
)18/0sin(4
)18/0sin(4
2
2
018
*0sin4
= dzz
z
z
0
0
220
dzzA
z
z
x
)18/3sin(4
)18/3sin(4
2
2
318
*3sin4
= dzz
z
z
2
2
222
dzzA
z
z
x
)18/6sin(4
)18/6sin(4
2
2
618
*6sin4
= dzz
z
z
32
32
22
32
dzzA
z
z
x
)18/9sin(4
)18/9sin(4
2
2
918
*9sin4
= dzz
z
z
4
4
224
Ax=12 = Ax=6 debido a la simetra del pan.
Ax=15 = Ax=3 debido a la simetra del pan.
Ax=18 = Ax=0 debido a la simetra del pan.
que son las mismas del ejemplo 4
Poniendo en una tabla el valor del rea de cada cara en su correspondiente x, se obtiene:
x 0 3 6 9 12 15 18
rea de las caras 0 6.2 18.5 25 18.5 6.2 0
1er H 2o H 3er H
Que corresponde a la tabla que se da en el ejemplo 5
Integrales dobles
Al integrar reas, da volumen Al integrar esta tabla, que corresponde a integrar las reas de las caras de las tajadas, es evidente que da el volumen del pan. Esta integral se realiz en
el ejemplo 5 y dio: I = 223.6 (respuesta terica: 72 = 226.2).
Algo anlogo se hace para integrales triples, etc.
Ejercicios
1. Se desea calcular dx)x(sen
o
o
6
0
. Tomar 3 intervalos y desarrollarlo por:
a. Trapecio
b. Simpson
c. 3/8 de Simpson
d. Boole
2. Se desea calcular dxx.
.
90
0
52. Tomar 3 intervalos y desarrollarlo por:
a. Trapecio
b. Simpson
c. 3/8 de Simpson
d. Boole
3. Se posee la siguiente tabla:
X 0 3 6 9 12 15 18
Y 0 16 88 243 499 871 1375
Calcular la integral por medio de:
a. Trapecio
b. Simpson
c. 3/8 de Simpson
4. Problema del slido. Este ejercicio debe ser resuelto usando SCILAB (tal como se anuncial comienzo de esta seccin) y debe ir acompaada de una grfica como la de la figura B).
Se tiene un slido en forma de medio disco (anlogo a la figura B que se logra en este caso rotando una parbola sobre el eje y) cuya base est sobre los ejes x (largo) y y (ancho ), y su altura sobre el eje z. El contorno exterior de la parte mas angosta tiene forma de parbola, cuya altura, a medida que nos desplazamos sobre el eje y, es z = -y2 + 36. El ancho mximo del slido sobre el eje y es de 12 cm. La parte ms alta (o sea el mayor semicrculo) es de 36 cm. Las secciones transversales paralelas al eje "y" son parbolas y las secciones transversales paralelas al eje x son semicrculos. La ecuacin de la altura del slido es:
Figura B
Pgina en blanco
Recommended