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7/26/2019 Ejercicio Numrico de Clculo de Variaciones
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MatemticasAvanzadas para Ingenieros
Ejemplo Numrico ClculodeVariaciones
Autor : Jean Franco Arandia Tarantino
Cdula : 20 - 70 - 3440
Ejemplo 1. Demostrar por el clculo de variaciones que la ruta ms corta entre dos puntos en el plano,A =
(-3,2)y B = (3,1), es una lnea recta que une ambos puntos.
Figura 1. Trayectoria entre dos puntos
El funcional se define como:
I(y) s(x)
Donde s(x)representa la trayectoria completa e I(y)es el funcional que se desea minimizar.Usando el teorema de Pitgoras se tiene:
s(x) x2 + y2
s(x) 1 + yx2 x
Como xtiende a cero, se puede decir que:
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yx
dy
dxy'
Sustituyendo:
I(y) x1
x2
1 + (y')2 x
Aplicando la ecuacin de Euler-Lagrange, sujeta a las condiciones frontera y-3 =2; y3 =1:fy -
d
dx
fy' 0
La funcin f(x, y, y')es:
f(x, y, y') 1 + (y')2
Encontrando los trminos de la ecuacin de Euler-Lagrange se tiene:
y' 1 + (y')2
y
1 + (y)2
fy' =
y
1 + (y)2
xf
y' = y
1 + (y)23/2 =0
Si se multiplica la expresin anterior por 1 + (y)23/2:
y=0Integrando:
0x=a
ax=ax +b
y[x] =ax +bLa expresin anterior representa la ecuacin de una lnea recta. Evaluando las condiciones de frontera:
Solve[-3 a +b2&&3 a +b1,{a, b}]
Matemticas Avanzadas | Universidad Tecnolgica de Panam Nombre: ean Franco Arandia Tarantin
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a -16, b3
2
En definitiva:
y[x_]:= -16
x +32
y[-3]
2
y[3]
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