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EJERCICIOS DE TEORIA ELECTROMAGNETICA
Vicente Poma
1.8.- Demostrar la ambigüedad que produce cuando se utiliza el producto cruz para encontrar el ángulo entre dos vectores y se obtiene el ángulo formado entre A=3ax−2ay+4 az y B=B=2ax+a y−2az . Se esta ambigüedad cuando se presenta el producto punto
|A|=√ x2+ y2+z2
|A|=√32+(−2)2+42
|A|=√29
|B|=√x2+ y2+z2
|B|=√22+12+(−2)2
|B|=√9=3
AxB=|3 −2 42 1 −2|
AxB=(4−2 )−(8+6 )+(3+4)
AxB=−14 ay+7az
AxB=14 ay−7az
AxB=7√5[ 2ay−az5 ]
AxB=|A||B|sinσ
sin θ=7√53√2
θ=sin−1 A .B|A||B|
θ=104.33
A .B=(x1 . x2)+( y1 . y2)+(z2 . z2)
A .B=6−2−8
A .B=−4
A .B=|A||B|cos σ
θ=cos−1 A . B|A||B|
θ=cos−1 −47√5
θ=−75.7
θ=104.33
1.21.- Expresar en componentes cilíndricas:
a) El vector desde C(3,2,-7)hasta D(-1,-4,2)
ρ=√ (x )2+( y)2
ρ=√ (3 )2+(2)2
ρ=√13
ρ=√ (x )2+( y)2
ρ=√ (−1 )2+(−4 )2
ρ=√17
∅=tan−1( yx )∅=tan−1( 23 )∅=33.7
∅=tan−1( yx )∅=tan−1(−4−1 )∅=−104.04
Z=Z
Z=--7
Z=Z
Z=2
RCD=(x2−x1 )+( y2− y1)+(z2−z1)
RCD=(−1−3 )+(−4−2 )+ (2+7 )
RCD=−4−6+9
aRCD=RCD . aρ
aRCD=−4 cos (33.7 )aρ−6sin(33.7)aρ
aRCD=−6.64 aρ
aRCD=RCD . a∅
aRCD=4 sin (33.7 )a∅−6cos(33.7)a∅
aRCD=−2.77a∅
RCD=−6.64 aρ−2.77a∅+9az
b) Un vector unitario en D dirigido hacia C.
RDC=(x2−x1 )+( y2− y1 )+(z2−z1)
RCD=(1+3 )+ (4+2 )+ (−2−7 )
RCD=4+6−¿9
∅=tan−1( yx )∅=tan−1( 41 )∅=−104.04
RDC=4 cos (−104.04 )aρ+6 s∈(−104.04)aρ
RDC=−6.79
RDC=−4sin (−104.04 )a∅+6cos (−104.04)a∅
RDC=2.43
RDC=−6.79aρ+2.43a∅−9az
aR DC=−4 cos(33.7)aρ−6sin(33.7)aρ
√(−6.79)2+(2.43)2+(−9)2
aRDC=−0 .58aρ+0.21a∅−0.78az
c) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.
RDC=(x2−x1 )+( y2− y1 )+(z2−z1)
RCD=(1 )+(4 )+(−2 )
aRDC=1aρ+4a∅−2az√(1)2+(4 )2+(2)2
aRDC=0.22aρ+0.87 a∅−0.44az
Raρ=0.22cos (−104.04 )aρ+0.87sin (−104.04)aρ
Raρ=−0.897
Ra∅=0.22 sin (−104.04 )a∅+0.87cos (−104.04)a∅
Ra∅=(2.36)−3≈0
a=−0.897aρ−0.44 az
1.23.- Una superficie cerrada está formada por las superficies ρ=3 , ρ=5 ,∅=100° ,∅=130 ° ,Z=3 y Z=4.5 .
a) Encontrar el volumen encerrado.
V=∭ ρdρd∅ dz
V=∫3
4.5
∫100
130
∫3
5
ρdρd∅ dz
V=∫3
4.5
∫100
130
8d∅ dz
V=∫3
4.5
240dz
V=360=6.28
b) Hallar el área total de la superficie encerrada.
Area=[2∫100
130
∫3
4.5
ρdρdz+∫100
130
∫3
4.5
3 dzd∅+∫100
130
∫3
4.5
5dzd∅+2∫3
4.5
∫3
5
dρdz]Area=[2∫
100
130ρ2
2 |53d∅+∫100
130
3 z|4.53d∅+∫
100
130
5 z|4.53d∅+2∫
3
4.5
ρ|53d∅ ]
Area=[2∫100
130
8d∅+∫100
130
4.5d∅+∫100
130
7.5d∅+2∫3
4.5
2d∅ ]Area=[2 x 8| 130
100+ 4.5|130
100+7.5|130
100+2x 8|4.53 ]
Area=480+135+225+6
Area=8.377+2.356+3.926+6
Area=20.7
c) Encontrar la longitud total de las doce esquinas de las superficies.
long=(4 x 1.5)+(4 x2)+2[ 30 °360 °x 2πx3+ 30 °
360 °x 2πx5 ]
long=6+8+2[ π2 + 56π ]
long=6+8+2[ 43 π ]long=6+8+[ 8π3 ]long=22.37
d) Encontrar la longitud de la línea recta más larga que está encerrada dentro del volumen.
ρ=3 , ρ=5 ,∅=100° ,∅=130 ° ,Z=3 y Z=4.5
A(ρ=3 ,∅=100 ° ,Z=3) B(ρ=5 , ,∅=130 ° ,Z=4.5)
X=ρcos∅
X=3cos(100)
X=−0.52
y=ρs∈∅
y=3sin (100)
y=2.95
Z=3
X=ρcos∅
X=5cos(130)
X=−3.21
y=ρsin∅
y=5sin (130)
y=3.83
Z=4.5
A(−0.52 ,2.95 ,3) B(−3.21 ,3.83 ,4.5)
RAB=B−A
RAB= (−3.21+0.52 )+(3.83−2.95 )+ (4.5−3 )
RAB=2.69+0.88+1.5
|B−A|=√2.692+0.882+1.52
|B−A|=3.20
Fig. 1
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