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FÍSICA MODERNA
INFORME FASE 1
GRUPO No. (29)
SAMUEL QUINTERO CASAS – 8201656
SERGIO ALEXANDER GIL –
JUAN CAMILO TABORDA - 8103507
Solo se incluyen a los estudiantes que hicieron aportes reales al trabajo
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
(MEDELLIN)
(MARZO DE 2015)
CONTENIDO
Página
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 3
2. MARCO TEÓRICO ............................................................................................. 4
3. RESULTADOS .................................................................................................. 12
3.1 Resultados Actividad 1. ............................................................................ 12
3.2 Resultados Actividad 2. ............................................................................ 22
3.3 Resultados Actividad 3. ............................................................................ 33
4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS .................................................................. 41
4.1 Actividad 1. ................................................................................................. 41
4.2 Actividad 2 .................................................................................................. 41
4.3 Actividad 3 .................................................................................................. 41
3
INTRODUCCIÓN
Las leyes de Maxwell del Electromagnetismo muestran la constancia de la
velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (entre ellas la
luz) en el vacío, lo que es equivalente a afirmar que no hay soporte material
en el que se produzcan las perturbaciones electromagnéticas. Es decir, las
citadas leyes desmienten la existencia del "éter" tal como se postulaba a
finales del siglo XIX. Por otra parte, dicha constancia fue confirmada en los
experimentos llevados a cabo para medir la velocidad de la luz por
Michelson y Morley. El resultado mostró que la velocidad es independiente
del movimiento relativo de fuente y observador. Pero si se acepta la
constancia de la velocidad de la luz en el vacío, hay que revisar nuestros
conceptos de espacio y tiempo que manejamos en la Física newtoniana.
En el presente trabajo daremos aplicación a teoría de la relatividad,
mediante la solución de algunos problemas relacionados con la rapidez
relativa, la distancia y desplazamiento de partículas, así como de la luz y su
observabilidad.
4
2. MARCO TEÓRICO
Dos de los postulados de la Física newtoniana o Física Clásica son:
las leyes que describen los sistemas mecánicos deben ser las mismas en
todos los sistemas de referencia inerciales, o sea, en movimiento relativo
rectilíneo y uniforme.
el tiempo, t, es una variable absoluta independiente de los sistemas de
referencia
Esto se formula matemáticamente diciendo que las leyes de la Mecánica son
invariantes ante las transformaciones galileanas:
donde r' es el vector de posición respecto a un sistema de referencia O'x'y'z', r es
el vector de posición respecto a otro sistema de referencia Oxyz, v es la velocidad
del sistema O'x'y'z' respecto al Oxyz. La expresión (3.1) se puede poner también
con sus componentes de r' y r separadas (3.2).
Estas transformaciones suponen que las velocidades relativas se suman y
además en ellas no resultan invariantes las leyes del Electromagnetismo. En
5
particular la velocidad de la luz no sería constante, sino que dependería del
movimiento relativo fuente-observador. Los modelos de la Física Clásica y del
Electromagnetismo son por lo tanto incompatibles.
La Teoría Especial de la Relatividad, enunciada por Albert Eistein en 1905, afirma
que todas las leyes físicas, incluyendo las leyes del Electromagnetismo, deben ser
las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales. Para que eso se
cumpla es preciso formular un conjunto de transformaciones, diferentes de las
galileanas, para las cuales sean invariantes las leyes de la Mecánica y del
Electromagnetismo. Esas transformaciones fueron establecidas por Lorentz con
anterioridad a la teoría de la Relatividad y se conocen como transformaciones de
Lorentz:
Con
Las ecuaciones (3.3) expresan las coordenadas respecto al sistema O'x'y'z't' en
función de los valores de las coordenadas x, y, z, t. Como los sistemas de
coordenadas deben ser equivalentes, podemos poner las coordenadas x, y, z, t en
función de las x', y', z', t' de la misma forma con sólo cambiar el sentido de v (el
6
sistema Oxyzt se mueve con respecto al O'x'y'z't' con velocidad -v). Por lo tanto
las transformaciones de Lorentz pueden ponerse en forma inversa:
Con
Estas transformaciones implican unas concepciones nuevas del espacio y del
tiempo que chocan con nuestras intuiciones. Sin embargo, aplicadas a fenómenos
en los que las velocidades son muy pequeñas con respecto a c, las
transformaciones de Lorentz coinciden prácticamente con las galileanas al
despreciar en aquellas el valor de v2/c2. En cambio, cuando v es comparable a c,
encontramos entre otras las siguientes consecuencias:
- las velocidades relativas no se suman.
- la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el vacío es la misma en
cualquier sistema de referencia inercial.
- cualquier velocidad con respecto a cualquier sistema de referencia es siempre
menor que la velocidad c de las ondas electromagnéticas en el vacío.
- las dimensiones espaciales de un objeto dependen del sistema de referencia.
Las dimensiones respecto a un sistema con velocidad cero respecto al objeto se
7
denominan dimensiones propias y son las mayores posibles. Si el sistema de
referencia está en movimiento relativo, las dimensiones del cuerpo son menores
que las dimensiones propias (contracción del espacio).
- el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos depende también del
sistema de referencia en el que se mida. Para un sistema en reposo respecto al
lugar en el que ocurren los sucesos el intervalo de tiempo (llamado tiempo
propio) es menor que para un observador respecto al cual el lugar en el que
ocurren los sucesos se está moviendo (dilatación del tiempo).
Contracción del espacio.
Supongamos una nave viajando con velocidad v constante respecto a un sistema
de referencia de origen O y coordenadas x, y, z, t, en el que se encuentra un
observador que ve dicha nave. Para que este observador pueda medir la longitud
de la nave deberá determinar simultáneamente (es decir en el mismo instante t de
su sistema de referencia) las coordenadas de los extremos de la nave. Para
abreviar las expresiones supongamos que la nave se mueve en dirección paralela
al eje x; la longitud para el observador sería: . En cambio para los
pasajeros de la nave la longitud se determinará respecto a unos ejes de origen O'
y coordenadas X', y', z', t', solidarios con la misma. Al estar la nave en reposo en
su propio sistema de referencia la determinación de las coordenadas de los
extremos no hará falta que sea simultánea. La longitud para los pasajeros sería:
. Ahora bien, por las transformaciones de Lorentz:
8
y siendo
por lo tanto la longitud para el observador que ve volar la nave sería:
, es decir L < L'
Naturalmente en la experiencia cotidiana este efecto no se nota porque v<<c y por
1. Sin embargo en los laboratorios de investigación en altas energías,
las partículas elementales son aceleradas hasta velocidades muy próximas a c y
por ello el efecto de la contracción del espacio es notable y hay que considerarlo
para diseñar los aceleradores de esas partículas.
2.2 Dilatación del tiempo.
Un suceso, en sentido relativista sería un 'punto' en un sistema de coordenadas
espacio-temporales x, y, z, t, es decir algo que ocurre en un lugar (x, y, z) y en un
instante (t). Para otro sistema de referencia, el mismo suceso ocurre en un lugar
diferente (x', y', z') y en otro instante (t'). Las coordenadas en un referencial se
pueden calcular en función de las de otro referencial inercial por medio de las
9
transformaciones de Lorentz (3.3). Por ejemplo, supongamos que un tripulante
viaja en una nave espacial que lleva una velocidad constante v respecto a un
observador y que queremos conocer el periodo de latido del corazón. En la propia
nave será: , donde son los tiempos de dos latidos
consecutivos medidos en el mismo punto del sistema de coordenadas de la nave.
Si el observador recibe las señales de los latidos y mide el periodo obtendrá:
donde son los tiempos de dos latidos consecutivos medidos en
puntos distintos del sistema de coordenadas del observador. Según la ecuación de
transformación del tiempo (3.4):
y
(nótese que ponemos x' en las dos expresiones puesto que los dos instantes
corresponden al mismo punto en el sistema O'x'y'z't') y restando nos queda:
, o sea,
Es decir, para el observador, el pasajero de la nave tiene un periodo cardiaco
mayor que el que miden en la propia nave.
2.3 Transformación de velocidades.
Supongamos un móvil que lleva una velocidad vM medida en el referencial Oxyzt.
Sus componentes son:
10
(3.7)
Supondremos para simplificar las expresiones que el referencial O'x'y'z't' se
desplaza con velocidad v constante en la dirección de eje x, es decir que vx = v;
vy = 0, vz = 0. La velocidad del mismo móvil medida en el referencial O'x'y'z't' será
vM' tal que
(3.8)
Calculando las diferenciales dx', dy', dz' y dt' a partir de las expresiones (3.3):
;
(3.9)
y finalmente sustituyendo estos valores en (3.8) nos queda:
(3.10)
Si v << c2, como ocurre en los sistemas del macrocosmos, las (3.10) coinciden
con las expresiones de la Mecánica Clásica:
. Si por el contrario v --> c, en las (3.10)
vemos que: , lo que nos indica que las
velocidades relativas nunca pueden superar la velocidad de la luz en el vacío.
11
MASA Y ENERGÍA.
Otra de las novedades de las hipótesis fundamentales de la Física Relativista y
que choca con las ideas de la Física Clásica es que la masa de los cuerpos no es
una constante característica de los mismos, sino que depende también del
sistema de referencia utilizado. Esta hipótesis es necesaria por otra parte para
explicar por qué un cuerpo sometido a una fuerza que produce una aceleración no
puede alcanzar nunca la velocidad c. Según la Teoría de la Relatividad, la masa
de un cuerpo medida en un sistema de referencia en reposo respecto de dicho
cuerpo es la masa propia o masa en reposo m, pero si la masa es medida en un
sistema de referencia con velocidad v respecto al cuerpo, su valor m' será mayor
que la masa propia:
m' = m, lo que coincide con nuestra experiencia ordinaria. Admitida esta hipótesis,
cuando sobre un cuerpo de masa propia m se aplica una fuerza constante y se
acelera, el trabajo realizado por dicha fuerza no se transformará en energía
cinética, ya que la masa va aumentando, según la (3.11). La hipótesis se completa
con otra: la energía total de una partícula con velocidad v respecto a un sistema
de referencia es E = mc2, siendo m la masa de dicha partícula en el sistema de
referencia considerado. Por lo tanto, el trabajo invertido en acelerar una partícula
se invertirá en aumentar la energía total:
12
La ecuación (3.12) significa que masa y energía son magnitudes proporcionales
con c2 como constante de proporcionalidad, transformándose una en otra de
forma reversible según la relación E = mc2. La producción de energía en los
procesos de fisión nuclear (reactores y centrales nucleares) y fusión nuclear y
otros muchos procesos sólo son explicables por medio de esta revolucionaria
hipótesis.
3. RESULTADOS
3.1 Resultados Actividad 1.
Una Luz naranja destella en la posición xn y un tiempo tn, y una luz verde en xg y
tg, todos observados en el marco de referencia S. El marco de referencia S’ tiene
su origen en el mismo punto que S en t=t’=0; el marco S’ se mueve uniformemente
a la derecha. Se observa que ambos destellos se presentan en el mismo lugar en
S’. a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’. b) Encuentre el factor de Lorentz.
c) Encuentre la ubicación de los dos destellos en el marco S’. d) ¿En qué tiempo
se presenta el destello naranja en el marco S’?
Ejercicio 1. Nombre: QUE CORRESPONDIA A YOVANY MORENO
𝒙𝒏 = 𝟏𝟎𝒎
𝒕𝒏 = 𝟔. 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔
𝒙𝒈 = 𝟏𝟒𝒎
𝒕𝒈 = 𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖𝒔
13
a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’:
∆𝒙′ = 𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕)
𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎
(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎
(𝚫𝒙) = 𝒗𝚫𝒕
𝒗 =𝚫𝒙
𝚫𝒕
𝒗 =𝟏𝟒𝒎 − 𝟏𝟎𝒎
𝟔, 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗 − 𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖
𝒗 =𝟏𝟒𝒎 − 𝟏𝟎𝒎
𝟏, 𝟏𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝟔, 𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟗
𝒗 =𝟒𝒎
𝟒, 𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟗𝒔
𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈
Desde el punto de vista matematico esto no es posible porque la fórmula del factor de lorentz
condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la luz, 𝑣2
𝑐2 debe ser menor que
1 en la expresión: √1 −𝑣2
𝑐2 ya que en caso contrario resultaría en la raíz de un numero negativo lo
cual es matemáticamente imposible como se ve en el ejemplo a continuación usando el resultado
de 𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈
14
b)Encuentre el factor de Lorentz
𝜸 =𝟏
√𝟏 −𝒗𝟐
𝒄𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝒗 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟗𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈)𝟐
(𝟐. 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔)𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝟕, 𝟓𝟔𝟎𝒙𝟏𝟎𝟏𝟕𝒎/𝒔)
(𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔)
𝜸 =𝟏
√𝟏 − 𝟖, 𝟒𝟎𝒎/𝒔
𝜸 =𝟏
√−𝟕, 𝟒𝒎/𝒔
EJERCIO 2 (SERGIO ALEXANDER GIL)
Según la tabla de datos para valores de:
𝑥𝑛 = 8.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑛 = 6.3 × 10−9𝑠𝑒𝑔.
𝑥𝑔 = 11.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑔 = 1.33 × 10−8𝑠𝑒𝑔.
15
a). Rapidez relativa:
∆𝒙′= (∆𝒙 − 𝒗∆𝒕)
∆𝑥′= 3𝑚 − 𝑣(7 × 10−9𝑠)
0 = 3𝑚 − 𝑣(7 × 10−9𝑠) ↔ 3𝑚 = 𝑣(7 × 10−9𝑠)
𝑣 =3𝑚
7 × 10−9𝑠
𝑣 = 4.28 × 10−10 𝑚𝑠⁄
b). Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
𝛾 =1
√1 −(4.28 × 10−10)2
(3 × 108)2
𝛾 =1
√1 − 2.03 × 10−4=
1
0.99= 1.001
c). Ubicación de los destellos en el marco S’
Ya que en el marco S se observa una distancia de 3m. entre un evento y el otro, pero en el
marco S’ no hay distancia, se puede clasificar el problema como una contracción de la
longitud, entonces:
𝐿 =3𝑚
𝛾= (3𝑚)√1 −
𝑣2
𝑐2
Por lo tanto:
𝐿 = (3𝑚)(0.99) = 2.97𝑚
16
d) Tiempo del destello naranja en el marco S’
El destello naranja visto por el observador en el marco S fue de: 1. 33 × 10−8𝑠, para
determinar el tiempo en el marco S’ se usa la fórmula:
𝑡2′ − 𝑡1
′ = 𝛾 (𝑡2 −𝑣𝑥2
𝑐2) − 𝛾 (𝑡1 −
𝑣𝑥1
𝑐2)
Ya que 𝛾 = 1.001 se tiene: 𝑡2′ − 𝑡1
′ = (𝑡2 − 𝑡1) − [(1.001)(𝑣 𝑐2⁄ )(𝑥2 − 𝑥1)]
Como el evento en S’ ocurre simultáneamente, entonces:𝑡2′ − 𝑡1
′ = 0
0 = (𝑡2 − 𝑡1) − [(3𝑚)(4.28 × 10−10 𝑚 𝑠⁄ )/(3.0 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2]
𝑡2 − 𝑡1 = 1.15 × 10−3𝑠
EJERCICIO 3. NOMBRE: JUAN CAMILO TABORDA
a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’.
∆𝑥′ = 𝛾(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡)
𝛾(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡) = 0
(Δ𝑥 − 𝑣Δ𝑡) = 0
(Δ𝑥) = 𝑣Δ𝑡
𝑉 =∆𝑥
∆𝑡
17
𝑉 =𝑋𝑔 − 𝑋𝑛
𝑡𝑔 − 𝑡𝑛
𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑉 =16,0 − 10,0
3,30 ∗ 10−9 − 1,5 ∗ 10−9
𝑉 =6
1,8 ∗ 10−9
𝒗 = 𝟑, 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝒎/𝒔
b) Encuentre el factor de Lorentz.
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
𝛾 =1
√1 −(3,3 ∗ 10−9𝑚/𝑠)^2
(3 ∗ 108𝑚/𝑠)^2
𝛾 =1
√1 −1,089 ∗ 10−17
9 ∗ 1016
𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟔𝟏𝒎/𝒔
18
EJERCICIO 4 (CARLOS FERNANDO PRADA)
Según la tabla de datos para valores de:
𝑥𝑛 = 6.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑛 = 8.4 × 10−9𝑠𝑒𝑔.
𝑥𝑔 = 15.0 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, 𝑡𝑔 = 1.11 × 10−8𝑠𝑒𝑔
a). Rapidez relativa:
∆𝒙′= (∆𝒙 − 𝒗∆𝒕)
∆𝑥′= 9𝑚 − 𝑣(2.7 × 10−9𝑠)
0 = 9𝑚 − 𝑣(2.7 × 10−9𝑠) ↔ 9𝑚 = 𝑣(2.7 × 10−9𝑠)
𝑣 =9𝑚
2.7 × 10−9𝑠
𝑣 = 3.3 × 10−9 𝑚𝑠⁄
b). Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
𝛾 =1
√1 −(3.3 × 10−9)2
(3 × 108)2
𝛾 =1
√1 − 0.012=
1
0.994= 1.006
c). Ubicación de los destellos en el marco S’
Ya que en el marco S se observa una distancia de 3m. entre un evento y el otro, pero en el
marco S’ no hay distancia, se puede clasificar el problema como una contracción de la
longitud, entonces:
19
𝐿 =9𝑚
𝛾= (9𝑚)√1 −
𝑣2
𝑐2
Por lo tanto:
𝐿 = (9𝑚)(0.994) = 8.95𝑚
d) Tiempo del destello naranja en el marco S’
El destello naranja visto por el observador en el marco S fue de: 1. 33 × 10−8𝑠, para
determinar el tiempo en el marco S’ se usa la fórmula:
𝑡2′ − 𝑡1
′ = 𝛾 (𝑡2 −𝑣𝑥2
𝑐2) − 𝛾 (𝑡1 −
𝑣𝑥1
𝑐2)
Ya que 𝛾 = 1.006 se tiene: 𝑡2′ − 𝑡1
′ = (𝑡2 − 𝑡1) − [(1.006)(𝑣 𝑐2⁄ )(𝑥2 − 𝑥1)]
Como el evento en S’ ocurre simultáneamente, entonces:𝑡2′ − 𝑡1
′ = 0
0 = (𝑡2 − 𝑡1) − [(9𝑚)(3.33 × 10−9 𝑚 𝑠⁄ )/(3.0 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2]
𝑡2 − 𝑡1 = 27 × 10−3𝑠
EJERCICIO 5. NOMBRE: SAMUEL QUINTERO CASAS
𝒙𝒏 = 𝟔𝒎
𝒕𝒏 = 𝟔, 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔
𝒙𝒈 = 𝟏𝟏𝒎
20
𝒕𝒈 = 𝟗, 𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟗 𝒔
a) Encuentre la rapidez relativa entre S y S’:
∆𝒙′ = 𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕)
𝜸(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎
(𝚫𝒙 − 𝒗𝚫𝒕) = 𝟎
(𝚫𝒙) = 𝒗𝚫𝒕
𝒗 =𝚫𝒙
𝚫𝒕
𝒗 =𝟏𝟏𝒎 − 𝟔𝒎
𝟗, 𝟕𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟗 − 𝟔. 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟗
𝒗 =𝟓𝒎
𝟑, 𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟗𝒔
𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈
21
Desde el punto de vista matemático esto no es posible porque la fórmula del factor
de lorentz condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la
luz, 𝑣2
𝑐2 debe ser menor que 1 en la expresión: √1 −𝑣2
𝑐2 ya que en caso contrario
resultaría en la raíz de un numero negativo lo cual es matemáticamente imposible
como se ve en el ejemplo a continuación usando el resultado de
𝒗 = 𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔𝒆𝒈
b) Encuentre el factor de Lorentz
𝜸 =𝟏
√𝟏 −𝒗𝟐
𝒄𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝟏, 𝟒𝟐𝒙𝟏𝟎𝟗𝒎/𝒔)𝟐
(𝟐. 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔)𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝟐, 𝟎𝟏𝟔𝟒𝒙𝟏𝟎𝟏𝟖𝒎/𝒔)
(𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔)
22
𝜸 =𝟏
√𝟏 − 𝟐𝟐, 𝟒𝟑𝟒𝒎/𝒔
𝜸 =𝟏
√−𝟐𝟏, 𝟒𝟑𝟒𝒎/𝒔
3.2 Resultados Actividad 2.
Un deuterón se mueve se mueve a una velocidad x calcule a) el factor de Lorentz
b) su energía en reposo, c) su energía total y d) su energía cinética. De las
respuestas de energía en MeV.
EJERCICIO 1. QUE CORRESPONDÍA A YOVANY MORENO 𝒗 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟔𝒄
1
a) Calcule el factor de Lorentz:
𝜸 =𝟏
√𝟏 −𝒗𝟐
𝒄𝟐
23
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝒄)𝟐
(𝒄)𝟐
= 𝟏
√𝟏 −𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟓𝒄𝟐
𝒄𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟗𝟗𝟖𝟓=
𝟏
𝟎. 𝟗𝟒𝟖𝟖=
𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟒
su energía en reposo:
𝑬𝑹 = 𝒎𝒄𝟐
𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ (𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖)𝟐𝒎/𝒔
𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ 𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔
𝑬𝑹 = 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟏𝟖𝟕𝟑𝑴𝒆𝑽
Energía total=energía cinetica+energía en reposo
24
𝑬 = 𝑲 + 𝒎𝒄𝟐 = 𝜸𝒎𝒄𝟐
𝑬 = 𝟏, 𝟎𝟓𝟒 ∗ 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
𝑬 = 𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟐𝟓𝟑𝑴𝒆𝑽
d) energía cinética
𝑲 = 𝜸𝒎𝒄𝟐 − 𝒎𝒄𝟐
𝑲 = 𝟑, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 − 𝟑, 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
𝑲 = 𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑱
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =𝟏, 𝟏𝟔𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟏𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟐𝟓𝟑𝑴𝒆𝑽
25
EJERCIO 2 (SERGIO ALEXANDER GIL)
Según la tabla de datos para el valor de:
𝑣 = 0.428 𝑐
a. Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
=1
√1 −(0.428𝑐)2
𝑐2
=1
√1 − 0.1832
𝛾 = 1.11
b. Energía en reposo 𝑬𝑹
Peso del deuterón: 3.343 × 10−27𝑘𝑔
𝐸𝑅 = 𝑚𝑑𝑐2 = (3.343 × 10−27𝑘𝑔)(2.998 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2
= 3.005 × 10−10𝐽
1 electrón Volt = 1.602 × 10−19𝐽, entonces:
(3.005 × 10−10) (1𝑒𝑉
1.602 × 10−19𝐽) = 1875 𝑀𝑒𝑉
c. Energía total
𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2
↔ 𝐸 =𝑚𝑐2
√1 −𝑣2
𝑐2
= 𝛾𝑚𝑐2
26
Ya que 𝛾 = 1.11 y 𝑚𝑐2 = 1875𝑀𝑒𝑉, entonces:
𝐸 = (1.11)(1875𝑀𝑒𝑉) = 2081𝑀𝑒𝑉
d. Energía cinética
Como 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜, se tiene:
𝐸 = 𝐾´ + 𝑚𝑐2
↔ 𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐2
↔ 𝐾 = 2081 − 1875 = 206𝑀𝑒𝑉
EJERCICIO 3. NOMBRE: JUAN CAMILO TABORDA
Un deuterón se mueve a una velocidad x calcule
a) factor de Lorentz Masa del deuterón = 3.34358309*10-27 Kg
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
𝛾 =1
√1 −(0,144𝑐)2
𝑐2
27
𝛾 =1
√1 −0,1442. 𝑐2
𝑐2
𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟏
b) energía en reposo.
𝐸𝑅 = 𝑚𝑐2
𝐸𝑅 = 3,34358309 ∗ 10−27𝐾𝑔 . 3 ∗ 108𝑚/𝑠
𝐸𝑅 = 3,009 ∗ 10−10𝐾𝑔𝑚2
𝑠2
𝐸𝑅 = 3,009 ∗ 10−10𝐽.1 𝑀𝑒𝑣
1,602 ∗ 10−13𝐽
𝑬𝑹 = 𝟏𝟖𝟕𝟖, 𝟐𝟕𝟕𝟏𝟓𝟒 𝑴𝒆𝒗
c) energía total
𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2
𝐸 = 18.7827𝑀𝑒𝑣 + 1878,27𝑀𝑒𝑣
𝑬 = 𝟏𝟖𝟗𝟕. 𝟎𝟓𝟐𝟕𝑴𝒆𝒗
d) energía cinética
𝐾 = (𝛾 − 1)𝑚𝑐2
𝑘 = (1,01 − 1). (1878,27 𝑀𝑒𝑣)
28
𝑘 = (0,01)(1878,27𝑀𝑒𝑣)
𝒌 = 𝟏𝟖. 𝟕𝟖𝟐𝟕 𝑴𝒆𝒗
EJERCICIO 4. (CARLOS FERNANDO PRADA)
Según la tabla de datos para valores de:
𝑣 = 0.706 𝑐
a. Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
=1
√1 −(0.706𝑐)2
𝑐2
=1
√1 − 0.499
𝛾 = 1.41
a. Energía en reposo 𝑬𝑹
Peso del deuterón: 3.343 × 10−27𝑘𝑔
𝐸𝑅 = 𝑚𝑑𝑐2 = (3.343 × 10−27𝑘𝑔)(2.998 × 108 𝑚 𝑠⁄ )2
= 3.005 × 10−10𝐽
1 electrón Volt = 1.602 × 10−19𝐽, entonces:
(3.005 × 10−10) (1𝑒𝑉
1.602 × 10−19𝐽) = 1875 𝑀𝑒𝑉
29
b. Energía total
𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐2
↔ 𝐸 =𝑚𝑐2
√1 −𝑣2
𝑐2
= 𝛾𝑚𝑐2
Ya que 𝛾 = 1.41 y 𝑚𝑐2 = 1875𝑀𝑒𝑉, entonces:
𝐸 = (1.41)(1875𝑀𝑒𝑉) = 2644𝑀𝑒𝑉
c. Energía cinética
Como 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜, se tiene:
𝐸 = 𝐾´ + 𝑚𝑐2
↔ 𝐾 = 𝐸 − 𝑚𝑐2
↔ 𝐾 = 2644 − 1875 = 769𝑀𝑒𝑉
Ejercicio 5. Nombre: SAMUEL QUINTERO CASAS
𝒗 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝒄
b) Calcule el factor de Lorentz:
𝜸 =𝟏
√𝟏 −𝒗𝟐
𝒄𝟐
30
𝜸 =𝟏
√𝟏 −(𝟎. 𝟏𝟑𝟎𝒄)𝟐
(𝒄)𝟐
= 𝟏
√𝟏 −𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟗
𝒄𝟐
𝜸 =𝟏
√𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟗=
𝟏
𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟓=
𝜸 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟓𝟕
Su energía en reposo:
𝑬𝑹 = 𝒎𝒄𝟐
𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ (𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖)𝟐𝒎/𝒔
𝑬𝑹 = 𝟑, 𝟑𝟒𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 ∗ 𝟖. 𝟗𝟖𝟖𝒙𝟏𝟎𝟏𝟔𝒎/𝒔
𝑬𝑹 = 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
31
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟏𝟖𝟕𝟑𝑴𝒆𝑽
Energía total=energía cinetica+energía en reposo
𝑬 = 𝑲 + 𝒎𝒄𝟐 = 𝜸𝒎𝒄𝟐
𝑬 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟖𝟓𝟕 ∗ 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
𝑬 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= 𝟕𝟔𝟕𝟖𝑴𝒆𝑽
e) energía cinética
32
𝑲 = 𝜸𝒎𝒄𝟐 − 𝒎𝒄𝟐
𝑲 = 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 − 𝟑, 𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
𝑲 = −𝟏, 𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱
Se convierte de J a eV:
𝑬𝑹 =−𝟏, 𝟕𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟎𝑱 ∗ 𝟏𝒆𝑽
𝟏. 𝟔𝟎𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟗𝑱= −𝟏𝟏𝟎𝟒𝑴𝒆𝑽
33
3.3 Resultados Actividad 3.
Un muón formado a grandes alturas de la atmósfera de la Tierra se desplaza con
una rapidez v una distancia x antes de desintegrarse en un electrón, un neutrino y
un antineutrino. a) ¿Cuánto dura el muón, observado en su marco de referencia?
De la respuesta en microsegundos. b) calcule el factor del Lorentz.
EJERCICIO 1. NOMBRE: QUE CORRESPONDÍA A YOVANY MORENO
𝒗 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟎
𝒙 = 𝟔, 𝟔𝟑𝑲𝒎
Calculamos Δ𝑡𝑝 el cual es la duración del muon en su propio marco de referencia:
𝚫𝒕𝒑 =𝟐𝒅
𝒄=
𝟏𝟑𝟐𝟔𝟎𝒎
𝟎, 𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔
𝚫𝒕𝒑 = 𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝚫𝒕𝒑 = 𝟏𝟓𝟖𝝁𝒔
Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de referencia, al mismo
tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula lo requiere:
𝚫𝒕 = 𝜸𝚫𝒕𝒑
𝚫𝒕 = 𝟏
√𝟏−𝒗𝟐
𝒄𝟐
∗ 𝚫𝒕𝒑
34
𝚫𝒕 =𝟏
√𝟏 −𝟎, 𝟐𝟖𝟎𝑪𝟐
𝒄𝟐
∗ 𝚫𝒕𝒑
𝚫𝒕 =𝟏
√𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟖𝟎 ∗ 𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟖𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝚫𝒕 = 𝟏𝟗𝝁𝒔
𝜸 =∆𝒕
∆𝒕𝒑=
𝟏, 𝟖𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝟏, 𝟓𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝛄 = 1,172
EJERCICIO 2. SERGIO ALEXANDER GIL)
Según la tabla de datos para valores de:
𝑣 = 0.115 𝑐
𝑥 = 9.91 𝑘𝑚
a. El tiempo de existencia de un muón es de ≈ 2.2𝜇𝑠, si se desplaza con una rapidez
cercana a la rapidez de la luz, se tiene:
35
(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(2.2 × 10−6𝑠) = 6.6 × 102𝑚.
Que es la distancia que recorre antes de desintegrarse.
Para el recorrido que hace según la tabla de datos:
(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(∆𝑡) = 9910𝑚.
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: ∆𝑡=9910𝑚
3 × 108 𝑚 𝑠⁄
= 3.3 × 10−5𝑠 = 33𝜇𝑠
∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑢ó𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑎 33𝜇𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒.
b. Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
=1
√1 −(0.115)2
𝑐2
= 1.007
EJERCICIO 3. NOMBRE: JUAN CAMILO TABORDA
36
a) ¿Cuánto dura el muón, observado en su marco de referencia? De la respuesta en microsegundos.
Calculamos Δ𝑡𝑝 el cual es la duración del muon en su propio marco de referencia:
Δ𝑡𝑝 =2𝑑
𝑐=
5,02𝑚
0,445 ∗ 3 ∗ 108𝑚/𝑠
Δ𝑡𝑝 = 3,76 ∗ 10−8𝑠
𝚫𝒕𝒑 = 𝟑𝟕𝟔𝝁𝒔
b) Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de
referencia, al mismo tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula
lo requiere:
Δ𝑡 = 𝛾Δ𝑡𝑝
Δ𝑡 = 1
√1−𝑣2
𝑐2
∗ Δ𝑡𝑝
Δ𝑡 =1
√1−0.4452.𝑐2
𝑐2
∗ 3,76 ∗ 10−8s
37
1
√1 − 0,198025 ∗ 3,76 ∗ 10−8𝑠
Δ𝑡 = 4,1986 ∗ 10−8𝑠
𝚫𝒕 = 𝟒𝟏𝟗𝝁𝒔
𝛾 =∆𝑡
∆𝑡𝑝=
4,1986 ∗ 10−8𝑠
3,76 ∗ 10−8𝑠
𝛄 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟔
EJERCICIO 4. (CARLOS FERNANDO PRADA)
Según la tabla de datos para valores de:
𝑣 = 0.316 𝑐
𝑥 = 9.11 𝑘𝑚
a. El tiempo de existencia de un muón es de ≈ 2.2𝜇𝑠, si se desplaza con una rapidez
cercana a la rapidez de la luz, se tiene:
(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(2.2 × 10−6𝑠) = 6.6 × 102𝑚.
Que es la distancia que recorre antes de desintegrarse.
Para el recorrido que hace según la tabla de datos:
(3 × 108 𝑚 𝑠⁄ )(∆𝑡) = 9910𝑚.
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: ∆𝑡=9110𝑚
3 × 108 𝑚 𝑠⁄
38
= 3.0 × 10−5𝑠 = 30𝜇𝑠
∴ 𝐸𝑙 𝑚𝑢ó𝑛 𝑑𝑢𝑟𝑎 30𝜇𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒.
b. Factor de Lorentz
𝛾 =1
√1 −𝑣2
𝑐2
=1
√1 −(0.316)2
𝑐2
= 1.05
EJERCICIO 5. NOMBRE: SAMUEL QUINTERO CASAS
𝒗 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟖𝒄
𝒙 = 𝟓, 𝟗𝟖𝑲𝒎
Calculamos Δ𝑡𝑝 el cual es la duración del muon en su propio marco de referencia:
𝚫𝒕𝒑 =𝟐𝒅
𝒄=
𝟏𝟏𝟗𝟔𝟎𝒎
𝟎, 𝟖𝟑𝟖 ∗ 𝟐, 𝟗𝟗𝟖𝒙𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔
39
𝚫𝒕𝒑 = 𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔
𝚫𝒕𝒑 = 𝟒𝟑𝟔𝝁𝒔
Calculamos el tiempo de desplazamiento del muon según nuestro marco de
referencia, al mismo tiempo se calcula el factor de lorentz ya que la formula lo
requiere:
𝚫𝒕 = 𝜸𝚫𝒕𝒑
𝚫𝒕 = 𝟏
√𝟏−𝒗𝟐
𝒄𝟐
∗ 𝚫𝒕𝒑
𝚫𝒕 =𝟏
√𝟏 −𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝑪𝟐
𝒄𝟐
∗ 𝚫𝒕𝒑
𝚫𝒕 =𝟏
√𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟑𝟖 ∗ 𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔
40
𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝚫𝒕 = 𝟏, 𝟎𝟖𝝁𝒔
𝜸 =∆𝒕
∆𝒕𝒑=
𝟏, 𝟎𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟒𝒔
𝟒, 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓𝒔
𝛄 = 𝟐, 𝟒𝟕𝟕
41
4. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
4.1 Actividad 1.
Desde el punto de vista matemático esto no es posible porque la fórmula del factor
de lorentz condiciona que la relación entre la velocidad medida y la velocidad de la
luz, 𝑣2
𝑐2 debe ser menor que 1 en la expresión: √1 −𝑣2
𝑐2 .
Se observa que ambos destellos se presentan en el mismo lugar en S’
4.2 Actividad 2
4.3 Actividad 3
42
5. CONCLUSIONES
Se hace referencia a lo desarrollado en el trabajo, a los ejercicios planteados en
guía de actividades fase 1.
Einstein, con su teoría de la relatividad dio vuelta a todo el universo científico de
su tiempo, retando a conocimientos que se creían intocables desde los tiempos de
newton.
La teoría de la relatividad sentó las bases del estudio de los orígenes y forma del
Universo, además nos permite interpretar la realidad de la que se compone, así
como su comportamiento.
43
6. BIBLIOGRAFÍA
tomado de. tema unidad uno libro guía. Marzo de 2015
tomado de. Ecuaciones de transformación de Lorentz Marzo de 2015
Tomado de módulo física moderna UNAD, entorno de conocimiento,
material de Web conferencias, marzo de 2015 de:
http://campus13.unad.edu.co/campus13_20151/file.php/87/act_2015-
1/Fisica_moderna_web1.pdf
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