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Medida
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Vamos a introducir la notacion de los probabilistas...X
f(x)(dx) en vez de
X
f(x)d(x)
1. Sea X una variable aleatoria real, definida sobre un espacio de proba-bilidad (,F ,P) y sea F su funcion de acumulacion. i.e.
F(x) = P ({X x}).
Diga por que F es creciente.
Que tipo de discontinuidades puede tener la funcion F?
Siendo F(x) = limyx F(y), que representa F(x) F(x).Muestre que F tiene a lo mucho un numero numerable de discon-tinuidades.
Diga por que F es continua a la derecha.
Suponiendo que F es continua, calcule la distribucion de probabilidadde la variable aleatoria F X.
2. Consideremos el espacio de medida (R2,B2, 2), siendo 2 la medida deLebesgue del plano (medida de area).
Definicion
Sea una medida sobre (R2,B2), el soporte de , denotado suppes el mas pequeno cerrado tal que su complementario tiene medidanula. i.e.
(a) (R2 \ supp) = 0(b) A R2, cerrado, tenemos
(R2 \ A
)= 0 A supp
Desde luego, esta definicion tiene sentido para cualquier espaciode medida (X,F, ), en donde X es ademas un espacio topoogico.
Explique por que supp existe.
3. Sea la medida 2, multiplicada por la densidad 2A, siendo
A ={
(x, y) R2; 0 x < y 1}.
i.e.
B B, (B) =B
2A (x, y)2 (dx, dy) .
1
Recordemos que A representa la funcion caracterstica de A. Es decir,
A (x, y) =
1, si (x, y) A (o sea 0 x < y 1)
0, si (x, y) / A.
Encuentre el soporte de .
Muestre que es una medida de probabilidad.
Encuentre la distribucion de probabilidad de cada una de las proyec-ciones sobre los ejes coordenados. Trace los graficos de las funciones deacumulacion respectivas.
Encuentre la esperanza y la varianza de las variables aleatorias sigu-ientes: x+ y, x y, xy, x/y, y/x, cuando estas existen.
4. Responda a todas las preguntas del ejercicio anterior, en el caso de lasdensidades:
3A, siendo A = {(x, y) R2; 0 y < x2 1} .
2x A, siendo A = [0, 1]2.
3x A, siendo A = {(x, y) R2; 0 y < x 1} .
5. Consideremos ahora el espacio de probabilidad ([0, 1] ,B, 1), siendo 1la medida de Lebesgue en dimension 1 (medida de longitud, restringidaal conjunto [0, 1]).
Encontrar la distribucion de la variable aleatoria
x [0, 1] ln(
1
x
)Dar un ejemplo de variable aleatoria definida sobre el espacio de proba-bilidad ([0, 1] ,B, 1), tomando sus valores en R, que tenga distribucionde Cauchy.
Ayuda
Usar la respuesta a la ultima pregunta del numeral 1, que es F Xtiene distribucion uniforme sobre el intervalo [0, 1].
2
Como en este caso
F X : ([0, 1] ,B1, 1) ([0, 1] ,B, 1) ,
entoncesF X(x) = x.
Conocemos F, buscamos X...
6. Sea X una variable aleatoria con distribucion dada por
A B1, P (X A) =1
sin2(x) dx.
Puede X tomar valores negativos? Cuales son los valores que puedetomar X?
Encontrar la funcion de acumulacion de X.
Sea Y otra variable aleatoria sobre el mismo espacio, con distribuciondada por
A B1, P (X A) =1
cos2(x) dx.
Diga si X y Y son independientes. Si la pregunta no tiene sentido,explique porque.
7. Escriba todas las algebras del conjunto {,,,}. Identifiquetodos los pares de algebras que son independientes con respecto ala medida uniforme sobre P ({,,,}).
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