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Tesis de grado, maestria en pedagogia de las tic
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UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
Presentado por:
ALEXI MANUEL MONTERO SANTIAGO
Directores:
INÉRIDE ÁLVAREZ SUESCÚN
FAUSTO PEÑA RODRÍGUEZ
EL PENSAMIENTO NUMÉRICO APARTIR DEL APRENDIZAJE
COLABORATIVO, MEDIADO CON RECURSOS EDUCATIVOS ABIERTOS
UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA
MAESTRIA EN PEDAGOGÍA DE LAS TIC
PROYECTO DE PROFUNDIZACION
RIOHACHA - LA GUAJIRA- COLOMBIA
2015
V
Dedicatoria
A Dios porque le debo todo.
Haber nacido de dos seres maravillosos quienes me han respaldado incondicionalmente,
y me han enseñado el temor de Dios, para triunfar en la vida.
A mis hijos yussy, Santiago y “Manuel Santiago” porque son mi alegría y motor de mi
vida.
A mis hermanos y amigos porque he tenido el privilegio de compartir con ellos gratos
momentos.
A Loraine, que con paciencia y amor ha esperado en mis largos días de ausencia.
VI
Agradecimientos.
A mis padres, por su invaluable apoyo y confianza que depositaron en mí.
A la Universidad de la Guajira por brindarme la oportunidad de participar en este
magnífico proyecto.
A la doctora Inéride Álvarez Suescún por su apoyo en cada una de las etapas del proyecto
para que este fuera un éxito.
Al profesor Oscar Castañeda Toledo por sus sugerencias significativas en cada uno de sus
seminarios.
A mi compañera y amiga Yelenis López por su colaboración en los momentos difíciles.
… y a todos los docentes y directivos de la Maestría, por sus invaluables enseñanzas y por
acompañarnos y apoyarnos en el transcurso de esta nueva experiencia significativa.
VII
Tabla de Contenido
1. Identificación del tema y del contexto ................................................................................ 1
1.1 Descripción del tema ........................................................................................................ 1
1.2 Caracterización del contexto de la Innovación ................................................................ 8
1.3 Fundamentación del tema. .............................................................................................. 13
1.3.1 pensamiento Numérico y sistema numérico. .............................................................. 13
1.3.2. Dificultad en el aprendizaje de los Racionales. ......................................................... 16
1.3.3 Trabajo colaborativo .................................................................................................... 19
1.3.4 Recursos educativos Abiertos (REA) .......................................................................... 22
2. Diseño de la innovación ................................................................................................ 24
2.1 Metodología .................................................................................................................... 24
2.1.1 Descripción de la innovación ...................................................................................... 24
2.1.2 Estrategia pedagógica .................................................................................................. 27
2.1.3 Orientación Tecnológica. ............................................................................................ 30
2.2 Plan de acción ................................................................................................................. 32
2.2.1. Objetivo General........................................................................................................ 33
2.2.2. Objetivos específicos .................................................................................................. 33
2.2.3 Actividades de aprendizaje. ......................................................................................... 34
2.2.3 Evaluación de los Objetivos. ....................................................................................... 43
2.2.3.1 Análisis ..................................................................................................................... 44
2.2.3.2 Análisis de Resultados .............................................................................................. 45
3.0. Conclusiones. ................................................................................................................. 51
4.0. Recomendaciones. ......................................................................................................... 54
5.0 Reflexiones sobre las estrategias pedagógicas implementadas, una aproximación a la
sistematización. .................................................................................................................... 55
5.1 Objetivo .......................................................................................................................... 55
5.2 Objeto de reflexión. ....................................................................................................... 58
5.3 Eje de reflexión. ............................................................................................................ 58
VIII
5.4 Plan de la implementación ............................................................................................ 59
5.5 Reconstrucción Histórica. ............................................................................................. 60
5.5.1Relato. ........................................................................................................................... 62
5.6 Análisis e interpretación. .............................................................................................. 80
5.7 Conclusiones. ................................................................................................................ 84
5.8 Recomendaciones. ......................................................................................................... 86
Bibliografía ........................................................................................................................... 87
1
1. Identificación del tema y del contexto
1.1 Descripción del tema
El Instituto Colombiano para la evaluación de la educación (ICFES), adscripto al
Ministerio de Educación Nacional ha venido desarrollando unas pruebas censales a
partir de 1991 a nivel nacional a los grados quinto y noveno en las áreas de matemáticas,
lenguaje, ciencias y competencias en ciudadanía para obtener información confiable
acerca de los procesos de enseñanza -aprendizaje en la terminación de los ciclos de la
básica primaria y secundaria de los establecimientos educativos, con el fin de tomar
decisiones acertadas en la política educativa de Nuestro País.
A nivel Institucional contar con este tipo de información de las pruebas saber en
los grados tercero, quinto y noveno se convierte en la línea base de la autoevaluación del
proceso enseñanza aprendizaje ya que estas pruebas muestran el nivel de competencia,
debilidades y fortaleza del grupo evaluado en cada área, permitiendo la construcción de un
plan de mejoramiento académico para fortalecer cada una de estas áreas, y poder dar
respuesta a interrogantes como. ¿Cuál es la debilidad de la institución de acuerdo a las
pruebas? ¿En qué se falla? ¿Cómo mejorar? ¿Qué se debe mejorar? ¿Cuál es la meta
propuesta?
Resultados pruebas saber 2009-2012
En la Institución estos resultados muestran una gran debilidad en el área de
matemáticas donde prácticamente más de la mitad de los estudiantes presentan serias
2
dificultades en las dos últimas pruebas aplicadas, tal como lo muestra la gráfica, en ella se
puede observar que a pesar de existir una leve mejoría en los rangos de nivel insuficiente
y mínimo, desaparece para el año 2012 el porcentaje en el nivel satisfactorio. El ICFES
en sus orientaciones para las lecturas e interpretaciones de los resultados expresa que estar
en el nivel insuficiente significa no superar las preguntas de menor complejidad de las
pruebas, lo que pone de manifiesto la situación crítica de esta área en la institución, en el
2012, el 100% del estudiantado del grado noveno se encuentra ubicado en los rangos más
bajos, insuficiente y mínimo.
Muchas son las variables a tener en cuenta en dicho informe, uno de ellos es el tipo
de evaluación, ya que muchos de los estudiantes apenas se están familiarizando con éste
tipo de prueba de selección sobre todo en el grado tercero y quinto, debido a que es poco
propuesto por los docentes en el aula de clases, otro factor es el de evaluar contenidos que
no han sido vistos por los estudiantes en clases, dichos factores inciden en los resultados de
este tipo de prueba, sin embargo, el de mayor peso se encuentra en la comprensión
conceptual y algorítmica de los procesos numéricos a la hora de resolver los problemas.
Todo lo anterior se refleja en las evaluaciones internas desarrolladas en la
institución, donde el gráfico anterior se sigue comportando de igual manera e incluso
podría aumentar el porcentaje en el rango de insuficiente, debido a que los estudiantes
deben justificar matemáticamente sus resultados en la mayoría de las evaluaciones
internas y solo pocos logran formalizar matemáticamente sus respuestas, llegando a la
misma conclusión que define el ICFES en el documento sobre las orientaciones para la
lectura e interpretaciones de los resultados de las pruebas saber. Los estudiantes que se
ubican en el nivel de insuficiente “no superan las preguntas de menor complejidad de la
prueba” (ICFES, 2010, p.9).
¿Pero cuáles son esas preguntas de menor complejidad?, ¿Que requiere el
estudiante para poder resolverlas adecuadamente? Analizando las 54 preguntas de
matemáticas propuestas para las pruebas saber 2012 en el grado 9 podríamos hablar de
algunas de ellas, por ejemplo la número 56 y 57 que corresponden a la segunda y tercera
pregunta del cuadernillo, veamos.
3
Observa la secuencia:
Fila 1. 1+3=4
Fila 2. 1+3+5=9
.
.
Fila 5. 1+3+5+7+9+11=
56. ¿Cuál es el resultado de la suma de los términos de la fila 5? Las posibles
respuestas están dadas como potencias así: aunque el
problema es netamente aritmético sin contexto el estudiante no logra asociar su respuesta
(36) con la posible solución .
57-¿Cuál es el mayor sumando de la fila 4? Las posibles respuestas son: a) 4, b)7,
c) 9, d) 11. Aquí podríamos hablar de dos aspectos que se deben tener en cuenta, el
primero tiene que ver con el significado (lenguaje matemático) de “el mayor sumando” y
el segundo aspecto es la construcción mental o escrita que debe hacer el estudiante de la
fila 4, la cual no aparece en la secuencia.
Estos problemas involucran claramente los tres aspectos básicos y fundamentales
para el desarrollo del pensamiento numérico de los estudiantes, (1) la comprensión de los
números, (2) comprensión del concepto y (3) el cálculo, aplicaciones y operaciones
(Lineamientos curriculares, 1998, p.45). Este es el punto neurálgico que debe ser atendido
para propiciar una comprensión conceptual y algorítmica de las operaciones de los
sistemas numéricos en la aritmética y el álgebra buscando que el estudiante desarrolle
gradualmente su pensamiento numérico a través de problemas contextualizados que den
origen y conduzcan al reconocimiento y a la integración de estos tres aspectos en los
sistemas numéricos.
Pero si bien estos dos problemas de menor complejidad se desarrollan en el campo
de los enteros, la situación se agudiza cuando se plantean estos tipos de problemas en el
sistema numérico de los racionales, debido a que dicho contenido solo es estructurado
desde la operatividad algorítmica sin ningún significado lo que ocasiona errores y
olvido en los aprendices, “estos errores se fundamentan en la memorización de algoritmos
4
o rutinas sin fundamentos teóricos, y en apelar a reglas poco trascendentes como requisito,
indispensable para la ejecución de cálculos aritméticos”, (Abrate, Pochulu, & Vargas,
2006,p.111.), de modo que es necesario poner en juegos estrategias integradoras que
permitan desarrollar el pensamiento numérico y el razonamiento matemático de los
estudiantes articulando elementos teóricos y prácticos que conduzcan a la comprensión
verdadera de los sistema numéricos y sus operaciones para integrarlos al contexto social.
La enseñanza de las matemáticas no debe limitarse solo a la destreza algorítmica,
sino de lograr entender y comprender la utilidad de ellos en la resolución de problemas de
la vida diaria, es por eso que se debe proponer diversas situaciones que relacionen las
operaciones básicas de los sistemas numéricos con el fin de que el estudiante reconozca
todas estas transformaciones. La adición y la sustracción deben proponerse desde varios
enfoques que se puedan asociar a ellas, agregar o quitar no son los únicos argumentos que
se derivan de dichas operaciones, en el problema 56 su resultado fue transformado y
asociado a la potenciación, debilidad que muestran nuestros aprendices en la comprensión
de las propiedades matemáticas de las operaciones que son trasmitidas como simples
reglas y que su uso es reducido pero que resulta siendo evaluado constantemente.
Con respecto a la multiplicación y a la división el problema es más complejo ya
que muchas veces estas dos palabras no hacen parte claramente del contexto del
problema ocasionando que el estudiante no reconozca la operación a utilizar, pero al
igual que la adicción y la sustracción proponer diversas situaciones contribuirá al
reconocimiento y asociación gradual de estas operaciones en diferentes tipos de
problemas. Es importante para este caso poner al descubierto las relaciones inversas
existentes entre las operaciones, ya que esto proporcionará otros puntos de vista para
pensar en los problemas. Por ejemplo “de mi media gaseosa te regalaré la mitad”
Aunque el problema no involucra claramente la palabra división ni mucho menos
suma repetida en el caso de la multiplicación, se podría pensar inicialmente en la acción de
dividir como primer juicio valorativo del problema ,
, pero también existe la
posibilidad de entender el problema como una multiplicación (relación inversa de
operaciones) así:
es imprescindible entonces abrir un abanico de situaciones para
5
forjar una comprensión conceptual, sistemática, lógica y bien fundada de los procesos
matemáticos en la resolución de problemas y que además nos permita minimizar el
impacto de la aritmética al algebra.
El paso de la aritmética al álgebra se ve afectado por muchos factores,
uno de ellos es la poca comprensión que tienen la mayoría de los estudiantes sobre la
parte conceptual y algorítmica de los sistemas numéricos y en especial del sistema
numérico de los números racionales (Q) como se mencionó anteriormente, es decir, la
aritmética misma, otro factor es el manejo del lenguaje algebraico que se utiliza para
representar situaciones reales simbólicamente a través de letras y números denominada
expresiones algebraicas, donde el estudiante no le encuentra sentido a expresiones como:
agudizando más el problema .
Aunque las instituciones Educativas cuentan con cierta autonomía curricular en
los contenidos desarrollados en cada grado, en el grado octavo se inicia con un breve
repaso de los conjuntos numéricos vistos hasta ese momento (Naturales, Enteros,
Racionales), encontrándose serias dificultades no sólo en el sistema de los números
racionales sino en la conexión de los sistemas numéricos entre sí; además, se observa el
poco entendimiento conceptual más que algorítmico de las operaciones, donde un alto
porcentaje de los estudiantes no logran una eficiente conexión en forma clara de estos
sistemas numéricos, los estudiantes terminan arrastrando todas estas debilidades a los
grados siguientes donde es imposible a veces apoyar los nuevos conocimientos que implica
un nuevo grado.
Para comenzar el camino hacia el álgebra se necesita inicialmente conocer de una
manera clara la conceptualización y el significado de la operatividad de cada uno de los
sistema numéricos, es difícil que un estudiante desarrolle la siguiente expresión
cuando ese mismo estudiante muestra dificultad en la suma de los coeficientes de esa
estructura algebraica
, o desconozca significativamente lo que se quiere sumar ( las
dos terceras partes de un número más la mitad del mismo número), lo que limita la
conexión conceptual de los sistemas numéricos. Se debe entonces tener en cuenta que el
6
desarrollo algorítmico, procedimental de carácter algebraico que se hace con los números
racionales sin sentido en sus operaciones básicas, suma, resta, multiplicación y división
no ayuda a comprender lo que se pretende hacer convirtiendo al algebra en algo que no
tiene sentido, solo reglas operativas difícil de descifrar.
Por eso, no contar con bases sólidas en estos sistemas numéricos imposibilita
no solo el paso de la aritmética al algebra, sino la comprensión de la aritmética misma con
fundamentos claros para muchos estudiantes, por lo que se necesita del entendimiento no
solo algorítmico sino conceptual de los conjuntos numéricos, denominado por los
lineamientos curriculares de 1998 como pensamiento numérico y sistema numérico1. Todo
esto implica un fracaso seguro de los estudiantes en los grados siguientes y en las pruebas
propuestas por ICFES, sino se corrigen de manera oportuna.
Para lograr construir este puente entre aritmética y el álgebra en el grado octavo se
necesita que el estudiante desarrolle unas buenas bases del pensamiento numérico y esto
se puede lograr a través de situaciones problemáticas en contextos donde el estudiante
tenga la capacidad de aplicar y entender matemática para la vida. Encontrando la respuesta
a una pregunta que muy frecuente ellos hacen ¿para qué me sirve esto profe? Donde el
estudiante valore lo aprendido, no solo en una hoja de papel, sino que pueda aplicar lo
aprendido en una situación real fuera de aula del salón de clases el cual debe ser el objetivo
de la matemática escolar.
Un buen contexto puede actuar como mediador entre el problema concreto y las
matemáticas abstractas. En el proceso de resolución, el problema se transformará en un
modelo que puede evolucionar desde un modelo de la situación a un modelo para todos
los problemas que se le asemejan desde el punto de vista matemático (Lineamientos
curriculares, 1998, p.42)
Llinares & Sanchez (1988) también afirman que un buen trabajo con los
sistemas numéricos contribuye a que estas expresiones algebraicas no carezcan de sentido,
por lo tanto antes de iniciar el camino hacia el álgebra existe la necesidad de comprender
1 Uno de los cincos pensamiento definidos por los lineamiento curriculares 1998
7
la operatividad de estos sistemas numéricos con miras a lograr un buen desempeño de los
aprendices en el álgebra. Es por eso que lo que proponen estos autores tiene que ver
mucho con la aplicabilidad de la matemática en contextos ricos y retadores para los
estudiantes, donde estas situaciones problémicas inviten y despierten la creatividad a querer
resolver las situaciones planteadas no sólo desde lo operativo sino desde el entendimiento
conceptual, donde se logre una firme conexión entre los sistemas numéricos, con el fin de
poder utilizarlo como eje central de la comunicación matemática.
La matemática es una ciencia progresiva y necesita de bases elementales para
poder crear bases más robustas como es el caso del paso de la aritmética al algebra. Pasar
de un sistema numérico a otro permite desarrollar gradualmente el pensamiento numérico
pero se debe propiciar no solo ejercicios que inviten al reforzamiento de los algoritmos
aprendidos sino, problemas que ayuden a la comprensión del número y a la comprensión
del concepto de las operaciones. Por eso entender el significado de las operaciones de los
sistemas numéricos será el camino que asegure de cierto modo un paso menos complejo
de la aritmética al algebra.
Poder comprender que
porque se aplicó el algoritmo de la división y se
simplifico, pero además porque
cabe solo dos veces en
y se puede tener una
representación clara de lo hecho matemáticamente, como lo muestra la gráfica, es lo que se
pretende lograr con los estudiantes en este Proyecto de Profundización para facilitar y
potencializar el desarrollo del pensamiento numérico proponiendo situaciones que inviten
a la reflexión matemática, dándole vida a los ejercicios que comúnmente se plantean el
aula de clases.
1/2 1/2
1/4 1/4 1/4 1/4
Una vez Dos veces
8
1.2 Caracterización del contexto de la Innovación
El proyecto se desarrollará en La Institución Educativa Técnica Agrícola Ismael
Rodríguez Fuentes, ubicada al sur del Departamento de la Guajira, Municipio de El Molino,
es una Institución Pública que cuenta con dos sedes donde ofrece sus servicios educativos
en los niveles de Preescolar, Básica Primaria, Básica Secundaria y Media Técnica, el
proyecto se abordará en el grado octavo de la Institución que cuenta con 57 estudiantes
divididos en dos grupos A y B con las siguientes características.
Tabla 1: Número de estudiantes
Grupos Número de estudiantes Director de Grupo Docente de Matemática
del Curso
8°A
30
Hombres:20 Luz Inés Salina
Docente de Ingles
Alexi Montero
Docente de Matemáticas Mujeres 10
8°B
27
Hombres:15 Alexi Montero
Docente de Matemáticas
Alexi Montero
Docente de Matemáticas Mujeres 12
La Institución Educativa Técnica Agrícola Ismael Rodríguez Fuentes del
Municipio de El Molino Guajira en su proyecto educativo institucional (P.E.I) se basa en
un modelo formativo participativo. Este modelo que toma como métodos de enseñanza-
aprendizaje el trabajo en equipo, mesa redonda, pregunta – respuesta, debate – foro,
excursiones o visitas a sitios de interés, prácticas en los talleres, no se ve reflejado en el
área de matemática ya que apunta más a un aprendizaje de transferir información y evaluar
contenidos, basado en la memorización y repetición de lo que se explica, es decir, un
modelo Tradicional. En este modelo, la técnica de operar los sistemas numéricos es la idea
principal de la enseñanza abandonando la comprensión general de los sistemas
numéricos en la resolución de problemas.
Lo anterior conlleva que los estudiantes presenten una serie de dificultades en el
aprendizaje de los sistemas numéricos en su parte conceptual y algorítmica, al respecto,
Fandiño (2009) enumeró ciertos errores típicos que cometen los estudiantes en el
aprendizaje de las Fracciones:
Dificultades en el ordenamiento
9
Dificultades en la realización de las operaciones
Dificultad en el reconocimiento de esquemas
Dificultad en la gestión de la equivalencia
Dificultad en la gestión de la fracción irreducible
Dificultad en la gestión de figuras no estándar
Dificultad al pasar de una fracción a la unidad que la generó
Otras dificultades observadas frecuentemente son las operaciones con números
enteros lo que tiene que ver con la suma y la resta además con la comparación de
elementos de este sistema.
Algunas de estas dificultades fueron observadas en los estudiantes del grado 8A y
8B de la Institución educativa Ismael Rodríguez Fuentes al aplicar un instrumento de
evaluación el 11 de marzo de 2013, el cual fue diseñado con los siguientes ítems.
Tabla 2: Contenido de la evaluación de pre saberes
1-Representa en una gráfica la fracción 2/6
2-Comparar si ambas Fracciones son equivalentes: 2/6 5/15
3-Resolver las siguientes Operaciones a- 5/8+1/8 b- 8/3-3/5
4- La señora Martha horneó 2 tortas iguales, una la partió en 6 y la otra en 15 partes. Su hijos
Juan comió 2 trozo de los grandes y su hija Juana comió 5 trozo de los chicos. La señora Martha
afirma que ambos comieron lo mismo. ¿Es verdad?
5-Juan llevó al colegio 5/8 de una resma de papel carta. En recreo Lucia se dio cuenta que
necesitaba papel para hacer un trabajo y le pidió 1/8 a su hermano de la resma ¿con cuanto papel
quedó Juan?
En los tres primeros ítems enfocados en la parte algorítmica muchos no se
acuerdan de lo que tenían que hacer. Los estudiantes están acostumbrados a resolver
ejercicios y no problemas como es el caso de los dos últimos ítems, donde no saben qué
hacer, según Morales (2010) afirma que “los estudiantes se paralizan ante actividades
textuales ya que no comprenden lo que se le pregunta en el problema” y un alto porcentaje
de las preguntas de las pruebas saber están enfocadas hacia este tipo.
10
En el instrumento de evaluación los estudiantes del grado 8° la pregunta dos y
cinco, apuntan a lo mismo (fracciones equivalentes). Mientras 14 estudiantes acertaron en
la primera pregunta, solo 4 de esos 14 estudiantes respondieron de manera clara la misma
pregunta en contexto apoyándose en un plan para resolverlo.
No superar las preguntas de menor complejidad en las pruebas saber, está
relacionado con lo que pasó en el instrumento aplicado, donde el estudiante no comprende
lo que se está preguntando en el problema, lo que está muy relacionado con la forma como
se proponen los problemas en el aula de clases ya que al no ser significativos el estudiante
solo se apropia del concepto en el momento y luego lo olvida. Frecuentemente en el aula
de clases se proponen ejercicios repetitivos para que el estudiante se apropie solo del
proceso algoritmo y su operatividad, según Constance Kamii, en su libro,
Reinventando la aritmética III de 1996, postula que este énfasis en la enseñanza de los
algoritmos, perjudica, antes que beneficiar, el desarrollo del pensamiento matemático de
los niños, (Como se cita en Obando zapata & vazques lasprilla, 2008), por lo tanto se
necesita que el estudiante no solo conozca los sistemas numéricos y sus algoritmos sino
aspectos que son de vital importancia para el desarrollo del pensamiento numérico como
son: la comprensión de los números y de la numeración, la comprension del concepto de
las operaciones y el cálculo con números y aplicaciones de números y operaciones,
aspectos que son definidos en los lineamientos curriculares del Ministerio de Educación
Nacional (1998).
En contravía de lo anterior, el docente sigue potenciando a través de la clase
magistral la operatividad de los sistemas numéricos, cuando se desarrolla algún tema, se
inicia con un título, inmediatamente una definición y luego un ejemplo, mostrando solo la
operación de los algoritmos, mas no el significado de él. Los estudiantes no le prestan
atención a las definiciones, y menos cuando esas definiciones tienen estructuras
algebraicas y símbolos incompresibles para ellos; obsérvese la definición del conjunto de
los racionales {
( } 2, el profesor supone que los
estudiantes tienen claro esta definición y no la socializa, dejando en el aire un factor
2 Definición del conjunto de los Racionales tomada de Hipertexto 7 Editorial Santillana S.A 2010
11
importante como es la definición conceptual del número racional, del mismo modo pasa
con las operaciones de los números Racionales donde el factor común es la técnica de como
operarlos sin tener en cuenta los conocimientos o ideas previas de los estudiantes.
En la suma de los números racionales con igual denominador se puede expresar
con lenguaje algebraico,(
) o con una definición textual, aunque ambas son
claras el docente sigue insistiendo en el ejemplo y no en la definición, no comprendiendo
que si el estudiante tiene clara esta definición desarrollará cualquier estructura que tenga
una conceptualización igual a la definida. Además es importante que el estudiante
construya su propio conocimiento, ya que le permitirá un aprendizaje más duradero
convirtiéndolo en el eje central del proceso que es lo que se pretende.
Otra situación muy particular dada en nuestro entorno es que al terminarse el tema
de los racionales o fraccionarios, no se proponen actividades que contengan este tipo de
números en los temas y cursos siguientes, propiciando que el estudiante olvide las reglas
aprendidas para operar este tipo de sistema. Al respecto Biggs (2006), afirma que entre
mas actividades se vinculen a múltiples modalidades sensoriales, mejor será el aprendizaje.
No se debe olvidar que los números naturales y los números enteros son números
Racionales y por lo tanto al trabajar con este sistema numeríco se estaría desarrollando
los otros dos sistemas numéricos.
Según Biggs (2006), las clases magistrales solo funcionan para los buenos
estudiantes donde ellos de forma innata utilizan los procesos superiores de aprendizaje,
dejando a un lado a aquellos estudiantes que no encuentran un valor distinto a superar la
asignatura con el mínimo esfuerzo utilizando la técnica sin ningun sentido, esto es
precisamente lo que ocurre en la matematica escolar donde lo que importa es la respuesta
dándole importancia solo a la forma de operar los algoritmos, sin importarle el analisis
conceptual y algoritmica de la respuesta.
Estas clases magistrales giran en funcion del docente y están diseñadas para los
estudiantes que tienen habilidades para esta asignatura, en consecuencia, el docente inicia
su clase con el título del tema en el tablero “Operaciones con expresiones algebraicas” y
advierte que se debe tener un conocimiento “claro” sobre las operaciones de los números
12
naturales, enteros y racionales para el éxito de este tema. Hace un breve recuento de los
sistemas numéricos y sus operaciones para tener un punto de apoyo pero apuntando
siempre a la forma mecánica de operar estos sistemas numéricos, suponiendo que ya
deben tener un conocimiento bastante “claro” de cada uno de ellos y así no perder mucho
tiempo en algo que ya deberían saber. Además les sugiere que algo que les podría ayudar
en esta labor es tener un texto guía de matemáticas para sus respectivas consultas.
No es muy difícil recordar una clase de matemáticas en el colegio, creo que la
diferencia solo consistía en el nombre de la institución o del profesor que impartía la
clase, lo demás era un común denominador. Con el título bien definido y aclarando
conceptos anteriormente vistos, se iniciaba con un dictado donde el docente anotaba en el
tablero palabras o expresiones matemáticas que los estudiantes no comprendían. Cuando se
daba inicio a la parte simbólica a través de ejemplos se le pedía al grupo que respondiera
cual era el resultado de los ejemplos escritos en el tablero, donde solo participaban un
grupo muy reducido y muchas veces en voz baja. Todas estas situaciones relatadas hacen
parte de una matemática vista como producto terminado donde solo el formalismo
impecable y bien elaborado tenían cabida, lo demás no era tenido en cuenta, era
impensado ganar cualquier tipo de evaluación si el resultado no era el ideal.
El docente sólo utiliza el tablero como la única ayuda para trasformar la parte
conceptual a un lenguaje más básico (gráfico), donde recrea situaciones imaginarias y para
darle un poco de profundidad a algo que puede ser muy plano para los estudiantes menos
aventajados y que muy probablemente no logran imaginar esas ideas matemáticas
trasmitidas por el docente.
En los talleres que sirven para el reforzamiento del tema se hacen de manera
grupal. Dentro del salón de clases la mayoría de la veces son los estudiantes quienes
escogen a sus compañeros buscando que se encuentren a gusto en sus grupos de trabajo,
pero esto propicia que algunos grupos se encuentren en desventajas ya que no se consigue
la heterogeneidad académica en los grupos, sacrificando los objetivos planteados por esta
actividad como son la construcción del aprendizaje entre pares y el mismo desarrollo de
las actividades.
13
Las evaluaciones fueron diseñadas siguiendo la estructura tipo ICFES donde el
estudiante escoge la respuesta, pero se debe justificar matemáticamente porque la tomó,
estas evaluaciones fueron planeadas sin contexto, solo problemas sin ningún
enunciado(ejercicios), muchas veces se trató de evadir problemas que tuvieran
fracciones debido a las dificultades observadas en los estudiantes con respecto a este
sistema numérico, estas evaluaciones siempre son individuales.
En la entrega de informe de cada periodo el docente hablo con los padres de familia,
dándoles una serie de recomendaciones para que el estudiante pueda mejorar
académicamente en el siguiente periodo. Como por ejemplo que busque una persona que le
refuerce los temas de operaciones con números enteros y fraccionarios, que tenga un
texto guía para sus consultas, que estén muy atentos a las actividades que tiene que
desarrollar en casa.
1.3 Fundamentación del tema.
1.3.1 pensamiento Numérico y sistema numérico.
Una idea clara del pensamiento numérico la expone Mcintosh (1992) “El
pensamiento numérico se refiere a la comprensión general que tiene una persona sobre los
números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta compresión en
formas flexibles para hacer juicios matemático…” (Como se cita en los lineamientos
curriculares, 1998, pág. 43)
El Ministerio de Educación Nacional estableció en los lineamientos curriculares de
1998 cinco tipos de pensamiento: pensamiento numérico y los sistemas numéricos, el
pensamiento espacial y los sistemas geométricos, el pensamiento métrico y los sistemas
métricos de medidas, el pensamiento aleatorio y los sistemas de datos y el pensamiento
variacional y los sistemas algebraicos y analíticos, donde establece que ser
matemáticamente competente se concreta de manera puntual en el pensamiento lógico
matemático que está inmerso en estos cinco tipos de pensamiento.
Aunque el desarrollo de estos tipos de pensamiento no es lineal, ya que se pueden
desarrollar al mismo tiempo, es necesario y fundamental el conocimiento pleno del
14
pensamiento numérico con miras a desarrollar de forma clara los otros tipos de
pensamientos, permitiendo entender además, las operaciones en los procesos propuestos
en la resolución de problemas.
Los estándares Básicos de competencia en matemáticas publicados por el Ministerio
de Educación Nacional en 2003, establecen una serie de criterios en cada uno de los
pensamientos donde el estudiante debe desarrollar unas capacidades básicas en cada uno
de ellos, por ejemplo, al terminar el grado séptimo en el pensamiento Numérico, el
estudiante debe utilizar los números racionales en sus diferentes representaciones y en
diferentes contextos para resolver problemas en contextos, además debe de ser capaz de
formular y resolver problemas asociados a las operaciones entre sistemas numéricos.
Estas subdivisiones del pensamiento matemático apuntan al desarrollo de procesos
generales en los estudiantes como, formular y resolver problemas; modelar procesos y
fenómenos de la realidad; comunicar; razonar y la formulación, comparación y ejercitación
de procedimientos.
Desarrollar estas habilidades solo es posible cuando se tiene un conocimiento claro
del pensamiento numérico, que no solo es el reconocimiento de los cincos sistemas
numéricos (números naturales N, números enteros Z, números racionales Q, números
irracionales I, e imaginarios D), es poder hacer inferencias dentro de cada uno de estos
procesos donde se tenga la capacidad no solo de aplicar los algoritmos, es poder mirar
múltiples estrategias para resolver problemas y determinar si la respuestas son razonables
desde todo punto de vista.
El pensamiento numérico se va desarrollando gradualmente y se robustece cuando
el estudiante tiene la capacidad de conectar y usar los sistemas numéricos en diferentes
contextos, pero cuando se llega al sistema numérico de los racionales el estudiante
comienza a presentar mayor dificultad tal como lo expresan Fandiño (2009) y Llinares &
Sanchez, (1988) , según Pujadas & Eguiluz,( 2000), lo cual se debe a que “este proceso de
aprendizaje se halla condicionado por la variedad de estructuras cognitivas a las que están
conectadas las diferentes interpretaciones del concepto de fraccion”, esto tiene que ver con
la variedad de formas de entender este concepto y el contexto donde es utilizado, ya que
15
de este último depende la interpretación que se le da y la forma sobre cómo desarrollar las
estructuras algorítmicas.
Al respecto, los estándares básicos de competencias expresan que “el paso del
concepto de número natural al concepto de número racional necesita de una
reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del
concepto de número” (2003, pág. 59). Al respecto, Gairín Sallán (1998) afirma que una
construcción del concepto de número racional cognitivamente efectiva exige un proceso
lento de dominio e integración de nuevos significados, que se articulen con los dominios
del campo numérico de los números naturales y de los números enteros. También supone la
incorporación de nuevas especificidades simbólicas, operatorias, estructurales, relacionales
y de representación, que hay que acomodar a una variedad de nuevos significados.
Por eso es importante que el estudiante encuentre la conexión y articulación entre
estos sistemas numéricos, donde se pueda dar cuenta que el sistema de los racionales es
una extensión mucho mayor de los naturales y enteros, y que cualquier elemento de estos
dos conjuntos puede ser representado por el conjunto de los racionales, pero también que
puedan identificar que hay problemas que se salen del marco de estos dos sistemas
numéricos y es ahí donde entran las incorporaciones de las nuevas especificidades
simbólicas y operatorias relacionadas para este sistema numérico y que probablemente lo
que era una verdad absoluta en los naturales y enteros en cuanto a la multiplicación de
amplificar no se cumple todas las veces en los racionales.
Entonces el desarrollo del pensamiento numérico depende de las conexiones que se
hagan entre los sistemas numéricos y las formas de querer representar un mismo objeto
matemático, que para el caso de los racionales existen múltiples como lo cita Fandiño P.
(2009).
La fracción como parte de una unidad-todo, a veces continua y a veces discreta
La fracción como cociente
La fracción como operador
La fracción en probabilidad
16
La fracción en los Puntajes
La fracción como número racional
La fracción como punto de una recta orientada
La fracción como medida
La fracción como indicador de cantidad de elección
La fracción como porcentaje
La fracción en el lenguaje cotidiano
Los lineamientos curriculares de 1998 establecen que comprender estos conceptos
antes mencionados equivaldría a un grado avanzado en el pensamiento numérico
ratificando la importancia de comprender que un mismo objeto matemático puede ser
representado de manera distinta dependiendo del contexto, por eso se hace necesario que
dentro esa diversidad se puedan establecer relaciones y conexiones entre la
conceptualización teórica con su origen practicó para lograr que el estudiante pueda
establecer esas relaciones y conexiones significantes en el área, y que a través de su
curiosidad por querer aprender se forje un pensamiento indagador, racional, lógico y
creativo de las actividades propuestas.
El profesor tiene en sus manos la llave del éxito ya que, si es capaz de
estimular en los estudiantes la curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto por el
pensamiento dependiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a ejercitarles en
operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el interés.(...) Más que enseñar a los
estudiantes a resolver problemas, se trata de enseñarles a pensar matemáticamente,
es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio
rango de situaciones y, en este sentido, los propios problemas serán las
"herramientas" que les llevarán a ello (Urdiain, 2006). (como se cita en Tangarife
Mejia, 2012)
1.3.2. Dificultad en el aprendizaje de los Racionales.
Muchos son los autores que hablan sobre estas dificultades en este sistema
numérico donde la operatividad de los algoritmos sigue siendo la base principal para el
17
aprendizaje, sin tener en cuenta el contexto que es un factor determinante para el desarrollo
del pensamiento numérico.
Fandiño (2009) en su texto las fracciones aspectos conceptuales y didácticos,
capítulo 7, hace una caracterización de nueve errores típicos cometidos por estudiantes
en un contexto internacional, que se asemejan mucho a lo que pasa en nuestras aulas de
clases, uno de ellos tiene que ver con la dificultad en la realización de las operaciones
donde los estudiantes tienen enormes dificultades en reconocer que operación deben
utilizar en un problema, si la multiplicación o la división. Aunque conocen los algoritmos
de estas dos operaciones no saben en qué momento utilizarlos. Sobre esto Mosquera Urrutia
(s.f) docente de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas expone en su artículo
“ el concepto de fracción”, que jóvenes de secundaria memorizan las reglas, pero
muestran incapacidad para resolver situaciones donde deben aplicarse estas reglas en
problemas en contexto.
Muchos investigadores reconocen la resistencia que oponen los aprendices sobre
la comprension conceptual y algoritmica de este tema en la educacion primaria y
secundaria “Adicionalmente, Perera y Valdemoro (2007, p. 210) afirman que
investigadores como Kieren, Freudenthal, y Figueras admiten que las fracciones son uno de
los contenidos de las Matemáticas que presentan dificultades para su enseñanza y
aprendizaje”. (López Arias, 2012 p.17). Lo que impide el desarrollo del pensamiento
numérico de los estudiantes. Según Llinares & Sanchez, (1988), todas estas dificultades de
aprendizaje que se presentan en los niños en los niveles elementales de distintos paises, se
siguen reflejando en todos los niveles educativos, marcado en la apropiacion y el
verdadero significado que representa el concepto de fraccion en todos sus
representaciones semióticas, ademas también afirma que el aprendizaje de los números
naturales tiene mucha influencia en el proceso de aprendizaje de las fracciones a veces
induciendo a los errores como al comparar las fracciones 1/4 y 1/5, toman el orden de los
números naturales para justificar que 1/5 es mayor que 1/4.
18
Adicionalmente este conjunto numérico tiene un factor muy relevante que son las
distintas formas de representar el mismo concepto de número racional (fracciones), y que
dependiendo del contexto existe una manera adecuada para poder entenderlo. Cuando la
fracción actúa como porcentaje, es más adecuado hablar del 50% que expresarlo como 1/2.
Cuando la fracción actúa en el contexto de medida, preferiblemente se puede hablar de 3/4
de litros que expresarlo como 0.75 litros ya que las personas entenderán mucho mejor el
primer concepto.
Además de las dos caracteristicas anteriormente mencionadas, forma y contexto,
otro factor que se le suma lo señala Godino (2004), donde afirma que es posible que los
estudiantes aprendan rápidamente las técnicas para operar fracciones (suma, resta,
multiplicación y división), pero este enfoque algoritmico y memorístico tiene dos peligros.
El primero es que estas reglas no garantizan el significado de las operaciones o por qué
funcionan, y segundo se refiere al dominio observado a corto plazo se pierde rápidamente.
Es mas, Llinares Ciscar & Sanchez Garcia (1988), afirman que la práctica excesiva
de los algoritmos en las operaciones con fracciones no asegura la superación de los
errores cometidos constantemente en estas operaciones. No se trata de darle privilegio a la
operatividad y sobrevaloración de los algoritmos, la idea es que el estudiante reconozca y
comprenda significativamente los procesos que le dan sentido a las operaciones y esto se
logra generando situaciones que atrapen al estudiante a querer resolver un problema.
Pazos (s.f) afirma que otro obstáculo que se presenta, es que las fracciones siempre
son apoyadas mayoritariamente en representaciones gráficas, rectángulos y círculos y esto
deja sin posibilidades otros contextos que son fundamentales para el desarrollo del
pensamiento numérico, además afirma que no se establecen las relaciones entre cantidades
continuas y discretas.
Todas estas dificultades presentadas en los números racionales hacen impensables
un desarrollo ideal del pensamiento numérico, es por eso que el desarrollo del
pensamiento numérico va más allá de la operatividad de los algoritmos en los sistemas
numéricos; existen otros indicadores como la comprensión del significado del número, la
19
utilización de las operaciones y de los números en la formulación y resolución de
problemas, la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo
necesario, en las cuales se desarrollen y se fortalezcan las habilidades de orden superior,
donde el estudiante pueda explorar, conjeturar, reflexionar, visualizar, crear, distinguir y
comunicar en las distintas representaciones de un objeto matemático.
1.3.3 Trabajo colaborativo
La matemática se ha caracterizado por ser una ciencia enseñada desde la
magistralidad y aprendida de manera individual, cargada de procesos mecánicos sin
sentido para los aprendices; por lo que resulta necesario proponer y desarrollar nuevas
ideas con el único fin de mejorar el aprendizaje de los estudiantes.
Teniendo en cuenta factores relevantes como el propiciar una participación más
activa de nuestros estudiantes, tener en cuenta los ritmos de aprendizaje, el trabajo
colaborativo, así como, comprender una matemática con alma, con sentido, pertinente,
asociada al contexto cultural y social que nos rodea, con el único propósito de darle
significado a lo que se aprende. En cuanto al aprendizaje en grupos, Llinares Ciscar &
Sanchez Garcia (1988), expresan que una buena táctica es el trabajo en grupos reducidos
con el fin de que los estudiantes expongan sus ideas, procedimientos y dificultades con el
fin de generalizar en forma común el camino de cada unos de los conceptos
desarrollados donde el resultado final sea la construccion de la reglas a través de las
estrategias presentadas por cada grupo.
Biggs (2006), muestra un buen ejemplo donde se refleja el pórcentaje de lo que
aprenden las personas dependiendo de la actividad desarrollada , advirtiendo que no se
puede tomar al pie de la letra pero, que realmente tiene una incidencia muy notoria cuando
existe la colaboración o la participacion de otros en la misma actividad.
El 10% de lo que se lee.
El 20 de lo que se oye
El 30% de lo que se ve
20
El 50% de lo que se ve y se oye
El 70% de lo que se habla con otros
El 80% de lo que se utiliza y hace en la vida real
El 95% de lo que enseña a otras personas.3
Ademas Sousa (1995), expresa que en estudios realizados se ha comprobado que la
retención del conocimiento adquirido después de 24 horas en un estudiante es de 5% para
clases magistrales, 50% para discusión en grupo, 75% para experiencias prácticas y 90%
por enseñar a otros. (Como se cita en Rodriguez Sandoval y Cortes Rodriguez, 2009 ).
Reafirmando lo mencionado por Llinares Ciscar & Sanchez Garcia, (1988) sobre el
trabajo en pequeños grupos, se evidencia la necesidad de involucrar actividades de
enseñanzas y aprendizaje que tomen como eje central las últimas tres actividades
presentadas por Biggs (2006), dándole la oportunidad a los estudiantes de interactuar y
compartir sus conocimientos con sus compañeros permitiendoles una experiencia distinta a
lo que se viene haciendo en el aula de clases, con situaciones problemicas aplicadas al
contexto, donde no sea una matemática sólo para un pequeño grupo de estudiantes sino,
para todos.
Gavilan Bouzas & Alario Gavilan (2012), realizaron un estudio comparativo en la
asignatura de matemáticas en dos grupos en una Institucion de Educacion secundaria en
la ciudad de Guadalajara España. En dicho estudio se buscaba comprobar si existían
diferencias entre las estrategias de aprendizaje cuando se trabaja en forma individual(grupo
control) y de forma colaborativa(grupo experimental), la experiencia se mantuvo durante
todo el año escolar en el salón de clases. Al inciar la experiencia se comprobó que no
existia una diferencia significativa entre ambos grupos indicando una equivalencia entre
ellos, al terminar la experiencia se comprobó que existía una mejora significativa con el
grupo experimetal en comparación con el grupo control. Otro resultado importante de este
estudio referente al grupo control entre la etapa inicial y la etapa final, fue que hubo un
empeoramiento significativo en el aprendizaje. Velasco Quintana & Dominguez Santos,
(s.f) afirman que el aprendizaje colaborativo permite que el estudiante actúe sobre su
3 Fuentes atribuida a William Glasser
21
mismo aprendizaje integrándose con el tema de estudio y sus compañeros, además en su
investigación hace unos aportes relevadores y muy significativos donde afirman que los
alumnos pueden tener más exitos que el propio profesor en hacer enterder algunos
conceptos a sus propios compañeros, donde estos conceptos aprendidos de forma
autónoma y de colegage permanecen más tiempo que los que han sido memorizados.
Otro estudio realizado por Tangarife Mejia (2012), realizado con estudiantes de
primer semestre de la universidad nacional sede Medellin, demuestra que el trabajo
colaborativo y los problemas en contextos tuvo incidencia positiva en el aprendizaje de los
estudiantes. La autora expresa que poco a poco los estudiantes se fueron sintiendo más
motivados y comprometidos, generando confianza, donde preguntar era parte de esa
colaboracion y además la preocupacion del grupo porque todos entendieran lo que se
quería desarrollar en cada una de las actividades.
La riqueza de la colaboración también reside en que los estudiantes aprenden
reflexionando sobre lo que hacen, ya que en el intercambio los saberes individuales
se hacen explícitos y se tornan comprensibles para los demás. La capacidad para
responder a demandas complejas y llevar a cabo adecuadamente diversas tareas
supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivaciones,
valores, actitudes, emociones que se deben movilizar conjuntamente para lograr una
acción eficaz. Contar con un caudal importante de competencias para trabajar con
otros y colaborar en experiencias de aprendizaje es cada vez más necesario en las
llamadas sociedades de la información y la comunicación. (Pico & Rodriguez,
2012)
Por lo tanto, es importante aplicar verdaderamente el modelo propuesto en el Plan
Educativo Institucional (PEI) con el fin de romper ese esquema tradicional en el aula de
clases, y convertir cada uno de estos métodos de enseñanza- aprendizaje propuestos en
el PEI en una fortaleza para el desarrollo de las competencias matemáticas, a través del
trabajo colaborativo en todos los niveles, buscando la coherencia vertical y horizontal
entre competencias matemáticas y los cinco pensamientos propuestos por los lineamientos
22
curriculares, donde el trabajar en equipo permite el intercambio de ideas, generar debates,
hacer que los estudiantes tímidos y pasivos cambien su postura hacia las buenas
actividades de enseñanza - aprendizaje, propuestas, y que puedan realizar preguntas
sobre dudas referente a la actividad. Generar esta interacción entre los estudiantes en el
aula de clases permitirá la construccion colectiva del conocimiento.
1.3.4 Recursos educativos Abiertos (REA)
Los avances tecnológicos han permitido la creación de infinitos caminos para llegar
a la información, donde además, en esta era tecnologica ha puesto a nuestro alcance no
solo formas mas favorables de representar objetos matemáticos para que sean mas y mejor
comprensibles, sino tambien formas para poder manipularlo y expresar lo que se quiere
de una forma mas clara. Acceder a estos recursos de forma gratuita permite contar con
herramientas que facilitan la comprensión de muchos conceptos matemáticos de una
manera mas significativa permitiendo mirar con mayor profundidad aspectos que
serían muy planos para muchos estudiantes, logrando enriquecer aún más el contexto en el
aula de clases y de paso estimulando el proceso de enseñanza- aprendizaje.
Ramírez y Burgos (2010), establecen que estos recursos deben ofrecer ejemplos
que favorezca la conexión de semiótica con la noética donde se puedan ver la
conceptualización y la compresión de los objetos matemáticos y no como un medio para
resolver simples algoritmos como se cita en Alvares Mendez, Brunell Cabello, Diaz
Morales, & Hernandez Reyes,( 2012). Además Marquez (2000), expresa que estos recursos
deben generar motivación, diversificando los recursos didácticos debido a la
heterogeneidad del grupo y que ofrezcan medios de expresión, creación, procesos e
intercambio de ideas, y brindar una autoevaluacion donde se trascienda lo instrumental.
Aunque no existe evidencia concreta de la utilización de estos recursos en el
área de matemáticas en la institución, se nota la cercanía que tienen los estudiantes a estos
medios tecnologicos y que a pesar que solo son utilizados para el ocio, pueden ser
orientados con fines académicos, adaptandolos a los procesos de enseñanza aprendizaje
con una planeacion adecuada y coherente, buscando no solo la motivación hacia la
23
asignatura sino una participacion más activa y una comunicación alternativa que
contribuya al aprendizaje de los estudiantes.
El enrequicimeinto del contexto a travez de los recusros educativo abierto vas más
allá de la simple operación del recurso para obtener una respuesta, nuestro objetivo apunta
hacia la construccion del conocimiento y del concepto matemático soportado en el
aprendizaje colaborativo. “En este sentido, nuestra pretensión pedagógica consiste en
enriquecer los contextos y procesos de interacción entre personas a través de la
potencialidad tecnológica de hoy, conformando para ello, redes de aprendizaje entre
alumnos, vale decir, hacer invisible la tecnología para así dar protagonismo a los procesos
de interacción social” (Castañeda, 2012).
La existencia de estos recursos educativos en la web son cada día mas y de mejor
calidad, debido a que están en una contaste mejoras de sus contenidos, por lo que es
importante realizar una verdadera exploración y evaluación de ellos para luego llevarlos al
salón de clases, además existe la posibilidad de poder crear recursos educativos propios
con una valor agregado importante.
Entonces se puede pensar en construir recursos educativos propios, además de los
que existen en la web sumándole un valor agregado a la motivación del estudiante donde
su participación sea supremamente alta y se contagie a cada uno de los integrantes del
curso al favorecimeinto del aprendizaje. ¿Qué pasaría si al curso se le mostrara un video
donde se le explicará como sumar fracciones homogeneas? Ahora agreguemos al caso
anterior que quien explica es uno de sus compañeros y además que el video está en el canal
yootube. ¿Incíde esto en el aprendizaje? Este valor agregado motiva a los estudiantes,
porque son ellos el centro de atención y no el docente, ademas la clase se vuelve más
atractiva, participativa para sus compañeros atrapando su atención.
En este sentido, Biggs (2006), reconoce que la motivacion debe ser el producto de
la buena enseñanza donde los significados no se trasmiten mediante la enseñanza directa
si no que se construyen mediante actividades de aprendizajes para llegar a un
24
conocimiento profundo del pensamiento numérico y no quedarse sólo en lo operacional y
algoritmico que al final de cuenta termina olvidánsose. Es importante aclarar que estos
recursos no deben tener como finalidad lo algoritmico y lo procedimental como eje
central ya que estaríamos donde iniciamos, por el contrario, serían recursos que inviten al
estudiante a construir su propio conocimiento desde su contexto. Ahora existen muchos
recursos con la finalidad anterior, pero es posible que con un análisis de las necesidades
se pueda dar la orientacion que se quiere para el contexto particupar del Proyecto de
Profundización.
2. Diseño de la innovación
2.1 Metodología
2.1.1 Descripción de la innovación
La interacción social ha sido un factor determinante para el desarrollo de la sociedad
del conocimiento, por ese motivo no se puede aislar la matemática escolar de esta
interacción, por lo tanto, la creación colectiva del conocimiento a través de trabajo
colaborativo a partir de situaciones ricas y significativas en contexto será la clave de la
innovación de este proyecto, donde esa interacción docente -estudiante, estudiante-
estudiante, estudiante - contenido propicie factores de seguridad y confianza para que los
estudiantes pierdan el miedo de participar en cada una de las actividades presentadas en
las clases.
Aunque “la creación del conocimiento es un proceso personal se necesita de un
diálogo solidario con los demás, una dialéctica entre lo individual y lo colectivo”(Gómez
Garcia,2002,p.33), para generar espacios de reflexión donde cada estudiante realice sus
aportaciones y puedan ser confrontadas, analizadas y discutidas en forma crítica por cada
uno de sus miembros. Según esto, Gómez García (2002), afirma que el diálogo es una
herramienta imprescindible para una construcción democrática de los conceptos y
algoritmos matemáticos, aunque el sistema funcione guiado por otras prioridades. Generar
espacios de diálogos “matemáticos” en el aula de clases entre los mismos estudiantes
implica una manera distinta y retadora de llegar al conocimiento por métodos pocos
explorados en nuestros entornos educativos, donde existe la posibilidad no solo de integrar
25
al grupo sino de permitirle dar sus opiniones en un contexto más agradable y muy
posiblemente de mayor confianza para ellos, eliminando barrera invisibles que les impide
a veces dar sus opiniones por miedo a ser juzgado incluso por el mismo docente.
Llinares Ciscar & Sanchez Garcia, (1988) exponen que estructurar las clases en
grupos reducidos(cuatro o cinco) en un primer momento ayudará a que cada grupo exponga
el procedimeinto utilizado y luego debatir en forma general las dificultades que se han
presentado y buscar formas de superarlas, donde la exposicion común ayudará a que los
estudiantes avancen en la generalización de los algoritmos. Esta idea también es expresada
en los lineamientos curriculares (1998):
Las interacciones entre el docente y los estudiantes, y las que se tejen entre
estos últimos provocadas por la situación problemática, generan una negociación
activa de significados de las nociones matemáticas. En este proceso de negociación
todos aprenden. El docente modifica y enriquece los elementos presentes en el
boceto con base en las estrategias, en aprendizajes no previstos, en dificultades y
errores de los estudiantes; podría decirse que para él la experiencia de enseñar es al
mismo tiempo la oportunidad de aprender con los estudiantes. Los estudiantes en
interacción con el docente y en diálogos cooperativos entre ellos mismos, establecen
conexiones entre lo que previamente saben y lo nuevo. La pregunta correcta y
oportuna es de vital importancia, dado que las respuestas son reveladoras del nivel
de comprensión y desarrollo de los procesos y de las nociones matemáticas
involucradas en ellas. En la discusión los estudiantes aprenden a comunicar sus
puntos de vista y a escuchar las argumentaciones de los otros, validan formas de
representación y construyen socialmente el conocimiento. (Lineamientos
curriculares, 1998, pág. 40)
Se necesita entonces de una comunicación de doble vía entre estudiante docente
donde los estudiantes puedan expresar sus ideas y opiniones de lo que realmente están
aprendiendo, lo que solo puede lograrse a través de una verdadera interacción y diálogo
permanente entre los actores de los procesos. Es por eso que el aprendizaje colaborativo
26
debe ser un elemento esencial para mantener una comunicación natural y fluida en todo
el proceso de aprendizaje, logrando que los estudiantes se conviertan en agentes activos y
participativos.
Al respecto, Johnson, Johnson y Holubec (1999), expresan que el aprendizaje
colaborativo le permite al docente alcanzar varias metas, entre ellas elevar el rendimiento
de todos los alumnos logrando una homogeneidad del grupo, otra que no es menos
importante que es la de establecer una relación positiva a través del dialogo para lograr
una comunidad de aprendizaje, y lograr un verdadero desarrollo social psicológico y
cognitivo.
Ahora este trabajo colaborativo propuesto por varios autores se beneficia
también de los avances tecnológicos, obteniendo un ingrediente que lo hace a un más
favorable, atractivo, motivador abocado a lograr una comunicación alternativa a través
de la interacción, denominado recursos educativos abiertos que permite que el estudiante
obtenga una mirada distinta de los objetos matemáticos logrando articular las
conexiones existentes entre el concepto matemático y sus distintas representación. El
Ministero de Educacion Nacional, (1999) hace referencia a los cambios cognitivos que la
tecnología ha logrado a raíz de la llegada a la escuela, facilitando la relación del concepto
con su representación, además manipular de una forma dinámica los objetos matemáticos
y poder conectar a través de simuladores experiencias reales, todos estos valores
agregados nos permite el uso de los recursos educativos abiertos.
Cabe aclarar que no necesariamente se necesitará de la conexión de una red de
internet para que estos recursos promuevan lo favorable, atractivo ya que muchos de
ellos tienen la ventaja de poder ser descargados para trabajar sin ninguna conexión a la
internet, ejemplo de estos son los videos que se encuentran en Khan Academy, el
software pedazzitos y otros recursos que se encuentran en la comunidad educativa tiching,
además, de la hoja de Excel que es un excelente recurso para trabajar la matemática
escolar.
27
La idea es sumar elementos que promuevan la interacción entre los estudiantes a
través de la inserción de nuevos recursos que permitan visualizar y conectar la
conceptualidad con la operatividad a través de las actividades propuestas.
2.1.2 Estrategia pedagógica
Frecuentemente en el aula de clases son muy pocos los estudiantes que tienen
habilidades matemáticas, las cuales se definen como las capacidades para resolver
problemas de una manera crítica, ejecutar cálculos complejos y, establecer relaciones entre
diversos aspectos. Crear un ambiente de aprendizaje propicio para que los estudiantes
desarrollen estas capacidades, es lo que se pretende desarrollar en este Proyecto; con el
propósito de tener en cuenta a los estudiantes que han desarrollado más estas capacidades
para que apalanquen, acompañen y enseñen a quienes hasta el momento se adentran en
ellas. En este sentido, se espera que los primeros, puedan ayudar a sus compañeros a
entender los procesos matemáticos y así promover la inclusión matemática de todos los
actores. Teniendo en cuenta lo anterior, se propone la estrategia pedagógica de aprendizaje
colaborativo para lograr esta inclusión matemática que apunta a una matemática
socialmente activa y participativa dentro del salón de clase, facilitándoles a los estudiantes
que propongan desde sus saberes previos y puntos de vista sus propias estrategias sociales
y académicas para afrontar los desafíos propuestos por el docente.
Por lo tanto, esta estrategia de trabajo colaborativo se desarrollará bajo la premisa
expuesta por Panitz (2001), donde cada grupo estructurará desde su propia postura la
manera estratégica de enfrentar sus propios retos de aprendizajes a partir de su interacción,
buscando a partir del diálogo, debates, discusiones y consensos, estructurar conceptos,
procedimientos y representaciones que ayuden a establecer una comprensión común y
adecuada derivada del pensamiento, razonamiento y cuestionamiento personal de las
actividades contextualizadas, con el objetivo de que el conocimiento sea descubierto y
reconstruido con cada actividad.
Al respecto Gómez García (2002) expresa que el conocimiento es un proceso
personal, pero a partir de ese conocimiento puede entrar a una interacción social con
28
todos los actores y así generar una comunidad de aprendizaje en el aula. Ya que ella
favorece la parte cognitiva, la adquisición del conocimiento y habilidades para la obtención
de un desarrollo matemático que contribuirá a conseguir buenos resultados.
Generalmente los estudiantes en la clase de matemáticas permanecen aislados,
tengan o no evaluaciones, no se les permite una interacción directa con sus compañeros
donde pueden compartir sus puntos de vistas sobre el desarrollo de algún problema, pero
¿qué pasaría si algún estudiante puede comunicar la forma como resolvió el problema?,
esto generaría un diálogo permanente donde se activan mecanismos que permitirían un
verdadero significado a aquellos estudiantes que no pueden visualizar fácilmente la forma
de resolverlo o que por el contrario lo ayuden a salir del error que probablemente pudo
cometer.
Debemos reconocer que los errores hacen parte de nuestra cotidianidad, pero en la
matemática pareciera que estos no son tolerables y además castigados con la mayor
vehemencia sin la posibilidad de una segunda oportunidad, es por eso que “la búsqueda
crítica del error para superar nuestro conocimiento deficiente es una necesidad
epistemológica ineludible” (Rico & Castro, s.f), y es ahí donde la interración generada en
el trabajo colaborativo servirá como vehículo facilitador para esta búsqueda y lograr
replantear comprensiones inadecuadas y deficientes derivadas de ideas previas que son
trasladas de un sistema numérico a otro sin ningún criterio crítico.
Proponer el trabajo colaborativo en la clase de matemáticas es rodear el aula de una
solidaridad académica donde los estudiantes tengan la posibilidad de aprender a
desaprender ideas previas o Mis concepciones4 que puedan obstaculizar el aprendizaje,
Fandiño Pinilla (2009) advierte sobre estas “Mis concepciones” que son muy frecuentes
en el caso de las fracciones, donde el estudiante traslada las operaciones de los naturales a
los racionales impidiendo el desarrollo del pensamiento numérico.
El Ministerio de educación nacional, en los lineamientos curriculares biene
hablando sobre esta propuesta en la cual establece que el papel fundamental del docente es
4 Una mis concepción es un concepto errado y por lo tanto constituye genéricamente un evento a evitar
29
de propiciar una atmósfera cooperativa, para darle una mayor autonomía al estudiante
frente al conocimiento, pero esta atmósfera debe ser acompañada de ambientes
enriquecidos que inviten y permitan al estudiante a desarrollar habilidades de pensamiento
de orden superior, para lograr un aprendizaje profundo a través del desarrollo del
pensamiento numérico.
Johnson y Johnson, (1997). Establecen que en el trabajo colaborativo los términos
como pasivo, memorización, individual y competitivo no hacen parte de la definición del
trabajo colaborativo y que por el contrario, la cooperación, la responsabilidad, la
comunicación, el trabajo en equipo y la autoevaluación lo representan muy bien, pero
lograr lo anterior implica proponer situaciones enriquecedoras atractivas que inviten a
un aprendizaje retador, por eso esta estrategia de trabajo colaborativo estará acompañada de
la técnica didáctica aprendizaje basado en problemas (ABP), donde la matemática no solo
sea para la escuela sino para la vida, reconociendo que como seres humanos estamos
rodeados de problemas sociales, políticos, económicos y muchas de estas soluciones se
basan en modelos matemáticos que muy probablemente nos tocará resolver en algún
momento y que pueden ser planteado desde diferentes puntos de vistas.
Sumado a lo anterior, el ABP incluye factores determinantes para el proceso de
la colaboración como lo establece el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey en uno de sus artículos denominado: el aprendizaje basado en problemas como
técnica didáctica. En dicho texto se expresa que una de las características fundamentales es
que el estudiante mantiene una actitud positiva hacia el aprendizaje eliminando la
transferencia pasiva de la información, esto expresado en forma matemática se podría decir
que lo importante no es el algoritmo en sí, sino la aplicación de él en contexto, donde se
encuentre el verdadero significado de utilizar lo aprendido. ¿Para qué me sirve comparar
fracciones homogéneas? ¿Dónde la puedo utilizar? La respuesta a estas preguntas son la
clave de un verdadero aprendizaje activo, por eso proponer problemas atractivos que
dirijan el aprendizaje a contestar este tipo de pregunta por parte de los estudiantes será el
eje central de la técnica empleada (ABP).
30
El acercamiento de los estudiantes a las matemáticas, a través de situaciones
problemáticas procedente de la vida diaria, de las matemáticas y de las otras
ciencias es el contexto más propicio para poner en práctica el aprendizaje activo, la
inmersión de las matemáticas en la cultura, el desarrollo de proceso de pensamiento
y para contribuir significativamente tanto al sentido como a la utilidad de las
matemáticas (lineamientos curriculares 1998, p.41).
2.1.3 Orientación Tecnológica.
Nadie pone en duda el auge que han tenido las tecnologías en nuestros medios,
infiltrándose y traspasando fronteras, sociales, económicas, educativas y culturares donde
la tecnología ha aportado un valor significante al desarrollo de cada una de ellas. Llinares &
Sanchez, (1988) argumentan que ha habido un cambio notorio en la enseñanza de las
matemáticas con la llegada de las nuevas tecnologias a la educación, ya que anteriormente
se ponía mayor enfasis en el desarrollo de algoritmos y procemientos mecánicos y
rutinarios en la aritmética “esos procesos dejemoslo a las calculadoras”, ahora el centro
de interés está hacia una mejor compresion de los conceptos. Además con el aporte de la
tecnología se ha mejorado la eficacia y rapidez de los cálculos de los alumnos y los seres
humanos, permitiendo invertir un menor tiempo en cálculos extensos y complejos desde
punto de vista técnico y algoritmico.
Otro argumento a la vista que se le aporta a las nuevas tecnologías es que
mejoran las representaciones semióticas de la Noética, dándole mayor claridad a los
conceptos matemáticos en sus representaciones, facilitando que los estudiantes tengan
la misma posibilidad de imaginación del objeto matemático con el fin de poder interiorizar
la parte conceptual, estos recusros educativos abiertos ayudan a mostrar una matemática
mas amable, posibilitando que los estudiantes construyan su propio conocimiento
teniendo encuenta sus ideas previas.
Además se debe aprovechar que nuestros estudiantes están cada día más
relacionados e interesados con este contexto tecnológico, para fortalecer a través de estos
31
medios una enseñanza matemática más activa y participativa buscando argumentos que
pongan de manifiesto la utilización de estos recursos en el aula de clases.
Con relación a lo anterior el profesor Alvaro Galvis Panquera (2009), nos da ocho
argumentos muy sólidos referente a la utilización de los ambientes de aprendizaje basado
en tics, donde el componente principal del aprendizaje es la motivación la cual se logra a
través de otras actividades basadas en estos ambientes como son la indagación,
experiencias ricas y placenteras, reflexión, interacción, explicitación, socialización y
refuerzo. Estos ocho argumentos tiene como objetivo fundamental traspasar lo
instrumental que es lo que inicialmente el estudiante percibe de los medios tecnológicos en
el ambiente educativo, especialmente en el área de matemáticas donde se tiene la creencia
que con estos recursos se da solución a las dificultades matemáticas por sí solos.
Ahora estos argumentos vistos desde el punto de vista matemático están
relacionados con procesos y habilidades cognitivas que pueden verse favorecidas con
esta orientación tecnológica en el área de matemática, donde la visualización, la
capacidad investigativa, el aprendizaje de la retroalimentación, la observación de patrones,
el establecimiento de conexiones, son ejes fundamentales de estos procesos como lo
reconoce el Ministerio de Educación Nacional en el documento Nuevas tecnologías y
currículo de matemáticas (1999).
Todo esto enlazado con un trabajo colaborativo dentro y fuera del aula ayudará
a convertir esa pasividad existente en el aula de clases por una interacción, ya que el
modelo tradicional de asumir la clase de una forma expositiva tradicional trae esa
consecuencia muy arraigada.
Teniendo en cuenta lo anterior, las herramientas tecnológicas que apoyarán el
aprendizaje en colaboración son el software pedazzito 1.2 y el video educativo, ambos
recursos serán elementos mediadores en la interacción, docente, estudiante, actividad que
busca generar autoaprendizaje pero además mostrar una dinámica distinta a la
convencional y darle el protagonismo a una educación centrada más en el aprendizaje.
32
Con respecto al primer recurso cada grupo colaborativo tendrá la posibilidad de
explorar, conjeturar, razonar reflexionar sobre las operaciones más basicas del sistema
númerico de los racionales visto desde el punto de vistas de las fracciones desarrolladas
en el recurso de una manera didáctica, y propiciar una flexibilidad del pensamiento
númerico a travez de las diferentes estrategias propuestas por cada grupo para
comprender y estimar una respuesta coherente de cada actividad.
La utilizacion del video educativo busca afianzar el trabajo colaborativo
permitiendo la construcción del saber con el mismo recurso donde el docente solo cumple
el papel de mediador y organizador de la actividad, ellos mediante una comunicación
matematica”escucharse uno a otros” buscarán el punto de partida para el deselvolvimiento
de la actividad. La utilización de este recurso brinda la posibilidad de ser un elementos
mas del grupo, pero además poder repetirlo las veces que sean necesario para lograr
interiorizar su mensaje y luego realizar las reflexiones necesarias sobre el.
2.2 Plan de acción
Conectar la teoría y la práctica para encontrarle sentido a lo que se hace y porque
se hace, debe ser un requisito primordial de la matemática escolar, ya que sabemos que
toda persona necesitará de argumentos matemáticos para el desarrollo de su vida
cotidiana fuera del aula de clases, donde ella cobra el verdadero sentido de su enseñanza.
“Reconocer que existe un núcleo de conocimiento matemático básico que debe
dominar todo ciudadano” ( lineamiento curriculares 1998. p29), debe ser el norte de la
planificación de los objetivos, el cual se debe propiciar que el estudiante avance en la vida
escolar. El reconocimiento de los sistemas numéricos y el pensamiento numérico son los
actores principales para lograr dichos objetvos, por lo que Fandiño (2009), propone que
el aprendizaje de matemática debe fundamentarse en cinco elementos denominados
aprendizajes: aprendizaje de concepto, aprendizaje de algoritmo, aprendizaje estratégico,
aprendizaje comunicativo y aprendizaje semiótico, lo que conducirá a una relación
directamente con las habilidades de orden superior como el análisis, conceptualización, el
33
manejo de información, pensamiento crítico, Investigación, pensar con información, Meta
cognición, y el pensamiento sistémico.
Se busca propiciar una construcción activa, participativa y colaborativa del
conocimiento de los números racionales para poder mejorar la comprensión conceptual y
operacional de las actividades propuestas y así desencadenar procesos de aprendizajes
relevantes y significativos que contribuyan al desarrollo del pensamiento numérico de los
estudiantes.
2.2.1. Objetivo General
Los estudiantes estarán en la capacidad de encontrar una relación entre el concepto
y el procedimiento matemático orientada hacia la conceptualización del sistema
numérico de los racionales para poder darle significado a las operaciones algorítmicas
planteadas.
2.2.2. Objetivos específicos
Potenciar de manera positiva las relaciones personales y la integración entre los
estudiantes para que puedan trabajar en pequeños grupos, orientados a sus necesidades
académicas.
Promover la autonomía en sus procesos de aprendizaje a través de la búsqueda
de información, análisis y reflexiones en la toma de decisiones participativas.
Mejorar las habilidades del pensamiento numérico y los sistemas numéricos
privilegiando los aspectos conceptuales sobre los algorítmicos basados en:
- Identificar los sistemas numéricos (naturales, enteros y racionales) y sus posibles
limitaciones en sus operaciones mediante problemas en contexto.
- Transformar cualquier número natural o entero en número racional dependiendo la
situación dada.
34
- Definir los algoritmos de la suma y resta de los números Racionales (Q) a través de
experiencias didácticas y cotidianas.
- Reconocer el orden numérico y la densidad de los números racionales a través de
ejemplos y métodos numéricos.
- Reconocer el significado de la multiplicación y la división de los números
racionales a través de ejemplos modelados y graficados.
- Analizar e interpretar problemas que involucren números racionales y darle las
respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y propiedades.
2.2.3 Actividades de aprendizaje.
La Institución Educativa en su plan educativo institucional establece un modelo
pedagógico formativo participativo teniendo en cuenta que el éxito del desempeño de los
estudiantes radica en que ellos sean los partícipes directos de su proceso de formación con
la orientación y acompañamiento de los docentes a través de métodos como el trabajo en
equipo, mesa redonda, foro, debates y prácticas de campo.
Tomando este marco de referencia las actividades de aprendizajes están
conectadas a la consecución de estos objetivos y propósitos basados en los estándares
básicos de competencia en matemáticas y al currículo propuesto por la Institución
Educativa en el área de matemáticas. Se trabajará con una Unidad denominada números
racionales. Se formarán grupos heterogéneos de cinco a seis integrantes para el desarrollo
de todas las actividades. A continuación se presenta la caracterización de la unidad
temática alineada con estándares básicos de competencias del Ministerio de educación
nacional, las competencias específicas evaluadas por el Instituto Colombiano para la
evaluación de la educación (ICFES) y los lineamientos generales saber grado 9.
35
Tema: Números Racionales
Componente: Pensamiento Numérico y sistemas Numéricos
Subtemas:
Sistema numéricos de los Naturales
Sistema numéricos de los Enteros
Sistema numérico de los Racional
Números Fraccionarios
Estándar Básicos de Competencias:( Ministerio de educación Nacional).
Utilizo números Racionales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos
Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los
números racionales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
Justifico la elección del método e instrumentos de cálculos en la resolución de
problemas.
Identifico si a la luz de los datos de un problema, los resultados obtenidos son o no
razonables.
Competencia Especificas (Evaluadas por el Icfes).
Razonamiento y la Argumentación
La comunicación y la representación
Planteamiento y Resolución de Problemas
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (primera semana)
Sección A-1
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Identificar los sistemas numéricos (naturales, enteros y
Racionales) y sus posibles limitaciones en las operaciones básicas mediante problemas
en contexto.
Actividad Recursos de apoyo
1- Cada grupo definirá cuales son los
elementos que conforman el sistema
numérico de los Naturales, enteros y
racionales y emitir una conclusión.
Textos para consulta
Guía de desarrollo
2-Cada grupo expondrá cuatro ejemplos en
contexto donde se aplique la suma, resta,
multiplicación y división en los sistemas
numéricos naturales y enteros. Luego el
docente expondrá esos mismos ejemplos con
otros valores con el fin de ser analizados
nuevamente por parte de cada grupo y emitir
un juicio sobre el cambio propuesto.
Hoja de taller
Texto para consulta
2- Cada Número en su sitio
En las paredes se colocarán varios diagramas
donde se encuentren los tres sistemas
numéricos, en forma general, cada grupo
deberá ubicar una serie de números dados de
acuerdo a su caracterización “natural” “entero”
o racional.
Diagrama hecho en papelógrafos
Memos
Marcadores
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (Segunda semana)
Sección A-2
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Transformar cualquier número natural o entero, en un número
racional dependiendo la situación dada.
Actividad Recursos de apoyo
1-Cada integrante de cada grupo transformará
su edad en un número racional con distinto
denominador y explicará a sus compañeros la
forma en que lo hizo.
Edades de cada integrante
Calculadoras
2-Ir a la tienda.
Para hacer el almuerzo, la mamá de Orozco
le entrega una lista de los ingredientes que se
deben comprar en la tienda, pero el tendero sólo
sabe leer los artículos que estén expresado en
números racionales
Hoja de taller
Lista de los ingredientes a comprar
Calculadora
3-Cada grupo elegirá un número y lo
representará de distintas formas, sin mostrar el
número elegido, los demás grupos deben
adivinar qué número eligió cada grupo.
Hoja de taller
Calculadora
4- los números y sus disfraces.
¿De cuántas maneras podemos representar el
número uno (1) como número racional?
Exponga varios ejemplos.
¿De cuántas maneras podemos representar el
número dos (2) como número racional?
Exponga varios ejemplos.
Cada grupo debe emitir una conclusión sobre:
¿qué se debe cumplir para obtener esos
resultados?
Hoja de taller
Calculadora
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (Tercera semana)
Sección A-3
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje:
-Reconocer las clases de fracciones en las actividades propuestas
-Definir los algoritmos de la suma y resta de los números Racionales (Q) a través de
experiencias didácticas.
Actividad Recursos de apoyo
1-Se les presentará las clases de fracciones
extraída del hipertexto de Santillana Grado 6°
para que hagan una lectura teórica durante 15
minutos.
Luego Cada grupo desarrollará el taller
donde clasificará las clases de fracciones en
una serie de ejemplos en contexto. Además
deben mostrar cual es la diferencia entre la
fracción impropia y la fracción entera.
Guía de apoyo Santillana(teórica)
Hoja de taller
3- De la práctica a la teoría: (fracciones con
igual denominador)
“Un pedazo de panela”
Cada grupo sumará los pedazos de panela
para construir el algoritmo de la suma de
fracciones de igual denominador. Y luego
clasificar la fracción obtenida entre las clases
vistas.
Panela divida en cuatro partes iguales
Octavos de Cartulinas
Hoja del taller
3-El docente le entregará un taller donde se
suman fracciones con distintos denominadores
de forma gráfica utilizando las cartulinas de
cada grupo.
Cada grupo construirá desde su perspectiva
matemática como llega a la respuesta dada.
Cartulinas
Calculadora
Hoja del taller
4-Pedazzitos (recurso educativo abierto).
“socialización del software”
Cada grupo explorará el recurso, mediante la
orientación de dos problemas en contexto.
Portátil para cada estudiantes con el
programa pedazzitos.
Hoja de taller.
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (cuarta semana)
Sección A-4
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Reconocer el orden numérico y la densidad de los números
racionales a través de ejemplos y métodos numéricos.
Actividad Recursos de apoyo
1- 1- A cada grupo se le expondrá tres problemas
con el objetivo de comparar dos números
racionales.
2- Cada grupo debe justificar en forma oral y
escrita que cantidad es mayor, o menor
dependiendo de su análisis.
Guía para comparar fracciones
Cartulina
Calculadora
3-Actividad “ me toca el turno”
En el hospital se entregan fichas por orden de
llegada para ser atendido por el médico, la
enfermera ya ha entregado dos fichas. Juan
necesita viajar con su esposa pero necesita de
la valoración del médico por lo que le dice a la
enfermera que le de dos (2) de las primeras
fichas, la enfermera para colaborarle le entrega
dos fichas en blanco y le dice los números de la
dos fichas que entregó para que él pueda marcar
las suyas ¿qué número debe colocarle a cada
una de las fichas para que al menos le toque el
segundo y tercer turno?
Guía sobre densidad de los racionales
Dos fichas marcadas
Dos fichas en blanco
Marcador
calculadora
4-Foro (dilema) :
Se le presentará un caso donde dos estudiantes
discuten acerca de una situación y cada grupo
debe intervenir dándole la solución desde
distintas miradas, gráfica, matemática, para
resolver el problema y que los estudiantes
queden satisfechos con la explicación.
Guía del problema
Pregunta problematizadora
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (quinta semana)
Sección A-5
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Reconocer el significado de la Multiplicación y la división de
los Números Racionales a través de ejemplos modelados y graficados.
Actividad Recursos de apoyo
3- 1- actividad “Vamos de paseo”
4- Para ir a un paseo a cada grupo se le solicitará
unos ingredientes para hacer la comida. Ellos
deben mostrar cual es la cantidad de cada uno
de los artículos pedidos mediante una
modelación grafica o matemática.
5-
Ingredientes para la comida
Hoja de trabajo
Calculadora.
2--actividad Agrícola “jornada de
embellecimiento de la institución”
El profesor de agrícola decide hacer una jornada
de limpieza en la institución y decide asignarle
la mitad de una zona para los cursos 8°a , 8°b y
9°. El profesor les pide a los estudiantes que
señalen lo que le corresponde a cada grupo, ya
que la otra mitad de la zona le corresponde a
otros grupos.
Hoja de trabajo
Calculadora
Zona asignada de trabajo
Cal para demarcar
Actividad fuera del salón.
6- 3-Actividad: “Que me piden y como
conseguirlo”
7- Se propondrán problemas en contexto donde se
le preguntará a los estudiantes que es lo que
pide el problema. Además se indagará sobre
cómo se podría conseguir el objetivo de la
pregunta.
Todo debe ser explicado en lenguaje escrito.
Guía de trabajo
Problemas propuestos
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (sexta, semana)
Sección A-6
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Analizar e interpretar problemas que involucren números
racionales y darle las respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y
propiedades mediante la utilización del software pedazzitos y videos educativos sobre el
tema.
Actividad Recursos de apoyo
1-Actividad: “Reconocimiento de la
multiplicación en los problemas”.
Se expondrá un video donde explican la
manera de reconocer la multiplicación en un
problema, cada grupo debe exponer lo
aprendido en el video a través de un problema
propuesto en la guía de trabajo.
Guía de trabajo
Computador
Video
2-Actividad:”El video como parte del grupo
colaborativo”.
Se propondrá un problema, cuya solución
inicial será propuesta en el video luego cada
grupo analizará y socializará el resultado
proponiendo otras ideas.
Guía de trabajo
Computador
Video
3- Actividad: “Estrategias para la suma, resta
y comparación de fracciones” Descubrir por
medio de ejemplos presentados en la guía de
trabajo como se estructura estas operaciones
en el software.
Guía de trabajo
Computador
Software pedazzitos
4-Actividad “El software vs el lápiz y el papel”
Se propondrá un problema específico incluido
en el software, para que sea resuelto con lápiz
y papel y que cada grupo exprese su análisis y
reflexión sobre la solución en los dos medios.
Guía de trabajo
Computador
Software pedazzitos
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Universidad de la Guajira
Maestría Pedagogía de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Institución Educativa Ismael Rodríguez Fuentes
Unidad didáctica 1
Intensidad Horaria: 4 horas (séptima y octava semana)
Sección A-7
Tema: Sistemas numéricos de los Naturales, Enteros y Racionales
Objetivos de Aprendizaje: Analizar e interpretar problemas que involucren números
racionales y darle las respectivas soluciones aplicando las diferentes operaciones y
propiedades
Actividad Recursos de apoyo
1-Actividad : “la respuesta del problema”
Se propondrán problemas con su respectiva
respuesta donde cada grupo propondrá la
estrategia para llegar a la respuesta. Luego se
socializará a nivel grupal.
Problemas propuesto
Calculadora
2-Actividad : “para que me sirve eso profe”
Se les dará ciertas actividades en contexto a
cada grupo. Con el fin de que los estudiantes
vean la funcionalidad de cada tema en la
cotidianidad de la vida.
Problemas propuesto
Calculadora
3- Actividad: “Creación de problemas”
A cada grupo se les propondrá unas
operaciones sin ningún contexto y cada grupo
deberá proponer un problema que contenga
cada una de las operaciones dadas.
Guía de trabajo
Calculadora
4-Actividad individual
Terminada todas las actividades grupales, se
realizará un taller individual con el fin de
observar la incidencia del aprendizaje en grupo
en el aprendizaje individual
Hoja de taller
43
2.2.3 Evaluación de los Objetivos.
Alcanzar los objetivos propuestos en cualquier curso se necesita de una evaluación
profunda que no sólo sea emitir un juicio valorativo o etiqueta, es poder darle al estudiante
las herramientas necesarias para su autoevaluación, donde él mismo pueda valorar lo
aprendido.
“La evaluación debe ser más una reflexión que un instrumento de medición para
poner etiquetas a los individuos; lo que no excluye el reconocimiento de las diferencias
individuales” (lineamientos curriculares, 1998, p. 107). Con el desarrollo del trabajo
colaborativo en el aula y fuera de ella se podría hablar de la evaluación de dos tipos de
objetivos. Unos objetivos de colaboración y lo que produce esa colaboración, siendo los
primeros la base de la evaluación de los objetivos del proyecto, abocados a lograr los
propósitos y metas del modelo pedagógico formativo participativo de la institución, en
consonancia con la misión institucional del plantel.
Formar seres integrales, activos y participativos, con capacidad
emprendedora, que buscan la excelencia en sus actuaciones de la vida diaria, dentro
de los parámetros del respeto, la justicia, el orden, la responsabilidad y el trabajo,
que se reflejan en el hogar, el colegio y la comunidad (plan educativo Institucional
Ismael rodríguez fuentes ,2009,p.7).
Con este marco de referencia que incluye la formación integral como la base
esencial del proceso educativo en la construcción de habilidades sociales que permitan
fortalecer y elevar el rendimiento académico de los aprendices se estableció dos tipos de
evaluación. (1) las habilidades sociales reflejadas en cada grupo colaborativo como la
ayuda mutua, dialogo, empatía, tolerancia, liderazgo, comunicación, desarrollo de la
confianza que pueden ser evaluadas en cada actividad propuesta mediante la observación
de cada grupo colaborativo y la consecución de las metas de las actividades propuesta. (2)
La cognitiva la cual se valorará en dos situaciones, grupal e individual donde se puede
mirar los avances del curso según lo planeado, no sin antes evaluar unos pre saberes
individuales para obtener un punto de partida y establecer unas comparaciones del antes y
el después de la estrategia aplicada.
44
En la evaluación grupal el docente a través de su visita a cada grupo podrá detectar
los posibles avances que tenga en las actividades propuestas en la construcción de dichos
objetivos además, cada estudiante evaluará los aportes de sus compañeros en cada una
de las actividades por medio de rejillas establecidas para tal fin.
Estas actividades grupales serán valoradas individualmente, ya sea de forma
escrita o por la participación de algunos de los miembros de cada grupo donde puedan
intervenir ordenadamente dando su punto de vista sobre el desarrollo de la actividad.
Emitiendo conceptos aprendidos de la práctica, en otras palabras la participación
individual en cada grupo.
Otra forma de evaluar esos objetivos es establecer el desarrollo que ha tenido cada
estudiante en cada actividad en comparación con el pre saber del curso.
2.2.3.1 Análisis
El aula de clases debe ser un laboratorio de investigación donde se puedan
experimentar situaciones que ayuden a mejorar los procesos de enseñanza - aprendizaje, es
por eso que implementar la estrategia del trabajo colaborativo en grupos reducidos en el
área de matemáticas permite analizar alternativas que puedan propiciar procesos de
aprendizajes más dinámicos, participativos y con mayor autonomía intelectual por parte de
los estudiantes, en procura de mejorar el desarrollo del pensamiento matemático.
Sabemos de las dificultades que presentan los aprendices en el área de
matemáticas, por tal motivo modificar la práctica docente en busca de mejores resultados
es una decisión que se debe tomar en el camino de la enseñanza, tratando de presentar una
matemática más amigable rompiendo los esquemas tradicionales propuestos, donde los
resultados no son muy alentadores en la educación secundaria, es por eso que se debe
buscar estrategias donde el estudiante sea participé y coautor de su propio aprendizaje
logrando entender el significado de lo que se aprende y para que se aprende, el cual debe
ser la idea fundamental de la matemática escolar.
Porque de lo contrario solo será memorizar reglas y procedimientos sin ningún
sentido lógico y práctico, pero además sin ninguna posibilidad de que lo aprendido pueda
45
perdurar en el tiempo algo contraproducente para un área progresiva que necesita de
bases fundadas para alojar los nuevos conocimientos.
En la matemática escolar hay contenidos que tienen dificultad para poder
asociarlo al contexto, pero otros tienen una gran facilidad de poder conectarlo y
asociarlo a una realidad y vivencias sociales de los aprendices, como es el caso de la
situación problémica planteada en el proyecto “desarrollo del pensamiento numérico de
los números racionales”, donde, fácilmente los aprendices pueden conectar los
interrogantes que implica lo que se aprende y para que se aprende, en la búsqueda de
contribuir de manera determinante a un aprendizaje retador pero además un aprendizaje
duradero y finalmente un aprendizaje para la vida.
Otro elemento que se sumó a la estrategia fueron los recursos educativos abiertos
(REA) que buscaron propiciar efectos colaterales que se sumaran al trabajo
colaborativo, como la motivación, indagación ,reflexión , refuerzo ,comunicación
alternativa y por supuesto la visualización que da cuenta de la conexión entre la noética
y la semiótica ofreciéndole de forma general a los aprendices una mayor claridad de los
conceptos matemáticos para lograr interiorizar de una manera más amable la parte
conceptual.
Son estos los tres ejes centrales donde giró la situación problémica de la
investigación en busca de lograr los objetivos de aprendizajes propuestos y que los
estudiantes pudieran incrementar las habilidades necesarias para el desarrollo del
pensamiento numérico motor fundamental para lograr entender y dar solución a los
problemas de menor complejidad propuesto en las pruebas saber pero además facilitar la
transición de la aritmética al algebra.
2.2.3.2 Análisis de Resultados
Durante todo mi ejercicio docente nunca había tenido la oportunidad de
desarrollar el tema de los números racionales con tanta profundidad debido a que siempre
me asignaban cursos superiores y lo que hacía era un breve repaso de las cuatro
operaciones ya que “supuestamente” era lo que se necesitaba para apoyar los nuevos
conocimientos y de alguna manera combatir algunas dificultades que traían los alumnos
46
de los cursos inferiores que eran bastante notable. Esta última parte fue lo que me hizo
reflexionar y caer en cuenta sobre el verdadero sentido que debe tener la matemática
escolar para nuestros estudiantes, donde debe ser una matemática para todos y para la
vida pero para conseguir esto no es tarea fácil se deben buscar los caminos y estrategias
para poder lograrlo.
Fandiño pinilla 2009 hace unas observaciones y sugerencias sobre la didáctica
de las fracciones en el aula, donde pone de manifiesto muchos argumentos para poder
enfrentar un problema de grandes proporciones, ella expresa:
Es innegable que el aprendizaje de las fracciones es complejo, sin importar
cómo se estructure o se articule; pero, como todo enemigo en una batalla que se
respete, la adecuada valoración del adversario y su perfecto conocimiento son armas
vencedoras en las manos de quien sepa aprovechar la supremacía ligada a
competencia y conciencia
Quiero reconocer que siempre estuvo en mi mente que saber fracciones era
resolver ejercicios, donde solo lo algorítmico y lo procedimental tenía el valor verdadero,
eso me hicieron creer siempre en mi paso por la escuela. Hoy me doy cuenta que además
de lo algorítmico y lo procedimental se le debe agregar otros elementos de gran valor
como la comprensión del número mismo, la comprensión del concepto y su aplicabilidad
en la resolución de problemas.
Otro elemento que quiero destacar tiene que ver con el curso donde se desarrolló la
propuesta (octavo grado) aunque este tema: sistema numérico de los racionales es
desarrollado en primaria (denominado fracciones) y luego en los grados sexto y séptimo
me pareció muy pertinente desarrollarlo en este grado, aun sabiendo que debía realizar una
reprogramación de los contenidos que se debían desarrollar en dicho grado, con el fin de
garantizar una armonía entre los contenidos pero lo más importante poder extender un
puente entre la aritmética y el álgebra para facilitar la comprensión de esta última ya que
siempre noté una gran debilidad en los estudiantes cuando se enfrentaban a las
operaciones con fracciones en problemas de algebra, trigonometría y cálculo, es más
cometía el error de eliminar problemas que tuvieran esta clase de número porque aunque
47
los estudiantes tenían claros los procedimientos para el desarrollo del problema, no los
culminaban y si lo hacían fallaban por no recordar los algoritmos de sus operaciones.
Implementación de la estrategia.
Inicialmente se realizó una evaluación diagnóstica a 8°a y 8°b con el fin de
establecer dos parámetros importantes para el desarrollo del proyecto, el primero era
comprobar cuál era el conocimiento que tenían los estudiantes acerca de los sistemas
numéricos y en especial del sistema numérico los racionales en los aspectos de la
compresión de las operaciones, y la resolución de problemas, con un objetivo de fondo
que era trazar un antes y un después sobre la experiencia y lo segundo tuvo que ver con
la identificación, más que con una clasificación de esos alumnos aventajados y de menor
nivel académico en el área, para implementar la estrategia del trabajo colaborativo que
iniciaba con la conformación de los grupos.
Obtenidos y analizados los resultados se realizó una reunión conjunta con los
padres de familia y el señor coordinador ya que se necesitaba del acompañamiento de los
padres para establecer unos compromisos que se debían cumplir para poder desarrollar el
proyecto, uno de esos compromisos se referían a que por semana se debía trabajar un día
por la jornada de la tarde el cual todos apoyaron de manera unánime sin ninguna discusión.
El otro tenía que ver con la suspensión temporal de los contenidos desarrollados en el
grado octavo que se retomarían gradualmente en jornada contraria, esto con el fin de no
afectar la programación del grado octavo en sus contenidos habituales.
Conformación de los grupos.
Acertar en la conformación de los grupos de trabajo sería un elemento clave en el
desarrollo del proyecto, en procura de alcanzar los objetivos propuestos pero sin ninguna
duda de aquellos referidos a la colaboración, es por eso que un factor determinante para
tal fin fue el examen diagnóstico realizado a ambos cursos ya que permitió ubicar en
los diferentes grupos aprendices con rendimiento matemáticos diferentes buscado
propiciar grupos heterogéneos pero con el argumento fundamental expresado por
Johnson, Johnson y Holubec (1999), una distribución estratificada orientada hacia el
48
rendimiento académico pero además buscando que en ninguno de los grupo hubiera
mayoría de alumnos pocos laboriosos.
Lo anterior permitió que los estudiantes con poca habilidad matemática se sintieran
seguros y apoyados ya que contaban con compañeros “profesores”, desencadenando un
ambiente de confianza y de participación entre ellos mismos.
Se conformaron seis grupos en octavo grado A (4 grupos de 5 estudiantes y 2
grupos de 4) y cinco en octavo B (3 grupos de 5 y 2 grupo de 6). Aunque nunca habían
trabajado en el área de matemáticas de esta forma siempre se mantuvo una armonía entre
todos los grupos con excepción de algunas quejas presentadas que tuvieron que ver con la
poca participación dentro del grupo y otras por la falta de atención de algunos
aprendices en el desarrollo de las actividades. Lo que produjo algunos movimientos entre
los miembros de los grupos pero manteniendo la idea central una distribución
estratificada.
Actividades propuestas y desarrolladas.
Algo que apoyó fundamentalmente el trabajo colaborativo fueron las actividades
desarrolladas, ya que se trató en lo posible de darle un sentido vivo, motivador y
pertinente a cada una de ellas, buscando que cada actividad enlazara la teoría y la
práctica en un mismo escenario en busca de desencadenar esos procesos de aprendizajes
significativos de los aprendices y así dar respuesta a una pregunta muy cuestionada
por los estudiantes ¿para qué me sirve lo aprendido? Cuando esa pregunta tuvo una
respuesta por parte de los estudiantes pude afirmar que las cosas iban por un buen
camino, y esto tiene que ver con una frase que me tropecé en la revista educación y
cultura N° 99 de la Federación colombiana de Educadores (FECODE, 2013) “si a los
estudiantes no se les enseña cómo las matemáticas puedes ser aplicada en sus vidas, ellos
estarán privados de una importante herramienta que los ayudará a participar ampliamente
en la sociedad” este fue el reto que se asumió dentro los objetivos planteados.
En el desarrollo de las actividades grupales se notó un gran interés de los
estudiantes aventajados en querer expresar y compartir su punto de vista en la solución
del problema, contagiando positivamente a algunos miembros del grupo en hacerse
49
participé de ese diálogo matemático producido por una situación problémica llena de
sentido y razón para el estudiante, en ese diálogo es donde se producen lo que Llinares &
Sanchez (1988) denominan exposición común de distintos procedimientos
matemáticos, permitiendo elaborar ideas más generalizadas sobre la solución del
problema.
Todas las actividades grupales fueron desarrolladas sin tener la clase magistral
como factor fundamental de la estrategia, la pizarra solo se utilizó para dar indicaciones
generales de cada actividad y fue utilizada constantemente por los grupos colaborativos
para socializar ideas matemáticas sobre la situación problémica planteada en cada
actividad.
No pareciera que estas fueran mis palabras pero también pude entender con este
proyecto que existen otros caminos que producen efectos más duraderos que una clase
magistral y que no necesariamente se necesitan las cuatro paredes para desarrollar estas
actividades.
En las actividades individuales, que fueron desarrolladas en dos momentos a través
de talleres se pudo constatar el mejoramiento que tuvieron los estudiantes aventajados
en la resolución de los problemas, ya que esta fue una debilidad notada en la prueba
diagnóstica de estos estudiantes, donde alguno de ellos la respuesta dada en los ítems de
los problemas fue “no entiendo que hacer”.
Con respecto a los estudiantes con mayor dificultad, muchos presentaron mejoría
logrando resolver los problemas de manera gráfica pero con poca sustentación
matemática, esto es un avance muy significativo ya que se está a un paso de consolidar una
estructura matemática adecuada y mejor elaborada que ni siquiera fue presentada en el
examen diagnóstico. Unas de las razones fundamentales que contribuyó a estos avances
fueron los problemas contextualizados y cotidianos permitiéndole al aprendiz no sólo
llegar a un valor numérico como tal, sino cuestionar si la solución obtenida tenía
significado y además si es razonable de acuerdo al problema planteado. Los Lineamientos
curriculares, (1998) afirman claramente que un contexto significativo es fundamental
50
para acercar al estudiante a las matemáticas lo que permite el desarrollo del pensamiento
matemático integrando la comprensión del número y del concepto.
Utilización de recursos educativos abiertos.
He sido un defensor de la matemática de lápiz y papel ya que mi formación no
estuvieron presentes muchos elementos informáticos, solo la calculadora que ha
sobrevivido al fuerte impacto tecnológico del siglo, pero no por eso se debe desconocer las
bondades de la tecnología en el currículo de matemáticas. Son muchos los factores que
inciden de manera positiva en el aprendizaje de las matemáticas, como se dijo
anteriormente una de ellas es la visualización de los objetos matemáticos, brindándonos la
posibilidad de mejorar la imaginación y la manipulación de ellos, dejando atrás lo
instrumental y lo mecánico que inicialmente era la idea principal cuando hizo la
aparición el computador en el aula de clases.
Sobre este aspecto se trabajó con el recurso educativo abierto pedazzitos un
software libre que no necesitó de conexión a internet y varios videos educativos
descargados de la página web de Khan academy. El objetivo fundamental de la utilización
de estos recursos era seguir sumando elementos que contribuyeran al desarrollo del
pensamiento numérico a través de la observación de patrones, establecimiento de
conexiones entre las actividades planteadas y por último el reforzamiento de los procesos
algorítmico que en últimas son la herramientas que permitirían estructurar de una manera
adecuada y mejor elaborada la resolución de los problemas.
A pesar que ningún grupo había tenido la posibilidad de trabajar con estos tipos
de recursos en el área de matemática se notaron ciertas dificultades técnicas al inicio de
las actividades pero con una gran motivación por la experimentación de un nuevo
ambiente de aprendizaje en esta área . Los tres elementos mencionados anteriormente se
reflejaron en los talleres individuales donde en un mismo problema llegaron a la misma
solución planteando situaciones distintas, modelos gráficos, modelos matemáticos y sus
combinaciones, unos con mayor rigor que otros, pero sobre todo el del establecimiento de
conexiones entre lo conceptual y lo procedimental claves en el desarrollo del pensamiento
numérico.
51
Además con el recursos educativo se tuvo la posibilidad de que el estudiante pudo
construir su propio conocimiento de una forma más activa y participativa con sus
compañeros, observando patrones establecidos anteriormente en el software, lo que
posibilitó que el aprendiz hiciera inferencia de algunos resultados antes de que el recurso
lo emitiera, llegando a la conclusión de que no por utilizar la “calculadora” la respuesta
era correcta, algo que muchos pensaban.
Algo muy particular que me llamo la atención, fue que pocos estudiantes
siguieron insistiendo en la suma errada de las fracciones heterogéneas una dificultad que
frecuentemente se presenta a nivel general. Cuando la situación problémica los llevó a
esta operación inmediatamente recordaban la experiencia que se tuvo con el recurso
tecnológico que permitió el reforzamiento algorítmico de una manera diferente a lo
tradicional donde el lápiz y el papel fueron reemplazados por una dinámica distinta,
propiciada por una suma de motivaciones iniciada por el trabajo colaborativo , los
problemas en contexto y la utilización del REA.
3.0. Conclusiones.
Desarrollar el pensamiento numérico implica la comprensión general de los
sistemas numéricos desde lo conceptual hasta lo procedimental, este fue el objetivo
propuesto por esta investigación apoyado por una solidaridad matemática basada en el
trabajo colaborativo.
Garantizar el trabajo colaborativo de todos los grupos fue una tarea que necesitó de
un diálogo constante y permanente en el desarrollo del proyecto debido a la costumbre de
los estudiantes de trabajar de forma individual y competitiva. Lograr que la
interdependencia positiva y la responsabilidad individual rodeara a cada uno de los grupos
en función de la meta demando múltiples intervenciones para que comprendieran que
la ideas era poner el aprendizaje colectivo al servicio del aprendizaje individual.
Se realizaron algunos cambios en al menos dos grupos del curso 8°b debido a las
quejas por falta de colaboración de algunos integrantes, en el curso 8°a las quejas se
52
presentaron en menor medida y no obligó ningún cambio estructural de los grupos, el
éxito de esta experiencia estaba no en mantener los grupos unidos, sino en crear lazos
sociales para propiciar una interacción activa entre las actividades y los estudiantes
buscando enriquecer el diálogo matemático.
Crear los grupos heterogéneos académicamente resultó fundamental para llenar de
confianza aquellos estudiantes con dificultades y poca habilidad matemática, pero esto
también ocasionó leves inconvenientes a la hora de desarrollar las actividades, (1)una de
ellas fue que algunos estudiantes con mejor nivel académico se oponían a brindarle la
mano a sus propios compañeros, insistiendo en que ellos no participan de la manera como
ellos querían “ que cada quien resolviera el problema por aparte” técnica utilizada en sus
trabajos de grupos rutinarios, incluso algunas veces propusieron que cada quien haga su
trabajo, por miedo a obtener una mala calificación en la actividad por culpa de sus
compañero situación planteada por Johnson, Johnson y Holubec (1999), (2)la otra
situación fue opuesta donde otro grupo de estudiantes querían brindarle el apoyo al
grupo y no encontraban compromisos en algunos de sus integrantes para el desarrollo de
las actividades propuestas, ocasionando a veces el desinterés de los compañeros en seguir
construyendo un diálogo matemático genuino en el grupo.
Fueron permanentes los diálogos sostenidos a lo largo de todo el proyecto con
ambos grupos, sobre la importancia de ser agentes activos en este proceso cuya única
pretensión era elevar el rendimiento académico “pensamiento numérico” del aula en
función de una práctica social saludable entre todos.
No ver sentados a los estudiantes en filas diariamente en la clase de matemáticas,
no fue motivo para alarmarse, ni muchos menos cuando se levantan para preguntarle
algo a su compañero sobre la actividad , en ningún momento se sacrificó la disciplina en
el salón, pero si produjo cambios interesantes en la motivación de los estudiantes, se
sentían más siendo ellos, podían preguntarse, el que no participaba ya lo hacía con su
compañeros, creo que desde siempre debió hablársele de la solidaridad con un valor
académico, en el sentido de ayudar a otros pero donde aquel, esté dispuesto a ser
ayudado.
53
Para comparar los efectos que produjo el trabajo colaborativo y la matemática
contextualizada en el aprendizaje individual se plantearon dos evaluaciones, a la mitad y
en la finalización del proyecto, hubo adelantos significativos en ambos grupos aunque se
presentaron casos donde no se produjo ningún avance. ¿Cuál sería la causa sobre esta
situación? No podría dar muchas razones sobre dicha conducta pero, una de ellas podría
ser la falta de compromiso que se tuvo con el grupo colaborativo en aportar al menos las
ganas de querer aprender de una manera distinta a la convencional. Otra puedo haber sido
la inasistencia frecuente en el desarrollo del proyecto, debemos puntualizar que la
matemática es progresiva y que una clase es argumento para la otra, por lo tanto si a esto
le sumamos que no hay esfuerzo ni compromiso pues los resultados serán siempre
negativos para aquellos aprendices que no le encuentran sentido a la colaboración.
En la primera actividad individual realizada a la mitad de la experiencia, 4
estudiantes del grupo 8°a y 5 de 8°b no lograron ningún avance significativo. Mostraron
algunos trazos algorítmicos pero sin ningún sentido además las gráficas propuestas no
mostraron ninguna relación con la resolución del problema, los demás estudiantes
propusieron soluciones gráficas, otros lo hicieron utilizando el lenguaje algorítmico y
otros utilizaron las dos herramientas lo que demuestra que hubo una conexión conceptual
con lo procedimental, hecho fundamental para el desarrollo del pensamiento numérico
expresado en la resolución de problemas.
El siguiente cuadro resume la segunda actividad individual constituida por ocho
ítems propuestos y que cada estudiante debía construir paso a paso la solución.
Tabla 3: Ítems acertado en segunda prueba individual.
Como se puede observar solo 3 estudiantes de los 9 de la evaluación anterior
continuaron sin mostraron ningún tipo de avance, también se encontró que uno de los
dos estudiantes que acertó en los ocho ítems propuestos tenían ciertas debilidades en el
Número de Ítems acertado 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de estudiantes 3 6 4 8 7 8 3 6 2
54
área. Es más también se presentó el caso de un estudiantes que tenía serias dificultades
académicas comprobadas en la valoración diagnóstica y logró responder cinco ítems de
manera estructurada.
Comparando esta valoración con la valoración diagnóstica se puede ver un
incremento porcentual notables en los juicio valorativo individuales alcanzado por los
estudiantes. Inicialmente solo el 20% de los aprendices lograban obtener una nota
significativa importante en el área y ahora ese porcentaje aumento a un 54%.
Estos resultados demuestran que el trabajo colaborativo puede significar un nuevo
camino para orientar el proceso enseñanza aprendizaje en el área de matemática y que
evaluar los conocimientos previos de nuestros estudiantes garantizaría la implementación
de planes de acciones que se deben tomar para reorientar el proceso buscando integrar
más la parte social con la académica.
4.0. Recomendaciones.
El desarrollo del pensamiento numérico no está constituido solo por la parte
operativa de los sistemas numéricos, es fundamental que el docente estructure una
matemática contextualizada donde el estudiante logre captar el significado y sentido de
lo que está aprendiendo en función de lo operativo, esto es posible si “como todo enemigo
en una batalla que se respete la adecuada valoración del adversario y su perfecto
conocimiento son armas vencedoras en las manos de quien sabe aprovechar la supremacía
ligada a competencia y conciencia” (Fandiño P, 2009, p.191)
Esta estrategia debería desarrollarse en cursos inferiores de bachillerato, sexto o
séptimo incluso quinto de primaria, con esto no estoy dando argumento de que es un error
desarrollarlo en grados superiores sino que se debe tener en cuenta los contenidos
programáticos que concuerdan con esos grados. Desarrollarlo en grados superiores
implica dos situaciones que se deben tener en cuenta, (1) los procesos de nivelación sobre
los contenidos propios de dicho grado y si esto es así entonces esta nivelación de
contenido debe también tener un espacio determinado en la propuesta o en el horario.(2)
55
Recordar que estos contenidos fueron desarrollados en cursos anteriores y se debe tener
mucho cuidado con los estudiantes que dominan estos tópicos ya que para ellos puede ser
no muy significativo volverlos a ver y para eso debe existir un plan de acción para
contrarrestar esta posición.
Para aquellos estudiantes que no mostraron ningún mejoramiento académico con la
propuesta implementada, la Institución Educativa debe buscar mecanismos alternativos
que faciliten y promuevan la inclusión académica de estos estudiantes a través de un
acompañamiento individualizado por parte de profesionales sociales de la Institución.
Con respecto a la estrategia del trabajo colaborativo es fundamental crear los
espacios adecuados para su funcionamiento, en nuestro caso no se contó con secciones
de dos horas en el aula de clases, lo que habría permitido contar con mayor tiempo para las
socializaciones de cada una de las actividades.
Existen muchos recursos educativos abiertos on line sobre el tema de las fracciones
que invitan al reforzamiento y al desarrollo del pensamiento numérico sería interesante
poder llevarlos al aula de clase, pero esto solo es posible en instituciones que cuenten con
una sala de informática bien acondicionada y con una buena conexión a internet.
5.0 Reflexiones sobre las estrategias pedagógicas implementadas, una aproximación a
la sistematización.
5.1 Objetivo
El reflexionar sobre las prácticas pedagógicas debe ser un objetivo fundamental de la
labor docente, puesto que este hecho permite comprender la realidad y lo acontecido en el
escenario pedagógico para luego transformarlo en pro de la cualificación de dichas
prácticas. Fue este el motivo que dio origen a la idea de este proyecto de profundización
titulado “El pensamiento numérico a partir del aprendizaje colaborativo, mediado con
recursos educativos abiertos”. Esta nueva experiencia necesitó ser narrada y descrita para
promover un nuevo proceso de análisis en cada uno de sus componentes, metodologías y
estrategias; con el propósito de generar y rescatar nuevos conocimientos emergentes
56
sobre la comprensión conceptual y algorítmica de los procesos numéricos a la hora de
resolver las situaciones problemas, para que no se diluyan, sean entendibles y por ende,
para que puedan ser compartidos entre los participantes y/o actores.
Uno de los elementos fundamentales en esta reflexión para generar y rescatar los
nuevos conocimientos, fue sin duda alguna, la incidencia que tuvo el trabajo colaborativo
en el aprendizaje individual de los aprendices, el cual se transformó en el eje central de la
estrategia motivando y permitiéndole muchas veces al docente replantear situaciones, que
inicialmente fueron planeadas de una manera, pero que en la implementación se
modificaron, buscando generar una interacción creativa y participativa para que los
estudiantes aprendieran comprendiendo lo que aprenden, Según Tünnermann (2011), el
rol del docente debe ir más allá de trasmitir información o conocimientos, es recrear y
poner en perspectivas situaciones problémicas contextualizadas para que los estudiantes
establezcan nexos entre posibles soluciones y puedan realizar reflexiones e inferencias y
sobre lo planteado.
Esta reflexión según Jara (s.f), en términos de sistematización de experiencia
“produce una reconceptualización mediante la cual las concepciones teóricas vigentes son
redefinidas desde la práctica, desde los nuevos conocimientos que se elaboran al
reflexionar sobre la acción”. Freudenthal (1991), expresa que “…el conocimiento sobre la
práctica docente debe ser un conocimiento creado por el mismo profesor… y no un
conocimiento ya creado que simplemente se transmite en los cursos…”
Poner en práctica la idea de Jara y Freudenthal generó cambios positivos en el
ejercicio docente debido a las reflexiones críticas y autocrítica suscitadas en las vivencias
del aula de clases, éstas, permitieron generar cambios en el proceso de enseñanza –
aprendizaje, que buscaron dilucidar nuevos caminos que condujeron a una mejor
comprensión conceptual y algorítmica de los sistemas numéricos a la hora de resolver
problemas matemático dándole mayor fuerza a la elaboración del concepto, construcción
del significado y desarrollo de habilidades antes que la memorización de los algoritmos de
las operaciones.
57
Para ello se necesitó la incursión de metodologías transformadoras, activas y
motivadoras que permitieron generar un clima seguro en el aula, que propiciaron un
aprendizaje por comprensión, efectivo y duradero a través de la significancia de lo
aprendido. El trabajo colaborativo en el aula recogió uno a uno los argumentos
anteriormente expuestos, donde el intercambio de conocimiento, información,
procedimientos y recursos, generados por la interacción creativa (diálogos, debates,
discusiones) dentro de cada grupo fortaleció las habilidades para debatir, explicar,
estructurar procesos, conceptos y procedimientos matemáticos en un ambiente de
confianza generado con situaciones e informaciones contextualizadas.
Fue crucial y motivante enfrentar este desafío inédito para el docente, buscando
develar, narrar y “comprender cómo se desarrolló la experiencia, por qué se dio de esta
manera y no de otra, cuáles fueron los cambios que se produjeron, cómo y por qué se
produjeron” (Jara s.f, p.4), a través de la “curiosidad epistemológica” (Ghiso, 2006, p. 47)
aplicada a la estrategia pedagógica implementada para el logro de los objetivo del
proyecto, que daban cuenta de encontrar una relación entre el concepto y el
procedimiento matemático, orientada hacia la conceptualización del sistema numérico de
los racionales como hecho relevante para poder darle significado a las operaciones
algorítmicas planteadas.
Aunque las experiencias son únicas e irrepetibles, también se espera con este
documento compartir los resultados obtenidos en dichas acciones, buscando generar una
mayor análisis crítico cualitativo sobre la práctica pedagógica para que pueda ser
confrontada con otras experiencias y seguir generando más reflexiones y enseñanzas sobre
este tema tan fundamental en el área de matemáticas, que por cierto es bastante inédito en
el contexto educativo; pero además, permitir el avance hacia nuevas propuestas que
promuevan la inclusión de nuevas alternativas en el aula de clases en procura de conseguir
estrategias que propicien un aprendizaje por comprensión, duradero, significativo de los
aprendices en el área de matemáticas teniendo como base las miradas críticas de este
trabajo.
58
5.2 Objeto de reflexión.
El proyecto de profundización “El pensamiento numérico a partir del aprendizaje
colaborativo, mediado con recursos educativos abiertos”, se desarrolló en la Institución
Educativa Ismael Rodríguez del Municipio de El Molino - La Guajira, cuyo objetivo
principal era promover la capacidad de construir una relación entre el concepto5 y el
procedimiento matemático, orientada hacia la conceptualización del sistema numérico de
los racionales, para poder darle significado a las operaciones algorítmicas planteadas.
Este proyecto contó con la participación de 57 estudiantes de los grados 8°A y 8°B y el
docente del área de matemáticas, durante los meses de septiembre, octubre y noviembre
del 2013.
Se ha demostrado durante toda la historia, que las matemáticas han sido sinónimo de
magistralidad, individualismo, rigidez, mecanización de procesos, miedo etc., y esto ha
limitado la significación del área y solo ha “favorecido” a muy pocos estudiantes. Ha
llegado la hora de buscar nuevas estrategias y recursos que promuevan una matemática
más social y divertida, facilitando una mayor participación colectiva entre los aprendices
en búsqueda de un verdadero desarrollo de los pensamientos y procesos matemáticos.
Es por eso que la intencionalidad de esta propuesta fue la de reorientar el proceso de
enseñanza y aprendizaje actual, buscando generar una participación activa, que
condujera a mejorar la fluidez conceptual y algorítmica de los estudiantes, basado en
la estrategia del aprendizaje colaborativo donde la interacción social y la construcción
colectiva, fuese el eje fundamental. Pero además, incorporando elementos que
promovieran una comunicación alternativa entre estudiantes - docente – contenido, a
través de la inserción de materiales didácticos y recursos educativos abiertos, que
permitieran visualizar y conectar la conceptualización con la operatividad, hecho
manifiesto en las actividades propuestas.
5.3 Eje de reflexión.
El hilo conductor (eje central) que atravesó la experiencia fue sin duda alguna, la
estrategia pedagógica del trabajo colaborativo abordado en el plan de implementación de la
5. El concepto es el producto de la abstracción (proceso mental, sacar de…, es el proceso mediante el cual el
entendimiento abstrae las imágenes de las cosas; abstracción se relaciona con el percepción y asociación).
59
innovación, cuya intencionalidad era cualificar el proceso actual de enseñanza para
mejorar las habilidades del pensamiento numérico y los sistemas numéricos, privilegiando
los aspectos conceptuales sobre los algorítmicos y poder conectar la teoría con la
práctica, para encontrarle sentido a lo que se hace y el por qué se hace, que en palabras del
aprendiz seria ¿para qué me sirve esto?
En esta estrategia, Johnson, Johnson, y Holubec, (1999), establecen que se debe
identificar cuáles son los elementos básicos necesarios que permiten el trabajo
colaborativo, para poder diseñar intencionalmente las actividades planeadas y así,
diagnosticar la influencia de aquellos elementos que de manera positiva o negativa
incidieron al alcance o limitaciones del objetivo propuesto por la experiencia. A partir de
lo anterior, esta estrategia se desarrolló teniendo en cuenta distintos escenarios y la
utilizacion de diferentes recursos, permitiendo observar y evaluar cada uno de los cinco
elementos básicos propuestos por Johnson et al. (1999), como son: Interdependencia
positiva, (2) La responsabilidad individual y grupal (3) Interraccion estimuladora, (4)
Prácticas interpersonales y grupales imprencidibles y (5) Evaluacion grupal.
Los escenarios propuestos dentro de la implementación de la estrategia fueron
marcados por los espacios físicos y los recursos utilizados en ella. El primer escenario,
estuvo marcado por elementos convencionales utilizados en el aula de clases; salón de
clases, textos, libretas, lápices y guía de aprendizaje. En el segundo escenario, se modificó
los materiales convencionales por materiales manipulables: pedazos de panela, envase de
gaseosa, papel bond, cartulina, memos, marcadores, cal y guía de aprendizaje. El tercer
escenario estuvo marcado por la utilización de los recursos educativos abiertos (software
pedazzitos y videos educativos sobre la temática) en el aula de informática, acompañada de
la guía de aprendizaje.
5.4 Plan de la implementación
El plan orientador que definió el procedimiento para describir y construir la memoria
metodológica del proceso vivido y que buscó dar respuesta al eje orientador de la
reflexión, tuvo en cuenta tres momentos clave propuesto por Colorado, Valderrama y
60
Holguin, (2012) que son: la recuperación de la experiencia, análisis e interpretación, y la
socialización y compartir de la experiencia
En la recuperación de la experiencia fueron importantes los instrumentos utilizados para
levantar la información requerida, durante todo el proceso de implementación. Cada
estudiante contó con una bitácora de campo, donde expresaba sus sentires y apreciaciones
de manera individual sobre la experiencia, además, el docente acompañante hizo lo propio
con su bitácora, donde describía paso a paso las vivencias de la experiencia a través de las
observaciones directas e indirectas, y el constante diálogo que se mantuvo con los
estudiantes en la implementación de la estrategia. Otros elementos fundamentales fueron:
los registros fotográficos que le dieron vida a cada uno de los relatos manifiestos de la
experiencia, las guías de aprendizajes colectivas e individuales.
En el análisis y la reflexión de la estrategia que buscó dar respuesta al eje orientador
“se explica y se comprende, cada uno de los elementos de la práctica, para buscar
complementaciones, tensiones, interacciones, similitudes y contradicciones, y se ubican
los aportes relevantes para así establecer rutas de comprensión del sentido y significado de
los sucesos, situaciones y acciones relatadas, articulando siempre los datos con el
contexto”. (Londoño & Atehortúa, 2011, P33.) , (Como se cita en Colorado, Valderrama y
Holguín et al. 2012)
Por último, está el de socialización y compartir de la experiencia, este es uno de los
elementos clave de esta reflexión, ya que con ella se buscó poner en consideración cada una
de las reflexiones obtenidas para ser validadas por los participantes de la experiencia. Pero
además, cumplir con unos de los propósitos de esta reflexión pedagógica que es generar
nuevos conocimientos de la misma práctica.
5.5 Reconstrucción Histórica.
Antes de poner en marcha la implementación de la estrategia diseñada en el plan de
mejoramiento en los dos cursos de octavo grado, esta propuesta fue socializada el 08 de
agosto de 2013 con los padres de familias, estudiantes y coordinador académico motivado
dos razones fundamentales: la primera, considerada la de mayor relevancia, tuvo que ver
61
con el bajo nivel académico en el área de matemáticas en las pruebas externas e internas.
Pues a pesar que las pruebas saber del grado noveno analizadas de 2012 no correspondían
precisamente a los grupos a intervenir, las pruebas internas (informes académicos año
2013) de estos grupos, mostraban resultados poco alentadores y que ponían al descubierto
debilidades conceptuales y algorítmicas en el desarrollo del pensamiento numérico,
especialmente en el sistema de los números racionales que se reflejó en los diferentes
temas desarrollados. La segunda razón, fue referente a los contenidos que serían
desarrollados en la estrategia, debido a que éstos, no correspondían a los temas
programados habitualmente para el grado octavo y que por ese motivo se necesitaba contar
con la aprobación de asumir unos compromisos adicionales, para desarrollar la
programación habitual en una jornada distinta a la escolar, mientras se ejecutaba la
implementación de la experiencia.
Al terminar la socialización de la estrategia, los padres de familia se fueron satisfechos
y convencidos que la situación que se estaba presentando en ambos cursos referente al
rendimiento académico, ameritaba una intervención urgente y planificada para mejorar la
formación académica de los aprendices y los procesos académicos de la institución.
Fue por eso que la primera razón, sustentó el punto de partida para estructurar una
estrategia pedagógica “distinta”, buscando salirse de los esquemas tradicionales
propuestos en el aula de clases, puesto que los resultados de los aprendizajes obtenidos en
el área de matemáticas hasta ese momento fueron desfavorables y que generalmente,
La mayoría de nuestros alumnos no están preparados para hacer conexiones
y entender el valor y el sentido de lo que se les enseña. Los métodos tradicionales de
enseñanza, a través de los cuales se enseña a los alumnos cómo procesar la
información, difiere de la manera en que nuestros alumnos procesan realmente la
información. De la misma forma, la manera en que los métodos tradicionales de
enseñanza pretenden motivar a los alumnos, difiere de la manera en que podemos
motivar realmente a nuestros alumnos. A pesar de que nuestros alumnos necesitan
desesperadamente entender conceptos académicos (matemáticos, por ejemplo) para
poder desempeñarse bien en sus trabajos y en la sociedad en que vivirán y
trabajarán, la mayoría de nuestros alumnos tiene dificultad para entender dichos
conceptos tal como se los enseña habitualmente.(Cord, Leading chance in
education, 2003, pag. vii )
62
Los sustentos anteriores fueron las causas de ese análisis reflexivo acerca de la
necesidad Institucional sentida (mi propia practica), para poder encontrar alternativas que
condujeran a una transformación del proceso enseñanza – aprendizaje, a través de
elementos teóricos pertinentes que fueron necesarios para replantearlo con una nueva
perspectiva y diseñar una propuesta “innovadora” totalmente opuesta al tradicionalismo
matemático, buscando construir y potenciar procesos más dinámicos y significativos en el
aula de clases para fortalecer el pensamiento numérico.
5.5.1 Relato.
Además de la socialización de la estrategia con los actores académicos y padres de
familia, uno de los retos más importante fue el de la conformación de grupo de trabajo,
pues éste, era el pilar donde se sustentaba la implementación del proyecto. Acertar en esta
estructuración desde el punto de vista académico y social, le permitirían al docente de
algún modo realizar las menores intervenciones, para lograr mantenerlo enfocados en la
consecución de los objetivos del proyecto.
Se tenía claro que la conformación de los grupos debía mantener una mezcla
heterogénea: “académica-social”. En el sentido académico Johnson, et al. (1999), habla
de una distribución heterogénea orientada hacia el rendimiento académico y nivel de
competencia. Donde los grupos fueran una mezcla entre estudiantes con distintos niveles
de competencias, con el fin de que aquellos con capacidad para resolver problemas de una
manera crítica, ejecutar cálculos complejos y establecer relaciones entre diversos aspectos,
cooperen, acompañen y enseñen a quiénes hasta el momento se adentran en ellas.
En la fase (académica) se implementó inicialmente la aplicación de una evaluación
diagnóstica individual el 9 de septiembre de 2013, para conocer los pre-saberes de los
estudiantes sobre los sistemas numéricos (tema desarrollado en grados anteriores), eje
central del desarrollo del pensamiento numérico. Los resultados obtenidos en la prueba
fueron categorizados en cuatro niveles de desempeño, siguiendo las orientaciones del
Instituto Colombiano para la evaluación de la educación (ICFES) así:
63
Tabla 4: Niveles de desempeños
Nivel de desempeño
Avanzado Satisfactorio Mínimo Insuficiente
Muestra un
desempeño
sobresaliente en las
competencia
esperadas para el
área
Muestra un
desempeño
adecuado en las
competencias
exigibles para el
área y grado
evaluado
Muestra un
desempeño mínimo
en las competencias
exigibles para el
área y grado
evaluado.
No supera las
preguntas de menor
complejidad de la
prueba.
Categoría de competencia según el Instituto Colombiano para la evaluación de la educación (Icfes).
Los niveles de desempeño que se presentaron en la evaluación diagnóstica se
expresan a continuación en el siguiente gráfico:
Terminada esta fase, se optó por construir 11 grupos bases con los diferentes
niveles de competencia presentada “(seis grupos en 8°A y cinco grupos en 8°B)”. Teniendo
en cuenta las recomendaciones de Llinares y Sanchez (1988), donde expresan que los
grupos reducidos (cuatro o cinco estudiantes) son una buena estructura de organización.
Ademas, el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (s.f) sustenta que
en grupos muy grandes (numerosos) es difícil que todos los estudiantes tengan la misma
oportunidad de participar y colaborar.
47% 35%
18%
Nivel de Competencia Inicial insuficiente Minimo Sastifactorio avanzado
1Grafico obtenido de los resultados de los pre-saberes
64
La fase (social) interpretada como el interés que tenían algunos estudiantes por
querer integrar el mismo grupo, tomo como principio fundamental el nivel de competencia
de cada uno de los integrantes. Sobre este aspecto, solo se presentaron dos modificaciones
iniciales donde compañeros ubicados en el mismo nivel de competencia, decidieron por
mutuo acuerdo cambiar de grupo alegando motivos de compañerismo y amistad.
Definido la conformación de los grupos heterogéneos “académico social” se sintió
un ambiente de aceptación y complacencia por cada uno de los integrantes de los 11
grupos. En el grado 8 A cada uno de los grupos estaba compuesto por cinco estudiantes;
mientras que el grado 8 B, tres grupos quedaron conformados de 5 estudiantes y los otros
tres de cuatro estudiantes.
El siguiente paso consintió en socializar con cada uno de los cursos, el objetivo
de trabajar en pequeños grupos durante la implementación del proyecto, puesto que “el
tiempo invertido en capacitar a los alumnos para que trabajen juntos es más productivo que
el dedicado a tratar de juntar a determinados alumnos en un mismo grupo.” académico
Johnson, et al. (1999, p.18).
La charla inició con la presentación de un video corto obtenido de página
YouTube “https://www.youtube.com/watch?v=qvF3jfSWq8A” donde se devela la riqueza
del trabajo colaborativo de una manera creativa, luego varios estudiantes expusieron sus
puntos de vista producto de las reflexiones hechas al video, de las cuales cabe reseñar
algunas, como las siguientes:
“profe así si es bueno porque todos ayudan” L. Acosta.
Socialización de la estrategia aprendizaje colaborativo
65
“si una hormiga no hubiese trabajado de pronto no habrían podido con el oso hormiguero”
G. Zabaleta.
“El último de los animales se dio cuenta y le comunico a todos” M. Acosta.
“la unión hace la fuerza” M. Lago
“Fíjense que el último pingüino, fue llevado por el peso de los otros” D. Ramírez.
Estos comentarios, dejan ver la importancia de trabajar en equipo, y que cada
quien desde su postura trataba de ayudar a la consecución de un mismo objetivo que para el
video era la supervivencia.
Realizando una analogía entre los personajes participantes en el video y los
estudiantes, el docente expuso cuáles eran las condiciones básicas que debía aportar
cada uno de los integrantes del grupo (cambio de rol), para conseguir objetivos similares
en el área de matemáticas. “Interdependencia positiva, Responsabilidad individual, La
interacción, Habilidades interpersonales y grupales, Evaluación grupal”. (Johnson, et al.
1999,p.9). De cada una de ella, se expuso algunos ejemplos para justificar que el simple
hecho de formar equipos no garantizaría la consecucion de los objetivos planteados,
accordando que una forma de evaluar estos elementos básicos era que cada estudiante
llevara una libreta de apunte (Diario de campo), que les permitiera consignar por cada guía
de aprendizaje desarrollada: sus percepciones, sentires y observaciones de este nuevo
proceso (heteroevaluación y coevaluación), donde a través de una serie de preguntas
valoraban cualitativamente sus experiencias, sumado a esto, individualmente se
programaron dos evaluaciones para medir el impacto del aprendizaje colaborativo en el
desarrollo de las actividades y en el aprendizaje individual de los estudiantes.
Un día después de terminado el proceso de socializacion, inició el proceso de
implementacion. El cual se desarrolló normalmente en el horario de clase habitual que se
muestra a continuación (exceptuando los talleres donde se utilizó los recursos educativos
abiertos, que requerían mayor tiempo, los cuales fueron planeados con anticipación con
la ayuda del señor coordinador):
66
Tabla 5: Horario de clases
Hora Lunes Martes miércoles Jueves
1 8 A
8 A 8 A
2
8 B
3
8 A
4 8 B
5
8B 8A Horario de clases de los grados octavos 2013
A pesar de tener un conocimiento teórico de esta metodología de trabajo
(aprendizaje colaborativo), no se deja de sentir un poco de temor al inicio, puesto que este
nuevo reto exigía un mayor grado de flexibilidad por parte del docente, ante eventos y
situaciones que no son de costumbre. Tales eventualidades podían estar reflejadas en
hechos como ver a estudiantes levantados de sus sillas teniendo conversaciones con sus
compañeros que podrían comprometer la disciplina del curso. También la preocupación
por el grado de compromiso ante la responsabilidad asumida por cada uno de los
estudiantes en este nuevo proceso, algo inédito para todos. Pero también se convertía en un
aliciente y en un reto, la realidad plasmada en los resultados escolares más recientes, que
debían revertirse a través de acciones pedagógicas transformadoras. Suarez (2010), expresa
que el modelo individualista en el trabajo escolar utiliza como vías favorables la
confrontación y el aislamiento, por lo tanto la inserción de estos nuevos elementos de
forma y fondo en el aula de clases deberían de ser puesto en escena para su valoración y su
respectiva reflexión.
En las siguientes imágenes se muestra las modificaciones de forma y de
organización que se presentaron en el aula de clases para el desarrollo de la experiencia.
Antes de la implementación. En la implementación
67
La verdadera magnitud de esta experiencia inició cuando el docente comenzó a
darle vida al plan de acción, diseñando las guías de aprendizaje teniendo en cuenta los
objetivos propuestos en el proyecto, alineándolos con los conocimientos previos
mostrados en la prueba diagnósticas donde el 47% de los estudiante se ubicaba en un
nivel de competencia insuficiente, lo que amerito que las guías contemplaran definiciones
“elementales” con el reconocimiento de los sistemas numéricos, esto marcó el cambio de
rol del docente enfocado a las ideas de Collazos, Guerrero, y Vergara (s.f), quienes
plantean que el docente debe cumplir en este nuevo esquema el papel de: diseñador
instruccional, mediador cognitivo e instructor, enmarcadados en un práctica reflexiva.
Cumpliendo el rol de diseñador instruccional. (Materiales de trabajo)
Muchas de las actividades del rol instruccional habían sido cumplidas con
anterioridad, puesto que según Til (1996), son: definir objetivos, tamaños y composición
del grupo, distribución en el salón, materiales de trabajo. Lo que no significa que el
docente no volvería asumir este rol durante la implementación, cada vez que se plantearon
cambios o se reacomodaron los entornos de aprendizaje por la misma reflexión de la
práctica, situación que no pasaba antes, éste estuvo presente. Por ejemplo las guías de
aprendizajes fueron modificadas con respecto a sus contenidos iniciales, eran demasiados
ítem para desarrollarlos en una hora de clase teniendo en cuenta que los resultados
obtenidos en cada guía serian socializados.
En las siguientes líneas se expondrá como fue el rol de mediador cognitivo e
instructor del docente y el de los estudiantes enmarcados en los elementos básicos para
que existiera la colaboración en cada uno de los grupos, Johnson et al. (1999).
68
Esta reflexión se hizo caracterizando los recursos que se utilizaron en las
guías de aprendizaje, los cuales se detallan en la siguiente tabla:
Tabla 5: Guías aplicada en la implementación
Recursos utilizado Nombre de la Guía Fecha de
implementación
Lápiz y papel
1-Reconocimiento de los sistemas
numéricos.
11 de septiembre
2-transformación de un número natural,
entero a racional.
7 de octubre
3-Orden numérico de los racionales 5 de Noviembre
Material didáctico
1-Cada número en su puesto 18 de septiembre
2-Un pedazo de panela 10 de octubre
3-Jornada de limpieza 13 de noviembre
Recursos educativos
abiertos
1-Pedazzitos 23 de octubre
2-Reconocimiento de la multiplicación
en los problemas parte 1
7 de Noviembre
3-Reconocimiento de la multiplicación
en los problemas parte 2
19 de Noviembre
Cabe destacar que estas guías fueron diseñadas teniendo en cuenta tres elementos
fundamentales para el desarrollo del pensamiento numérico: “(1) la comprensión de los
números, (2) comprensión del concepto y (3) el cálculo, aplicaciones y operaciones”
(Lineamientos curriculares, 1998, p.45) orientados a problemas contextualizados.
69
Actividades con lápiz y papel: “1-Reconocimiento de los sistemas numéricos.”
Esta actividad fue la que dio inicio al desarrollo de la implementación, y en ella se
reflejaba la alegría de no estar alineados como era costumbre y de tener mayor movilidad
en el aula de clase(cambios de formas), también se evidenció en todos los grupos la
motivación de quererse ayudar unos con otros.
Con la socialización de la guía de aprendizaje cada grupo inició sus labores,
algunos estudiantes confundieron el inicio de la actividad con una evaluación en grupo, el
docente tomó la palabra expresando que: “las clases de matemáticas de ahora en adelante
serán desarrolladas de esta manera, no habrá más filas”.
El docente se fue acercando a cada uno de los grupos para monitorear como estaban
trabajando cada equipo y además para atender ciertas inquietudes suscitadas de algunos
interrogantes propios de la guía. Resulta oportuno señalar que las intervenciones que hizo el
docente en cada grupo estaban orientadas a potenciar el trabajo colaborativo y que “…darle
la solución a la tarea no es una intervención que potencie el trabajo colaborativo, pero que
algunos tipos de aclaraciones o clarificaciones permite a los estudiantes construir un
puente de información al interior del grupo” (Cabrera, 2008, p.65)
Desarrollo de la actividad Rol de mediador cognitivo
Al terminar la actividad en la hora de clases se cumplió el objetivo desde el punto
de vista pedagógico “Lo central en la búsqueda de la interacción colaborativa no es que los
estudiantes realicen algo juntos, sino que juntos logren aprender” (Suarez 2012 p.43).
Todos se apropiaron del nombre de cada uno de los sistemas numéricos, superando la
debilidad manifiesta en la prueba diagnóstica donde el 95% de los educandos se equivocó
70
al momento de dar una respuesta a las preguntas relacionadas con estos objetos de
conocimientos.
“2-Transformación de un número natural, entero a racional”
A medida que estas actividades se fueron desarrollando la intervención del docente
aumentó en torno al rol de instructor, debido a la falta de colaboración entre sus
integrantes ocasionando conflictos interpersonales, lo que obligó a realizar algunos
diálogos reiterativos a nivel general sobre que la importancia no radicaba en mantener el
grupo unido por mantenerlo, sino de lograr crear un clima de colaboración dentro del
grupo, donde cada uno hiciera su aporte desde su posición,(por ejemplo, escuchar y
atender la explicación del compañero), sabemos que “las múltiples capacidades y
diferencias entre los sujetos no constituyen un problema entre sí, lo son, si en la interacción
educativa no se plantea su aprovechamiento como condición para aprender” (Suarez 2010,
p.46), fundamentado en lo anterior se realizaron dos modificaciones en dos de los cinco
grupos de 8°B. En estos movimientos se tuvo en cuenta el sentir de los estudiantes y de los
grupos, guardando la conservación en el número de estudiantes por grupos y la
heterogeneidad de los mismos.
Rol de instructor Rol de mediador cognitivo
La actividad denominada “ir de compras a la tienda” en esta guía pretendía
transformar la cantidad numérica de unos ingredientes que se debían comprar en un
establecimiento comercial, contextualizando los contendidos con la realidad de nuestro
entorno, pero también aumentando paulatinamente el nivel de exigencia y complejidad a
medida se fueron desarrollando las actividades para propiciar un análisis más crítico. El
71
docente se mantuvo atento en escuchar la intención del grupo sobre el desarrollo de la guía
para dar algunas pistas, pero sin alejarse a lo que en entorno plantea Collazos et al. (s.f)
que el grupo debe mantener la responsabilidad de su propio aprendizaje y descubrir
mediante su interacción, si lo que están haciendo tenía algún sentido crítico. Lo cual fue
logrado en la mayoría de los grupos.
“3-Orden numérico de los racionales”
A medida que el nivel de exigencia seguía creciendo en las actividades, las
responsabilidades y la participación activa disminuían al querer enfrentar los retos que
cada guía requería. Ante esta situación, el rol de instructor (docente) permitió “Re-
direccionar la atención de sus estudiantes hacia la actividad… construyendo puentes que les
permitiera complementar o repensar sus intervenciones” [Cabrera, 2008, p.72], por eso se
tomó la decisión de que surgieran dos nuevos grupos de colaboración denominados por
Cabrera (2008), proximales y distante.
Esta idea surgió en el rol de mediador cognitivo, el docente en sus recorridos
percibía que algunos grupos tenían ideas más favorables que otros sobre la consecución del
objetivo de la guía de aprendizaje, por lo que tomó la decisión de que los demás grupos
utilizaran esas ideas compartidas para dar solución a la actividad.
Imagen tomada del texto la colaboración en el aula Estudiante de 8°B, realizando una
Elsa Piedad Cabrera Murcia Explicación a 8°A
Grupos proximales Grupo distante
Esta actividad denominada “me toca el turno” pretendía buscar dos turnos
en un hospital, expresados en nuevo números fraccionarios que estuvieran entre otros dos
números fraccionarios dados. Esta fue una de las actividades donde se generó mayores
72
discusiones grupales, algunos planteaban soluciones que no lograban sustentar desde el
punto de vista algorítmico, pero sí enriquecieron la dinámica del salón para encontrar
camino que les guiaran a la respuesta.
Actividades con Material didáctico. “1-Cada número en su puesto”
Esta fue la primera actividad con materiales didácticos manipulables, donde los
elementos básicos que hacen posible la colaboración funcionaron de la manera adecuada,
el cambio de los elementos tradicionales (tablero, marcador) por elementos no
convencionales en la clase de matemáticas (marcadores, papel boom, memos), permitieron
visibilizar la colaboración y que cada estudiante colocara su aporte en la consecución del
objetivo. La intervención del docente en esta actividad fue prácticamente de observador
(90%), el otro porcentaje fue dedicado a generar algunas reflexiones a nivel grupal sobre:
dónde debían ubicar ciertos números.
Actividad “Cada número en su puesto”
Esta actividad netamente matemática sin ningún contexto denominada “cada
número en su sitio” tuvo como fin clasificar 10 números en los tres sistemas numéricos
(naturales, enteros y racionales) que estaban escritos en memos de diferentes colores y que
debían colocarlos en los papelógrafos instalados en la paredes del salón. A pesar que se
presentaron algunos errores en la clasificación, se logró promover la interacción en el
desarrollo de la actividad, fue mucho el interés generado durante estas acciones, donde se
73
destacan algunos comentarios expresados por los estudiantes, dentro de los cuales caben
resaltar los siguientes:
“Me llamó la atención los memos utilizados y la manera cómo el grupo se comportó en la
actividad” S. Merino
“Cómo todos compartimos para hacer la actividad” E. Roy
“Que la clase fue con la utilización de cartelera y no en el tablero” L. Acosta
“El taller fue muy divertido, la dinámica me recordó tiempo de la primaria” A. Amaya
“Aunque tuvimos varios errores en la clasificación de los números, pudimos corregirlos con
la observación de los otros trabajos” W. Acosta.
2- “Un pedazo de panela”
Estas actividades tuvieron un denominador común: la motivación y colaboración
hacia la actividad, se notaba el interés por la puesta en escena de los contenidos de esta
guía de aprendizaje, ya que ellos se preguntaban extrañada e insistentemente la razón por
la que su profesor había traído tantos pedazos de panelas para la clase de matemáticas. El
argumento era claro y expuesto por muchos investigadores “el contexto mediante el cual se
acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del
pensamiento” (Lineamientos curriculares, 1998, p.44). Esta actividad hizo que el diálogo
entre el docente y los grupos fuera más enriquecedor en la medida que todos querían
intervenir y exponer sus puntos de vista.
Puesta en escena de la Actividad “un pedazo de panela”
74
Esta actividad tuvo dos propósito: (1) construir con ejemplos prácticos, los
algoritmos de suma y resta de las fracciones (homogéneas y heterogéneas), buscando a
través de la visualización de estas operaciones, reconstruir su significado algorítmico y
comparar sus respuestas matemáticas con la respuesta visual obtenida a partir de la
observación. Y por ende… (2) Intervenir uno de los errores típicos en la realización de
estas operaciones
, a través de varios registros semióticos, “la investigación
de los últimos 30 años logró evidenciar el hecho de que es necesario dar siempre sentido a
lo que se está haciendo (Fandiño, 2009, p.146)
Es justo señalar que a pesar del dialogo constructivo entre docente y estudiantes
el segundo propósito tuvo algunas dificultades en ciertos grupos, en cuanto a las fracciones
heterogéneas, el registro gráfico de las operaciones no lo lograban asociar con el resultado
algorítmico. Como consecuencia de lo anterior el docente tomó la decisión de implementar
una nueva guía de aprendizaje (rol instruccional) referida al mismo tema, utilizando
octavos de cartulinas para afrontar y superar las dificultades encontradas.
3-Jornada de limpieza (Resolución de problema)
Al igual que algunas de las actividades desarrolladas con lápiz y papel, estas
también aumentaron su nivel de complejidad a medida que los contenidos se desarrollaron
y se conectaban en las guías de aprendizaje, la mayoría de los grupos se mostraron
confundidos, muchos estudiantes se desconectaron del problema dejando la responsabilidad
en ciertos estudiantes, aquí nuevamente el docente centro su mayor esfuerzo a orientar a
cada uno de los grupos utilizando una técnica denominada “cuestionamiento por pares
[King93] Que consiste en darle a los estudiantes partes de preguntas para que ellos
construyan los cuestionamientos y los hagan a sus compañeros de clase” ( como se cita en
Collazos et al. s.f ) Algunas de la preguntas dadas por el docente a los grupos fueron:
¿Cómo se relaciona este tema con lo aprendido en la guía anterior?, ¿ qué pasa si quieren
representarlo gráficamente?.
Esta actividad se dividió en dos momentos: el primero, se desarrolló con cada
grupo en particular tratando de buscar las alternativas de soluciones, a partir de la dos
preguntas planteadas; el segundo momento, consistió en expresar la solución del problema
75
en forma conjunta (todos los grupos) de una manera gráfica, utilizando cal para realizar la
demarcación del terreno (ver imagen), teniendo en cuenta los avances presentados por cada
uno de los grupos en el primer momento. La utilización del grupo proximal fue
determinante para el desarrollo de la actividad.
Solución grafica de la actividad, utilizando cal.
Esta actividad estaba orientada a la utilización de la multiplicación en la resolución
de problemas prácticos, su dificultad obedeció que la palabra multiplicación no aparece
insertada en la estructura del problema. Esta situación permitió el replanteo de este tema en
actividades posteriores, buscando que los grupos asociaran alguna palabra clave con la
multiplicación, como se presentaba en la suma o resta, que podrían relacionarse con dar,
recibir, quitar, aumentar, etc. y que están dentro del problema planteado. Según Fandiño
(2009) esta es una de las dificultades más notables en los problemas con fracciones, a pesar
que el algoritmo de la multiplicación es sencillo, el estudiante no sabe cuándo utilizarlo en
un problema.
Recursos educativos abiertos. “1-Pedazzitos”
La utilización de estos recursos cohesionó más los grupos, las habilidades sociales
y de colaboración fueron más espontaneas, los estudiantes asumieron un rol más activo.
Indagando sobre si alguna vez habían utilizado computadores para trabajar en
matemáticas, la sorpresa fue mayúscula, pues la respuesta fue un “no” contundente,
sustentado con respuestas como “yo no sabía de esto profe, primera vez en mi vida que uso
un computador para esto” G. Zabaleta (comunicado personal, 23 de octubre 2013). La
debilidad presentada por el desconocimiento del manejo de la herramienta y equipo se
76
convirtió en una fortaleza en la medida que le sumó aún más un aspecto tan indispensable
como la colaboración.
El rol de mediador cognitivo del docente fue asumido en buena parte por los
grupos proximales en la medida que:
Los estudiantes tienen la oportunidad de ampliar su experiencia de
aprendizaje al utilizar las nuevas tecnologías como herramientas para el aprendizaje
constructivista. Estas herramientas le ofrecen opciones para lograr que el aula
tradicional se convierta en un nuevo espacio, en donde tienen a su disposición
actividades innovadoras de carácter colaborativo y con aspectos creativos que les
permiten afianzar lo que aprenden, al mismo tiempo que se
divierten.(Hernandez,2008, p.27).
Participación y colaboración dos situaciones generadas por la actividad
Esta actividad pretendía explorar a través de la indagación de este recurso, cómo
fueron elaborados los algoritmos de la suma de fracciones en las guías anteriores, La
exploración del recurso por parte de los estudiantes generó una situación muy
significativa, Ellos en su interactividad con el recurso plantearon y propusieron al docente
una nueva actividad sobre aprender sobre sus mismos errores. Según Morales (s.f), el
generar dinámicas de calidad en el aula permite que el estudiante genere contenidos de
calidad. La actividad propuesta fue aceptada e integrada a la guía de aprendizaje por parte
del docente, el cual consistía que cada estudiante de manera intencional se equivocara en
la consecución del objetivo y su compañero debía señalar donde estaba el error cometido.
77
2-Reconocimiento de la multiplicación en los problemas parte 1y 2
Estas actividades fueron una combinación entre elementos convencionales en el
aula de clases (lápiz y papel) y recursos educativos abiertos (video educativos y software
pedazzitos) teniendo en cuenta que “ningún medio de enseñanza puede hacerlo todo, y las
Tic no son la excepción” (Mayoral, Uzuriaga & González, s.f, p.80). La colaboración y la
atención se sintió disminuida cuando se transitó del camino de las Tic al canino del lápiz y
papel, El docente en rol de Instructor orientó sobre lo conveniente e importante que era
este tipo de combinaciones, aclarándoles que si bien estas ayudas tecnológicas eran
fundamentales y necesarias en dichas actividades, se debía refrendar lo obtenido mediante
algunos cálculos construidos o propuestos por ellos.
Con la inserción del video como complemento didáctico en el aula, los grupos
contaron con una ayuda extra distinta al docente, ya que este recurso le podían darle “clic”
la veces que fueran necesarias hasta comprender o sacar algunas conclusiones que luego
replicarían en la parte escrita.
Actividad utilizando tecnología, lápiz papel
Estas actividades buscaban dos propósito: (1) Que los grupos identificaran el
elemento clave que los condujera a la operación que exigía el problema expuesto en el
video educativo, que para este caso era la multiplicación. (2) Luego, la conclusión tomada
del video debía ser plasmada en algunos problemas que se presentaron en la guía de
aprendizaje para resolverlos.
78
Estas dos guías fueron producto de la misma reflexión de la práctica, al ver las
dificultades observadas en la actividad denominada “jornada de limpieza” donde sólo
dos grupos se acercaron a la solución del problema.
Todos los grupos alcanzaron el primer propósito de manera inmediata, los grupos
que lograron el segundo propósito apoyaron a sus compañeros para posibilitar su
entendimiento y así terminar la guía de aprendizaje. El anterior sustento fue referente al
desarrollo de las guías de aprendizaje colaborativo.
La implementación de esta experiencia, también tuvo un espacio para identificar
los efectos del trabajo colaborativo en el aprendizaje individual a través de dos guías de
aprendizajes que se realizaron a la mitad y al final de la implementación. El objetivo era
medir cuantitativamente los avances cualitativos que mostraron los grupos en la
consecución de cada uno de los objetivos propuestos.
El rol que asumió el docente en este escenario fue distinto al del modelo
tradicional, la evaluación tomó otro significado, uno más amplio que el que solía tener,
donde se reducía a la mera “calificación”. Gutiérrez (2003), establece que la evaluación
debe aportar reflexiones continuas para tomar decisiones sobre lo que se hace en el aula a
través de la elaboración de indicadores que den cuenta no solo de los control de avances de
las tareas, sino de valorar qué tipo de apoyo estratégico necesita el estudiante para mejorar
su aprendizaje.
Además el rol de docente en el momento de la aplicación de la guía de aprendizaje
individual no fue policial, los estudiantes encontraron un apoyo constante a través de las
orientaciones permanentes que le facilitaron a la mayoría de ellos la consecución total o
parcial de los objetivos planteados.
Cabe resaltar que en estas guías de aprendizaje algunos estudiantes del proyecto no
se hicieron presentes por situaciones personales, la guía final solo la presentaron 47
estudiantes, en el siguiente gráficos se puede observar los niveles de competencia finales
mostrados por ambos cursos, donde aparece un nuevo nivel de competencia ausente en la
evaluación de pre-saberes realizada al inicio de la implementación.
79
Resultados cuantitativos al final de la implementación de la estrategia.
Al finalizar la implementación el docente realizo la socialización del proyecto para
conocer impresiones y puntos de vistas de sus compañeros docentes, en esta
socialización solo se contó con la presencia de los docentes de primaria quienes
manifestaron estar de acuerdo de cómo se llevó a cabo la implementación. Anotaron que
era fundamental tener en cuenta cada uno de los recursos usados en la implementación para
generar una motivación hacia el estudio de las matemáticas y que contextualizar los
problemas era la clave para que los estudiantes conectaran la teoría con la práctica.
También reconocieron la importancia y lo fundamental de las nuevas tecnologías
en esta área, pero expresaron su temor de la utilización de estos recursos por no tener la
habilidad requerida para manejar estas herramientas.
19%
41%
23%
17%
Nivel de competencia final Insuficiente Minimo sastifactorio avanzado
Socialización del proyecto a docente de primaria
80
Al finalizar la socialización el rector junto con el docente propusieron abrir unos
espacios pedagógicos cuyo objetivo fundamental era desarrollar talleres para que los
docentes se apropiaran de estas herramientas tecnológicas desde el punto de vista
pedagógico para su implementación en el l aula de clases.
5.6 Análisis e interpretación.
Reflexionar sobre el ejercicio docente es una de las estrategias más enriquecedora y
significativa, sobre todo cuando se realiza en un área (matemática) que necesita ser
oxigenada a través de dinámicas activas, que produzcan mejores resultados académicos y
por qué no, sociales. Aplicar la frase “yo enseño como me enseñaron” no es un argumento
válido, sobre todo cuando el docente debe actualizarse y autoformarse; y los resultados de
los estudiantes están indicando que el camino tomado no es el indicado o correcto.
Estas reflexiones desencadenaron una transformación del proceso enseñanza-
aprendizaje buscando desarrollar el pensamiento numérico con estrategias y recursos que
jamás el docente había utilizado, el guión matemático utilizado en los procesos anteriores
era aplicado de manera memorístico sin ser modificado. La trasmisión de información, el
individualismo, la linealidad, los contenidos descontextualizados, eran los actores
principales de dicho proceso. Los estudiantes ocupaban muchas veces el papel del villano.
A ellos en la mayoría de los casos se les atribuía o se le atribuye los malos resultados
obtenidos en el proceso ya que solo se reflexionaba sobre el aprendizaje y pocas veces
sobre la enseñanza.
El nuevo guión debe centrar al estudiante como protagonista del aprendizaje y
como agente constructo de su propio conocimiento a partir de situaciones significativas y
contextualizadas buscando generar un aprendizaje activo definido como “cualquier cosa
que involucre a los alumnos en hacer cosas y pensar en lo que están haciendo” (Bonwell &
Eison, 1991, p.4), para darle sentido a lo que hacen, proponiendo un nuevo desafío
distinto al de recibir información. Por eso existió la necesidad sentida de reconstruir sobre
lo construido, teniendo en cuenta que “La clave para reflexionar sobre nuestra forma de
enseñar consiste en basar nuestro pensamiento en lo que sabemos acerca de la forma de
81
aprender de los estudiantes.” (Bigg, 2005, p.25), desde este punto de vista se pensó como
debía entrar una especie de solidaridad académica en el aula de clases, donde aquellos
estudiantes que poseían mayores niveles de competencia matemáticas fueran aprovechados
en el proceso pedagógico de manera intencional.
La estrategia del trabajo colaborativo fue la que recogió el sentir de lo que se
pretendía en el aula de clases, Pero lo anterior no era suficiente, era necesario “relacionar
los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana del alumno, así como
presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de intercambio de
punto de vista” (Lineamientos curriculares, 1998, p.35), para desarrollar actitudes críticas y
flexibles en la ejecución de las operaciones.
Con estos dos argumentos se planteó la consecución del objetivo general de esta
propuesta: “Los estudiantes estarán y tendrán la capacidad de encontrar una relación entre
el concepto y el procedimiento matemático, que va orientada hacia la conceptualización
del sistema numérico de los racionales, para poder darle significado a las operaciones
algorítmicas planteadas”.
Sobre el tema que trata el objetivo (números racionales) Fandiño, (2009), advierte
que su aprendizaje es complejo, no existe una estructuración adecuada sobre cómo llevar o
articular su contenido al aula de clases, pero reconoce que si algo es fundamental, es su
adecuado conocimiento para poder proponer situaciones contextualizadas en distintos
escenarios para generar aprendizajes significativos y duraderos. Pero además Llinares y
Sanchez (1988), reconocen que en la medida que los algoritmos de las operaciones sean
descubiertos por los estudiantes, se generará una mayor conceptualizacion de del sistema
numérico.
Los tres escenarios propuestos (lápiz y papel, materiales didácticos, recursos
educativos abiertos) develaron situaciones donde se exigían mayores compromisos,
responsabilidades y habilidades individuales a la hora de enfrentarse a los desafíos
propuestos en los grupos de aprendizaje colaborativo.
82
Cada uno de estos escenarios puso al descubierto debilidades en los talleres que
fueron intervenidas de manera inmediata para no poner en riesgo la estrategia, estas
debilidades se presentaron con mayor frecuencia cuando sólo se utilizó el lápiz y el papel,
para la cual no existía otra clase de ayuda distinta a la imaginación, que fuese el producto
de cada uno de los integrantes del grupo y que a veces no era la adecuada por falencias en
sus pre-saberes, muy a pesar de ser un tema visto en los grados anteriores, cuando se
utilizó los recursos tecnológicos se opacó la capacidad de análisis y reflexión sobre los
procesos matemáticos donde el control fue asumido en muchas ocasiones por el software.
La utilización de los materiales didácticos fue sin duda, un elemento fundamental
para motivar y complementar la imaginación y lograr una aproximación a la comprensión,
lo cual produjo confianza y seguridad en los grupos, ya que podían constatar el resultado
de los talleres a través de observaciones visuales proporcionadas por ellos; pero aun así,
seguían existiendo debilidades cuando no lograban conectar lo visual con lo algorítmico,
producto de estructuras matemáticas erradas. La existencia de estos errores fue algo
positivo dentro la experiencia, porque fueron producto de un diálogo y propuestas
colectivas sobre la realización de las actividades, pero además porque permitió “la
búsqueda critica del error para superar el conocimiento deficiente que es una necesidad
epistemológica ineludible” (Rico & Castro, s.f).
Se debe reconocer que los errores hacen parte de la cotidianidad y que en la
matemática son producto de interpretaciones inadecuadas y deficientes. En la evaluación
de pre-saberes estos errores no estuvieron presentes, porque muchas actividades fueron
dejadas en blanco, por el desconocimiento total del tema en varios ítems, incluso en dónde
esos estudiantes mostraron mayor habilidad, pero que a la hora de enfrentarse a los
problemas propuesto se dieron cuenta que el conocimiento algorítmico de las operaciones
no les aseguraba el éxito en la resolución del problema, faltaba algo más.
El siguiente es un ejemplo tomado de la guía de pre-saberes de un estudiante
destacado en el área pero a pesar de esto presenta esta dificultad
83
Generar cuestionamiento sobre lo realizado exige y necesita respuestas distintas a la
mostrada en la imagen anterior, donde la idea menos significativa genere reflexiones y
razonamientos. Esto es posible en la medida que existan diferentes aportaciones para
promover un diálogo matemático entres todos los actores (grupos), “construir sobre el
error” fue uno de los puntos más altos logrado en la experiencia.
Insertar los recursos educativos en esta experiencia fue un gran avance desde todo
punto de vista, los estudiantes vieron en estos recursos una manera más significativa y
lúdica de conectarse con la matemática. La participación activa, la colaboración, el
compromiso, la creativa, fueron ganadores en este proceso, debido a una puesta en escena
distinta a la magistralidad. Morales (s.f) advierte que si las Tic llegan al aula, y en el aula
lo que les espera es una clase magistral… la rentabilidad educativa se pierde porque lo
único que se está planteando es un cambio de herramienta.
En los recursos educativos abiertos a pesar que fue donde se observó la mayor
colaboración, también hubo manifestaciones de debilidades en el análisis y reflexión de las
actividades. Estas percepciones e impresiones fueron debido a que, cada uno de los grupos
permitieron que el recurso cumpliera su propósitos para lo cual fueron diseñados,
dependiendo completamente del recurso para determinar la respuesta y no se percataron,
sobre situaciones que no ameritaban ni siquiera de sus servicios para la consecución de los
objetivos. Ocasionando la perdida de habilidades de orden superior tales como pensar con
información, razonar, reflexionar y metacognición.
La siguiente grafica muestra lo expresado en el aparte anterior, la finalidad de las
actividades planteadas fue propiciar un enlace en los tres escenarios distintos a partir de los
mismos temas, a pesar que la actividad exigía la utilización del recurso, ningún estudiante
Evaluación individual de pre saberes
84
se percató que en ciertos problemas el recurso era innecesario. La siguiente ilustración
muestra que no era necesario manipular el recurso, En esta actividad se perdió la reflexión
y el análisis ganado cuando la actividad solo contaba con el lápiz y papel.
Si analizamos cualitativamente, los aspectos cuantitativos expresados en los dos
gráficos de torta, durante el antes y el después de la implementación, se puede asegurar que
la estrategia cumplió en cierto modo el objetivo propuesto y que se debe seguir
reflexionando sobre el ejercicio docente para continuar buscando estrategias generadoras
de dinámicas activas que promuevan contenidos de calidad a favor del aprendizaje los
estudiantes.
No es un camino fácil, pero la reflexión crítica de las vivencias en el aula, puede
indicar cuál es el camino correcto para generar esas transformaciones que el sistema
educativo requiere.
5.7 Conclusiones.
Vivir y reconstruir la experiencia educativa de esta manera puso en evidencia
algunos hechos que podían ser evidentes en ella, ya que tenía una intencionalidad sobre lo
que se pretendía. El reconocimiento de los sistemas numéricos, la construcción de los
algoritmos y no la memorización, el reconocimiento de las operaciones en los problemas
marcaron esta intencionalidad, pero también descubrir elementos diferenciadores que se
salieron de esa intencionalidad y que afectaron positiva o negativamente los procesos, en
este caso esta como lo estudiantes planteaban soluciones inmediatas sin necesidad de
Actividad software pedazzitos
85
utilizar el lápiz, además como resolvían situaciones problémicas mediante el uso de
diagrama y no de los algoritmos.
Esto último pone de manifiesto la autorreflexión de la misma práctica, buscando
potenciar esos puntos positivos pero además, buscar la manera de controvertir y reorientar
los puntos negativos a favor de la experiencia para seguir enriqueciéndola.
Producir verdaderos cambios en el proceso de enseñanza-aprendizaje actual, exige
compromisos constantes que ameritan mayor profundidad en la comprensión de nuestra
propia práctica, buscando entender la lógica y las contradicciones que se puedan tejer entre
los distintos factores que intervienen en ella. A fin de, construir un mejor presente basado
en la reconstrucción de un pasado producto de las reflexiones y enseñanzas.
Además de expuesto en los apartes anteriores, este presente debe ser concebido,
desde una puesta en escena bien planeada en todos los aspectos (tiempo, espacio y lugar),
con una estructura coherente y eficiente, enriquecida de elementos que potencien el
aprendizaje colaborativo, buscando generar las habilidades de orden superior en los
estudiantes. Pero esto será posible en la medida que se tenga un conocimiento adecuado
tanto de la estrategia como de la temática a desarrollar.
Los retos aquí manifiestos no son tareas fáciles, se deben redoblar esfuerzos para
poder engranar cada uno de estos aspectos si realmente se quiere producir cambios
significativos que favorezcan el proceso de enseñanza-aprendizaje actual.
La reflexión crítica de esta experiencia develó muchas situaciones positivas y
negativas, pero con muchas riquezas potenciales en ambos sentidos que pueden ser tenidas
en cuenta en futuras experiencias. (1) Además de socializar la estrategia, realizar un
experimento inicial con actividades que exijan paulatinamente mayores niveles de
compromiso y responsabilidades. (2) Combinar los recursos en el desarrollo de todas las
actividades a lo largo de la experiencia. (3) Permitir el intercambio de ideas entre los
diferentes grupos en todas las actividades. (4) abrir y respetar un espacio de diálogo
(debate) con todo el grupo en la socialización de cada taller.
86
5.8 Recomendaciones.
Uno de los insumos que deben tomar las Instituciones educativas para implementar
un plan de mejoramiento coherente con la realidad en sus respectivas áreas, son las
reflexiones que hagan los docentes sobre su propia práctica, por lo tanto sería importante
que las Instituciones propicien y desarrollen estos procesos críticos-reflexivos para generar
nuevas estrategias encaminadas al fortalecimiento académico-social.
Toda estrategia debe contemplar los conocimientos previos de los estudiantes como
pilar fundamental en la planeación y desarrollo de las acciones pedagógicas.
La implementación del trabajo colaborativo es una estrategia que debe ser propuesta
desde cursos inferiores en diferentes áreas, para enseñar y fortalecer las habilidades
humanísticas que requiere la colaboración en el aula en busca de generar mejores
resultados.
La Contextualización de la matemática escolar es y será un buen escenario
mediador para darle significado a los procesos algorítmicos y desarrollar actitudes críticas
y flexibles en la resolución de problemas”.
La utilización de los recursos didácticos elaborados por estudiantes y docentes son
armas claves para lograr visualizar y entender situaciones problémicas contextualizadas a
través de su manipulación.
Los recursos educativos abiertos (software, videos) llevados al aula requieren de
un discernimiento de acuerdo a los objetivos planteados o a la tarea propuesta, hay que
evaluar sus fortalezas y debilidades en términos de potencialidades y limitaciones.
La era de la innovación ha llegado y por lo tanto los docentes deben ser participe
desde sus escuelas a generar cambios pedagógicos que impacten a la sociedad.
87
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