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El sistema de numeros reales*
David Abel Barraza Salguero
david.barraza@pucp.pe
18 de enero de 2014
1. El sistema de numeros reales
Es un conjunto R con dos operaciones: suma y multiplicacion denominadas Ley de ComposicionInterna y Leyes de Relacion de Orden “<” que se lee “menor que...”.
1.1. Ley de Composicion Interna (Operaciones)
Se satisfacen los siguientes axiomas:
A1. Ley de clausura o cerradura: ∀ a, b ∈ R: a + b ∈ R
A2. Ley conmutativa: ∀ a, b ∈ R: a + b = b + a
A3. Ley asociativa: ∀ a, b, c ∈ R: (a + b) + c = a + (b + c)
A4. Axioma de existencia y unicidad del elemento neutro aditivo:
. Existe un elemento y solo uno denotado por “0”, tal que ∀ a ∈ R: a + 0 = a = 0 + a
A5. Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso aditivo:
. Para cada a ∈ R, existe un elemento y solo uno denotado por “−a”, que satisface lasiguiente relacion: a + (−a) = 0 = (−a) + a
M1. Ley de clausura o cerradura: ∀ a, b ∈ R: ab ∈ R
M2. Ley conmutativa: ∀ a, b ∈ R: ab = ba
M3. Ley asociativa: ∀ a, b, c ∈ R: (ab) c = a (bc)
M4. Axioma de existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo:
. Existe un elemento y solo uno denotado por “1”, diferente de 0, tal que a · 1 = a = 1 · a
M5. Axioma de existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo:
. Para cada a 6= 0 en R, existe un elemento y solamente uno en R, denotado por “a−1”,tal que a · a−1 = 1 = a−1 · a
D. Axiomas de distributividad (leyes distributivas):
∀ a, b, c ∈ R : a (b + c) = ab + ac
(a + b) c = ac + bc
*Extraıdo de J. Armando Venero, Introduccion al analisis matematico (1995).
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1.2. Leyes de Relacion de Orden
O1. Ley de tricotomıa:
. Dados a y b en R, entonces una y solo una de las siguientes relaciones se cumple1: a < b,a = b, o b < a
O2. Ley transitiva:
. Si a < b y b < c entonces a < c.
O3. Si a < b entonces a + c < b + c, ∀ c ∈ R.
O4. Si a < b y 0 < c, entonces ac < bc.
S. Axioma del supremo o de completitud (Axioma de la mınima cota superior):
. Todo conjunto no vacıo de numeros reales, acotado superiormente, tiene una MINIMACOTA SUPERIOR (O SUPREMO) en R.
2. Ejercicios propuestos
Problema 1. Demostrar que: −0 = 0.
Problema 2. Si a + b = a, demostrar que b = 0.
Problema 3. Demostrar que: a · 0 = 0.
Problema 4. Demostrar que: −a = (−1) · a.
Problema 5. ∀ a, b ∈ R: a (−b) = − (ab) = (−a) b:
Problema 6. ∀ a ∈ R: − (−a) = a:
Problema 7. ∀ a, b ∈ R: (−a) (−b) = ab:
Problema 8. Probar que 1−1 = 1. Es decir, que el inverso multiplicativo de 1 es el mismo 1.
Problema 9. Si a 6= 0, demostrar que: a−1 6= 0.
Problema 10. Si a 6= 0, entonces(a−1
)−1= a:
1Recordemos el principio de dualidad de los sımbolos.
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