Espacios de dimensión infinita El espacio de Hilbert Espacios de Funciones Espacios L 2 Bases de...

Espacios de dimensión infinitaEspacios de dimensión infinita

• El espacio de Hilbert• Espacios de Funciones • Espacios L2

• Bases de espacios L2

• Bases ortogonales• Series de Fourier• Aproximación de Funciones• Polinomios de Legendre

Curso Propedéutico de Matemáticas DEPFIECurso Propedéutico de Matemáticas DEPFIEM. C. José Juan Rincón PasayeM. C. José Juan Rincón Pasaye

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

El espacio R contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo:[0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética)[1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica)[1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica)[1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci)[0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc..

Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2.

Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el espacio de Hilbert si ||x||2=x1

2+x22+x3

2,+... Es un número finito.

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

2

22

11

qq

Sn

Ejemplo: Averiguar si la sucesión geométrica de razón q: [q0,q1,q2,q3,...,] pertenece al espacio de Hilbert:Solución: Sea S = 1+q2+q4+q6+...+q2n

Es fácil ver que q2S = S-1+q2n+2, despejando S

Tomando el límite cuando n , la suma es finita si y sólo si |q|<1.

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

Tarea: Averiguar si la sucesión siguiente: [p,2p,3p,4p,...] pertenece al espacio de Hilbert. Para ello,

a) Sea S = p2+2p2+3p2+...+np2. Encontrar una expresión compacta para S.

b) Tomar el límite de S cuando n .

c) Concluir para diferentes casos de p.

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito).

Así, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio:

<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy:

|<x,y>| ||x|| ||y||

Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R3?

Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad de Schwartz garantiza que:

|x1y1+x2y2+x3y3|2 (x12+x2

2+x32)(y1

2+y22+y3

2)

Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024 (14)(77)=1078

El Espacio de HilbertEl Espacio de Hilbert

Tarea:1) Usando la desigualdad de Schwartz en Rn,

demostrar que para cualesqiera n números x1,x2,...,xn, se cumple que:

|x1+x2+...+xn|2 n (x12+x2

2+...+xn2)

Dar un ejemplo en R3.2) Demostrar que la desigualdad de Schwartz se

convierte en igualdad cuando los vectores son Linealmente Dependientes en Rn. Dar un ejemplo en R3.

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Los vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica

[1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, valuada en x=0,1,2,3,...En forma similar, la sucesión aritmética

[2, 4, 6, 8, 10,...]Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,...

¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo.

Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita.

¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]:

De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

b

a

duugufgf )()(,

2/12 )(,

b

a

duuffff

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2]

a) Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales.

b) Normas: =

= c) Normalización: las siguientes funciones son

ortonormales:

2

0

)cos()sin(, duuugf

2/12

0

2 )(sin

duuf

2/12

0

2 )(cos

duug

)cos()(ˆ),sin()(ˆ 11 xxgxxf

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Ejemplo:

a) ¿Cuál es el ángulo entre las funciones del ejemplo anterior? , es decir, =90°

b) ¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+) sobre sin(x)?

=cos() sin(x)

Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

0,

cos gfgf

)sin()sin()sin(1, 2

0

xduuufffh

Espacios de FuncionesEspacios de Funciones

Tarea:

a) ¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+), respecto a f(x)=sin(x)?

b) ¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f?

c) ¿y sobre g(x)=cos(x)?

d) ¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios LEspacios L22

Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue

Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

pb

a

p dxxff/1

|)(|

Espacios LEspacios L22

Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L2 considerando el intervalo [0,1]?

f(x) = xr

Solución: como

Entonces la función xr pertenece a L2 si y sólo si

r > -1/2

2/1

2/112

1||

1

0

22

rpara

rparardxxf r

Espacios LEspacios L22

La siguiente gráfica representa la función f(x)=xr para diferentes valores de r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

r=-1

r=-1/2

r=-1/5

Bases de Espacios LBases de Espacios L22

Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base.

Algunas bases comúnmente utilizadas son:{1,x,x2,x3,...} Series de Taylor{1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier{1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Dada una base {f1,f2,f3,...} de L2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c1,c2,... de dicha serie:

f= c1f1+c2f2+c3f3+...Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple.

De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Sea por ejemplo {b1,b2,b3,...bn} una base de Rn, y sea x=[x1,x2,x3,...,xn] un vector arbitrario en Rn, entonces:

x= c1b1+c2b2+c3b3+...+cnbn

Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b1 tenemos

<x,b1> = c1<b1,b1>+c2<b1,b2>+...+cn<b1,bn>De donde

2

1

1

1

,b

bxc

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

En forma similar:

Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

22

2

2

22

1

1

1

,,...,

,,

,

n

n

n bbx

cb

bxc

bbx

c

nn

bxcbxcbxc ,,...,,,,2211

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Ejemplo: En R2, sea la base

a) Verificar que es una base ortonormal

b) Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en esta base.

Solución:

a) En efecto, <b1,b1>=<b2,b2>=1 y <b1,b2>=0.

b) c1 = <x,b1> = (x1-x2)/2

c2 = <x,b2> = (x1+x2)/2

],[],,[2

12

122

12

11 bb

Bases OrtogonalesBases Ortogonales

Tarea:a) En R2, proponer una base ortonormal diferente

a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x1,x2] en dicha base.

b) Sea {b1,b2,...bn} una base no ortogonal de Rn, y sea x=[x1,x2,...,xn] un vector arbitrario en Rn, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c1,c2,...,cn de x la base dada

Series de FourierSeries de Fourier

Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario.

Una base ortogonal en el intervalo [0,2] para L2 es la siguiente

{1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...}Ya que:

2

0

0)()()(),(

mnpara

mnparadxmxsennxsenmxsennxsen

2

0

0)cos()cos()cos(),cos(

mnpara

mnparadxmxnxmxnx

enterosmntodoparadxmxnxsenmxnxsen 2

0

,0)cos()()cos(),(

Series de FourierSeries de Fourier

Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como:

f(x)=a0+a1cos(x)+a2cos(2x)+a3cos(3x)+...

+b1sen(x)+b2sen(2x)+b3sen(3x)+...

Donde los coeficientes a0,a1,a2,a3,...,b1,b2,b3,...Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

Series de FourierSeries de Fourier

Para k=0,1,2,3,4,...

La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2] si f(x) está en L2.Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

2

02 )cos()(

1

)cos(

)cos(),(dxkxxf

kx

kxxfak

2

02 )()(

1

)(

)(),(dxkxsenxf

kxsen

kxsenxfbk

Series de FourierSeries de Fourier

Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

21

01)(

xpara

xparaxf

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Solución: Calculamos los coeficientes ak:

en forma similar para los coeficientes bk:

Por lo cual, la serie de fourier queda:

2

0

2

0

0)cos(1

)cos(1

)cos()(1

dxkxdxkxdxkxxfak

2

0 0

4)(

1)(

1

parkpara

imparkparakdxkxsendxkxsenbk

...

7)7(

5)5(

3)3(

1)(4

)(xsenxsenxsenxsen

xf

Series de FourierSeries de Fourier

En la siguiente figura se muestran la primera y la quinta componentes de la serie:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

El Fenómeno de Gibbs:

Series de FourierSeries de Fourier

Tarea: 1) Obtener la serie de Fourier para la siguiente función:

2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el fenómeno de Gibbs para la función del inciso anterior

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Funciones Pares e Impares:

Una función par es una función simétrica respecto al eje vertical, es decir, f(x) es par si

f(x) = f(-x)

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

En forma similar, una función f(x) se dice función impar si es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente

-f(x) = f(-x)

f(x)

x

Series de FourierSeries de Fourier

Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x2+1), h(x)=i(x2) donde i es una función arbitraria.

Solución:

Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar.

Como g(-x)=1/((-x)2+1)=1/(x2+1)=g(x), g es función par.

Como h(-x) = i((-x)2) = i(x), h es función par.

Series de FourierSeries de Fourier

Tarea: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x3-1/x, g(x)=x2/(x2+1), h(x)=i(x2+1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [-1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar.

Series de FourierSeries de Fourier

Como la función sen(kx) es una función impar para todo k0 y la función cos(kx) es una función par para todo k, es de esperar que:

–Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bk=0 para todo k

–Si f(x) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto ak=0 para todo k

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

En ocasiones se busca expresar una función f(x) en términos de otra función, o funciones más sencillas, esto es especialmente útil para simplificar cálculos o modelar comportamientos en forma aproximada.

En este caso es posible simplemente truncar una serie a partir de algún término, o bien, obtener la aproximación mediante proyección ortogonal.

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Sea una función f que se desea aproximar como la C. L. finita siguiente:

f =c1g1+c2g2+...+cngn

Donde g1,g2,...,gn son n funciones arbitrarias, mediante las cuales se desea expresar f.Tomando el producto interno con cada función g, obtenemos:

<f,g1> = c1<g1,g1>+c2<g2,g1>+...+cn<gn,g1>

<f,g2> = c1<g1,g2>+c2<g2,g2>+...+cn<gn,g2>. . .

<f,gn> = c1<g1,gn>+c2<g2,gn>+...+cn<gn,gn>

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Lo cual puede ser expresado en forma matricial como:

nnnnnn

n

n

gf

gf

gf

c

c

c

gggggg

gggggg

gggggg

,

...

,

,

...

,...,,

............

,...,,

,...,,

2

1

2

1

21

22221

11211

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que pasa por el origen en el intervalo [0,1]?

Solución: sea g(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=cg(x), donde c=<f,g>/<g,g>, es decir:

56

1

0

2

1

0

dxx

dxxxc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x)=x1/2

f(x)=(6/5)x

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Ejemplo: ¿cómo aproximar la función f(x) = x mediante una recta que no pasa por el origen en el intervalo [0,1]?

Solución: sea g1(x)=1, g2(x)=x, buscamos la aproximación f(x)=c1g1(x)+c2g2(x), resolvemos el sistema de ecuaciones:

Es decir,

De donde c1=4/15 c2=4/5

2

1

2

1

2221

1211

,

,

,,

,,

gf

gf

c

c

gggg

gggg

5/2

3/2

3/12/1

2/11

2

1

c

c

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Con lo cual, la recta obtenida es f(x)=0.26666 +0.8x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x1/2

0.2666+0.8x

Aproximación de FuncionesAproximación de Funciones

Tarea: Obtener el polinomio de grado 2 que aproxima a f(x)= x en el intervalo [0,1] y dibujar las dos gráficas juntas

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Si continuamos incrementando el grado del polinomio deseado (hasta n-1), llegaríamos a plantear un sistema cuya matriz es la siguiente:

La cual para n regularmente grande es una matriz mal condicionada.

)12/(1)1/(1/1

...

)1/(13/12/1

/12/11

nnn

n

n

H

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Por ello, los polinomios {1, x, x2, x3,...,xn} no resultan muy prácticos para aproximar funciones, de hecho, no son ortogonales en el intervalo [0,1]

Existe una gran variedad de familias de polinomios ortogonales en algún intervalo dado. Por ejemplo, los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1,1]

Otras familias de polinomios ortogonales son los polinomios de Chevichev, Laguerre, Bessel, etc.

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Los siguientes son los primeros 6 polinomios de Legendre

n Pn(x)

0 1

1 x

2 ½(3x2-1)

3 ½(5x3-3x)

4 1/8(35x4-30x2+3)

5 1/8(63x5-70x3+15)

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Tarea: Verificar la ortogonalidad de los primeros cuatro polinomios de Legendre. Verificar también si son ortonormales.

n Pn(x)

0 1

1 x

2 ½(3x2-1)

3 ½(5x3-3x)

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Ejemplo: Expresar la función h(x)=cos(x) mediante un polinomio de grado 2, usando los polinomios de Legendre.

Solución: obtendremos los coeficientes de la aproximación cos(x)c0P0(x)+c1P1(x)+C2P2(x):

1

122

0

00

2)cos(

2

1,

dxx

P

Phc

1

122

1

11 0)cos(

2

3,dxxx

P

Phc

1

132

221

22

22

20)cos()13(

4

5,

dxxx

P

Phc

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Con lo cual, la aproximación obtenida es

cos(x) f(x) = 2/+ 10/P2(x)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cos(pi/2x)

f(x)

Polinomios de LegendrePolinomios de Legendre

Tarea:Hallar una aproximación para la función h(x)=sen(x) en el intervalo [-1,1], usando un polinomio de grado 2, usando polinomios de Legendre.

Graficar juntas la función h(x) y el polinomio obtenido.