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Estadstica
Profesor Juan Narro
1
Diplomatura de Estudio en
Gestin de Operaciones
Curso de Estadstica
Sesin 9 y 10:
Estimacin de Parmetros Estimacin Puntual
La estadstica es una ciencia segn la cual todas las mentiras se vuelven grficos
Estadstica
Profesor Juan Narro
2
Sumario
1. Muestreo aleatorio simple.
2. Estimadores puntuales.
3. Distribuciones muestrales: Distribuciones de la
media y proporcin muestral.
4. Teorema del Lmite Central.
Por qu muestrear la poblacin?
Naturaleza destructiva de algunas pruebas (vino, resistencia de acero, semillas)
Imposibilidad fsica de revisar todos los integrantes de la poblacin.
El costo de estudiar a todos los integrantes de la poblacin normalmente es prohibitivo.
Lo adecuado de los resultados de la muestra.
Tiempo requerido para entrevistar a toda la poblacin.
Estadstica
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3
Tipos de Muestreo
Muestreo
No Probabilstico Probabilstico
Seleccin a juicio o criterio
del encuestador
Seleccin de modo que cada
integrante de la poblacin tenga
una probabilidad conocida de ser
incluido en la muestra.
Muestreo Probabilstico
No hay un mejor mtodo para seleccionar una
muestra probabilstica.
Objetivo: permitir que el azar determine los
integrantes que contendr la muestra.
Muestreo Aleatorio
Simple Sistemtico Estratificado Racimo
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4
Muestreo Aleatorio Simple
Cada elemento de la poblacin tiene la misma
probabilidad de ser incluido en la muestra.
Uso de nmeros aleatorios.
Lista de Clientes
Muestreo Aleatorio Simple
Muestra Aleatoria
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5
Tabla de Nmeros Aleatorios
1581922396 2068577984 8262130892
0928105582 7295088579 9586111652
4112077556 3440672486 1882412963
7457477468 5435810788 9670852913
0099520858 3090908872 2039593181
Tabla de
Nmeros
Aleatorios
ESTADSTICA PARA LA
ADMINISTRACIN
Oscar de Azambuja D.
Diapositiva 14
Estadstica
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6
Tcnicas de conteo y el muestreo aleatorio simple
Puede ser con reemplazo o sin reemplazo (con orden y sin orden).
Cantidad de muestras con reemplazo (nN) : Nn
Sin reemplazo con orden (nN) :
Sin reemplazo sin orden (nN):
Fraccin de la muestra f = n/N
=!
( )!
=!
! ( )!
Tcnicas de conteo y el muestreo aleatorio simple
En una zona industrial existen 20 fabricas. Si para cierto estudio se desea tener una muestra aleatoria
de 5 fabricas, Cuntas muestras aleatorias
posibles se pueden formar con cada una de las
formas de seleccin de muestreo aleatorio simple?
Cantidad de muestras con reemplazo :
Nn =205 = 3200,000 muestras
Sin reemplazo con orden:
=!
( )!
20 5 =20!
(20 5)!= 1860,480
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7
Tcnicas de conteo y el muestreo aleatorio simple
Sin reemplazo sin orden:
Cantidad de muestras con reemplazo: 3200,000
Sin reemplazo con orden: 1860,480
Sin reemplazo sin orden: 15,504
=!
! ( )!
20 5 =20!
5! (20 5)!= 15,504
Muestreo Aleatorio Sistemtico
Los integrantes de la poblacin se ordenan.
Se selecciona al azar un punto de inicio.
Seleccin dentro de un intervalo uniforme medido con respecto al tiempo, orden o al espacio.
Cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado.
No debe emplearse si hay un patrn determinado en la poblacin.
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8
1 26 51 76
2 27 52 77
3 28 53 78
4 29 54 79
5 30 55 80
6 31 56 81
7 32 57 82
8 33 58 83
9 34 59 84
10 35 60 85
11 36 61 86
12 37 62 87
13 38 63 88
14 39 64 89
15 40 65 90
16 41 66 91
17 42 67 92
18 43 68 93
19 44 69 94
20 45 70 95
21 46 71 96
22 47 72 97
23 48 73 98
24 49 74 99
25 50 75 100
N = 100
Se desea una muestra n = 20
N/n = 5
Escoger un nmero aleatorio de 1-5:
Seleccionado: 4
Empezar con el 4 y escoger cada
quinto nmero
Muestreo Sistemtico
Muestreo Sistemtico
6 7 18 19
5 8 17 20
4 9 16 21
3 10 15 22
2 11 14 23
1 12 13 24
Seleccin cada tres comenzando en el 1.
Rotacin lenta
(aros, culatas)
Rotacin moderada
(neumticos, faros)
Rotacin rpida
(grasas, pintura)
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9
Muestreo Aleatorio Estratificado
La poblacin es dividida en grupos relativamente homogneos (estratos)
Seleccin aleatoria de elementos del estrato.
Cantidad proporcional al estrato con pesos.
Cada grupo tiene una pequea variacin dentro de si mismo, pero hay una amplia variacin entre los
grupos.
POBLACIN
ESTRATOS
MUESTRA
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10
Muestreo Aleatorio de Racimo
La poblacin se divide en racimos (clusters)
Seleccionamos una muestra aleatoria de estos racimos.
Hay una variacin considerable dentro de cada grupo, pero los grupos son esencialmente
similares entre si.
POBLACIN
RACIMOS
MUESTRA
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11
Distribucin Muestral de Medias
Media
ErrorEstandar
n
N n
N
S
n
N n
N
x
x
xS
1
1
Distribucin que consta de una lista de todas las medias muestrales posibles de un tamao de muestra dado ( de una poblacin) y la probabilidad asociada con cada media muestral.
Si n/N
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12
Edad
18
20
22
24
Probabilidad
0.25
0.25
0.25
0.25
VARIABLE
ALEATORIA PROBABILIDAD
Variable Aleatoria: Variable X = Edad de las personas Valores de la Variable X x (18, 20, 22, 24). P(X=x) o f(x) Probabilidad de que la V.A. X tome el valor x P(X=18) = 0.25 f(18) = 0.25 P(X=20) = 0.25 f(20) = 0.25 P(X=22) = 0.25 f(22) = 0.25 P(X=24) = 0.25 f(24) = 0.25
1
2
1
18 20 22 2421
4
2.236
N
i
i
N
i
i
X
N
X
N
Distribucin Uniforme
.3
.2
.1
0
A B C D
(18) (20) (22) (24)
P(X)
X
Parmetros de la Poblacin
Distribucin Muestral de Medias
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13
1a 2
da Observacin
Obs 18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 20,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
Todas las muestras posibles de tamao n=2
16 Muestras CON reemplazo
Media de cada muestra
1a 2da Observacin
Obs 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
Distribucin Muestral de Medias
Variable Frecuencia Probabilidad
18 1 0,0625
19 2 0,125
20 3 0,1875
21 4 0,25
22 3 0,1875
23 2 0,125
24 1 0,0625
16
Distribucin Muestral de Medias
Estadstica
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14
1a 2da Observacin
Obs 18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
Distribucin de las Medias de las Muestras
16 Medias de Muestras
18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3
Distribucin de las medias de las
muestras P X
X
Distribucin Muestral de Medias
Parmetros de la Distribucin Muestral o de Muestreo
Diapositiva 32
1
2
1
2 2 2
18 19 19 2421
16
18 21 19 21 24 211.58
16
N
i
i
X
N
i Xi
X
X
N
X
N
Distribucin Muestral de Medias
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15
18 19 20 21 22 23 24 0
.1
.2
.3
Distribucin de Muestreo n = 2
A B C D
(18) (20) (22) (24)
0
.1
.2
.3
Poblacin N = 4
21 2.236 21 1.58X X
P X P X
X X
(Error Estndar)
Distribucin Muestral de Medias
Comparacin de la Poblacin con la Distribucin Muestral de Medias
Propiedades de la Distribucin de Muestreo
La media de la distribucin de muestreo es igual a la media de la poblacin x
El error estndar de la distribucin de muestreo es igual a la desviacin estndar de la poblacin entre
la raz cuadrada de n
nx
Distribucin Muestral de Medias
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16
Distribucin de Muestreo
de la Media
x
x
x x
x x
Distribucin de las muestras
Poblacin
Distribucin Muestral de Medias
Comparacin de la Poblacin con la Distribucin Muestral de Medias
Distribucin de la Poblacin y Distribucin de Muestreo de la Media
= 100
Distribucin de muestreo de medias
de 5 elementos (n=5)
Distribucin de la poblacin
25x
25
Distribucin Muestral de Medias
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17
No Sesgada
X
f X
Propiedades de la Distribucin de Muestreo
x
Distribucin Muestral de Medias
Muestreo de Poblaciones Normales
Tendencia Central Dispersin
Distribucin de Muestreo
X50X
4
5X
n
16
2.5X
n
Distribucin de la Poblacin
50
10
nx
x
Distribucin Muestral de Medias
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18
Tendencia Central Dispersin
Distribucin de Muestreo
X50
X
4
5X
n
30
1.8X
n
Distribucin de la Poblacin
50
10
Poblaciones No Normales
nx
x
Distribucin Muestral de Medias
Conforme aumenta el
tamao de la muestra,
la forma de la
distribucin se vuelve
ms normal.
Pro
ba
bil
ida
d n = 8
Pro
ba
bil
ida
d n = 20
Pro
ba
bil
ida
d
n = 4
Pro
ba
bil
ida
d
n = 2
Efecto del tamao de la muestra
Distribucin Muestral de Medias
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19
Distribucin de muestreo de la proporcin
Objetivo del sondeo es estimar la proporcin (p)
de las personas con
ciertas caractersticas.
Si n es suficientemente grande, la distribucin se
aproxima a la normal.
(n 5)
Si n/N
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20
Conforme se incrementa el tamao de la muestra
La distribucin de muestreo de la media se aproxima a la normal.
X
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
* El error estndar es la base de la inferencia de la media (que no se conoce) de una poblacin.
* "Si la poblacin es normal, entonces la distribucin de medias tambin lo es. Si la poblacin no es normal, la distribucin de muestreo de las medias se aproxima a la normal conforme aumente el tamao de la muestra"
* Podemos usar la Distribucin Normal :
* Si n 30 y tambin cuando n < 0.05N,
* Si n* 5 y tambin cuando n(1-) 5.
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21
Factor de Correccin por Poblacin Finita
05.0N
Cuando n
1*
N
nN
nx
N
n
nx 1*
Factor de Correccin por Poblacin Finita
05.0N
Cuando n
1*
)1(
N
nN
n
ppp
N
n
n
ppp
1*
)1(
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22
Factor de Correccin por Poblacin Finita
Clculo del FCPF para diversos n con N=1000.
n n/N FCPF
10 0.010 0.9955
25 0.025 0.9879
50 0.050 0.9752
100 0.100 0.9492
200 0.200 0.8949
500 0.500 0.7075
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
Una ciudad tiene 20 tiendas de una cadena de igual tamao. La desviacin estndar de la rotacin de
personal en un ao es de 75. Si tomamos una
muestra de 5 tiendas, sin reemplazo, determine el
error estndar de la media.
Dado:
N = 20
= 75
n = 5
1*
N
nN
nx
)8885.0()54.33(120
520*
5
75
x
8011.29x
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23
Distribucin de Muestreo
X
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
De una poblacin infinita con media igual a 8 y desviacin estndar igual a 3 se extrae una muestra de 36 elementos. Cul es la probabilidad que la media de dicha muestra est entre 7.6 y 8.4?
)4.8xP(7.6 :Calcular
36n 3 8
nx
5.06
3
36
3x
8x
8x
?)4.8xP(7.6 7.6 8.4
Valor Z para Distribucin Muestral de Medias
x
z
n
xz
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
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24
Distribucin Normal Estndar
1Z
Z0Z
)4.8xP(7.6 :Calcular
36n 3 8
8.05.0
4.0
36
3
84.84.8
z
2118.07881.0)8.0P(-0.8 z
8.05.0
4.0
36
3
86.76.7
z
-0.8 0.8
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
5763.0)8.0P(-0.8 z
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
Suponga que el 60% de todos los peruanos aprueban la forma en que su Presidente maneja la economa; as = 0.6. Si se tuviera informacin independiente de que la media de la distribucin
muestral de la proporcin que lo aprueba fuera p= 0.6, en tanto
que la desviacin estndar fuera p=0.049, qu tan probable sera que una muestra aleatoria simple de n=100 peruanos diera
una proporcin de aprobacin de ms de 0.7?
Dado:
n = 100
p = 0.049 p= 0.6
p = 0.7
px
n
k
N
p p
n
p p
n
N n
N
p p
p
p
E
;
( )
( )
( )
1
1
1
Estadstica
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25
Distribucin de Muestreo
X
)7.0pP( :Calcular
0.7p 100n 049.0 6.0
pp
p
6.0p
?)7.0pP(
0.7
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
049.0)1(
6.0)(
n
ppp
pp E
Valor Z para Distribucin Muestral de proporcin
x
z
p
pp
z
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
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26
Distribucin Normal Estndar
1Z
Z0Z
04.2049.0
6.07.07.0
z
0207.09793.01)04.2P( z 2.04
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
)7.0pP( :Calcular
0.7p 100n 049.0 6.0
pp
Es poco probable que en una muestra de 100 peruanos se encuentre que
el 70% apruebe el manejo econmico del Presidente.
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
Una investigacin de mercados plantea realizar una encuesta para estudiar las preferencias familiares de una nueva mantequilla. Se deseara basar la encuesta en por lo menos 500 familias que consuman mantequilla al menos ocasionalmente. Cmo se desconoce cuales son las familias que consumen mantequilla, se deber extraer una muestra suficientemente grande como para obtener dentro de ella 500 familias que consuman mantequilla. Se supone que por lo menos el 60% de las familias consumen mantequilla. Con base en esta creencia se decidi que una muestra de 1000 familias debera ser suficiente.
Cul es el nmero esperado de familias consumidoras de mantequilla en la muestra?
Cul es la probabilidad de que se obtengan menos de 500 familias consumidoras de mantequilla?
Estadstica
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27
Dado:
n = 1000
p = ? p= 0.6
p = 0.5
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
El nmero esperado = estimacin puntual
1
)1(
)1(
N
nN
n
pp
n
pp
p
p
familias 600 x10000.6np
Distribucin de Muestreo
X
)5.0pP( :Calcular
0.5p 1000n ? 6.0
pp
p
6.0p
?)5.0pP( 0.5
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
01549.01000
)6.01(6.0
)1(
p
pn
pp
Estadstica
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28
4557.601549.0
6.05.05.0
z
113859.5)4557.6P( Ez
Teorema de Lmite Central
(o de Distribucin Normal de Medias)
)5.0pP( :Calcular
0.5p 1000n 01549.0 6.0
pp
Distribucin Normal Estndar
1Z
Z0Z
-6.4557 113859.5)5.0pP( E
La probabilidad es muy pequea, es casi seguro que en las 1000 familias se
encuentren ms de 500 que consuman mantequilla.
Estadstica
Mtodos
Estadsticos
Estadstica
Descriptiva
Estadstica
Inferencial
Estimacin Prueba de
Hiptesis
Estadstica
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29
Proceso de Estimacin
Poblacin Muestra
Estimador
Estimacin
Poblacin
Tipos de Estimacin
Estimacin
Estimacin
Puntual Estimacin
de Intervalo
Estadstica
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30
Estimacin
Puntual
Un nmero (llamado punto) que se
emplea para estimar
un parmetro
poblacional, p.e.
media, varianza,
proporcin muestral,
etc.
De intervalo
Expresa la amplitud dentro de la cual
probablemente se
encuentra un
parmetro
poblacional
(intervalos de
confianza)
Estimacin Puntual
Estadstica de MuestraParmetro de Poblacin
Poblacin de Media Muestra de Media x
Poblacin Est. Des. Muestra Est. Des. s
22 Poblacin Varianza Muestra Varianza s
pp Poblacin de Proporcin Muestra de Proporcin
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