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EPORT
ESTADÍSTICA BÁSICA PARA LOS NEGOCIOS
JULIO RAMOS R. • VÍCTOR DEL ÁGUILA • ANA BAZALAR B.
Gross Sales by Sales Analysis
,\¡J, JL-, I...,..., 1 J,1,1 + J"Jll. ,-,,...-t,•
Estadística básica para los negocios
Julio Ramos R. ● Víctor del Águila ● Ana Bazalar B.
Colección Textos UniversitariosEstadística básica para los negociosPrimera edición impresa: julio, 2017Primera edición digital: abril, 2020
© Universidad de LimaFondo EditorialAv. Javier Prado Este 4600,Urb. Fundo Monterrico Chico, Lima 33, PerúApartado postal 852, Lima 100Teléfono: 437-6767, anexo 30131
fondoeditorial@ulima.edu.pe www.ulima.edu.pe
Diseño, edición y carátula: Fondo Editorial de la Universidad de Lima
Imagen de portada: Portrait Images Asia by Nonwarit/ Shutterstock.com
Versión e-book 2020 Digitalizado y distribuido por Saxo.com Perú S. A. C. https://yopublico.saxo.com/ Teléfono: 51-1-221-9998 Avenida Dos de Mayo 534, Of. 404, Miraflores Lima - Perú
Se prohíbe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso expreso del Fondo Editorial.
ISBN 978-9972-45-523-0
Índice 7
Presentación 11
Capítulo 1. Nociones básicas de la estadística 131. Definición,clasificacióneimportanciadelaestadística 151.1 Estadística 151.2 Clasificacióndelaestadística 16
1.2.1 Estadísticadescriptiva 161.2.2 Estadísticainferencial 17
1.3 Importanciaynecesidaddelaestadística 172. Términosbásicosenestadística 182.1 Poblaciónyparámetro 18
2.1.1 Poblaciónouniverso 182.1.2 Parámetro 19
2.2 Muestrayestadístico 202.2.1 Muestra 202.2.2 Estadístico 21
2.3 Unidaddeanálisis 222.4 Variables 22
2.4.1 Clasificacióndelasvariables 222.5 Datos 25
3. Conceptodemedición 263.1 Nivelesdemedición 26
4. Fasesdelmétodoestadístico 28Ejerciciosyproblemasresueltos1 31Ejerciciosyproblemaspropuestos1 47
Capítulo 2. Fuentes y técnicas de recolección de datos 591. Fuentesderecoleccióndedatos 611.1 Fuenteprimaria 611.2 Fuentesecundaria 62
2. Técnicasderecoleccióndedatosprimarios 642.1 Laobservación 642.2 Laexperimentación 642.3 Laencuesta 65
3. Encuestaspormuestreoycensos 653.1 Encuestapormuestreo 65
3.1.1 Tiposdeencuestaspormuestreo 66
Índice
Estadística básica para los nEgocios8
3.1.2 Etapasdeunaencuestapormuestreo 673.1.3 PrincipalesencuestaspormuestreoenelPerú 67
3.2 Censo 683.2.1 Etapasdelcenso 683.2.2 PrincipalescensosenelPerú 70
4. Instrumentodemediciónparaencuestas:elcuestionario 704.1 Etapasparasuconstrucción 714.2 Tiposdecuestionario 714.3 Tiposdepreguntasenelcuestionario 724.4 Unmodelodecuestionariodeencuesta 75
Ejerciciosyproblemasresueltos2 80Ejerciciosyproblemaspropuestos2 89
Capítulo 3. Técnicas de procesamiento y presentación de datos 951. Usodesumatoriaseintervalosparadatosestadísticos 971.1 Sumatorias 981.2 Intervalos 99
2. Organizacióndelosdatos:objetivosypasos 1002.1 Pasosenlaorganizacióndelosdatos 101
3. Procesamientootabulacióndedatos 1023.1 Cuadroestadístico 102
3.1.1 Estructurayelementosdeuncuadroestadístico 1023.2 Tablasdefrecuencias 103
3.2.1 Clasificacióndelastablasdefrecuencias 1043.2.2 Estructurayelementosdeunatabladefrecuencias 104
3.3 Gráficosestadísticos 1053.3.1 Clasificacióndelosgráficosestadísticos 1053.3.2 Estructurayelementosdeungráficoestadístico 106
3.4 Procesamientodedatosdeunavariablecualitativa 1073.4.1 Tabladefrecuencias 1073.4.2 Gráficodebarras 1093.4.3 Gráficodesectorescirculares 110
3.5 Procesamientodedatosdeunavariablecuantitativadiscretaderecorridocorto 1113.5.1 Tabladefrecuencias 1113.5.2 Gráficodebastones 112
3.6 Procesamientodedatosdeunavariablecuantitativacontinuaydiscretaderecorridolargo 1133.6.1 Tabladefrecuencias 1133.6.2 Histograma 1183.6.3 Polígonodefrecuencias 1193.6.4 Ojiva 120
3.7 Diagramadedispersiónparadosvariablescuantitativas 120Ejerciciosyproblemasresueltos3 123Ejerciciosyproblemaspropuestos3 134
Capítulo 4. Medidas estadísticas de resumen 1591. Definiciónyclasificacióndelasmedidasestadísticas 1611.1 Definición 161
Índice 9
1.2 Clasificacióndelasmedidasestadísticas 1612. Medidasestadísticasdecentralizaciónyposición 1612.1 Mediaaritmética X( ) 162
2.1.1 Propiedadesdelamediaaritmética 1632.1.2 Cálculodelamediaaritméticacondatosagrupados
enunatabladefrecuencias 1642.1.3 Mediaponderada 165
2.2 Mediana(Me) 1662.2.1 Cálculodelamedianacondatosnoagrupados 1672.2.2 Cálculodelamedianacondatosagrupados (tabuladossinintervalos) 1692.2.3 Cálculodelamedianacondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 170
2.3 Modaovalormodal(Mo) 1722.3.1 Cálculodelamodacondatosnoagrupados 1722.3.2 Cálculodelamodacondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 172
2.4 Comparaciónentrelamediaaritmética,lamedianaylamoda 1742.5 Cuantiles 1762.6 Cuartiles(Qk) 177
2.6.1 Cálculodecuartilescondatosnoagrupados 1772.6.2 Cálculodecuartilescondatosagrupados (tabuladosconintervalos) 179
2.7 Percentiles(Pk) 1812.7.1 Cálculodepercentilescondatosnoagrupados 1812.7.2 Cálculodepercentilescondatosagrupados (tabuladosenintervalos) 182
2.8 Mediageométrica GX( ) 185Ejerciciosyproblemasresueltos4.1 187Ejerciciosyproblemaspropuestos4.1 199
3. Medidasestadísticasdedispersiónovariabilidad 2163.1 Clasificacióndelasmedidasdedispersiónovariabilidad 216
3.1.1 Medidasabsolutasdevariabilidad 2163.1.2 Medidasrelativasdevariabilidad 217
3.2 Rangooamplitudtotal(R) 2173.3 Rangointercuartil(RQ) 2183.4 Desviaciónmedia(Dm) 219
3.4.1 Cálculodeladesviaciónmediacondatosnoagrupados 2193.4.2 Cálculodeladesviaciónmediacondatosagrupados 220
3.5 Varianza(S2) 2213.5.1 Cálculodelavarianzacondatosnoagrupados 2213.5.2 Cálculodelavarianzacondatosagrupados 2223.5.3 Propiedadesdelavarianza 224
3.6 Desviaciónestándar(S) 2243.6.1 Propiedaddeladesviaciónestándar 225
3.7 Coeficientedevariación(CV) 2263.7.1 Interpretacióndelcoeficientedevariación 227
Estadística básica para los nEgocios10
3.8 Comparacióndeladesviaciónmediacon ladesviaciónestándar 229Ejerciciosyproblemasresueltos4.2 230Ejerciciosyproblemaspropuestos4.2 235
4. Medidasestadísticasdeasimetría 2404.1 CoeficientedeasimetríadeFisher(AF) 2414.2 CoeficientesdeasimetríadePearson 241
4.2.1 PrimercoeficientedePearson(AP1) 2414.2.2 SegundocoeficientedePearson(AP2) 241
4.3 Interpretacióndelcoeficientedeasimetría 242Ejerciciosyproblemasresueltos4.3 244Ejerciciosyproblemaspropuestos4.3 250
5. Gráficosparaelanálisisexploratoriodedatos 2555.1 Diagramadetallosyhojas 255
5.1.1 Construccióndeldiagramadetallosyhojas 2565.2 Diagramadecajaybigotes 259
5.2.1 Deteccióndedatosatípicosuoutliers 261Ejerciciosyproblemasresueltos4.4 263Ejerciciosyproblemaspropuestos4.4 269
Capítulo 5. Técnicas de conteo de posibilidades 2771. Utilidaddelastécnicasdeconteo 2792. Principiosdeconteo 2792.1 Principiodemultiplicación 2792.2 Principiodeadición 281
3. Permutaciones 2823.1 Permutacionesdenobjetosdiferentes 2823.2 Permutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenk 2833.3 Permutacionescongruposdeobjetosigualesorepetidos 284
4. Combinaciones 285Ejerciciosyproblemasresueltos5 287Ejerciciosyproblemaspropuestos5 289
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos 295
Referencias bibliográficas 311
Presentación 11
Presentación
Lasprimerasformassimplesdeestadísticaaparecieronconeliniciodelacivi-lización;seutilizabarepresentacionesgráficasenrocas,maderayparedesparacontarelnúmerodepersonas,animalesociertosobjetos.EnBabilonia,enelaño3000antesdeCristo,seusabatablasdearcillapararecolectarinformaciónsobrelaproducciónagrícola.Losegipciosyaanalizabanlosdatosdesupoblaciónylarentadelpaísmuchoantesdeconstruir laspirámides;delmismomodo,laculturaChinarealizabacensosordenadosporelemperadorTao,haciaelaño2200antesdeCristo.EnelsigloXIX,laestadísticaentraenunanuevafasedesudesarrollodebido
alageneralizacióndelmétodoparaestudiarfenómenosdelascienciasnaturalesysociales.SepuedeconsideraraGaltonyPearsonlospadresdelaestadísticamoderna,puesaellossedebeelpasodelaestadísticadeductivaalaestadísticainductiva(Estadísticaparatodos,2008).En laactualidad, con lapopularizaciónde las computadoras laestadística
sehaconvertidoenunacienciapoderosa.Elnúcleocentraldelametodologíaestadística sebasaen técnicasde computación intensiva, aplicadasagrandesmasasdedatosenbúsquedadelmodeloideal.Sinembargo,losfundamentosdelaestadísticaactual,ymuchosdesusmétodosinferencialesiniciadosporFisher,partendelaestadísticadescriptiva.Elpresentelibrotratasobrelaestadísticadescriptivayhasidoorientadoalos
negocios,basadoenlaexperienciadocentedelosautoreseneldictadodeloscur-sosdeestadísticaenlaUniversidaddeLima.ElcontenidotemáticocorrespondealaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNegocios,quesedictaenelProgramadeEstudiosGeneralesdelaUniversidaddeLimaycomprendecincocapítulos.Enelcapítulo1sepresentanlasnocionesbásicasdelaestadística,aquíse
desarrollanlostérminosbásicos,asícomolasfasesdelmétodoestadístico.Enelcapítulo2setratanlasfuentesytécnicasderecoleccióndedatos,que
eseltemamásdesarrollado,porsuimportanciaenelprocedimientoestadístico.
Estadística básica para los nEgocios12
Lastécnicasdeprocesamientoypresentacióndelosdatossedesarrollanenelcapítulo3,yseagregaunapequeñaintroducciónsobreelusodesumatoriaseintervalosparaelresumendelosdatos.Enestecapítulosetrabaja,principal-mente,laelaboracióndelastablasdefrecuenciasylosgráficosestadísticosdeacuerdoaltipodevariablequeseestáestudiando.Enelcapítulo4seestudianlasmedidasestadísticasderesumenylosgráfi-
cosestadísticosparaelanálisisexploratoriodedatos.Elestudiodelasmedidasestadísticasderesumensedividióentrespartes:medidasdetendenciacentralyposición,medidasdedispersiónovariabilidadymedidasdeasimetría.Losgráficosutilizadosenelanálisisexploratoriodedatosson:diagramadetallosyhojas,ygráficodecajaybigotes.Enelcapítulo5sedesarrollanlastécnicasdeconteodeposibilidadesdeocu-
rrencias,losprincipiosbásicosdelconteodeposibilidades,laspermutacionesycombinaciones;loscualessontemasimportantesparaelcálculodeprobabilidadbasadoenladefiniciónclásica.Finalmente,agradecemosa laspersonasquenoshanapoyadoenlaelabo-
racióndeeste libro,enespecialalprofesorMáximoMitacc,quienrevisóestematerialynosalcanzósugerenciasyobservaciones;deigualmodo,alprofesorFernandoHoyos,quiennosmotivóybrindósudecididoapoyoparalaculmina-cióndeesteproyecto.
Los autores
LaEstadística esuna ciencia fundamentalparalatomadedecisiones,sobretodocuan-doprevalecensituacionesdeincertidumbreen los campos sociales, salud, negocios,entreotros.Enestecapítuloseenfatizarán las aplicaciones en los negocios (finanzas,comercio,estudiosdemercadoyotros).Para emplear métodos y procedimientospara la medición, clasificación, análisis einterpretacióndedatosesnecesariocono-cerlaclasificación,lostérminostécnicos,elmétododemediciónde lascaracterísticasylasfasesdelmétodoestadísticoenlain-vestigacióncientífica.
SabesCapacidadesadquiridas
9 Entenderydescribirunproblemadein-vestigación identificando sus distintasetapas
9 Identificarlosdiferentestiposdeinves-tigación y las características que cadaunodeellosrepresentan.
PiensasCompetenciasporlograr
9 Identificarlostérminosestadísticos. 9 Clasificar lasvariablesbajoestudiose-gúnsunaturalezayniveldemedición.
9 Reconocerlasdistintasfasesdelmétodoestadístico.
HacesHabilidadespordesarrollar
9 Analizarunproblemadeinvestigaciónenlosnegociosydescribirloutilizandolostérminosestadísticos.
9 Distinguirentreestadísticadescriptivaeinferencialenunproblemadeinvesti-gaciónenlosnegocios.
Contenido
1. Definición,clasificacióneimportan-ciadelaestadística.
2. Términosbásicosenestadística.3. Conceptodemedición.4. Fasesdelmétodoestadístico.
Nociones básicas de la estadística
Capítulo
1
Estadística básica para los nEgocios14
Perú ocupa el puesto 42 en tamaño de población con más de 31 millones de habitantes. ¿La estadística descriptiva nos permite conocer esto?
LapoblacióndelPerúasciendea31488625personas,informóelIns-titutoNacionaldeEstadísticaeInformática(INEI),enelDíaMundialdelaPoblacióndel2016.Deesacifra,el50,1%sonhombresyel49,9%mujeresy9985664
depersonasseencuentranenlaregiónLima.Laestadísticadescriptivautilizatécnicaspararecolectar,ordenar,
resumiryclasificardatosconlafinalidaddetenerunavisiónmáspre-cisayconjuntadeunfenómenooproblemadeinvestigación.Elaná-lisisdedatosayudaadescubrirposiblesrelacionesentrelasunidadesestudiadas,determinandocuálestomanvaloresparecidos,cuálesdi-fierengrandementedelrestoydestacandohechosdeposibleinterés.EnelPerú,el INEIeselorganismooficialencargadode realizar
estudiosbasadosenlaestadísticadescriptiva,quenospermitansaber¿cuántossomos?,y¿cómoestamosdistribuidos?Otroobjetivodelaestadísticadescriptivaespresentarlosresulta-
dosdetalmodoquedescribanfácilmenteelfenómenoestudiado.Paraaplicarlastécnicasdelaestadísticadescriptivaserequierecono-
cerpreviamentesustérminostécnicos,elniveldemedicióndelosdatosylasetapasquesesiguenpararealizarunainvestigaciónestadística.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 15
1. Definición, clasificación e importancia De la estaDística
1.1 Estadística
Laactividadestadísticasurgeencivilizacionescomolaegipcia,lagriega,laro-manaylachina,queperiódicamenterealizabancensosenlosquesusfunciona-riosrecababaninformacionestalescomo:númerodehabitantes,matrimonios,defunciones,tiposderecursos,númerodenacimientos,entreotros,detodalapoblación.EnelPerú,elprimercensogeneralhabríasidorealizadoporelincaSinchiRoca(1230-1260),enelImperiodelTahuantinsuyo,quehabríadetermina-dolaexistenciade200000hombresaptosparalaguerra(INEI,2016).ComolafuncióndelosdiversosnivelesdelEstadoes,entreotrascosas,lle-
varlosregistrosdelapoblación,nacimientos,indicadoresagrarios,impuestosydemás,tradicionalmentesedefinióalaestadísticacomouninstrumentodecompilación,organización,presentaciónyanálisisdelosdatosnuméricosquenecesitanlosEstados.Porestarazón,etimológicamenteeltérmino“estadística”sederivadelapa-
labraqueprovienedellatínstatisticusquesignifica‘delEstado’.Pero cuando realizamos investigaciones en los camposde la economía, la
administración,lamedicina,lapsicología,lafísica,laquímica,labiología,nosdamoscuentadequelaestadísticaesfundamentaly,envarioscasos,eselúnicoinstrumentoconquecontamoshoyparapodermedir,clasificar,analizareinter-pretardatosdecualquieradelasdosramasdelascienciasfácticas.Losmétodosestadísticossonunodelosmediosporlosqueelhombretrata
decomprenderlasrelacionesentredeterminadosgruposdeobjetos,elementoso personasyencontrartendenciasosimilitudesapartirdelacompilaciónein-terpretacióndedatosnuméricos.Estosmétodossonfundamentalmentelosmis-mos,independientementedequeseapliquenenelanálisisdefenómenosfísicos,
Estadística básica para los nEgocios16
enelestudiodemedicioneseducacionales,enelestudiodedatosprovenientesdeexperimentosbiológicos,odelanálisiscuantitativodeteoríaeneconomía.Porloexpuesto,laestadísticaesunacienciaqueseaplicaacualquieradelas
ramasdelascienciasfácticasynosproporcionaunconjuntodemétodosypro-cedimientosparalamedición,clasificación,análisiseinterpretacióndedatosenformaadecuada,paraquenospermitantomardecisionescuandoprevalezcansituacionesdeincertidumbre.
1.2 Clasificación de la estadística
Existen dos formas conocidas de clasificar la estadística. Según el orden de ejecucióndelasactividades,laestadísticaseclasificaendescriptiva e inferencial,ysegúnelnúmerodevariablesseclasificaenunivariante y multivariante.Enestasecciónabordaremoslaclasificaciónsegúnelordendeejecucióndelasac-tividades.
1.2.1 Estadística descriptiva
Seencargaderecolectar,clasificar,presentar,describir,resumirosimplificarda-tos,cuyoanálisisnopretendeirmásalládelconjuntodelosdatosobtenidosdelamuestraodelapoblación.Laestadísticadescriptivaes,pues,unconjuntodeprocedimientosquetienenporobjetopresentargruposdedatossimplificadosentablas,gráficosomedidasderesumen.Endefinitiva,laestadísticadescrip-tivacomprendeaquellas técnicasqueseusanparasimplificar la información(usualmentelargaslistasdedatos)delaformamásprecisaposible,atravésdemedidasderesumen,tablas,cuadrosygráficos,parafacilitarlasdescripcionesycomparaciones.Loselementosde laestadísticadescriptiva,deacuerdoasuocurrencia,sepresentanacontinuación:
Figura 1.1 Elementos de la estadística descriptiva
Recolecciónde datos
Críticay clasi�cación
de datos
Presentaciónde información
Tablas, grá�cosy medidas
estadísticas
Análisisdescriptivo
Elaboración propia
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 17
Ejemplo 1.1Elgerentedeunaempresamidióelniveldeconocimientodetodosuperso-naladministrativoenelmanejodehojaselectrónicasdecálculo.Aplicóunapruebay representó las calificacionesenalgunosgráficos, tablasycalculóalgunosindicadores.Concluyóquesupersonaladministrativoposeeundo-minioaceptabledelashojaselectrónicas.
1.2.2 Estadística inferencial
Podemos considerarque la estadística es inferencial cuandopretende inferir, predecir o hacer conclusiones de una población a partir de los datos de sumuestra.Comoalgunosdelosresultados,puedensercompletaoparcialmente ciertosyotrosno,estánligadosaciertogradodeincertidumbredentrodeloslímitesdeerroryprobabilidad,losmismosquesepuedendeterminarestadís-ticamenteencadacaso(Sierra,1997).Loselementosdelaestadísticainferencialsepresentanacontinuación:
Figura 1.2 Elementos de la estadística inferencial
Elaboración propia
Ejemplo 1.2Unaempresadeinvestigacióndemercadosrealizóunestudiopormuestreodeconsumidoresdebebidasenergéticas,seleccionóunamuestradeconsumidores(mujeresyhombres)deestetipodebebidasyconbaseenlosdatosobtenidos,probóqueloshombresconsumenmásbebidasenergéticasquelasmujeres.
1.3 Importancia y necesidad de la estadística
Laestadísticaesunadisciplinaqueimplicalarecolecciónylaorganizacióndelosdatosparadescribir,interpretarypredecirelcomportamientofuturodeestos.Porestarazón,laestadísticaseutilizaencasitodaslasactividadesyáreasdelsaber
Población objetivo• Características
desconocidas
Muestra probabilística• Seleccionada con leyes
de probabilidad
Datos • Obtenidos de cada
unidad de la muestra
Estimaciones• Calculadas con los datos
de la muestra
Conclusiones• Válidas para la población, con
un error y confiabilidad tolerada
Estadística básica para los nEgocios18
humano,porejemplo,en las industriasalimentarias, farmacéuticas, lascompa-ñíasaseguradoras,elgobiernocentralyenlosdistintosconocimientoshumanos(cienciassociales:economía,medicina,biología,psicología,entreotras;cienciasnaturales: física, química, entre otras). En estas últimas se utilizan diferentes técnicaspara realizar investigacionescuantitativascon lafinalidaddeconocer,porejemplo,elcomportamientodelosclientessobreproductosnuevosyelmejo-ramientodelosexistentes;asícomopararealizarinvestigacionesestadísticasenlosámbitosestataloacadémico.
Estadística en los negocios
Laestadísticaesfundamentalparagestionarymejorartemasoactividadesrela-cionadosconlosnegocios,porejemplo:– Losnivelesdesatisfaccióndelosclientesyusuarios– Lostiposdeaccidentesysusfrecuencias– Ventasporclientes,vendedores,zonasyproductos– Prediccionesdeventasporzonas,productos,serviciososucursales– Proyectosdeinversión– Evolucióndelasdistintasratioseconómicas-financierasypatrimonialesalolargodeltiempo
– Estudioseinvestigacióndemercado– Productosmásdemandados,enelámbitoglobal,porzonayporcanaldecomercialización
– Estadísticadelpersonal(directivoyempleado)– Elcontroldecalidad
2. términos básicos en estaDística
Laestadística,alserciencia,poseesupropiaterminologíatécnica.Acontinua-ciónsepresentanlostérminosbásicosydefinicionesdellenguajeestadístico.
2.1 Población y parámetro
2.1.1 Población o universo
Eselconjuntodetodosloselementosquecompartenunacaracterísticaquesedesea investigar. Estas características deben estar claramente definidas, en elespacioyel tiempo.Dichoselementospueden serpersonas,hogares,manza-nas,distritos,ciudades,escuelas,hospitales,empresas,latasdeleche,televiso-res,periódicos, revistas, series televisivas,entreotros (Hernández,Fernández yBaptista,1994)
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 19
Lapoblaciónseclasificaen:• Población finita.Esaquellacuyoselementossonsusceptiblesdeserconta-dos.Paraestudiosenlascienciassociales,unapoblaciónseconsiderafinitacuandoelnúmero totaldeelementosesmenoro iguala100000 (Sierra,1997).Porlogeneral,unapoblaciónfinitasedefineconlímitesdeespacioydetiempo.
• Población infinita.Esaquellacuyoselementosnosonsusceptiblesdesercontados;esdecir,cuandosonilimitados.Paraestudiosenlascienciasso-ciales,unapoblaciónseconsiderainfinitacuandoelnúmerototaldesuselementosesmayora100000(Sierra,1997).
Cuandonos interesaestudiarunapoblaciónouniversoenunproblemadeinvestigación,estasedenominapoblaciónobjetivo.
Ejemplo 1.3Enunestudiodemercadosedefinelapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolina,queconsumierongaseosaenelmespa-sado”.Esdecir,lainvestigacióntendráquerecolectardatosdelaspersonasqueconsumierongaseosaelmespasadoeneldistritodeLaMolina.
2.1.2 Parámetro
Esunamedidaderesumendetodalapoblación.Seexpresa,porejemplo,comototalpoblacional,mediapoblacional,proporciónoporcentajepoblacional,razónpoblacional,entreotros.Suvalorrepresentaunacaracterísticanuméricadelapo-blación;losparámetrossondifícilesdecalcularporqueenmuchoscasoslareco-leccióndedatosdetodalapoblaciónesprácticamenteimposibleperopuedenserinferidosmediantelosestadígrafos,dedondeprovieneelnombrede“estadísticainferencial”(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Enelsiguientecuadrosepresentanlosparámetrosmásutilizadosenlaesta-
dísticainferencial.
Parámetros SímbolosTotalpoblacional T
Mediapoblacional µ
Proporciónpoblacional π
Varianzapoblacional 2σ
Desviaciónestándarpoblacional σ
Estadística básica para los nEgocios20
Ejemplo 1.4EnelestudiodemercadoeneldistritodeLaMolinasedefiniólapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolina,queconsu-mierongaseosaenelmespasado”;entonces,algunosparámetrosdeinteréspodríanserlossiguientes:– Gastopromediomensual en consumode gaseosade los consumidoresqueresideneneldistritodeLaMolina,elmespasado.
– Porcentaje de consumidores de gaseosas que residen en el distrito de LaMolinaqueprefierenlamarca“KolaSabor”,elmespasado.Losvaloresdelosparámetrosanterioressondesconocidos,senecesitaría
consultaratodoslosconsumidoresdegaseosasdeLaMolinaparaconocerelverdaderovalordecadaparámetro.
2.2 Muestra y estadístico
2.2.1 Muestra
Esunsubconjuntodelapoblación,debidamenteseleccionadomedianteelusodetécnicasestadísticasomedianteeljuiciodeunexperto.Silosdatosdeunamuestrasehanobtenidohaciendousodeprocedimientosqueutilizanelcálculodeprobabilidades,sepuederealizarinferenciasdelapoblacióndedondeproce-de(Sierra,1997).Lamuestrapuedeserprobabilísticaynoprobabilística.
• Muestra probabilística.Esaquellamuestraqueseobtienepormétodosprobabilísticosde selección, enel cual cadaelementode lapoblaciónouniversotieneunaprobabilidadconocidadeselección.Laestadísticain-ferencialrequiereestetipodemuestraparapoderexpandirsusresultadosobtenidosalapoblacióndeestudio.Laprincipalventajadeestetipodemuestraesquepuedemedirseeltamañodelerrormuestralennuestraspredicciones(Hernández,FernándezyBaptista,1994).
• Muestra no probabilística.Llamadatambiénmuestradirigida,esaquellaqueseobtienemedianteeljuicioocriteriodeunapersona,generalmenteunexpertoenlamateriaqueseleccionaloselementosdelamuestra.Estemétodoestábasadoen lospuntosdevistasubjetivosdeunapersonay suponen un procedimiento de selección informal y algo arbitraria. La teoríadelaprobabilidadnopuedeserempleadaparamedirelerrordemuestreo, locualconstituyesumayordesventaja.Entresusprincipalesventajas podemosmencionar que es fácil de obtenerla a travésde con-vocatorias; por ejemplo: muestra de sujetos voluntarios, sujetos-tipos, entreotros;oacudiendoainstitucionesuorganizacionesqueposeanlainformación que se requiere.De estemodo se abarata el costo, ya queusualmenteesmásbajoqueeldelasmuestrasprobabilísticas(Hernández,FernándezyBaptista,1994).
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 21
Ejemplo 1.5EnelestudiodemercadoenLaMolinasedefiniólapoblaciónobjetivocomo“laspersonasresidenteseneldistritodeLaMolinaqueconsumierongaseosaenelmespasado”.Entonces, lamuestrapodríaestarconformadapor“400consumidoresdegaseosasqueresidenenLaMolina,seleccionadosmediantealgúnmétododemuestreoprobabilístico,enelmespasado”.
2.2.2 Estadístico
Conocidotambiéncomoestadígrafo,eselvalorcalculadobasadoenlosdatosqueseobtienendeunamuestray,porlotanto,esunaestimaciónoaproxima-cióndelparámetro.En estadística inferencial, los estadísticos sirvenpara es-timarlosparámetrosdepoblaciónquegeneralmentesedesconocen.Entrelosestadísticosconocidossetienenlamediamuestral(promedio),laproporciónoporcentajemuestral,entreotros.Enelsiguientecuadro,sepresentanlosestadísticosmásutilizadosenlaes-
tadísticainferencial.
Estadísticos Símbolos
Totalmuestral T̂
Mediamuestral X
Proporciónmuestral p
Varianzamuestral S2
Desviaciónestándarmuestral S
Ejemplo 1.6EnelestudiodemercadodeLaMolinaseconsideróunamuestrade400con-sumidoresdegaseosas,seleccionadosdelmecionadodistrito,elmespasado;entonces,losestadísticosdeinteréspodríanser:– Gastopromediomensualenconsumodegaseosadelos400consumidoresseleccionadosdeldistritodeLaMolina,enelmespasado.
– Porcentajedeconsumidoresqueprefierenlamarca“KolaSabor”,delos400consumidoresseleccionadosdeldistritodeLaMolina,enelmespasado.Elvalordelosestadísticosanterioresesfácildeconocerycalcular,debido
aquesoloseutilizalosdatosdeunamuestra.Estosvaloressonestimacionesoaproximacionesdelosparámetrosdefinidosenelejemplo1.4.
Estadística básica para los nEgocios22
2.3 Unidad de análisis
Conocidotambiéncomounidadelemental,unidaddeobservaciónounidades-tadística.Eselelementoounidadbasedelapoblación,odelamuestra,delcualseobtendrándatosreferidosaciertascaracterísticasovariablesquenosintere-sanparaexplicarundeterminadofenómeno.Estaspuedenser:unapersona,unprogramatelevisivo,unperiódico,unarevista,unbanco,unaempresa,etc.
Ejemplo 1.7EnelestudiodemercadodeldistritodeLaMolinalaunidaddeanálisisesunconsumidordegaseosaqueresideenLaMolina,enelmespasado.
2.4 Variables
Enestadística, lavariable esuna característicade launidaddeanálisis, cuyamedidapuedecambiardevalor,yestecambioescapazde“medirse”.Eltérmi-novariableprovienedel latínvariabilis,quesignificacambiante.Unavariableesunapropiedadquepuedevariarysepuedemedir(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Serepresentasimbólicamentemediantelasletrasmayúsculasdelalfabetoespañol(X,Y,Z).
2.4.1 Clasificación de las variables
Alasvariables se lesdadiferentesclasificaciones, lasmásusuales son las si-guientes(PinoGotuzzo,2007):
a) Según su naturaleza
Deacuerdoasunaturaleza,lasvariablesseclasificanencualitativasycuantitativas.• Variables cualitativas: Sonaquellasquerepresentancualidades,atributos,modalidadesocate-goríasnonuméricas;porejemplo:sexo,lugardenacimiento,religión,tipodeatenciónaunclienteenunainstitución,entreotros.Estascategoríasdebenestarbiendefinidas,detalmodoqueningunaunidaddeanálisispuedeestarclasificadaenmásdeunacategoríaalavez,nipuedaquedarfueradealgunadelascategoríasdelavariable.
Lasvariablescualitativaspuedensernominalesuordinales.– Variablescualitativasnominales: sonaquellasquesolopermitenasig-narnombresoetiquetasalosdatos,formandocategoríasquenotienenningúnordenentreellas.
A continuación se presentan algunos ejemplos de variables cualita- tivasnominales.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 23
Ejemplo 1.8Tipodeatenciónaunclientedeunaentidadfinanciera.
Categorías
Atenciónpersonalenagencia No existe orden (de menos amás odemás amenos) entre las categorías
Atenciónvíatelefónica
AtenciónporInternet
Ejemplo 1.9Usodetarjetadecréditoporunclienteenunatiendapordepartamentos.
Categorías
Síusa Noexisteorden(demenosamásodemásamenos)entrelascategorías.Nousa
Ejemplo 1.10CarreraprofesionalqueestudiaunalumnodelaUniversidaddeLima.
CategoríasAdministración
No existe orden (de menos amásodemásamenos)entrelas categorías.
ArquitecturaComunicaciónContabilidadDerechoEconomíaIngenieríaIndustrialIngenieríadeSistemasMarketingNegociosInternacionalesPsicología
– Variables cualitativasordinales: sonaquellas cuyas categoríaspuedenserordenadasconalgúncriterio,demenosamásodemásamenos.Acontinuaciónsepresentanalgunosejemplosdevariablescualita-
tivasordinales:
Ejemplo 1.11Frecuenciadeusodetarjetadecréditoporunclienteenunatiendapordepartamentos.
CategoríasUsopocofrecuente Existe orden, de menos a
másfrecuenciadeuso,en-trelascategorías.
UsofrecuenteUsomuyfrecuente
Estadística básica para los nEgocios24
Ejemplo 1.12GradodeinstruccióndeunciudadanoenelPerú.
CategoríasPrimaria Existe orden, de menos a
más grado de instrucción,entrelascategorías.
SecundariaSuperior
Ejemplo 1.13Calificacióndeunpostulanteaunpuestodetrabajo.
CategoríasExcelente
Existeorden,demásame-nos calificación, entre lascategorías.
MuybuenoBuenoRegularDeficiente
• Variables cuantitativas Sonaquellascaracterísticasdelaunidaddeanálisisquesonposiblesderepresentarnuméricamente.Seobtienencomoresultadosdemedicionesoconteos.Lasvariablescuantitativaspuedensercontinuasodiscretas.– Variablescuantitativascontinuas:sonaquellascuyosvaloresestánre-presentadosmedianteelconjuntodelosnúmerosreales.Seobtienenpormediciónypuedentomarcualquiervalorrealdentrodeuninter-valodelarectanumérica.Podemosdistinguirvariostiposdevariablescontinuas,entrelasmásimportantessemencionanlassiguientes:a. Variablesdemedidasonaquellasqueseexpresanenunidadesdemedidageneradasporuninstrumentodemedición,talescomo:pe-sodeunapersona(enkilogramos),presiónarterialdeunpaciente(enmilímetrosdemercurio),longituddeunabarra(encentímetros),temperaturadelambiente(engradosFahrenheit).
b. Variablesdetiemposonaquellasqueseexpresanenunidadesdetiempo,talescomo:duracióndeunfoco(endías),tiempoqueespe-raunclienteparaseratendido(enminutos),tiempoqueempleaunmédicoparaoperarunpaciente(enhoras).
c. Variableseconómicassonaquellasqueseexpresanenunidadesmo-netarias,talescomo:sueldodeuntrabajador(ensoles),gananciadeunaempresa(endólares),preciodeunvehículo(endólares).
– Variablescuantitativasdiscretas: sonaquellasquetomanvaloresnu-méricosaisladosynopuedentomarningúnvalorentredosconsecuti-vos.Seobtienenporconteoyestánrepresentadosmedianteelconjunto
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 25
delosnúmerosnaturales.Podemosdistinguirvariostiposdevariablesdiscretas,entrelasmásimportantessemencionanlassiguientes:a. Variablesdeconteodeobjetossonaquellasquecuentanlacantidaddeobjetosqueposeelaunidaddeobservación,talescomo:númerodecelularesporcliente,númerodehabitacionesporvivienda,núme-rodetarjetasdecréditoporcliente.
b. Variablesdeconteodepersonassonaquellasquecuentanlacanti-daddepersonasqueposee launidaddeobservación, tales como:númerodehijosporfamilia,númerodetrabajadoresporempresa,númerodeestudiantesporsección.
c. Variablesdeconteodeocurrenciassonaquellasquecuentanlacan-tidaddeocurrenciasenunperiododetiempo,talescomo:númerodellamadastelefónicasrecibidasporhora,númerodeclientesaten-didospordía,númerodevecespordíaqueunestudianterevisasucorreoelectrónico,llegadasdeturistasenundíaalPerú.
b) Según el rol o dominio que desempeñan en la investigación
Teniendoencuentaelcriteriodesucausalidad,lasvariablesseclasificanende-pendienteseindependientes.
• Variables dependientes Sonaquellasmedicionesqueresultandemanipular losvaloresqueasu-manotrasvariables,llamadasindependientes.Lavariabledependientees-táasociadaalfenómenoquesepretendeexplicar.
• Variables independientes Sonaquellas enque lamanipulaciónde suvalordetermina cambios en los valores de la variable dependiente. La manipulación de la variable independientepuedehacersevariandosuscantidadesogrados.Estaspre-tendenexplicarelfenómeno.
Cabe señalar que los roles de las variables pueden intercambiarse de una investigaciónaotra;esdecir,enunainvestigaciónpuedeservariableindepen-dienteyenotrapuedeservariabledependiente,yviceversa.
2.5 Datos
Losvaloresobtenidosparacadavariable,encadaunidaddeanálisis,constituyenlosdatos.Sonvaloresnuméricosononuméricosqueserecogenenmediciones u observaciones y quedespués de ser codificados y criticados se presentan yanalizanlosresultados.
Ejemplo 1.14Enunaencuesta,selepreguntóaPedroSaldañaporsuedadyesterespondióquehabíacumplido23años.Elvalornumérico23eseldato.
Estadística básica para los nEgocios26
Ejemplo 1.15Aunestudiantede laUniversidaddeLima se le solicitóquemencione laespecialidadqueestáestudiandoyesterespondióEconomía.Elvalornonu-mérico“Economía”eseldato.
Ejemplo 1.16En un proceso de inspección se encontró que un objeto era defectuoso. Elvalornonumérico“defectuoso”eseldato.
3. concepto De meDición
Enlascienciasexactas,lamediciónsedefinecomolaasignacióndeunsímbo-lo,numéricoononumérico,alacaracterísticadeunobjetooeventodeacuer-doconreglasestablecidas.Cuandoserealizanmedicionesavariablesqueson conceptualizadasdemaneraabstracta,comolacalidadacadémica,laactituddeundocente,laatencióndeunestudiante,serequieredefinirlamedicióncomoun proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores empíricos. Esteproceso se realizamedianteunplan explícito y organizadopara clasificar (yfrecuentementecuantificar)losdatosdisponiblesbajoelconceptoqueelinvesti-gadortieneenmente(Hernández,FernándezyBaptista,1994).
3.1 Niveles de medición
Losnivelesoescalasdemediciónutilizadosenelanálisisdeinformaciónson:nominal,ordinal,intervaloyderazón.Estosestánasociadosconlassiguientescuatro características: clasificación, ordenamiento, intervalos igualesy el ceroabsoluto.Enelsiguientecuadrosepresentanlascaracterísticasdelosnivelesdemedición(GallardodeParadayMoreno,1999).
Nivel o escala de medición Características asociadas permitidas
Nominal Soloclasificación
Ordinal Clasificaciónyordenamiento
Deintervalo Clasificación, ordenamiento e intervalosigualesycerorelativo
Derazón Clasificación, ordenamiento, intervalosigualesyceroabsoluto
En el cuadro anterior se puede ver que en el nivel demedición nominal tansoloseclasifica,mientrasenelnivelderazónseacumulantodaslascaracte-rísticasdelosnivelesdemedición.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 27
• Nivel nominal Eselnivelmássimpleoprimitivo;ubicalosobjetosoindividuosencate-goríasdiferentes,desdeelpuntodevistacualitativoynodesdeelpuntodevistacuantitativo.Eneste tipode informaciónserequierequeel in-vestigador sea capazdedistinguirdosomás categoríasyque conozcaloscriteriosparasuclasificación.Lascategoríasdebensermutuamenteexcluyentes(GallardodeParadayMoreno,1999).Porejemplo,unniveldemediciónnominalseempleacuandoseclasi-
ficaalaspersonasporsulugardenacimiento.Losdatosobtenidosenestenivelsedenominandatosnominales.
Ejemplo 1.17Elsexomasculino(M)ofemenino(F)de15estudiantesconstituyeungru-podedatosnominales:F,F,M,F,M,M,M,F,M,F,F,M,M,M,F.Estosdatossolosepuedenclasificarendoscategorías,masculinosyfemeninos.
• Nivel ordinal Enestenivel,setienealmenosdoscategoríasquedeterminanlaposicióndeobjetosoindividuosconrelaciónaciertosatributos,manteniendounajerarquíaperosinindicarladistanciaentrelasposiciones.Siseasignaunvalornumérico,odeatributos,losvaloresmásaltoscorresponderánalosindividuosquetienenmásdelacaracterísticaquesemide(GallardodeParadayMoreno,1999).Estohacequenecesariamenteenestenivelsesa-tisfagalacaracterísticadelordenamientodelosdatos.Losdatosobtenidosenesteniveldemediciónsedenominandatosordinales.
Ejemplo 1.18Elgradodeinstrucción–primaria(PR)secundaria(SE)osuperior(SU)–de10trabajadoresconstituyeungrupodedatosordinales:SE,SE,PR,SE,SU,SE,SU,PR,SE,SU.Estosdatossepuedenclasificaryordenarentresgrupos,enelorden:PR,SE,SU.
• Nivel de intervalo Llamadatambiéninterválica,enesteniveloescalanuméricaseagrupanlasvariablescuantitativasconintervalosyposeenlaspropiedadesdeor-den,distanciayunorigennonatural(INEI,2001).Esteniveldemediciónpermiteutilizarlasoperacionesaritméticasbásicascomolasumayrestade los valores numéricos (GallardodeParada yMorenoGarzón, 1999).Ejemplosdeesteniveldemediciónson:lamedicióndelatemperatura,elpuntajeenunapruebadeadmisión,etc.Losdatosobtenidosenesteniveldemediciónsedenominandatosenniveloescaladeintervalo.
Ejemplo 1.19Latemperaturaambiental(en°C)de10ciudadesdelPerúmedidaenelniveloescaladeintervalofue37,25,15,0,–8,18,38,28,19,25.Laexistencia
Estadística básica para los nEgocios28
deunceronosuponelaausenciadetemperaturaenlaciudad,puestoquecerogradoscentígradosestádadodeformaarbitrariaporloscreadoresdelaescala.Estosdatossepuedenclasificar,ordenar,sumaryrestar.
• Nivel de razón o proporción Esteniveloescalanuméricaconstituyeelnivelmásaltodemediciónparalasvariablescuantitativas.Abarcalascaracterísticasdelaescaladeinter-valoysepuedeaplicarlasoperacionesaritméticasbásicasdesuma,resta,multiplicaciónydivisióndelosvaloresnuméricos.Elorigenoceroqueseproporcionansonabsolutos.Elceroabsolutosignifica laausenciadelavariableofenómenomedible(INEI,2001).Losdatosobtenidosenestenivelsedenominandatosenescalaonivelderazón.
Ejemplo 1.20Elsueldomensualde10trabajadores(ensoles)enelnivelderazónfueron:1500,2000,1850,1900,2100,1750,1950,2050,2200,2180.Eldato0represen-taríaquelapersonanorecibesueldoporquenotrabaja(ausenciadelfenó-meno).Estosdatossepuedenclasificar,ordenar,sumar,restar,multiplicarydividir.Losdatosobtenidosenesteniveldemedición sedenominandatosenniveloescaladerazón.Podemosresumirlasoperacionesquesepuedenrealizarconlosdatos
encadaniveldemedición,talcomoseobservaenelsiguientecuadro.
Nivel de mediciónde los datos
Operaciones aritméticasque soportan los datos
Nominal ; = ≠
Ordinal ; ; ;= ≠ < >
Deintervalo ; ; ; ; ; = ≠ < > + −
Derazón ; ; ; ; ; ; ;= ≠ < > + − × ÷
4. fases Del métoDo estaDístico
Elmétodoestadísticopartede laobservacióndeunfenómeno,ycomoestenosiemprepuedemantenerlasmismascondicionespredeterminadasavoluntaddelinvestigador,sedejaqueactúenlibremente,peroseregistranlosdiferentescom-portamientosy seanalizansusvariaciones (Guarín,2002).Así,paraelplanea-mientodeunainvestigación,pornormageneral,sesiguenlassiguientesetapas:
a) Planteamiento del problema Al iniciar una investigación se debe definir claramente qué problema sevaaestudiaryporquéespertinentehacerlo.Paraesto,unarevisión
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 29
bibliográficadeltemanospermitiráconocerlaaccesibilidadylosresulta-dosobtenidosensimilaresinvestigaciones.
b) Determinación de los objetivos Luegodetenerclaroloquesepretendeinvestigar,debemosfijarcuálessonnuestrasmetasypropósitos.Estosdebenplantearsedetalformaquenohayalugaraconfusionesoambigüedadesy,además,debeestablecersediferenciaciónentrelosobjetivosdecorto,medianoylargoplazo,asíco-moentrelosobjetivosgeneralesylosespecíficos.
c) Formulación de hipótesis Unahipótesises,antetodo,unaexplicaciónprovisionaldelobjetodeestu-dio.Suformulacióndependedelconocimientoqueelinvestigadorposeasobrelapoblacióninvestigada.Unahipótesisestadísticadebesersuscep-tiblede“docimar”,estoes,probarsuaceptaciónorechazo.
d) Determinación de la unidad de análisis, variables y del nivel de medición Launidaddeanálisis,entendidacomocadaelementoconstituyentedelapoblaciónobjetivo,debedefinirseydeterminartodassuscaracterísticas.Launidaddeanálisispuedeestarconstituidaporunoovariosindividuosuobjetos,ydenominarserespectivamentesimpleocompleja.Además,sedebenestablecer lasvariables (cualitativasycuantitativas)yelniveldemedición(nominal,ordinal,deintervalooderazón).Asociadoalniveldemedición,debenestablecerselascondicionesenlascualessehadeefec-tuarlarecoleccióndedatos.
e) Determinación de la población y de la muestra probabilística Enestadística,poblaciónnoserefiereúnicamentealosseresvivos;unapoblaciónpuedeestarconstituidaporloshabitantesdeunpaís,porlosestablecimientoscomercialesdeunbarriooporlasunidadesdeviviendaenunaciudad.Existen,desdeelpuntodevistadesutamaño,poblacionesfinitaseinfinitas.Aquí,eltérminoinfinitonosetomaconelrigorsemán-ticodelapalabra;porejemplo,lapoblacióndeLimaMetropolitanaesunconjuntofinito;sinembargo,entérminosestadísticos,puedeserconside-radacomoinfinito.Enlapráctica,estudiarcadaunodeloselementosqueconformanla
poblaciónnoesaconsejable,yaseaporcostooinviabilidaddelproceso.Serecurrealanálisisdelasunidadesdeunamuestraprobabilísticaconelfindehacerinferenciassobrelapoblación.
f) Recolección de datos Unadelasetapasmásimportantesdelainvestigacióneslarecoleccióndedatos. Se recomiendapreviamente tomarunamuestrapilotoparaponerapruebaloscuestionariosyobtenerunaaproximacióndelavariabilidaddelapoblación,conelfindecalculareltamañoexactodelamuestraque conduzcaaunaestimacióndelosparámetrosconlaprecisiónestablecida.Elestablecimientodelasfuentesycaucesdeinformación,asícomolacan-
Estadística básica para los nEgocios30
tidadycomplejidadde laspreguntas,deacuerdocon losobjetivosde lainvestigación,sondecisionesquesehandetomarconsiderandoladisponi-bilidaddelosrecursosfinancieros,humanosydetiempo,ylaslimitacionesquesetenganenlazonageográfica,elgradodedesarrollo,entreotros.
g) Crítica, clasificación y ordenación de los datos Despuésdehaberreunidotodoslosdatospertinentes,sedepuranlosda-tosrecolectados.Parahacerlacríticaesfundamentalquelapersonaqueocupeesepuestoconozcalaorganización,funcionamientoyobjetivosdelaencuestaafindequepuedadetectaromisiones,informacióninexacta(errónea)oinconsistenciasyluegoprocederasucorrección.Separadoelmaterialde“desecho”,conlosdatosdepuradosseprocedeaestablecerlasclasificacionesrespectivasyconlaayudadehojasdetrabajo,enlasqueseestablecenloscrucesnecesarios,seordenanlasrespuestasysepreparanlosmodelosdetabulacióndelasdiferentesvariablesqueintervienenenlainvestigación.Elprocedimientoserealizaconayudadelcomputador.
h) Tabulación de los datos Latabulacióneselresultadodeunprocesodecondensaciónoresumendedatosen cuadroso tablas.Los cuadrosestadísticos tienencomoob-jetivo ser depósitos de datos o contener datos ya procesados; es decir,informaciónqueelanalistao investigadorutiliza comosuherramientadeanálisis.Unatablaesunresumendedatosnuméricosononuméricosrespectodeunaomásvariables;ofrececlaridadallectorsobreloquesepretendedescribir,parasufácilinterpretación.
i) Presentación de resultados Unainformaciónestadísticaadquieremásclaridadcuandosepresentadeformaadecuada.Loscuadros,tablasygráficosfacilitanelanálisisperosedebetenercuidadoconlasvariablesquesevanapresentar.Noesacon-sejablesaturaruninformecontablasygráficosredundantes.Además,laeleccióndedeterminadatablaográficoparamostrarlosresultadosdebehacersenosoloenfuncióndelasvariablesquerelaciona,sinodellectoraquienvadirigidoelinforme.
j) Análisis de resultados Laestadísticaofrecetécnicasyprocedimientosobjetivosqueconviertenlasespeculacionesdeprimeramanoenaseveracionesquepuedensereva-luadasy,además,puedenofrecerunapremisamedibleenlatomadeunadecisión.Eselanálisisdondesecristalizalainvestigación.
k) Publicación de resultados Todaconclusiónmerecesercomunicadaaunauditorio.Esmás,quienesencargaron el estudio esperan las conclusiones, sobre ella segeneraránpreguntasclavesparalatomadedecisiones.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 31
ejercicios y problemas resueltos 1
1. Paraanalizarlaposibilidaddelanzaralmercadounanuevamarcadeciga-rrillos,seefectuóunaencuestaentrelosfumadoresquetransitaronporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.Paraello,seseleccionóunamuestraprobabilísticade80fumadoresyseobtuvolossiguientesresultados:• El65%defumadoresprefierecigarrillosdemarcasimportadas.• ElpreciopromedioquepaganporunacajetillaesdeS/5,00.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.
Solución
Población Los fumadores que transitan por la quinta cuadra de laavenida Canadá, desde las 17.00 hasta las 20.00 horas, el domingo14defebrero.
Muestra 80fumadoresseleccionadosprobabilísticamentequetran-sitanporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.
Unidaddeanálisis
UnfumadorquetransitaporlaquintacuadradelaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable 1: Procedencia de la marca de cigarrillos que prefiereelfumador.Cualitativa nominal.Variable2:Precioquepagaelfumadorporunacajetilladecigarrillos.Cuantitativa continua.
Parámetro Preciopromedioporcajetilladecigarrillosquepaganlosfu-madoresquetransitanporlaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero ( )µ .
Estadístico Preciopromedioporcajetilladecigarrillosquepaganlos80fumadoresseleccionadosaleatoriamentequetransitanporlaavenidaCanadá,desdelas17.00hastalas20.00horas,eldomingo14defebrero X( ).
Ejemplodedato
ElprecioquepagóunfumadorseleccionadofueS/3,50porunacajetilladecigarros.
2. Unacompañíadeestudiosdemercadose interesapor lapreferenciadelconsumidorlimeñorespectodetresmarcasdegaseosasquecompitenen-tresí:CocaCola,PepsiColaeIncaKola.Tambiéndeseaestudiarelnúmerodeunidadesconsumidasdecadagaseosa,porpersona,enlaúltimasema-naydeseaconocerlostiposdeenvasesenqueseconsumelabebida(bote-lla,lata,botellanoretornable).Parallevaracaboesteestudioseselecciona
Estadística básica para los nEgocios32
unamuestraprobabilísticade30consumidoresdegaseosasdelaciudaddeLima.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.
Solución
Población Los consumidores de gaseosas de lasmarcasCocaCola,PepsiColaeIncaKoladeLima,enlaúltimasemana.
Muestra30 consumidores de gaseosas de las marcas Coca Cola,PepsiColaeIncaKola,seleccionadosprobabilísticamenteenLima.
Unidaddeanálisis
UnconsumidordegaseosasdelasmarcasCocaCola,PepsiColaeIncaKola,enLima.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable1:Preferenciadeunconsumidorporunamarcadegaseosa.Cualitativa nominal.Variable2:Númerodeunidadesconsumidasdelagaseosadesupreferenciaporunconsumidor.Cuantitativa discreta.Variable3:Tipodeenvaseenqueseconsume lagaseosa(botella,lata,botellanoretornable).Cualitativa nominal.
Parámetro Porcentajede consumidoresdegaseosasqueprefieren lamarcaCocaCola,enLima ( )π .
Estadístico Porcentajede consumidoresdegaseosasqueprefieren lamarcaCocaCola,delos30consumidoresseleccionados(p).
Ejemplodedato
–UnconsumidorseleccionadobebióIncaKola.–Unconsumidorseleccionadobebió2gaseosasporsemana.–Unconsumidorseleccionadobebiógaseosaenlata.
3. LaMunicipalidaddePuebloLibrerealizóunestudiosobreatenciónalpú-blico.Deuntotalde1500personasquerealizaronalgunagestiónenello-calmunicipal,seseleccionarona300.Partedelainformaciónoresultados obtenidosfue:– Lapersonaidentificadaconelnúmero125indicóhaberasistidocuatrovecesallocalmunicipalpararealizarlamismagestión.
– El40%de losencuestadosmanifestaronque laatención recibida fueregular.
– Eltiempopromediopararealizarunpagofuede10,45minutos.– Elvalormáximoparalavariable“cantidadderecibospagadosporau-toavalúoparaelmismopredio”fue2.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 33
– El 30 % afirmó que el horario más conveniente para la atención al públicoesde9.00a18.00horas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.
Solución
Población Las 1500 personas que realizaron alguna gestión en laMunicipalidaddePuebloLibre.
Muestra300personasque realizaronalgunagestión en laMunici-palidad de Pueblo Libre, seleccionadas por algúnmétodoprobabilísticodemuestreo.
Unidaddeanálisis
Unapersonaque realizóalgunagestiónen laMunicipali-daddePuebloLibre.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable1:númerodevecesqueasistióunapersonaporunamismagestiónenlaMunicipalidaddePuebloLibre.Cuanti-tativa discreta.Variable 2: nivel de satisfacción en la atención que re-cibió una persona en la Municipalidad de Pueblo Libre. Cualitativa ordinal.Variable3:tiempoquedemoraunapersonapararealizarunpagoenlamunicipalidaddePuebloLibre.Cuantitativa continua.Variable4:númeroderecibosquepagaunapersonaporau-toavalúoparaunmismopredio.Cuantitativa discreta.Variable 5: preferencia de una persona por el horario deatenciónalpúblico.Cualitativa nominal.
Parámetros
– Tiempopromedioderetrasoencajadelas1500personas ( )µ .
– Porcentaje de personas, de las 1500, que prefieren el horariodeatenciónalpúblicodelas9.00hastalas18.00horas ( )π .
Estadísticos
– Tiempopromedioderetrasoencajadelas300personasseleccionadas X( ) .
– Porcentajedepersonas,delas300seleccionadas,quepre-fierenelhorariodeatenciónalpúblicodelas9.00hastalas18.00horas(p).
Ejemplodedato
Unade laspersonas seleccionadas indicóhaber asistido4vecesporunamismagestiónenlaMunicipalidaddePuebloLibre.
4. La empresa Informesa llevóa cabounestudiopara analizar elmercadodeinternautasquecompranserviciosdeinternet,enLimaMetropolitana.Paraelestudioseconsideróunamuestraprobabilísticade1500personas.
Estadística básica para los nEgocios34
Algunosdelosresultadosdelaencuestafueron:• Delas1500personasseleccionadas,soloel25%delosinternautastienenalgunacomputadoraencasa.
• ElnúmeropromediodevecesporsemanaquelosencuestadosusanelserviciodeInternetes3.
• El80%delosinternautasopinóqueelserviciodeInternetesregular.• EltiempopromediodeusodiariodeInternetesde2horas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.
Solución
Población Los internautasquecompranserviciosde internetenLimaMetropolitana.
Muestra1500internautasquecompranserviciosdeinternetenLimaMetropolitana,seleccionadosporalgúnmétodoprobabilísti-codemuestreo.
Unidaddeanálisis
Un internauta que compra servicio de internet en Lima Metropolitana.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable1:Posesióndealgunacomputadoraencasadelinter-nauta.Cualitativa nominal. Variable2:NúmerodevecesporsemanaqueuninternautausaelserviciodeInternet.Cuantitativa discreta.Variable 3. Calificación del servicio de internet de un internauta.Cualitativa ordinal.Variable 4: Tiempo de uso diario de internet por un inter-nauta.Cuantitativa continua.
Parámetros
Porcentaje de internautas que tienen alguna computadora encasa,enLimaMetropolitana ( )π . Tiempopromediodeusodiariodeinternet,delosinternau-tasenLimaMetropolitana ( )µ .
Estadísticos
De los 1500 seleccionados, el porcentajede internautasquetienenalgunacomputadoraencasa(p).Delos1500seleccionados,tiempopromediodeusodiariodeInternet X( ) .
Ejemplodedato UninternautahaceusodeInternet5vecesporsemana.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 35
5. EldirectordelprogramadetelevisiónJaimedeAlthaustomaunamuestraprobabilísticade1500televidentesdelasprovinciasalosquellegasupro-gramaLa Hora N.Éldeseaconocerlaopinióndelostelevidentessobrelostemasdesarrolladosensusentrevistasycuálesseríansuspreferenciasparapróximosprogramas.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisisydosvariablesqueincluiríaenelestudioindicandoeltipodevariable.
Solución
Población LostelevidentesdelprogramaLa Hora Nenlasprovinciasconcoberturadeesteprograma.
Muestra1500 televidentes seleccionados por algún método pro-babilísticodemuestreode lasprovinciasa losque llegaelprogramaLa Hora N.
Unidaddeanálisis UntelevidentedelprogramadeLa Hora Nenprovincias.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable1:OpinióndeltelevidentesobrelostemastratadosenLa Hora N(polémico,entretenido,aburrido,etc.).Cualita-tiva nominal.Variable 2: Temas que prefiere el televidente para los próximosprogramasdeLa Hora N. Cualitativa nominal.
6. LaempresaPacochaS.A.,queentreotrascosasproducemargarinas,hasolicitadoalaempresaEMERS.A.unestudiodemercadodelaspersonasdeclasemedia,delaciudaddeLima,acercadelconsumodedichoproduc-to.Pararealizarelestudiolaempresatomóunamuestraprobabilísticade1200personasdeclasemediadelaciudaddeLima.Algunosdelosdatosyresultadosdelaencuestafueron:– Elpreciopromediodeventadeunpotedemargarina,pagadoporper-sona,fuede4soles.
– El35%depersonasopinóquelasmargarinassonproductosdañinosparalasalud.Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-
daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s),parámetro,estadísticoyejemplodedato.
Estadística básica para los nEgocios36
Solución
Población Personasde clasemediade la ciudaddeLimaquecon-sumenmargarina.
Muestra 1200personasdeclasemediadelaciudaddeLimaquecon-sumenmargarina,seleccionadasprobabilísticamente.
Unidaddeanálisis
UnapersonadeclasemediadelaciudaddeLimaquecon-sumemargarina.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Variable1:Preciodeventadeunpotedemargarinaquepagaunapersonadeclasemediade laciudaddeLima.Cuantitativa continua.Variable2:OpinióndeunapersonadeclasemediadelaciudaddeLimasobre losefectosen lasaludporelcon-sumodemargarina.Cualitativa nominal.
Parámetros
Preciopromediopor potedemargarinapagadopor laspersonasdeclasemediadelaciudaddeLima ( )µ .Porcentaje de personas de clasemedia de la ciudad deLima,queopinanquelamargarinaesunproductodañi-noparalasalud ( )π .
Estadísticos
Preciopromediopor potedemargarinapagadopor las1200personasseleccionadasdelaciudaddeLima( 4X = soles).Porcentajedepersonasqueopinanquelamargarinaesunproductodañinoparalasalud,delas1200seleccionadasdelaciudaddeLima(p = 0,35 = 35%).
Ejemplodedato
UnapersonaseleccionadadeclasemediadeLimapagó4,10solesporunpotedemargarina.
7. UnarevistadenegociosenelPerú,ensuseccióndemarketing,hapublicadounartículosobreelpoderdele-mail marketing.Enelartículosedefineale-mail marketingcomounaherramientaquepermiteabrireldiálogoconlosclientes,deformapersonalizadayconcomunicaciónrelevante.Seutilizaelcorreoelectrónicoparafomentarlasventas,tambiénparaprofundizarlamarcaygenerarrecordación,buscandolaretroalimentacióncontinuaylacreacióndeunvínculodeconfianzayfidelización.Acontinuación se reportan laspreguntasdeunaencuesta realizadaa
unamuestraprobabilísticadeclientesdeMovistarentodoelPerú,enel2016.
Departamentoderesidencia
¿Tieneserviciodeinternetencasa?Sí()No()
¿Trabaja?Sí()No()
Ingresomen-sualdelclienteensoles
¿Cuáldelasmarcasenviadasasucorreoelectrónicoutilizaconfrecuencia?
Montodegastosrealizadosenlasmarcasdesupre-ferenciaensoles
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 37
Identificalossiguientestérminosestadísticos:población,muestra,uni-daddeanálisis,variable(s)ytipo(s)devariable(s).
Solución
Población ClientesdeMovistarPerúenel2016
Muestra Los clientes deMovistar seleccionadosprobabilística-menteenelPerú,enel2016.
Unidaddeanálisis UnclientedeMovistarPerú,enel2016.
Variable(s)ytipo(s)devari-able(s)
Variable1:Departamentode residenciadel clientedeMovistar.Cualitativa nominal.Variable2:TenenciadeinternetencasadelclientedeMovistar.Cualitativa nominal.Variable 3: Situación laboral del cliente de Movistar.Cualitativa nominal.Variable 4: Ingreso mensual del cliente de Movistar.Cuantitativa continua.Variable 5:Marca enviada por correo electrónico queelclientedeMovistarutilizaconfrecuencia.Cualitativa nominal.Variable6:GastorealizadoporelclientedeMovistarenlamarcadesupreferencia.Cuantitativa continua.
8. De las siguientes variables cuantitativas indique con una X cuáles son discretasycuálescontinuas.
Variable Discretas Continuas
Número de acciones vendidas cada día en laBolsadeValores X
Temperaturaregistradacadahoraenunobser-vatorio X
Vidaútildeunautomóvil X
Diámetrodeunaruedadeunauto X
Númerodehijosenunafamilia X
Estadística básica para los nEgocios38
9. IndiqueconunaXeltipodevariablequelecorresponde:
VariableCualitativa Cuantitativa
Nominal Ordinal Discreta Continua
Comidafavoritadeunapersona X
Profesión que eligió un estu-dianteuniversitario X
Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada
X
Número de alumnos en una universidad X
Nacionalidad de un pasajeroque llega al Aeropuerto JorgeChávez
X
Religiónqueprofesatucompa-ñerodeclase X
Residenciadeunapersona X
Cantidaddelitrosdeaguacon-tenidosenundepósito X
Númerodelibrosenunestantedelibrería X
Sumadepuntosobtenidosenellanzamientodeunpardedados X
Deportefavoritodeunapersona X
Áreaconstruidadeunavivienda X
10. Encadacaso,determineeltipodevariablesegúnsunaturaleza:
Variable Tipo de variable
Peso(enkg)deunalumnodelaasignaturaEstadísticaBásica para los Negocios
Cuantitativacontinua
Paísdeprocedenciadeun turistaque in-gresaalPerú
Cualitativanominal
Calificacióndelclientesobreelserviciore-cibido(malo,regular,bueno)
Cualitativaordinal
Edad(enañoscumplidos)deunestudiantedeprimerciclode laEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima
Cuantitativadiscreta
TamañodeunaempresaenelPerú(micro,pequeña,mediana,grande)
Cualitativaordinal
(continúa)
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 39
Calificacióndeunalumnoenelexamenfi-naldelaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNegocios
Cuantitativadiscreta
Sueldo(ensoles)deunprofesordelaUni-versidaddeLima
Cuantitativacontinua
Número de llegadas diarias por visitanteextranjeroalPerú,porasuntosdenegocios
Cuantitativadiscreta
Servicio de televisión por suscripción enunafamiliadeLima
Cualitativanominal
Montoenmillonesdedólaresporimporta-cionesrealizadasenelPerúpormes
Cuantitativacontinua
Nivel de percepción del cliente sobre laatenciónrecibida(muymala,mala,regular,buena,muybuena)
Cualitativaordinal
EscuelaalaqueperteneceunestudiantedelaUniversidaddeLima
Cualitativanominal
Tiempo de garantía (en días cumplidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunaparatoelectrónico
Cuantitativadiscreta
NúmerodeasignaturasdesaprobadasporunestudiantedelaEscueladeNegociosenelsemestre2016-II
Cuantitativadiscreta
11. Analicesilassiguientesvariablescuantitativassondiscretasocontinuasydetermineparacadacasoelniveldemedición
Variable¿Discreta o continua?
Nivel de medición
Número de asignaturas en las que sematriculóunestudiantedelquintoni-veldelacarreradeDerechodelaUni-versidaddeLima
Discreta Razón
Calificación obtenida por un estu-diantedelaUniversidaddeLimaenelexamenparcialdeEstadísticaGeneral
Discreta Intervalo
Número de acciones negociadas pordíaenlaBolsadeValoresdeLima Discreta Razón
Preciodelagasolinade95octanosporgrifodeLimaMetropolitana Continua Razón
Gasto mensual en tarjetas de créditoporfamiliaeneldistritodeSurco Continua Razón
(continuación)
Estadística básica para los nEgocios40
12. Identifique cada variable e indique el tipode variable según el nivel de mediciónenelcuestionarioquesemuestraacontinuación:
Nos alegramos de su visita al restaurante Mi Sazón y queremos estar seguros de que volverá. Si tiene unos minutos, le agradeceríamos mucho que nos llenara esta tarjeta. Sus comentarios y sugerencias son extremadamente importantes para nosotros. Gracias.
Nombre de la persona que lo atendió:
Excelente Bueno Satisfactorio Insatisfactorio
Calidad de los alimentos
Amabilidad en el servicio
Prontitud en el servicio
Limpieza
Gestión
Comentarios:
¿Qué lo motivó a visitarnos?
Favor de depositar esta tarjeta en el buzón de sugerencias que se encuentra a la entrada
Solución
Variable Nivelde medición
Calificacióndelclientesobrelacalidaddelosalimentos Ordinal
Calificacióndelclientesobrelaamabilidadenelservicio Ordinal
Calificacióndelclientesobrelaprontitudenelservicio Ordinal
Calificacióndelclientesobrelalimpieza Ordinal
Calificacióndelclientesobrelagestión Ordinal
Motivacióndelclienteparavisitarelrestaurante Sinniveldemedición
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 41
13. Enelsiguientecuadrodefinaunparámetroyunestadísticoparacadapo-blaciónymuestra,respectivamente,deacuerdoalavariabledeinterés:
Inciso Población Muestra Variable
a)
EstudiantesdelaUniversidaddeLima
500estudiantesselec-cionados de la Uni-versidadLima
Edaddeunestudian-te de la UniversidaddeLima
b)
Clientes de lastiendas Wong enLima Metropo-litana
400clientesseleccio-nadosdelastiendasWong de LimaMe-tropolitana
Calificacióndelclien-tesobreelserviciore-cibido (malo, regular,bueno)
c)
Visitantesextran-jeros en el Perú,en diciembre del2016
850 visitantes ex-tranjeros, seleccio-nados en diciembredel2016
Tiempodepermanen-cia(endías)enelPerúporvisitante
Solución
Inciso Parámetro Estadístico
a)EdadpromedioporestudiantedelaUniversidaddeLima ( )µ
Edadpromedioporestudian-tedelos500seleccionadosdelaUniversidaddeLima X( )
b)
Porcentaje de clientes de lastiendas Wong, en Lima Me-tropolitana, que califican elservicio recibido como malo(regularobueno) ( )π
Porcentaje de los 400 clientesseleccionados de las tiendasWong, en Lima Metropolita-na, que califican el serviciorecibidocomomalo(regularobueno)(p)
c)
Tiempo promedio de perma-nencia (en días) por visitanteextranjero en el Perú, en di-ciembredel2016 ( )µ
Tiempo promedio de perma-nencia(endías)porvisitante,de los 850 seleccionados enelPerúendiciembredel2016
X( )
Estadística básica para los nEgocios42
14. ElhotelRitzCarltonaplicauncuestionariodeopinióndeclienteparaobte-nerdatossobrelacalidaddesusserviciosderestauranteyentretenimiento.Selespidióalosclientesqueevaluaranseispuntos:a)Recepción,b)Servicio,c)Alimentos,d)Menú,e)Atenciónyf)AtmósferaLosdatosregistradosparacadapuntofueron:(1)Aceptable,(2)Regular,(3)Buenoy(4)Excelente
Respondalosiguiente:¿Paracuántasvariablesproporcionandatoslasrespuestasdelosclientes? ¿Sonestasvariablescualitativasocuantitativas?¿Aquéniveldemediciónpertenecen?
Solución
Pregunta Respuesta
¿Paracuántasvariablesproporcionandatoslasrespuestasdelosclientes? 6variables
¿Sonestasvariablescualitativasocuantitativas? Cualitativas
¿Aquéniveldemediciónpertenecen? Ordinal
15. ¿Siustedtuvieraqueclasificarlasprácticasdeportivasdelosestudiantesdeunauniversidadquéniveldemediciónutilizaría?a) Nominal b) Ordinal c) Razón d) Todaslasanteriores
Solucióna) Nominal Categorías:fútbol,vóleibol,tenis,básquetbol
16. Unniveldemediciónquepermitaclasificaryordenarlascaracterísticasdetipocategóricoenunapoblacióncorrespondea:a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón
Soluciónb) Ordinal Categorías:muymalo,malo,regular,bueno,muybueno.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 43
17. Siquieremedirlaedadenañoscumplidosdeunosjóvenesdeunequipodefútbol,¿quéescalaserálamásapropiada?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón e) Cualquiera
Solución
d)Razón
18. Escribaunarazónporlacualnosepuedenhaceroperacionesaritméticasapartirdeinformaciónmedidaenunaescalanominal.
SoluciónLas“mediciones”enlaescalanominalsonsímbolosqueexpresanunatri-butoocualidad,nosonnúmeros.
19. ¿Quéescalapermiteelmayorniveldeoperación?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón
Soluciónd) Razón Incluye8operaciones ; ; ; ; ;( ); ; /= ≠ < > + − ×
20. Enunestudiodemercadosemideelgastomensualdeunafamiliaconlassiguientescategorías:Gastobajo:menosde1000solesGastomedio:entre1000y3000solesGastoalto:másde3000soles¿Cuáleselniveldemediciónutilizado?
SoluciónOrdinal.Lastrescategoríasvandemenosamásgasto.
Estadística básica para los nEgocios44
Caso de investigación
Phillipsesunaempresaquefabricafocosdealtaintensidad,queseem-pleanendiversosproductos electrónicos.Conelobjetode incrementarlavidaútildeestos focos, elgrupodediseñodelproductoelaboróunfilamentonuevo.Enestecaso,lapoblaciónestádefinidaportodoslosfo-cosconfilamentonuevoqueseproducendiariamente(aproximadamente 10000focos).Para evaluar las ventajas del nuevofilamento, se seleccionó bajo un
muestreoprobabilístico200focos.Seobservócadafocoyseanotóelnú-merodehorasdeduración.Losdatosrecolectadosdeestamuestrafueronlossiguientes:
64 69 86 100 96 91 82 53 70 8452 75 105 101 53 97 106 106 93 10270 79 96 95 99 104 104 83 80 7989 110 62 63 83 103 78 98 103 5655 92 63 101 110 98 57 85 68 7368 103 95 82 102 79 107 68 78 9759 53 83 102 103 54 61 82 67 6671 53 83 94 104 89 95 106 83 5952 72 68 91 107 51 70 90 82 10459 109 63 51 59 67 68 82 75 9198 57 86 64 69 57 68 109 90 9969 72 97 72 75 80 50 83 60 6982 89 88 58 97 101 96 86 93 9366 89 96 65 98 80 67 105 67 8082 56 94 73 90 72 100 86 58 68105 63 107 51 88 51 54 93 98 7654 61 83 94 51 97 83 105 84 8892 108 76 57 98 91 86 70 94 10382 51 97 92 82 56 64 71 86 110100 70 51 83 77 78 53 99 82 86
Phillips desea usar estos datos muestrales para inferir acerca del númerodehorasdevidaútildetodoslosfocosqueseproducenconelfilamentonuevo.Alsumarlos200valoresdelgrupodedatosydividirlasumaentre200
seobtieneeltiempopromediodevidaútildelamuestra:76horas.Esteresultadomuestralsirveparaestimarqueeltiempodevidamediodelosfocosdelapoblaciónes76horas.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 45
Siemprequeseuseunamuestraprobabilísticaparaestimarunacarac-terísticapoblacional(parámetro),sesueleproporcionarinformacióndelacalidadoprecisióndelaestimación.EnelejemplodePhillips,serealizólaestimaciónpuntualdeltiempodevidapromediodelapoblacióndelosnuevosfocosen76horas,conunmargendeerrorde 4± horas.Entonces, el intervalo de estimación del verdadero tiempo de vida
mediodelosfocosfabricadosconelnuevofilamentoesde72a80horas.Desarrollelosiguiente:a) Identifiquelapoblación,muestra,unidaddeanálisis,variableytipodevariable,parámetroprincipalyestadístico.
b) Determineelniveldemedicióndelosdatosyeltipodeestadística(descriptivaoinferencial)queseestáutilizando.
c) Determineycomente,hastadondeseaposible,lasetapasdelmétodoestadísticoenlainvestigacióndePhillips.
Solucióna)Población:focosqueseproducendiariamenteconelfilamentonuevo (10000focos),fabricadosporPhillips.
Muestra:200focosconfilamentonuevo,seleccionadosprobabilisti-camentedelaproducciónenundía.Unidaddeanálisis:unfococonfilamentonuevoproducidoenundía.Variable:tiempodevidaútildeunfococonfilamentonuevo.Tipodevariable:cuantitativacontinua.
Parámetro principal: tiempo promedio de vida útil de los 10 000 focosconfilamentonuevo.
Estadístico:tiempopromediodevidaútildelos200focosseleccio-nadosconfilamentonuevo.
b) Niveldemedición:razón. Tipodeestadística:inferencial.c) Lasetapasdelmétodoestadísticoson:– Planteamientodelproblema Phillips fabrica focos de alta intensidad que se emplean en di-versosproductoselectrónicos.Conelfindeincrementarlavidaútildeestos focos, elgrupodediseñodelproductoelaboróunfilamentonuevo.
– Determinacióndelosobjetivos Objetivogeneral IncrementarlavidaútildelosfocosquefabricaPhillips,utilizan-doelnuevofilamento.
Estadística básica para los nEgocios46
Objetivosespecíficos1. Medirlavidaútildelosfocosfabricadosconelnuevofilamento.2. Comparar si existen o no diferencias significativas entre la vidaútildelfococonfilamentoantiguoyconfilamentonuevo.
– Formulacióndehipótesis Lavidaútildelosfocosconfilamentoantiguoesmenorqueladelosfocosconfilamentonuevo.
– Definicióndelaunidaddeanálisis,variablesyniveldemedición Unidad de análisis: Un foco con filamento nuevo que fabrica Phillips
Variable:Duración(enhoras)delfococonfilamentonuevo Niveldemedición:razón– Determinacióndelapoblaciónydelamuestra Población:Los10000focosconfilamentonuevo, fabricadosporPhillipsenundía
Muestra: 200 focos seleccionados probabilísticamente con fila-mentonuevo
– Larecolección Losdatosprovienendeunafuenteprimariaqueutilizaunins-trumentodemedición(cronómetro)biencalibrado,detalmaneraquelaslecturasseanprecisas(mínimoerror).
– Crítica,clasificaciónyordenación Revisar si existen datos discordantes (que se aparten en granmedidadelasdemás),datosmalmedidosoerrordedigitación. Medirlosdatosbajolasmismascondicionespredeterminadas.
– Tabulación Presentarlosdatosentablasdefrecuencias,etiquetadasydescri-tascorrectamente.
– Presentación Exhibir resultados resumidos en cuadros, gráficos y medidas estadísticas.
– Análisis Interpretar los resultados para determinar si se incrementó la vidaútildelosfocosconelnuevofilamento.
– Publicación Informar a los gerentes y al equipo de diseño del producto Phillips.
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 47
ejercicios y problemas propuestos 1
1. La Superintendencia Nacional de Aduanas y Administración Tributaria (Sunat), de la ciudaddeLima, desarrolló un estudio sobre el serviciodeatenciónalpúblico.Delas2000personasqueasistieronadichaentidadparaverificarelmontodelimpuestoalarentaquedebíanpagar,seseleccionóa350personasalazar.Algunosdelosresultadosobtenidosfueron:• El tiempo promedio para realizar una consulta en ventanilla, por persona,fuede6,5minutos.
• El60%depersonasmanifestóquelaatenciónrecibidafue“muybuena”.Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:
Población
Muestra
Unidad deanálisis
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Parámetros
Estadísticos
Ejemplo dedato
Estadística básica para los nEgocios48
2. LaempresaDataS.A.realizóunainvestigaciónpormuestreoenLimaMe-tropolitana,dirigidaajóvenesentre15y30añoscumplidos,conelobjetivodeobtener indicadoressobreelconsumodebebidasenergéticasenestosgruposetarios.Para la investigación,seseleccionóunamuestraprobabi-lísticade1500personasjóvenesyseejecutólainvestigaciónel7defebrerodel2016.Paralaejecucióndeltrabajodecamposeconformóunequipodeentrevistadoresqueaplicaronuncuestionarioconpreguntasyposiblesres-puestas.Estesepresentódelamismamaneraatodoslosentrevistados,sinposibilidaddemodificacióndelaspreguntasysiguiendounordenestricto.Algunosdelosresultadosencontradosenlamuestrasepresentanaconti-nuación:– El38%delosentrevistadosconsideróquesusaludfísicaesexcelente,el30%buena,el16%regularyelrestomalo,omuymalo.
– Elgastopromediosemanalporpersonaenconsumodebebidasenergé-ticasfuede15,85soles.
Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:
Población
Muestra
Unidaddeanálisis
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Parámetros
Estadísticos
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 49
3. Unaempresadeinvestigacióncomercialrealizóunestudiodeopiniónpúbli-casobrenutriciónyhábitossaludablesdealimentación,quefuedifundidoconmotivodelDíaMundialdelaAlimentación.Elobjetivoerasabercuántoconocen losperuanos sobre el contenidonutricionalde los alimentosqueingierenycuálessonlasactitudesligadasalaalimentaciónsaludable.Losprincipaleselementosdelafichatécnicadelestudiofueron:Cobertura:entodoelPerúUniverso:hombresymujeres,de18a70añosdeedadTamañomuestral:1200entrevistasMétododemuestreo:probabilísticoTécnicaderecoleccióndedatos:encuestaporentrevistapersonaldomiciliariaElprincipalresultadodelestudiofue:– Alindagarsobrelacantidaddecaloríasquedebeingerirseenundía,seencontróque9decada10personasdesconocenlacifraexacta.Eldesco-nocimientoesaltoinclusoentrequienessedeclaraninformadossobretemasdealimentación.
Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:
Población
Muestra
Unidaddeanálisis
Variableytipo(s)devariable(s)
Parámetro
Estadístico
Ejemplodedato
Estadística básica para los nEgocios50
4. Enel2016,elMinisteriodeTurismoyComerciorealizóunestudiosobreelperfildelturistanacional.Sedefinealturistanacionalcomoaquelperuanoquesetrasladaaalgunazonadelpaísdiferentededondereside.Elestudiosellevóacaboconhombresymujeres,entre18a64años,quevacaciona-ronenLima,Arequipa,Trujillo,HuancayoyChiclayo.Seseleccionóunamuestraprobabilísticade3359turistas,delaqueseobtuvolossiguientesresultados:• Eltiempopromedio(endías)depermanenciaporturistaenestosluga-resfuede5días.
• Elgastopromediodiarioporturistafuede766soles.• Losmediosutilizadosparabúsquedadeinformaciónturística:el56%porinternet,24%porfamiliares,12%porfolletosturísticosyporagen-testurísticos8%.
Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:
Población
Muestra
Unidaddeanálisis
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Parámetros
Estadísticos
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 51
5. Enunestudioquerealizóunaempresadeinvestigacióndemercadosenfe-brerodel2016,sobrelacalidaddelservicioquebrindanlossupermercadosenLimayCallao,seaplicóunaencuestadeopiniónalosclientesdedichossupermercados.Seevaluaronlassiguientes4características:
Calidaddelservi-ciodeatención:
Excelente()Bueno()Regular()Deficiente()
Precioscómodos:Sí()No()
Númerodedíasqueasistenalsupermercado:----------------
Gastoaproximadoencompras(soles)--------------------
En investigacionesanterioresseconocióque lapoblaciónaproximadaen fe-brerofuede35000clientes.Pararealizaresteestudioseseleccionóunamuestraprobabilísticade1200clientesqueasistieronalossupermercadosdeLimayCallao.Sepresentanacontinuaciónalgunosdelosresultadosobtenidos:– Unclientecalificócomo“buena”lacalidaddelserviciodeatenciónenelsupermercado.
– El60%declientesseleccionadosseñalóquelosprecioserancómodos.– Elnúmeropromediodedíasporsemanaqueasistenlosclientesselec-cionadosalsupermercadoesde2días.
– Eltiempopromedioquepermaneceunclienteencajapararealizarunpagoesde20minutos.
Identifiquelossiguientestérminosestadísticos:
Población
Muestra
Unidaddeanálisis
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
(continúa)
Estadística básica para los nEgocios52
Parámetros
Estadísticos
Ejemplodedato
6. IndiqueconunaXeltipodevariablequelecorresponde:
VariableCualitativa Cuantitativa
Nominal Ordinal Discreta Continua
Religiónqueprofesaunapersona
Preferenciadelestudian-teuniversitarioporunprofesorenuncurso
Cantidaddetoneladasmétricasdepescado,obtenidassemanalmenteporunaembarcaciónpesquera
Númerodehijosenunafamilia
Cargojerárquicodeunempleadoenunaclínicaparticular
Clubdefútbolfavoritodeunaficionado
Lugardenacimientodeunapersona
(continuación)
(continúa)
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 53
Cantidaddemetroscúbicosdevinoenundepósito
Númerodeenvasesenunalmacén
Sumadepuntosobteni-dosenunapruebaescritadelcursoEstadísticaBá-sicaparalosNegocios
Comidacriollafavoritadeunapersona
Capacidaddeltanquedegasolinadeunauto
7. De las siguientes variables cuantitativas indique con una X cuáles son discretasycuálescontinuas:
Variable Discreta Continua
Númerodecarrosqueposeeunafamilia
Áreaconstruidadeunacasa
Tiempodevidaútildeunautomóvil
Temperaturacorporaldeunapersona
Número de celulares vendidos cada día en unatienda
8. Encadacasodetermineeltipodevariablesegúnsunaturaleza:
Variable Tipo de variable
Estatura(enmetros)deunalumnodelaEscueladeNegocios
Departamento o región de naci-mientodeunciudadanoperuano
Calificación de un presidente porlosciudadanosdesupaís(malo,re-gular,bueno)
(continuación)
(continúa)
Estadística básica para los nEgocios54
Tiempo(enañoscumplidos)queletoma a un estudiante terminar sucarrera
TamañodeunaempresaenelPerú(pequeño,mediano,grande)
CalificaciónfinaldeunalumnoenlaasignaturaEstadísticaBásicaparalos Negocios en la Universidad deLima
Valor(ensoles)deunaaccióndelaBolsadeValoresdeLima
Número de llamadas diarias a lacentraltelefónicadeunaclínica
Propiedaddeunautomóvil(sí,no)
Monto en millones de dólares porexportacionesmensualesenelPerú
Nivel de percepción de un pacien-te sobre la atención recibida (muymala, mala, regular, buena, muybuena)
Número de carreras profesionalesenunauniversidadperuana
Tiempo de garantía (en años cum-plidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunautomóvil
Número de créditos académicosaprobadosporunalumnodelaEs-cuela de Negocios en el semestre2016-II
(continuación)
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 55
9. Enelsiguientecuadrodefinaunparámetroparacadapoblaciónyunestadísticoparacadamuestra,deacuerdoalavariabledeinterés:
Población Muestra Variable Parámetro Estadístico
UsuariosdemediosdetransportedeLimaMetropo-litanaenel2016
Muestrapro-babilísticade400usuariosdeLimaMetropo-litana
Númerodevecesqueunusuarioutilizaalgúnmediodetransporte
Personasentrelos18y65añosquevacaciona-ronenCusco
3359personas,cuyasedadesestánentre18a65años,quevacacionaronenCusco,seleccio-nadasalazar
TiempoquepermaneceelturistaenCusco
PasajerosdeunalíneaaéreadelPerú,endiciembredel2016
1050pasajerosdeunalíneaaéreadelPerú,seleccionadosendiciembredel2016
Númerodevecesqueunpasajerousaelserviciodelalíneaaérea.
10. EnunestudioquerealizólacompañíaJPC,ennoviembredel2016,sobreelmediodetransportequeseutilizaenLimayCallao(transportepúblico,taxi,mototaxi,ve-hículoparticular,bicicleta,moto),seaplicóunaencuestadeopiniónalosusuariosdedichosmediosenesaszonasyseevaluaronlassiguientes4características:
Estadística básica para los nEgocios56
Mediodetransportequeutiliza
1.Transportepúblico()2.Taxi()3.Mototaxi()4.Vehículoparticular()5.Bicicleta()6.Moto()
Vecesqueutilizaelmediodetransporteparamovilizarse
Menosde4vecesporsemana()De4a6vecesporsemana()Másde6vecesporsemana()
Elmediodetransporteloutilizaparatrasladarsea:
Alcentrodetrabajo()Avisitaramigos/familiares()Decompras()Alcentrodeestudios()Alcentromédicodesalud()Otraactividad()
Gastoaproximado(ensoles)portransporte,cuandoviajaa:
AlcentrodetrabajoS/…….Avisitaramigos/familiaresS/…….DecomprasS/…….AlcentrodeestudiosS/…….AlcentromédicodesaludS/…….OtraactividadS/…….
Sobre labasede la tablaanterior,determineyclasifique lasvariablesdeinteréssegúnsuniveldemedición.
Variable Nivel de medición
Capítulo 1. NoCioNes básiCas de la estadístiCa 57
11. Analicesilassiguientesvariablescuantitativassondiscretasocontinuasydetermineparacadavariableelniveldemedición.
Variable ¿Discreta o continua?
Nivel de medición
Precioporacción(endólares)deunaempresaalcierredejuliodel2016
Número de visitantes al Museo Nacionalenundía
Inflación mensual (variación por-centual del Índice de Precios alConsumidor)enelPerú
Puntaje(entre0y20)queotorgaunusuarioalacalidaddelserviciodetransportequerecibe:Pésimoservicio=0Excelenteservicio=20
Gasto semanal de una familia deLimaenalimentosBajo:menosde500solesMedio:entre500y1000solesAlto:másde1000soles
12. Si usted tuviera que clasificar los cursos de una universidad según el áreaacadémica,¿utilizaríaunniveldemedición?a) Nominalb) Ordinalc) Razónd) Intervalo
13. Unniveldemediciónquesolopermiteclasificarlascaracterísticasdetipocategóricoenunapoblacióncorrespondeaunniveldemedición:a) Nominalb) Ordinalc) Intervalod) Razón
Estadística básica para los nEgocios58
14. Sisequieremedirlaedaddeunosjóvenesenaños,¿quéniveldemediciónserálamásapropiada?a) Nominal b) Ordinal c) Intervalo d) Razón e) Cualquiera
15. Escribaunarazónporlacualnosepuedenmultiplicarnidividirapartirdeinformaciónmedidaenunniveldemedicióndeintervalo.
16. ¿Enquéniveldemediciónsepermiteelmenornúmerodeoperaciones?a) Nominalb) Ordinalc) Intervalod) Razón
Las fuentesdedatossonrecogidasporelinvestigador al establecer contacto con launidaddeanálisis(fuenteprimaria)osincontactoapartirdeinvestigacioneshechasporotrosconpropósitosdiferentes(fuentesecundaria).Asimismo,unafuentededatosdebeteneruninstrumentoparasurecolección.Estossonunconjuntodereglasyprocedimien-tos que permiten al investigador estable-cer larelaciónconelobjetoosujetode la investigación.
SabesCapacidadesadquiridas
9 Identificaryclasificarlasvariablessegúnsunaturalezayescalademedición.
PiensasCompetenciasporlograr
9 Identificareltipodefuentepararecolec-tarlosdatos.
9 Identificarlatécnicaquemejorseadecuepara la recolecciónde losdatos enuna situacióndeterminada.
HacesHabilidadespordesarrollar
9 Construir los instrumentos según lafuente de recolección para alcanzar losobjetivos y propósitos del trabajo de investigación.
9 Utilizar la técnica adecuada para re-colectar los datos en una situación determinada.
Contenido
1. Fuentesderecoleccióndedatos.2. Técnicasderecoleccióndedatos.3. Encuestaspormuestreoycensos.4. Instrumentodemediciónpara encuestas:elcuestionario.
Fuentes y técnicas de recolección de datos
Capítulo
2
Estadística básica para los nEgocios60
Perfil del “smartphonero” peruano 2016: el estudio de mercado se basó en una encuesta por muestreo
La estimación del número de personas con teléfonos inteligentes(smartphone)enelPerúfuede6391000parael2016.Elestudiodelperfildelsmartphonerofuerealizadoatravésdeuna
encuesta,pormuestreoprobabilístico,a703usuariosdesmartphones de12a70añosdeedad,detodoslosnivelessocioeconómicos,enlasprincipalesciudadesdelPerúurbano.EsteestudiofuerealizadoporlaagenciaIpsosPerú.Laencuestapormuestreoprobabilísticoeslatécnicaderecolección
dedatosidealparalainvestigacióndelmercado,yaquegeneradatosdefuenteprimariaquepermitenalinvestigadorrealizarestimacionesconaltaprecisiónyconfiabilidad,elementosvitalesparalainferenciaestadística.Unadelasconclusionesdelestudiodelperfildelsmartphoneroes-
tablecióquehayunaactitudfuertedenomofobia(miedoadesconec-tarsedelsmartphone),yaqueel39%deusuarios temequedarsesinbateríayel43%revisaconstantementesusmensajesynotificaciones.Larealizacióndeunaencuestapormuestreorequierelaejecución
devariasetapas,desdeelplanteamientodelproblemahastaelanálisisdelosdatos,pasandoporeldiseñodelamuestraylaelaboracióndelcuestionario,instrumentoderecoleccióndedatosqueseutilizaenlasencuestas.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 61
1. fuentes De recolección De Datos
Sontodosaquellosmediosde losqueprocede la informaciónquesatisfará lanecesidaddeconocerunasituaciónounproblemapresentado,yqueposterior-mente se utilizará para lograr los objetivos esperados (Torres, Paz y Salazar,2014).En relación con la fuente que suministra los datos se clasifica en: fuente
primaria, si el dato es tomado directamente de su lugar de origen; y fuente secundaria, si eldatonoes tomadodirectamente, sinoqueseaprovechandeaquellospreviamenterecogidosporotrosmedios.
1.1 Fuente primaria
Esaquellaenlaquelainformaciónseobtienepormediodeunainvestigacióndirectaalobjetodeestudio,atravésdemétodoseinstrumentosdemedición,tipodemuestreoytécnicasparaestablecercontactoconelpúblicoobjetivo.Enelcampodelosnegociosesnecesariorecopilardirectamentedelmercadolosdatosnecesariosparasolucionarelproblemaplanteado.Asuvez,lasfuentesprimariaspuedensubdividirseen:• Fuente primaria de observación directa Es aquella en la cual el investigador tomadirectamente losdatosde lapoblaciónomuestra,mediante laobservación, sinnecesidadde instru-mentos de medición (cuestionarios, balanzas, tallímetros, entre otros) nientrevistadores.
Ejemplo 2.1Un investigador realiza un estudio estadístico paramejorar el serviciodeatenciónalclienteyobservaeltipodeactividaddelclientemientras esperaseratendido.
Estadística básica para los nEgocios62
• Fuente primaria de observación indirecta Esaquellaenlacuallosdatosnosonobtenidosdirectamentedelinves-tigador,yaqueseprecisadeuncuestionario,entrevistadoruotros ins-trumentosdemediciónparaobtenerlosdatosdelestudiomedianteunaencuesta.
Ejemplo 2.2Un especialista en investigación comercial realiza una encuesta a 200consumidoresdechocolateyrecolectadatossobrelascaracterísticasde3marcasutilizandouncuestionariode10preguntas.
1.2 Fuente secundaria
Esaquellaenlacuallosdatossehanrecolectadoapartirdeinvestigacionespre-viamenterealizadas,queseencuentranencompilaciones,resúmenesylistadosdereferenciaspublicadasenunáreadeconocimientoenparticular.Estoquieredecirquelainformaciónsecundariaespreexistente,pueselinvestigadornosecontactadirectamenteconlaunidaddeanálisis,einclusopodríaseranterioralproblemaquepretendeestudiar.Lainformaciónesobtenidadesdedocumentoscomolibros,tesis,disertaciones,expedientes,estadísticas,censos,basesdedatosyotrosdocumentos(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Antesdeutilizarlasfuentessecundariasestasdebenserescrutadasmediante
cuatropreguntasbásicas(Torres,PazySalazar,2014): – ¿Espertinente?Paraestarsegurosdequelainformaciónseadaptaalosobjetivos.
– ¿Esobsoleta?Paraestarsegurosdequenohaperdidoactualidad. – ¿Esfidedigna?Paraestarsegurosdequelaveracidaddelafuentedeori-gennoescuestionada.
– ¿Esdignadeconfianza?Paraestarsegurosdequelainformaciónhasidoobtenidaconlametodologíaadecuadayhonestidadnecesaria,conobjeti-vidad,naturalezacontinuadayexactitud.
Existennumerosasfuentesdeinformaciónenelmercadoqueelinvestigadortienequeconocerparapoderseleccionarlamásadecuadaacadaproblemaplan-teado.Elprocesodeobtencióndeinformaciónsecundariaesnormalmenteme-noscostoso,másrápidoysencilloqueelprocesodeobtencióndeinformaciónprimaria.Porestemotivo,esconvenienteagotarlasfuentessecundariasantesdeutilizarfuentesprimarias(Fernández,2004).Las fuentes secundarias pueden ser internas o externas a la empresa
uorganización.• Fuente secundaria interna Estodainformaciónacumuladaporlaempresaenelpasadoyconstituyeelprimerpaso.Estaspuedenser:
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 63
– Comportamientodelconsumidor – Gananciasabsolutas – Tasasderetornodelainversión(acortoplazo) – Tasainternaderetornosobrelainversión(alargoplazo) – Ventasporclasedeproductos – Ventaspormarcas – Participaciónenelmercado – Trámitesadministrativos – Estructuradelmercado – Datosdeproveedores
Enalgunasocasiones,lainformaciónsecundariainternapuedefacili-tarlasolucióndedeterminadosproblemasplanteadosenlaorganizacióny,especialmente,puedeservirdebaseparadiseñarunprocesomáscom-plejodeobtencióndeinformaciónsecundariaexternaoprimaria.
Ejemplo 2.3Lagerenciademercadeodeunagranempresarealizaunainvestigaciónpormuestreoparadiseñarunanuevaestrategiapublicitariaconlafinali-dadderelanzarunproductoconsumidoporelsegmentojuvenil.Sobrelabasedelainformaciónobtenidadeunestudiorealizadoelañopasadoseplanificaelnuevoestudio,optimizandoeldiseñodelamuestra.
• Fuente secundaria externa Cuandolaempresanodisponedesuficienteinformaciónseacudeaorga-nizacionesoentidadesexternasquepuedanproporcionardatosadecua-dosaloquesequiereconocerenlainvestigación.Actualmente,sepuedeacceder a lamayoríade estas entidadesa travésde suspáginaswebsyconsultarelcontenidodesusbasesdedatos.Laredofrecelaposibilidadderealizarbúsquedasdeinformaciónmáscómodasyrápidas.Enalgunosca-sos,laobtencióndeinformacióntienecaráctergratuito,peroenotrasllevaimplícitouncosto.Enelprocesodebúsquedadeinformaciónsecundariaexternaesaconsejablecomenzarpor lasfuentesgenerales,paradespuésprofundizarenlasmásconcretasyespecializadas(Fernández,2004).Unaacotaciónadicional, las fuentesdebenser lasmásapropiadasal
problemaplanteado,oficialesoespecializadas,conaltogradodecredibi-lidadyconfiabilidad.
Ejemplo 2.4Un institutode estudios socialesutiliza la basemuestralde laEncues-taNacionaldeHogares (Enaho)queseencuentraen lapáginawebdelInstitutoNacionaldeEstadísticaeInformática(INEI),pararealizarunainvestigaciónexploratoriasobrelapobrezaenelPerú.
Estadística básica para los nEgocios64
2. técnicas De recolección De Datos primarios
Es el conjuntode reglasyprocedimientosquepermitenal investigador esta-blecerlarelaciónconelobjetoosujetodelainvestigación.Paralarecoleccióndedatosprimarios,enunainvestigacióncientíficasedisponedetrestécnicas:observación,experimentaciónyencuesta.
2.1 La observación
Consisteenelregistrosistemático,válidoyconfiabledecomportamientosocon-ductamanifiesta(Hernández,FernándezyBaptista,1994).Según sean losmediosutilizadospara la sistematizaciónde loobservado,
elgradodeparticipacióndelobservador,elnúmerodeobservadoresyellugardondeserealiza,laobservaciónpuedeserdediferentesmodalidades.Segúnsuestructura,laobservaciónpuedeserestructuradaynoestructurada.Segúnelgradodeparticipación,puedeserparticipante,noparticipanteyautoobserva-ción.Segúnlacantidaddeobservadores,puedeserindividualyenequipo.
Ejemplo 2.5ElprocedimientodeverificacióndeuntarjadorenelpuertodeCallao.Eltar-jadortienelafuncióndeexaminartodalacarga(pesodelacarga,númerodepaquetesporcarga,característicasdelacarga,entreotros)queseencuentradentrodeuncontenedor.
2.2 La experimentación
Eslatécnicaporlacualseoperandeliberadamenteunaomásvariablesindepen-dientes(supuestascausas)paraanalizarlasconsecuenciasdeesamanipulaciónsobreunaomásvariablesdependientes(supuestosefectos).Enelexperimentoexisteuncontroldirectosobreelfactorquesevaaanalizar(Hernández,Fer-nándezyBaptista,1994).Estoquieredecirqueenlaexperimentaciónseregistraundatobajocondicionesprovocadas,simulandoelprocesolomásrealposible.En lamedida en que el diseño y la ejecución del experimento tengan es-
tas características, el profesional en administración, negocios, en economía y especialistasengeneral,estaránsegurosdelaveracidaddelasconclusiones.
Ejemplo 2.6Unaempresacomercializadoradevehículosrealizaunexperimentoconsusvendedoresparamejorarsusventas,condiferentesprogramasdeentrena-miento.Lavariablequeinteresaeselniveldeventasybuscarelmejorpro-gramadeentrenamiento.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 65
2.3 La encuesta
Alprocedimientodelaentrevistacomúnmenteselereconocecomo“encuesta”.Laencuestaconstituyeeltérminomedioentrelaobservaciónylaexperimenta-ción;enellaseregistransituacionesquepuedenserobservadasyenausenciaderecrearunexperimentosecuestionaalapersonaparticipantesobreello(Torres,PazySalazar,2014).Entrelascaracterísticasfundamentalesdeunaencuestasedestacan: – Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechos,pormediodelacualsemanifiestanlosentrevistados.
– Esunatécnicapreparadaparalainvestigación. – Permiteunaaplicaciónmasiva,quemedianteunsistemademuestreopue-daextenderseaunanaciónentera.
– Haceposiblequelainvestigacióndelmercadolleguealosaspectossubjeti-vosdelosconsumidores.
Hoyendía,laencuestaeslatécnicaprincipaldelosinvestigadoresdelmer-cado,delosantropólogosyaundelospolitólogos.Peronosolodeellos,nidelosdemáscientíficosdelascienciassociales;tambiénlosfísicos,losquímicosylosingenieroslautilizanconmuchafrecuencia,sobretodocuandoquierenexaminarlosefectosdesusnuevosdescubrimientosenlosconsumidores.Laencuestasepuederealizaraunapartedelapoblación(muestreo)oatodalapoblación(censo).
Ejemplo 2.7Parainvestigarcuáles laedaddemayorproductividadintelectualentreloscientíficos,seaplicaunaencuestaaloscientíficosdeuniversidades,institutosylaboratoriosdeunpaís.
3. encuestas por muestreo y censos
3.1 Encuesta por muestreo
Seaplicaaunamuestrarepresentativadelapoblación,conlafinalidaddequelosresultadosseanrepresentativosalconjuntodelapoblación.ComoloseñalaGarcíaFerrado(UniversidaddeSonora,2014),prácticamente
todofenómenoqueocurreenelmercadoysusconsumidorespuedenserestudia-dosatravésdelasencuestas.Cuatrorazonesavalanestaafirmación:
– Lasencuestassonunadelaspocastécnicasdelasquesedisponeparaelestudiodelasactitudes,valores,creenciasymotivos.
– Lastécnicasdeencuestaseadaptanatodotipodeinformaciónyacual-quierpoblación.
– Lasencuestaspermitenrecuperarinformaciónsobresucesosacontecidosalosentrevistados.
Estadística básica para los nEgocios66
– Lasencuestaspermitenestandarizarlosdatosparaunanálisisposterioryseobtienegrancantidaddedatosaunpreciobajoyenuncortoperiodo.
3.1.1 Tipos de encuesta por muestreo
Lasencuestassepuedenclasificaratendiendoadiversoscriterios;sinembargo,elmásfrecuenteesdeacuerdoalsistemaderecoleccióndedatosqueseutiliza.Conesteesquemalasencuestasseclasificanen(Pino,2007):
• Por entrevistapersonal: conversación cara a cara, generalmente entre 2personas(elentrevistadoryelentrevistado)utilizandouncuestionario.
• Por correopostal: consiste en enviar y recibir información a travésdelcuestionariodepreguntas,utilizandoelcorreopostal.Puedenserdetresformas: – Entregadasyrecibidasporcorreopostal – Entregadasporcorreopostalyrecogidasporentrevistadores – Entregadasporentrevistadoresyrecogidasporcorreopostal
• Porteléfono:presentalasmismascaracterísticasquelaentrevistaperso-nal,conlavariantedequesehacevíaunaparatotelefónico.
• Por internet: utiliza las tecnologías de la información y comunicación(TIC)atravésdelusodelinternetparaenviarencuestasypublicarcues-tionariosqueelentrevistadodeberállenaryremitirporlamismavía.
Lostiposdeencuestascomúnmenteutilizadosparaobtenerdatospormues-treosonlasentrevistaspersonalesylasentrevistasporteléfono.Conestosmé-todos,yconentrevistadorespreparadosyreentrevistasplaneadas,sesueleal-canzartasasderespuestasuperioresal60%y75%(Torres,PazySalazar,2014).Acontinuación,seobservaunacomparacióndelaspropiedadesentrelostrestiposdeencuestasmásutilizadosenlainvestigacióndelmercado:
Propiedades Por entrevista personal Por teléfono Por correo postal
Libertaddeexpresión delentrevistado Muyelevado Bajo Nulo
Influenciadelentrevistador Muyelevado Elevado Nulo
Complejidaddelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo
Claridaddelaencuesta Bajo Elevado Muyelevado
Costodelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo
Tiempodelaencuesta Muyelevado Elevado Bajo
Participacióndelentrevistado Muyelevado Elevado Bajo
Fuente: Torres, Paz y Salazar, 2014
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 67
3.1.2 Etapas de una encuesta por muestreo
ParalaUniversidaddeSonora(2014),lasetapasson:
i. Definicióndelproblemayestablecimientodeobjetivosclaros,concisosysencillos,detalformaqueseanentendidosporquienestrabajanenlaencuesta.Ladefinicióndelproblemadebecoincidirconlosobjetivosdelainvestigación.
ii. Determinacióndelapoblaciónobjetivo;esdecir,elinvestigadordefinelapoblaciónqueleinteresaestudiarsegúnlosobjetivosplanteadosenelproblemadeinvestigación.
iii. Construccióndelmarcomuestral:obtenerellistadodetodaslasunida-desdeanálisisqueconformanlapoblacióndeestudio.
iv. Determinacióndeldiseñodemuestreo:plandemuestreo,métododeestimaciónoexpansión, incluyendoelnúmerodeunidadesqueseránconsideradasenlamuestra.
v. Eleccióndel tipode encuesta:usualmente entrevistaspersonales,porcorreo,porteléfonooporinternet.
vi. Elaboraciónopreparacióndelinstrumentodemedición.Sivaaseruncuestionariooguíadeentrevista,planearlaspreguntasdetalmaneraqueseminimicelanorespuestayelsesgoporrespuestaincorrecta.
vii. Selecciónypreparacióndelosinvestigadoresdecampo,quienesreco-lectaránlosdatos.Debensaberquémedicioneshacerycómohacerlas.
viii.Pruebapiloto:esunapequeñamuestraquesirveparaprobarlosinstru-mentosdemedición,calificaralosentrevistadoresyverificarelmanejodelasoperacionesdecampo.
ix. Organizacióndeltrabajodecampo:planearendetalleeltrabajodecam-po(entrevistadoresycoordinadores).
x. Organizacióndelmanejodedatos.Debeincluirlospasosparaelproce-so,desdeelmomentoenquesehaceunamediciónenelcampohastaqueelanálisisfinalhasidocompletado.Hayqueincluirunesquemadecontroldecalidadparaverificarlacorrelaciónentrelosdatosprocesa-dosylosdatosrecolectadosenelcampo.
xi. Análisisde losdatos:especificardetalladamente lospasosdeanálisisquedebenejecutarse.
xii. Elaboracióndelasconclusiones.
3.1.3 Principales encuestas por muestreo en el Perú
AlgunasdelasencuestaspormuestreoenelPerú(INEI,2016)son: – EncuestaNacionaldeHogares – EncuestaPermanentedeEmpleo
Estadística básica para los nEgocios68
– EncuestaNacionalAgropecuaria – Encuesta Nacional de Satisfacción de Usuarios del AseguramientoUniversalenSalud
– EncuestaNacionalDemográficaydeSaludFamiliar – EncuestaNacionaldeProgramasPresupuestales – Encuesta a Establecimientos de Salud en la Atención del Control deCrecimiento,DesarrolloyVacunas
– EncuestaNacionalEspecializadasobreDiscapacidad – EncuestadeSaludyDesarrolloenlaPrimeraInfancia – Encuesta deComposiciónNutricional deAlimentosConsumidos fueradelhogar,etc.
3.2 Censo
Etimológicamente,lapalabracensoprovienedellatíncensere,quesignifica‘con-tar’.ParaelINEI(2016a),elcensoesunainvestigaciónestadísticaqueconsisteenunconjuntodeoperacionesdestinadasarecopilar,procesar,evaluarypublicardatosreferentesatodaslasunidadesdeununiverso,enunmomentoyespaciodeterminado.Enelcensosehaceelrecuentodelatotalidaddeloselementosquecomponenlapoblaciónporinvestigar.Esnecesarioqueseespecifiqueelespacioyeltiempoalqueserefiereelrecuento.Elcensosehaceperiódicamenteparasaberquétenemosyquénosfalta.Lainformaciónqueserecogeestáenfunciónde lasnecesidadesdeplanificacióny a la ejecucióndepolíticas yprogramas de desarrollo a nivel nacional, regional, provincial y distrital. En el Perú, el organismooficialresponsabledeloscensoseselINEI,elcualdeberealizarloscadadiezaños.Asimismo, lasvariablesquese investiganenuncensodebenserdecarác-
terestructural; esdecir,aquellasqueacortoplazonoexperimentancambios significativos.
3.2.1 Etapas del censo
SegúnelINEI,sontreslasetapasdelcenso:preempadronamiento,empadrona-mientoypostempadronamiento(INEI,2016).
• Actividadesdelpreempadronamientoa) Direcciónygerenciadelprocesocensal:planeamiento,programaciónyorganizacióncensal.
b) Métodosydocumentos:encargadosdelaelaboracióndelosprocedi-mientostécnicosymetodológicosdetodaslasactividadescensales,asícomodeldiseñodelacédulacensal,delosmanualesdeinstrucciónydelosdocumentosdemonitoreoqueseutilizanenlaejecucióndelasactividadescensales.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 69
c) Pruebasmetodológicas:evalúanlosprocedimientosparaeldesarrollodeunatareaoactividad,lafuncionalidaddeunaplicativoinformático,elniveldecomprensióndeunapregunta,entreotros.
d) Formacióndeáreasdeempadronamiento:consisteendividireláreadelterritorionacionalen segmentosdenominados“áreasdeempadrona-miento”,deacuerdoacriteriostécnicosdeubicaciónycontinuidaddelasviviendas,losmismosquesonrepresentadosenlosdocumentoscar-tográficos.Estatareapermitedeterminarelnúmerodefuncionariosymaterialcensalparalaejecucióndelaactividaddelempadronamiento.
e) Capacitación:esunadelasactividadesmásimportantesporsureper-cusióne impactoenlacalidadde losresultadoscensales,por loquedemandaunaadecuadaplanificaciónyunaseleccióndemetodologíasqueapoyen la enseñanzay facilitenel aprendizaje enatencióna losobjetivosdecadaactividad.
f) Promocióncensal:eslaactividadconstituidaporunconjuntodeacti-vidadescomunicacionalesconlosdiversosmedioseinstrumentosdedifusión,conelpropósitodesensibilizaralapoblaciónsobresuactivaparticipaciónenloscensos.
g) Logísticayarchivo:es laactividadencargadadedistribuir, recibiryarchivartodoslosdocumentoscensales.
h) Reclutamientodelpersonalparaelempadronamiento:eslaactividadpor la cual se identificany seleccionan candidatos condeterminadoniveleducativoocondeterminadaexperienciaparacubrirloscargosdefuncionarioscensales.
• Actividadesdelempadronamientoa) Empadronamiento:consisteenlaejecucióndeunconjuntodetareasinterrelacionadas,conelobjetodeorganizareimplementarlasoficinasresponsablesdelaejecucióndelempadronamientoaescalanacional,asícomolosórganosdeapoyoyejecuciónnecesariaparalarecopila-cióndeinformaciónsobrelapoblaciónmediantelaentrevistadirectadelempadronador.
• Actividadesdelpostempadronamientoa) Encuestadeevaluacióncensal:unamaneradeconocerloserroresdecoberturaylacalidaddelainformaciónesmediantelaverificacióndelempadronamiento,atravésdeunaencuestapormuestreoquesereali-zacuandohaculminadoelempadronamientocensal.
b) Procesamientodedatos.c) Consistenciadelainformación:estaactividadtienecomofinalidadga-rantizarquelainformaciónrecopiladaenlosformulariosdelacédulacensalnopresenteinconsistencias,incoherencias,datosfueraderango,entreotros.
Estadística básica para los nEgocios70
d) Validaciónytabulación:elobjetivodeestaactividadesdarconformi-dadyvalidezalainformacióndetodoslossucesospreviosqueinvo-lucran lapublicaciónde los resultadospresentadosen loscuadrosytablasestadísticasdemaneradefinitiva.
3.2.2 Principales censos en el Perú
LosprincipalescensosejecutadosenelPerú(INEI,2015)fueron: – IVCensoNacionalAgropecuario2012 – IIICensoNacionalAgropecuario1994 – CensosNacionales2007:XIdePoblaciónyVIdeVivienda – CensosNacionales2005:XdePoblaciónyVdeVivienda – CensosNacionales1993:IXdePoblaciónyIVdeVivienda – CensosNacionales1981:VIIIdePoblaciónyIIIdeVivienda – IV Censo Nacional Económico 2008, III Censo Nacional Económico 1993-1994
– IICensoNacionalUniversitario2010,ICensoNacionaldeComisarías – ICensoNacionaldelaPescaArtesanaldelÁmbitoMarítimo2012.
4. instrumento De meDición para encuestas: el cuestionario
Elcuestionarioeselinstrumentodelatécnicaderecoleccióndedatosprimarios,queconstadeunconjuntodepreguntasqueelinvestigadorpreparademanerametódicaparaobtenerinformacióndeaquelloqueseinvestigayquesonresuel-tasporlosentrevistados(encuestados).Lasrespuestasaestaspreguntasconsti-tuyenlosdatosestadísticos,queseránutilizadosparaconocerlascaracterísticasdelapoblaciónodelamuestrabajoestudio.Enelartículo“Métodosderecoleccióndedatosparaunainvestigación”del
boletínelectrónico3delaUniversidadRafaelLandívar,sedicequeunodelosobjetivosdeldiseñodelcuestionarioesreducirloserroresdenomuestreoqueseproducenaltratardeobtenerlainformación(Torres,PazySalazar,2014).Enesesentido,loscuestionariosdebenreunirlassiguientescaracterísticas:i. Operativos:fácilesdemanejar,quepuedanutilizarsecomoinstrumentoderecoleccióndedatospreviendoensuestructuralafacilidadparaelva-ciadodelainformación.Fácilesdeprocesarytabular.
ii. Fidedignos:confiables,quepermitanlarecolecciónrealdelosobjetivosyqueseanfácilesdeserdepurados.
iii.Válidos:concisos,claros,firmes,consistentes,quenoseprestenaambi-güedades.Preguntasclaras,breves,concretasylógicas.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 71
Para diseñar un cuestionario se deben considerar los siguientes aspectos(INEI,2011):i. Tenercuidadoenlaredaccióndelaspreguntasii. Tenerencuentaelflujológicodelaspreguntasiii.Formatoamigableparaelinformanteyelentrevistadoriv.Deberealizarsepruebasparaevitarsesgosv. Lasalternativasderespuestadebenestarprecodificadaspara facilitar lacapturadedatos
4.1 Etapas para su construcción
Paralageneracióndeestadísticabásica,eldiseñodecuestionariosserealizabajodistintasmodalidadesysecuencias;esdecir,unaomásactividadespuedende-sarrollarsesimultáneamente.Sudiseñoexigeunarealizacióncuidadosadelasactividades, cumpliendo determinadas condiciones técnicas y conceptuales, comoseobservaacontinuación:i. Análisisdelmarcoconceptualii. Determinacióndeltipodepreguntaysuredaccióniii.Determinacióndelasecuenciadepreguntasiv. Instruccionesdellenadodelaspreguntasv. Distribucióndeloscontenidosvi.Determinacióndelosaspectosdelaediciónvii. Mediodepresentación:impresoodigitalviii.Elaboracióndemanualsobreelllenadodelcuestionarioix.Pruebapilotodelcuestionariox. Ajustesfinales
4.2 Tipos de cuestionario
SegúnelInstitutoNacionaldeEstadísticayGeografíadeMéxico(INEGI,2013),en lavariedaddecuestionariossedistinguentipologíassegún loscriteriosdeclasificaciónqueseutilicen.Enesteapartadosepresentanalgunosdelosmásfrecuentes.
• Segúnelgradodeestructuracióndelaspreguntas: – Cuestionarioestructurado:tipodeformatodondelaspreguntasyposi-blesrespuestassepresentandelamismaformaatodoslosinformantes,sinposibilidaddemodificacióndelaspreguntas.Laspreguntasylasrespuestassehacensiguiendounordenestricto.
– Cuestionarionoestructurado:tipodeformatodepreguntasgeneralesquepermitenalentrevistadormayorlibertadyflexibilidadenlaformu-
Estadística básica para los nEgocios72
lacióndepreguntasespecíficas.Laspreguntasnosehacensiguiendounordenestrictoypermiteadecuarelvocabularioalnivelculturaldelentrevistado.
• Segúnelmediodepresentación: – Cuestionarioimpreso:tipodeformatoquesepresentaenpapel,conlaspreguntasyespaciosparaanotarlasrespuestas.
– Cuestionarioelectrónico: tipode formatoquesepresentaenprogra-masenequiposinformáticos.
• Segúnelnúmerodetemasqueseabordan: – Cuestionariomonotemático:tipodeformatoqueabordaunsolotema. – Cuestionariomultitemático:tipodeformatoqueabordavariostemas.
• Segúneltipodeentrevista: – Cuestionarioparaautoentrevista:tipodeformatoqueelpropioinfor-manteseocupadecontestar.
– Cuestionarioparaentrevistadirecta:tipodeformatoconlaspreguntasqueseránplanteadasalosinformantesporelentrevistador,quienano-taráenéllasrespuestasproporcionadas.
4.3 Tipos de preguntas en el cuestionario
Hayquetenerpresentequeenuncuestionariopuedenemplearsediferentestiposdepreguntas;suseleccióndependeprincipalmentedelniveldemedicióndelasvariables(nominales,ordinales,intervalosyderazón),deltipodeeventoalqueserefieran(hechos,intenciones,opiniones,actitudesoexpectativas,entreotros),asícomodelaamplituddesusclasificacionesoniveles(grantour,minitour).Acontinuación,sedescribenlostiposdepreguntasmáscomunes(INEGI,2013).
a) Segúnlamodalidadderespuesta:• Preguntasabiertas:sonaquellasqueseformulanconsiderandoloindica-doporlosinformantesynopresentanopcionespredeterminadasderes-puesta.Sonútilescuandonohaysuficienteinformaciónsobrelasposiblesrespuestasdelaspersonas.
Ejemplosdepreguntasabiertas,relacionadasporlaamplituddesusclasi-ficaciones,sonlassiguientes: – ¿Cuáleselnombredelacarreraquesigue? – ¿PorquémotivoprefierenotraersuautoalCentroComercialElÓvalo? – MencioneunarazónporelquenoleagradalagaseosaOasis. – ¿Cuáleselnombredesuocupación,oficioopuesto? – Entreoctubredelañopasadoyseptiembredeesteaño,¿cuálesfueronlasprincipalesplantasqueseprodujeronenelvivero?
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 73
Lasvariablescuantitativas,cuyosdatosderespuestasecaptanenlascel-dasdelformatotabular,tambiénsonabiertas,porejemplo:
¿Quécursossedictaron?
¿Cuántosalumnossematricularon?
¿Cuáleselporcen-tajedeasistencia?
¿Cuántosapro-baronelcurso?
MatemáticabásicaÁlgebralinealFilosofíaEstadísticabásicaparalosnegocios
• Preguntascerradas:sonlasquemanejanopcionesderespuestapredeter-minadas.Sonmásfácilesdecodificaryanalizar.Laspreguntascerradascontienencategoríasuopcionesderespuestaquehansidopreviamentedelimitadas;esdecir,sepresentanlasposibilidadesderespuestaalospar-ticipantes,quienesdebenacotarseaestas.
Entrelasmodalidadesdepreguntascerradasseidentificanlassiguientes: – Selecciónúnica:sonaquellasenlasqueel informanteeligesolounaopciónderespuestadetodaslasposibles.Porlacantidaddeopcionesquepresentan,seclasificanen:(a)preguntasdicotómicas,quepresen-tandosopcionesderespuesta;y(b)preguntaspolitómicas(nodicotó-micas),lasquetienenmásdedosopciones.
Ejemplo 2.8¿Ustedtrabaja?a)Síb)No
Ejemplo 2.9Indiqueelmáximonivelacadémicoqueustedposeea)Inicialb)Secundariac)Pregradod)Posgrado
– Selecciónmúltiple:seadmitelaposibilidaddequeelinformantepuedaescogervariasdelasopcionesderespuestapresentadas.
Ejemplo 2.10¿Qué marca de chocolate consume usted? Puede marcar más deunaopción.
Subliminal............ XCosteño………….Angelical………..Buensabor……... XDulcecosteño….Rico………............
Estadística básica para los nEgocios74
b) Segúnsufunción(ocontenido):• Preguntasdeidentificación:permitendetectarlascaracterísticasdeinte-rés,yaseaparaseleccionaralinformanteadecuado,lapresenciadelfenó-menoodeleventoqueinteresainvestigar.
Ejemplo 2.11¿Algunadelaspersonasqueviveenestacasaconsumebebidasgaseosasojugosembotellados? Sí………..Apliqueesteformato No………Noapliqueesteformato,délasgraciasydespídase
• Preguntasdelanálisistemático(principales):sonlaspreguntasclaveparaalcanzarlosobjetivosdelproyectoestadístico.Estaspuedenser(a)deac-ciónodehechosyaconsumados,(b)deintención,(c)deopinióno(d)deexpectativasdelentrevistado.
Ejemplo 2.12Veamoslassiguientespreguntas:¿Estacasatieneserviciodeaguayalcantarillado?Dehechoconsumado¿Cómovaavotarenlaspróximaselecciones? Deintención¿Quéopinasobre...? Deopinión¿Quétipodecambiosuponeparaelmessiguiente?Deexpectativa
• Preguntasdecontrol:sondetipooperativoquefacilitanlacaptacióndelosdatosdeinterés.Puedenteneralgunadelassiguientesmodalidades: – Preguntasfiltro:permitendistinguiraquellaspersonas,situacionesohechosqueimplicanunasecuenciadiferenteenlaentrevista.
Ejemplo 2.13¿Tieneusted18añosomás? Sí No ……Pasealapregunta10
– Preguntasdeverificación:seformulanparacomprobarlaveracidadoprecisióndelasrespuestasdelosentrevistados.
Ejemplo 2.14Aunqueyamedijoque...todoeldineroqueganaensunegocioesparaamortizarladeudaquetieneconelbanco,¿hacompradoalgúnaparatoelectrónicoúltimamente? Sí No
– Preguntas amortiguadoras: seutilizanpara suavizarpreguntaspos-terioresqueserefierenatemasdelicados,enlosquelosentrevistadospuedenmostrarsereticentesacontestar.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 75
ENCUESTA DE OPINIÓN PÚBLICA EN EL DISTRITO DE BARRANCO(Encuesta a personas de 18 a más años que residen en el distrito)
Mayodel2003
Buenos días/tardes señor/señora:me encuentro realizando una encuesta de opinión entre losvecinosdeestazonasobretemasdeinterésparaestedistrito.Leagradecerémeconcedaunosminutosdesutiempoparaaplicarleunaencuestaquetomarámásomenos10minutos.Muchasgracias
P1. InicialmentelevoyamencionaralgunasmedidasyactividadesquevienerealizandoelMunicipiodeBarranco,paraqueustedmedigasihatenidoconocimientodeellas.(E:leercadamedidaoactividadyanotarlasrespuestasenelcuadroqueestálíneasabajo).
P2. ¿Encuálesdeellashaparticipadoosehaacogido?P3. ¿Cuálesdeestasmedidasoactividadesconsideraustedquehansidolasmásacertadas
olasquemáslehanagradado?(E:marcarhastatres).P4. ¿CuálesdeestasmedidasoactividadesconsideraustedquelaMunicipalidaddebería
realizarperiódicamente?(E:marcarhastatres).P5. ¿Qué otras medidas o actividades cree usted que debería tomar o realizar la
municipalidad?1.
2.
P6. ¿Atravésdequémedioseenteróde...?(E:preguntarparacadarespuestaafirmativaenP1)
Ejemplo 2.15Veamoslassiguientespreguntas:¿Tienesamigosqueconsumanalgúntipodebebidaalcohólica? Sí No¿Ellostehanofrecidoconsumirla? Sí No¿Consumesalgúntipodebebidaalcohólica? Sí No
4.4 Un modelo de cuestionario de encuesta
Eldiseñodeuncuestionarioqueseaplicaráenlaencuestapormuestreoes,dealgunamanera,unaobradearte;esdecir,sedeberealizarconingenio,suscep-tibilidadysentidocomún.Entantonoexisteunmodeloúnicodecuestionario,auncuandoseapliqueaestudiosdeinvestigaciónsimilares,existencaracterísti-casestándarenlaconstruccióndeello.
Estadística básica para los nEgocios76
Medidas / Actividades
P1P2 P3 P4
P6
Sí No TV Radio Diarios Bande-rolas Afiches Boca a
bocaNo
precisa
Amnistíamunicipal 1 2 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99
Operativosantidrogas 1 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 99
RecuperacióndelEstadioUnión
1 2 3 3 3 1 2 3 4 5 6 99
Recuperacióndefachadas 1 2 4 4 4 1 2 3 4 5 6 99
Recuperacióndelasiglesias 1 2 5 5 5 1 2 3 4 5 6 99
RemodelacióndelCentroMédicoMunicipal
1 2 6 6 6 1 2 3 4 5 6 99
Matrimoniosmasivos 1 2 7 7 7 1 2 3 4 5 6 99
AlimpiarBarranco 1 2 8 8 8 1 2 3 4 5 6 99
Fonohueco 1 2 9 9 9 1 2 3 4 5 6 99
Saludintegral 1 2 10 10 10 1 2 3 4 5 6 99
Bolsadetrabajo 1 2 11 11 11 1 2 3 4 5 6 99
Vamosalcolegio 1 2 12 12 12 1 2 3 4 5 6 99
Talleresdeinvierno 1 2 13 13 13 1 2 3 4 5 6 99
Feriadellibroviejo 1 2 14 14 14 1 2 3 4 5 6 99
Conferencias 1 2 15 15 15 1 2 3 4 5 6 99
Cinegratisalairelibre 1 2 16 16 16 1 2 3 4 5 6 99
FestivaldelPuentedelosSuspiros
1 2 17 17 17 1 2 3 4 5 6 99
EspectáculosdominicalesenelParqueCentral
1 2 18 18 18 1 2 3 4 5 6 99
(E:silarespuestaenP1,enAmnistíamunicipales“Sí”yenP2responde“No”,preguntar)
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 77
P7. Haceunmomentoustedmanifestóquenosehaacogidoalaamnistíamunicipalde-cretadaporelMunicipio,¿podríadecirmeporquérazón?
1. Faltadedineroparapagar2. Notieneinterésencolaborarconlaactualadministración3. Creequesudineronoseinvierteenobrasparaeldistrito4. EstáaldíaensuspagosalMunicipio Otros:
(especificar)
P8. ¿Cuálessonparaustedlostresproblemasmásimportantesqueafrontaactualmentesubarrio?
P9. ¿CuálessonparaustedlostresproblemasmásimportantesqueafrontaactualmenteeldistritodeBarranco?
Problemas P8 P9
Limpiezapública 1 1
Iluminaciónpública 2 2
Seguridadciudadana 3 3
Comercioambulatorio 4 4
Pistasyveredasenmalestado 5 5
Tráficoyconsumodedrogas 6 6
Faltadeáreasderecreaciónydeporte 7 7
Violenciajuvenil(pandillas) 8 8
Otros:(especificar)
P10. A continuación, le voy a mencionar servicios que son de responsabilidad de los municipiosparaqueustedmedigasihanmejorado,hanempeoradoosiguenigual,durantelagestióndelactualalcaldeMartíndelPomar.
Servicios Hamejorado
Ha empeorado
Sigue igual
Noprecisa
Limpiezapública 1 2 3 99
Conservacióndeparquesyjardines 1 2 3 99
Participaciónvecinal 1 2 3 99
AtenciónalpúblicoenlaMunicipalidad 1 2 3 99
Seguridadciudadana(Serenazgo) 1 2 3 99
Estadística básica para los nEgocios78
P11. Se ha enterado usted de los problemas por los que atraviesa actualmente el MercadoN.º1?
1.Sí(E:continuar) 2.No(E:paseaP.14)
P12. Específicamente,¿dequésehaenteradoustedacercadeesteproblema?
P13. ¿Quémedida cree usted que debería tomar elMunicipio con respecto alMercado N.º1?
P14. Enunaescalaquevademuybuenaamuymala,¿cómocalificaríaustedlalaborquevienerealizandoelactualalcaldeMartíndelPomar?
1.Muybuena2.Buena3.Regular4.Mala5.Muymala99.Noprecisa
P15. ¿CuáldiríaustedqueeslaprincipalvirtudoaspectopositivodelalcaldeMartíndelPomar?
1. Estrabajador2. Eshonesto3. Transparenteensugestión4. Sufortaleza5. Sucarisma
Otros: (especificar)99. Noprecisa
P16. ¿Cuáldiríaustedqueessuprincipaldefectooaspectonegativo?
1. Autoritario2. Pococomunicativo3. Incumplido4. Desorganizado
Otros: (especificar)99. Noprecisa
P17. Entérminosgenerales,¿diríaustedquelagestióndelalcaldeMartíndelPomarvienesiendomejor,igualopeorquelarealizadaporlaanterioralcaldesaJosefinaEstradadeCapriata?
1.Mejor 2.Igual 3.Peor 99.Noprecisa
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 79
P18. ¿PorquiénvotóustedenlasúltimaseleccionesmunicipaleseneldistritodeBarranco?
1. MartíndelPomarSaettonne(AlianzaElectoralUnidadNacional)2. JuanFélixSuyónHurtado(PartidoApristaPeruano)3. MaríadelPilarBottodeDasso(PartidoDemocráticoSomosPerú)4. RicardoIrivarrenFigueroa(PartidoPerúPosible)5. CarlosFelipeGordilloPalet(ConcienciaBarranquina)
Otros:
(especificar)
6. Votóenblanco/anuló/viciósuvoto7. NolecorrespondevotarenBarranco99.Noprecisa
P19. ¿Cuáldelossiguientesperiódicosleeusted?
1. Expreso 2. La República 3. El Comercio 4. Ojo
5.Correo 6.Perú21 7.El Diario 8.El Barranquino
Otro:____________________________(especificar)
(E:sielencuestadomencionaEl BarranquinoenP19,preguntar)
P20. Enunaescalaquevademuybuenoamuymalo,¿cómocalificaríaustedalperiódicoEl Barranquino?
1.Muybueno2.Bueno3.Regular4.Malo5.Muymalo99.Noprecisa
Estadística básica para los nEgocios80
ejercicios y problemas resueltos 2
1. Indiquelaveracidadofalsedaddelenunciado.
Enunciado V o F
a) Alainformaciónacumuladadeciertaempresaseledenominafuenteprimaria.
b) Laencuestaconstituyeeltérminomedioentrelaob-servaciónylaexperimentación.
c) Dentrode lasetapasdeuncuestionario seconside-ran:laseleccióndelmarcomuestralylaorganizacióndelmanejodedatos.
d) Enestadísticadescriptiva, sedenominacensoal re-cuentodeindividuosqueconformanuna“población”estadística.
e) Hayestudiosenlosquenoesnecesariorecogerinfor-macióndefuenteprimaria.
f) Laobtencióndeinformaciónprimariaesmenoscos-tosa,másrápidayfácilquelainformaciónsecundaria
Solucióna)Fb)Vc)Fd)Ve)Vf)F
2. Completecadaunodelosespaciosenblanco,segúnel tipodefuentedeinformación(primaria/secundaria).a) Unantropólogoque investigaelproblemade lospandillerosenLimaentrevistaaalgunosdelospadres,quienesleproporcionaninformación
sobre sus hijos pandilleros. Luego, el mismo antropólogo vive con lospandillerosduranteunmes en las calles y recoge infor-mación sobreellos.
b) Losdatosobtenidosenlos“BoletinesEstadísticos”delBCRconstituyeninformación parauninvestigadorextranjero.
c) EllibroMemorias,quepublicóeldoctorLuisAlbertoSánchez,represen-tanparauninvestigadorde lahistoriapolíticadeunpaís,untipodeinformación .
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 81
d) Laspruebasqueunpsicólogoaplicaaungrupodeniñosconproblemasdedesarrollomentalsignificanparaéldatosdecarácter .
e) Unainvestigaciónsobre losmotivospor losque los turistasvienenalPerúutilizainformaciónestadísticadelapáginawebdelMinisteriodeTransportesdetipo .
f) Losdatosobtenidosen laEnaho(EncuestaNacionaldeHogares)rea-lizadaporelINEI,constituyeninformacióndetipo paralosinvestigadoresdelaUniversidaddeLima.
g) LosdatosobtenidosenlaencuestareferencialdocentedelaUniversidaddeLima,constituyeninformacióndetipo .
Solucióna) Secundaria-primariadirectab) Secundariaexternac) Secundariaexternad) Primariaindirectae) Secundariaexternaf) Secundariaexternag) Primariaindirecta
3. Enunnegociodebienesyraíces,setieneporobjetivoenconcretoconocereláreaconstruida(metroscuadrados)yelnúmerodedormitoriosdelde-partamentomásdemandadoporelsectoreconómicoByC.Sedacomoejemploelsiguientetipodepregunta:¿Ustedestá interesado(a)enundepartamentoconárea: (marcarsolounarespuesta)
menorde60m2? 1entre60m2y90m2? 2superiora90m2? 3
Segúnlamodalidadderespuesta,¿quétipodepreguntaes?
Solución:Preguntacerradaderespuestaúnica.
Estadística básica para los nEgocios82
4. Clasifiquelaspreguntasqueseindicanacontinuación,segúnsumodali-dadderespuesta.
Pregunta Tipo
a) ¿Estudia usted actualmente algún curso en ADEX(AsociacióndeExportadores)?
()Sí ()No
b) ¿Qué tipode labor intelectual hizo en su casa lasemanapasada?
c) ¿Durante la semana revisó la Revista Digital deComexperú(SociedaddeComercioExterior)?
()Sí ()No
d) Entre enero y diciembre del año pasado, ¿cuálesfueronlosprincipaleslogrosqueseprodujeronensuvidaacadémica?
e) Como usted sabe, todos los países desarrolladosrecibeninmigrantes,¿creeque,entérminosgene-rales,lainmigraciónespositivaonegativaparaes-tospaíses?()Positiva()Nipositivaninegativa()Negativa()Noopino
f) ¿En su trabajo tiene un jefe o unsuperiorinmediato?()Sí…….Pasaapregunta10()No
g) ¿Cuáles de los siguientes servicios que existen en la bi-bliotecahautilizadoensuvisitadehoy?:(Marquetodaslasposiblesrespuestas)()Serviciodelecturaensala()Serviciodepréstamoadomicilio()Serviciodeinformaciónbibliográfica()Serviciodefotocopiasdelabiblioteca()Serviciodepréstamointerbibliotecario()Serviciodeatenciónalusuario()Serviciodemicrofilmomicrofichas()Serviciodeformacióndeusuarios()Serviciodeaccesoabasesdedatos
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 83
Solución a) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicab) Abiertac) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicad) Abiertae) Cerradadeselecciónúnicaf) Cerradadeselecciónúnica-dicotómicag) Cerradadeselecciónmúltiple
5. Indiquelaveracidadofalsedaddelenunciado.
Enunciado V o F
a) Conelobjetivodeminimizarloserroresdemuestreo,uncuestionariodepreguntasdebetenerlascaracterísticasdeser:operativos,fidedignosyválidos.
b) Elcuestionarionoestructuradoesaquelenqueelencues-tadorespondedemaneraindividualysinqueintervengadirectamenteelentrevistador.
c) Uncensoseaplicasoloapoblacionesgrandes,porejemplo,uncensodirigidoaloshogaresentodoelpaís.
d) Uncuestionario estructurado se conformaporpreguntasgeneralesquepermitenalentrevistadortenermayorliber-tadenlaformulacióndepreguntasespecíficasynoserea-lizalaentrevistasiguiendounordenestricto.
e) Lasrespuestasalaspreguntasformuladasenuncuestiona-rioconstituyenlosdatosestadísticosqueseránutilizadosparaconocerlascaracterísticasdelapoblaciónomuestrabajoestudio.
Solucióna)F b)F c)F d)F e)V
6. LaempresadeinvestigacióndemercadosAlphaDatumS.A.realizóunes-tudioparaevaluarelefectodelacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)enlasAdministradorasdeFondosdePensiones(AFP).Enesteestudiosetomóunamuestraprobabilísticade50afiliadosentre25y35añosenLima.Seregistraronlassiguientesvariables:
Estadística básica para los nEgocios84
– AFPalaqueperteneceelafiliado– Montodelfondodelafiliado(ensoles)– Edaddelafiliado(enaños)– Tipodefondosegúnriesgo(bajoriesgo,riesgomoderado,altoriesgo)
a) Plantearunapreguntaabiertaquepodríaserdeinterés.b) Plantearunapreguntadeselecciónmúltiplequepodríaserdeinterés.c) Plantearunapreguntacerradanodicotómicaquepodríaserdeinterés.
Solucióna) ¿CuáleselnombredelaAFPalaqueustedpertenece?b) ¿CuáldelassiguientesrespuestasconsideraustedqueeslacausantedelacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)ysuefectoenlasAdmi-nistradorasdeFondosdePensiones(AFP)?Puedemarcarmásdeunarespuesta• Lapolíticaeconómicadelgobierno• LaineptituddelosadministradoresdelasAFP• LarecesiónenlosEstadosUnidos• LadesaceleraciónenlaeconomíadeChina• Otros
c) ¿Aquéfondoderiesgoustedpertenece?• Bajoriesgo• Riesgomoderado• Altoriesgo
7. EnelCentroComercialChacarillasepresentó,duranteel2016,unapar-ticularidad.Elniveldeclientespotencialeseraaltodelunesaviernes,losdomingossemanteníaentérminosnormales,comoeradecostumbre;sinembargo,lossábadosporlanochebajabaelniveldeclientespotenciales. a) ¿Quésepodríahacerparaindagarelcasodelosclientespotencialeslossábadosporlanoche?Plantearlosobjetivosdeestudio.
b) Sugieradostiposdeinformaciónsecundariainternayotrasdosdein-formaciónsecundariaexterna.
c) ¿Quétécnicaderecoleccióndedatosprimariosesconvenienteaplicar?Expliquebrevemente.Esposibleaplicarenestecasolatécnicadeexpe-rimentación.Explique.
d) Propongacuatropreguntasaplicablesalcasoeindiquequétipodepre-guntasson,segúnsumodalidadderespuesta.
e) Basándoseenloanterior,presenteunmodelodecuestionariodeencues-tapormuestreo.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 85
Solucióna) Objetivogeneral:realizarunestudiosobrelabajaasistenciadeclienteslossábadosalCentroComercialdeChacarilladuranteel2016.
Objetivosespecíficos:– Identificar el tipo de cliente que asiste al Centro Comercial de Chacarilla.
– Compararalosclientesqueasistenlossábadosporlanocheconlosqueasistendelunesaviernes.
– Identificar los centrosde entretenimiento que se han abierto en el2016.
– Identificarlostiposdeeventosquesedesarrollanenotroscentrosdeentretenimientoyqueresultanatractivosparaelpúblico.
b) Fuentedeinformaciónsecundariainterna:– Estadísticas sobre la asistencia de clientes por tienda del Centro ComercialChacarilla.
– GastosportiendalossábadosenelCentroChacarilla. Fuentedeinformaciónsecundariaexterna:– Estadísticassobrelapreferenciadeasistiraotroscentroscomercialeslossábadosporlanoche.
– InformaciónestadísticasobrenuevoscentrosdeentretenimientoenlaMunicipalidaddeldistrito.
c) Latécnicaderecoleccióndedatosprimarioseslaencuestapormues-treo,porentrevistapersonal,dadoqueatravésdeellaserecogeloscri-teriosporlosqueprefierensuasistenciaaotroscentroscomercialesoeventosqueserealizaneneldistritolossábados.
Noesposibleaplicarlaexperimentación;lamanipulacióndelasvaria-blespodríanalterarlosresultadosquedeseamosrecoger.
d) Presentamoslassiguientespreguntas: Preguntascerradasderespuestaúnica– Estadocivil()Soltero()Casado()Divorciado()Otros– Género ()Masculino()Femenino
Preguntasabiertas– ¿ConquéfrecuenciaasistealCentroComercialChacarilla?– ¿Adóndeasistelossábadosporlanoche?
Estadística básica para los nEgocios86
1. Engeneral,¿conquéfrecuencia utilizanuestroservicio?
• Casisiempre• Usualmente• Aveces• Raravez• Casinunca
2. ¿Quétanrápidaconsideraqueesnuestraatenciónalpúblico?
• Extremadamenterápida• Muyrápida• Moderadamenterápida• Pocorápida• Nadarápida
3. ¿Cuáleslaprobabilidaddevolver ausarnuestroservicio?
• Extremadamenteprobable• Muyprobable• Moderadamenteprobable• Pocoprobable• Nadaprobable
4. ¿Consideraustedqueelprecioquepagapornuestroservicioes…?
• Muyalto• Alto• Nialtonibajo• Bajo• Muybajo
5. Engeneral,¿cómoleparecenlas políticasdeseguridaddenuestracompañía?
• Excelentes• Buenas• Regulares• Malas• Pésimas
6. Engeneral,¿cómoleparecenlaspolíticasdeposventadenuestracompañía?
• Excelentes• Buenas• Regulares• Malas• Pésimas
7. ¿Conquéfrecuencianuestroser-vicioresuelvesusnecesidades?
• Siempre• Usualmente• Aveces• Raravez• Casinunca
8. ¿Cuáleslaprobabilidaddequeustedlerecomiendeesteservicioaotraspersonas?
• Extremadamenteprobable• Muyprobable• Moderadamenteprobable• Pocoprobable• Nadaprobable
9. ¿Adóndevalossábadospor lanoche?
10.Nombreyapellidos:
11.Dirección:
12.Correoelectrónico:
13.Teléfono:
14.Edad:
e)
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 87
Caso de investigación
Acontinuaciónsepresentauncuestionariodeunaencuestasobresatisfacciónlaboral:
1. ¿Conquéfrecuencialepermitentomardecisionesindependienteseneltrabajo?• Conextremafrecuencia• Conmuchafrecuencia• Aveces• Ocasionalmente• Nunca
2. ¿Quétanrutinariassonlastareasquerealizaensutrabajo?• Extremadamenterutinarias• Muyrutinarias• Unpocorutinarias• Ligeramenterutinarias• Nadarutinarias
3. ¿Qué tan accesibles son las oportunidadesparasercreativoeinnovador?• Extremadamenteaccesibles• Muyaccesibles• Unpocoaccesibles• Ligeramenteaccesibles• Nadaaccesibles
4. ¿Necesitamás insumos,menos insumoso tienesuficientesinsumos?• Másinsumos• Menosinsumos• Tengosuficientesinsumos
5. ¿Quétanvariadoeselpersonal?• Muyvariado• Unpocovariado• Ligeramentevariado• Nadavariado
6. ¿Quétanestresanteessutrabajo?• Extremadamenteestresante• Muyestresante• Unpocoestresante• Ligeramenteestresante• Nadaestresante
7. ¿Quétanagustosesienteconlarelaciónlaboralquetieneconsugerenteosupervisor?• Extremadamenteagusto• Muyagusto• Unpocoagusto• Ligeramenteagusto• Nadaagusto
8. ¿Quétanalentadoressugerenteosupervisorencuantoasutrabajo?• Extremadamentealentador• Muyalentador• Unpocoalentador• Ligeramentealentador• Nadaalentador
9. ¿Quétanjustoessuhorariodetrabajo?• Extremadamentejusto• Muyjusto• Unpocojusto• Ligeramentejusto• Nadajusto
10 ¿Cuántacolaboraciónhayensuambiente detrabajo?
• Extremacolaboración• Muchacolaboración• Unpocodecolaboración• Muypocacolaboración• Nadadecolaboración
11. ¿Quétancompetentessonsuscompañeros detrabajo?
• Extremadamentecompetentes• Muycompetentes• Unpococompetentes• Ligeramentecompetentes• Nadacompetentes
12. ¿Quétancordialessonsuscompañeros detrabajo?
• Extremadamentecordiales• Muycordiales• Unpococordiales• Ligeramentecordiales• Nadacordiales
13. ¿Quétanalentadoressonsuscompañeros detrabajo?
• Extremadamentealentadores• Muyalentadores• Unpocoalentadores• Ligeramentealentadores• Nadaalentadores
14. ¿Quétanjustaessucargadetrabajo?• Extremadamentejusta• Muyjusta• Unpocojusta• Ligeramentejusta• Nadajusta
15.¿Cuántashorasalasemanatrabaja?• Másde40horas• Menosde40horas• Aproximadamente40horas
Fuente: “Encuesta sobre satisfacción con el trabajo”, recuperada de http://bit.ly/2to46Jv
Estadística básica para los nEgocios88
a) ¿Consideraapropiadoelordenenlasecuenciadelaspreguntas?b) Desernegativasurespuesta,¿cuálseríasunuevoordenyexpliqueelmotivo?c) ¿Encuántosgruposclasificaríalas15preguntas?Etiquetelosgrupospropuestos.
Solucióna) No.Notieneunordensegúnloscriteriosdefinidos.Sedebecomenzarconlas preguntasdeformaamigableeinvitandoaqueelentrevistadosesientacómodo.b) 7,8,10,12,13,6,14,15,1,2,3,4,5,9y11.c) Losagruparíaen3grupos.Grupo1:Climalaboral.Compuestoporlaspreguntas7,8,10,12y13Grupo2:Cargadetrabajo.Compuestoporlaspreguntas6,14y15Grupo3:Crecimientoprofesional.Compuestoporlaspreguntas1,2,3,4,5,9y11
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 89
ejercicios y problemas propuestos 2
1. Indiquelaveracidadofalsedaddelenunciado.
Enunciado V o F
Alainformaciónqueelinvestigadorrecogepormediodeuncuestionario,seledenominafuenteprimaria.
Las fuentes secundarias se clasifican en nacionales einternacionales.
Laetapadedigitalizacióndelcensoconsisteengenerarmapas,planosycroquisatravésdesistemasdigitales.
Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechospormediodelacuallosentrevistadossemanifiestan.
Enelcuestionarioestructuradolaspreguntasyposiblesrespuestasnosepresentandelamismaformaatodoslosinformantes.
Enlaspreguntascerradasdeselecciónmúltiplesead-mitequeel informantepuedaescogervariasopcionesderespuestaspresentadas.
2. Completecadaunodelosespaciosenblancosegúnlafuentedeinformación.a) Los datos obtenidos en las encuestas sobre la intención de voto paralaseleccionesdel2016enelPerú,constituyeninformacióndetipo
.b) UnprofesorqueinvestigaelproblemadeloshábitosdeestudiodelosalumnosdelasescuelasprimariasenLima,entrevistaaalgunosdees-tos,quienesleproporcionaninformación sobresushábitosdeestudio.Luego,elmismoprofesorsehospedaencasadeestosalum-nosduranteunmesyrecogeinformación sobreellos.
c) LosdatosobtenidosenlaBolsadeValoresdeLimaconstituyeninforma-ción parauninversionista.
d) LosdatosdelaOficinadeBienestarUniversitariodelaUniversidaddeLimasobrelascaracterísticassocioindividualesde losalumnosrepre-sentanparauninvestigadoruntipodeinformación .
e) Laspruebas escritasquedesarrollan los alumnosdeundeterminadocursoconstituyenparaelprofesorinformacióndecarácter .
Estadística básica para los nEgocios90
f) UnainvestigaciónsobreelnúmerodetoneladasdeoroqueelPerúex-portausa informaciónestadísticade lapáginawebdelMinisteriodeEnergíayMinasdetipo .
g) Losdatosobtenidosdel InstitutoPeruanodePaternidadResponsable(INPPARES)constituyeninformacióndetipo paralosin-vestigadoressobreelviruspapilomahumano(VPH).
3. Acontinuaciónsepresentanalgunasdelaspreguntasdelcuestionarioqueutilizóelgerenteensuinvestigación.Determineeltipodepreguntasegúnlamodalidadderespuestayelniveldemedicióndecadapregunta.
Pregunta Tipo de pregunta Nivel de medición
¿Con qué frecuencia visita elCentroComercialLimaNorte?a) Frecuentementeb) Avecesc) Ocasionalmented) Nunca(eslaprimeravez)
¿CuáleselmotivodesuvisitaalCentro Comercial Lima Norte?Puedemarcarmásdeuna.a) Ofertab) Guarderíac) Créditod) Parkinge) Paseo
¿Cuántoessuingresomonetariomensual?(ensoles)
¿Cómocalificaelserviciorecibi-doenelcentrocomercial?a) Malob) Regularc) Bueno
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 91
4. Clasifiquelassiguientespreguntassegúnsumodalidadderespuesta.
Pregunta Tipo
¿Cuántosepreocupaportenerunadietasaludable?()Mucho()Bastante()Poco()Nada()NS/NC
¿Algunaveznoconsumióalimentosenundíapormotivosdesalud?()Sí()No
¿Cuán interesado estaría usted en que los restau-rantesincluyanensusmenúsinformaciónsobrelas caloríasdelosalimentosqueofrecen?()Muyinteresado()Bastanteinteresado()Pocointeresado()Nadainteresado()NS/NC
¿Quéproductosconsumeusted?Puedemarcarmásdeunaopción.()Papa()Quinua()Pescado()Carnevacuna
5. Acontinuaciónsepresentaunalistadetérminosestadísticos.
A. Fuenteprimaria E.Censo I. Inferencia
B. Empadronamiento F. Parámetro J. Muestra
C. Cuestionario noestructurado G.Población K.Unidaddeanálisis
D. Fuente secundariaexterna H.Codificación L.Fuenteprimariadirecta
Estadística básica para los nEgocios92
Coloquelaletradeltérminoquelecorrespondeacadadescripción:
Paraobtenerinformaciónserecurreaorganizacioneso entidades externas quepuedenproporcionar datosadecuadosasusnecesidades.
Investigaciónestadísticaqueconsisteenelconjuntodeoperacionesdestinadasarecopilar,procesar,evaluarypublicar datos referentes a todas las unidades de ununiversoenunmomentodeterminado.
Obtieneinformaciónporcontactodirectoconelsujetodeestudio.
Tipodeformatoconformadoporpreguntasgeneralesquepermitenmayorflexibilidady libertad en la for-mulacióndepreguntasespecíficas.
6. Enfebrerodel2016, lacompañíaIINFOS.A.realizóunestudiosobre lacalidaddelservicioquebrindanlossupermercadosenLimayCallao.Lapoblaciónenfebrerofuede35000clientes,aproximadamente,ypararea-lizaresteestudioseseleccionóunamuestraprobabilísticade1200clientesqueasistieronalossupermercadosdeLimayCallao,aquienesselesaplicóunaencuestadeopinión.Seregistraronlassiguientesvariables:– Calidaddelserviciodeatenciónrecibidaporelcliente.– Gastodelclienteensuúltimavisita(ensoles).– Opinióndelclientesobreladistribucióndelosproductos.
a) Propongaunapreguntaabiertaquepodríaserdeinterés.
Capítulo 2. Fuentes y téCniCas de reColeCCión de datos 93
b) Propongaunapreguntacerrradadeselecciónmúltiplequepodríaser deinterés.
c) Propongaunapreguntacerradanodicotómicaquepodríaserdeinterés.
7. Sedeseahacerunainvestigaciónacercadelarelaciónqueexisteentreelrendimientoacadémicodelosalumnos,lascaracterísticassocioeconómicasdesuspadresylascaracterísticassocioindividualesdeestos. a) ¿Quésepodríahacerparaindagarsobreestastresvariables?Plantearlosobjetivosdeestudio.
b) Sugiera dos tipos de información secundaria interna y otros dos de secundariaexterna.
Estadística básica para los nEgocios94
c) ¿Quétécnicaderecoleccióndedatosprimariosesconvenienteaplicar?¿Porqué?
d) Propongadospreguntasaplicablesalcasoeindiquequétipode preguntaes.
Lastécnicasdeprocesamientodedatosseutilizanparaorganizar,tabularypresen-tarinformaciónatravésdecuadrosygrá-ficosestadísticossegúneltipodevariableobjetodelestudio.
SabesCapacidadesadquiridas
9 Identificar el tipo de variable según sunaturalezaysuescalademedición.
PiensasCompetenciasporlograr
9 Reconocerlospasosparalaelaboracióndeunatabladefrecuenciassegúneltipodevariable.
9 Reconocerlospasosparalaelaboracióndegráficosestadísticossegúneltipodevariable.
HacesHabilidadespordesarrollar
9 Construirlatabladefrecuenciasegúneltipodevariable.
9 Elaborar el gráfico correspondiente se-gúneltipodevariable.
9 Interpretar la tabla de frecuencias y elgráficoestadístico.
Contenido
1. Uso de sumatorias e intervalosparadatosestadísticos.
2. Organizacióndelosdatos: objetivosypasos.
3. Procesamientootabulación dedatos.
Técnicas de procesamiento y presentación de datos
Capítulo
3
Estadística básica para los nEgocios96
¿En la elección del Congreso peruano se discrimina por edad y sexo?
EnelprocesodeeleccionesdecongresistasdelPerúen2016,seeligióa130congresistasdetodaslasregionesdelPerú.Lasedadesvaríanentre25y75años:solo2congresistasmenoresde30años,10menoresde35y110(85%)entre35y65años.Lapreguntabásicaqueconsidera-mosesesta:¿elelectorperuanoprefierecongresistasadultosoadultosmayoresantesqueadultosjóvenes?Encuantoalarepresentaciónporgénero,elcongresoelectocuenta
con36mujeres(28%)y94hombres(72%).Deigualformaplanteamoslainterrogante:¿elelectorperuanoprefierecongresistashombresan-tesquemujeres?Elprocesamientode losdatos requiere técnicas estadísticasade-
cuadasparaorganizarlos,reducirlos,clasificarlosypresentarlosparalograrunainterpretaciónfácilyútil.Lasherramientasestadísticasuti-lizadasparaesteprocesosonlastablasygráficosestadísticos,cuyasconstruccionesdependendeltipodevariableydelniveldemedicióndelosdatosrecolectadosparaelestudio.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 97
1. uso De sumatorias e intervalos para Datos estaDísticos
Enelprocesamientodedatosqueprovienendevariablescuantitativas,esconve-nienteelusodesímbolos,tantoparalavariablecomoparalosdatos.Lavariablecuantitativasueledenotarseconletrasmayúsculas,comoX,YyZ.Silavariablecuantitativasedenotacon X, entonces losdatosde lavariableXserepresen-tan con letraminúscula x subindicada, tal como semuestra a continuación:
1 2 nx x x, , ,… ,donde n eselnúmerototaldedatos.
Ejemplo 3.1Sehanrecolectado losdatossobreelpeso (enkilogramos)de10 estudian-tesuniversitarios: 65 71 82 73 90 82 70 77 74 78, , , , , , , , , .Entonces,sedefinelavariable X comopesodel estudianteuniversitario (enkilogramos), cuyosvaloressonlossiguientes:
i xi
x1 = 65 (representaelpesodelestudiante1)
x2 = 71 (representaelpesodelestudiante2)
.
.
.
.
.
.
.
x10 = 78 (representaelpesodelestudiante10)
1 65
2 71
3 82
4 73
5 90
6 82
7 70
8 77
9 74
10 78
Estadística básica para los nEgocios98
1.1 Sumatorias
La sumatoria, que se simboliza con la letra sigmamayúscula ∑ del alfabetogriego,seutilizaenestadísticapararesumirunasecuenciaordenadadelasumadevaloresdeunavariablecuantitativa.Esdecir,paraunavariablecuantitativaX, cuyosvaloresson:x1,x2,...,xn,lasumadelosn valoresseexpresaasí:
1 21
n
i ni
x x x x.=
= + +…∑
Propiedades:
a)1 1
n n
i ii i
c x c x. ,= =
=∑ ∑ ,dondecesunaconstante.
b)1 1
n n
i ii i
x c x nc( ) ,= =
+ = +∑ ∑ ,dondecesunaconstante.
c)1 1 1
n n n
i i i ii i i
x y x y( ) ,= = =
+ = +∑ ∑ ∑ dondeyesunasegundavariable.
Ejemplo 3.2En el ejemplo 3.1, el peso total de los 10 estudiantes se obtiene sumando lacolumnadevalores:
i xi
1 652 713 824 735 906 827 708 779 7410 78
Total 762
Utilizandolasumatoriaseobtiene:10
1 2 101
65 71 78 762ii
x x x x. .=
= + +… = + +… + =∑
Luego,elpesototaldelos10estudianteses762kilogramos.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 99
Ejemplo 3.3Si cadaunode los estudiantesdel ejemplo 3.1 aumenta supeso en las si-guientesmedidas:a) En5kilogramos Elnuevopesototaldelos10estudiantessecalculautilizandopropiedadesdesumatorias.
10 10
1 15 10 5 762 50 812i i
i ix x( )
= =+ = + × = + =∑ ∑
Elnuevopesototaldelos10estudianteses812kilogramos.b) En10% Elnuevopesototaldelos10estudiantessecalculautilizandopropiedadesdesumatorias.
10 10 10
1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 762 838 2i i i i
i i ix x x x( , ) , , , ,
= = =+ = = = × =∑ ∑ ∑
Elnuevopesototaldelos10estudianteses838,2kilogramos.
Ejemplo 3.4Conlosdatosdelejemplo3.1,lasumadeloscuadradosdelospesosdelos10estudiantesseobtienedelasiguienteforma:
10 2 2 2 2 2 2 21 2 10
165 71 78 58 532i
ix x x x
== + +…+ = + +…+ =∑
1.2 Intervalos
Unintervalorealesunaporcióndelarectaentredosvaloresdados.Existendosnotacionesprincipales:seutilizancorchetes ycorchetesinvertidos ,tam-biénseutilizancorchetesyparéntesis ) ;ambasnotacionesestándescritasenelestándarinternacionalISO31-11.Enadelante,utilizaremoslasegundaformadenotación.Tipos de intervalos:• Intervalocerrado.Sedenotacon a b; , estádadopor: { }a b x R a x b; / = ∈ ≤ ≤ • Intervaloabierto.Sedenotacon a b( ; ), estádadopor: { }a b x R a x b( ; ) /= ∈ < <
• Intervalosemiabierto.Puedeserdedostipos:– Intervalosemiabiertoporderecha.Sedenotacon )a b; , estádadopor: ) { }a b x R a x b; / = ∈ ≤ <– Intervalosemiabiertoporizquierda.Sedenotacon (a b; , estádadopor: ( { }a b x R a x b; / = ∈ < ≤
Estadística básica para los nEgocios100
Los intervalos, su longitud y su puntomedio se observan en el siguientecuadro:
Tipo Notación Datos comprendidos Longitud Punto medio
Intervalocerrado a b; a x b≤ ≤ b a−2
a b+
Intervaloabierto ( )a b; a x b< < b a−2
a b+
Intervalosemiabiertoporderecha
)a b; a x b≤ < b a−2
a b+
Intervalosemiabiertoporizquierda
(a b; a x b< ≤ b a−2
a b+
Porotrolado,enestadísticadescriptivaseutilizanintervalosparaagrupardatosdevariablescontinuasy,enalgunoscasos,devariablesdiscretasdere-corrido largo (queasumenunagrancantidaddeposiblesvalores).El tipodeintervaloque sueleutilizarsepara agrupar estosdatos es )a b; , semiabiertoporderecha.
Ejemplo 3.5Lospesosdelosestudiantesdelejemplo3.1(65, 71, 82, 73, 90, 82, 70, 77, 74, 78); agrupadosentresintervalos,seexpresaríancomoseobservaenelsiguientecuadro:
Intervalos Longitud Punto medio Datos comprendidos
)65 75; 10 70 65, 70, 71, 73, 74
)75 85; 10 80 77, 78, 82, 82
)85 95; 10 90 90
2. organización De los Datos: objetivos y pasos
Elobjetivodel trabajoestadísticoesquelosdatosproporcionenvaliosainfor-maciónparaquesepuedantomardecisionesacertadasyoportunas.Losdatostomadosdel trabajodecamposon“imperfectos”: contienengrancantidaddeinformación,peroenconjuntononosdicennada;nielmejorinvestigadorpue-desacarconclusionesrelevantes.Sinembargo,silosclasificamos,ordenamosypresentamos adecuadamente, podremos extraer valiosas conclusionespara latomadedecisiones.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 101
2.1 Pasos en la organización de los datos
La organización y presentación de los datos estadísticos supone realizar lossiguientespasos:
a) Evaluación y crítica Consisteen inspeccionar lavalidezy confiabilidadde losdatospara co-rregirloserroresyomisionesdeacuerdoconciertasreglasfijas.
b) Codificación Técnicamediantelacuallosdatos,cuantitativosycualitativos,seconvier-tenennúmerosquepermitansuprocesamientoelectrónico,conayudadealgúnsoftwareestadísticouhojaelectrónicadecálculo.
c) Clasificación Consisteenestablecerlascategorías(atributos,clasesogrupos)delasva-riables.
d) Procesamiento o tabulación de los datos Consisteenlacontabilizaciónorecuentodelnúmerodecasosencadaunadelascategoríasdelavariable.Elplandetabulacióneselprimerordena-mientodelosdatos,enélseconstruyenlasllamadas“tablasdefrecuencia”.
e) Presentación de los datos Losresultadosdelatabulación,unavezevaluados,sepresentanencuadrosygráficosestadísticos.Estoimplicatenerlainformaciónestadísticaorga-nizadaparaprocederalanálisiseinterpretacióndelosresultadosydelosaspectosconsideradosdelapoblaciónenestudio.
Ejemplo 3.6Paralospesosdelosestudiantesdelejemplo3.1(65,71, 82, 73, 90, 82,70,77, 74,78),lospasosenlaorganizaciónsonlossiguientes:a) Evaluacióny crítica. Se inspeccionany sevalidan losdatosdelpeso (enkilogramos),colocandocontrolesquenopermitandatosmuypequeñosnimuygrandes(porejemplo,pesosentre50 y100 kilogramos).
b) Codificación.Comolosdatosprovienendeunavariablecuantitativaconti-nua,noserequierecodificación.
c) Clasificación.Losdatossepuedenclasificarentrescategoríasdeintervalos,porejemplo:
Intervalos Datos comprendidos
)65 75; 65, 70, 71, 73, 74
)75 85; 77, 78, 82, 82
)85 95; 90
Estadística básica para los nEgocios102
Elprocesamiento, tabulaciónypresentaciónde losdatosse realizame-diantepasosadecuadosqueseexplicaacontinuación.
3. procesamiento o tabulación De Datos
3.1 Cuadro estadístico
Eselconjuntodedatosestadísticosordenadosenfilasycolumnas,clasificadosyagrupadosdeacuerdoconunoomáscriteriosespecíficosquepermitanleer,comparareinterpretarlascaracterísticasdeunaomásvariables.Losdatossonelresultadodelaejecucióndeunainvestigaciónestadísticaoelaprovechamien-todeunregistroadministrativoconfinesestadísticos.Sepuedenconstruircua-dros estadísticospara agrupardatosdevariables cualitativas, cuantitativasounacombinacióndeellas.Tienecomoprincipalventajapresentarunagrancantidaddeinformación,la
posibilidaddeleerenélvaloresexactosylasencillezdesuelaboración.Sufinalidadesserdepósitodedatosobiencontenerdatosyaprocesados;
esdecir,informaciónqueelanalistaoinvestigadorutilizacomosuherramientadeanálisis.
3.1.1 Estructura y elementos de un cuadro estadístico
SegúnlanormatécnicadelINEI,todocuadroestadísticodebetenertítulo,en-cabezamiento,columnamatriz,cuerpoypie(AbadyHuapaya,2006).Así, loselementosdeuncuadroestadísticosonlossiguientes:• Códigoonúmerodecuadro• Título• Encabezamiento• Columnamatriz:– Encabezamientodecolumnamatriz– Listadodeclasificaciones
• Cuerpo• Pie– Nota– Llamada– Fuente– Elaboración
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 103
Figura 3.1 Estructura y elementos de un cuadro estadístico
Nota: Valor free on board (FOB). Precio de las mercancías a bordo en el puerto de embarque.1/ Incluye contenido de plata.2/ Comprende hierro, estaño, molibdeno, bismuto y tungsteno, principalmente.a/ Excluye información de algunas empresas mineras en el último mes de 1992.Fuente: Superintendencia Nacional de Administración Tributaria (SUNAT), Superintendencia Nacional Adjunta de AduanasElaboración: Banco Central de Reserva del Perú, Subgerencia del Sector Externo.
Total Cobre 1/ Oro Plata Plomo 1/ Zinc Otros 2/Año
1990
1991
1992 a/
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002 P/
3.32 VALOR DE EXPORTACIÓN FOB MINERA POR PRODUCTO, 1990-2002 (millones de USD)
1480,5
1534,9
1819,9
1472,5
1970,8
2615,7
2654,4
2730,5
2746,7
3008,0
3216,2
3186,5
3734,4
699,7
742,1
755,9
650,0
823,6
1198,3
1052,2
1096,3
778,8
776,3
932,6
985,9
1187,1
9,1
144,7
399,3
207,7
337,8
462,9
579,3
500,1
928,5
1192,5
1144,7
1166,2
1478,8
78,5
67,8
68,1
71,8
97,9
109,7
119,5
1004,8
130,6
169,3
179,5
168,6
173,7
184,9
174,8
153,4
128,8
195,1
258,3
274,3
237,0
208,7
177,1
190,4
196,0
210,8
415,9
310,3
322,4
266,0
303,6
325,5
400,8
539,3
445,2
462,4
495,8
419,4
428,9
92,4
95,2
120,8
148,2
212,8
261,0
228,3
253,0
254,9
230,4
273,3
250,5
255,1
Código y título
Enca
beza
mie
nto
Cue
rpo
Col
umna
mat
riz
Nota
Llamadas
Fuente
Elaboración
Encabezamientode la
columna matriz
Pie
3.2 Tabla de frecuencias
Unatabladefrecuencias(tambiénconocidacomotabladedistribucióndefrecuen-cias)eselconjuntodedatosorganizadosencategoríasoclases;esdecir,engruposdevaloresquedescribenunacaracterísticadelosdatosymuestranelnúmerodeobservacionesdelconjuntodedatosquepertenecenacadaunadelascategorías.Latabladefrecuenciasayudaaagrupardatosdecualquiertipodevariable.
Contabulacióndedatosnosreferimosalaconstruccióndeunatablaenlaqueaparecenbienorganizadoslosvaloresdelasvariablesqueseestánestudiando,juntoconotrosdatosdenominadosfrecuencias.
Fuente: Abad y Huapaya, 2006
Estadística básica para los nEgocios104
3.2.1 Clasificación de las tablas de frecuencias
La formamáscomúndeclasificar las tablasde frecuenciasesen funcióndeltipodevariable,cuyosdatosserequiereresumirenlatabla.Laclasificacióneslasiguiente:• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecualitativa• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecuantitativadiscreta• Tabladefrecuenciasparadatosdeunavariablecuantitativacontinua• Tabladefrecuenciasparadatosdedosvariablescualitativasotabulacióncruzada
3.2.2 Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
Todatabladefrecuenciasqueresumedatosdeunavariable(cualitativaocuan-titativa)debetenernúmero,títuloycuerpo.Así,loselementosdeunatabladefrecuenciassonlossiguientes:• Númerodetabla• Título• Cuerpo– Categoríasoclases– Marcasdeclase(valornuméricodelacategoría.Silacategoríaesunintervalodevalores,lamarcadeclaseeselpuntomediodelintervalo)
– Frecuencias• Pie– Fuente
Laestructuradeunatabladefrecuenciassemuestraacontinuación:
Figura 3.2 Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
Categorías o clases
Marcas de clase fi hi Fi Hi
1 x1 f1 h1 F1 H1
2 x2 f2 h2 F2 H2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
k xk fk hk Fk Hk
Total --- n 1 --- ---
Fuente:…
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 105
Donde:
if =frecuenciaabsolutasimpledelacategoríai.Esobtenidaporconteode losdatosyrepresentaelnúmerodedatosquepertenecena la categoríai.
ii
fh
n= =frecuenciarelativasimpledelacategoría i. Seinterpretacomola
proporcióndedatosquepertenecenalacategoría i. 100i ih h% = × =frecuenciaporcentualsimpledelacategoría i. Seinter-
pretacomoelporcentajededatosquepertenecenalacategoría i.
iF =frecuenciaabsolutaacumuladadelacategoría i. Obtenidaporacu-mulaciónde las frecuencias if . Se interpreta comoelnúmerodedatosacumuladoshastalacategoría i.
iH = frecuencia relativa acumulada.Obtenida por acumulación de las
frecuencias hi. También se obtiene comoi
iF
Hn
.= Se interpreta
comolaproporcióndedatosacumuladoshastalacategoría i. 100i iH H% = × =frecuenciaporcentualacumulada.Seinterpretacomoel
porcentajededatosacumuladoshastalacategoría i.
3.3 Gráficos estadísticos
SegúnlanormatécnicadelINEI,enestadísticadenominamos“gráficos”aaque-llas imágenes que, combinando sombreado, colores, puntos, líneas, símbolos,números, texto y un sistemade referencia (coordenadas), permiten presentarinformacióncuantitativa.Losgráficosestadísticospresentanlosdatosenformadedibujo,detalmodo
quesepuedanpercibirfácilmenteloshechosesencialesycompararlosconotros.Lautilidaddelosgráficossedaendossentidos:puedenservirnosolocomo
sustitutodelastablas,sinotambiénconstituyenporsímismosunapoderosahe-rramientaparaelanálisisdelosdatos;y,porotrolado,enocasionessonelmediomásefectivoparadescribir,resumiryanalizarlainformación.
3.3.1 Clasificación de los gráficos estadísticos
La formamás común de clasificar los gráficos estadísticos es en función del tipo de variable que se intenta representar en el gráfico. Veamos la siguiente clasificación:• Gráficosparaunavariablecualitativa:– Gráficodebarras– Gráficodesectorescirculares– Pictograma
Estadística básica para los nEgocios106
• Gráficosparaunavariablecuantitativadiscreta:– Gráficodebastones
• Gráficosparaunavariablecuantitativacontinua:– Histograma– Polígonodefrecuencias– Ojiva
• Gráficosparadosvariablescualitativas:– Gráficodebarrasagrupadas– Gráficodebarrasapiladas
• Gráficosparadosvariablescuantitativas:– Diagramadedispersión
Enestadísticamoderna,laconstruccióndegráficosestadísticosserealizauti-lizandounsoftwareapropiadoparalaedicióndegráficos,comoExcel,MinitabySPSS.Estosprogramasofrecenunadiversidaddegráficosestadísticosdebue-nacalidadenpresentación,locualesidóneoparasudivulgacióneninformes estadísticos.Enestasecciónbrindaremoslaspautasnecesariasparaconstruirlosgráficos
estadísticosbásicosutilizadosenlaestadísticadescriptiva.
3.3.2 Estructura y elementos de un gráfico estadístico
Todográficoestadísticodebeteneruncódigoonúmero,títuloycuerpo.Así,loselementosdeungráficoestadísticosonlossiguientes:• Códigoonúmerodegráfico• Título• Cuerpo– Figura– Escalaoejedevalores– Leyenda– Ejedeconceptos
• Pie– Nota– Llamada– Fuente
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 107
Figura 3.3 Estructura y elementos de un gráfico estadístico
Fuente: INEI, 2009
3.4 Procesamiento de datos de una variable cualitativa
3.4.1 Tabla de frecuencias
Cadacategoríadelavariablecualitativa(nominaluordinal)esunaclaseogrupodedatos.Cuandolavariableescualitativanominalycuandolascategoríasnoes-táncodificadas,elordendelascategoríasenlatablaesalfabético;ycuandoestáncodificadasesporordendecódigo.Silavariablecualitativaesordinal,elordendelascategoríasenlatablaesdemenoramayorodemayoramenor.Enambastablassuelenpresentarselasfrecuenciassimples,absolutas(fi)yrelativas(hi).Sinembar-go,enalgunoscasossepuedencalcularfrecuenciasacumuladasquesepuedaninterpretarenlarealidad.
Ejemplo 3.7LaempresaIKKFMarketingelaboróunaencuestaenlaciudaddeLimaenmayodel2016,paraconocercuáleseranlosmediosdecomunicaciónquelaspersonasutilizabanpara informarse sobre las ofertas presentadaspor unaagenciadeturismo.Seseleccionóunamuestraprobabilísticade50personas;losdatossepresentanacontinuación:
Código o número de gráfico
Títu
loC
uerp
o
Pie
Gráfico N.º 10.3
PERÚ: POBLACIÓN DE 12 Y MÁS AÑOS DE EDAD QUE HA SIDO VÍCTIMA DEAGRESIÓN, POR ÁREA DE RESIDENCIA,
SEGÚN GRUPO DE EDAD, 2006
Eje
de v
alor
es
12
10
8
6
4
2
0
6,0
1,7
9,9
2,4
7,7
2,4
6,5
2,53,6
1,7
Eje
de c
once
ptos
Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) - ENCO 2006
Figuras Leyenda
Rótulo dedatos
12 a 17años
18 a 24años
25 a 39años
40 a 59años
60 y másaños
UrbanaRural
Estadística básica para los nEgocios108
1 3 4 5 4 2 1 1 2 32 4 1 5 2 1 6 2 3 12 1 5 6 1 2 1 3 1 63 2 2 3 2 5 1 2 1 56 3 2 1 6 3 4 1 1 4
1:Internet2:Periódicos3:Radio4:Revistas5:Televisión6:Norespondió
Launidaddeanálisises“unapersona”ylavariabledeinterés,“mediodecomunicaciónutilizadoporunapersonapara informarse sobre lasofertaspresentadasporunaagenciadeturismo”.Estaúltimaescualitativanominalyestácodificada;porlotanto,suscategoríasseordenansegúnelcódigo.Serealizaelconteodelosdatosdecadacategoríayseobtienelasiguientetabladefrecuencia:
Tabla 3.1 Distribución de personas según medios de comunicación utilizados (mayo del 2016)
Medios de comunicación utilizados fi hi hi %
Internet 15 0,30 30
Periódicos 12 0,24 24
Radio 8 0,16 16
Revistas 5 0,10 10
Televisión 5 0,10 10
Norespondió 5 0,10 10
Total 50 1 100
Fuente: Encuesta realizada por IKKF Marketing (mayo, 2016)
Algunasinterpretacionesapartirdelatablasonestas:f2 = 12.“Untotalde12personasutilizaronelperiódicoparaconocerlas
ofertaspresentadasporlaagenciadeturismo”.h3 = 0,16.“El16%delaspersonasutilizólaradioparaconocerlasofertas
presentadasporlaagenciadeturismo”.
Ejemplo 3.8LaMunicipalidadDistritaldeSanMartíndePorresrealizóunaencuestapa-raconocerelnivelsocioeconómicodelasfamiliasdeldistritoenmarzodel2016,porelloseseleccionóunamuestraprobabilísticade50familias.Lava-riabledeinteréssecategorizódelasiguienteforma:bajo(B),medio(M),alto(A).Losdatossonlossiguientes:
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 109
M M A M B M M B M MM B B M A M B M B M B B B M M A B B A M A B B B M B M A M BM M M B M M B A M M
Launidaddeanálisises“unafamilia”ylavariabledeinterés“nivelso-cioeconómicodelafamilia”escualitativaordinal;portanto,suscategoríasseordenandemenoramayor.Serealizóelconteodelosdatosporcadacatego-ríayseobtuvolasiguientetabladefrecuencia:
Tabla 3.2 Distribución de familias según nivel socioeconómico (marzo del 2016)
Nivel socioeconómico fi hi hi %
Bajo 18 0,36 36
Medio 25 0,50 50
Alto 7 0,14 14
Total 50 1 100
Fuente: Encuesta realizada por la Municipalidad Distrital de San Martín de Porres
Delatablaanterior,podemosconocerladistribucióndelasfamiliassegúnelnivelsocioeconómico.Veamosalgunasinterpretaciones:f2 = 25.“Untotalde25familiasposeenunnivelsocioeconómicomedio”.h3=0,14.“El14%delasfamiliasposeenunnivelsocioeconómicoalto”.
3.4.2 Gráfico de barras
Es un tipo de gráfico estadístico que se utiliza para variables cualitativas (nominaluordinal).EnelejeXsecolocanlascategoríasdelavariablecualita-tivaysobreellas,enparaleloalejeY,selevantanbarrascuyaalturaespropor-cionalasusfrecuencias.Enestetipodegráficossuelenutilizarselasfrecuencias porcentuales.
Ejemplo 3.9Construimoselgráficodebarrasparalatabladefrecuenciadelejemplo3.7,quetratasobrelosmediosdecomunicaciónutilizadosparainformarsesobrelasofertaspresentadasporunaagenciadeturismo.Elgráfico3.1muestraelresumendelosdatosdelejemplo3.7.
Estadística básica para los nEgocios110
Gráfico 3.1 Distribución de personas según medios de comunicación (mayo del 2016)
30
24
16
10 10 10
35
30
25
20
15
10
5
0Internet Periódicos Radio Revistas Televisión No respondió
Porc
enta
je d
e pe
rson
as
Medios de comunicación
Elaboración propia
3.4.3 Gráfico de sectores circulares
Tambiénconocidocomodiagramade“pastel”o“tortas”,esuncírculodivididoentantasporcionescomocategoríastengalavariablecualitativa,yaseanominaluordinal,demodoqueacadaclaselecorrespondeunarcodecírculoproporcio-nalasufrecuenciaabsolutaorelativa.Enestetipodegráficos,comoenelgráficodebarras,suelenutilizarselasfrecuenciasporcentuales.Lasituaciónidealparaelusodelgráficocircularescuandohayalrededorde
cincocategorías.Sielnúmerodecategoríasesexcesivamentegrande,laimagenproporcionadaporelgráficodesectoresnoserálosuficientementeclara.
Ejemplo 3.10Construimoselgráficocircularparalatabladefrecuenciadelejemplo3.8,sobreelnivelsocioeconómicodelasfamiliasdeSanMartíndePorres.Paraobtenerelánguloquetendrácadasectorcirculardelgráficosemul-
tiplicará 360ih × °,talcomosemuestraenlatablaN.º 3.3.
Tabla 3.3 Distribución de familias según nivel socioeconómico (marzo del 2016)
Nivel socioeconómico fi hi hi 360× ° 360°
Bajo 18 0,36 130°Medio 25 0,50 180°Alto 7 0,14 50°Total 50 1 360°
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 111
Gráfico 3.2 Distribución de familias según NSE (marzo del 2016)
Bajo36,0 %
Alto14,0 %
Medio50,0 %
Alto14,0 %
Bajo36,0 %
Medio50,0 %
Fuente: Encuesta realizada por la Municipalidad de San Martín de Porres
3.5 Procesamiento de datos de una variable cuantitativa discreta de recorrido corto
3.5.1 Tabla de frecuencias
Cadaposiblevalordelavariableesunacategoría,claseogrupodedatos.Lascategoríasoclasessecolocanenlatablaenordenascendente.Enestastablasseutilizanlasfrecuenciasabsolutasyrelativastantosimplescomoacumuladas.
Ejemplo 3.11Sedisponededatossobreelnúmerodecursosdesaprobadosenelsemestreanteriorrespectode40estudiantesuniversitariosdelaEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima.Losdatosobtenidossonlossiguientes:
2 2 2 2 5 4 5 6 3 3
4 5 1 5 4 5 2 4 6 4
0 5 3 4 3 5 4 0 3 3
1 4 6 6 4 4 6 6 1 1
Launidaddeanálisises“unestudiante”ylavariabledeinterés“númerodecursosdesaprobados”escuantitativadiscreta;portanto,suscategoríasseordenandemenoramayor.Serealizaelprocesodeconteodelosdatosdecadacategoríayseobtienelasiguientetabladefrecuencia:
Estadística básica para los nEgocios112
Tabla 3.4 Distribución de estudiantes según el número de cursos desaprobados
en el semestre anterior (Escuela de Negocios de la Universidad de Lima)
Número de cursos desaprobados fi hi Fi Hi
0 2 0,050 2 0,050
1 4 0,100 6 0,150
2 5 0,125 11 0,275
3 6 0,150 17 0,425
4 10 0,250 27 0,675
5 7 0,175 34 0,850
6 6 0,150 40 1,000
Total 40 1 --- ---
Fuente: Archivo de notas de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima
Apartirdeestatabladedistribucióndelosestudiantes,segúnelnúmerodecursosdesaprobados,serealizanlassiguientesinterpretaciones:f5 = 10. “Untotalde10estudiantesdesaprobaron4cursoselsemestre
anterior”.h3 = 0,125. “El12,5%deestudiantesdesaprobó2cursoselsemestreanterior”.F4 = 17. “Untotalde17estudiantesdesaprobóhasta3cursoselsemestre
anterior”.H6 = 0,850.“El85%deestudiantesdesaprobóhasta5cursoselsemestre
anterior”.
3.5.2 Gráfico de bastones
Elgráficodebastonesesungráficodebarras,peroconunavarianteenlaam-plitud:esunalínea(bastón)cuyaalturacorrespondealafrecuenciaabsolutaorelativa.Seaplicafundamentalmenteparalasdistribucionesdevariablescuan-titativasdiscretas.
Ejemplo 3.12Elgráficodebastonesparalatabladedistribucióndefrecuenciadelejemplo3.11semuestraenelgráfico3.3.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 113
Gráfico 3.3 Distribución de estudiantes según el número de cursos desaprobados
el semestre anterior
12
10
8
6
4
2
00 1 2 3 4 5 6
2
45
6
10
7
6
Frec
uenc
ia d
e es
tudi
ante
s
Número de cursos desaprobados
Fuente: Archivo de notas de la Escuela de Negocios de la Universidad de Lima
3.6 Procesamiento de datos de una variable cuantitativa continua y discreta de recorrido largo
3.6.1 Tabla de frecuencias
Paratabularlosdatosdeunavariablecontinua,seconstruyenintervalosdecla-sequeagrupanlosdatos.Sedeterminaelnúmerodeintervalosapropiadoparalosdatosyseasignaunafrecuenciaabsolutaorelativa (simpleoacumulada)porcadaintervalodeclase.Elprocedimientoparalaconstruccióndelatabladefrecuenciaeselsiguiente:1. Calcularelrango(R)delosdatos:
máx mínR x x. .= −
2. Calcularelnúmerodeintervalos(K)utilizandolaregladeSturges. Estaregla,propuestaporHerbertSturgesen1926,consisteenunafórmulaquedeterminaelnúmerodeclasesointervalosquesedebenconsiderarenunhistogramadefrecuencias(Hyndman,1995).Esta fórmula sirve para encontrar el número de intervalos deseado,
quevienedadopor lasiguienteexpresión: 21K n log= + ,donde n eselnúmerodedatos.El 2 n ylog =puedepasarsealogaritmobase10delasiguienteforma:
2 n ylog =
2yn =
Estadística básica para los nEgocios114
2 2yn ylog log log= =
3 321928 3 3
2 0 30103n n
y n nlog log
, log , loglog ,
= = = × = ×
Luego,lafórmuladeSturgesenlogaritmodebasedecimales:
1 3 3K n, log= + ×
ElnúmerodeintervalosK debeserredondeadoalenteromáscercano.Sieldecimalesigualomayorque5,seredondeaalsiguienteentero;delocontrario,permaneceigual.Veamoslossiguientesejemplos:
7 265 7K , = ≅
7 784 8K , = ≅
7 5 8K , = ≅
3.Calcularlaamplitudoancho(A)delintervalo:
RAK
=
Elredondeode A esespecial,paraestaoperaciónsetienelassiguien-tesconsideraciones:
Si los datos analizados sonenteros, A es redondeado alsiguienteentero.
Porejemplo:SiA = 9,4;seredondeaaA = 10 SiA = 9,7;seredondeaaA = 10
Si losdatosanalizadostienenundecimal,A es redondeadoalsiguientedecimal.
Porejemplo:SiA = 9,43;seredondeaaA = 9,5SiA = 9,48;seredondeaaA = 9,5
Si losdatosanalizadostienendosdecimales,Aesredondea-doalsiguientecentesimal.
Porejemplo:SiA = 9,432;seredondeaaA = 9,44SiA = 9,438;seredondeaaA = 9,44
4. Formar los K intervalos semiabiertos por derecha. En este caso losintervalossonlossiguientes:
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 115
Primerintervalo )mín mínx x A ; +
Segundointervalo )2mín mínx A x A ; + +
.
.
.
.
.
.
Últimointervalo ( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +
5. Calcularlasmarcasdeclaseopuntosmediodelosintervalos.Lamarcade
claseopuntomediodeunintervalosecalculacon2
I Si
L Lx =
+,donde:
IL =Límiteinferiordelintervalo
SL = Límitesuperiordelintervalo
6. Realizar el conteode losdatosparaobtener la tabladedistribucióndefrecuenciasquesemuestraacontinuación:
Intervalos xi fi hi Fi Hi
)mín mínx x A ; + x1 f1 h1 F1 H1
)2mín mínx A x A ; + + 2 1x x A= + f2 h2 F2 H2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +
1 1kx x k A( )= + − fk hk Fk Hk
Total --- n 1 --- ---
Ejemplo 3.13Unaempresadeseaevaluarlarapidezenelpagodefacturasdesusclientes.Delosregistrosdeventasacréditodelos6últimosmesesdelañopasado,seescogealazara50clientesyseregistraeltiempo(endías)entrelaentregadelproductoysupago.Losdatosrecogidosson:
34 30 27 15 17 30 30 23 26 34 26 22 20 21 25 29 43 19 27 35 22 17 17 15 23 35 29 26 24 27 21 28 23 39 33 34 21 32 21 29 24 20 37 48 19 23 28 28 36 33
Obtenga la tabla de distribución de frecuencias utilizando la regla deSturgesparaelcálculodelnúmerodeintervalos.
( ) )1mín mínx K A x KA ; + − +
Estadística básica para los nEgocios116
SoluciónParaconstruirlatabladefrecuenciassesigueelsiguienteprocedimiento.1. Secalculaelrangodelosdatos:
48 15 33R – = =
2. SecalculaelnúmerodeintervalosconlafórmuladeSturges:1 3 3 50 6 6066 7K , log ,= + × = ≅
3. Secalculalaamplitudolongituddelosintervalos:33 4 714285 57
A , = = = (redondeadoalsiguienteentero)
4. Seobtienenlosintervalosempezandoconelmínimodelosdatosyagre-gándolelaamplitudAallímitesuperior,yasísucesivamenteparaelrestodeintervalos.Losintervalosobtenidosson:
) ) ) ) ) ) )15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 45 50; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
5. Serealizaelconteodelosdatosyseobtienelasiguientetabla:
Tabla 3.5 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas
Intervalos ix if ih iF iH
[15; 20) 17,5 7 0,14 7 0,14
[20; 25) 22,5 14 0,28 21 0,42
[25; 30) 27,5 13 0,26 34 0,68
[30; 35) 32,5 9 0,18 43 0,86
[35; 40) 37,5 5 0,10 48 0,96
[40; 45) 42,5 1 0,02 49 0,98
[45; 50) 47,5 1 0,02 50 1
Total --- 50 1 --- ---
Fuente: Registro de ventas de la empresa
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 117
Delatablaanterior,setienelassiguientesinterpretaciones:
3 13f = .“Untotalde13clientesdemoróenpagarsusfacturasentre25y menosde30días”.
5 0 10h ,= .“El10%delosclientesdemoróenpagarsusfacturasentre35y menosde40días”.
2 21F = . “Un total de 21 clientes demoró en pagar sus facturas menos de25días”.
6 0 98H ,= .“El98%delosclientesdemoróenpagarsusfacturasmenos de45días”.
Algunasvariablescuantitativasdiscretasproporcionandatosquenecesi-tanagruparseenintervalos;estassonaquellasquetienenunrecorridolargodeposiblesvalores.Acontinuación,sepresentaunejemplosobreestetipodevariables.
Ejemplo 3.14Sedisponededatossobreelnúmerodecréditosacumuladosde50estudian-tesuniversitariosdelaEscueladeNegociosdelaUniversidaddeLima.Losdatosobtenidossonlossiguientes:
40 97 52 33 30 90 37 28 71 4136 97 91 33 35 27 79 71 28 6595 82 70 20 25 94 35 75 39 8688 39 49 66 94 26 64 64 84 2864 79 62 43 52 43 45 80 95 77
Obtengalatabladedistribucióndefrecuenciasqueresumelosdatos,uti-lizandolaregladeSturgesparaelcálculodelnúmerodeintervalos.
SoluciónParaconstruirlatabladefrecuenciasesigueelsiguienteprocedimiento:1. Secalculaelrangodelosdatos:
97 20 77R = − =
2. SecalculaelnúmerodeintervalosconlafórmuladeSturges:
1 3 3 50 6 6066 7K , log , = + × = =
3. Secalculalaamplitudolongituddelosintervalos:
77 117
A = =
Estadística básica para los nEgocios118
4. Seobtienenlosintervalosempezandoconelmínimodelosdatosyagre-gándolelaamplitudAallímitesuperior,yasísucesivamenteparaelrestodeintervalos.Losintervalosobtenidossonestos:
) ) ) ) ) )20 31 31 42 42 53 53 64 64 75 75 86 86 97; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
Notequeelúltimointervalotienequesercerradodebidoaqueeldato97estácontenidoenesteintervalo.
5. Serealizaelconteodelosdatosyseobtienelatablasiguiente:
Tabla 3.6 Distribución de estudiantes según el número de créditos acumulados
Intervalos xi fi hi Fi Hi
[20; 31) 25,5 8 0,16 8 0,16
[31; 42) 36,5 10 0,20 18 0,36
[42; 53) 47,5 6 0,12 24 0,48
[53; 64) 58,5 1 0,02 25 0,50
[64; 75) 69,5 8 0,16 33 0,66
[75; 86) 80,5 7 0,14 40 0,80
[86; 97] 91,5 10 0,20 50 1
Total --- 50 1 --- ---
Fuente: Escuela de Negocios de la Universidad de Lima
3.6.2 Histograma
Eselgráficoapropiadoparavariablescuantitativascontinuasoparavariablesdiscretascondistribuciónde frecuenciasagrupadasen intervalos.Paracons-truirungráficodeestetipo,sedivideelrangodevaloresdelavariableenin-tervalosdeigualamplitud,yserepresentasobrecadaintervalounrectánguloquetieneaestesegmentocomobase.Elcriterioparacalcularlaalturadecadarectángulo es mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (orelativas)delosdatosencadaintervaloyeláreadelosrectángulos.
Ejemplo 3.15Elhistogramaque representa en formagráfica la tabladedistribucióndefrecuenciasdelejemplo3.13semuestraenelgráfico3.4.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 119
Gráfico 3.4 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas
7
1413
9
5
1 1
30 352520 40 4515100
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo de pago (en días)
Núm
ero
de c
lient
es
50 55
Fuente: Registro de ventas de la empresa
3.6.3 Polígono de frecuencias
Alunirlospuntosmediosdelextremosuperiordelasbarrasdelhistograma,seobtieneungráficoquesedenominapolígonodefrecuencias.Dichográficopretendemostrar,delaformamássimple,enquérangosseencuentralamayorpartedelosdatos.Elpolígonodefrecuenciasqueresultaparalatabladefre-cuenciadelejemplo3.13semuestraenelsiguientegráfico:
Gráfico 3.5 Distribución de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas
7
1413
9
5
1 1
30 352520 40 4515100
2
4
6
8
10
12
14
Tiempo de pago (en días)
Núm
ero
de c
lient
es
50 55
Fuente: Registro de ventas de la empresa
Estadística básica para los nEgocios120
3.6.4 Ojiva
Esungráficodelíneassimilaralpolígonodefrecuencias,peroconunacarac-terísticamuyparticular: envezdeutilizar las frecuencias simples,utiliza lasfrecuenciasacumuladas.Muestraelcomportamientodelasfrecuenciasacumu-ladasabsolutasorelativasdetodoslosintervalosdeclase.EnelejeX,seubicanlos límites inferioresde los intervalosdeclaseyel límitesuperiordelúltimointervalo;eneleje ,Y lasfrecuenciasabsolutasorelativasacumuladas.
Ejemplo 3.16Alconstruirlaojivaparaladistribucióndefrecuenciasdelejemplo3.15seobtieneelgráfico3.6:
Gráfico 3.6 Distribución acumulada de clientes según el tiempo que demoran en pagar sus facturas
Tiempo de pago (en días)
30
Núm
ero
de c
lient
es
35 40 45 502520150
10
20
30
40
50
7
21
34
43
4849 50
Fuente: Registro de ventas de la empresa
3.7 Diagrama de dispersión para dos variables cuantitativas
Eldiagramadedispersiónesungráficoqueseconstruyeenunsistemacoorde-nadobidimensional,llamado“cartesiano”,dondecadapuntocorrespondeaunpardevaloresdedatosdeX e Y paraunmismoelemento.Permitedetectareltipoderelaciónentredosvariablescuantitativas.Losdatospara construir el diagramadedispersión semuestran comoun
conjuntodeparesordenadosdepuntos,cadaunoconelvalordeunavariablequedeterminalaposiciónenelejehorizontalyelvalordeotraquedetermi-nalaposiciónenelejevertical.Undiagramadedispersiónse llamatambién “nubedepuntos”.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 121
Ejemplo 3.17UnequipodeconsultoresdelaempresaMicroConsultseencargódeanali-zarlascausasdelosfrecuenteserroresenlasfacturas.Elnúmerodedatosque registraríanvariaba segúnel tipode factura.Unmiembrodel equipopropusoconcentrarseensimplificarlasfacturasmáscomplicadas,puespen-sabaqueeralacausadelamayoríadeloserrores.Elequipodecidióinvesti-gar,enprimerlugar,lateoríaaparentementeobviasegúnlacualelnúmerodeerroresenunafactura( )Y dependíadelnúmerodedatosqueincluiríanenesta X( ). Elequiporecogiólosdatosrelativosalosúltimosmeses,loscualessepresentanacontinuación:
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Número de datos 10 5 9 5 8 5 5 9 6 4 11 6 10 7 7 5 4 4 5 6
Número de errores 3 2 3 1 3 2 1 3 2 1 4 2 4 2 2 1 1 1 2 2
Eldiagramadedispersiónresultanteparaestosdatoseselsiguiente:
Gráfico 3.7 Dispersión del número de datos versus el número de errores en las facturas
Núm
ero
de e
rrore
s
0 2 4 6 8 10 12
1
2
3
4
Número de datos
Fuente: Registros de ventas de Micro Consult
Eneldiagramadedispersiónsepuedeobservarquelarelaciónentreelnúmerodedatos(X)yelnúmerodeerrores(X)enlasfacturasesdirecta,esdecir,ambasvariablesvaríanenelmismosentido.
Estadística básica para los nEgocios122
Ejemplo 3.18Unempresariorequiereestudiarlarelaciónentreelgastoyahorro(ensoles)querealizanlostrabajadoresdesuempresaenjulioconelcobrodesugratifi-cación.Recolectólosdatosdediezdesustrabajadores,seleccionadosalazar;datosquesepresentanenlasiguientetabla:
Trabajador Monto de gastos Monto de ahorros1 4000 10 0002 5000 86003 6000 72004 7000 41005 8500 19006 8700 2007 7200 40008 5500 76009 5200 780010 4800 8100
Paraconstruireldiagramadedispersión,definimoslasvariablesX e Y delasiguienteforma:
X:Montodegastos Y:MontodeahorrosEldiagramadedispersiónresultantesepresentaacontinuación:
Gráfico 3.8 Dispersión del gasto versus el ahorro del trabajador en julio
Ahor
ros
(Sol
es)
Gastos (Soles)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
2000
4000
6000
8000
10 000
0
Fuente: Encuesta a trabajadores
Eneldiagramadedispersiónsepuedeobservarquelarelaciónentreelgasto X( ) yelahorro ( )Y delostrabajadoresdelempresarioesinversa,esdecir,ambasvariablesvaríanensentidosopuestos.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 123
ejercicios y problemas resueltos 3
1. LaempresaTecnology,quecomercializaartículosdecómputo,realizóunestudioenenerodel2016paradeterminarlapreferenciadelasmarcasdetelevisores full HD en las familiasdeLima. Losdatos obtenidosdeunamuestraprobabilísticadefamiliassonlossiguientes:
3 1 3 4 2 4 4 2 2 24 5 2 3 5 3 2 4 2 22 1 4 1 2 5 2 3 4 22 2 1 4 5 4 4 5 4 3
1:AOC2:Sony3:LG4:Samsung5:Otras
a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.
b) Obtengalosgráficoscorrespondientes.
Solucióna) Se realiza el conteo de los datos; estos se resumieron en la siguiente tabla,considerandolascategoríasenordendecódigo.
Tabla 3.7 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren
(enero del 2016)
Marca de televisores fi hi hi %
AOC 4 0,100 10,0
Sony 14 0,350 35,0
LG 6 0,150 15,0
Samsung 11 0,275 27,5
Otras 5 0,125 12,5
Total 40 1 100
Fuente: Encuesta de Tecnology - enero del 2016
Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciasson:
1 0 10h ,= .“El10%delasfamiliasprefierelamarcadetelevisorAOC”.
3 6f = .“Untotalde6familiasprefierelamarcadetelevisorLG”.
b) Comolavariable“marcadetelevisorqueprefiereunafamiliadeLima”escualitativanominal,surepresentacióngráficaserealizamedianteelgráficodebarrasoelgráficodesectorescirculares,quesepresentaacontinuación:
Estadística básica para los nEgocios124
Gráfico 3.9 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren (enero del 2016)
0
Marca de televisor
Porc
enta
je d
e fa
milia
s
AOC Sony LG Samsung Otras
10
15
27,5
12,5
10
20
30
40
35
Fuente: Encuesta de Tecnology (enero del 2016) Elaboración propia
Demanerasimilar,elgráficodesectorescircularescorrespondientesemuestraenelgráfico3.10.
Gráfico 3.10 Distribución de familias de Lima según la marca de televisor que prefieren
(enero del 2016)
Otras12,5 %
AOC10,0 %
Sony35,0 %
LG15,0 %
Samsung27,5 %
Fuente: Encuesta de Tecnology (enero del 2016) Elaboración propia
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 125
2. Se realizó un estudio para conocer los porcentajes de hoteles, según su categoría,quehayen la ciudaddeArequipa.Losdatos recolectadosson lossiguientes:
3 3 4 3 4 3 1 3 4 3 3 3 2 1 3 3 3 2 3 4
2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 3
1:Unaestrella2:Dosestrellas3:Tresestrellas4:Cuatroestrellas
a)Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.
b) Obtengalosgráficoscorrespondientes.
Solucióna) Realizadoelconteodelosdatos,estosseresumieronenlasiguienteta-blaconsiderandoelordendelascategoríasdemenoramayor,yaquesetratadeunavariablecualitativaordinal.
Tabla 3.8 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa
Númerode estrellas fi hi hi %
Unaestrella 6 0,150 15
Dosestrellas 12 0,300 30
Tresestrellas 17 0,425 42,5
Cuatroestrellas 5 0,125 12,5
Total 40 1 100
Fuente: Encuesta sobre hoteles en Arequipa
Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonestas:
2 0 30h ,= .“El30%deloshotelesesdedosestrellas”.
3 17f = .“Untotalde17hotelesesdetresestrellas”.
b) Comolavariableescualitativaordinal,surepresentacióngráficaserea-lizamedianteelgráficodebarrasoelgráficodesectorescirculares.Elgráficodebarrasquerepresentaladistribucióndefrecuenciasde
latabla3.8semuestraacontinuación:
Estadística básica para los nEgocios126
Gráfico 3.11 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa
Categoría de hotel
Porc
enta
je d
e ho
tele
s
Una estrella Dos estrellas Tres estrellas Cuatro estrellas0
10
20
30
40
15
30
42,5
12,5
Fuente: Encuesta sobre hoteles en ArequipaElaboración propia
Demanerasimilar,elgráficodesectorescircularescorrespondientesemuestraacontinuación.
Gráfico 3.12 Distribución de hoteles por categoría en Arequipa
Cuatroestrellas12,5 %
Una estrella15,0 %
Dos estrellas30,0 %
Tres estrellas42,5 %
Fuente: Encuesta sobre hoteles en Arequipa Elaboración propia
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 127
3. Unanalistadenegociosrecolectódatossobreelnúmerodehabitacionesdeunamuestraaleatoriadeviviendas.Losdatossepresentanacontinuación:
3 3 4 3 4 3 1 3 4 3 3 3 2 1 3 3 3 2 3 52 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 5
a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciaseinterpretealgunasfrecuencias.
b) Obtengaelgráficocorrespondiente.
Solucióna) Dadoquelavariable“númerodehabitacionesporvivienda”escuanti-tativadiscreta,elconteodelosdatosseresumióenlasiguientetabla:
Tabla 3.9 Distribución de viviendas según el número de habitaciones
Número de habitaciones fi hi Fi Hi
1 6 0,15 6 0,15
2 12 0,30 18 0,45
3 16 0,40 34 0,85
4 4 0,10 38 0,95
5 2 0,05 40 1
Total 40 1 --- ---
Fuente: Encuesta dirigida a las viviendas
Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:f5 = 2.“Untotalde2viviendastiene5habitaciones”.h3 = 0,40.“El40%deviviendastiene3habitaciones”.F4 = 38.“Untotalde38viviendastienehasta4habitaciones”.H2 = 0,45.“El45%deviviendastienehasta2habitaciones”.
b) Como la variable es cuantitativa discreta, le corresponde el siguientegráficodebastones.
Estadística básica para los nEgocios128
Gráfico 3.13 Distribución de viviendas según el número de habitaciones
0
Número de habitaciones
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5
6
12
16
4
2
Frec
uenc
ia d
e vi
vien
das
Fuente: Encuesta dirigida a las viviendas Elaboración propia
4. EnunaencuestarealizadaporlaempresadeestudiodemercadoMASS.A.,aunamuestrade36personasdeentre16y24añosdeedad,selecciona-dosprobabilísticamenteeneldistritodeSanJuandeLurigancho,seindagóacercadelosgastosquerealizaronenvestidosycalzados(ensoles)lasema-naanterior.Seobtuvieronlossiguientesresultados:
60 75 78 80 80 85 88 88 90
95 100 105 105 108 110 110 115 115
118 118 120 120 125 125 125 130 132
132 135 135 138 140 140 145 148 150
a) ObtengalatabladedistribucióndefrecuenciasusandolaregladeStur-geseinterpretealgunasdelasfrecuencias.
b) Construyalosgráficoscorrespondientes.
Solucióna) Como lavariableescuantitativacontinua, seutilizaelprocedimientodadopara datos agrupados en intervalos. La variable es “gasto de lapersonaenvestidoycalzadolasemanapasada(ensoles)”.
Elrangodelosdatoseseste:
R = 150 – 60 = 90
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 129
Según la fórmula de Sturges, el número de intervalos se obtiene siguiendo
1 3 3 36 6 13 6K , log , = + × = ≅
Ylaamplitudolongituddelosintervalos,deestemodo:
90 156
A = =
Seobtienenlos intervalosdeamplitud 15A = talcomosemuestraenlatabla3.10.
Tabla 3.10 Distribución de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos
que realizaron en vestido y calzado (diciembre del 2016)
Gasto en soles xi fi hi Fi Hi
[60; 75) 67,5 1 0,0279 1 0,0279
[75; 90) 82,5 7 0,1944 8 0,2223
[90; 105) 97,5 3 0,0833 11 0,3056
[105; 120) 112,5 9 0,2500 20 0,5556
[120; 135) 127,5 8 0,2222 28 0,7778
[135; 150] 142,5 8 0,2222 36 1
Total --- 36 1 --- ---
Fuente: Estudio de mercado MAS S. A.
Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:f5 = 8.“Untotalde8personasgastaentre120ymenosde135solesenvestidoycalzado”.
h3 = 0,0833.“El8,33%depersonasgastaentre90ymenosde105solesenvestidoycalzado”.
F4 = 20.“Untotalde20personasgastamenosde120solesenvestidoycalzado”.
H2 = 0,2223. “El22,23%depersonasgastamenosde90solesenvestidoycalzado”.
b) Comolavariableescuantitativacontinua,seutilizanelhistograma,elpolígonodefrecuenciasylaojiva.Elhistogramaypolígonode frecuencias semuestranenelgráfico
3.14ylaojivaenelgráfico3.15.
Estadística básica para los nEgocios130
Gráfico 3.14 Distribución de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos que realizaron
en vestido y calzado (diciembre del 2016)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45 60 75 90 105 120 135 150 165
Gasto en vestido y calzado (soles)
Frec
uenc
ia d
e pe
rson
as
1
7
3
9
8 8
Fuente: Estudio de mercado MAS S. A. Elaboración propia
Gráfico 3.15 Distribución acumulada de personas de entre 16 y 24 años de edad según los gastos
que realizaron en vestido y calzado (diciembre del 2016)
Frec
uenc
ia d
e pe
rson
as
Gasto en vestido y calzado (soles)
0
10
20
30
40
60 75 90 105 120 135 150
1
811
20
28
36
1
Fuente: Estudio de mercado MAS S. A. Elaboración propia
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 131
5. Los ingresosmensuales (enmiles de dólares) que lograron 40 empresasdelaciudaddeLimaseresumenenlasiguientetabladefrecuenciascon6intervalosdeamplitudconstante:
[Intervalos de ingresos) xi fi Fi hi Hi
15 0,10
0,20 0,45
45 12
0,95
2
Total --- 40
a) Completelatabladefrecuenciaanteriorypresénteladeformaadecuada.b) Interpretealgunasfrecuenciasdelatablaanterior.c) ¿Quéporcentajedeempresastuvieroningresosdeporlomenos40000dólares?
d) Construyalosgráficoscorrespondientes.
Solucióna) SiAeslaamplituddelosintervalos,entonceslaecuaciónquerelacionaelpuntomediodelprimerintervaloconelpuntomediodelcuartointer-valoesesta:
15 3 45 10A A + = ⇒ =
Luego, se completan los intervalos tal como se observa en la tabla3.11.Lasfrecuenciassecompletandelasiguienteforma:
1 1 140 0 10 4 4 0 10f F H, y ,= × = ⇒ = =
2 20 45 0 20 0 25 0 25 0 10 0 15H h, , , , , , = − = ⇒ = − =
2 40 0 15 6f ,= × =
3 40 0 20 8f ,= × =
4 12f =
5 40 4 6 8 12 2 8f = − − − − − =
6 2f =
Luego,secompletanlasfrecuenciasrestantes,talcomosemuestraenlasiguientetabla:
Estadística básica para los nEgocios132
Tabla 3.11 Distribución de empresas según sus ingresos mensuales
Ingreso mensual xi fi Fi hi Hi
[10; 20) 15 4 4 0,10 0,10
[20; 30) 25 6 10 0,15 0,25
[30; 40) 35 8 18 0,20 0,45
[40; 50) 45 12 30 0,30 0,75
[50; 60) 55 8 38 0,20 0,95
[60; 70) 65 2 40 0,05 1
Total --- 40 --- 1 ---
Elaboración propia
b) Lasinterpretacionesdealgunasfrecuenciassonlassiguientes:
4 12f = .“Untotalde12empresaslogróingresosmensualesentre40ymenosde50 000dólares”.
2 0 15h ,= .“El15%delasempresaslogróingresosmensualesdeentre20ymenosde30 000dólares”.
5 38F = .“Untotalde38empresaslogróingresosmensualesmenoresde60 000dólares”.
3 0 45H ,= .“El45%deempresaslogróingresosmensualesmenoresque40 000dólares”.
c) Paradeterminarelporcentajedeempresasquepercibieron,porlome-nos,40 000dólaresdeingreso,seacumulanlasfrecuenciasrelativasdelos3últimosintervalos:
4 5 6 0 30 0 20 0 05 0 55h h h , , , ,+ + = + + =
Luego, el 55 % de empresas tuvo ingresos de, por lo menos, 40 000dólares.
d) Elhistogramaypolígonodefrecuenciascorrespondientesalatabla3.11sepresentanenelsiguientegráfico:
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 133
Gráfico 3.16 Distribución de empresas según sus ingresos mensuales
Ingreso mensual (miles de dólares)
5 10 20 30 40 50 60 70 75
14
12
10
8
6
4
2
0
4
6
8
12
8
2
Núm
ero
de e
mpr
esas
Elaboración propia
Laojivaparalatabla3.11,sepresentaacontinuación:
Gráfico 3.17 Distribución acumulada de empresas según sus ingresos mensuales
40
30
20
10
0
Núm
ero
de e
mpr
esas
10 20 30 40 50 60 70
Ingreso mensual (miles de dólares)
4
10
18
30
3840
Elaboración propia
Estadística básica para los nEgocios134
ejercicios y problemas propuestos 3
1. UnestudiodemercadorealizadoenLimaMetropolitanaendiciembredel2016recolectódatossobrelaspreferenciasdelosconsumidoresdecomidarápidarespectodediferentestiposderestaurantes.Losdatosrecolectadosde250consumidoresdecomidarápida,seleccionadosalazar,seresumie-ronenelsiguientegráfico:
Gráfico 3.18 Distribución de consumidores según preferencia por restaurante
40
30
20
10
0
Porc
enta
je d
e co
nsum
idor
es
Mac Donald’s Burger King Telepizza Chifa Pollería
Restaurante
18,415,2 14,4 14
38
Fuente: Estudio de mercado en Lima Metropolitana Elaboración propia
a) Describalossiguientestérminosenelproblema:
Unidad deanálisis
Defina lavariable
b) Elabore el cuadrodedistribuciónde frecuenciaspara losdatosde lamuestra.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 135
c) ¿QuéporcentajedeconsumidoresprefierenTelepizzaochifa?
2. Complete la tabladedistribuciónde frecuenciasyconstruya lasgráficasdesectorescircularesyeldiagramadebarrasconlosdatosdelsiguientecuadro:
Tabla 3.12 Distribución de unidades según el tipo de transporte
Tipo de transporte fi hi hi %
Aéreo 1
Ferroviario 4
Fluvial 6
Terrestre 9
Total 20
Elaboración propia
Estadística básica para los nEgocios136
3. LaCorporaciónLindley,empresasímbolodelmercadodegaseosasenelPerú,siempreestábuscandosatisfacerlacrecientedemandadelmercadonacional; por ello, aplicóuna encuesta a 300 clientesde los restaurantesmásconcurridosdeLimaMetropolitanaparaconocerlafrecuenciaconqueconsumensuproductoIncaKola,yseobtuvieronlossiguientesresultados:
Gráfico 3.19 Distribución de los clientes según la frecuencia de consumo de Inca Kola
Nunca10,0 %
Una vez por semana30,0 %Entre 3 y 4 veces
por semana20,0 %
Dos veces por semana40,0 %
Fuente: Estudio de la empresa Lindley
a) Describalavariabledeinteréseindiqueelniveldemedición.
Variable Niveldemedición
b) Elabore una tabla de frecuencias con la información presentada enelgráfico.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 137
4. Elnúmerodeoperacionesbancariasvirtualesquerealizan50clientesdeunbancoduranteunasemanavienedadoporlasiguienteserie:
2 5 2 2 3 2 1 1 1 2 2 4 1 1 3 3 1 2 4 1 3 2 2 1 35 3 4 3 4 5 1 3 4 3 5 3 2 1 3 5 5 2 3 2 2 3 3 3 2
Construyaunatabladefrecuenciasyungráficoestadísticoapropiado.
Estadística básica para los nEgocios138
5. Elsupervisordelasoperacionesdelecturaópticadetarjetasdesearealizarunestudiodecontroldecalidad.Seescogieroneinspeccionaronalazar50tarjetasdelecturaóptica,afindedetectarerroresdelectura.Elnúmerodeerroresobservadosportarjetaseregistranacontinuación:
7 3 9 8 3 5 10 5 7 63 4 7 8 6 6 9 3 5 98 6 10 6 4 3 9 7 9 610 9 8 5 6 9 5 8 10 89 5 6 7 6 4 5 3 5 6
Resuma los datos en una tabla de frecuencias y construya el gráfico correspondiente.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 139
6. EnunestudiorealizadoporlaempresaCementoaunamuestrade40clien-tesseleccionadosdeldistritodeLosOlivos,seindagósobrelosgastosquerealizaronencomprasdecemento(ensoles)yseobtuvieronlossiguientesresultados:
95 89 100 105 105 108 110 110 115 115132 118 135 135 138 140 140 145 148 149118 71 118 120 120 125 125 125 130 13260 124 75 78 80 80 85 88 88 90
a) Construir la tabla de distribución de frecuencias usando la regla deSturgesylosgráficosrespectivos.
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:
h3 =
F4 =
H5 – H2 =
5
3i
if
==∑
Estadística básica para los nEgocios140
c) ¿Cuántos clientes compraron cemento por un monto mínimo de 120soles?
7. Laempresade investigacióndemercadosAlphaDatumS.A. realizóunestudioparaevaluarlacaídadelaBolsadeValoresdeLima(BVL)enlasAdministradorasdeFondosdePensiones(AFP).Enesteestudio,setomóunamuestrade50afiliadosdeentre25y35añosseleccionadosalazaren Lima y se registraron los datos referentes a sus ingresosmensuales (encientosdesoles).
52,0 94,7 95,1 97,5 102,5 104,1 106,0 125,2 125,6 146,0
146,8 158,6 158,7 162,6 166,2 166,2 166,2 166,2 168,2 169,7
196,0 204,9 204,9 204,9 204,9 208,3 215,2 217,5 218,1 218,1
218,1 218,1 220,9 226,2 235,0 239,7 242,2 259,6 261,6 277,2
286,5 287,0 297,8 313,9 315,0 316,2 338,6 359,9 363,1 398,3
a) Use la regladeSturgesparaconstruir la tabladedistribuciónde fre-cuenciasdelingresomensualdelosafiliados.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 141
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:
3h =
4F =
5 3H H− =
4
2i
if
==∑
61 H− =
c) Construya el histograma de frecuencias, polígono de frecuencias ylaojivaquecorresponden.
Estadística básica para los nEgocios142
8. Lasiguientetablamuestraelpromedioponderadoacumulado(PPA)de80alumnosdelaUniversidaddeLima.
12,22 14,75 12,58 10,05 12,60 17,14 15,52 05,53 13,05 13,59
13,85 13,97 14,55 11,28 11,03 10,10 10,51 11,19 13,43 08,55
13,29 14,03 14,16 12,28 12,93 12,61 13,27 12,56 11,62 13,59
12,83 13,34 12,34 13,53 12,42 14,50 14,34 11,32 16,93 14,25
11,18 13,45 15,73 13,25 10,72 08,44 15,11 12,10 15,32 12,03
12,34 10,61 13,17 12,81 13,73 12,11 12,79 11,64 15,00 13,30
13,89 12,09 10,73 13,86 10,49 07,68 14,40 12,43 12,09 08,42
09,33 09,18 11,68 10,14 13,65 11,21 12,68 09,89 11,40 12,75
a) Construya la tabla de distribución de frecuencias y su histograma usandolaregladeSturges.
Variable
Rango
Númerodeintervalos
Amplitudoanchodelosintervalos
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 143
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:h3,H5 – H2:
3h =
5 2H H− =
c) ¿CuántosestudiantestienenunPPAmínimode13,83?
d) Calculeeinterpretelasiguienteexpresión:
53
53
i i i
i i
x ff
=
=
∑ =∑
9. FlavioBravo,asistentedelDepartamentodeFinanzasdePCyAccesoriosS.A.,haelaborado lasiguiente tablasobre ladistribuciónde losmontospagadosmensualmente, en soles, por los trabajadores de la empresa, enimpuestosdequintacategoría:
Tabla 3.13 Distribución de trabajadores según el pago de impuestos de quinta categoría
Pagos xi fi Fi hi Hi
[150; ) 4
[250; ) 24
[ ; ) 30
[ ; ) 72
[ ; ) 8 80
Total --- ---
Fuente: Departamento de Finanzas de PC y Accesorios S. A.
Estadística básica para los nEgocios144
a) Completelaanteriortabladefrecuencias.
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:
F4 – f1 =
H4 – H2 =
c) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores cuyos pagos son menores que350soles?
d) ¿Cuál es el porcentaje de trabajadores que hicieron un pagomínimo de450soles?
e) ¿Cuál es elmonto totalmensual por el pagode impuestos de quinta categoríaquesepagaenlaempresa?
10. Lasnotasen laprimeraprácticacalificadade120alumnosque llevanelcursodeEstadísticaGeneralsonpresentadasenlasiguientetabla:
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 145
Tabla 3.14 Distribución de alumnos de Estadística General según sus calificaciones
Calificaciones xi fi hi Fi Hi
[ ; ) 0,15
[6; 9) 0,45
[ ; ) 0,70
[ ; )
[ ; ) 0,10
Total
Fuente: Datos ficticios
a) Completelatabladedistribucióndefrecuenciasanterior.
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:
F5 – f1 =
H4 –H2 =
c) ¿Cuáleselporcentajedealumnoscuyasnotassonmenoresque15?
d) ¿Cuáleselporcentajedealumnosquetienenunacalificaciónmínima de12?
e) ¿Cuáleselporcentajedealumnoscuyasnotasestánentre6y15?
Estadística básica para los nEgocios146
11. La oficina comercial de una empresa distribuidora de computadoras haevaluadolacapacidaddeventas(ensoles)desusdossucursales(AyB).Setomóinformacióndelasventasrealizadaselmespasadoporcadasucursal.Losdatosdelasventasrealizadaalosclientesdecadasucursalsepresentan en la siguiente tabla de frecuencia agrupada en intervalos de amplitudconstante:
Tabla 3.15 Distribución de las ventas en las sucursales A y B de la empresa
Sucursal A Sucursal B
Venta xi fi Fi Venta xi fi Fi
[ ; ) 30 [ ; ) 32
[ ; ) 80 [ ; ) 3800 48
[3600; ) 85 [ ; ) 128
[ ; ) 260 [ ; ) 72
[ ; ) 4600 [ ; ) 296
[ ; ) 45 380 [ ; )
[ ; ) [ ; 6000) 20 320
Total --- 400 --- Total --- ---
Fuente: Registro de ventas de la empresa
a) Completelastablasanteriores.
b) ¿Acuántoasciendelaventatotaldelaempresaenelmespasado?
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 147
c) LasucursalAtienequepagaralmunicipiounimpuestodel4,5%delasventasrealizadas,mientrasquelasucursalB,soloel2,5%delasventasrealizadas.
¿Cuánto fue el impuesto municipal total pagado por la empresa el mespasado?
d) ¿Cuál de las 2 sucursales pagó más impuestos municipales el mes pasado?
Estadística básica para los nEgocios148
12. Enunestudiorealizadoporunanalistadenegociossehaevaluado,entreotrasvariables,elgastodiario(ensoles)yelnúmerodevisitassemanalesdeclientesensuscuatrotiendascomerciales.Losdatoscaptadosdeunamuestraaleatoriadeclientesfueronlossiguientes:
Cliente Gasto Tienda Visitas Cliente Gasto Tienda Visitas1 30 C 4 26 128 D 32 48 C 3 27 128 D 23 56 C 2 28 132 D 24 61 C 1 29 135 A 15 72 C 2 30 136 A 36 82 C 2 31 141 A 37 83 D 2 32 144 A 48 84 D 3 33 147 A 49 87 D 3 34 149 A 410 91 D 2 35 153 A 311 93 D 1 36 153 B 212 97 D 2 37 155 B 113 97 D 3 38 156 B 214 98 D 4 39 158 B 215 100 D 3 40 161 B 216 103 D 2 41 163 B 117 104 D 2 42 163 C 218 113 D 4 43 164 C 219 115 A 1 44 166 C 420 120 D 2 45 170 C 321 121 D 1 46 174 C 222 122 D 2 47 176 C 123 127 A 2 48 177 C 124 128 A 2 49 182 C 225 128 D 3 50 183 C 3
Respondalassiguientespreguntas:
a) ¿Cuáleslapoblaciónylamuestradeestudio?
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 149
b) Definaunestadígrafoparalavariable“tiendaquevisitaelcliente”.
c) Definaunparámetroparalavariable“númerodevisitassemanales”.
d) Paralosdatosdelavariable“tiendaquevisitaelcliente”,construyalatabladedistribuciónde frecuenciasysugráficodebarrasysectorescirculares.
Estadística básica para los nEgocios150
e) Paralosdatosdelavariable“gastodiario”,construyalatabladedistri-bucióndefrecuenciasysusgráficosrespectivos.
f) Apartirdelatablaanterior,respondalosiguiente:
Calculeeinterprete.
H4 –H2
Calculeeinterprete.5 5
2 4i i
i if f
= =−∑ ∑
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 151
g) Paralosdatosdelavariable“númerodevisitas”,construyalatabladedistribucióndefrecuenciasysurespectivográfico.
Estadística básica para los nEgocios152
13. Elgastocalórico(caloríasquemadas)poractividadfísicade240personasseresumióenelsiguientegráfico:
Gráfico 3.20 Distribución porcentual acumulada de personas según gasto calórico
100
80
60
40
20
0
Porc
enta
je a
cum
ulad
o
1500 1900 2300 2700 3100 3500
Gasto calórico
30
67,5
87,5
98,75 100
Elaboración propia
a) Construyalatabladefrecuencias.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 153
b) Calculeeinterpretelassiguientesfrecuencias:
2f =
3H =
F3 – f1
3
2i
ih
==∑
14. Acontinuación,sepresentaladistribucióndelossueldosdelostrabajado-resdelaempresaAAAysucategorizaciónlaboral.
Gráfico 3.21 Distribución de los sueldos de los trabajadores de la
empresa AAA
Fuente: Planilla de la empresa AAA
Gráfico 3.22 Distribución de los trabajadores de la empresa AAA
por categoría laboral
Obreros54,0 %
Ejecutivos16,0 %
Empleados30,0 %
Fuente: Planilla de la empresa AAA
a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasparalavariable“suel-dosdelostrabajadoresdelaempresaAAA”.
84
46
58
2216 13 11
Sueldo (soles)
500 1500 2500 3500 4500 5500 6500 7500
Núm
ero
de tr
abaj
ador
es
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Estadística básica para los nEgocios154
b) Construyaelpolígonodefrecuenciaylaojivaparalavariable“sueldosdelostrabajadoresdelaempresaAAA”.
c) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasyelgráficodebarrasparalavariable“categoríalaboral”.
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 155
15. Enunaempresaseregistrólaproduccióndiaria(entoneladas)delaplantaprincipalduranteunperiodolargodedías.Losdatosdiariosregistradosfueronorganizadosenunatabladefrecuenciascon6intervalosdeigualamplitud,donde la amplitud es 4A .= A continuación, sepresentan losdatosresumidosenunatabladefrecuenciasconalgunosresultados:
Tabla 3.16 Distribución de la producción diaria de la empresa
Producción (en t) xi fi Fi hi Hi
[;) 0,10
[;) 30
[;)
[;) 0,800
[;) 0,925
[;) 9
Total
Además,sesabeque:– La producción total en todo el periodo fue aproximadamente 3564t, esdecir:
6
13564i i
ix f
==∑
– 3 43 2 18f f− = Completelatabladedistribucióndefrecuencias.
Estadística básica para los nEgocios156
16. Acontinuación,sepresentanlascalificacionesdeunexamendeCienciasSocialesde50alumnosdelprimerciclo.Lacalificaciónmásbajaes“insu-ficiente”(desaprobado),lesigue“suficiente”,luego“notable”ylamásaltacalificaciónes“sobresaliente”.Losdatosrecolectadossonlossiguientes:
1 1 3 2 3 4 4 4 2 42 1 3 1 2 3 4 3 2 33 2 3 1 2 3 4 4 3 32 1 3 2 2 3 4 3 3 31 2 3 2 2 3 4 4 3 3
Insuficiente(1),suficiente(2),notable(3),sobresaliente(4)
a) Resumalosdatosenunatabladedistribucióndefrecuencias.
b) ¿Cuántosalumnossacaronunanotainferiora“notable”?
c) ¿Quéporcentajedealumnosaprobaronelexamen?
Capítulo 3. téCniCas de proCesamiento y presentaCión de datos 157
17. Serealizaunaencuestaanclientesyserecogendatossobreelgastosema-nal(lunesaviernes)enalmuerzo(ensoles).Losdatosrecolectadosfueronagrupadosenunatabladefrecuenciascon6intervalosdeigualamplitud,quesepresentaacontinuación:
Tabla 3.17 Distribución de clientes según sus gastos semanales en almuerzo
Gasto semanal xi fi Fi hi Hi
[;) 0,10 0,10
[;)
[;) 24
[;) 0,25
[;)
[;)
Total
Además,seconocenlassiguientesrelaciones:
1 5 5 6 3 6 30 15 6 10f f h h f f x n , = + = = = −
6
1192i
ix
==∑ (sumademarcasdeclase)
Completelatablaanterior.
18. PeruvianAirlinesesunaaerolíneaconmásde10añosenelPerú.Elgerentedemarketingdesearealizarunestudiosobreelpesodelasmaletas(enki-logramos)quevanenlabodegadelavión.Paraello,seleccionóalazarunamuestrade50pasajerosqueviajarondurantelasemanaanterioryrecolectólossiguientesdatos:
18,7 18,8 18,9 19,1 19,4 19,7 19,8 19,9 20,0 20,0
20,1 20,3 20,3 20,4 20,4 20,5 20,7 20,7 20,8 20,8
20,8 21,0 21,1 21,1 21,2 21,3 21,6 21,7 21,7 22,2
22,2 22,2 22,2 22,2 22,3 22,3 22,4 22,6 22,7 22,7
22,8 22,9 22,9 23,0 23,1 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5
Estadística básica para los nEgocios158
a) Construyalatabladedistribucióndefrecuenciasusando7intervalos.
b) Construyaelhistogramaypolígonodefrecuencias.
Lasmedidasestadísticasreducenencifrassignificativaselconjuntodeobservacionesdeunavariableydescribenconellascier-tascaracterísticasdelosdatosparalograrunacomparaciónmásprecisaquelaquesepuedeconseguircontablasygráficas.Enesesentido,puedenexaminarsevariascaracterísticasdelosdatos,siendolasmáscomunes:latendenciacentraldelosdatos,la dispersión o variación con respecto alcentro, losdatosqueocupanciertasposi-ciones,lasimetríadelosdatosylaformaenquelosdatosseagrupan.
SabesCapacidadesadquiridas
9 Organizaryresumirlosdatosentablasdedistribucióndefrecuenciasygráficosestadísticos.
9 Reconocer los niveles de medición de lasvariablesysuclasificaciónsegúnsunaturaleza.
PiensasCompetenciasporlograr
9 Identificarlamedidaestadísticaqueme-jorrepresenteaunconjuntodedatos.
9 Comparardiferentesgruposdedatosdeunamismavariableutilizandomedidasestadísticas.
HacesHabilidadespordesarrollar
9 Realizarelanálisisdescriptivodedatosenelcampodelosnegocios.
9 Utilizar la estadística descriptiva ade-cuadaparacuantificarunproblemadeinvestigacióncomercial.
Contenido
1. Definiciónyclasificacióndelasme-didasestadísticas.
2. Medidas estadísticas de centraliza-ciónyposición.
3. Medidasestadísticasdedispersiónovariabilidad.
4. Medidasestadísticasdeasimetría.5. Gráficosparaelanálisisexploratoriodedatos(AED).
Medidas estadísticasde resumen
Capítulo
4
Estadística básica para los nEgocios160
¿La edad del parlamentario peruano es importante para el elector? Las medidas estadísticas la describen
Elperfildelparlamentarioperuano2016entérminosestadísticoseselsiguiente:
• Elcongresistademenoredadtiene26añosyeldemayoredadtiene73años;estogeneraunaamplitudtotalde47años.
• Laedadpromedioes49años.• El50%decongresistastienenedadespordebajode48años.• Elcuartoinferiordeedadesdeloscongresistasestápordebajode42,5añosyelcuartosuperiorporencimade57,5años;estogeneraunaamplituddel50%centraldeedadesiguala15años.
• Lasedadesdeloscongresistastienenaltavariación;suvariabi-lidadllegaal93,8%.
• Ladistribucióndelasedadesdeloscongresistasesasimétricapositiva;esdecir,hayunsesgodeedadesaladerechacausadaporlapresenciadecongresistasconedadesmuyaltas.
Ladescripcióndelaedaddelparlamentarioperuanosepudorea-lizarutilizandomedidasestadísticasderesumen,comoelpromedio,mediana,cuartiles,coeficientedevariación,coeficientedeasimetría.Además,sepuedeutilizargráficosparaelanálisisexploratoriodeda-tos,comoeldiagramadecajaybigotesytallosyhojas.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 161
1. Definición y clasificación De las meDiDas estaDísticas
1.1 Definición
Lasmedidasestadísticassonaquellasquepermitenresumirinformacióndeunamuestraopoblaciónytienenporobjetoconseguirunvalorqueresumaensítodaslasmediciones.Estasmedidasaplicadasalascaracterísticasdelasunidadesdeunamuestrasedenominanestadísticosoestadígrafos;mientrasquelasaplicadasapoblacionesselesdenominaparámetrosovaloresestadísticosdelapoblación.
1.2 Clasificación de las medidas estadísticas
Lasmedidas estadísticas se clasificanenmedidasde centralizaciónode ten-denciacentral,deposiciónolocalización,dedispersiónydeasimetría,comoseobservaenlafigura4.1.
2. meDiDas estaDísticas De centralización y posición
Estasmedidasseubicanenelcentrodeladistribucióndelosdatos,proporcio-nanunadistribucióndefrecuenciasa travésdeunvalorquesepuedetomarcomorepresentativodetodos losdatos.Haydiferentesformasparadefinirel“valorcentral”de lasobservacionesenunconjuntodedatos.Otrassesitúanal ladoderechooizquierdodelcentrodelosdatosyseles llamamedidasdeposición.Entrelasprincipalesmedidasdetendenciacentralseencuentran: – Mediaaritmética – Mediana – Moda – Mediageométrica
Estadística básica para los nEgocios162
Figura 4.1 Clasificación de las medidas estadísticas
2.1 Media aritmética X( )
Lamediaaritmética,opromedioaritmético,sedefinecomolasumadelosvalo-resobservadosdeunavariablecuantitativa(discretaocontinua),divididaporelnúmerototaldelasobservaciones.Sesimbolizaconuna X yselee“equisbarra”.Demanera formal, sediceque, si 1 2 nx x x, , ,… sonn observacionesnuméricasdelavariableenestudio,entonceslamediaaritméticaopromediodeestasnobservacionesseexpresacomo:
1 2 3 4
1
1 nni
i
x x x x xX x
n n...
=
+ + + + += = ∑
En estadística, esta media o promedio se llama media muestral, ya que
su cálculo proviene precisamente de una muestra de n observaciones de unamuestra.
Observaciones
1. Cuandolasobservacionesdelavariableenestudiocorrespondenalosda-tosdeunapoblacióndetamañoN (Nelementosconformanlapoblación),entonces lamediaaritméticasedenominamediapoblacional (denotadoporµ ),lacualconstituyeunparámetroquesedefinecomo:
1 2 3 4
1
1 NNi
i
x x x x xx
N N...
=
+ + + + +µ = = ∑
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 163
2. Enlosejemplosyejerciciosqueresolvemosenestetexto,porlogeneraltrabajamoscondatosobservadosenunamuestra,porlotantousaremoslamediaaritméticaX.
Ejemplo 4.1Elgerentedeuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadoradeseaconocerlacomisiónpromedioqueganócadaagenteenlasemanaanterior,paratalfinseleccionóunamuestrade25agentes,aquienesselespreguntóporelmonto(X).Losdatosrecolectadosensolesson:
300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300
Lamediaaritméticaes:25
1
1 300 420 230 300 6230 249 2025 25i
iX x
n,
=
+ +…+ += = = =∑
Seinterpretacomo:“Lacomisiónpromedioganadaporcadaagentedeventa,lasemanapasada,fue249,20soles”.
2.1.1 Propiedades de la media aritmética
a) SiX = cdonde“c”esunaconstante,entonces:X c=
Esdecir,sitodoslosdatostienenelvalorc,lamediatambiénesc
b) Si aX b= ±Y dondeaybsonconstantesyX e Ysonvariables,entonces:
aX b= ±Y
Ejemplo 4.2UnaimportantetiendadeventadeartefactoseléctricosofertótelevisoresLEDde32pulgadas(entreSmartTVyconvencionales),alossiguientesprecios:
Marca Samsung Sony Samsung Sony Panasonic Sony LG AOC Daewoo ReccoPrecio(soles) 1999 1399 1299 1299 1199 999 999 699 699 499
ElpreciopromedioofertadoporTVLEDde32pulgadases:
10
1
1 1199 1399 699 499 11090 110910 10 10i
iX x
=
+ +…+ += = = =∑
Siunasemanadespuésdelaoferta,laadministracióncreyóconvenientein-crementarlospreciosen8%,másuncostofijode10solesporreordenamiento
Estadística básica para los nEgocios164
enalmacenes,elnuevopreciodeunTVLEDde32pulgadases 1 08 10X,= +Y yelnuevopreciopromedioporTVLEDde32pulgadases:
1 08 10 1 08 1109 10 1207 72X, , ( ) ,= + = + =Y
2.1.2 Cálculo de la media aritmética con datos agrupados en una tabla de frecuencias
Cuando los n datos observados han sido agrupados y organizados en una tabladefrecuencia,elcálculodelamediaaritméticaserealizaconlasiguientefórmula:
1 1 2 2
1
1 kk k
i ii
x f x f x fX x f
n n
=
+ +…+= = ∑
Donde:k=eselnúmerodeclasesquetienelatablaxi=valordeXenlaclaseidelatablafi=frecuenciaabsolutasimpledelaclasei
Ejemplo 4.3Seevaluóauntotalde56pymes,conunaantigüedadnomayorde5añosrespectoasuexperienciaenelsectordeconfeccionesdepolos.Latabladefrecuenciasparaañosdeexperienciasepresentaacontinuación:
Tabla 4.1 Distribución de pymes según años de experiencia
Años de experienciaxi
Cantidad de pymes fi
0 41 162 123 104 85 6
Total 56
Elaboración propia
6
1
1 0 4 1 16 2 12 3 10 4 8 5 6 132 2 3656 56 56i i
iX x f ,
=
× + × + × + × + × + ×= = = =∑
Enpromedio, laexperienciade laspymesenconfeccióndepolosesde2,36años(o2añosy4meses,aproximadamente).
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 165
Ejemplo 4.4Untotalde40alumnosdeuncolegiodesecundariafueronseleccionadosparaqueintegrenelequipodebásquetbol.Paraesto,eltécnicodelequipotomómedi-dasdesusestaturas,apuntólosdatosaproximandoencentímetrosylosagrupóporintervalosenunatabladefrecuencia,comosemuestraacontinuación.
Tabla 4.2 Distribución de alumnos según su estatura
Estatura (cm) Marca de clase xi
Cantidad de alumnosfi
[145; 150) 147,5 3[150; 155) 152,5 10[155; 160) 157,5 16[160; 165) 162,5 7[165; 170) 167,5 4
Total --- 40
Fuente: Registros del colegio
Sobrelabasedelasmedidas,eltécnicodeseaconocerelpromediodeesta-turaporalumno,porloqueserequierecalcularxi fi
Estatura (cm) xi fi xi fi
[145; 150) 147,5 3 442,5[150; 155) 152,5 10 1 525,0[155; 160) 157,5 16 2 520,0[160; 165) 162,5 7 1 137,5[165; 170) 167,5 4 670,0
Total --- 40 6 295,0
3 147 5 10 152 5 4 167 5 6295 157 3840 40
X , , , ,× + × +…+ ×= = =
Laestaturapromedioporalumnoseleccionadoparaelequipodebásquet-boles157,38centímetros.
2.1.3 Media ponderada
Sedicequesix1, x2, ..., xn sonnobservacionesnuméricasdelavariableenestudioX,cuyospesosoponderacionessonp1, p2, ..., pnentonceslamediaopromedioponderadodeestasnobservacionesseexpresacomo:
1 1 2 2 1
1 2 1
ni in n i
nn ii
x px p x p x pX
p p p p =
=
+ +…+= =
+ +…+∑∑
Estadística básica para los nEgocios166
Observaciones
Enalgunoscasosserequieredeterminarelpromediogeneraldekgruposysedisponedelamediaporcadagrupo 1 2 kx x x( , , ..., ) , entoncesseaplicaelpro-medioponderadoutilizandocomopesos la cantidaddedatosde cadagrupo (n1,n2,...,nk);esdecir:
1 1 2 2
1 2
k k
k
x n x n x nX
n n n + +…+
=+ +…+
Aestepromedioseledenominamediademedias.
Ejemplo 4.5Unartículoparaelhogarsevendeentresestablecimientosdeunaciudad.Segúnlaubicacióndelestablecimiento,elpreciodeventa(ensoles)varíapa-raelconsumidor.Acontinuaciónsepresentaelpreciodeventaylacantidaddeartículosvendidos:
Tabla 4.3 Precio y cantidad de venta por establecimiento
Establecimiento Precio por artículoxi
Cantidad vendidapi
1 12,50 15002 14,00 12003 15,50 1300
Total --- 4000
Elpreciopromediodeventaporartículosecalculadeestamanera:
Establecimiento xi pi xi pi
1 12,50 1500 18 7502 14,00 1200 16 8003 15,50 1300 20 150
Total --- 4000 55 700
55 70012 5 1500 14 1200 15 5 1300 13 931500 1200 1300 4000
X , , ,× + × + ×= = =
+ +
2.2 Mediana (Me)
Sienunconjuntodedatos,uno,dosomásvaloressonmuygrandesomuype-queños(datosatípicos),lamediaaritméticayanoesrepresentativadelconjunto.Unamedidadetendenciacentraladecuadaparadescribirlaeslamediana.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 167
Lamedianaeselvalordelaobservaciónqueestájustoenlamitaddelosda-tosordenados,dejandolamismacantidaddeobservacionesaladerechayalaizquierdadeella.Lamediananoestáafectadaporlosvaloresextremosy,portanto,esunamedidadetendenciacentralmásresistentequelamediaaritméti-ca.SedenotacomoMe.
Figura 4.2 Representación gráfica de la mediana
Datos ordenados
50 %de datos
50 %de datos
MIN Me MAX
2.2.1 Cálculo de la mediana con datos no agrupados
1.Ordenarlosdatosdemenoramayor.2.Determinarelvalorcentraldelconjuntodedatosordenados.– Sinesimpar,lamedianaeselvalordeXqueocupalaposición 1
2n + .
– Sinespar,lamedianaeselpromediodelosvaloresdeXqueocupan laposición 1
2 2n ny +
Esdecir:
12
12 2
2
n
n n
x n
Mex x
n
; si esimpar
;si espar
+
+
= +
Ejemplo 4.6Acontinuaciónsemuestranlostiemposdeespera(enminutos)de13clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14 22 6
Calculamoslamedianaeinterpretamoselvalorhallado.1. Losdatosordenadosdemenoramayorson:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)
6 8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20 22
Estadística básica para los nEgocios168
2.SedeterminaelvalorcentraldeX,queocupalaposición13 1 72+
= .
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)
6 8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20 22
( )7 13Me x= =
Lainterpretacióndelamedianaresultanteesesta:el50%declienteses-peranmenosde13minutosparaseratendidosporventanilla.
Ejemplo 4.7Los precios de alquiler-venta mensual de departamentos de 65 metros cuadradosen10distritosdeLimaMetropolitana,sonlossiguientes:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Distrito JesúsMaría
LaMolina Lince Magdalena Miraflores Pueblo
LibreSanBorja
SanIsidro
SanMiguel Surco
Precio(soles)
1558 1460 1469 1422 2081 1407 1745 2207 1223 1654
Calculamoslamedianaeinterpretamoselvalorhallado.1. Losdatosordenadosdemenoramayorson:
Posición x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)
Distrito SanMiguel
PuebloLibre Magdalena La
Molina Lince JesúsMaría Surco San
Borja Miraflores SanIsidro
Precio(soles) 1223 1407 1422 1460 1469 1558 1654 1745 2081 2207
2. Se determinan los dos valores centrales; es decir, los valores deX que
ocupanlasposiciones10 52= y10 1 6
2+ = .Sepromediaestosdosvalores,
elresultadoeslamediana.
Posición x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)
Distrito SanMiguel
PuebloLibre Magdalena La
Molina Lince JesúsMaría Surco San
Borja Miraflores SanIsidro
Precio(soles) 1223 1407 1422 1460 1469 1558 1654 1745 2081 2207
( ) ( )5 6 1469 1558 1513 52 2
x xMe ,
+ += = =
6 observaciones a la izquierda 6 observaciones a la derecha
4 observaciones a la izquierda 4 observaciones a la derecha
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 169
Lainterpretacióndelamediana 1513 5Me ,= señalaqueenel50%delosdistritosenestudio,elpreciodeventa-alquilerdelosdepartamentosesinferiora1513,5soles.
2.2.2 Cálculo de la mediana con datos agrupados (tabulados sin intervalos)
1. Seresumenlosdatosenlatabladefrecuencia:
xi fi Fi
x1 f1 F1
x2 f2 F2
. . .
. . .xi–1 fi–1 Fi–1
xi fi Fi. . .. . .
xk fk Fk = n
Total n ---
2. Secalcula2n .
i) Si2n nocoincideconalgúnvalordelasfrecuenciasacumuladas,este
estaráposicionadoentre2frecuenciasacumuladas:
1 2− < <i i
nF F
Entonces, lamedianaes elvalorde X que correspondea la fre-cuenciaacumulada iF ;esdecir:
iMe x=
ii) Si2n coincide con algún valor de las frecuencias acumuladas, este
estaráposicionadoentre2frecuenciasacumuladas:
1 2i i
nF F− = <
Luego,lamedianaestádadapor:
1
2i ix x
Me − +=
Estadística básica para los nEgocios170
Ejemplo 4.8EnunainvestigaciónrealizadaalossuscriptoresdelarevistaCosassehizolasiguientepregunta:“delosúltimosnúmerospublicados¿cuántoshaleídousted?”.Lasrespuestasde500suscriptoresseresumenenlasiguientetabla.
Tabla 4.4 Distribución de suscriptores según número de revistas leídas
Números leídosxi
Número de suscriptoresfi
0 151 102 403 854 350
Calculamoseinterpretamoslamediana.
1. Alcalcularlasfrecuenciasacumuladasseobtienelatablasiguiente:
xi fi Fi
0 15 151 10 252 40 653 85 1504 350 500
Total 500 ---
2. Secalcula 500 2502
= .Elvalor250seencuentraentre2frecuenciasacumu-
ladasdelatabla, 4 150F = y 5 500F = :
4 5250F F< <
Entonces,lamedianaeselvalordeXquecorrespondealafrecuenciaacumulada 5F :
5 4Me x= =
2.2.3 Cálculo de la mediana con datos agrupados (tabulados con intervalos)
1. Calcular2n
eidentificarlaclasemedianaquecontienealamediana(inter-
valocuyafrecuenciaabsolutaacumuladasuperaporprimeraveza2n ).
2. Calcularlamedianamediantelafórmula
12 i
i
n FMe Li A
f
−
− = +
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 171
Donde: n=númerodedatos Li=límiteinferiordelaclasemediana
Fi–1=frecuenciaabsolutaacumuladadelintervaloanterioralaclasemediana fi=frecuenciaabsolutasimpledelaclasemediana A=amplitudoanchodelaclasemediana
Ejemplo 4.9SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritosolicitaronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.
Tabla 4.5 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Calculamoseinterpretamoslamediana.
1. Secalcula 450 2252 2n= = .Paradeterminarlaclasemedianaseubicala
primerafrecuenciaacumuladaquesuperaa225,lacualresulta 2 233F = ,entonceslaclasemedianaeselsegundointervalo.
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71Clasemediana [68; 73) 162 233
[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83, 88) 47 450Total 450 ---
2. Luego,lamedianaes:
225 7168 5 72 75162
Me , − = + =
El50%delostrabajadoressejubilaantesdelos72,75años.
Estadística básica para los nEgocios172
2.3 Moda o valor modal (Mo)
Eselvalordelaobservaciónqueaparececonmásfrecuencia;esdecir,elvalormásrepetidoenunconjuntodedatos.Lamodapuedecalcularseparavariablescuantitativasycualitativas.Enelcasodevariablescualitativas,esútilparaiden-tificarcategoríasmásfrecuentes,yaseaenescalanominaluordinal.LamodasedenotaconMo.Lamodatambiéntienelaventajadenoverseafectadaporvaloresmuyaltos
omuypequeños;sinembargo,tienealgunasdesventajasquehacenqueseutili-ceconmenosfrecuenciaquelamediaolamediana.Estasdesventajasson:• Paramuchosconjuntosdedatosnoexistevalormodaloningúnnúmeroaparecemásdeunavez.
• Paraalgunosconjuntosdedatospuedeexistirmásdeunamoda,locualdificultasuinterpretación.– Datosconunamodaselellama“distribuciónunimodal”– Datoscondosmodasselellama“distribuciónbimodal”– Datoscontresomásmodasselellama“distribuciónmultimodal”
2.3.1 Cálculo de la moda con datos no agrupados
Noserequiereelusodefórmula,lamodavieneaserelvalordelavariablequemásserepite.
Ejemplo 4.10Acontinuación,sepresentalostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14
Paracalcularlamodadeestosdatos,soloobservamoselvalorquemásserepite.Elvalor15eselquemásserepite,aparecedosveces,losotrosvaloresnoserepiten;entonces,lamodaes 15Mo .=
2.3.2 Cálculo de la moda con datos agrupados (tabulados con intervalos)
1. Identificarlaclasemodal(intervalocuyafrecuenciaabsolutasimpleeslamásgrande).
2. Calcularlamodaconlafórmula:
10
1 2
dM Li A
d d
= + +
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 173
Donde:
n = númerodedatos iL = límiteinferiordelaclasemodal
1 1Mo Mod f f −= −
2 1Mo Mod f f += −
Mof = frecuenciaabsolutasimpledelaclasemodal
1Mof − = frecuenciaabsolutasimpledelaclasepremodal(anterioralaclasemodal)
1Mof + = frecuenciaabsolutasimpledelaclaseposmodal(posteriorala clasemodal) A = amplitudolongituddelaclasemodal
Ejemplo 4.11SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritopidieronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.
Tabla 4.6 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Calculamoseinterpretamoslamoda.
1.°Se identifica la clasemodal (intervalo cuya frecuencia absoluta simple es la más grande), premodal y posmodal, tal como se observa en la siguientetabla:
Edad fi Fi
Clasepremodal [63; 68) 71 71
Clasemodal [68; 73) 162 233
Claseposmodal [73; 78) 91 324
[78; 83) 79 403
[83; 88) 47 450
Total 450 ---
Estadística básica para los nEgocios174
Entonces:
1 1 162 71 91Mo Mod f f −= − = − =
2 1 162 91 71Mo Mod f f += − = − =
2. Secalculalamodaconlasiguientefórmula:
0
9168 5 70 8191 71
M , = + = +
Laedaddejubilaciónmásfrecuentees,aproximadamente,70,81años.
2.4 Comparación entre la media aritmética, la mediana y la moda
Enfuncióndesusimetríaoasimetríaendistribucionesunimodales,severificanlassiguientesformasdedistribucióndelosdatos:
• Distribuciónsimétrica:cuandoladistribucióntienelamismaformaaam-bosladosdelcentro.Valedecir,sielpolígonodefrecuenciasedoblaporlamitad,lasdosmitadesseríanidénticas.Enunadistribuciónsimétrica,lamoda,medianaymediasoniguales.
Gráfico 4.1 Distribución simétrica
• Distribuciónconasimetríapositiva:esaquelladondelarelaciónentrelasmedidasdetendenciacentralesdelaformaMo Me X< < . Enunadistri-buciónconasimetríapositiva,lamediaaritméticasesesgaaladerecha.
X Me Mo= =
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 175
Gráfico 4.2 Distribución asimétrica positiva
• Distribuciónconasimetríanegativa:esaquelladondelarelaciónentrelasmedidasdetendenciacentralesdelaformaX Me Mo< < . Enunadistri-buciónconasimetríanegativa,lamediaaritméticasesesgaalaizquierda.
Gráfico 4.3 Distribución asimétrica negativa
Delastresmedidasdetendenciacentral,lamediaaritméticasueleserusadaconfrecuencia,quizáporlafacilidaddesucálculoapesardequeenmuchasoca-sioneslamedianaylamodaresultansermásrepresentativas.Cuandoelgradodeasimetríadeunadistribuciónesfuerte,lamediaaritméticanoesunpromediorepresentativodelosdatos,enestecasoespreferibleusarlamedianaolamoda.
Ejemplo 4.12SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritosolicitaronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla.
X Me Mo< <
Mo Me X< <
Estadística básica para los nEgocios176
Tabla 4.7 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Losvaloresdelamedia,medianaymodason: 74 04X , = 72 75eM , =
0 70 81M ,=
Gráfico 4.4 Distribución asimétrica positiva
70,81Moda
72,75Mediana
74,04Media
50 %
50 %
2.5 Cuantiles
Sonmedidasestadísticasdeposiciónquedividenalconjuntodedatosordena-dosenvariaspartesiguales(enintervalos),quecomprendenelmismonúmerodedatos.Entreloscuantilesconocidosseencuentran:
• Lamediana,quedividealconjuntodedatosordenadosen2partesiguales.• Los cuartiles, que dividen al conjunto de datos ordenados en 4 partesiguales.
• Los quintiles, que dividen al conjunto de datos ordenados en 5 partesiguales.
En este gráfico observamos que los datos presentan asime-tría positiva; es decir, menos de la mitad de los trabajadores se jubilan a una edad por encima del promedio. También se ob-serva que el mayor número de trabajadores se jubilan a los 70 o más años de edad.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 177
• Losdeciles,quedividenalconjuntodedatosordenadosen10partesiguales.• Lospercentiles,quedividenalconjuntodedatosordenadosen100partesiguales.
2.6 Cuartiles (Qk )
Son3valoresquedividenalconjuntodedatosordenadosen4partesiguales.Cadaparterepresentael25%deltotal(uncuarto).Sedenotancon:
1Q =primercuartilocuartilinferior
2Q =Me=segundocuartilocuartilmedio
3Q =tercercuartilocuartilsuperior
Enlafigura4.3sepresentanloscuartilesyloscuartosordenadosdemenoramayor.
Figura 4.3 Representación gráfica de cuartiles y cuartos
Cuarto inferior25 %
Cuarto medio inferior25 %
Cuarto medio superior25 %
Cuarto superior25 %
Min Q1 Q2 = Me Q3 Max
2.6.1 Cálculo de cuartiles con datos no agrupados
1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:
14
nW +=
y=laparteenteradeW z=lapartedecimalofraccionariadeW
( ) ( ) ( )1 1y y yQ x z x x+ = + −
3. ParacalculareltercercuartilQ3serealizanlossiguientescálculos:
134
nW + =
y=laparteenteradeW z=lapartedecimalofraccionariadeW
( ) ( ) ( )3 1+ = + − y y yQ x z x x
Estadística básica para los nEgocios178
Ejemplo 4.13Acontinuaciónsepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14
1. Alordenarlosdatos,seobtiene:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)
8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20
2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:
11 1 3 0
4W ,+
= =
y =laparteenteradeW = 3 z =lapartedecimaldeW=0,0
( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 3 30 0 10Q x x x x, = + − = =
3. Paracalculareltercercuartil 3Q serealizanlossiguientescálculos:
11 13 9 04
W , + = =
y=laparteenteradeW=9 z=lapartedecimaldeW=0,0
( ) ( ) ( ) ( )3 9 10 9 90 0 15Q x x x x, = + − = =
Ejemplo 4.14Ahorasepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de13clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14 17 11
1. Alordenarlosdatosseobtiene:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13)
8 9 10 11 11 12 13 14 15 15 17 18 20
4kn
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 179
2. Paracalcularelprimercuartil 1Q serealizanlossiguientescálculos:
13 1 3 5
4W ,+
= =
y=laparteenteradeW = 3 z=lapartedecimaldeW=0,5
( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 30 5 10 0 5 11 10 10 5Q x x x, , , = + − = + − =
3. Paracalculareltercercuartil 3Q serealizanlossiguientescálculos:
13 13 10 54
W , + = =
y=laparteenteradeW=10 z=lapartedecimaldeW=0.5
( ) ( ) ( ) ( )3 10 11 100 5 15 0 5 17 15 16Q x x x, , = + − = + − =
2.6.2 Cálculo de cuartiles con datos agrupados (tabulados con intervalos)
1. Alcalcular4kn se identificalaclasecuartilk,dondek = 1,2,3.Laclase
cuartilk eselintervalocuyafrecuenciaabsolutaacumuladaeslaprimera
quesuperaa4kn .
2. Secalculanloscuartilesconlafórmula
14 1 2 3i
k i
kn FQ L A k
fi
; , ,
−
− = + =
Donde: =n númerodedatos =iL límiteinferiordelaclasecuartil k
1 − =iF frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior a la clasecuartil k .=if frecuenciaabsolutasimpledelaclasecuartil k
=A amplitudolongituddelaclasecuartil k
Ejemplo 4.15EneldistritodeVentanillaserealizóunestudioconlafinalidaddecono-cer la edadenque los trabajadoresdeldistritopidieron su jubilación.Los datos han sido clasificados en grupos quinquenales y se muestran en la siguientetabla:
4kn
Estadística básica para los nEgocios180
Tabla 4.8 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Calculamoseinterpretamosloscuartiles.Paracalcular 1Q eidentificarsuclase cuartil,secalcula 1 450 112 5
4 4kn , ;×
= =
laprimerafrecuenciaacumuladaquesuperaa112,5es 2 233F = .Entonceselsegundointervaloeslaclasecuartil1.
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71
Clasecuartil1 [68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403
[83; 88) 47 450
Total 450 ---
Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:
1
112 5 7168 5 69 28162
Q , , − = + =
El25%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora69,28años.ParacalcularQ3eidentificarsuclase cuartil,calculamos
3 450 337 54 4kn , ;×
= = laprimerafrecuenciaacumuladaquesuperaa337,5
es 4 403F = .Entonces,elcuartointervaloeslaclasecuartil3.Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:
3
337 5 32478 5 78 8579
Q , , − = + =
El75%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora78,85años.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 181
2.7 Percentiles (Pk)
Son99valoresquedividenalconjuntodedatosordenadosen100partesiguales.Cadaparterepresentael1%deltotal.Sedenotancon:
1P = primerpercentil
2P = segundopercentil
25 1P Q= = percentil25
50 2P Q Me= = = percentil50
75 3P Q= = percentil75
99P = percentil99
Enlafigura4.4sepresentanlospercentilesylascienpartesigualesordena-dasdemenoramayor.
Figura 4.4 Representación gráfica de percentiles
1 % 1 % …… …… 1 % 1 %
Min P1 P2 P50 P98 P99 Max
2.7.1 Cálculo de percentiles con datos no agrupados
1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. ParacalcularelpercentilPkserealizanlossiguientescálculos:
1 1 2 99100nW k k, , , , +
= = …
y=laparteenteradeW z=lapartedecimalofraccionariadeW
( ) ( ) ( )1 1 2 99k y y yP x z x x k, , , ,+ = + − = …
Ejemplo 4.16Sepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clientesparaseraten-didosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
15 10 20 13 8 15 9 12 18 11 14
Estadística básica para los nEgocios182
1. Alordenarlosdatos,seobtiene:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)
8 9 10 11 12 13 14 15 15 18 20
2. Paracalcularelpercentil 30P , serealizanlossiguientescálculos:
11 130 3 6100
W , + = =
y=laparteenteradeW = 3 z=lapartedecimaldeW=0,6
( ) ( ) ( ) ( )30 3 4 30 6 10 0 6 11 10 10 6P x x x, , , = + − = + − =
3. Secalculaelpercentil 45P realizandolossiguientescálculos:
11 145 5 4100
W , + = =
y=laparteenteradeW=5 z=lapartedecimaldeW=0,4
( ) ( ) ( ) ( )45 5 6 50 4 12 0 4 13 12 12 4P x x x, , , = + − = + − =
2.7.2 Cálculo de percentiles con datos agrupados (tabulados en intervalos)
1. Calcular 100kn e identificar la clase percentil k, donde 1 2 99k , , ,= … .
Laclasepercentilkeselintervalocuyafrecuenciaabsolutaacumuladaes
laprimeraquesuperaa100kn .
2. Secalculanlospercentilesconlasiguientefórmula:
1100 1 2 99i
k ii
kn FP L A k
f
, , , ,
−
− = + = …
Donde:
=n númerodedatos
=iL límiteinferiordelaclasepercentil k
1− =iF frecuenciaabsolutaacumuladadelintervaloanterioralaclasepercentil k
=if frecuenciaabsolutasimpledelaclasepercentil k =A amplitudolongituddelaclasepercentil k
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 183
Ejemplo 4.17SerealizóunestudioeneldistritodeVentanillaconlafinalidaddeconocerlaedadenquelostrabajadoresdeldistritopidieronsujubilación.Losdatoshansidoclasificadosengruposquinquenalesysemuestraenlasiguientetabla:
Tabla 4.9 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Calculamoseinterpretamoslospercentiles 40P y 85P .
Para el percentil 40P , calculamos 40 450 180100 100kn ×
= = , la primera fre-
cuencia acumulada que supera a 180 es 2 233F = . Entonces, el segundointervaloeslaclasepercentil40.
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71Clasepercentil40 [68; 73) 162 233
[73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Luego,alaplicarlafórmulaparaelpercentil40,seobtiene:
40180 7168 5 71 36
162P , −
= + =
El40%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora71,36años.
Para el percentil 85P , calculamos 85 450 382 5100 100kn ,×
= = ; la primera fre-
cuencia acumulada que supera a 382,5 es 4 403F = . Entonces, el cuarto intervaloeslaclasepercentil85.
Estadística básica para los nEgocios184
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233[73; 78) 91 324
Clasepercentil85 [78; 83) 79 403[83; 88) 47 450Total 450 ---
Luego,alaplicarlafórmulaseobtiene:
85
382 5 32478 5 81 7079
P , , − = + =
El85%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiora81,70años.
Ejemplo 4.18Paralosdatosdelejemplo4.17,¿cuántosyquéporcentajedetrabajadoressejubilóconunaedadinferiorde75años?Paradarrespuestaaestapreguntapodemosutilizarelpercentilensenti-
doinverso;esdecir,setratadeencontrarelvalordeksabiendoque 75kP = . Enlatabla,seobservaque 75kP = seencuentraeneltercerintervalo:
Edad fi Fi
[63; 68) 71 71[68; 73) 162 233
Clasepercentilk [73; 78) 91 324[78; 83) 79 403[83; 88) 47 450
Total 450 ---
Entonces:
450 23310075 73 5
91k
k
P
× −
= = +
( )75 73 91 4502335 100
k − × ×
+ =
450269 4 59 87
100k k, ,×
= =
El59,87%detrabajadoressejubilóconunaedadinferiorde75años.Luego,lacantidaddetrabajadoresquesejubilóconunaedadinferiorde
75añosesaproximadamente 450 0 5978 269 42 269, ,× = ≅ .
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 185
2.8 Media geométrica ( GX )
Lamedia geométrica GX( ), de un conjunto den valores positivos, se definecomolaraízn-ésimadelproductodeesosvalores.Portanto,lafórmulaparalamediageométricaesdadapor:
1 2 3n
G nX x x x x= ⋅ ⋅ ⋅…⋅
Lamedia geométrica es útil para determinar la variaciónporcentual pro-medio (tasa de crecimiento promedio) de ventas, precios, producciónu otrasvariablesoserieseconómicasdeunperiodoaotro.Paradeterminarlatasadecrecimientopromedio,secalculanlosfactoresytasasdecrecimiento,periodoporperiodo,talcomosemuestraenlatablasiguiente:
Periodoi
Valoresxi
Factor de crecimiento
−
=1
ii
i
xFC
x
Tasa de crecimiento1−=i iTC FC
0 x0 --- ---
1 x11
10
xFC
x= 1 1 1TC FC −=
2 x22
21
xFC
x= 2 2 1TC FC −=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n xn1
nn
n
xFC
x −
= 1n nTC FC −=
Elfactordecrecimientoenelperiodo i secalculamediantelafórmula:
11 2i
ii
xFC i n
x; para , , ,
−
= = …
Latasadecrecimientosecalculacomo:
1
11 1 2i i
i ii
x xTC FC i n
x;para , , ,−
−
−= − = = …
Elfactordecrecimientopromedioeslamediageométricadelosfactoresdecrecimiento:
1 2n
nFC FC FC FC= × ×…×
Estadística básica para los nEgocios186
Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstantees:
( ) ( )1 21 100 1 100nnTC FC FC FC FC= − × = × ×…× − ×
Ejemplo 4.19Unapoblacióntenía10000habitantesenelañocero,elprimerañocrecióa 10500,elsegundoa12600yelterceroa18900.¿Aquétasapromedioanualhacrecidolapoblaciónenestos3años?
SoluciónSecalculanlosfactoresdecrecimiento(FC )paracadaañoconlafórmula:
1
ii
i
xFC
x −
=
Losresultadosdeestecálculosepresentanenlasiguientetabla:
Año Población FCi
0 10 000 ---
1 10 50010 500
1 0510 000
,
=
2 12 600 12 6001 20
10 500
,
=
3 18 90018 900
1 5012 600
,
=
Elfactordecrecimientopromedioanuales:
3 1 05 1 20 1 50 1 2364FC , , , ,= × × =
Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstanteanuales:
( )1 2364 1 100 23 64TC , , %= − × =
Esdecir,enpromediolapoblacióncrecióanualmenteen23,64%.
Ejemplo 4.20Unaexpendedoradegasolinaaumentóelañopasadosusingresosen21%respectoal añoanterior; yhanproyectadoqueeste añovana llegar aunaumentode28%respectoalañopasado.¿Cuáleslatasadecrecimientopro-medioanualdelosingresos?
SoluciónSe tiene la variaciónporcentual (Var%)de los ingresospara cada año, en-tonces la tasade crecimiento (TC) de cada año se obtiene al dividirVar% entre100yelfactordecrecimiento(FC)seobtienesumando1alatasadecrecimiento;esdecir:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 187
1 1 2100
ii i i
VarTC FC TC i
%y ; , = = + =
Losresultadosdeestoscálculossemuestranenlasiguientetabla:
Año TCi FCi= 1 + TCi
Añoanterior --- ---
Añopasado 0,21 1,21
Añoactual 0,28 1,28
Elfactordecrecimientopromedioanuales:
2 1 21 1 28 1 2445FC , , ,= × =
Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioconstanteanuales:
( )1 2445 1 100 24 45TC , , %= − × =
Esdecir,latasadecrecimientopromedioanualdelosingresoses24,45%.
ejercicios y problemas resueltos 4.1
1. LascalificacionesobtenidasenunexamendelcursodeEstadísticaparaungrupodeestudiantesfueronlassiguientes:
11 17 07 20 18 10 14 15 04 0415 09 18 20 11 16 12 06 18 1306 19 19 07 13 07 17 04 06 0105 18 13 08 12 03 11 19 05 11
a) Calculeeinterpretelamediaaritmética.b) Sedetectóunerrorenlacalificacióndelexamen.Acadaestudianteseleasignóunpuntoadicionalporerror,¿cuáleselvalordelamediacorrecta?
Solucióna) SedefinelavariableX:calificaciónobtenidaporalumnoenelexamendeEstadística.
LamediaaritméticadeXes:
11 17 5 11 462 11 55
40 40X ,+ +…+ += = =
Lacalificaciónpromediodelexamenporalumnoes11,55.b) SedefinelanuevavariableY:calificaciónrealobtenidaporunalumnoenelexamen. 1X= −YLamediaaritméticadeYes: 1 11 55 1 10 55X , ,= − = − =Y
Lacalificaciónpromediorealdelexamenporalumnoes10,55.
Estadística básica para los nEgocios188
2. La siguiente tabla fue elaborada con los datos de las aportaciones (ensoles) al Sistema Nacional de Pensiones (SNP) de 100 docentes, en febrerodel2016.
Tabla 4.10 Distribución de docentes según aportaciones al SNP
Intervalos xi fi hi Fi Hi
[174; 196) 185 2
[196; ) 0,07
[218; 240) 229 10
[ ; 262) 251 0,23
[262; 284) 273 38
[284; 306) 0,11
[306; ) 317 96
[328; 350) 339 4
Total --- 100 1 ---
a) Completelatabladefrecuencias.b) ¿Cuáleslaaportaciónpromediopordocente?c) ¿Cuáleslaaportaciónpromediodelosdocentesqueaportanalmenos262soles?
d) Silasaportacionesdelosdocentesseincrementanenun10%,¿cuáleselnuevomontopromediodeaportacionesdelos100docentes?
Solucióna) SedefinelavariableX:aportacióndeldocentealSistemaNacionaldePensiones(ensoles).
Aportación xi fi hi Fi Hi
[174; 196) 185 2 0,02 2 0,02
[196; 218) 207 7 0,07 9 0,09
[218; 240) 229 10 0,10 19 0,19
[240; 262) 251 23 0,23 42 0,42
[262; 284) 273 38 0,38 80 0,80
[284; 306) 295 11 0,11 91 0,91
[306; 328) 317 5 0,05 96 0,96
[328; 350) 339 4 0,04 100 1
Total --- 100 1 --- ---
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 189
b) Se calcula el producto de la marca de clase ( )ix por la frecuencia absolutasimple if( ) .
xi fi xi fi
185 2 370
207 7 1 449
229 10 2 290
251 23 5 773
273 38 10 374
295 11 3 245
317 5 1 585
339 4 1 356
--- 100 26 442
LaaportaciónpromediopordocenteeslamediaaritméticadeX:
26442 264 42100
X ,= =
c) Seseparanloscuatroúltimosintervalosquecorrespondenalostrabaja-doresqueaportanalmenos262solesysecalculalamediaaritmética.
Aportación xi fi xi fi
[262; 284) 273 38 10 374
[284; 306) 295 11 3 245
[306; 328) 317 5 1 585
[328; 350) 339 4 1 356
Total --- 58 16 560
Laaportaciónpromediode losdocentesqueaportanalmenos262soleses:
16560 285 52
58X ,= =
d) SedefinelavariableY :nuevaaportacióndeldocentealSistemaNacio-naldePensiones. 0 1 1 1X X X, ,= + =Y
LanuevaaportaciónpromediopordocenteeslamediaaritméticadeY,estoes: 1 1 1 1 264 42 290 86X, , , ,= = × =Y
Estadística básica para los nEgocios190
3. EnelcursodeEstadística,elpromediodenotasde30alumnosdelaca-rreradeAdministraciónes15;elde20alumnosdeEconomía16;yelde50alumnosdeMarketing,11.Halleelpromedioaritméticodenotasdeltotaldealumnos.
Solución
15 30 16 20 11 50 1320 13 2
30 20 50 100X ,× + × + ×= = =
+ +
LanotapromedioporalumnoenelcursodeEstadísticaes13,2.
4. Lagerenciadeoperacionesdeunaentidadfinancierahaevaluadolaefecti-vidadde2operadoresdeventanilla(AyB).Serealizóunseguimientoa80atencionesrealizadasporcadaoperadoryseregistróeltiempodeatenciónensegundos.Conelpropósitodefacilitarelanálisiscomparativodelos2operadoresseutilizó,encadacaso,unatabladefrecuenciaagrupadaenintervalosconamplitudconstantede4segundos:
Tabla 4.11 Tiempo de atención de los operadores A y B
Operador A Operador B
Tiempo xi fi Fi Tiempo xi fi Fi
[ ; ) 6 [ ; ) 8[32; ) 16 [ ; ) 12[ ; ) 17 [ ; ) 42 32[ ; ) 52 [ ; ) 18[ ; ) [ ; ) 74[ ; ) 9 76 [ ; )[ ; ) [ ; ) 5
Total --- --- Total --- ---
a) Completelastablasanteriores.b) Calcule el tiempo promedio por atención de cada operador. Luego, respondaquéoperadorresultómásefectivo.
c) SieloperadorAaumentaen7,5%sutiempodeatención,yelopera-dor B reduce en 5 % su tiempo de atención, ¿qué operador resulta másefectivo?
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 191
Solucióna) SedefinelavariableX:tiempodeatenciónporcliente(segundos).
Operador A Operador B
Tiempo xi fi Fi Tiempo xi fi Fi
[28; 32) 30 6 6 [32; 36) 34 8 8[32; 36) 34 10 16 [36; 40) 38 12 20[36; 40) 38 17 33 [40; 44) 42 12 32[40; 44) 42 19 52 [44; 48) 46 18 50[44; 48) 46 15 67 [48; 52) 50 24 74[48; 52) 50 9 76 [52; 56) 54 1 75[52; 56) 54 4 80 [56; 60) 58 5 80Total --- 80 --- Total --- 80 ---
b) EltiempopromedioporatenciónqueutilizóeloperadorAfue:
xi fi xi fi
30 6 18034 10 34038 17 64642 19 79846 15 69050 9 45054 4 216--- 80 3 320
3320 41 5
80AX ,= =
EltiempopromedioporatenciónqueutilizóeloperadorBfue:
xi fi xi fi
34 8 272
38 12 456
42 12 504
46 18 828
50 24 1 200
54 1 54
58 5 290
--- 80 3 604
3604 45 05
80BX ,= =
Estadística básica para los nEgocios192
Luego,eloperadorAresultósermásefectivo;enpromedioutilizómenortiempoparalaatención.
c) SedefinelavariableY :nuevotiempodeatenciónporcliente.ParaeloperadorA:
0 075 1 075A A A AX X X, ,= + =Y
ElnuevotiempopromediodeatenciónparaeloperadorAes: 1 075 1 075 41 5 44 61A AX, , , ,= = × =Y
ParaeloperadorB,seobtiene: 0 05 0 95B B B BX X X, ,= − =Y
Luego,elnuevotiempopromediodeatenciónparaeloperadorBes: 0 95 0 95 45 05 42 8B BX, , , ,= = × =Y
Porconsiguiente,eloperadorBresultósermásefectivo;enpromedioutilizómenortiempoparalaatención.
5. Elpromediodelasedadesdel40%delosasistentesaunareuniónes40años,elpromediodel25%delrestoesde28años,¿cuáldebeserelprome-diodeedaddelrestodepersonas,sitodoslosasistentesenpromediotienen31años?
SoluciónSeresumenlosdatosdelos3gruposdeasistentesenlatablasiguiente:
Grupo Porcentaje Edad promedio
1 40 40
2 0 25 60 15, × = 28
3 45 mTotal 100
Alutilizarelpromedioponderado,seobtiene:
40 40 28 15 4531100
m × + × +=
24m =
Elpromediodeedaddelrestodepersonases24años.
6. De500estudiantesdeunainstitucióneducativa,laestaturapromedioesde1,67metros;porcada3mujereshay7hombres.Silaestaturapromediodetodaslasmujeresesde1,60metros,¿cuáleselpromediodelasestaturasdelosvaronesdelainstitucióneducativa?
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 193
SoluciónSeresumenlosdatosdelos2gruposdeestudiantes(hombresymujeres)enlatablasiguiente:
Grupo Cantidad Estaturapromedio
Mujeres 3 150K = 1,60
Hombres 7 350k = m
Total 500
1 6 150 3501 67
500m,, × +
=
1 70m ,=
La estatura promedio de los varones de la institución educativa esde1,70metros.
7. Losgastosdiarios(ensoles)querealizanlosempleadosdeunaempresa,enelalmuerzo,sonlossiguientes:
18,1 20,5 22,0 22,2 23,6 24,218,5 21,1 22,0 22,4 23,6 24,218,7 21,3 22,0 23,2 24,0 24,519,9 21,3 22,0 23,2 24,1 24,720,4 21,5 22,1 23,2 24,1 24,9
a) ¿Qué tipo de distribución presentan los gastos diarios? Justifique utilizandolasmedidasdetendenciacentral.
b) ¿Cuáleselgastodiariomínimodeldécimosuperiordeempleados?c) ¿Cuáleselgastodiariomáximodelquintoinferiordeempleados?d) ¿Cuáleselgastodiariomásfrecuenteporempleado?
Solucióna) Secalculanlastresmedidasdetendenciacentral:media,medianaymoda.
667 5 22 25
30X , ,= =
Para calcular la mediana se ubican las dos posiciones centrales (yaquenespar)de losdatosordenados;esdecir,elpromediode losvalores que ocupan las posiciones 15 y 16, tal como se observa en la siguientefórmula:
15 16 22 1 22 2 22 15
2 2x x
Me ( ) ( ) , , ,+ +
= = =
Elvalorquemásserepiteesel22,porlotantolamodaesMo = 22. SeobservaqueMo Me X< < ,entonceslosdatospresentanasimetría
positiva.
Estadística básica para los nEgocios194
b) Setienequecalcular 90P delasiguienteforma:
30 190 27 9100
W , + = =
y=laparteenteradeW = 27 z=lapartedecimaldeW = 0,9
( ) ( ) ( )( ) ( )90 27 28 270 9 24 2 0 9 24 5 24 2 24 47P X X X, , , , , ,= + × − = + × − =
c) Setienequecalcular 20P delasiguienteforma:
30 120 6 2100
W , + = =
y=laparteenteradeW = 6 z=lapartedecimaldeW = 0,2
( ) ( ) ( )( ) ( )20 6 7 60 2 20 5 0 2 21 1 20 5 20 62P X X X, , , , , ,= + × − = + × − =
d) Como22eseldatoqueserepitemásveces,entonceslamodaes: 22Mo =
8. Haysospechasdequeunamáquinaautomáticaquellenaenvasesestátra-bajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestradeenvasesseresumióenlasiguientetabla.
Tabla 4.12 Distribución de envases según peso
Peso xi fi
[140; 150) 12[150; 160) 27[160; 170) 22[170; 180) 17[180; 190) 7[190; 200) 5
a) ¿Entrequépesosseencuentrael50%centraldeenvasesdelamuestra?b) ¿Cuántosenvasespesanalmenos167gramos?c) ¿Sepuedeafirmarqueelpesomásfrecuenteenlamuestraessuperioralpesomediano(medianadelospesos)?
SoluciónSecompletalatablaconlossiguientescálculos:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 195
Peso xi fi xi fi Fi
[140; 150) 145 12 1740 12[150; 160) 155 27 4185 39[160; 170) 165 22 3630 61[170; 180) 175 17 2975 78[180; 190) 185 7 1295 85[190; 200) 195 5 975 90
Total --- 90 14 800 ---
a) El50%centraldeenvasesseencuentraentreel 25P y 75P :
25
22 5 12150 10 153 8927
P , , − = + × =
75
67 5 61170 10 173 8217
P , , − = + × =
El50%centraldeenvasesseencuentraentre153,89y173,82gramos.b) Secalculaelporcentajekdeenvasesquepesanmenosde167gramosconelpercentilinverso;esdecir,setiene 167kP = quepertenecealintervalo[160;170)yalaplicarlafórmulaseobtiene:
0 9 39167 160 1022KkP , −
= = + ×
Luego, 60 44k ,=
Entonces,100 39 56k ,− =
Lacantidaddeenvasesquepesanalmenos167gramosesaproxi-madamente:
90 0 3956 35 61 36, ,× = ≅ c) Secalculalamodaylamedianadelasiguienteforma:
15150 10 157 515 5
Mo , = + × = +
45 39160 10 162 7322
Me , − = + × =
No se puede afirmar que el peso más frecuente es superior al pesomediano.
9. Elingresoensolesde120trabajadoresdeunaempresaseresumióenunatabladedistribucióndefrecuenciasde5intervalosdeamplitudconstanteiguala400.Elingresomínimoobservadofue200soles,laprimeraysegun-da frecuencia relativa simple son 0,10y 0,15, respectivamente. Se conocetambiénqueel80%delaspersonastieneuningresoinferiora1800solesyel60%tieneingresosinferioresa1400soles.Sepide:
Estadística básica para los nEgocios196
a) Construyalatabladedistribucióndefrecuencias.b) ¿Cuántaspersonastienenuningresosuperioroiguala1000soles?c) ¿Cuáleselmontomínimodel25%delaspersonasdemayoresingresos?Presenteloscálculosempleados.
d) ¿Sepuedeafirmarquemásdelamitaddelaspersonastieneuningresosuperioralingresopromedio?Sustentesurespuesta.
e) ¿Cuántaspersonastienenuningresoinferiora1300soles?Presenteloscálculosempleados.
f) ¿Cuálseríaelnuevo ingresopromediode los trabajadoreselpróximomes,siseesperaquesusingresosseincrementenen15%más10solesporrefrigerio?
Solucióna) Latabladedistribucióndefrecuenciaseslasiguiente:
Ingresos xi fi hi Fi Hi xi fi
[200; 600) 400 12 0,10 12 0,10 4 800[600; 1000) 800 18 0,15 30 0,25 14 400[1000; 1400) 1200 42 0,35 72 0,60 50 400[1400; 1800) 1600 24 0,20 96 0,80 38 400
[1800; 2200) 2000 24 0,20 120 1 48 000Total --- 120 1 --- --- 156 000
b) Serefierealacantidaddepersonasconingresosentre1000ymenosde2200soles;esdecir,120–30=90personas.
c) Secalculaelpercentil 75P
75
90 721400 400 170024
P − = + × =
Elingresomínimodel25%delaspersonasdemayoresingresosesde1700soles.
d) Secalculalamediaylamediana:
156000 1300
120X = =
60 301000 400 1285 7142
Me , − = + × =
Comolamediaessuperioralamediana,entoncesmenosdelamitad
delaspersonastieneuningresosuperioralingresopromedio.e) Secalculaelporcentajekdepersonasquetienenuningresoinferiora1300solesconelpercentilinverso;esdecir,setiene 1300kP = queperte-necealintervalo[1000;1400)yalaplicarlafórmulaseobtiene:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 197
1 2 301300 1000 40042KkP , −
= = + ×
Luego, 51 25k ,=
Lacantidaddepersonasquetienenuningresoinferiora1300solesesaproximadamente120 0 5125 61 5 62, ,× = ≅ .
f) SedefinelavariableY :nuevoingresodeltrabajador. 0 15 10 1 15 10X X X, ,= + + = +Y
ElnuevoingresopromedioportrabajadoreslamediaaritméticadeY,estoes: 1 15 10 1 15 1300 10 1505X, , = + = × + =Y
10. EldirectorejecutivodelalíneaaéreaVueloS.A.deseadeterminarlatasadecrecimientopromediodelosingresosapartirdelascifrasdelasiguien-tetabla.Silatasadecrecimientopromedioesinferioralpromediodelsec-tor,queesdel10%,seráprecisolanzarunanuevacampañadepublicidad.
Tabla 4.13 Ingresos anuales de la línea aérea Vuelo S. A.
Año Ingresos ($)
2012 50 000
2013 55 000
2014 66 000
2015 60 000
2016 78 000
¿Quédecisiónrecomendaríaustedsobrelanuevacampañapublicitaria?
SoluciónSecalculanlosfactoresdecrecimiento(FC)paracadaañoconlafórmula:
1
ii
i
xFC
x −
=
Losresultadosdeestecálculosepresentanenlasiguientetabla:
Año Ingresos ($) FCi
2012 50 000 ---
2013 55 000 1,10002014 66 000 1,20002015 60 000 0,90912016 78 000 1,3000
Estadística básica para los nEgocios198
Luego, se calcula el factor de crecimiento promedio con la media geométrica:
4 1 1 1 2 0 9091 1 3 1 1176FC , , , , ,= × × × =
Entonces,latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioes:
( )1 1176 1 100 11 76TC , , %= − × =
La tasade crecimientoovariaciónporcentualpromedio anualde in-gresosenlalíneaaéreaVueloS.A.estáporencimadel10%;porello,serecomiendanolanzarunanuevacampañadepublicidad.
11. ElcrecimientodelasventasdeloshipermercadosdeLimaCentroenlostresúltimosaños fue:26%,32%y28%, respectivamente.Halle la tasapromedioanualdelcrecimientodelasventas.
SoluciónSe tiene la variaciónporcentual (Var%)de las ventas para cada año; en-tonceslatasadecrecimiento(TC)decadaañoseobtienealdividirVar%entre100yelfactordecrecimiento(FC)seobtienesumando1alatasadecrecimiento:
1 1 2 3
100i
i i iVar
TC FC TC i%y ; , ,= = + =
Losresultadosdeestoscálculossemuestranenlasiguientetabla:
Año Var% TCi FCi
1 26 0,26 1,26
2 32 0,32 1,32
3 28 0,28 1,28
Luego, se calcula el factor de crecimiento promedio con la media geométrica:
3 1 26 1 32 1 28 1 2864FC , , , ,= × × =
Entonces,latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioes:
( )1 2864 1 100 28 64TC , , %= − × =
Latasadecrecimientoovariaciónporcentualpromedioanualdelcreci-mientodelasventasfuede28,64%.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 199
ejercicios y problemas propuestos 4.1
1. LaempresaAXZrealizóunestudioenuncentrocomercialcongranconcu-rrenciadeclientespordía.Losoperariosqueatiendenfueroncapacitadospararealizarfuncionesdelmismotipoyconrapidez.Semidiólostiempos(enminutos)hastaelprimerdescanso,duranteundíade trabajo,de losoperarios.Paraelestudiosetomóunamuestrade40operariosyserecolec-taronalgunosdatospersonales,quesepresentanacontinuación.
TiempoNúmero
dehermanos
Estadocivil Tiempo
Númerode
hermanos
Estadocivil
9,2 3 1 10,5 5 114,3 2 3 18,3 3 111,8 4 1 11,4 3 214,6 1 3 21,5 2 215,8 1 4 23,5 4 212,5 1 4 17,9 2 316,8 2 3 17,9 2 411,2 0 4 14,9 2 317,5 2 4 14,3 3 411,8 2 4 14,3 5 417,9 2 4 10,9 5 411,1 5 4 12,6 1 48,8 4 4 12,5 3 213,5 2 4 11,2 4 210,5 5 4 9,8 4 218,3 3 4 13,5 0 211,4 3 2 12,9 5 212,7 4 3 12,9 4 321,5 2 2 10,8 4 323,5 4 1 10,6 4 1
EstadoCivil:(1)casado(2)divorciado(3)separado(4)convivientea) ¿Cuáleseltiempopromediohastaelprimerdescansoporoperario?
Estadística básica para los nEgocios200
b) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta el primer descanso por operario casado?
c) ¿Cuáleselpromediodehermanosporoperariodivorciado?
2. Los resultados al lanzarundado200veces sepresentan en la siguientetabla:
xi 1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35
Determinaraybsabiendoquelapuntuaciónmediaes3,6.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 201
3. Elpromediodelas6notasdeLenguajedeRositaes15.AfortunadamenteparaRosita, suprofesor eliminó supeornotay supromedio subió a 17.¿CuáleralapeornotadeRosita?
Estadística básica para los nEgocios202
4. Invasaproduceenvasesdehojalatayhatenidounhistorialdediferenciasentrelosenvasesfabricadospordosmáquinas,unamáquinamoderna(A)yotradegeneraciónmás antigua (B).Para tenermayores argumentosyconocerquémáquinatrabajamejor,seseleccionaron20piezasproducidaspor cadaunay semidióeldiámetroexterior (encentímetros).Luegodetabularlosdatosdecadamáquina,sehanconstruidolassiguientestablasdedistribucióndefrecuenciasparaeldiámetro:
Tabla 4.14 Distribución de envases fabricados por las máquinas A y B según diámetro
Máquina A Máquina B
Diámetro xi fi Diámetro xi fi
[6,94; 7,06) 7,00 2 [7,05; 7,15) 7,1 1
[7,06; 7,18) 7,12 4 [7,15; 7,25) 7,2 4
[7,18; 7,30) 7,24 6 [7,25; 7,35) 7,3 3
[7,30; 7,42) 7,36 5 [7,35; 7,45) 7,4 5
[7,42; 7,54) 7,48 2 [7,45; 7,55) 7,5 4
[7,54; 7,66) 7,60 1 [7,55; 7,65) 7,6 3
a) Sieldiámetropromediorealdelprocesodeproducciónes7,2centíme-tros,indiqueenquémáquinassehaobtenidounpromediomásalejadodelpromedioreal.Justifiquenuméricamente.
b)Unanalistahaestablecidoqueelcostodeproducción,endólares,deunapiezaseencuentrarelacionadoconeldiámetroexteriordeesta,cum-pliéndoselasiguienterelación:
80 200X = ±Y ,donde Y =costodeproducciónyX=diámetro,¿entrequévaloresseencontraráelcostopromediodeproducciónporpiezaencadamáquina?
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 203
5. Lamediaaritméticade3númerossuperaalmenordeestosnúmerosen14unidadesyes10unidadesmenoresqueelmayordeellos.Sielvalorcentraldelos3númeroses25,entonceslasumadeestosnúmerosesiguala:
6. Elpromediode20númeroses25;siseleagregaunnúmeromáselprome-diosiguesiendoelmismo,¿cuáleselnuevonúmero?
Estadística básica para los nEgocios204
7. Sesospechaqueunamáquinaautomáticaquellenalatasestátrabajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestrade60latasrevelólosiguiente:
Tabla 4.15 Distribución de latas según peso
Peso xi fi
[140; 150) 145 8[150; 160) 155 18[160; 170) 165 15[170; 180) 175 11[180; 190) 185 5[190; 200) 195 3
Total --- 60
a) Calculeeinterpretelamediaaritmética.
b) Sisetomaalazarunadelas60latasysupesoesde172gramos,¿encuántosgramossupesoestáporencimaopordebajodelpromedioqueustedhacalculadoconlamuestra?
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 205
c) ¿Cuáleselpesopromediodelcontenidodelaslatasquepesanentre150ymenosde190gramos?
d) Si se requierequeel contenidopromediopor lata seade170gramos,¿quéporcentajesedebeaumentarodisminuiralcontenidodecadalata?
e) Siseduplicaelnúmerodelatasdelamuestraencadaintervalodelatabladefrecuencia,¿cuáleselpesopromediodelcontenidodelaslatas?
Estadística básica para los nEgocios206
8. Enlasiguientetablasepresentaladistribucióndeingresosdiariosde50trabajadoresdeunhotel:
Tabla 4.16 Distribución de trabajadores según ingresos diarios
Ingresos xi Fi
[60; 100) 5
[100; 140) 15
[140; 180) 35
[180; 220) 43
[220; 260) 50
Porincrementodelcostodevida,seplanteanlassiguientesalternativasdeaumento:• La primera propuesta consiste en un aumento general de 40 soles diarios.
• Lasegundapropuestaconsisteenunaumentodel25%.Siloquesequiereesaumentarelsalariopromedio,¿cuáldeestaspro-
puestaseslamejor?Justifique.
9. Uninvestigadordisponedelatabladedistribuciónacercadelnúmerodemeses(47)enqueseregistralaliquidezeconómicaqueexperimentóelsis-temafinanciero en el Perú. Sedeseadescribir la liquidez económica (enmillonesdesoles)duranteesteperiodo,utilizandomedidasestadísticasdetendencia central oposición. Losdatos resumidos sepresentan en la si-guientetabladefrecuencia:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 207
Tabla 4.17 Liquidez económica mensual en el Perú
Liquidez xi fi xi fi
[137 431; 154 310) 7[154 310; 171 189) 4[171 189; 188 068) 13[188 068; 204 947) 7[204 947; 221 826) 4[221 826; 238 705) 12
Total 47
a) Calculelamediaaritméticaparaelconjuntodedatoseinterpretedichamedida.
b) Calculeeinterpretelamedianaparaesteconjuntodedatos.
c) Calculelamodaeinterpreteelvalorhallado.
Estadística básica para los nEgocios208
d) Sirelacionalamedia,lamedianaylamoda,¿quétipodedistribuciónpresentanlosdatos?
e) ¿Eslamediaunamejormedidadetendenciacentralparaestosdatos?
f) ¿Entrequévaloresdeliquidezeconómicaseencuentrael50%centraldemeses?Utilicemedidasestadísticas.
g) ¿Cuáleslaliquidezeconómicamáximadel85%inferiordelosmeses?Utiliceunamedidaestadística.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 209
h) ¿Quéporcentajedemesesregistraronunaliquidezeconómicainferiora180100millonesdesoles?Utiliceunamedidaestadística.
10. ElbibliotecariodelaUniversidaddeLimaencuestóa40personasalasa-lidade labibliotecay lespreguntócuántos libroshabíansolicitadoen laúltimasemana.Lasrespuestasfueronlassiguientes:
1 0 3 4 3 4 2 1 3 0 2 5 3 1 0 6 8 5 5 32 3 0 0 1 4 5 6 4 3 2 4 1 1 0 3 2 0 3 4
a) Calcule la media aritmética para el conjunto de datos e interprete dichamedida.
b) Calculeeinterpretelamedianaparaesteconjuntodedatos.
c) Calculelamodaeinterpreteelvalorhallado.
Estadística básica para los nEgocios210
d) Relacionandolamedia,lamedianaylamoda,¿quétipodedistribuciónpresentanlosdatos?
e) ¿Eslamediaunamejormedidadetendenciacentralparaestosdatos?
f) ¿Entrequévaloresdelavariableseencuentrael60%centraldeperso-nas?Utilicemedidasestadísticas.
g) ¿Cuáleselnúmeromáximodelibrossolicitadosquepidieronel75%inferiordelosestudiantes?Utiliceunamedidaestadística.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 211
11. LaMunicipalidaddeundistritodeLimaMetropolitana llevóa cabounestudioconlafinalidaddeconocerlageneraciónycomposiciónderesiduossólidosporhogar.Losresultadosobtenidosseresumenacontinuación.
Tabla 4.18 Composición de los residuos sólidos por hogar (en kg)
Composición Media Mediana ModaPapel 4,03 4,04 4,29Plástico 0,87 0,75 0,42Vidrio 1,93 1,61 0,66Otros 0,99 0,85 0,62Total 7,87 8,03 8,67
a) Elaboreungráficoquerelacionelamedia,lamedianaylamodaparacadacomposición.
b) Paracadacomposición,¿ladistribucióndelosdatosessimétrica,asimé-tricanegativaoasimétricapositiva?Expliquebrevementesurespuesta.
Estadística básica para los nEgocios212
12. Una empresa constructora presenta un proyecto para la edificación dedepartamentosenunadeterminadazona.Respectoa losplanos inicialeshabrámodificacionesdeáreas,dependiendodelaprovechamientode losterrenos.Elnúmerodedepartamentos,asícomoelárea(enmetroscuadra-dos)decadauno,seresumeacontinuación:
Tabla 4.19 Distribución de departamentos según área de terreno en m2
Área Número de departamentos[50; 60) 30[60; 70) 25[70; 80) 14[80; 90) 11
¿Cuálseráelporcentajededepartamentoscuyasáreasestánentre68y83metroscuadrados?
13. EnlanotasemanaldelBancoCentraldeReservasepublicóeltotaldeex-portacionesdelPerú (enmillonesdedólares)desdemayodel2015hastaabrildel2016,quesepresentaenlasiguientetabla.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 213
Tabla 4.20 Monto de exportación mensual del Perú en millones de dólares
Mes ExportacionesMayo 2661Junio 3199Julio 2850Agosto 3034Septiembre 2706Octubre 3084Noviembre 2899Diciembre 3224Enero 2473Febrero 2460Marzo 2813Abril 2750
¿Cuálfuelavariaciónporcentualpromediomensualenesteperiodo?
14. Losporcentajesdeparticipacióndelosestudiantesuniversitariosenlasac-tividadesdeproyecciónsocialdurantelosmesesdelprimerciclosufrieronelsiguienteaumento:elprimermes,8%;elsegundo,12%;eltercero,18%,yelcuarto,27%.¿Cuáleselporcentajedeaumentopromediomensual?
15. Elproductobrutointerno(PBI)delPerúdelosprimeros5mesesdel2016evolucionódelasiguientemanera:enero,3,4%;febrero,6,2%;marzo,3,7%;abril,2,5%,ymayo,4,9%.Hallelatasadecrecimientomensualpromediodelproductobrutointerno.
Estadística básica para los nEgocios214
16. Unamáquinainyectorahatenidobajaproduccióndesdequefueadquirida.El gerente recibió del jefe demantenimiento la promesade incrementarlaproducción,porlomenos,enun5%promediomensualenel2016.Elgerentedeseasabersisehacumplidoloofrecido;paraello,hasolicitadolasproduccionesdelosprimeros6mesesdel2016,queseresumenenlasiguientetabla.
Tabla 4.21 Producción mensual de una fábrica en toneladas
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo JunioProducción(t) 7,0 8,2 8,6 9,2 8,3 9,5
¿Sehacumplido lapromesadel jefedemantenimiento?Sustente su res-puestaconunamedidaestadística.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 215
17. Losgastosenpublicidaddeunaempresaaumentaronun3,8%enenero;5,3%enfebreroy1,5%enmarzo.Silatasadecrecimientopromediomen-sualdelosgastosenpublicidaddurantelos4primerosmesesfue2,14%,¿cuálfuelatasadecrecimientodeabril?
Estadística básica para los nEgocios216
3. meDiDas estaDísticas De Dispersión o variabiliDaD
Lasmedidasestadísticasdevariabilidadodispersiónnosindicansilosvaloresdeunavariableestánpróximosentresíodispersos.Tienenporobjetoalcanzarunvalorquemideelgradodevariabilidadodispersióndetodaslasmediciones.Unamedidadedispersiónovariabilidadnosdeterminaelgradodeacerca-
mientoodistanciamientodelosvaloresdeunadistribuciónfrenteasupromedio, sobrelabasedequeentremásgrandeseaelgradodevariación,menorunifor-midad tendrán los datos (sinónimo de heterogeneidad) y, por lo tanto,menor representatividaddelpromediocomomedidadetendenciacentral.Porelcontra-rio,sielgradodevariabilidadespequeño(respectodelpromedio),entonceshayunagranuniformidadentrelosdatos.Cuandolavariabilidades0quieredecirquetodoslosdatossoniguales.
Figura 4.5 Variabilidad del tamaño de las botellas de gaseosa
Alta variabilidad en tamaño Baja variabilidad en tamaño
Fuente: Gaseosas Perú (http://bit.ly/2tLV2xO) y Federal (http://bit.ly/2tPxfN0)
3.1 Clasificación de las medidas de dispersión o variabilidad
Lasmedidasestadísticasdevariabilidadseclasificanenabsolutasyrelativas.
3.1.1 Medidas absolutas de variabilidad
Sonvaloresexpresadosenlasmismasunidadesdelavariableenestudioy,portanto,nopermitencomparacionesoanálisisrespectodelamayoromenordis-persióndeseriesexpresadasendiferentesunidades.Lasprincipalesmedidasabsolutassonestas:
• Rangooamplitudtotal• Rangointercuartil• Desviaciónmedia• Varianza• Desviaciónestándar
Sabores
Cola Manzana Uva Naranja Toronja Lima- Colombia Kolanegra limón Roja
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 217
3.1.2 Medidas relativas de variabilidad
Sonmedidas adimensionales y no expresadas en ningunaunidad específica,queobvianelinconvenienteseñaladoparalasmedidasabsolutas.Conestasme-didas es posible la comparaciónde la variabilidad entredos omás seriesdedatos.Laprincipalmedidaeselcoeficientedevariación.
Figura 4.6 Clasificación de las medidas de variabilidad
Medidas de variabilidad
Medidas absolutasde variabilidad
Medidas relativasde variabilidad
Rango o amplitud
total
Rangointercuartil
Desviaciónmedia
Varianza Desviaciónestándar
Coeficientede
variación
Elaboración propia
3.2 Rango o amplitud total ( R )
Unaprimeramedida razonablede lavariabilidades el rangooamplitud total(tambiénllamadorecorrido)queseobtienecomoladiferenciaentreelvalormáxi-moyelvalormínimodelconjuntodeobservaciones.Secalculaconestafórmula:
R = xmáx – xmín
Esfácildecalcularyseexpresaenlasmismasunidadesquelavariable,aun-queposeevariosinconvenientes:
• Noutilizatodaslasobservaciones(solodosdeellas).• Puedeversemuyafectadaporalgunaobservaciónextrema.• Elrangoaumentaconelnúmerodeobservaciones,obiensequedaigual.Encualquiercasonuncadisminuye.
Ejemplo 4.21Elgerentedeuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadoradeseaconocerelrangodevariacióndelascomisionesganadasporcadaagentedeventaenlasemanaanterior.Paratalfinseleccionóunamuestrade25agen-tes, a quienes se lespreguntó cuántohabíanganadode comisiones (X) lasemanapasada.Losdatosrecolectadosensolessonestos:
300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300
Estadística básica para los nEgocios218
Alcalcularelrangoseobtiene: 440 70 370R = − =
Elrangooamplitudtotal,esdecir,ladiferenciaentrelacomisiónmásaltaylamásbaja,es370soles.
3.3 Rango intercuartil (RQ)
Esladiferenciaentreeltercercuartil 3Q yelprimercuartil 1Q .Enotraspala-bras,elrangointercuartileslaamplitudorangodel50%centraldelosdatos.Secalculaconestafórmula:
3 1QR Q Q= −
Figura 4.7 Representación gráfica del rango intercuartil
25 % 50 % 25 %
Mín Q1 Q3 Máx
Ejemplo 4.22Lossueldosmensualesiniciales(endólares)deunamuestraaleatoriade12egresadosdeAdministracióndeunauniversidadprivadadeLimason lossiguientes:
Egresado Sueldo mensual inicial1 34502 35503 36504 34805 33556 33107 34908 37309 354010 392511 352012 3480
Primero,seordenanlosdatosdemenoramayoryluegosecalculanloscuartilesinferiorysuperior,talcomosemuestraacontinuación:
RQ
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 219
( )1 3450 0 25 3480 3450 3457 5Q , ,= + − =
( )3 3550 0 75 3650 3550 3625Q ,= + − =
25 % de datos 50 % de datos 25 % de datos
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12)
3310 3355 3450 3480 3480 3490 3520 3540 3550 3650 3730 3925
Q1 = 3457,5 Q3 = 3625
Luego,secalculaelrangointercuartilcon: 3625 3457 5 167 5QR , ,= − =
El50%centraldeegresadosdeAdministracióntienensueldosqueseen-cuentranentre3457,5y3625dólares,queequivaleaunrangointercuartilde167,5dólares.
3.4 Desviación media (Dm)
Sedefinecomoelpromediodelasdiferenciasenvalorabsolutodelosdatosdelavariablerespectodelamediaaritmética.
3.4.1 Cálculo de la desviación media con datos no agrupados
Sitenemosunconjuntodenobservaciones,x1,x2,...,xn,entoncesladesviaciónmediasecalculacon:
1
1 nm i
iD x X
n == −∑
Ejemplo 4.23Acontinuación,sepresentanlostiemposdeespera(enminutos)de11clien-tesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
15 10 20 11 8 15 9 12 18 11 14
Lamediaaritméticadelosdatoses:
15 10 14 13
11X + +…+= =
Estadística básica para los nEgocios220
Luego,ladesviaciónmediadelosdatoses
15 13 10 13 14 133 09
11mD ,− + − +…+ −
= =
Enpromedio,eltiempodeesperadeunclientesedesvíadeltiempome-diodeesperaen3,09minutos.
3.4.2 Cálculo de la desviación media con datos agrupados
Silosdatosestánagrupadosenunatabladefrecuencia,ladesviaciónmediasecalculacon:
1
1 km i i
iD x X f
n == −∑
Donde: xi=valordelamarcadeclasei fi=frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei
Ejemplo 4.24RetomandoelestudioeneldistritodeVentanillasobrelaedaddelostrabaja-doresdeldistritoquesolicitaronsujubilación,serequierecalculareinterpre-tarladesviaciónmediadeestasedades.Semuestranloscálculosnecesariosenlasiguientetabla.
Tabla 4.22 Distribución de trabajadores según edad de jubilación
Edad xi fi xi fi−i ix X f
[63; 68) 65,5 71 4650,5 606,34[68; 73) 70,5 162 11 421,0 573,48[73; 78) 75,5 91 6870,5 132,86[78; 83) 80,5 79 6359,5 510,34[83; 88) 85,5 47 4018,5 538,62Total --- 450 33 320,0 2361,64
Lamediaaritméticadelosdatoses:
33320 74 04450
X ,= =
Luego,sudesviaciónmediaes:
5
1
1 2361 64 5 25450m i i
iD x X f
n , ,
== − = =∑
Enpromedio,laedaddejubilacióndeuntrabajadorsedesvíadelaedadmediadejubilaciónen5,25años.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 221
3.5 Varianza (S2)
Lavarianzaeselpromediodeloscuadradosdelasdesviacionesdelosdatosres-pectoasumedia.Siconsideramoslasdesviacionesrespectoalamediaalcuadra-do,envezdetomarelvalorabsoluto,logramosquetodoslossumandostenganelmismosigno(positivo)ysepuedacalcularelpromediodeestos.Estaformademedirladispersióndelosdatospermitequesuspropiedadesmatemáticasseanmásfácilesdeutilizar.Sinembargo,lavarianzapresentaelinconvenientedenotenerlamismadimensiónquelasobservaciones,yaqueseexpresaenunidadescuadradas(porejemplo,silasobservacionessemidenenmetros,lavarianzalohaceenmetrosalcuadrado),loquedificultasuinterpretación.
3.5.1 Cálculo de la varianza con datos no agrupados
SitenemoslosdatosobservadosdelavariableXparaunamuestradetamañon,representadospor 1 2 nx x x, ..., , ,entonceslavarianzadelamuestrasecalculaconlafórmulasiguiente:
( )22
1
11
n
x ii
S x Xn =
= −∑−
Eldesarrollodelafórmulaanteriores:
( )2 2 2 2 212 1 1 1 12 2
1 1 1
n n n n ni i i i i ii i i i
xx X x x X X x X x X
Sn n n
( )= = = = =−∑ − + − +∑ ∑ ∑ ∑= = =
− − −
2 2 2 2 21 12
1 1
n ni ii ix nX nX x nX
n n = =− + −∑ ∑= =
− −
Luego,otraformadecalcularlavarianzaesconestafórmula:2 2
2 1
1
ni i
xx nX
Sn
= −∑=−
Observación:Cuandosecalculalavarianzautilizandotodoslosdatosdeunapoblación,estasedenominavarianzapoblacionalysedenotacon 2
xσ .
Ejemplo 4.25A continuación, se presentan los tiempos de espera (en minutos) de unamuestrade11clientesparaseratendidosenlaventanilladeunbanco.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
15 10 20 11 8 15 9 12 18 11 14
Lamediaaritméticadeestosdatoses:
15 10 14 13
11X + +…+= =
Estadística básica para los nEgocios222
Luego,lavarianzadelamuestraes:
( ) ( ) ( )2 2 22 15 13 10 13 14 13
14 211 1xS ,
− + − +…+ −= =
−
Lavarianzadelostiemposdeesperadelamuestraresulta14,2minutosalcuadrado.Notieneinterpretaciónpráctica.
3.5.2 Cálculo de la varianza con datos agrupados
Si tenemos los datos observados de una muestra de tamaño n, resumidos enunatabladefrecuencias,entonceslavarianzadelamuestrasecalculacon estafórmula:
( )22
1
11
k
x i ii
S x X fn =
= −∑−
Dondexi =valordelamarcadeclaseifi =frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei
Eldesarrollodelafórmulaanterioreselsiguiente:
( )2 2 212 1 2
1 1
k ki i i i i i i
xx X f x x X X f
Sn n
( )= =−∑ − +∑= =− −
2 2 2 2 21 1 1 1 12 2
1 1
k k k k ki i i i ii i i i i i i ix f X x f X f x f nX X f
n n = = = = =− + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑= =
− −
2 2 2 2 21 12
1 1
k ki ii ii ix f nX nX x nX
n nf
= =− + −∑ ∑= =− −
Luego,laotraformadecalcularlavarianzaesconestafórmula:
2 22 1
1
ki i i
xx f nX
Sn
= −∑=−
Ejemplo 4.26Sehatomadounamuestrade30alumnosdelaEscueladeNegociosyseleshapreguntadoporelnúmerodeasignaturasdesaprobadas(X)enelsemes-treanterior.Losdatosrecolectadosseresumieronenlasiguientetablayconestosserequierecalcularlavarianza.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 223
Tabla 4.23 Distribución de alumnos según asignaturas desaprobadas
xi fi xi fi2i ix f
0 1 0 0
1 2 2 2
2 4 8 16
3 12 36 108
4 9 36 144
5 2 10 50
Total 30 92 320
Secalculalamediaaritméticaconestafórmula:
61 92 3 067
30 30i i ix f
X ,=∑= = =
Luego,secalculalavarianza:
2 26 22 1 320 30 3 067 1 3036
1 29i i i
xx f nX
Sn
( , ) ,= − −∑= = =−
Lavarianzadelnúmerodecursosdesaprobadoses1,3036unidadescua-dradas.Notieneinterpretaciónpráctica.
Ejemplo 4.27Conlafinalidaddeconocerlavarianzadelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosy loscálculosnecesariossepresentanenlasiguientetabla:
Tabla 4.24 Distribución de empleados según gasto semanal
Gasto xi fi xi fi2i ix f
[200; 400) 300 0 0 0[400; 600) 500 1 500 250 000[600; 800) 700 4 2800 1 960 000[800; 1000) 900 9 8100 7 290 000[1000; 1200) 1 100 16 17 600 19 360 000
Total --- 30 29 000 28 860 000
Secalculalamediaaritmética:
5
1 29000 966 66730 30
i i ix fX ,=∑= = =
Estadística básica para los nEgocios224
Luego,secalculalavarianza:
2 25 22 1 28860000 30 966 667 28 505 08
1 29i i i
xx f nx
Sn
( , ) ,= − −∑= = =−
La varianza del gasto del personal administrativo seleccionado es 28505,08solesalcuadrado.Notieneinterpretaciónpráctica.
3.5.3 Propiedades de la varianza
a) Paracualquierconjuntodedatos,lavarianzaessiempreunacantidadnonegativa.
2 0xS ≥
b) Silasobservacionestienenvaloresiguales,entonceslavarianzaes0;esdecir,lavarianzadeunaconstantees0.Si ix c i = ∀ ,entonces:
2 2 0x cS S= =
c) Lavarianzadelproductodeunaconstanteporunavariable es igual alcuadradodelaconstanteporlavarianzadelavariable;esdecir,si cX=Y ,entonces:
2 2 2y xS c S=
d) Lavarianzadelasumadeunavariablemás(omenos)unaconstanteesigualalavarianzadelavariable;esdecir,si X c= ±Y ,entonces:
2 2y xS S=
e) Engeneral,lavarianzacumpleconlasiguientepropiedad:si aX b= ±Y ,entonces:
2 2 2y xS a S=
3.6 Desviación estándar (S)
Elproblemadelavarianzaesquenotieneinterpretaciónprácticaporsusuni-dadescuadráticas.Siqueremosque lamedidadedispersiónseade lamismadimensiónque lasobservaciones,bastarátomarsuraízcuadrada.Porello,sedefineladesviaciónestándarcomolaraízcuadradapositivadelavarianza:
( )21
1
ni i
xx X
Sn
,paradatosnoagrupados= −∑=
−,paradatosnoagrupados
( )21
1
ki i i
xx X f
Sn
,paradatosagrupados= −∑=
−,paradatosagrupados
2 22 1
1
ki i i
xx f nX
Sn
= −∑=−
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 225
Ladesviaciónestándarmide lacantidad típicaenque losvaloresdelcon-juntodedatosdifierendelamediaaritmética(HankeyReitsch,1997).Porestarazón,algunosautoresladenominan“desviacióntípica”.ObservaciónCuandosecalculaladesviaciónestándarutilizandotodoslosdatosdeunapo-blación,estasedenominadesviaciónestándarpoblacionalysedenotacon x .σ
Ejemplo 4.28En el ejemplo 4.27 se calculó la varianza de los gastos semanales (en soles)deunamuestradelpersonaladministrativodeunaempresadecemen-toenLima.Enesecaso,ladesviaciónestándarresulta:
28505 08 168 83xS , ,= =
Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelosgastossemanalesdelostrabajadoresdifierendelgastosemanalpromedioes168,83soles.
3.6.1 Propiedad de la desviación estándar
a) Paracualquierconjuntodedatos,ladesviaciónestándaressiempreunacantidadnonegativa.
0xS ≥
b) Silasobservacionestienenvaloresiguales,entoncesladesviaciónestándares0;esdecir,ladesviaciónestándardeunaconstantees0.Si ix c i = ∀ ,entonces:
0x cS S= =
c) Ladesviaciónestándardelproductodeunaconstanteporunavariableesigualalaconstanteporladesviaciónestándardelavariable;esdecir,si
cX=Y ,entonces:
y xS c S| |=
d) Ladesviación estándarde la sumadeunavariablemás (omenos)unaconstante, es igual a la desviación estándar de la variable; es decir, si
aX b= ±Y ,entonces: y xS S=
e) Engeneral, ladesviaciónestándarcumpleconlosiguiente:si X b,= ±Y entonces:
y xS a S=
f) La desviación estándar tiene la propiedad de que en el intervalo( )2 2x xX S X S;− + seencuentra,almenos,el75%delasobservaciones.Inclusosi tenemosmuchosdatosyestosprovienendeunadistribuciónsimétrica,podremosllegaral95%omás.
aX b= ±Y
X b,= ±Y aX b= ±Y
Estadística básica para los nEgocios226
Ejemplo 4.29Enuncentrocomercialdeventadepartesdecomputadora,seseleccionóunamuestrade25agentesdeventa,aquienesselespreguntócuántohabíanga-nadodecomisiones(X)lasemanaanterior.Losdatosrecolectados,ensoles,sonestos:
300 420 300 170 230 130 260 170 300 260 260 170 300420 70 80 260 440 80 300 420 230 130 230 300
a) Si las comisiones de los agentes se incrementaron en 10 %, más unabonificaciónde20soles,calculeeinterpreteladesviaciónestándar.
b) ¿Quéporcentajededatosseconcentraenelintervalo( )2 2x xX S X S; ?− +
Solución: a) Lamediaaritméticadelosdatoses
251 300 420 230 300 6230 249 20
25 25i ix
Xn
,= + +…+ +∑= = = =
Lavarianzaydesviaciónestándardelosdatoses:
2 225 22 1 1830100 25 249 2 11 566
1 24i i
xx nX
Sn
( , ) = − −∑= = =−
11566 107 55xS ,= =
SedefinelavariableY:comisión más el aumento,entoncesseobtieneesto: 1 1 20Y X,= +
1 1 1 1 107 55 118 31y xS S, , , ,= = × =
Sepuededecirquedespuésdelaumento,lacantidadtípicaenquelascomisionesdifierendelacomisiónpromedioesde118,31soles.
b) Conestosdatoselintervaloeseste:
( ) ( ) ( )2 2 249 2 2 107 55 249 2 2 107 55 34 1 464 3x xX S X S; , , ; , , , ; ,− + = − × + × =
Porlotanto,observamosqueenestecasoel100%delosdatosestánenelintervalo ( )34 1 464 3, ; , ,talcomoindicalapropiedadfdeladesviaciónestándar.
3.7 Coeficiente de variación (CV )
Eslamedidarelativadevariabilidadquesedefinecomolarelaciónentrelades-viaciónestándarylamediaaritmética.Dichoconceptoseutilizaparacalcularelniveldedesviacióndeunaseriededatosrespectodelvalorpromedioomediaaritméticayestádadoporlafórmula:
100xx
SCV
X= ×
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 227
Elcoeficientedevariaciónseexpresaenporcentajeyseutilizaparalosiguiente:• Medirelgradodevariabilidaddeunconjuntodedatos.• Compararelgradodevariabilidadentredosomásdistribuciones,auncuandolasunidadesdemedidadelasvariablesestánexpresadasendife-rentesunidadesoescalasdemedición.
Veamosalgunasconsideracionesdelcoeficientedevariación:• Elcoeficientedevariaciónsolosedebecalcularparavariablesqueasu-menvalorespositivos.Todamedidadevariabilidadesesencialmentenonegativa.Lasobservacionespuedenserpositivasonulasysuvariabilidaddebesersiemprepositiva.
• Cuandoladesviaciónestándaresmuypequeña,elcoeficientedevariacióntambiénespequeño,loquenosindicaquelosvaloresseencuentranmuyconcentradosrespectodelamedia.Encambio,cuandoelvalordeladesvia-ciónestándaresmuygrande,elcoeficientedevariaciónesgrandeyhastapodríasuperarel100%,loquenosindicaquelosdatossonmuydispersos.
3.7.1 Interpretación del coeficiente de variación
Una escala de interpretación del coeficiente de variación en fenómenos no controladoscomolosnaturales,sociales,deportivos,culturales,entreotros,eslasiguiente:
Rango del CVx Interpretación Nivel de variabilidad
0%<CVx<5% DatosmuyhomogéneosBajavariabilidad
5%≤CVx<10% Datoshomogéneos
10%≤CVx<15% Datosregularmentehomogéneos Moderadavariabilidad15%≤CVx<20% Datosregularmenteheterogéneos
20%≤CVx<25% DatosheterogéneosAltavariabilidad
CVx ≥ 25% Datosmuyheterogéneos
Ejemplo 4.30Conlafinalidaddeconocerladispersióndelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosyloscálculoscorrespondientessepresentanenlasiguientetabla:
Estadística básica para los nEgocios228
Tabla 4.25 Distribución de empleados según gasto semanal
Gasto xi fi xi fi2i ix f
[200; 400) 300 0 0 0[400; 600) 500 1 500 250 000[600; 800) 700 4 2800 196 000[800; 1000) 900 9 8100 729 000[1000; 1200) 1100 16 17 600 1 936 000
Total --- 30 29 000 28 860 000
Lamediaaritméticadelosdatoses:
51 29000 966 667
30 30i i ix f
X ,=∑= = =
Respectivamente,lavarianzayladesviaciónestándarson:
2 25 22 1 28860000 30 966 667 28505 08
1 29i i i
xx f nX
Sn
( , ) ,= − −∑= = =−
28505 08 168 83xS , ,= =
Luego,elcoeficientedevariaciónes:
168 83 100 17 47966 667xCV , , %,
= × =
Comoel xCV estáentre15%y20%,lavariabilidaddelosgastossemana-lesdelpersonaladministrativodelaempresadecementoesmoderaday,portanto,songastosregularmenteheterogéneos.
Ejemplo 4.31Conelpropósitodecompararlahomogeneidaddelasutilidadesmensuales(ensoles)entrepequeñasygrandesempresasdelsectortransporte,sehanseleccionado2muestrasdeestetipodeempresas,cuyosresultadosseresu-menacontinuación:
Tipo de empresa n X S
Pequeñaempresa 40 6 500 430
Granempresa 25 68 700 14 500
Elcoeficientedevariaciónparalaspequeñasempresases:
1
430 100 6 626500
CV , %= × =
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 229
Elcoeficientedevariaciónparalasgrandesempresases:
2
14500 100 21 1168700
CV , %
= × =
Como 1 2CV CV ,< seconcluyequelaspequeñasempresasgeneranutili-dadesmáshomogéneasentreellas(solo6,62%devariabilidad)encompara-ciónconlasgrandesempresas(con21,11%devariabilidad).
3.8 Comparación de la desviación media con la desviación estándar
Laprincipaldeficienciadeladesviaciónmediaydeladesviaciónestándarsedebeaqueambasmedidaspromedianlasdesviacionespositivas;estoes,quenoreconoceelsignodelasdesviaciones.Ladesviaciónmediaarrojalosvaloresabsolutosdelasdesviacionesdelosdatosrespectodelamedia,yladesviaciónestándareslaraízdelpromediodelasdesviacionescuadráticas.Noobstantequeladesviaciónmediaesunamedidaintuitivadeladisper-
sión,tambiénresultaserinconveniente,yaqueapartirdeellanosepuedenob-tenerotrasmedidasestadísticas.Sinembargo,apartirdeladesviaciónestándarsíseobtienenmedidasimportantes,comoelcoeficientedevariaciónyelcoefi-cientedeasimetríadePearson,medidasestudiadasenlasseccionesposteriores.Tanto ladesviaciónmediacomo ladesviaciónestándarseexpresanen las
mismasunidadesquelavariabledeinterés;esdecir,tienenlasmismasdimen-sionesquelasobservaciones.Paraelcálculodeladesviaciónmedia,lasumadevaloresabsolutosesrelativamentesencilla,peroestasimplicidadtieneunincon-venientedesdeelpuntodevistaalgebraico:elvalorabsolutoesunaoperaciónnoalgebraica(lasoperacionesalgebraicasincluyenlasuma,elproducto,laraízcuadradaylaelevaciónapotenciasenterasofraccionarias,peroelvalorabsolu-tonoestáincluido).Elusodevaloresabsolutoscreaproblemasalgebraicosenlosmétodosinferencialesdelaestadística.Porejemplo,parahacerinferenciasdelasmediasdedospoblaciones,serequierelapropiedaddesumadevarianzas,peroladesviaciónmedianoposeetalpropiedaddeadición.Encontraste,ladesvia-ciónestándarutilizaúnicamenteoperacionesalgebraicas.Ladesviaciónestán-darseasemejaalasfórmulasnaturalesdedistanciaqueseempleanenálgebra,puestoquesebasaenlaraízcuadradadeunasumadecuadrados(Triola,2009).
Estadística básica para los nEgocios230
ejercicios y problemas resueltos 4.2
1. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,eltiempodegrabaciónporlotesdebeestarentre9,2y10segundos.Seinstalarondossistemasdegrabación,unsistemaantiguoyotronuevo,ysetomaronlecturasdeltiempodegraba-ción.Seobtuvieronlosdatosquesemuestranenlassiguientestablas:Sistemaantiguo:
8,05 8,72 8,72 8,8 9,55 9,7 9,73 9,8 9,8 9,89,84 9,87 9,87 9,95 9,97 9,98 9,98 10 10,01 10,0210,03 10,05 10,05 10,12 10,15 10,15 10,26 10,26 10,29 10,55
Sistemanuevo:
8,51 8,65 8,68 8,72 8,78 8,8 8,82 8,82 8,83 9,149,19 9,27 9,35 9,36 9,37 9,39 9,43 9,48 9,49 9,549,55 9,6 9,63 9,64 9,7 9,75 9,85 9,98 9,98 9,989,98 10,03 10,05 10,05 10,09 10,1 10,12 10,12 10,15 10,15
a) Calculae interpretaelrangoordinarioyelrangointercuartildecadamuestra.
b) Calculaeinterpretaladesviaciónmediadecadamuestra.c) Calculaeinterpretaladesviaciónestándardecadamuestra.d) Calculaeinterpretaelcoeficientedevariacióndecadamuestra.e) Indiqueconcuáldelosdossistemaselprocesodegrabacióntieneunfuncionamientomásadecuado.
Solucióna) Paraelsistemaantiguoseobtiene:
10 55 8 05 2 5R , , ,= − =
Laamplitudtotaldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadegrabaciónantiguoes2,5segundos.Demanerasimilar,respectivamente,elprimerytercercuartilson:
( )1 9 73 0 75 9 80 9 73 9 7825Q , , , , ,= + − =
( )3 10 05 0 25 10 12 10 05 10 0675Q , , , , ,= + − =
Luego,elrangointercuartiles: 10 0675 9 7825 0 285QR , , ,= − =
Laamplituddel50%centraldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadegrabaciónantiguoes0,285segundos.Paralaubicaciónnuevaseobtiene:
10 15 8 51 1 64R , , ,= − =
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 231
Laamplitudtotaldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemanuevoes1,64segundos.Demanerasimilar,respectivamente,elprimerytercercuartilson
( )1 9 14 0 25 9 19 9 14 9 1525Q , , , , ,= + − =
( )3 9 98 0 75 9 98 9 98 9 98Q , , , , ,= + − =
Luego,elrangointercuartiles: 9 98 9 1525 0 8275QR , , ,= − =
Laamplituddel50%centraldelostiemposdegrabaciónemitidosporelsistemadenuevoes0,8275segundos.
b) Paraelsistemaantiguoseobtiene:
294 07 9 8023
30X , ,= =
8 05 9 8023 10 55 9 8023 10 71 0 356930 30mD
, , , , , ,− +…+ −
= = =
Enpromedio,eltiempodeunagrabaciónemitidoporelsistemaan-tiguosedesvíadeltiempopromediodegrabaciónen0,3569segundos.Paraelsistemanuevoseobtiene:
380 12 9 50340
X , ,= =
8 51 9 503 10 15 9 503 16 954 0 4238540 40mD
, , , , , ,− +…+ −
= = =
Enpromedio,eltiempodeunagrabaciónemitidoporelsistemanue-vosedesvíadeltiempopromediodegrabaciónen0,42385segundos.
c) Paraelsistemaantiguoseobtiene:
( ) ( )2 22 8 05 9 8023 10 55 9 8023 8 4837 0 2925
29 29xS, , , , , ,
− +…+ −= = =
0 2925 0 5408xS , ,= =
Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelostiemposdegrabacióndelsistemaantiguodifierendeltiempopromedioes0,5408segundos.Paraelsistemanuevosetieneque:
( ) ( )2 22 8 51 9 503 10 15 9 503 10 1252 0 2596
39 39xS, , , , , ,
− +…+ −= = =
0 2596 0 5095xS , ,= =
Sepuededecirquelacantidadtípicaenquelostiemposdegrabacióndelsistemanuevodifierendeltiempopromedioes0,5095segundos.
Estadística básica para los nEgocios232
d) Paraelsistemaantiguo:
0 5408 100 5 529 8023xCV , , %,
= × =
Elniveldevariabilidaddelostiemposdegrabaciónconelsistemaantiguoes5,52%,quecorrespondeabajavariabilidad.Paraelsistemanuevo:
0 5095 100 5 369 503xCV , , %,
= × =
Elniveldevariabilidaddelostiemposdegrabaciónconelsistemanuevoes5,36%,quecorrespondeabajavariabilidad.
e) Alresumirlosresultados,seobtiene: Ubicaciónantigua: 9 8023 5 52xX CV, ; , %= =
Ubicaciónnueva: 9 503 5 36xX CV, ; , %= =
Ambossistemasemiten tiemposdegrabaciónpromedioqueestánentre9,2y10segundos,peroconelnuevosistemalostiemposdegraba-ciónsonligeramentemáshomogéneosqueconelsistemaantiguo.Portanto,elsistemanuevoeselmásadecuado.
2. Unaempresadeestudiosdemercadoharealizadounainvestigaciónparaaveriguarelgastomensual (ensoles)encervezade losconsumidoresdedossupermercadosdeLimaMetropolitana,MonterreyyTía.Paraelestu-diosehanconsiderado tamañosdemuestrade500y700consumidores,respectivamente.Losresultadosobtenidossepresentanen lassiguientestablas:
Tabla 4.26 Distribución de consumidores del supermercado Monterrey según
gasto en cerveza
Gasto en cerveza ix if
[20; 40) 30 120[40; 60) 50 140[60; 80) 70 100
[80; 100) 90 80[100; 120) 110 30[120; 140) 130 20[140; 160] 150 10
Total 500
Tabla 4.27 Medidas estadísticas de resumen
de los gastos en cerveza en el supermercado Tía
Medida Valor
Media 84,4Desviaciónestándar 29,97Mediana 78,57Moda 66,67Percentil25 60,71Percentil75 103,75Mínimo 40Máximo 180
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 233
a) Enpromedio,¿encuálsupermercadoelconsumodecervezaesmayor?b) ¿Encuáldelossupermercadoselgastodeconsumodecervezaesmáshomogéneo?
SoluciónPararesponderlaspreguntas,secalculanlosgastosdeconsumopromedioyelcoeficientedevariacióndelosgastosencadasupermercado.ParaelsupermercadoMonterrey,seobtienelosiguiente:
Gasto en cerveza xi fi xi fi2i ix f
[20; 40) 30 120 3600 108000[40; 60) 50 140 7000 350000[60; 80) 70 100 7000 490000[80; 100) 90 80 7200 648000[100; 120) 110 30 3300 363000[120; 140) 130 20 2600 338000[140; 160] 150 10 1500 225000
Total 500 32 200 2 522 000
32200 64 4
500X ,= =
( )22 2522000 500 64 4898 44
499xS ,
,− ×
= =
898 44 29 97xS , ,= =
29 97 100 46 5464 4xCV , , %,
= × =
ParaelsupermercadoTía,seobtiene:
29 9784 4 100 35 5184 4
X CV ,, ; , %,
= = × =
a) EnelsupermercadoTía,elgastopromediodeconsumodecervezaes84,4solesyenMonterreyes64,4.EnelsupermercadoTíaesmayorelconsumopromedio.
b) EnelsupermercadoTía,elgastodeconsumodecervezaesmáshomo-géneo:suniveldevariaciónesdel35,51%mientrasqueenMonterreyes46,54%.
3. Unauniversidadhadecididoprobar3nuevostiposdefocos.Tienen3aulasidénticaspararealizarelexperimento.Elfoco1tieneunavidamediade1470horasyunavarianzade156horasalcuadrado.Elfoco2tieneunavidamediade1400horasyunavarianzade81horasalcuadrado.Lavidamedia
Estadística básica para los nEgocios234
delfoco3es1350horasconunadesviaciónestándarde6horas.Clasifiquelosfocosentérminosdelavariabilidadrelativa.¿Cuáleseltipodefocomáshomogéneoensuduración?
SoluciónParaelfoco1,seobtiene:
21470 156 156 12 49x xX S S ; ; , = = = =
12 49 100 0 851470xCV , , %
= × =
Paraelfoco2,resulta:
2 91400 81 81 9 100 0 64
1400x x xX S S CV ; ; ; , %
= = = = = × =
Paraelfoco3,seobtiene
61350 6 100 0 441350x xX S CV ; ; , %
= = = × =
Elfocodetipo3eselmáshomogéneoenladuración,puespresentaelmenorcoeficientedevariación.
4. Lossiguientesdatosserefierenalaventadiaria(ensoles)detrestiendasdedicadasa laventadeartículosde ferretería.Esta informaciónse tomódurantelosúltimosdiezdías:
10 10 2
1 14000 1625000i i
i i: x xTiendaA ;
= == =∑ ∑
10
16 7 6000x i
iCV xTiendaB : , %;
== =∑
2 2025 770x: S XTiendaC ;= =
¿Quétiendatienemejorventasdiarias?Justifiquesurespuesta.
SoluciónParalatiendaA,seobtiene:
( )22 1625000 10 4004000 400 2777 7810 9xX S
; ,
−= = = =
52 702777 78 52 70 100 13 18400x xS CV , , , ; , %= = = × =
ParalatiendaB,resulta:
6000 600 6 710 xX CV; , %= = =
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 235
ParalatiendaC,seobtiene: 2770 2025 2025 45x xX S S; ; = = = =
45 100 5 84770xCV , %= × =
LatiendaCtienemejoresventasdiarias,conunpromediode770pordía(elmayorpromedio).Además,latiendaCtienelasventasmáshomogéneasalpresentarelmenorcoeficientedevariación(5,84%).Porlotanto,latiendaCtienelasmejoresventasdiarias.
ejercicios y problemas propuestos 4.2
1. LapapeleraAtlasutilizadosmáquinas(AyB)paracortarpapelbondconunamedidaporhojade12centímetrosdelargo.Acontinuación,sepresentaunamuestrade8hojasbondseleccionadasdeunlotedelamáquinaAy7hojasseleccionadasdeotrolotedelamáquinaB,ambasconmedidasencen-tímetros.LapapeleraAtlasdeberáutilizarlamáquinaquecortelashojasconlamayorprecisiónensustamaños.¿Cuáldelasmáquinasdeberáutilizar?
Máquina A Máquina B
12,2 12,211,9 11,911,8 11,512,1 12,111,9 12,212,4 11,911,3 11,812,3
Estadística básica para los nEgocios236
2. Haysospechasdequeunamáquinaautomáticaquellenaenvasesestátra-bajandodemaneraerrática.Unaverificacióndelospesos(engramos)delcontenidodeunamuestradeenvasesrevelólosiguiente:
Tabla 4.28 Distribución de envases según peso
Peso xi fi
[140; 150) 145 12[150; 160) 155 27[160; 170) 165 22[170; 180) 175 17[180; 190) 185 7[190; 200) 195 5
a) ¿Cuáleslacantidadtípicaenlaquelospesosdelosenvasesdifierendelpesopromedio?
b) Calculeeinterpreteelniveldevariabilidaddelospesosdelosconteni-dosdelosenvasesdelamuestra.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 237
3. LajuntadirectivadelGrupoIntercorpestáconsiderandoadquirirunaodoscompañías; por ello, examinaminuciosamente la administraciónde cadaunadeestasconelfindehacerunatransacciónlomenosriesgosaposible.Durantelosúltimoscincoaños,laprimeradelascompañíastuvouna
recuperaciónmediadeloinvertidodel28%,conunadesviaciónestándardel5,3%.Laotratuvounarecuperaciónmediadeloinvertidodel37,8%,conunadesviaciónestándardel4,8%.Siconsideramosriesgosoasociarseconunacompañíaquetengaunaaltadispersiónrelativaenlarecupera-ción,¿cuáldeestasdoshaseguidounaestrategiamásriesgosa?
4. LaempresaHiguchitiene150proveedoresenPerúyEcuador.Acontinua-ción,sepresentaunresumendelasmedidasestadísticasacercadelvalordeventas(enmilesdesoles)desusproveedores:
Medida n X Mo xS Mín Máx 1Q 3Q
Valor de ventas 150 128,1 81,0 162,7 2,0 1019,0 38,7 138,2
a) Calculeeinterpreteelrangooamplitudtotal.
Estadística básica para los nEgocios238
b) Calculeeinterpreteelrangointercuartil.
c) Calculeeinterpreteelcoeficientedevariación.
5. Enunaempresa, ladistribucióndesalariosdelostrabajadorestieneunamediaaritméticade150solesyunadesviaciónestándarde25soles.Comosoluciónaunconflictolaboral,seproponen2alternativas:a) Unaumentogeneraldel60%delossalarios.b) Unaumentogeneraldel40%delossalariosyunabonificaciónadicionalde30solesacadatrabajador.
¿Cuáldelasalternativaspropuestasleconvienerechazaralostrabajadores?Justifiquesurespuesta.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 239
6. SepideaunapersonarecientementeformadaenAdministraciónqueana-licelavariabilidaddelospreciosdelasaccionesde3compañíasdiferentesparaayudaralgerentedeunbancoainvertirenunfondofiduciario.Las3compañíaspertenecenalmismosectorysehanvistoafectadasporunarecientemodificaciónde lasreglamentacionesoficiales.Por tal razón, las16semanasanterioressonindicativasdemarchafutura.Lasaccioneshanpagadodividendosparecidoshastaahora,yeseeselcriterioprincipaldelgerente.Peropara evitar la especulación, el gerenteprefiere tambiénac-cionesquenofluctúenmuchoensuscotizaciones.Sedanenseguida lascotizacionessemanalesalcierredeoperacionesdelastresaccionesenlas16semanasanteriores.
Acción A Acción B Acción C90 94 94 97 98 96100 102 97 106 93 105105 101 112 94 115 9498 106 96 97 102 10197 98 106 99 92 10298 99 113 11 103 105103 97 92 96 101 98110 102 95 96 100 105
¿Quérecomendacionessedebedaralgerentedelbanco?
Estadística básica para los nEgocios240
4. meDiDas estaDísticas De asimetría
Sonmedidasquepermitenestablecerelgradodeasimetríadeunconjuntodeobservacionesodeunadistribucióndefrecuenciasdeunavariablecuantitativa.Siunadistribuciónessimétrica,existeelmismonúmerodevaloresalade-
rechaquealaizquierdadelamedia;portanto,hayelmismonúmerodedes-viacionesconsignopositivoqueconsignonegativo.Decimosquehayasimetría positiva(oa laderecha)si la“cola”a laderechade lamediaesmás larga;esdecir,sihayvaloresmásseparadosdelamediaaladerecha.Diremosquehayasimetríanegativa(oalaizquierda)sila“cola”alaizquierdadelamediaesmáslarga;esdecir,sihayvaloresmásseparadosdelamediaalaizquierda.
Gráfico 4.5 Tipos de distribuciones de frecuencias
Distribución de frecuencias simétrica
Distribución de frecuencias asimétrica negativa Distribución de frecuencias asimétrica positiva
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 241
4.1 Coeficiente de asimetría de Fisher (AF)
Paradatosnoagrupados,elcoeficientedeasimetríadeFishersecalculaconlasiguientefórmula:
( )313
ni i
Fx
x XA
nS= −∑
=
Donde:xi=valordelavariableX Paradatosagrupados,elcoeficientedeasimetríadeFishersecalculaconla
fórmula:
( )313
ki i i
Fx
x X fA
nS= −∑
=
Donde:xi=valordelamarcadeclasei
fi=frecuenciaabsolutasimpledelamarcadeclasei
4.2 Coeficientes de asimetría de Pearson
4.2.1 Primer coeficiente de Pearson (AP1)
Engeneral, este coeficiente se puedeutilizar endistribucionesunimodales ymoderadamenteasimétricas.Estádadopor:
1Px
X MoAS−
=
4.2.2 Segundo coeficiente de Pearson (AP2)
ElsegundocoeficientedePearsonseobtienecuandosereemplaza 3 2Mo Me X= − en el primer coeficiente de Pearson; es decir, el segundo coeficiente de Pearsones:
( )2
33 2P
x x
X MeX Me XAS S
−− += =
Estesegundocoeficientetambiénsetienequeutilizarendistribucionesuni-modalesymoderadamenteasimétricas.
Observación CuandolamodanoesconocidaseutilizaelsegundocoeficientedePearson.Engeneral,espreferibleutilizarelprimercoeficientedePearson.
Estadística básica para los nEgocios242
4.3 Interpretación del coeficiente de asimetría
Los coeficientesde asimetríadeFisheroPearson se interpretande lamismamanera:
Coeficientedeasimetría Interpretación
–0,05≤ CA ≤ 0,05 Simétrica
–0,3≤ CA<–0,050,05<CA≤ 0,3
Moderadamentesimétrica
–0,6≤ CA<–0,30,3<CA≤ 0,6
Moderadamenteasimétrica
CA<–0,6oCA>0,6 Asimétricafuerte
Ejemplo 4.32LaempresaAAAesdistribuidorademotoreseléctricospequeños.Aligualqueencualquiernegocio,esimportanteeltiempoquesetomanlosclientesparapagarsusfacturas.Sepresentanlostiemposendías,ordenadosdeme-noramayor,deunamuestradefacturasdeesaempresa.
13 13 13 20 26 27 31 34 34 34 34 35 35 36 37
38 41 41 45 47 47 47 50 51 53 54 56 62 67 82
Sigraficamos losdatosenunhistogramade5 intervalos,vemosque ladistribucióntieneasimetríapositiva.
Gráfico 4.6 Distribución del tiempo del pago de facturas
Tiempo 10 25 40 55 70 85
14
12
10
8
6
4
2
0
Frec
uenc
ia
ElcoeficientedeasimetríadeFisheres:
( )( )
31
3 340836 36 0 3444
30 15 81
ni i
Fx
x XA
nS , ,,
= −∑= = =
×
ElprimercoeficientedeasimetríadePearsones:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 243
1
40 1 34 0 385815 81P
x
X MoAS
, ,,
− −= = =
Amboscoeficientesnosindicanqueladistribucióntieneasimetríapositi-vamoderada,talcomoseobservaenelgráficoanterior.
Ejemplo 4.33Conlafinalidaddeconocerlaasimetríadelosgastossemanales(ensoles)delpersonaladministrativodeunaempresadecementoenLima,enenerodel2016,seseleccionóunamuestrade30personas.Losdatosresumidosy loscálculosnecesariossepresentanenlasiguientetabla:
Tabla 4.29 Distribución de empleados según gasto semanal
Gasto xi fi Fi xi fi2ix fi
[200; 400) 300 0 0 0 0[400; 600) 500 1 1 500 250 000[600; 800) 700 4 5 2800 196 000
[800; 1000) 900 9 14 8100 729 000[1000; 1200) 1100 16 30 17 600 1 936 000
Total --- 30 --- 29 000 28 860 000
Lamedia aritmética, lamoday lamedianade estosdatos son, respec-tivamente:
51 29000 966 67
30 30i i ix f
X ,=∑= = =
71000 200 1060 877 16
Mo , = + × = +
15 141000 200 1012 516
Me , − = + × =
Lavarianzayladesviaciónestándarson:
2 25 22 1 28860000 30 966 67 28505 75
1 29i i i
xx f nX
Sn. ( , ) ,= − −∑= = =−
28505 75 168 84xS , ,= =
ElprimercoeficientedePearsones:
1
966 67 1060 87 0 5579168 84P
x
X MoAS
, , ,,
− −= = = −
ElsegundocoeficientedePearsones:
( ) ( )2
3 3 966 67 1012 50 8143
168 84Px
X MeA
S, ,
,,
− × −= = = −
Estadística básica para los nEgocios244
Amboscoeficientesnosindicanqueladistribucióntieneasimetríanega-tiva.Elprimer coeficiente indicaque la asimetríanegativa esmoderadayelsegundo,quelaasimetríaesfuerte.Enelsiguientegráficosemuestralaformaasimétricanegativaquepresentaladistribución.
Gráfico 4.7 Distribución del gasto semanal de empleados
Gasto
Frec
uenc
ia d
e pe
rson
as
200 400 600 800 1000 1200
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
ejercicios y problemas resueltos 4.3
1. LapapeleraAtlasutiliza2máquinas(AyB)paracortarpapelbondconunamedidaporhojade12centímetrosde largo.Acontinuación,sepresentaunamuestrade8hojasbondseleccionadasdeunlotedelamáquinaAy7hojasseleccionadasdeotrolotedelamáquinaB,ambasmedidasencentí-metros.LapapeleraAtlasdeberáutilizarlamáquinaquecortelashojasconlamenorasimetríaensustamaños.UtilizandoelcoeficientedeasimetríadeFisher,¿cuáldelasmáquinasdeberáutilizar?
Máquina A Máquina B
12,2 12,2
11,9 11,9
11,8 11,5
12,1 12,1
11,9 12,2
12,4 11,9
11,3 11,8
12,3
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 245
SoluciónParalamáquinaAseobtiene:
8 11 9875 0 3482xn X S, , , ,= = =
( )8 3
10 2212i
ix X ,
=− = −∑
3
0 2212 0 65488 0 3482FA , ,
,−
= = −×
ParalamáquinaBseobtiene: 7 11 9429 0 2507xn X S , ,= = =
( )7 3
10 0520i
ix X ,
=− = −∑
3
0 0520 0 47187 0 2507FA , ,
,−
= = −×
LamáquinaBtienemenorasimetríaeneltamañodelashojas;portanto,deberáutilizarselamáquinaB.
2. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,laseñaldebeestarentre9,2y10vol-tios.Seinstalaronsistemasdegrabaciónenunaubicaciónantiguayenunanuevaubicación,ysetomaronlecturas.Losdatosregistradossemuestranenlasiguientetabla:Ubicaciónantigua:
8,05 8,72 8,72 8,80 9,55 9,70 9,73 9,80 9,80 9,84
9,84 9,87 9,87 9,95 9,97 9,98 9,98 10,00 10,01 10,02
10,03 10,05 10,05 10,12 10,15 10,15 10,26 10,26 10,29 10,55
Ubicaciónnueva:
8,51 8,65 8,68 8,72 8,78 8,80 8,82 8,82 8,83 9,14
9,19 9,27 9,35 9,36 9,37 9,39 9,43 9,48 9,49 9,54
9,55 9,60 9,63 9,64 9,70 9,75 9,85 9,87 9,95 9,98
10,01 10,03 10,05 10,05 10,09 10,10 10,12 10,12 10,15 10,15
CalculeelcoeficientedeasimetríadeFisherycompareelgradodeasi-metríadeambasmuestras.
Estadística básica para los nEgocios246
SoluciónParalaubicaciónantiguaseobtiene:
30 9 8037 0 5409xn X S, , , ,= = =
( )30 3
18 0443i
ix X ,
=− = −∑
3
8 0443 1 694330 0 5409FA , ,
,−
= = −×
Paralaubicaciónnuevaseobtiene:
40 9 5003 0 5072xn X S, , , ,= = =
( )
40 3
11 9758i
ix X ,
=− = −∑
3
1 9758 0 378540 0 5072FA , ,
,−
= = −×
La ubicación nueva proporciona lecturas de señal de grabación con menorasimetría.
3. SepideaunapersonarecientementeformadaenAdministraciónqueanali-celasimetríadelospreciosde3accionesdiferentesparaayudaralgerentedeunbancoainvertirenunfondofiduciario.Las3compañíasestánenlamismaindustriaysehanvistoafectadasporunarecientemodificacióndelasreglamentacionesoficiales.Portalrazón,las16semanasanterioressonindicativasdelamarchafutura.Lasaccioneshanpagadodividendospare-cidoshastaahorayeseeselcriterioprincipaldelgerente.Peroparaevitarlaespeculación,elgerenteprefieretambiénaccionesquenoesténsesgadasaladerechanialaizquierda.Sepresentaacontinuaciónlospreciossema-nalesalcierredelas3accionesenlas16semanasanteriores.
Acción A Acción B Acción C90 94 94 97 98 96100 102 97 106 93 105105 101 112 94 115 9498 106 96 97 102 10197 98 106 99 92 10298 99 113 111 103 105103 97 92 96 101 98110 102 95 96 100 105
¿Quérecomendacionessedebedaralgerentedelbanco?
SoluciónDadoquelosdatosnosonunimodales,seutilizaelcoeficientedeasimetríadeFisher.Así,paralastresaccionesseobtiene:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 247
Acción A:
16 100 4 8028xn X S, , ,= = =
( )
16 3
190i
ix X
=− =∑
3
90 0 050816 4 8028FA ,
,= =
×
Acción B:
16 100 0625 7 0377xn X S, , , ,= = =
( )
16 3
14205 6953i
ix X ,
=− =∑
3
4205 6953 0 754116 7 0377FA , ,
,= =
×
Acción C:
16 100 625 5 6906xn X S, , , ,= = =
( )
16 3
11729 3125i
ix X ,
=− =∑
3
1729 3125 0 586516 5 6906FA , ,
,= =
×
Deacuerdoalosresultados,laacciónApresentapreciosmoderadamen-tesimétricos,laCtienepreciosmoderadamenteasimétricos,ylaB,preciosasimétricos.
4. LaempresaHiguchitiene150proveedoresenPerúyEcuador.Acontinua-ción,sepresentaunresumendelasmedidasestadísticasacercadelvalordeventas(enmilesdesoles)desusproveedores:
Medida n X Mo xS
Valordeventas 150 128,1 81,0 162,7
Calculeeinterpreteelgradodeasimetríadelosdatos.
SoluciónDeacuerdoconlasmedidasproporcionadas,soloesposiblecalcularelpri-mercoeficientedePearson;esdecir:
1
128 1 81 0 2895162 7P
x
X MoAS
, ,,
− −= = =
Por tanto, los valores de ventas de los proveedores presentan simetríamoderada.
Estadística básica para los nEgocios248
5. Lossiguientesdatosserefierenalaventadiaria(ensoles)de3tiendasdedi-cadasalaventadeartículosdeferretería;estainformaciónsetomódurantelosúltimosdiezdías:
10 10 2
1 14000 1625000i i
i i: x xTiendaA ,
= == =∑ ∑
10
16 7 6000x i
i: CV xTiendaB , %,
== =∑
2 2025 770x: S XTiendaC ,= =
Laventadiariamásfrecuenteencadatiendafuede480,590y835,respec-tivamente.¿Cuáldelastiendasesmenosasimétricaenlasventasdiarias?
SoluciónDeacuerdoconlosdatosproporcionados,seutilizaelprimercoeficientedeasimetríadePearson.ParalatiendaAseobtiene:
22 1625000 10 40010 400 2777 78
9xn X S , , , − ×= = = =
52 705 480xS Mo, ,= =
1
400 480 1 517952 705P
x
X MoAS
,,
− −= = = −
ParalatiendaBseobtiene:
6 7 60010 600 40 2 590100xn X S Mo,, , , ,×
= = = = =
1
600 590 0 248840 2P
x
X MoAS
,,
− −= = =
ParalatiendaCseobtiene:
770 2025 45 835xX S Mo, ,= = = =
1
770 835 1 444445P
x
X MoAS
,− −= = = −
Porconsiguiente,latiendaBesmenosasimétricaenlasventasdiarias.
6. Unaempresadeestudiosdemercadoharealizadounainvestigaciónparaaveriguarelgastomensual(ensoles)encervezaquerealizanlosconsumi-doresendossupermercadosdeLimaMetropolitana,MonterreyyTía.Paraelestudiosehanconsideradotamañosdemuestrade500y700consumi-dores,respectivamente.Losresultadosobtenidossepresentanacontinua-ción:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 249
Tabla 4.30 Distribución de consumidores del Supermercado Monterrey según
gasto de cerveza
Gasto en cerveza xi fi
[20; 40) 30 120 [40; 60) 50 140 [60; 80) 70 100 [80; 100) 90 80[100; 120) 110 30[120; 140) 130 20[140; 160] 150 10
Total 500
Tabla 4.31 Medidas estadísticas de resumen
de los gastos de cerveza en el supermercado Tía
Medida Valor
Media 84,4Desviaciónestándar 29,97Mediana 78,57Moda 66,67Percentil25 60,71Percentil75 103,75Mínimo 40Máximo 180
¿Enquésupermercadohaymenorasimetríaenlosgastosdeconsumodecerveza?
SoluciónUtilizamoselprimercoeficientedePearsonparadeterminarelgradodeasimetríaencadasupermercado.Así,seobtiene:SupermercadoMonterrey:
500 64 4 29 97 46 67xn X S Mo, , , , , ,= = = =
1
64 4 46 67 0 591629 97P
x
X MoAS
, , ,,
− −= = =
SupermercadoTía:
700 84 4 29 97 66 67xn X S Mo, , , , , ,= = = =
184 4 66 67 0 5916
29 97Px
X MoAS
, , ,,
− −= = =
Porlotanto,ambossupermercadostienenelmismogradodeasimetría:sonmoderadamenteasimétricospositivos.
Estadística básica para los nEgocios250
ejercicios y problemas propuestos 4.3
1. Enunestudiodirigidoalosnegociosdecomida(restaurantes)queofrecenmenúsdiariosyplatosa lacarta,sehanrecogidodiferentescaracterísti-casdeinterés.Elárea(enmetroscuadrados)destinadoalacocina,enunamuestradeestosrestaurantesseleccionadaalazar,es:
19,6 20,2 21,7 21,7 22,1 22,1 22,2 22,3 22,7 22,922,9 22,9 22,9 23,4 24,2 24,3 24,3 24,4 24,7 25,125,3 25,5 25,5 26,0 26,0 26,0 27,4 27,4 27,5 27,6
a) CalculeelcoeficientedeasimetríadeFisherydetermineelgradoytipodeasimetría.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 251
b) Calcule el primer coeficiente de asimetría de Pearson y determine elgradoytipodeasimetría.
2. En la siguiente tabla se presenta la distribución de ingresos diarios (en soles)de150trabajadoresdeunhotel.
Tabla 4.32 Distribución de ingresos diarios de trabajadores
Ingresos xi fi Fi
[60; 100) 15
[100; 140) 45
[140; 180) 105
[180; 220) 129
[220; 260) 150
CalculeelprimercoeficientedeasimetríadePearsonydetermineelgradoytipodeasimetría.
Estadística básica para los nEgocios252
3. Latablaacontinuaciónresumelosdatosde2muestrasrepresentativasdeloscréditosconcedidos,enmilesdesoles,pordosagenciasdeunaentidadbancaria.
Tabla 4.33 Distribución de créditos concedidos según su valor
Agencia A Agencia BValor crédito N.º créditos N.º créditos
[0; 4) 3 10[4; 8) 4 12
[8; 12) 6 8[12; 16) 58 30
[16; 20) 78 12[20; 24) 90 15[24; 28) 20 5[28; 32) 6 6[32; 36) 4 16
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 253
¿Cree usted que la distribución de los créditos es más asimétrica en laagenciaA?SustentesurespuestaconelprimercoeficientedePearson.
4. Unaempresadeinvestigacióndemercadollevaacabounainvestigaciónparaobtenerindicadoresquelepermitancompararelconsumodeenergíaeléctricamensual(enkilowatts)delasfamiliasenlasciudadesAlfayBeta.Losresultadosdelconsumodeenergíaeléctricamensualobtenidosen2muestrasdefamiliasseleccionadasenambasciudadessonestos:
Ciudad Alfa
100,1 100,2 100,4 101,4 101,6 102,5 102,7 102,8
102,9 103,4 103,4 103,4 103,4 104,8 105,3 105,6
Estadística básica para los nEgocios254
Tabla 4.34 Distribución de familias de la ciudad
Beta según consumo de energía eléctrica
Consumo Número de familias [100; 180) 8[180; 260) 15[260; 340) 10[340; 420) 5[420; 500) 2
¿ElconsumodeenergíaenlaciudadAlfapresentamayorasimetríaencom-paraciónconlaciudadBeta?¿Porqué?SustentesurespuestaconelprimercoeficientedePearson.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 255
5. gráficos para el análisis exploratorio De Datos
Elanálisisexploratoriodedatos(AED)tienecomoobjetivoidentificarelmodeloteóricomásadecuadopararepresentarlapoblacióndelaqueprocedenlosdatosdeunamuestraaleatoria.Dichoanálisissebasaengráficosymedidasestadís-ticasqueexaminanladistribucióneidentificancaracterísticascomolosvaloresatípicosuoutliers,lossaltosolasdiscontinuidades,lasconcentracionesdevalo-res,laformadeladistribución,entreotros.Porotraparte,esteanálisissepuederealizarentodosloscasosdemaneraconjuntaodeformaseparadaporgrupos.Enesteúltimocaso,losgráficosyestadísticospermitenidentificarsilosdatosprocedendeunaovariaspoblaciones,considerandolavariablequedeterminalosgruposcomofactordiferenciadordelaspoblaciones.Cuandosetieneunconjuntodedatos,elenfoqueAEDrecomiendainiciarsu
análisisconlarealizacióndegráficosparavisualizarsuestructura.Porejemplo,paradatoscuantitativos,seaconsejacomenzarconeldenominado“diagramadetallosyhojas”,unatécnicaquepreservaenloposiblelosdetallesdelosdatosyseconstituyeenunprimerniveldecomprensión;oconel“diagramadecajaybi-gotes”,queproporcionancaracterísticasdeladistribución,comolalocalización,ladispersiónylaasimetríadelosdatos.Contalestécnicassepretendedetectarlaestructurasubyacentedeladistribucióndelosdatos,asícomolaexistenciadeposiblesanomalíasopatronesnoprevistosenellos, loqueproporcionaalinvestigadorunamejorcomprensióndelosfenómenosqueestudia.
5.1 Diagrama de tallos y hojas
Permiteobtenersimultáneamenteunadistribucióndefrecuenciasdeunavaria-blecuantitativaysurepresentacióngráfica.Paraconstruirlobastaseparar,encadadato,elúltimodígitodeladerecha(queconstituyelahoja)delbloquedecifrasrestantes(queformaráeltallo).Porejemplo,eldatodevalor125sedes-componeentallo12yhoja5.Estediagramaesunaformarápidadeobtenerunarepresentaciónvisualdel
conjuntodedatos.Parafacilitarladeterminacióndelaformadeladistribucióndelosdatossenecesitanalmenos5tallos. Estediagramaesfácildeconstruircuandohayunnúmerono tangrandededatos (n <100).Paramuestrasmásgrandesesconvenienteutilizaralgúnsoftwareestadísticoparasuconstrucciónolastablasdedistribucióndefrecuenciasquehemosvistoanteriormente.Losdiagramasdetallosyhojasnosdanunaideade la localizaciónde los
datos,dispersiónyformadeladistribución.Estarepresentacióndelosdatosessemejantealadeunhistogramadefrecuencias,peroademásdeserfácilesdeelaborar,presentanmásinformaciónqueestos.
Estadística básica para los nEgocios256
Gráfico 4.8 Comparación entre tallos y hojas e histograma de frecuencias
Tallos Hojas
1 2689
2 0344459
3 113466799
4 0015
5 467
Histogramadefrecuencias
4
7
9
4
3
5.1.1 Construcción del diagrama de tallos y hojas
Dadounconjuntodedatoscuantitativos,dondecadaunatieneporlomenos2dígitos,lospasosparaconstruireldiagramadetallosyhojassonlossiguientes:
1. Ordenarlosdatosdemenoramayor.2. Conelmenorvalordelosdatos, identificamosunoomásdígitosdela
izquierdaparaelvalordeltallo,yeldígitofinaldeladerechaseconvierteenhoja.Repetirestaoperaciónconelrestodelosdatos.
3. Hacerunalistadevaloresdelostallosenunacolumnavertical.4. Registrarlashojasporcadaobservaciónjuntoalvalorcorrespondiente
deltallo.5. Indicarlaunidaddehojaenlapartesuperiordeldiagrama.
Ejemplo 4.34Aunareunióndeamigosconcurrieron15personas,cuyasedadesenañoscumplidosson28,19,27,33,30,25,27,22,20,18,38,40,41,24,29.Alordenarlosdatosdemenoramayor,seobtiene:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11) x(12) x(13) x(14) x(15)
18 19 20 22 24 25 27 27 28 29 30 33 38 40 41
Cadavalorsedescomponeentalloparalasdecenasyhojasparalasuni-dades,comosemuestraacontinuación:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 257
Dato Tallo Hoja18 1 819 1 9...
.
.
.
.
.
.28 2 8...
.
.
.
.
.
.41 4 1
Luego,secolocanlostallosenunacolumnaylashojasasuderecha,talcomosemuestraacontinuación:
Unidaddehoja=1Tallos Hojas Datos representados
1 8 9 18 192 0 2 4 5 7 7 8 9 20 22 24 25 27 27 28 293 0 3 8 30 33 384 0 1 40 41
Eldiagramadetallosyhojasanteriorequivalealasiguientedistribucióndefrecuenciasconintervalosdeamplitud10:
Tabla 4.35 Distribución de personas según sus edades
Edad xi fi
[10; 20) 15 2[20; 30) 25 8[30; 40) 35 3[40; 50) 45 2Total --- 15
Observaciones• Launidaddehojaesuncoeficientequeseutilizaeneldiagramadetallosyhojasparasimplificaryfacilitarlaconstruccióndeldiagrama.Cadadatoobtenidodeldiagramasemultiplicaporlaunidaddehojaparallegaralvalororiginal.Enelejemploanterior,launidaddehojaes1,entonceseltallo1ylahoja8formanelnúmero18yelvalororiginalsería18 1 18× = .
• Cuandolosdatostienenundecimal,esnecesarioconvertirlosdatosenen-teros,paralocualsedefinelaunidaddehojacomo0,1.Porejemplo,eltallo1ylahoja8formanelnúmero18,peroelvalororiginales18 0 1 1 8, ,× = .
Estadística básica para los nEgocios258
• Cuandolosdatostienendosdecimalessedefinelaunidaddehojacomo0,01.Porejemplo,eltallo1ylahoja8formanelnúmero18,peroelvalororiginales18 0 01 0 18, ,× = .
• Cuandolosdatostienen3omáscifrasesconvenientedefinircomounidaddehoja10,100,1000,etc.Porejemplo,elvalor840sepuededescomponerentallo8yhoja4,peroconunidaddehoja10;entonceselvalororiginalsería84 10 840× = .
Ejemplo 4.35La siguiente tabla representa el contenido de algodón (en porcentaje) en camisasparacaballeros.
33,1 35,3 34,2 33,6 33,6 33,1 37,6 33,634,5 34,7 33,4 32,5 35,4 34,6 37,3 34,135,6 35,0 34,7 34,1 34,6 35,9 34,6 34,736,3 35,4 34,6 35,1 33,8 34,7 35,5 35,735,1 36,2 35,2 36,8 37,1 33,6 32,8 36,834,7 36,8 35,0 40,9 34,0 32,9 32,1 34,333,6 35,1 34,9 36,4 34,1 33,5 34,5 32,732,6 33,6 33,8 34,2 34,6 34,7 35,8 37,8
Comolosdatostienenundecimal,utilizaremoscomounidaddehojaelvalor0,1parapoderrepresentar losdatoseneldiagrama, talcomosemuestraacontinuación:
Unidaddehoja=0,1Tallos Hojas
32 1 5 6 7 8 933 1 1 4 5 6 6 6 6 6 6 8 834 0 1 1 1 2 2 3 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 935 0 0 1 1 1 2 3 4 4 5 6 7 8 936 2 3 4 8 8 837 1 3 6 8383940 9
Eltallo32ylahoja1formanelvalor321,multiplicadoporlaunidaddehojaes 321 0 1 32 1, ,× = yasísecalculaparacadadato.Seobservaquelostallos38y39notienenhojas(nohaydatos).Eldiagramadetallosyhojasanteriorequivalealasiguientedistribu-
cióndefrecuenciasconintervalosdeamplitud1 10 0 1 1( , )× = :
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 259
Tabla 4.36 Distribución de camisas según su contenido de algodón
Contenido de algodón xi fi
[32,0; 33,0) 32,5 6[33,0; 34,0) 33,5 12[34,0; 35,0) 34,5 21[35,0; 36,0) 35,5 14[36,0; 37,0) 36,5 6[37,0; 38,0) 37,5 4[38,0; 39,0) 38,5 0[39,0; 40,0) 39,5 0[40,0; 41,0) 40,5 1
Total --- 64
5.2 Diagrama de caja y bigotes
Es una presentación visual de datos de variables cuantitativas que describe variascaracterísticasimportantesalmismotiempo,talescomoposición,disper-siónyasimetría.Estagráficaconsisteenunacajarectangular,dondelosladosmáslargosmues-
tranelrangointercuartil.Esterectánguloestádivididoporunsegmentoverticalqueindicadóndeseposicionalamedianay,portanto,surelaciónconelprimerytercercuartil(recordemosqueelsegundocuartilcoincideconlamediana).Estacajaseubicaaescala,sobreunsegmentocuyosextremossonlosvalores
mínimoymáximodelavariable.Laslíneasquesobresalendelacajasellamanbigotes.Estosbigotestienenunlímitedeprolongación,demodoquecualquierdatoquenoseencuentredentrodeesterangoesmarcadoeidentificadoindi-vidualmentecomodatoatípico,valorextremououtlier.Loscomponentesdeundiagramadecajaybigotessemuestranenlasiguientefigura.
Figura 4.8 Componentes de un diagrama de caja y bigotes
25 % 25 %25 % 25 %
Q1 Q3Q2 = Me
Bigote inferior Bigote superior
* *
LI LS
Elaboración propia
Outlier(valor extremo bajo)
Outlier(valor extremo alto)
Estadística básica para los nEgocios260
Para determinar los límites de los bigotes, se calcula el intervalo( )1 31 5 1 5Q QQ R Q R, ; ,− + :ellímitedelbigoteinferior(LI)eselmenordelosda-tosqueseencuentraenelintervaloyellímitedelbigotesuperior(LS)eselmayordelosdatosqueseencuentraenelintervalo.
Ejemplo 4.36Lasedadesde20consumidoresdegaseosasseleccionadosalazarsepresen-tanacontinuación:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20
36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40
Seordenanlosdatosdemenoramayorysecalculanloscuartiles
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10)20 23 24 24 24 25 29 31 31 33
x(11) x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17) x(18) x(19) x(20)34 36 36 37 39 39 40 40 41 45
Así,loscuartilesson: ( )1 24 0 25 25 24 24 25Q , ,= + − =
( )2 33 0 5 34 33 33 5Q Me , ,= = + − =
( )3 39 0 75 39 39 39Q ,= + − =
39 24 25 14 75QR , ,= − =
Luego,elintervaloes:
( ) ( )1 31 5 1 5 24 25 1 5 14 75 39 1 5 14 75Q QQ R Q R, ; , , , , ; , ,− + = − × + ×
( )2 125 61 125 , ; ,=
Elvalormínimoymáximodelosdatosqueseencuentranenelinterva-lo ( )2 125 61 125, ; , son20y45respectivamente.Entonces,loslímitesdelos bigotesson:Límitedelbigoteinferior: 20IL =
Límitedelbigotesuperior: 45SL =
Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguientegráfico:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 261
Gráfico 4.9 Distribución de las edades de consumidores de gaseosas
Enestegráficoseobservalosiguiente:• Elbigoteinferioresmáspequeñoqueelsuperior,loquenosindicaquelasedadesdelcuartoinferiorsonmáshomogéneasquedelcuartosuperior.
• Lamitadinferiordelacajaesmásgrandequelamitadsuperior,loquenosindicaquelasedadesdelcuartomedioinferiorsonmásheterogéneasquedelcuartomediosuperior.
5.2.1 Detección de datos atípicos u outliers
Se consideran datos atípicos aquellos que toman valores muy altos omuy bajos en una variable. Estos datos se encuentren fuera del intervalo( )1 31 5 1 5Q QQ R Q R, ; ,− + y semarcanconasteriscoseneldiagramadecajaybigotes.
Ejemplo 4.37Lacantidaddecorreoselectrónicosrecibidospor22estudiantesdelaEscueladeNegociosenunasemanasepresentanacontinuación:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11
36 25 37 24 39 20 36 01 45 31 31
x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22
39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 65
Seordenanlosdatosdemenoramayorysecalculanloscuartiles:
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9) x(10) x(11)
1 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33
x(12) x(13) x(14) x(15) x(16) x(17) x(18) x(19) x(20) x(21) x(22)
34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 65
20
24,25 33,5 39
45
20 25 30 35 40 45
Edad
Estadística básica para los nEgocios262
Así,loscuartilesson: ( )1 24 0 75 24 24 24Q ,= + − =
( )2 33 0 5 34 33 33 5Q Me , ,= = + − =
( )3 39 0 25 40 39 39 25Q , ,= + − =
39 25 24 15 25QR , ,= − =
Elintervaloparadetectarlosoutlierses:
( ) ( )1 31 5 1 5 24 1 5 15 25 39 25 1 5 15 25Q QQ R Q R, ; , , , ; , , ,− + = − × + ×
( )1 125 62 125 , ; ,=
Seobservaque losvalores 1y 65 están fueradel intervaloy sondatosatípicosuoutliers. Luego,elvalormínimoymáximodelosdatosenelintervalo(1,125;62,125)
son20y45respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson: Límitedelbigoteinferior: LI=20 Límitedelbigotesuperior:LS=45Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguiente
gráfico:
Gráfico 4.10 Distribución de la cantidad de correos electrónicos recibidos por estudiantes
Enestegráfico,seobservalosiguiente:• Elvalor1esundatoatípicououtlierinferior:esdemasiadopequeñores-pectoalosdemás.
• Elvalor65esundatoatípicououtliersuperior:esdemasiadogranderes-pectoalosdemás.
• Elbigoteinferioresmáspequeñoqueelsuperior,loquenosindicaquelacantidaddecorreoselectrónicosdelcuartoinferioresmáshomogéneaqueladelcuartosuperior.
1*
0 10 20 30 40 50 60 70Número de correos electrónicos
20 45
24 39,2533,5
65*
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 263
• Lamitadinferiordelacajaesmásgrandequelamitadsuperior,loquenosindicaquelacantidaddecorreoselectrónicosdelcuartomedioinferioresmásheterogéneaqueladelcuartomediosuperior.
ejercicios y problemas resueltos 4.4
1. Lapuntuaciónfinalenelexamenderazonamientomatemáticode40pos-tulantesaunauniversidadprivadaseregistraenlatablaadjunta:
40 62 68 73 8155 62 69 74 8256 63 70 74 8356 63 70 75 8357 67 70 76 8460 68 70 77 8960 68 73 77 9161 68 73 79 92
a) Obtengaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelatabla,indican-dolavariableyelvalordelaunidaddehoja.
b) Coloque ladistribuciónde frecuenciasquerepresentaeldiagramadetallosyhojasobtenidoenelincisoanterior.
c) Construya el diagrama de caja y bigotes y determine si hay valores atípicos.
Solucióna) Comolosdatossonenterosde2cifras,launidaddehojaes1;esdecir,losdatosnonecesitantransformarse.Lavariablesedefinecomo:
X:Puntuaciónfinaldelpostulanteenelexamenderazonamientomate-mático
Eldiagramadetallosyhojaseselsiguiente:Unidaddehoja=1,0 Tallos Hojas 4 0 5 5667 6 0012233788889 7 00003334456779 8 123349 9 12
b) Deldiagramaanterior,cadatalloysushojasequivaleaunintervalodedatosdeamplitud10.Portanto,latabladefrecuenciasquelecorrespon-dealdiagramaanteriores:
Estadística básica para los nEgocios264
Puntuación xi fi
[40; 50) 45 1[50; 60) 55 4[60; 70) 65 13[70; 80) 75 14[80; 90) 85 6[90; 100) 95 2
Total --- 40
c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartilseobtienen: ( )1 62 0 25 63 62 62 25Q , ,= + − =
( )2 70 0 5 70 70 70Q Me ,= = + − =
( )3 77 0 75 77 77 77Q ,= + − =
77 62 25 14 75QR , ,= − =
Elintervaloparadetectarlosoutlierses: ( ) ( )1 31 5 1 5 62 25 1 5 14 75 77 1 5 14 75Q QQ R Q R, ; , , , , ; , ,− + = − × + ×
( )40 125 99 125 , ; ,=
Seobservaqueelvalor40esdatoatípicououtlier.Asimismo,elvalormí-nimoymáximoqueseencuentranenelintervalo ( )40 125 99 125, ; , es55y92,respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson:
Límitedelbigoteinferior: 55IL =
Límitedelbigotesuperior: 92SL =
Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsiguientegráfico:
Gráfico 4.11 Distribución de la puntuación de los estudiantes en el examen de razonamiento matemático
40*
40 50 60 70 80 90
Puntuación del estudiante
55
62,25 7770
92
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 265
2. Losgastosdiarios(ensoles)querealizanlosempleadosdeunaempresaenelmenúduranteelalmuerzosonlossiguientes:
16,1 20,5 22,0 22,2 23,6 24,218,5 21,1 22,0 22,4 23,6 24,218,7 21,3 22,0 23,2 24,0 24,519,9 21,3 22,0 23,2 24,1 24,720,4 21,5 22,1 23,2 24,1 24,9
a) Obtengaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelatabla,indican-dolavariableyelvalordelaunidaddehoja.
b) Coloque ladistribuciónde frecuenciasquerepresentaeldiagramadetallosyhojasobtenidoenelincisoanterior.
c) Construyaeldiagramadecajaybigotesydeterminesihayvaloresatí-picos.
Solucióna) Comolosdatostienenundecimalydoscifrasenteras,launidaddehojaes0,1;esdecir,losdatossínecesitantransformarse.Lavariablesedefinecomo:
X:Gastodiarioenelmenú Eldiagramadetallosyhojaseselsiguiente: Unidaddehoja=0,1 Tallos Hojas 16 1 17 18 57 19 9 20 45 21 1335 22 0000124 23 22266 24 01122579
b) Deldiagramaanterior,cadatalloysushojasequivaleaunintervalodedatosysufrecuencia.Enestecaso,elintervaloesdeamplitud10 0 1 1,× =,debidoalaunidaddehojautilizado.Portanto,latabladefrecuenciasquelecorrespondealdiagramaanteriores:
Estadística básica para los nEgocios266
Gasto diario xi fi
[16; 17) 16,5 1
[17; 18) 17,5 0
[18; 19) 18,5 2
[19; 20) 19,5 1
[20; 21) 20,5 2
[21; 22) 21,5 4
[22; 23) 22,5 7
[23; 24) 23,5 5
[24; 25) 24,5 8
Total --- 30
c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartil,seobtiene: ( )1 21 1 0 75 21 1 21 3 21 25Q , , , , ,= + − =
( )2 22 1 0 5 22 2 22 1 22 15Q Me , , , , ,= = + − =
( )3 24 0 25 24 1 24 24 025Q , , ,= + − =
24 025 21 25 2 775QR , , ,= − =
Elintervaloparadetectarlosoutlierses:
( ) ( )1 31 5 1 5 21 25 1 5 2 775 24 025 1 5 2 775Q QQ R Q R, ; , , , , ; , , ,− + = − × + ×
( )17 0875 28 1875, ; ,=
Seobservaqueelvalor16,1esdatoatípicoyaqueestáfueradelinter-valo.Asimismo,losvaloresmínimoymáximoqueseencuentranenelintervalo ( )17 0875 28 1875, ; , son18,5y24,9,respectivamente.Entonces,loslímitesdelosbigotesson: Límitedelbigoteinferior: 18 5IL ,=
Límitedelbigotesuperior: 24 9SL ,=
Luego,eldiagramadecajaybigotesresultantesemuestraenelsi-guientegráfico:
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 267
Gráfico 4.12 Distribución del gasto diario de los empleados en el almuerzo
3. Losanalistasfinancierosempleaninformaciónestadísticacomoguíaparasusrecomendacionesde inversión.Unodeellos recogedatosfinancierossobreelrendimientodelasacciones(enporcentaje)deMineraPerúenloquevadel2016;estosseresumenenelsiguientediagramadetallosyhojas:
Unidaddehoja:0,1 Tallos Hojas 1 9 2 1222455667789 3 00222444555666667788999 4 0001133 5 12223 6 9Respondalassiguientespreguntasjustificandosurespuestaconmedi-
dasestadísticas.a) Sienel2015lavariabilidadrelativadelrendimientodelasaccionesfuedel12%,analicesienelpresenteañoestassehanincrementado.
b) Sielanalistafinancieroseñalaquelasaccioneshanmostradouncom-portamientomoderadamentesimétrico,¿creeustedqueestaafirmaciónescorrecta?
c) Construya el diagrama de cajas y bigotes y complete las siguientes medidas:
Q1Límitedelbigote
inferior
Me Límitedelbigotesuperior
Q3 Valoresextremos
16,1*
15 17 19 21 23 25Gasto diario (soles)
18,5
21,25 24,02522,15
24,9
Estadística básica para los nEgocios268
Solucióna) Secalculaelcoeficientedevariaciónquemidelavariabilidadrelativadelosdatos.
177 3 5450
X ,= =
( )22 673 42 50 3 540 9559
49xS, ,
,−
= =
0 9559 0 978xS , ,= =
0 978 100 27 63 123 54xCV , , % %,
= × = >
Luego,lavariabilidadrelativadelrendimientodelasaccionesesde27,36%,quesuperaal12%;porlotanto,sísehaincrementado.
b) ElprimercoeficientedeasimetríadePearsones:
1
3 54 3 6 0 060 978PA , , ,,−
= = −
Porconsiguiente,síescorrectalaafirmacióndelanalistafinanciero:ladistribuciónesmoderadamentesimétrica.
c) Alcalcularloscuartilesyelrangointercuartil,seobtiene:
( )1 2 7 0 75 2 8 2 7 2 775Q , , , , ,= + − =
( )2 3 5 0 5 3 6 3 5 3 55Q Me , , , , ,= = + − =
( )3 4 0 25 4 4 4Q ,= + − =
4 2 775 1 225QR , ,= − =
Q1 2,775 Límitedelbigoteinferior 1,9
Me 3,55 Límitedelbigotesuperior 5,3
Q3 4 Valoresextremos 6,9
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 269
Gráfico 4.13 Distribución del rendimiento de las acciones de Minera Perú
ejercicios y problemas propuestos 4.4
1. LossiguientesdatossonlasnotasdelexamenparcialdeEstadísticayMate-máticadelosestudiantesdelaEscueladeNegociosenelsemestreanterior:
Notas de Matemática Notas de Estadística
5 11 11 1 10 5 12 14
7 11 14 10 8 11 13 6
15 9 5 16 13 12 8 10
2 12 13 3 5 9 12 3
4 13 17 13 10 10 15 10
6 10 6 6 6 12 9 13
0 14 5 4 3 12 6 5
8 5 20 11 10 14 20 14
9 13 9 12 8 11
Realiceelanálisisexploratoriodedatosmediante:
6,9*
2 3 4 5 6 7
Rendimiento de la acción (%)
5,3
2,775 43,55
1,9
Estadística básica para los nEgocios270
a) Eldiagramadetallosyhojasparacadaasignatura.
b) El gráfico de caja y bigotes para cada asignatura. Coloque los datos atípicos.
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 271
2. Enun estudio realizadoporuna consultora, seha evaluado, entre otrascosas, lavariabledelgastoefectuadoquerealizan losclientesdedoses-tablecimientos comerciales en cada visita. Los datos captados mediantemuestrasaleatoriasindependientesfueron:
Establecimiento comercial TICO
11,5 12,7 12,8 13,5 13,6 14,1 14,4 14,7 14,9 15,3
15,3 15,5 15,6 15,8 16,1 16,3 16,3 16,4 16,6 17,0
17,4 17,6 17,7 18,2 18,3 18,4 18,7 18,8 18,9 19,7
19,8 19,8 20,3 20,6 20,8 21,3 23,0 23,2 25,5 26,1
Establecimiento comercial TUCO
3,0 4,8 5,6 6,1 7,2 8,2 8,3 8,4 8,7
9,1 9,3 9,7 9,7 9,8 10,0 10,3 10,4 11,3
12,0 12,1 12,2 12,8 12,8 12,8 13,2 13,6 13,6
15,6 15,6 16,3 16,6 16,7 18,0 19,8 21,0 29,4
a) Obtener eldiagramade tallosyhojaspara losdatosde los estableci-mientoscomercialesTICOyTUCO.
Estadística básica para los nEgocios272
b) Construyaeldiagramadecajasparaambosestablecimientoscomercia-les.Determinesihayvaloresatípicosuoutliers.
3. InformaticSystemsS.A.emprendióunestudioparadeterminarelcompor-tamientodeunsistemadegrabacióndeprogramasinformáticos.Paraqueelprocesofuncioneadecuadamente,laseñaldebeestarentre9,2y10vol-tios.Seinstalaronsistemasdegrabaciónenunaubicaciónantiguayenunanuevaubicación,ysetomaronlecturas.Losdatosregistradossemuestranenlassiguientestablas:
Ubicación antigua Ubicación nueva8,05 9,84 10,03 8,51 9,19 9,55 10,018,72 9,87 10,05 8,65 9,27 9,60 10,038,72 9,87 10,05 8,68 9,35 9,63 10,058,80 9,95 10,12 8,72 9,36 9,64 10,059,55 9,97 10,15 8,78 9,37 9,70 10,099,70 9,98 10,15 8,80 9,39 9,75 10,109,73 9,98 10,26 8,82 9,43 9,85 10,129,80 10,00 10,26 8,82 9,48 9,87 10,129,80 10,01 10,29 8,83 9,49 9,95 10,159,84 10,02 10,55 9,14 9,54 9,98 10,15
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 273
a) Construyaeldiagramadetallosyhojasparalosdatosdelaubicaciónnueva.
b) Construyaeldiagramadecajaybigotesparacadamuestra.Coloquelosdatosatípicos.
Estadística básica para los nEgocios274
4. LaempresaDELIS.A.,quebrindaserviciodedeliveryenlaszonasAyB deLima,harealizadounestudiosobrelosrecorridos(enkilómetros)delospedidossolicitadosporsusclientesenagostode2016.EnlazonaAyBsetomaronmuestrasde40y50pedidos,respectivamente.Conlafinalidaddecompararlospedidosdeambaszonas,seobtuvieronlosdiagramasdecajasybigotesquesemuestranenelsiguientegráfico:
Gráfico 4.14 Distribución del recorrido en las zonas A y B
a) ¿Cuáleselrecorridomáximoaproximadodel75%delosrecorridosmáscortosenlazonaA?Justifiquesurespuesta.
b) ¿Cuáleselrecorridomínimoaproximadodel25%delosrecorridosmáslargosenlazonaB?Justifiquesurespuesta.
*Zona B *
Zona A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Capítulo 4. Medidas estadístiCas de resuMen 275
c) Enpromedio,¿enquézonaelrecorridoesmayorparaelserviciodede-livery?Justifiquesurespuesta.
d) ¿Quézonapresentalamayordispersióndel50%centraldelosrecorri-dos?Justifiquesurespuesta.
e) ¿Quézonapresentalamayoramplitudtotaldelosrecorridos?Justifiquesurespuesta.
f) ¿Quézonapresentalamayorasimetríaenlosrecorridos?Justifiquesurespuesta.
Estadística básica para los nEgocios276
5. Relacionecadahistogramaconsudiagramadecajaybigotesyformelosparesdegráficosadecuadosconunaflecha.
Lastécnicasdeconteoestudianlasdistin-tas formasde agruparyordenarun con-junto de objetos. Se constituyen sobre labasedelcálculodelaprobabilidad,queseencargade losarreglosy las combinacio-nesquedeterminanelnúmerodemanerasdiferentesenqueuneventoaleatoriopue-deocurrir.Las técnicas de conteo se aplican en lasáreasdondetenganrelevancialasdistintasmanerasdeagruparelementos.
SabesCapacidadesadquiridas
9 Conocer las operaciones aritméticas yelcálculodelfactorialdeunnúmero natural.
PiensasCompetenciasporlograr
9 Identificarelprincipiodeconteoadecua-doparaelconteodeposibilidades.
9 Distinguirentrepermutacionesycombi-nacionespara lasolucióndeunproble-madeconteodeposibilidades.
HacesHabilidadespordesarrollar
9 Aplicarelanálisiscombinatorioparalasolución de un problema de conteo deposibilidades.
9 Aplicar la técnica de conteo adecuadoparalasolucióndeunproblemadecon-teodeposibilidades.
Contenido
1. Utilidaddelastécnicasdeconteo.2. Principiosdeconteo.3. Permutaciones.4. Combinaciones.
Técnicas de conteo de posibilidades
Capítulo
5
Estadística básica para los nEgocios278
¿Es posible ganarse la Tinka? Las técnicas de conteo nos sirven para calcular la cantidad de jugadas posibles para ganar el juego de la Tinka
LaTinkaeseljuegodeloteríamáspopularenelPerú,milesdeperua-nosapuestansemanalmenteparaganarelpozoque,porlogeneral,essiempremayoralmillóndesoles.Parajugar,cadajugadordebeesco-ger6númerosdiferentesdel1al45;esdecir,cadajugadasecomponede6números.Porejemplo,unajugadapuedeestarconformadaporlosnúmeros5,13,7,40,23y18.Paraqueuna jugada sea la ganadoradelpozode laTinkadebe
lograr6aciertos,perotambiénhaypremiospara5aciertos,4aciertos,3aciertosy2aciertos.Lastécnicasdeconteopermitencalcularlacan-tidaddeposiblesjugadascontantosnúmerosdeaciertos;utilizandolascombinatorias,seobtienelasiguientetabla:
Aciertos Jugadas posibles
0 3 262 623
1 3 454 542
2 1 233 765
3 182 780
4 11 115
5 234
6 1Total 8 145 060
Sepuedeobservarque1jugadadecada8millonesaproximadamenteserálaganadoradelpozo,234jugadasdecada8millonesganaránunpremiopor5aciertos,yasísucesivamente.
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 279
1. utiliDaD De las técnicas De conteo
Lastécnicasdeconteoofrecenunprocedimientogeneralparacontarelnúmerodeposiblesarreglosdeobjetosdentrodeunsoloconjuntooentrevariosdeellos.Lastécnicasdeconteosonusadasparaenumerareventosdifícilesdecuantificar:seestudianlosprocedimientosyestrategiasparacontarlasposiblesagrupacionesdeloselementosdeunconjunto,ydeterminarelnúmerodeposibilidadeslógicasquecabeesperaralrealizaralgúnexperimento,sinnecesidaddeenumerarlas.Esunaformaabreviadadecontarqueseresumeenunascuantastécnicasbasadasenprocedimientosyfórmulasrecurrentes,yesútilparaelcálculodeprobabili-dades.Paracalcularlaprobabilidaddeocurrenciadeuneventoenparticular,esimportanteconocerelnúmerototalderesultadosposibles.Conlaaplicacióndelastécnicasdeconteofacilitamosenormementeelcálculodelasprobabilidades.
2. principios De conteo
2.1 Principio de multiplicación
SiuneventoAocurreden1manerasdiferentesy,concadaunadeellas,otroeventoBocurreden2manerasdiferentes,entonceselnúmerototaldemanerasdiferentesenqueamboseventos(AyB)puedenocurrirenelordenindicadoesiguala 1 2n n .× Porconsiguiente, lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueseapliqueel
principiodemultiplicaciónesqueocurranamboseventos,unoseguidodelotro,poretapas.Para ilustrar este principio se presenta la siguiente figura, conocida como
“diagramadeárbol”,enlaquesepuedenobservarlasdiferentesposibilidadesdeocurrenciadeloseventosA,Byambos.
Estadística básica para los nEgocios280
Figura 5.1 Representación gráfica del principio de multiplicación
Elaboración propia
Generalizando,siunexperimentopuederealizarsecomounasecuenciadek eventos,yelnúmerodemanerasdeocurrenciadelevento1esn1,ysiparacadamaneradeocurrirelevento1existenn2manerasdeocurrirelevento2,ysiparacadamaneradeocurrirelevento2existenn3modosdeocurrirelevento3,yasísucesivamente,entonceselnúmero totaldemanerasdequeocurraelexperi-mentoes 1 2 3 k n n n n . ...× × × ×
Ejemplo 5.1Sedisponede3víasparaviajardeLimaaCallaoyde4paraviajardelCallaoaLima.¿Decuántasformassepuedeorganizarelviajedeidayvuelta?
SoluciónUtilizandoelprincipiodemultiplicación:3 4 12× = formas.
Ejemplo 5.2¿Cuántasplacasdeautomóvilsepuedenhacerutilizando2letrasseguidasdetrescifrassinoseadmitenrepeticiones?Considere26letras.
SoluciónUtilizando el principio demultiplicación: 26 25 10 9 8 468 000 × × × × = placasposibles.
1
2..
.
.
n2
n2
n2
12
.
.
12
2
.
.
n1
1
n1 x n2maneras
Evento A
Evento B
.
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 281
2.2 Principio de adición
SiuneventoAtiene2alternativasdeocurrencia,dondelaprimerapuedeocu-rrirden1manerasylasegundaden2maneras,yademásambasnopuedenocu-rrirjuntas;entonces,eleventoApuedeocurrirde 1 2n n+ maneras.
Figura 5.2 Representación gráfica del principio de adición
Elaboración propia
ElresultadoanteriortambiénsepuedegeneralizarsieleventoAtienekalter-nativas,conn1,n2 ,...,nkmanerasdeocurrencia.Enestecaso,elnúmerototaldemanerasdeocurrenciadeleventoAeseste:
1 2 3 kn n n n...+ + + +
Ejemplo 5.3Unapersonadeseacomprarunamáquinalavadoraderopa,paralocualhapensadoquepuedeseleccionarunaentrelasmarcasW,EyG.CuandoacudeahacerlacompraencuentraquelalavadoradelamarcaWsepresentaen2tiposdecarga(8y11kilogramos),mientrasquelalavadoraEsepresentaen3tiposdecarga(8,11y15kilogramos)ylalavadoraGsepresentaensolountipodecarga(11kilogramos).¿Cuántasmanerastieneestapersonadecom-prarlamáquinalavadoraderopa?
SoluciónUtilizandoelprincipiodeadición:2 + 3 + 1 = 6manerasdecomprarlalavadora.
n1 + n2maneras
2
1
Evento A
Alternativa 2Alternativa 1
2
1
.
n1
. .
.
n2
Estadística básica para los nEgocios282
Ejemplo 5.4Unaparejapróximaacasarseahorradineroparacomprareldepartamentosoñado.EnLaMolina,leofrecenunmodeloeconómicotipoflatyundúplex;enlazonadeplayasdeAsia,leofrecenunmodeloresidencial,uncalifornianoyunprovenzal.¿Cuántasalternativasdiferentesdeviviendaleofrecenalapareja?
SoluciónUtilizandoelprincipiodeadición:2 + 3 = 5 maneras.
3. permutaciones
Supongamosquetenemostresobjetosdiferentes:a,byc;sellamanpermutacio-nesalasdiferentesmanerasenquesepuedenordenarestosobjetos.Entonces,conestos3objetossepuedenlograrlassiguientespermutaciones:
• Las permutaciones de 3 en 3 son abc, acb, bac, bca, cab, cba. Se obtienen 6permutaciones.
• Las permutaciones de 2 en 2 son ab, ba, ac, ca, bc, cb. Se obtienen 6permutaciones.
• Laspermutacionesde1en1sona,b,c.Seobtienentrespermutaciones.Dehecho,sisetienen10objetosesmuycomplicadoenumerartodaslaspo-
siblespermutacionesyaquesetratadeunnúmeromuygrande.Sibienescom-plicadoenumerartodaslaspermutaciones,resultasencillocalcularelnúmerodepermutacionesconfórmulasrápidas.Acontinuación,veremoslasfórmulasabreviadasparadeterminarelnúmerodepermutacionesquesepuedenlograrconnobjetos.
3.1 Permutaciones de n objetos diferentes
Sellamanpermutacionesden objetosdiferentesalasdiferentesmanerasenquesepuedenordenaresosn objetos.Permutarlosn objetosesequivalenteaaplicarelprincipiodemultiplicación,esdecir,contarelnúmerodemanerasenlasqueunobjetoescolocadoencadaunade lasn casillas, talcomoseobservaenlasiguientefigura:
Figura 5.3 Permutaciones de n objetos diferentes
Casilla 1 2 3 . . . n – 1 n
Númerodemaneras n n – 1 n – 2 . . . 2 1
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 283
Enlaprimeracasilla,unobjetosepuedecolocardenmanerasdiferentes;enlasegunda,den – 1manerasdiferentes,yenlaúltimasolodeunamanera.Porlotanto,alaplicarelprincipiodemultiplicación,elnúmerodemanerasdecolocarn objetosdiferentesen n casillases ( )1 2 1n n× − ×…× × .Entonces, el número de permutaciones de n objetos diferentes se calcula
conlafórmula:
( )1 2 1nP n n n!= = × − ×…× ×
Ejemplo 5.5UnanegociaciónenlaBolsadeValoresdeLimaestáformadapor10operacio-nesdiferentes.Sinembargo,lasoperacionesdebenserconsecutivasypuedenefectuarseencualquierorden.¿Decuántasmanerassepuederealizarlane-gociación?
Solución
10 10 3 628 800P ! = =
Ejemplo 5.6Sienellibrerodetucasahay15diferenteslibros,6deloscualessondemate-máticas,4dequímicay5defísica,entonces:a) ¿Decuántasmanerasdiferentespuedesacomodarlosenellibrero?
15 15 1307 674 368 000P ! = = manerasdiferentes.
b) ¿Decuántasmanerasdiferentespuedesacomodarlosentulibrerosilosdecadamateriadebenquedarjuntos? Los6librosdematemáticassepuedenpermutarde 6 720P = maneras.
Los4librosdequímicasepuedenpermutarde 4 24P = maneras.
Los5librosdefísicasepuedenpermutarde 5 120P = maneras.
Además,los3gruposdelibrossepuedenpermutarde 3 6P = maneras.
Entonces,porelprincipiodemultiplicación,elnúmerototaldemanerasenquesepuedencolocarlos15librosenellibreroyquequedenlosdecadamateriajuntosesesta:
3 6 4 5 6 720 24 120 12 441600P P P P × × × = × × × =
3.2 Permutaciones de n objetos diferentes tomados de k en k
Sellamanpermutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenk (k<n)alasdi-ferentesmanerasenquesepuedenordenaresosnobjetosengruposdetamañok;todaslaspermutacionesconstansolodelosmismoskobjetos,peroseconsiderandiferentesporelordenenquesecolocan.
Estadística básica para los nEgocios284
Sise recurrenuevamentealesquemaanterior,ahorasedebecontarelnú-merodemanerasenquesepuedencolocar n objetosdiferentesen k casillas,talcomoseobservaenlasiguientefigura.
Figura 5.4 Permutaciones de n objetos diferentes tomados de k en k
Casilla 1 2 3 . . . k – 1 n
Númerodemaneras n n – 1 n – 2 . . . n – k + 2 n – k + 1
Enlaprimeracasilla,unobjetosepuedecolocarden manerasdiferentes;enlasegunda,de 1n − manerasdiferentes,yenlaúltima,de 1n k− + maneras.Portanto,aplicandoelprincipiodemultiplicación,elnúmerodemanerasdecolocarnobjetosdiferentesenkcasillases ( ) ( )1 1n n n k .× − ×…× − +
Entonces,elnúmerodepermutacionesdenobjetosdiferentestomadosdekenksecalculaconlafórmula:
( )nk
nPn k
!!
=−
Ejemplo 5.7¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensentar20alumnosdelcursoEsta-dísticaBásicaparalosNegociosenunaulaquedisponede24asientos?
SoluciónElprimeralumnoqueentraalaulapuedeescogersuasientodeentre24po-sibles;elsegundo,deentre23posibles,yasísucesivamente,hastaelalumnonúmero20,quepuedeescogerasientodeentre5posibles.Evidentemente,4delos24asientosquedaránvacíos.Sedeberácalcularlaspermutacionesde24objetosdeorden20,esdecir:
( )24 2220
24 2 585201674 1024 20
P ! ,!
= = ×−
3.3 Permutaciones con grupos de objetos iguales o repetidos
Setienennobjetos,notodosdiferentes,queconformankgruposdeobjetosigua-les,dondeelgrupo1estáconformadopor 1n objetosiguales;elgrupo2,porn2,yelgrupok,por kn objetos.Entoncessetiene 1 2 kn n n n= + +…+ .Lasdiferentesmanerasenquesepuedenordenaresosnobjetosdemanera
quelos 1n objetosigualesentresí,los 2n objetosigualesentresíylos kn objetos
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 285
iguales entre sí, alpermutarseentre ellosporgrupo,nopuedandistinguirseunosdeotros,secalculaconlafórmula:
1 21 2
knn n n
k
nPn n n, ,
!! ! !… =× ×…×
Ejemplo 5.8¿Cuántosmensajestelegráficosdiferentessepuedenenviarutilizandoexacta-mente4puntosy5rayas?Porejemplo,unmensajetelegráficoes:− −⋅− ⋅⋅− −⋅
SoluciónElnúmerodemensajestelegráficoses:
94 5
9 1264 5
P ,!
! != =
×
Ejemplo 5.9¿Cuántaspalabrassepuedenformarutilizandotodaslasletrasdelapalabra“estadística”?Seconsiderapalabraaunquenotengasignificado.
SoluciónElnúmerodepalabrasquesepuedenformares:
111 2 2 2 1 2 1
11 2 494 8001 2 2 2 1 2 1
P , , , , , ,!
! ! ! ! ! ! != =
× × × × × ×
Propiedades
• 0 0 1P != = (porconvención)
• 1 1 1P != =
4. combinaciones
Sellamancombinacionesalosdiferentesgruposquesepuedenformarconob-jetosdiferentes,comolosobjetosa,byc.Conestos3objetossepuedenlograrlassiguientescombinaciones:
• Combinacionesde3en3: ( )a b c, , selograunacombinaciónounposiblegrupode3elementos.
• Combinacionesde2en2: ( )( )( )a b a c b c, , , selogran3combinacioneso3posiblesgruposde2elementos.
• Combinacionesde1en1: ( )( )( )a b c selogran3combinacioneso3posiblesgruposde1elemento.
Estadística básica para los nEgocios286
Dehecho,sisetienen10objetos,esmuycomplicadoenumerartodaslaspo-siblescombinacionesde4en4,yaquesetratadeunnúmeromuygrande.Sibienescomplicadoenumerartodaslascombinaciones,resultasencillocalcularelnúmerodecombinacionesconunafórmularápida.Sellaman“combinacionesdenobjetosdiferentesdeordenk”alosdistintos
gruposquesepuedenformaralescogersecuencialmentekobjetosdeentren,demodoquecadaunadelascombinacionesesdistintadelasdemássidifiereporlomenosenunodesuselementos,sinimportarelorden.Elnúmerodecombinacionesdenobjetosdiferentesdeordenkestádadopor:
( )nk
nCk n k
!! !
=× −
Propiedades
• 0 1nC = (porconvención)
• 1nC n=
• 1nnC =
• n nk n kC C −=
Ejemplo 5.10ElcursodeEstadísticaBásicaparalosNegociostiene20estudiantes,deloscuales14sonmujeres.Siseseleccionan6estudiantes,entonces:a) ¿Cuántasseleccionesentotalsonposibles? Elnúmeroposibledeseleccionesoposiblesgruposde6es:
( )206
20 38 7606 20 6
C ! ! !
= =× −
b) ¿Encuántasseleccionesposibleshabráexactamente3mujeres? Cadaselecciónogrupoposibleconstaráde3mujeresy3hombres.Siseutilizaelprincipiodemultiplicación,elnúmerodeseleccionesposiblesconexactamente3mujereses:
6 143 3
6 14 20 364 72803 3 3 11
C C ! !! ! ! !
× = × = × =× ×
c) ¿Encuántasseleccionesposibleshabrámáshombresquemujeres?Paraesteevento,sedan3alternativasdeselección:Seleccionesde4hombresy2mujeres: 6 14
4 2C C×
Seleccionesde5hombresy1mujer: 6 145 1C C×
Seleccionesde6hombresyningunamujer: 6 146 0C C×
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 287
Luego,utilizandoelprincipiodeadición,elnúmeroposibleenqueha-brámáshombresquemujeres,es:
6 14 6 14 6 144 2 5 1 6 0 15 91 6 14 1 1 1450C C C C C C× + × + × = × + × + × =
ejercicios y problemas resueltos 5
1. UnapersonapuedeviajardeunaciudadAhaciaotraciudadBde5formasydeBaCde6formas.¿DecuántasformaspuedeirdeAhaciaC,pasandoporB?
SoluciónParairdeAhaciaC,pasandoporB,hay5 6 30 × = formasdiferentesdeir.
2. Unproductoseensamblaen tresetapas.Para laprimeraetapase tienendisponibles5líneasdeensamblaje,paralasegunda,4yparalatercera,6líneasdeensamblaje.¿Decuántasmaneraspuedemoverseelproductoenelprocesodeensamblaje?
SoluciónElproductopuedemoversede5 4 6 120× × = manerasdiferentesenelproce-sodeensamblaje.
3. Seplanificaunviajeysedebedecidirentreeltransporteporómnibusoporavión.Sihaytresrutasparaelómnibusydosparaelavión,¿decuántasmanerassepuederealizarelviaje?
SoluciónHay3 2 5 + = manerasderealizarelviaje.
4. Unproductosevendeentresmercados;enelprimerosetienendisponiblescincotiendasquevendenelproducto;enelsegundo,cuatro,yeneltercero,seistiendas.¿Decuántasmaneraspuedevenderseelproducto?
SoluciónPor el principio de adición tenemos 5 4 6 15 + + = maneras diferentes devenderseelproducto.
5. Enunaencuestasepideaunconsumidorqueordenesuspreferenciaspor4marcasdegaseosa.¿Cuántasordenacionesdiferentespuedenresultar?
Solución
4 4 24P != = ordenacionesdiferentes.
Estadística básica para los nEgocios288
6. En un microbús que tiene 12 asientos se desea ubicar a 7 pasajeros. ¿Decuántasformasdiferentessepuedenubicar?
SoluciónSepuedenubicarde 12
7 3 991 680P = formasdiferentes.
7. Enunaclasede10alumnosvanadistribuirse3premios.Averigüedecuán-tasmaneraspuedehacersesilospremiossondiferentes.
SoluciónSi los alumnos no pueden recibirmás de un premio y los premios son diferentes; entonces, el número de maneras diferentes de distribuir los premioses:
103 720P =
8. Unestantedeunalibreríatienecapacidadpara10librosdeMatemáticasdepastaverde,8deFísicadepastarojay7deQuímicadepastaazul.¿Decuántasformaspuedencolocarseloslibrossegúnloscolores?
SoluciónElnúmerodeobjetosporgrupoes 1 2 310 8 7n n n, ,= = =
Elnúmerodepermutacionesdiferenteses 2510 8 7
25 21 034 470 60010 8 7
P , ,!
! ! != =
× ×
Hay21034470600manerasdecolocarloslibrosenunestantedelalibrería.
9. Unartículo se etiquetamediante la impresiónde4 líneasdelgadas, 3 lí-neasmedianasy2líneasgruesas.Sicadaordenamientodelasnuevelíneas representa una etiqueta diferente, ¿cuántas etiquetas distintas pueden generarseconesteesquema?
SoluciónElnúmerodeetiquetasdistintasquepuedengenerarsees:
94 3 2
9 12604 3 2
P , ,!
! ! != =
× × etiquetasdistintas
10. Ungrupode8personasconstade5hombresy3mujeres.¿Cuántoscomitésde3miembrosyqueconstenexactamentede2hombressepuedenformar?
SoluciónEscogemos2hombresde5y1mujerde3;elnúmeroposibledecomitéses:
5 32 1
5 3 10 3 302 3 1 2
C C ! !! ! ! !
× = × = × =× ×
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 289
11. Seinspeccionaunlotede140chipsmediantelaseleccióndeunamuestrade5deellos.Si10chipsnocumplenconlosrequerimientosdelcliente,entonces.a) ¿Cuáleselnúmerodemuestrasdistintasposibles?b) ¿Cuántasmuestrasde5contienenexactamenteunchipquenocumpleconlosrequerimientos?
c) ¿Cuántasmuestrasde5contienenalmenosunchipquenocumpleconlosrequerimientos?
d) ¿Cuántasmuestrasde5contienenalomás2chipsquenocumplenconlosrequerimientos?
Solucióna) Elnúmerodemuestrasdistintasposibleses:
1405
140 416 965 5285 135
C ! ! !
= =×
b) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenexactamenteunchipquenocumpleconlosrequerimientoses:
10 1301 4 10 11358880 113 588 800C C × = × =
c) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenalmenosunchipquenocumplenconlosrequerimientoses:
10 130 10 130 10 130 10 130 10 1301 4 2 3 3 2 4 1 5 0 130 721752C C C C C C C C C C × + × + × + × + × =
Otraformadesolución:140 10 1305 0 5 130 721752C C C − × =
d) Elnúmerodemuestrasdistintasposiblesquecontienenalomás2chipsquenocumplenconlosrequerimientoses:
10 130 10 130 10 1300 5 1 4 2 3 415 931776C C C C C C × + × + =
ejercicios y problemas propuestos 5
1. Ungrupodepersonassonclasificadasdeacuerdoconsusexo,estadocivil(soltero,casado,divorciadooviudo)yprofesión.Sihay30profesiones,¿decuántasmanerassepuedehacerestaclasificación?
Estadística básica para los nEgocios290
2. ¿Cuántosnúmerosenterosydesigualesmayoresde10ymenoresde100sepuedenformarconlos8primerosdígitos(1al8)sinrepetirningunodeellas?
3. Unaplacadeautomóvilconstade2letrasdistintasseguidasde3dígitos,deloscualeselprimeronoes0.¿Cuántasplacasdiferentespuedenformarse?Considere26letras.
4. Elcabledeseguridaddeunabicicletatieneuncandadocon4ruedasycadaruedatiene6posiciones.Siparaformarcadacombinaciónseemplea5se-gundos,determineeltiempomáximoquesenecesitaparaabrirelcandado.
5. EnciertazonadeMirafloreshay3playasdeestacionamiento.Laprimeracuentacon30espacios;lasegunda,con25,ylaterceracon20.¿Decuántasmanerasunconductorpuedeestacionarseendichazona?
6. Unmecanismoelectrónicodecontrolrequierede5chipsdememoriadife-rentes.¿Decuántasmaneraspuedeensamblarseestemecanismocolocandolos5chipsenlas5posicionesdentrodelcontrolador?
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 291
7. Sevanapresentar6conferencistasenunareunión.¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensituarenelescenariolos6conferencistasenfila?
8. Secontrataunserviciodecalificacióndecomputadorasparaencontrarlas3mejoresmarcasdemonitoresEGA.Seincluiráuntotalde12marcasenelestudio. ¿Decuántas formasdistintaspuedeel serviciodecalificaciónllegaralordenamientofinal?
9. Unconferencistadisponede8temassobrelosquepuededisertardurante30minutos.Selepidequepresenteunaseriede5conferenciasde30mi-nutosaungrupodepersonas.¿Entrecuántassecuenciasdeconferenciaspuedeescoger?
10. ¿Decuántasmanerasdiferentessepuedensentar8personasenunabancaconcapacidadparaseispersonas?
11. ¿Decuántasformaspuedeunsindicatolocalelegirentresus25miembrosaunpresidenteyaunsecretario?
Estadística básica para los nEgocios292
12. ¿Decuántasmanerasdistintassepuedenordenar2fichasrojas,2verdes y3azules?
13. Deuntotalde12analistas,sedeseaasignar3altrabajo1,4altrabajo2y5altrabajo3.¿Decuántasformasdistintassepuedeefectuarestaasignación?
14. ¿Decuántasmanerasdiferentespuedeunpadredividir8regalosentresus3hijos,sielmayordeberecibir4ylosmenores2cadauno?
15. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden formaruniendo los vértices deunoctógono?
16. ElTankitoesunjuegodeloteríasemanalytienemilesdeseguidoresque,semanatrassemana,compranunajugadaquecuesta3soles.Cadajugadaconsiste enelegir5númerosdiferentesentreel 1yel 40.La jugadaqueaciertalos5númeroselegidoseselganadorde2millonesdesoles.Siustedcompratodaslasjugadasposibles,ysuponiendoqueeselúnicoganador,¿cuántoeslagananciaqueobtendría?
Capítulo 5. téCniCas de Conteo de posibilidades 293
17. Ungerentetienequeconformarunacomisiónde4miembrosparaquereali-cenunanegociaciónydisponedeungrupode6economistasy9ingenieros.a) ¿Decuántasformasdistintaspuedenformarselascomisionessidebenestarconformadasalmenospor2economistas?
b) ¿Decuántasformasdistintaspuedenformarselascomisionessidebenestarconformadasalomáspor3ingenieros?
18. Enunaempresasevaaconformarunadelegacióncomercialde8ejecutivosdenegocios,quienesseránseleccionadosdelgrupodeejecutivosdelaem-presaconformadopor6hombresy5mujeres.a) ¿Cuántasdelegacionessepuedenformarsicadaunadeellasdebecon-taralmenoscon3ejecutivasmujeres?
b) ¿Cuántasdelegacionessepuedenformarsicadaunadeellasdebecon-taralmenoscon3ejecutivoshombres?
Estadística básica para los nEgocios294
19. Unequipodefútbol(11jugadores)disponede3arquerosy15jugadoresdecampo.a) ¿Cuántasalineacionesdistintassepuedenformarsinimportarlasposi-cionesdelosjugadoresdecampo?
b) ManuelyJorgesonamigosyjugadoresdecampo;¿encuántoscasossepodráformarelequiposialmenosunode losamigosdebe jugar(noimportalaubicacióndentrodelcampo)?
20. Eneldiseñodeunatarjetaexisten12posicionesdiferentesdondepuedencolocarsechips.a) Sisecolocan5tiposdiferentesdechipssobrelatarjeta,¿cuáleselnúme-rodediseñosdistintosposibles?
b) Silos5chipsquesecolocansobrelatarjetasondelmismotipo,¿cuáleselnúmerodediseñosdistintosposibles?
Respuestas a los ejercicios y problemas propuestos
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 297
Capítulo 1
Ejercicios y problemas propuestos 1
1. Población Las2000personasqueasistieronparaverificarelmontoquedebíanpagarporim-
puestoalarentaenlaSunatdelaciudaddeLima.
Muestra 350personas,seleccionadasalazar,queasistieronparaverificarelmontoquedebíanpagarporimpuestoalarentaenlaSunatdelaciudaddeLima.
Unidaddeanálisis UnapersonaqueasistióalaSunatdelaciudaddeLimaparaverificarelmontoquedebíapagarporimpuestoalarenta.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Tiempoquedemora lapersonapararealizarunaconsultaenventanilla (minutos).Cuantitativacontinua.Calidaddelserviciodeatenciónquerecibelapersona.Cualitativaordinal.
Parámetro Tiempopromediodedemorade las2000personasparaverificarelmontopor im-puestoalarentaenlaSunatdeLima.
Estadístico El tiempopromediodedemorade las350personas seleccionadasparaverificarelmontodelimpuestoalarentaenlaSunatdeLima.
Ejemplodedato Unapersonaafirmóque laatenciónrecibidafuemuybuena;elvalornonumérico“muybuena”eseldato.
2. Población Laspersonasjóvenesdeentre15y30añoscumplidosdeLimaMetropolitanaparaelestudiodel7defebrerodel2016.
Muestra 1500personasjóvenesseleccionadasmediantealgúnmétododemuestreoprobabilís-ticoparaelestudiodel7defebrerodel2016.
Unidaddeanálisis Unapersonajovendeentre15y30añoscumplidosdeLimaMetropolitana.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Autoevaluaciónde lapersona joven sobre el estadode su salud física.Cualitativaordinal.Gastosemanalquerealizaunapersona jovenenbebidasenergéticas.Cuantitativacontinua.
Parámetros PorcentajedejóvenesdeLimaMetropolitanaqueconsideranquesusaludfísicaesexcelente.GastopromediosemanalquerealizanlosjóvenesdeLimaMetropolitanaenbebidasenergéticas.
Estadístico El38%delosjóvenesentrevistadosconsideraquesusaludfísicaesexcelente.Ejemplodedato Unjovenafirmóquesusaludfísicaesexcelente;elvalornonumérico“excelente”es
eldato.
3.
Población Laspersonasde18a70añosdeedadqueresidenenPerú.Muestra Las1200personasseleccionadasprobabilísticamenteparaelestudio.Unidaddeanálisis Unapersonadeentre18y70añosdeedadqueresideenPerú.Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Conocimientosobrelacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.Cualitativanominal.
Parámetro Porcentajepoblacionaldepersonasquedesconocenlacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.
Estadístico El90%delaspersonasseleccionadasdesconocelacantidaddecaloríasquedebeconsumirunapersonapordía.
Ejemplodedato Unapersonaentrevistadamanifestóquelacantidaddecaloríasconsumidaspordíadebeser2500;elvalornumérico“2500”eseldato.
Estadística básica para los nEgocios298
4. Población Laspersonasde18a64añosquevacacionaronenLima,Arequipa,Trujillo,Huancayo
yChiclayoen2016.Muestra Las3359personasseleccionadasprobabilísticamenteparaelestudiode2016.
Unidaddeanálisis Unapersonadeentre18y64añosquevacacionóenLima,Arequipa,Trujillo,Huan-cayoyChiclayoen2016.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Tiempo(endías)queelturistapermanecióenellugar.Cuantitativacontinua.Gastodiarioporturista.Cuantitativacontinua.Lugaresdeinformaciónparalasvacacionesdelturista.Cualitativanominal.
ParámetrosTiempopromedioquepermanecieronlosturistasenesoslugares.Gastopromediodiarioporturistaenlapoblación.Porcentajepoblacionaldeturistasquebuscaroninformaciónturísticaporinternet.
Estadísticos
Eltiempopromedio(endías)porturistaseleccionadodepermanenciaenestosluga-resfue5días.Elgastopromediodiarioporturistaseleccionadofue766soles.El56%depersonas,seleccionadasmediantealgúnmétododemuestreoprobabilísti-co,manifestóqueobtuvieroninformaciónporinternet.
Ejemplodedato Unturistarespondióquellevaba5díasenlaciudaddeTrujillo;elvalornumérico5eseldato.
5.
Población Los35000clientesdelossupermercadosdeLimayCallaoenfebrerode2016.
Muestra Los 1200 clientesde los supermercadosdeLimayCallao, seleccionadosmediantealgúnmétododemuestreoprobabilístico,enfebrerode2016.
Unidaddeanálisis UnclientedealgúnsupermercadodeLimayCallaoenfebrerode2016.
Variable(s)ytipo(s)devariable(s)
Calificaciónqueotorgóelclientealacalidaddelservicioquerecibióenunsupermer-cadodeLimayCallao.Cualitativaordinal.OpinióndelclientesobrelacomodidaddelospreciosenunsupermercadodeLimayCallao.Cualitativanominal.Número de días por semana que asistió el cliente a un supermercado de Lima y Callaoenfebrero.Cuantitativadiscreta.Tiempo que permaneció un cliente en caja para realizar un pago. Cuantitativa continua.
Parámetros
PorcentajedeclientesdelossupermercadosdeLimayCallaoquecalificóelserviciocomo“bueno”.PorcentajedeclientesdelossupermercadosdeLimayCallaoqueopinóquelospre-cioserancómodos.PromediodedíasporsemanaqueasistieronlosclientesalossupermercadosdeLimayCallao.Tiempopromedioquepermanecieronlosclientesencajapararealizarunpago.
Estadísticos
PorcentajedeclientesseleccionadosdelossupermercadosdeLimayCallaoquecali-ficóelserviciocomo“bueno”.El60%declientesseleccionadosdelossupermercadosdeLimayCallaoopinóquelosprecioserancómodos.Elpromediodedíasporsemanaquelosclientesseleccionadosasistieronalossuper-mercadosdeLimayCallaofuede2.Eltiempopromedioquelosclientesseleccionadospermanecieronencajaparareali-zarunpagofuede20minutos.
Ejemplodedato Unclienterespondióquecalificócomobuenalacalidaddelserviciodeatenciónenelsupermercado;elvalornonumérico“bueno”eseldato.
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 299
6.Variable
Cualitativa CuantitativaNominal Ordinal Discreta Continua
Religiónqueprofesaunapersona X
Preferenciadelestudianteuniversitarioporunprofesorenuncurso X
Cantidadde toneladasmétricasdepescadoobtenidas sema-nalmenteporunaembarcaciónpesquera X
Númerodehijosenunafamilia X
Cargofuncionaldeuntrabajadorenunaclínicaparticular X
Clubdefútbolfavoritodeunaficionado XLugardenacimientodeunapersona X
Cantidaddemetroscúbicosdevinoenundepósito X
Númerodearmasenunalmacén XSumadelospuntosobtenidosenunapruebaescritadelcurso EstadísticaBásicaparalosNegocios X
Comidacriollafavoritadeunapersona X
Capacidaddeltanquedegasolinadeunauto X
7.
Variable Discreta Continua
Númerodecarrosqueposeeunafamilia XÁreaconstruidadeunacasa XTiempodevidaútildeunautomóvil XTemperaturacorporaldeunapersona XNúmerodecelularesvendidoscadadíaenunatienda X
8.
Variable TipodevariableEstatura(enmetros)deunalumnodelaEscuelaNavaldelPerú CuantitativacontinuaDepartamentooregióndenacimientodeunciudadanoperuano CualitativanominalCalificacióndeunpresidenteporlosciudadanosdesupaís(malo,regular,bueno) CualitativaordinalTiempo(enañoscumplidos)queletomaaunestudianteterminarsucarrera CuantitativadiscretaTamañodeunaempresaenelPerú(pequeña,mediana,grande) CualitativaordinalCalificaciónfinaldeunalumnoenlaasignaturaEstadísticaBásicaparalosNego-ciosenlaUniversidaddeLima Cuantitativadiscreta
Valor(ensoles)deunaaccióndelaBolsadeValoresdeLima CuantitativacontinuaNúmerodellamadasdiariasalacentraltelefónicadeunaclínica CuantitativadiscretaPropiedaddeautomóvilpropio(sí,no) CualitativanominalMontoenmillonesdedólaresporexportacionesmensualesenelPerú CuantitativacontinuaNiveldepercepcióndeunpacientesobrelaatenciónrecibida(muymala,mala,regular,buena,muybuena) Cualitativaordinal
Númerodecarrerasprofesionalesenunauniversidadperuana CuantitativadiscretaTiempodegarantía(enañoscumplidos)otorgadaaunclienteporlacompradeunautomóvil Cuantitativadiscreta
NúmerodecréditosacadémicosaprobadosporunalumnodelaEscueladeNe-gociosenelsemestre2016-II Cuantitativadiscreta
Estadística básica para los nEgocios300
9. Población Muestra Variable Parámetro Estadístico
Usuarios de me-diosdetransportedeLimaMetropo-litanaenel2016
Muestraprobabilísti-cade400usuariosdetransporte de LimaMetropolitana
Númerodevecesque un usuarioutilizaalgúnme-diodetransporte
Promediodevecesporusuario que utiliza algúnmediodetrans-porte enLimaMetro-politana ( )µ
Promediodevecesporusuario seleccionadoqueutilizaalgúnme-dio de transporte enLima Metropolitana
X( )
Personas de entre18 y 65 años quevacacionaron enCusco
Untotalde3359per-sonas seleccionadasalazar,cuyasedadesestán entre 18 y 65años y que vaca-cionaronenCusco
Tiempo que per-maneceelturistaenCusco
Tiempopromedioquepermanece el turistaenCusco ( )µ
Tiempo promedioque permanece enCuscoun turista se-leccionado X( )
Pasajeros de unalínea aérea delPerúendiciembrede2016
Untotalde1050pas-ajeros de una líneaaéreadelPerú,selec-cionados al azar endiciembredel2016
Númerodevecesque usaron losservicios de lalínea aérea en elmes
Promediodevecesporpasajero que usó losservicios de la líneaaéreaenelmes ( )µ
Promedio de vecespor turista seleccio-nadoqueusólosser-viciosdela línea aérea enelmes X( )
10.
Variable NiveldemediciónMediodetransportequeutiliza Nominal
Vecesqueutilizaelmediodetransporteparamovilizarse Ordinal
Actividadquerealizaelusuariocuandoutilizaunmediodetransporte Nominal
Gastoquerealizaelusuariocuandoutilizaelmediodetransporte Razón
11. Variable ¿Discretaocontinua? Nivelde
mediciónPrecioporacción(endólares)deunaempresaalcierredejuliodel2016 Cuantitativacontinua RazónNúmerodevisitantesdelMuseoNacionalenundía Cuantitativadiscreta RazónInflaciónmensual (variaciónporcentual del Índice de Precios alConsumidor)enelPerú Cuantitativacontinua Razón
Puntaje(entre0y20)queotorgaunusuarioalacalidaddelservi-ciodetransportequerecibe:–Pésimoservicio=0–Excelenteservicio=20
Cuantitativadiscreta Ordinal
GastosemanaldeunafamiliadeLimaenalimentos–Bajo:menosde500soles–Medio:entre500y1000soles–Alto:másde1000soles
Cuantitativacontinua Ordinal
12. Nominal13. Nominal14. Razón
15. Porque,enlaescalademedicióndeintervalo,el0noesabsoluto.16. Nominal
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 301
Capítulo 2
Ejercicios y problemas propuestos 2
1. Enunciado VoF
Sedenomina“fuenteprimaria”alainformaciónqueelinvestigadorrecogepormediodeuncuestionario. V
Lasfuentessecundariasseclasificanennacionaleseinternacionales. F
Laetapadedigitalizacióndelcensoconsisteengenerarmapas,planosycroquisatravésdesistemasdigitales. V
Laencuestaesunaobservaciónnodirectadeloshechospormediodelacuallosentre-vistadossemanifiestan. V
Enelcuestionarioestructurado,laspreguntasyposiblesrespuestasnosepresentandelamismaformaatodoslosinformantes. F
Enlaspreguntascerradasdeselecciónmúltipleseadmitequeelinformantepuedaes-cogervariasopcionesentrelasrespuestaspresentadas. V
2. a) Primariadirectab) Primariaindirecta,primariadirectac) Secundariad) Secundariae) Primariadirectaf) Secundariag) Secundaria
3. – Cerradadeselecciónúnica.Ordinal– Cerradadeselecciónmúltiple.Nominal– Abierta.Razón– Cerradadeselecciónúnica.Ordinal
4. – Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónúnica– Cerradadeselecciónmúltiple
5. D-E-A-C
6. a) ¿Cuáleselgastoaproximadoqueustedrealizacuandoasisteaunsupermercado?b) Elhorariodeatenciónqueescogeríaes(puedemarcarmásdeunaopción):
• 7horasa21horas• 8horasa21horas• 7horasa22horas• 7horasa23horas
c) Ladistribucióndelosproductoseslasiguiente:• Excelente• Buena• Regular• Mala• Pésima
Estadística básica para los nEgocios302
7. a) Objetivogeneral: Analizar la influenciade los factoressocioindividualesde losalumnosydelnivelsocioeconómicodesus
padresensurendimientoacadémico. Objetivosespecíficos:
• Ubicar,seleccionaryresumirlainformacióncientíficasobrelosfactoressocioeconómicos,individualesyeducativos,ysuincidenciaenelrendimientoacadémicodelosestudiantes.
• Establecereidentificarlosfactoressocioeconómicosdelospadres(niveleducativo,ingresomensualfa-miliaraproximado,nivelsocioeconómico,nivelocupacional)queinfluyenenelrendimientoacadémicodelosestudiantes.
• Señalare identificar los factores socioindividuales (edad, sexo,estadocivil, lugardenacimiento)delalumnoqueinfluyenensurendimiento.
• Determinarlainfluenciadelfactorsocioeducativo(colegiodeprocedencia)delalumno.b) Fuentedeinformaciónsecundariainterna:
• Estadísticassobreelrendimientodelosalumnos.• Informaciónsobrelaprofesióndelospadresdefamilia.
Fuentedeinformaciónsecundariaexterna:• Ubicacióndeinformacióncientíficasobrelasvariablesenmenciónbasadasendatosespecializados.
c) Latécnicaderecoleccióndedatosprimarioses laencuestapormuestreoporentrevistapersonal,puesatravésdeellasepuederecogerinformaciónactualizadadelosalumnos.
d) Haymuchasposiblespreguntas,porejemplo:1)Nombresyapellidos;2)Edad;3)Profesióndelpadredefamilia;4)Númerodecursosaprobados;5)Númerodehorasdestinadasalestudiodiariamente,entreotras.Todasestassonpreguntasabiertas.
Capítulo 3
Ejercicios y problemas propuestos 1
1. a) Unidaddeanálisis:unconsumidordecomida rápidadeLimaMetropolitana. Variable:tipoderestaurantequeprefiereelcon-
sumidordecomidarápida.
Distribución de unidades según tipo de transporteAéreo5,0 %
Ferroviario20,0 %
Terrestre45,0 %
Fluvial30,0 %
Distribución de unidades según tipo de transporte
Transporte
Porc
enta
je
50
40
30
20
10
0Aéreo Ferroviario Fluvial Terrestre
5
10
30
45
3. a) Variable:frecuenciadeconsumodeIncaKola porconsumidor.
Niveldemedición:ordinal.
b) Restaurante fi hi hi %McDonald’s 46 0,184 18,4BurgerKing 38 0,152 15,2Telepizza 36 0,144 14,4Chifa 95 0,380 38,0Pollería 35 0,140 14,0Total 250 1 100
c) 52,4%
2. Transporte fi hi hi %
Aéreo 1 0,05 5Ferroviario 4 0,20 20Fluvial 6 0,30 30Terrestre 9 0,45 45Total 20 1 100
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 303
b) Frecuenciadeconsumo fi hi hi %Nunca 30 0,10 10
Unavezporsemana 90 0,30 30
Dosvecesporsemana 120 0,40 40
Entre3y4veces 60 0,20 20
Total 300 1 100
4. xi fi hi Fi Hi
1 10 0,20 10 0,202 14 0,28 24 0,483 15 0,30 39 0,784 5 0,10 44 0,885 6 0,12 50 1
Total 50 1 --- ---
10
14 15
56
1 2 3 4 5
Distribución de clientes por número de operaciones bancarias
Operaciones bancarias
Núm
ero
de c
lient
es
5. xi fi hi Fi Hi
3 6 0,12 6 0,124 3 0,06 9 0,185 8 0,16 17 0,346 10 0,20 27 0,547 5 0,10 32 0,648 6 0,12 38 0,769 8 0,16 46 0,9210 4 0,08 50 1Total 50 1 --- ---
Distribución de tarjetas electrónicas según el número de errores
Núm
ero
de ta
rjeta
s
10
8
6
4
2
0 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de errores
6. a) Gasto xi fi hi Fi Hi
[60;75) 67,5 2 0,050 2 0,050
[75;90) 82,5 8 0,200 10 0,250
[90;105) 97,5 3 0,075 13 0,325
[105;120) 112,5 10 0,250 23 0,575[120;135) 127,5 9 0,225 32 0,800[135;150) 142,5 8 0,200 40 1Total --- 40 1 --- ---
Distribución de clientes según el gasto de cemento
60 75 90 105 120 135 150
23
8
109
8
10
8
6
4
2
0
Gasto (soles)
b)3 0 075h ,= El7,5%declientesgastóentre90ymenosde105solesencomprasdecemento.
4 23F = Un total de 23 clientes gastó menos de 120 solesencomprasdecemento.
5 2 0 8 0 25 0 55H H– , , ,= − = El55%declientesgastóentre90ymenosde135solesencomprasdecemento.
5
33 10 9 22i
if
== + + =∑
Untotalde22clientesgastóentre90ymenosde135solesencomprasdecemento.
c) 17clientes
7. a) Ingresos xi fi hi Fi Hi
[52;101,5) 76,75 4 0,08 4 0,08[101,5;151) 126,25 7 0,14 11 0,22[151;200,5) 175,75 10 0,20 21 0,42[200,5;250) 225,25 16 0,32 37 0,74[250;299,5) 274,75 6 0,12 43 0,86[299,5;349) 324,25 4 0,08 47 0,94[349;398,5) 373,75 3 0,06 50 1Total --- 50 1 --- ---
Estadística básica para los nEgocios304
b)3 0 20h ,=
El20%delosafiliadostieneingresosdeentre151ymenosde200,5solesalmes.
4 37F = Untotalde37afiliadostieneingresosmeno-resde250solesalmes.
5 3 0 86 0 42 0 44H H– , , ,= − = El44%delosafiliadostieneingresosdeentre200,5ymenosde299,5solesalmes.
4
27 10 16 33i
if
== + + =∑
Un total de 33 afiliados tiene ingresos de entre101,5ymenosde250solesalmes.
61 1 0 94 0 06H , ,− = − = El6%deafiliadostieneingresosdealmenosde349desolesalmes.
Distribución de los afiliados según sus ingresos mensuales
Ingresos (cientos de soles),
Ingresos (cientos de soles)
Distribución acumulada de los ingresos de los afiliados a
Distribución acumulada de los ingresos de los afiliados a la AFP
PPA xi fi hi Fi Hi
[5,53;7,19) 6,36 1 0,0125 1 0,0125[7,19;8,85) 8,02 4 0,0500 5 0,0625[8,85;10,51) 9,68 7 0,0875 12 0,1500[10,51;12,17) 11,34 19 0,2375 31 0,3875[12,17;13,83) 13,00 30 0,3750 61 0,7625[13,83;15,49) 14,66 15 0,1875 76 0,9500[15,49;17,15) 16,32 4 0,0500 80 1Total --- 80 1 --- ---
Distribución de los alumnos según PPA
5,53 7,19 8,85 10,51 12,17 13,83 15,49 17,15
14
7
19
30
15
4
Frec
uenc
ia d
e al
umno
s
h3=0,0875El8,75%dealumnostieneunPPAdeentre8,85ymenosde10,51.
5 2 0 7625 0 0625 0 70H H– , , ,= − = El 70%de alumnos tieneunPPAde entre8,85ymenosde13,83.
c) 19estudiantes.
d)5
35
3
12 02i i i
i i
x ff
,=
=
∑ =∑
UnalumnoquetieneenPPAentre8,85ymenosde13,83tieneunPPApromediode12,02.
Pagos xi fi Fi hi Hi
[150;250) 200 4 4 0,050 0,050
[250;350) 300 20 24 0,250 0,300
[350;450) 400 30 54 0,375 0,675
[450;550) 500 18 72 0,225 0,900
[550;650) 600 8 80 0,100 1
Total --- 80 --- 1 ---
4 1 72 4 68F F− = − = Untotalde68trabajadorespagóentre250ymenosde550solesenimpuestosdequintacategoría.
4 2 0 9 0 3 0 6H H– , , ,= − = El 60 % de trabajadores pagó entre 350 ymenosde550solesenimpuestosdequintacategoría.
c) Untotalde30%detrabajadores.d) Untotalde32,5%detrabajadores.e) Untotalde32600soles.
8. a)
b)
9. a)
b)
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 305
12. a) Población: los clientes de la empresa en sus 4tiendascomerciales.
Muestra:Los50clientesseleccionadosdelas4sucursalesdelaempresa.
b) PorcentajedeclientesdelaempresaquevisitanlatiendaA.
c) Promedio de visitas por semana que realizanlosclientesdelaempresa.
Tienda fi hi hi %A 10 0,20 20B 6 0,12 12C 15 0,30 30D 19 0,38 38Total 50 1 100
Distribución de clientes por tienda
Porc
enta
je d
e cl
ient
es
40
30
20
10
0
20
12
30
38
Distribución de clientes por tienda
A
B
C
D38,0 %
20,0 %
12,0 %
30,0 %
Venta xi fi fi hi Hi
[30;52) 41 2 2 0,04 0,04[52;74) 63 3 5 0,06 0,10[74;96) 85 6 11 0,12 0,22[96;118) 107 8 19 0,16 0,38[118;140) 129 11 30 0,22 0,60[140;162) 151 10 40 0,20 0,80[162;184) 173 10 50 0,20 1Total --- 50 --- 1 ---
Notas xi fi hi Fi Hi
[3;6) 4,5 18 0,15 18 0,15
[6;9) 7,5 36 0,30 54 0,45
[9;12) 10,5 30 0,25 84 0,70
[12;15) 13,5 24 0,20 108 0,90
[15;18) 16,5 12 0,10 120 1
Total --- 120 1 --- ---
5 1 120 18 102F f− = − =
Untotalde102alumnosobtuvonotasentre6ymenosde18puntos.
4 2 0 9 0 45 0 45H H , , ,− = − =
El45%dealumnosobtuvonotasentre9ymenosde15puntos.
c) Untotaldel90%delosalumnos.d) Untotaldel30%delosalumnos.e) Untotaldel75%delosalumnos.
SucursalA
Venta xi fi Fi
[2800;3200) 3000 30 30
[3200;3600) 3400 50 80
[3600;4000) 3800 85 165
[4000;4400) 4200 95 260
[4400;4800) 4600 75 335
[4800;5200) 5000 45 380
[5200;5600) 5400 20 400
Total --- 400 ---
SucursalB
Venta xi fi Fi
[3200;3600) 3400 32 32
[3600;4000) 3800 48 80
[4000;4400) 4200 48 128
[4400;4800) 4600 72 200
[4800;5200) 5000 96 296
[5200;5600) 5400 4 300
[5600;6000) 5800 20 320
Total --- 320 ---
b) Untotalde3101600soles.c) Untotalde110740soles.d) LasucursalAcon74700soles.
10. a)
b)
11. a)
e)
d)
Estadística básica para los nEgocios306
Distribución de los clientes según su gasto diario
23
6
8
1110 10
4 2 0 38 0 10 0 28H H , , ,− = + = El284%declientesgastandiariamenteentre74ymenosde118soles.
5 5
2 49i i
i if f
= =− =∑ ∑
Untotalde9clientesgastaentre52ymenosde96soles.
xi fi hi Fi Hi
1 9 0,18 9 0,18
2 22 0,44 31 0,62
3 12 0,24 43 0,86
4 7 0,14 50 1
Total 50 1 --- ---
Distribución de los clientes según el número de visitas
9
22
12
7
Calorías(enmiles) xi fi Fi hi Hi
[15;19) 17 72 72 0,3000 0,3000[19;23) 21 90 162 0,3750 0,6750[23;27) 25 48 210 0,2000 0,8750[27;31) 29 27 237 0,1125 0,9875[31;35) 33 3 240 0,0125 1Total --- 240 --- 1 ---
2 90f = Untotalde90personasquemóentre1900ymenosde2300calorías.
3 0 875H ,= El87,5%depersonasquemómenosde2700calorías.
3 1 210 72 138F f− = − = Untotalde138personasquemóentre1900ymenosde2700calorías.
3
20 375 0 20 0 575
ih , , ,
== + =∑
El57,5%depersonasquemóentre1900yme-nosde2700calorías.
Sueldo xi fi Fi hi
[500;1500) 1000 84 84 0,336[1500;2500) 2000 46 130 0,184[2500;3500) 3000 58 188 0,232[3500;4500) 4000 22 210 0,088[4500;5500) 5000 16 226 0,064[5500;6500) 6000 13 239 0,052[6500;7500) 7000 11 250 0,044Total --- 250 --- 1
Distribución de los sueldos de los trabajadoresde la empresa AAA
Frec
uenc
ia a
cum
ulad
a
84
130
188210
226 239 250
f)
g)
b)
13. a)
14. a)
b) Distribución de los sueldos de los trabajadoresde la empresa AAA
84
4658
2216 13 11Fr
ecue
ncia
de
traba
jado
res
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 307
Categoría fi hi hi %Obrero 135 0,54 54Empleado 75 0,30 30Ejecutivo 40 0,16 16Total 250 1 100
Distribución de los trabajadores según la categoría laboral
60
50
40
30
20
10
0Obreros Empleados Ejecutivos
Categoría laboral
Porc
enta
je d
e tra
baja
dore
s 54
30
16
Producción xi fi Fi hi Hi
[18;22) 20 12 12 0,100 0,100[22;26) 24 18 30 0,150 0,250[26;30) 28 30 60 0,250 0,500[30;34) 32 36 96 0,300 0,800[34;38) 36 15 111 0,125 0,5[38;42) 38 9 120 0,075 1Total --- 120 --- 1 ---
Calificación fi hi hi%
Insuficiente 7 0,14 14Suficiente 13 0,26 26Notable 20 0,40 40Sobresaliente 10 0,20 20Total 50 1 100
b) Untotalde20alumnos.c) Untotalde86%delosalumnos.
Gasto xi fi Fi hi Hi
[20;24) 22 4 4 0,10 0,10[24;28) 26 8 12 0,20 0,30[28;32) 30 12 24 0,30 0,60[32;36) 34 10 34 0,25 0,85[36;40) 38 4 38 0,10 0,95[40;44) 42 2 40 0,05 1Total --- 40 --- 1 ---
Peso xi fi Fi hi Hi
[18,7;19,4) 19,05 4 4 0,08 0,08[19,4;20,1) 19,75 6 10 0,12 0,20[20,1;20,8) 20,45 8 18 0,16 0,36[20,8;21,5) 21,15 8 26 0,16 0,52[21,5;22,2) 21,85 3 29 0,06 0,58[22,2;22,9) 22,55 12 41 0,24 0,82[22,9;23,6) 23,25 9 50 0,18 1Total --- 50 --- 1 ---
b) Distribución de los pasajeros según el peso de sus maletas
Núm
ero
de p
asaj
eros
Peso (Kg)18,7 19,4 20,1 20,8 21,5 22,2 22,9 23,6
4
6
8 8
3
12
9
12
10
8
6
4
2
0
Capítulo 4
Ejercicios y problemas propuestos 4.1
1. a) 14,172minutos;b)13,98minutos
c) 32. a=29;b=363. 5
4. a) MáquinaB
( )7,264; 7,38= =A BX X
b) A:Entre381,12y781,12dólares B:Entre390,40y790,40dólares
5. Lasumaesiguala63.
6. Elnuevonúmeroes25.
7. a) Lamediaaritméticaes164,33gr.b) Untotalde7,67grpordebajodelpromedio.c) Elpesopromedioes165,61gr.d) Sedebeaumentarel3,45%.e) Elpesopromedioes164,33gr.
8. Lasegundaesmejor(202>201,6)
9. a) Lamediaaritméticaes191479,71millones desoles.
b) Lamedianaes187418,81millonesdesoles.c) Elvalorhalladoes181316,4millonesdesoles.d)Asimetríapositiva.
c)
15.
16. a)
17.
18. a)
Estadística básica para los nEgocios308
e) No.Lamedianaesmejor.f) Entre172162,79y222177,65millonesdesoles.g) Laliquidezes228788,59millonesdesoles.h) Elporcentajedemeseses38%.
10. a) 2,675;b)3;c)3d) Asimetríanegativa.e) No.f) Entre1y4.g) Elnúmeromáximoes4.
Papel Plástico
Vidrio Otro
b) Papel:Asimetríanegativa Plástico:Asimetríapositiva Vidrio:Asimetríapositiva Otro:Asimetríapositiva
12. Elporcentajeseráde27,875%.
13. Lavariaciónporcentualpromediomensuales0,30%.
14. El porcentaje de aumento promedio mensual es16,03%.
15. Latasaes4,13%.16. Secumpliólapromesaconuncrecimientoprome-
diomensualde6,30%.
17. Decreció1,89%.
Ejercicios y problemas propuestos 4.2
1. MáquinaA: 2 90ACV , %= MáquinaB: 2 10BCV , %=
DeberáutilizarlamáquinaB.2. a) 13,6045 gr=S
b) 8, 27 %=CV bajavariabilidad.3. Compañía1: 1 18 93CV , %=
Compañía2: 2 12 70CV , %= LaCompañía1haseguidounaestrategiamásriesgosa.
4. a) 1017Laamplitudtotaldelvalordeventasdelosprovee-doreses1017milesdesoles.b) 99 5QR ,= Laamplituddelvalordeventasdel50%central
deproveedoreses99,5milesdesoles.c) 127,01%=CV Lavariabilidaddelvalordeventasdelospro-
veedoresesalta.AlternativaA: 240 16 67A AX CV; , %==
AlternativaB: 240 14 58B BX CV; , %= =
AlostrabajadoreslesconvienerechazarlaalternativaA.
6. AcciónA: 4 80ACV , %= AcciónB: 24 51BCV , %=AcciónC: 5 66cCV , %=SerecomiendaalgerenteinvertirenlaacciónA.
Ejercicios y problemas propuestos 4.3
1. a) 0 0164FA ,= − Distribuciónsimétricab) 1 0 5259PA ,=Distribuciónasimétricapositivamoderada
2. 1 20 0742 0 104P PA A, ,= =
Distribuciónsimétricamoderada3. AgenciaA: 1 0 3028PA ,= −
AgenciaB: 1 0 3354PA ,= −EsmásasimétricaenlaagenciaB.
4. Alfa: 1 0 3905PA ,= −
Beta: 1 0 3309PA ,= −EsmásasimétricaenlaciudadAlfa.
Ejercicios y problemas propuestos 4.4
1. a) Unidaddehoja=1
MatemáticaTallosHojas00123445555666789991001111233334456720
EstadísticaTallosHojas03355566688899100000011222222333444520
11. a)
5.
1 0 3309PA ,= −
1 0 3354PA ,= −
Respuestas a los ejeRcicios y pRoblemas pRopuestos 309
b)
2. a) Unidaddehoja=0,1
b)
3. a)Unidaddehoja=0,01
TucoTallos Hojas30485661728234791377810034 11 31201288813266 141566163671718019820210 22 23 2425262728294
TicoTallos Hojas1151278135614147915335681613346170467182347891978820368 21 3 222302 24255261
Ubicación antiguaTallos Hojas8058182838485868722880899091929394955969703980044779957881000123551012551026691031041055
Ubicación nuevaTallos Hojas8518658872888022389909149927935679943899545960349705985799581001355910102255
Matemática
0 5 10 15 20
9
*
10
20
5 10 15 20
Estadística
TICO
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
17,2
11,65
*29,4
0 5 10 15 20 25 30
TUCO
Estadística básica para los nEgocios310
b)
4. a)8km;b)4km;c)ZonaAd)ZonaA;e)ZonaAf)ZonaB
5. a-2;b-3;c-1
Capítulo 5
Ejercicios y problemas propuestos 5
1. Sepuederealizarlaclasificaciónde240maneras.
2. Sepuedenformar56números.
3. Sepuedenformar585000placasdiferentes. 4. Eltiempomáximoesde108minutos.
5. Puedeestacionarsede75maneras.
6. Puedeensamblarsede120maneras.
7. De720manerasdiferentes.
8. De1320formasdistintas.
9. Sepuedeescoger entre 6720 secuenciasde confe-rencias.
10. De20160manerasdiferentes.11. De600formas.
12. De210manerasdiferentes.
13. De27720formasdistintas.
14. De420manerasdiferentes.
15. Sepuedenformar28rectasdiferentes.16. Lagananciaseráde25976soles.17 a)735;b)1239
18. a)155;b)16519. a)9009;b)815120. a)95040;b)792
Ubicación antigua
Ubicación nueva
8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5
8,50 8,75 9,00 9,25 9,50 9,75 10,00 10,25
8,058,728,72
8,80*
9,975
10,55***
9,545
RefeRencias bibliogRáficas 311
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