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Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.
ESTIMACIÓNESTIMACIÓN PUNTUAL
Ma Eugenia Cruces, Salvador J. Molina y Ma DoloresSarrión
UNIVERSIDAD DE MÁLAGADepartamento de Estadística y Econometría
Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA).
6 de julio de 2014
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.
ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
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Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
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Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
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Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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CONTEXTO
Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación
θ parámetro desconocido
X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )
ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONTEXTO
Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación
θ parámetro desconocido
X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )
ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra
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CONTEXTO
Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación
θ parámetro desconocido
X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )
ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra
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CONTEXTO
Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación
θ parámetro desconocido
X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )
ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONTEXTO
Una v.a. X con densidad f (x , θ), que identificamos con lapoblación
θ parámetro desconocido
X1, ...,Xn una m.a.s. de la población (X )
ProblemaExtraer información sobre θ a partir de la muestra
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CONCEPTOS BÁSICOS
Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:
Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.
Estimador ≡ Estadístico
En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.
El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:
Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.
Estimador ≡ Estadístico
En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.
El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:
Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.
Estimador ≡ Estadístico
En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.
El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:
Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.
Estimador ≡ Estadístico
En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.
El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Un Estimador de un parámetro poblacionaldesconocido es:
Una variable aleatoria que resume lainformación contenida en la muestra.
Estimador ≡ Estadístico
En cada muestra observada el estimadortoma un valor numérico.
El valor numérico del estimador en unamuestra observada es una estimacióndel parámetro desconocido.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.
¿Cuál es el mejor?¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?
No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.
La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.
¿Cuál es el mejor?
¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?
No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.
La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
CONCEPTOS BÁSICOS
Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.
¿Cuál es el mejor?¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?
No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.
La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
CONCEPTOS BÁSICOS
Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.
¿Cuál es el mejor?¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?
No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.
La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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CONCEPTOS BÁSICOS
Para estimar un parámetro se pueden utilizardistintos estimadores.
¿Cuál es el mejor?¿Qué criterio seguimos para elegir a uno endetrimento de los demás?
No existe un criterio único que permitadecidir cuál es el mejor en todas lascircunstancias.
La elección se basa en el análisis de ciertaspropiedades que consideramos deseablespara los "buenos estimadores" .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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PROPIEDADES
Entre las propiedades que se considerandeseables destacamos:
INSESGADEZ
EFICIENCIA
CONSISTENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
PROPIEDADES
Entre las propiedades que se considerandeseables destacamos:
INSESGADEZ
EFICIENCIA
CONSISTENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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PROPIEDADES
Entre las propiedades que se considerandeseables destacamos:
INSESGADEZ
EFICIENCIA
CONSISTENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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PROPIEDADES
Entre las propiedades que se considerandeseables destacamos:
INSESGADEZ
EFICIENCIA
CONSISTENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
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INSESGADEZ
Insesgadez
Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si
E[θ]
= θ, θ ∈ Ω.
Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.
E[θ]− θ
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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INSESGADEZ
Insesgadez
Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si
E[θ]
= θ, θ ∈ Ω.
Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.
E[θ]− θ
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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INSESGADEZ
Insesgadez
Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si
E[θ]
= θ, θ ∈ Ω.
Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.
E[θ]− θ
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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INSESGADEZ
Insesgadez
Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si
E[θ]
= θ, θ ∈ Ω.
Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.
E[θ]− θ
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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INSESGADEZ
Insesgadez
Un estimador θ es insesgado para estimar elparámetro θ si
E[θ]
= θ, θ ∈ Ω.
Fijado el problema de estimación,Ω = Valores admisibles para el parámetro.
E[θ]− θ ≡ Sesgo
(θ).
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
θ1 es insesgado para θ y θ2 es sesgado para θ
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
La media muestral es un estimadorinsesgado de la media poblacional
X ←→ Media muestralµ←→ Media poblacionalE[X]
= µ
La proporción muestral es un estimadorinsesgado de la proporción poblacional
P ←→ Proporción muestralp ←→ Proporción poblacionalE[P]
= p
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
La media muestral es un estimadorinsesgado de la media poblacional
X ←→ Media muestralµ←→ Media poblacionalE[X]
= µ
La proporción muestral es un estimadorinsesgado de la proporción poblacional
P ←→ Proporción muestralp ←→ Proporción poblacionalE[P]
= p
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
La media muestral es un estimadorinsesgado de la media poblacional
X ←→ Media muestralµ←→ Media poblacionalE[X]
= µ
La proporción muestral es un estimadorinsesgado de la proporción poblacional
P ←→ Proporción muestralp ←→ Proporción poblacionalE[P]
= p
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
La varianza muestral es un estimadorsesgado de la varianza poblacional
S2 ←→ Varianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacional
E[S2]
=n − 1
nσ2 6= σ2
La cuasivarianza muestral es un estimadorinsesgado de la varianza poblacional
S2 ←→ Cuasivarianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacionalE[S2]
= σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
La varianza muestral es un estimadorsesgado de la varianza poblacional
S2 ←→ Varianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacional
E[S2]
=n − 1
nσ2 6= σ2
La cuasivarianza muestral es un estimadorinsesgado de la varianza poblacional
S2 ←→ Cuasivarianza muestralσ2 ←→ Varianza poblacionalE[S2]
= σ2
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual:Propiedades
Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza.
Pero, no siempre hay uno!!!
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si, para todo θ ∈ Ω,
Var(θ1
)≤ Var
(θ2
),
siendoVar
(θ1
)< Var
(θ2
),
para algún θ0 ∈ Ω.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza. Pero, no siempre hay uno!!!
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si, para todo θ ∈ Ω,
Var(θ1
)≤ Var
(θ2
),
siendoVar
(θ1
)< Var
(θ2
),
para algún θ0 ∈ Ω.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza. Pero, no siempre hay uno!!!
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si,
para todo θ ∈ Ω,
Var(θ1
)≤ Var
(θ2
),
siendoVar
(θ1
)< Var
(θ2
),
para algún θ0 ∈ Ω.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza. Pero, no siempre hay uno!!!
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si, para todo θ ∈ Ω,
Var(θ1
)≤ Var
(θ2
),
siendoVar
(θ1
)< Var
(θ2
),
para algún θ0 ∈ Ω.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual:Propiedades
Entre varios estimadores insesgados es preferible el quetiene menor varianza. Pero, no siempre hay uno!!!
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.θ1 es más eficiente que θ2 si, para todo θ ∈ Ω,
Var(θ1
)≤ Var
(θ2
),
siendoVar
(θ1
)< Var
(θ2
),
para algún θ0 ∈ Ω.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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E [θ1] = E [θ2] = θ, pero Var(θ1) < Var(θ2), luego θ1 esmejor que θ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual:Propiedades
Eficiencia relativa
θ1 y θ2 dos estimadores insesgados para θ, θ ∈ Ω.
Eficiencia relativa de θ1 frente a θ2 =Var
(θ2
)Var
(θ1
)
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
θ estimador insesgado para el parámetro θ, θ ∈ Ω.
Eficiencia
θ es eficiente para θ si, para cualquier otro θi insesgadopara θ,
Var(θ)≤ Var
(θi
), para todo θ ∈ Ω.
El estimador eficiente es el óptimo, con elcriterio de mínima varianza, en la clase de losestimadores insesgados
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
θ estimador insesgado para el parámetro θ, θ ∈ Ω.
Eficiencia
θ es eficiente para θ si, para cualquier otro θi insesgadopara θ,
Var(θ)≤ Var
(θi
), para todo θ ∈ Ω.
El estimador eficiente es el óptimo, con elcriterio de mínima varianza, en la clase de losestimadores insesgados
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
θ estimador insesgado para el parámetro θ, θ ∈ Ω.
Eficiencia
θ es eficiente para θ si, para cualquier otro θi insesgadopara θ,
Var(θ)≤ Var
(θi
), para todo θ ∈ Ω.
El estimador eficiente es el óptimo, con elcriterio de mínima varianza, en la clase de losestimadores insesgados
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Acotación de Frechet-Cramer-Rao
Si θ = θ(X1, ...,Xn) es un estimador insesgado para elparámetro θ, entonces, bajo ciertas condiciones de regularidad,
Var(θ)≥ 1
nE
[(∂ ln f (X ; θ)
∂θ
)2] ,
siendo f (x ; θ) la función de densidad de la variable aleatoria X .
Si la varianza de un estimador insesgado es igual a la cota,entonces el estimador es eficiente.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Acotación de Frechet-Cramer-Rao
Si θ = θ(X1, ...,Xn) es un estimador insesgado para elparámetro θ, entonces, bajo ciertas condiciones de regularidad,
Var(θ)≥ 1
nE
[(∂ ln f (X ; θ)
∂θ
)2] ,
siendo f (x ; θ) la función de densidad de la variable aleatoria X .
Si la varianza de un estimador insesgado es igual a la cota,entonces el estimador es eficiente.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
En general, el criterio de óptimo análogo al de mínima varianzapara los insesgados es el de
MÍNIMO ECMPero, ¿cómo se define el ECM?
Definición
Para un estimador, θ, de un párámetro θ se define su errorcuadrático medio, ECM(θ), como
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
En general, el criterio de óptimo análogo al de mínima varianzapara los insesgados es el de
MÍNIMO ECM
Pero, ¿cómo se define el ECM?
Definición
Para un estimador, θ, de un párámetro θ se define su errorcuadrático medio, ECM(θ), como
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
En general, el criterio de óptimo análogo al de mínima varianzapara los insesgados es el de
MÍNIMO ECMPero, ¿cómo se define el ECM?
Definición
Para un estimador, θ, de un párámetro θ se define su errorcuadrático medio, ECM(θ), como
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
En general, el criterio de óptimo análogo al de mínima varianzapara los insesgados es el de
MÍNIMO ECMPero, ¿cómo se define el ECM?
Definición
Para un estimador, θ, de un párámetro θ se define su errorcuadrático medio, ECM(θ), como
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cuantifica la dispersión de la distribución del estimador conrespecto al parámetro que se pretende estimar.
El estimador será tanto mejor cuanto menor sea esa dispersiónEso significa que las diferencias entre el parámetro y lasestimaciones que el estimador proporciona (los valores delestimador) son “pequeñas" .
El estimador ÓPTIMO con este criterio es el de menor ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cuantifica la dispersión de la distribución del estimador conrespecto al parámetro que se pretende estimar.
El estimador será tanto mejor cuanto menor sea esa dispersiónEso significa que las diferencias entre el parámetro y lasestimaciones que el estimador proporciona (los valores delestimador) son “pequeñas" .
El estimador ÓPTIMO con este criterio es el de menor ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cuantifica la dispersión de la distribución del estimador conrespecto al parámetro que se pretende estimar.
El estimador será tanto mejor cuanto menor sea esa dispersiónEso significa que las diferencias entre el parámetro y lasestimaciones que el estimador proporciona (los valores delestimador) son “pequeñas" .
El estimador ÓPTIMO con este criterio es el de menor ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
ECM(θ) = E[(θ − θ
)2]
Cuantifica la dispersión de la distribución del estimador conrespecto al parámetro que se pretende estimar.
El estimador será tanto mejor cuanto menor sea esa dispersiónEso significa que las diferencias entre el parámetro y lasestimaciones que el estimador proporciona (los valores delestimador) son “pequeñas" .
El estimador ÓPTIMO con este criterio es el de menor ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:
Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces
ECM(θ)
= Var(θ)
+(
E[θ]− θ)2.
Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:
Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces
ECM(θ)
= Var(θ)
+(
E[θ]− θ)2.
Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:
Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces
ECM(θ)
= Var(θ)
+(
E[θ]− θ)2.
Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.
Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:
Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces
ECM(θ)
= Var(θ)
+(
E[θ]− θ)2.
Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.
El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
El error cuadrático medio de un estimador y su varianza estánrelacionados:
Si θ es un estimador del parámetro θ, entonces
ECM(θ)
= Var(θ)
+(
E[θ]− θ)2.
Si el estimador es insesgado, su error cuadrático medio ysu varianza son iguales.Si un estimador insesgado tiene menor varianza que unosesgado, con el criterio del ECM es preferible el insesgado.El estimador eficiente es, para la clase de estimadoresinsesgados, ÓPTIMO con el criterio basado en el ECM.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
SUFICIENCIA
Definición
Un estimador θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetroθ si, y sólo si, la distribución de la muestra condicionada por elestimador no depende del parámetro.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ B(p), el total muestral(T = X1 + · · ·+ Xn) es suficiente para p.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
SUFICIENCIA
Definición
Un estimador θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetroθ si, y sólo si, la distribución de la muestra condicionada por elestimador no depende del parámetro.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ B(p), el total muestral(T = X1 + · · ·+ Xn) es suficiente para p.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
SUFICIENCIA
Definición
Un estimador θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetroθ si, y sólo si, la distribución de la muestra condicionada por elestimador no depende del parámetro.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ B(p), el total muestral(T = X1 + · · ·+ Xn) es suficiente para p.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
SUFICIENCIA
Definición
Un estimador θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetroθ si, y sólo si, la distribución de la muestra condicionada por elestimador no depende del parámetro.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ B(p), el total muestral(T = X1 + · · ·+ Xn) es suficiente para p.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
Caracterización de la suficiencia (Neyman)
Teorema
θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetro θ si, y sólo si,la función de densidad de la muestra, f (x1, ...xn; θ) se puedefactorizar del siguiente modo
f (x1, ...xn; θ) = g(θ(x1, ..., xn), θ) · h(x1, ..., xn),
donde h es independiente de θ.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ N(µ,1), la media muestrales un estimador suficiente de la media poblacional.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
Caracterización de la suficiencia (Neyman)
Teorema
θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetro θ si, y sólo si,la función de densidad de la muestra, f (x1, ...xn; θ) se puedefactorizar del siguiente modo
f (x1, ...xn; θ) = g(θ(x1, ..., xn), θ) · h(x1, ..., xn),
donde h es independiente de θ.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ N(µ,1), la media muestrales un estimador suficiente de la media poblacional.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
Caracterización de la suficiencia (Neyman)
Teorema
θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetro θ si, y sólo si,la función de densidad de la muestra, f (x1, ...xn; θ) se puedefactorizar del siguiente modo
f (x1, ...xn; θ) = g(θ(x1, ..., xn), θ) · h(x1, ..., xn),
donde h es independiente de θ.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ N(µ,1), la media muestrales un estimador suficiente de la media poblacional.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades
Caracterización de la suficiencia (Neyman)
Teorema
θ = θ(X1, ...,Xn) es suficiente para un parámetro θ si, y sólo si,la función de densidad de la muestra, f (x1, ...xn; θ) se puedefactorizar del siguiente modo
f (x1, ...xn; θ) = g(θ(x1, ..., xn), θ) · h(x1, ..., xn),
donde h es independiente de θ.
EJEMPLO
Ejemplo
Si (X1, ...,Xn) es una m.a.s. de X ∼ N(µ,1), la media muestrales un estimador suficiente de la media poblacional.
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Entre las propiedades de tipo asintótico (muestras detamaño grande) destacamos:
Insesgadez asintótica
Consistencia en media cuadrática
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Entre las propiedades de tipo asintótico (muestras detamaño grande) destacamos:
Insesgadez asintótica
Consistencia en media cuadrática
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Entre las propiedades de tipo asintótico (muestras detamaño grande) destacamos:
Insesgadez asintótica
Consistencia en media cuadrática
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.
Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:
Una sucesión de estimadores ≡θn
Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si
Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.
E[S2]
=n − 1
nσ2−→
n→∞σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.
Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:
Una sucesión de estimadores ≡θn
Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si
Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.
E[S2]
=n − 1
nσ2−→
n→∞σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.
Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:
Una sucesión de estimadores ≡θn
Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si
Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.
E[S2]
=n − 1
nσ2−→
n→∞σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.
Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:
Una sucesión de estimadores ≡θn
Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si
Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.
E[S2]
=n − 1
nσ2−→
n→∞σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
θn = θ(X1,X2, · · · ,Xn) estimador.
Al hacer variar el tamaño de la muestra, elestimador puede verse como:
Una sucesión de estimadores ≡θn
Insesgadez asintóticaEl estimador θn es asintóticamente insesgado para θ si
Al aumentar el tamaño de muestra el sesgo tiende acero.
E[S2]
=n − 1
nσ2−→
n→∞σ2
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
CONSISTENCIA
El estimador θn es consistente para θ si converge enprobabilidad a θ. Es decir,
límn→∞
P(|θn − θ| < ε) = 1,para todoε > 0.
La consistencia del estimador garantiza que tomando unamuestra suficientemente grande con la estimación no nosdesviamos mucho del parámetro que se pretendeestimar.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
CONSISTENCIA
El estimador θn es consistente para θ si converge enprobabilidad a θ. Es decir,
límn→∞
P(|θn − θ| < ε) = 1,para todoε > 0.
La consistencia del estimador garantiza que tomando unamuestra suficientemente grande con la estimación no nosdesviamos mucho del parámetro que se pretendeestimar.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
CONSISTENCIA
El estimador θn es consistente para θ si converge enprobabilidad a θ. Es decir,
límn→∞
P(|θn − θ| < ε) = 1,para todoε > 0.
La consistencia del estimador garantiza que tomando unamuestra suficientemente grande con la estimación no nosdesviamos mucho del parámetro que se pretendeestimar.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
CONSISTENCIA
El estimador θn es consistente para θ si converge enprobabilidad a θ. Es decir,
límn→∞
P(|θn − θ| < ε) = 1,para todoε > 0.
La consistencia del estimador garantiza que tomando unamuestra suficientemente grande con la estimación no nosdesviamos mucho del parámetro que se pretendeestimar.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Consistencia en media cuadrática
El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi
Es asintóticamente insesgado.Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.
La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Consistencia en media cuadrática
El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi
Es asintóticamente insesgado.
Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.
La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Consistencia en media cuadrática
El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi
Es asintóticamente insesgado.Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.
La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Consistencia en media cuadrática
El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi
Es asintóticamente insesgado.Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.
La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
Consistencia en media cuadrática
El estimador θn es consistente en media cuadrática para θsi
Es asintóticamente insesgado.Su varianza tiende a cero al aumentar el tamaño demuestra.
La consistencia en media cuadrática del estimadorgarantiza la consistencia.
La media muestral es un estimador consistente de lamedia poblacional
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Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
ESTIMACIÓN PUNTUAL
1 Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadores
InsesgadezEficiencia relativaEficienciaError Cuadrático Medio (ECM)Suficiencia
Propiedades de tipo asintóticoInsesgadez asintóticaConsistenciaConsistencia en media cuadráticaNormalidad asintótica
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
NORMALIDAD ASINTÓTICA
El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal.
Es decir,Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de
θn − E [θn]√Var(θn)
,
entonceslím
n→∞Fn(x) = Φ(x),para todo x .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
Estimación Puntual. Propiedades de los Estimadores.IntroducciónPropiedades de los estimadoresPropiedades de tipo asintótico
Estimación puntual: Propiedades asintóticas
NORMALIDAD ASINTÓTICA
El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal. Es decir,
Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de
θn − E [θn]√Var(θn)
,
entonceslím
n→∞Fn(x) = Φ(x),para todo x .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
NORMALIDAD ASINTÓTICA
El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal. Es decir,
Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de
θn − E [θn]√Var(θn)
,
entonceslím
n→∞Fn(x) = Φ(x),para todo x .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
NORMALIDAD ASINTÓTICA
El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal. Es decir,
Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de
θn − E [θn]√Var(θn)
,
entonces
límn→∞
Fn(x) = Φ(x),para todo x .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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Estimación puntual: Propiedades asintóticas
NORMALIDAD ASINTÓTICA
El estimador θn es asintóticamente normal para θ si convergeen distribución a la distribución normal. Es decir,
Si Φ es la función de distribución de la distribución N(0,1)y Fn es la función de distribución de
θn − E [θn]√Var(θn)
,
entonceslím
n→∞Fn(x) = Φ(x),para todo x .
Cruces, Molina, Sarrión Estimación.
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