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Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos
Mecánica de laminados
Introducción
2
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Comportamiento macroscópico de laminados compuestos por láminas con diferentes orientaciones
• Estimar la influencia de la secuencia de laminado
• Estimar los esfuerzos y deformaciones de cada lámina que compone el laminado
• Estimar la resistencia del laminado
• Realizar un diseño adecuado a las necesidades de la misión
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Hipótesis
3
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Las láminas que componen el laminado presentan un comportamiento ortótropo
• El laminado es delgado: las dimensiones de la placa son mucho mayores que el espesor.
• Cada lámina esta sujeta a un estado plano de tensiones
• Los desplazamientos son pequeños con respecto al espesor del laminado
• Los desplazamientos son continuos en todo el laminado (no hay despegado de láminas)
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Hipótesis
4
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Los desplazamientos en el plano del laminado varían linealmente en el espesor
• Las deformaciones por corte transversal (g4,g5) son despreciables, lo cual implica que las rectas normales a la sección transversal permanecen normales luego de la deformación
• Las relaciones de tensión-deformación y desplazamiento-deformación son lineales
• La deformación normal transversal ez es despreciable con respecto a ex y ey.
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Hipótesis
5
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
ZY
X
u0
uB
w
A’
C’
D’
B’
AB
C
D
Z
Xzb
ax·zb
ax
Campo de desplazamientos
6
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Al asumir que ez es despreciable, el desplazamiento w(x,y,z) de cualquier punto de la placa es igual al desplazamiento w0(x,y) del plano medio.
• De este modo, los desplazamientos de cualquier punto de la placa pueden ser expresados en función de los desplazamientos del plano medio y las rotaciones.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( )0, , ,w x y z w x y
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
0
0 0
0
0 0
0
,, , , , ,
,, , , , ,
, , ,
x
y
w x yu x y z u x y z x y u x y z
x
w x yv x y z v x y z x y v x y z
y
w x y z w x y
a
a
Campo de deformaciones
7
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
El problema tridimensional queda reducido a un problema bidimensional debido a las condiciones de deformación impuestas por las hipótesis. Podemos expresar las deformaciones en función de los desplazamientos del plano medio.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
x
y
xy
u
x
v
y
u v
y x
e
e
g
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0 0
, ,, ,
, ,, ,
, , ,, , 2
x
y
xy
u x y w x yx y z z
x x
v x y w x yx y z z
y y
u x y v x y w x yx y z z
y x x y
e
e
g
Deformaciones del plano medio
8
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
El primer término de las expresiones obtenidas representa las deformaciones del plano medio
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
00
00
0 00
,,
,,
, ,,
x
y
xy
u x yx y
x
v x yx y
y
u x y v x yx y
y x
e
e
g
Curvaturas del plano medio
9
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
El segundo término de las expresiones obtenidas representa las deformaciones de cada plano Z = cte. debido a las curvaturas del plano medio
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( )( )
( )( )
( )( )
2
0
2
2
0
2
2
0
,,
,,
,, 2
x
y
xy
w x yx y
x
w x yx y
y
w x yx y
x y
Campo de deformaciones
10
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Reemplazando las definiciones anteriores
Y reescribiendo en un modo más compacto:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
e e
e e
g g
0
ze e
Campo de tensiones
11
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
El campo de deformaciones definido anteriormente posee validez en todo el laminado. Para calcular las tensiones se debe tener en cuenta que las relaciones constitutivas pueden ser diferentes de lámina a lámina:
Reemplazando la expresión hallada para la deformación:
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k k
kQ e
0k
k kQ z Q e
• Sistema XYZ, comportamiento generalmente ortótropo
• Válido en el subdominio de z correspondiente a la lámina k
Observaciones
12
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• De acuerdo a este modelo, las tensiones varían linealmente en cada lámina
• Como la matriz [Ǭ]k es diferente para cada lámina, las tensiones son, en general, discontinuas a través del espesor del laminado
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k=4
k=3
k=2
k=1
Z Z Z
ex Ex x
Esfuerzo axil
13
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Podemos definir un esfuerzo axil por unidad de ancho de laminado en la dirección X
Esta magnitud posee dimensión de Fuerza por unidad de longitud.
Análogamente
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( )2
2, , ,
t
x xt
N x y x y z dz
( ) ( )2
2, , ,
t
y yt
N x y x y z dz
Esfuerzo de corte en el plano
14
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Integrando los esfuerzos de corte en el espesor del laminado obtendremos el esfuerzo de corte resultante por unidad de ancho del laminado
Esta magnitud posee dimensión de Fuerza por unidad de longitud
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) ( )2
2, , , ,
t
xy s st
N x y N x y x y z dz
Nxy
Z
xy
Vector de esfuerzos
15
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Podemos compactar la notación en un vector de esfuerzos
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tN x y x y z dz
( )( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
, ,,
, , ,
,, ,
t
xt
xt
y yt
txy
xyt
x y z dzN x y
N x y x y z dz
N x yx y z dz
Momento flector
16
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Podemos definir el momento flector resultante por unidad de ancho de la placa y de las tensiones normales, integrando en el espesor el producto de la tensión en cada punto por el brazo de palanca al plano medio.
• Momento flector X por unidad de ancho de la placa
• Momento flector Y por unidad de ancho de la placa
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( ) ( )2
2, , ,
t
x xt
M x y z x y z dz
( ) ( )2
2, , ,
t
y yt
M x y z x y z dz
Momento flector
17
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( )2
2, , ,
t
x xt
M x y z x y z dz
Z
x
Mx
Momento torsor
18
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Integrando en el espesor del laminado el producto de la tensión de corte en el plano por el brazo de palanca al plano medio, obtendremos el momento torsor resultante por unidad de ancho de laminado.
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( ) ( ) ( )2
2, , , ,
t
xy s st
M x y M x y z x y z dz
Mxy
Z
xy
Vector de momentos
19
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Podemos compactar la notación en un vector de momentos
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tM x y z x y z dz
( )( )( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
, ,,
, , ,
,, ,
t
xt
xt
y yt
txy
xyt
z x y z dzM x y
M x y z x y z dz
M x yz x y z dz
Integración en el laminado
20
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
h0h1
h2
hnhn-1hkhk-1
zk=n
k
k=2
k=1
Integración en el laminado
21
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Reemplazando la expresión de la tensión y partiendo la integral en una suma de integrales dentro de cada lámina:
Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera al igual que la matriz rigidez de la lámina
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tN x y x y z dz
0k
k kQ z Q e
( )1
0
1
k
k
n h
k khk
N Q z Q dze
( )1 1
0
1
k k
k k
n h h
k h hk
N Q dz zdze
Integración en el laminado
22
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Resolviendo las integrales
Separando las sumatorias y reordenando
Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) 2 2
0 1
1
1 2
nk k
k kkk
h hN Q h he
( ) 2 2
0 1
1
1 1 2
n nk k
k k k kk k
h hN h h Q Qe
0
N A Be
Integración en el laminado
23
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Reemplazando la expresión de la tensión y partiendo la integral en una suma de integrales dentro de cada lámina:
Las deformaciones y curvaturas del plano medio salen afuera al igual que la matriz rigidez de la lámina
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) 2
2, , ,
t
tM x y z x y z dz
0k
k kQ z Q e
( )1
0 2
1
k
k
n h
k khk
M z Q z Q dze
( )1 1
0 2
1
k k
k k
n h h
k h hk
M Q zdz z dze
Integración en el laminado
24
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Resolviendo las integrales
Separando las sumatorias y reordenando
Definiendo las expresiones entre corchetes como matrices :
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
2 2 3 3
0 1 1
1 2 3
nk k k k
kk
h h h hM Q e
2 2 3 3
01 1
1 12 3
n nk k k k
k kk k
h h h hM Q Qe
0
M B De
Integración en el laminado
25
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Resumiendo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
N A Be
0
M B De
0N A B
M B D
e
Matrices A, B y D
26
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( )1
1
n
k k kk
A h h Q
2 2
1
1 2
nk k
kk
h hB Q
3 3
1
1 3
nk k
kk
h hD Q
Matriz A
27
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Observaciones• Define la relación entre esfuerzos y deformaciones del plano medio• Es independiente del orden de laminación• Si todas las láminas poseen el mismo espesor, la matriz A es igual al
producto del espesor de lamina y la suma de las matrices de cada lámina• Como la matriz [Ǭ] es simétrica, A resulta simétrica también• Axs y Ays son nulos para laminados balanceados, es decir, laminados en los
cuales por cada lámina +q hay una lámina -q
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1
n
k kk
A t Q
( )1k k kt h h
1
xx xy xs xx xy xsn
xy yy ys k xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
A A A Q Q Q
A A A t Q Q Q
A A A Q Q Q
Donde tk es el espesor de la k-ésima lámina
Matriz B
28
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Nuevamente, si tk = (hk - hk-1) es el espesor de la k-ésima lámina se tiene
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2 2
1
1 2
nk k
kk
h hB Q
1
n
k k kk
B t h Q
( )
222
111
2
1
2
kkk
kkkk
kk hht
hhhh
hh
Y si definimos un nuevo parámetro ( )1
2
k k
k
h hh
Matriz B
29
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Observaciones
• La matriz B define el acoplamiento entre esfuerzos en el plano y curvaturas del plano medio
• A su vez, representa el acoplamiento entre momentos resultantes y deformaciones en el plano
• La matriz B depende del orden de laminación• Como la matriz [Ǭ] es simétrica, B resulta simétrica también• B es nula cuando el laminado es simétrico
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1
n
k k kk
B t h Q
1
xx xy xs xx xy xsn
xy yy ys k k xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
B B B Q Q Q
B B B t h Q Q Q
B B B Q Q Q
Matriz D
30
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Observaciones• La matriz D representa la relación entre los momentos resultantes del
laminado y las curvaturas del plano medio del laminado• La matriz D depende del orden de laminado• La ponderación de cada lámina es aproximadamente proporcional al
cuadrado de la distancia al plano medio de la lámina. Es decir, las láminas más alejadas al plano medio tendrán mayor influencia en la matriz D que las más cercanas (conceptualmente, se podría hacer una analogía con el momento de inercia de las láminas)
• Dxs y Dys son nulos en laminados anti-simétricos.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3 3
1
1 3
nk k
kk
h hD Q
3 3
1
1 3
xx xy xs xx xy xsnk k
xy yy ys xy yy ys
k
xs ys ss xs ys ss k
D D D Q Q Qh h
D D D Q Q Q
D D D Q Q Q
Rigidez de laminados
31
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
xx xy xs xx xy xsx x
xy yy ys xy yy ysy y
xs ys ss xs ys sss s
xx xy xs xx xy xsx x
xy yy ys xy yy ysy y
xs ys ss xs ys sss s
A A A B B BN
A A A B B BN
A A A B B BN
B B B D D DM
B B B D D DM
B B B D D DM
e
e
g
Flexibilidad en laminados
32
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Si se desea conocer las deformaciones y curvaturas del laminado a partir de los esfuerzos aplicados, se debe invertir la matriz anterior:
Observaciones
• b no es una matriz simétrica. • Para calcular a, b y d es necesario invertir la matriz de 6x6 completa• Sólo si el laminado es simétrico, B=0, b=0 , a=A-1 y d=D-1
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10
T
a bA B N N
B D M Mb d
e
Constantes de ingeniería de laminados
33
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Las constantes de ingeniería de laminados definen el comportamiento plano del plano medio del laminado.
• Tensión media o equivalente
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xx
k
N
t
y
y
k
N
t
i
i
k
N
t
xy
xy
k
N
t
Z
x
x
Constantes de ingeniería de laminados
34
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Bajo la hipótesis de someter el laminado a un esfuerzo uniaxial solamente
• Nx ≠ 0
• Ny,Ns,Mx,My,Ms = 0
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0 0
x xx
x x k
NE
t
e e
0
0
y
xy
x
e
e
Constantes de ingeniería de laminados
35
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados simétricos y balanceados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
0
0 0
0 0 0
x xx xy x
xy yy y
ss s
N A A
A A
A
e
e
g
0 0
0 0
0
0
0
x xx x xy y
xy x yy y
s
N A A
A A
e e
e e
g
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 00
0 0 0 0 00
0 0 00
0 0 00
0 0 00
xx xyx x
xy yy y
ss s
xx xy xs x
xy yy ys y
xs ys ss s
A AN
A A
A
D D D
D D D
D D D
e
e
g
Constantes de ingeniería de laminados
36
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados simétricos y balanceados
Despejando
Análogamente
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21
0
xy
y yy
k xx
xy
xy
xx
ssxy
k
xs ys sx sy
AE A
t A
A
A
AG
t
21
xy xy
x xx xy
k yy yy
A AE A
t A A
Constantes de ingeniería de laminados
37
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados simétricos no balanceados
Las constantes de ingeniería se expresan directamente en función de los elementos de la inversa de la matriz A.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
xx xy xsx x
xy yy ysy y
xs ys sss s
xx xy xsx x
xy yy ysy y
xs ys sss s
A A AN
A A AN
A A AN
D D DM
D D DM
D D DM
e
e
g
Constantes de ingeniería de laminados
38
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados simétricos no balanceados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
x xx xy xs x
y yx yy ys y
s sx sy ss s
a a a N
a a a N
a a a N
e
e
g
0
0
0
1
1
1
yx sx
x y xy
x x xx xy xs x xx xy xs x
xy sy
y y yx yy ys y yx yy ys y
x y xy
s s sx sy ss s sx sy ss s
ysxs
x y xy
E E Ga a a N a a a
a a a N h a a aE E G
a a a N a a a
E E G
e
e
g
Recordando que
10
A a B
Constantes de ingeniería de laminados
39
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados simétricos no balanceados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1x
xx k
yx
xy
xx
sxxs
xx
Ea t
a
a
a
a
1y
yy k
xy
yx
yy
sy
ys
yy
Ea t
a
a
a
a
1
xy
ss k
xssx
ss
ys
sy
ss
Ga t
a
a
a
a
Constantes de ingeniería de laminados
40
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
• Laminados cuasi-isótropos
Ciertos laminados poseen características elásticas en el plano independiente de la orientación del sistema de referencia.
Ordenes de laminación:
Ejemplos: [0, 60, -60]S [0,45,90,-45]S
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
' '
' '
' '
constante
constante
0
x y xy
x y xy
xs xs ys ys
A A
a a
A A A A
' '
' '
' ' ' '
constante
constante
constante
0
x x y x
xy x y
xy x y yx y x
sx xs ys sy
E E E E
G G
2 1 20 / / / ... / / / ... /
s s
no
n n n n n
Nomenclaturas
41
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Simétrico
(Bij = 0)
Balanceado(Axs = Ays = 0)
Simétrico y balanceado
(Bij = 0; Axs = Ays = 0)
General
(Aij = Bij = Dij ≠ 0)
Angle-ply
(n impar)
[ q / -q / q / … / q ]
Axs , Ays ≠ 0
Dxs , Dys ≠ 0
Axs ,Ays ,Dxs ,Dys ∝ 1/n
Antisimétrico
Dxs = Dys = 0
Bij ≠ 0
Crossply simétrico(láminas
a 90 grados entre si)
Dxs = Dys = 0
Láminas isótropas
Axs = Ays = 0
Bxs = Bys = 0
Dxs = Dys = 0
Axx = Ayy
Bxx = Byy
Dxx = Dyy
Crossply
antisimétrico
Dxs = Dys = 0
Bxx = Byy
el resto Bij = 0
Angle ply
[ ±q ]ps
Dxs , Dys ≠ 0
Dxs ,Dys ∝ 1/n
Angle-ply
antisimétrico
[ ±q ]p
Dxs = Dys = 0
Bxs , Bys ≠ 0
el resto Bij = 0
Tetragonal
Axx = Ayy
Láminas
especialmente
ortótropas
Axs = Ays = 0
Bxs = Bys = 0
Dxs = Dys = 0
cuasi-isótropo
Aij , aij , Eij
independientes de ejes de
referencia
Tensiones dentro del laminado
42
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Conocidos los esfuerzos aplicados sobre un laminado, la matriz de flexibilidad permitirá obtener las deformaciones y curvaturas del plano medio
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10
T
a bA B N N
B D M Mb d
e
0
0
0
xx xy xs xx xy xs xx
yx yy ys yx yy ys yy
sx sy ss sx sy ss ss
xx yx sx xx xy xs xx
xy yy sy yx yy ys yy
xs ys ss sx sy ss ss
a a a b b b N
a a a b b b N
a a a b b b N
b b b d d d M
b b b d d d M
b b b d d d M
e
e
g
Tensiones dentro del laminado
43
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Debido a las condiciones de deformación impuestas, tendremos también las deformaciones de cada punto del laminado
Las deformaciones de la k-ésima lámina están descriptas por las siguientes ecuaciones:
Las deformaciones varían linealmente dentro de cada lámina.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
, , , ,
, , , ,
, , , ,
x x x
y y y
xy xy xy
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
x y z x y zk x y
e e
e e
g g
( ) 0k k
ze e donde z(k) es el dominio de z correspondiente a la lámina k
Tensiones dentro del laminado
44
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Las deformaciones calculadas anteriormente están definidas en el sistema de coordenadas del laminado XYZ. Utilizando la matriz rigidez del laminado podemos obtener las tensiones en el sistema XYZ:
Generalmente se desea conocer las tensiones definidas en el sistema de ejes materiales principales de la lámina, por lo cual se debe rotar las tensiones obtenidas. Las tensiones de la lámina en el sistema 123 son:
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k k
kQ e
( ) ( ) ( )k
xy
y
x
k
k
kk
k
k
k
nmmnmn
mnmn
mnnm
ensn ,cosm T
qqq
22
22
22
6
2
1
2
2
'
Tablas de diseño
45
Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
100 % láminas a 0°
0 % láminas a 0°
Tablas de diseño
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Estructuras de Materiales Compuestos - Mecánica de laminados
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
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