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Estática y Dinámica
E.S. Kolosovas-Machuca
Unidad 2. Vectores.
Unidad 2
2.1 Vectores y escalares.
2.2 Propiedades de los vectores.
2.3 Componentes de un vector y vectores unitarios.
Objetivos
• Entender intuitiva y matemáticamente el concepto de vector.
• Comprender las reglas de composición de dos o más vectoresy la descomposición de un vector en componentes.
2.1 Vectores y escalares.
Sistema de coordenadas cartesiano
Ejemplo
Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano 𝑥𝑦 son(𝑥, 𝑦) = (−3.5, −2.5)𝑚 . Encuentre las coordenadas polares eneste punto.
Cantidades vectoriales y escalares
• Una magnitud escalar sólo tiene magnitud y no dirección.
• Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección.
Ejemplos de cantidades vectoriales y escalares
• Desplazamiento
• Velocidad.
• Aceleración.
• Fuerza.
• Longitud.
• Masa.
2.2 Propiedades de los vectores.
Igualdad de dos vectores
Dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 son iguales si tienen la misma magnitud y lamisma dirección.
Adición
La suma de dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 es otro vector 𝑅 obtenido
trasladando el origen de 𝐵 al extremo de Ԧ𝐴 y uniendo el origen
de Ԧ𝐴 con el extremo de 𝐵. Analíticamente se expresa Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝑅.
Adición
Las construcciones geométricas se pueden utilizar para sumar
más de dos vectores. 𝑅 es el vector dibujado desde el origen delprimer vector hasta la punta del último vector.
Regla de adición del paralelogramo
Los orígenes de los vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 están juntos y el vector
resultante 𝑅 es la diagonal de un paralelogramo formado por Ԧ𝐴 y
𝐵 como sus lados.
Ley conmutativa de la suma de vectores
La adición de dos vectores cumple con la ley conmutativa de lasuma:
Ԧ𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + Ԧ𝐴
Ley asociativa de la suma de vectores
Si tres o más vectores se suman, su total es independiente de lamanera en la que se agrupan los vectores individuales.
Ԧ𝐴 + (𝐵 + Ԧ𝐶) = ( Ԧ𝐴 + 𝐵) + Ԧ𝐶
El negativo de un vector
El negativo de un vector Ԧ𝐴 se define como el vector que da cero
cuando se suma a Ԧ𝐴. Esto significa que Ԧ𝐴 y − Ԧ𝐴 tienen la mismamagnitud pero direcciones opuestas.
Sustracción de vectores
La resta de vectores hace uso de la definición de negativo de un
vector. Se define la operación Ԧ𝐴 − 𝐵 como el vector −𝐵 sumando
al vector Ԧ𝐴:
Ԧ𝐴 − 𝐵 = Ԧ𝐴 + (−𝐵)
Multiplicación de un vector por un escalar
Si el vector Ԧ𝐴 se multiplica por una cantidad escalar positiva 𝑚,
el producto 𝑚 Ԧ𝐴 es un vector que tiene la misma dirección de Ԧ𝐴 yla magnitud 𝑚 𝐴 .
Ejercicios
1. Un automóvil recorre 3 km hacia el norte y luego 5 km hacia elnoreste. Represente gráficamente los desplazamientos y eldesplazamiento resultante.
2. Un perro que busca un hueso camina 3.5 m hacia el sur,después 8.2 m en un ángulo de 30° al Noreste y finalmente 15 mal Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante delperro utilizando técnicas gráficas.
2.3 Componentes de un vector y vectores unitarios.
Componentes de un vector
Las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de unsistema coordenado rectangular se conocen como componentes.Cualquier vector puede ser descrito íntegramente mediante suscomponentes.
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦
Vector unitario
Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene unamagnitud exactamente igual a uno.
Ejemplo
Determine la suma de dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵 en el plano 𝑥𝑦 queestán dados por:
Ԧ𝐴 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗 y 𝐵 = 2 Ƹ𝑖 − 4 Ƹ𝑗
Ejercicios Unidad 1
Ejercicio
Suponga que usted suma dos vectores Ԧ𝐴 y 𝐵. ¿Cuál ánguloentre ellos produce una mayor magnitud en la suma resultante?
a) 0°
b) 45°
c) 90°
d) 180°
Ejercicio
Dado el vector: 33 𝑁 a 45°. Calcule los componentes 𝑥 ᴧ 𝑦 delvector.
Ejercicio
Dado el vector: 8.544 𝑁 a 200.6° . Calcule los componentes𝑥 ᴧ 𝑦 del vector.
Ejercicio
Considere los siguientes vectores de velocidad: Ԧ𝐴 = 3.4 𝑚
𝑠a 90° y
𝐵 = 5.1 𝑚
𝑠a 180° . ¿Cuál es la magnitud de la suma de esos
vectores?
Ejercicio
Una tortuga camina 4.8 𝑚 a 180° después camina 2.7𝑚 a 90° .Finalmente camina 5.5.𝑚 a 330°. ¿Cuál es la magnitud total deldesplazamiento de la tortuga?
Ejercicio
Las coordenadas polares de un punto son 𝑟 = 5.5 𝑚 y θ =240° ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto?
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