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SOLUCIONARIOSOLUCIONARIO UNIUNIExamen de admisión 2018-2
Matemática
PREGUNTA N.º 1
Sean P(x)=9 – x2; Q(x)=ax3 – 2x+3.Determine el valor de a para que P(x) · (Q(x)–1) sea divisible por x – 3 y satisfaga que la suma de los coeficientes de los términos del cociente sea –12.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Tema: División de polinomios
Análisis y procedimiento
Usando la identidad fundamental de la división se tiene P Q x qx x x( ) ( ) ( )−( )≡ −( ) +1 3 0
donde- q(x) es el cociente.
- el residuo es nulo por ser divisible.
Evaluemos para x=1 y del dato q(1)= –12.
P Q q1 1 11 2( ) ( ) ( )−( )= − ∧
8 (a+1–1)= – 2( –12) a=3
Respuesta: 3
PREGUNTA N.º 2
Determine cuántos números de 3 cifras que son divisibles por 11 tienen por suma de sus cifras igual a 15.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
Tema: Divisibilidad
Análisis y procedimiento
Sea abc uno de los números pedidos, donde
abc a c b+ − +
= → + − =11 11
o o
(I)
Además, del dato, la suma de sus cifras debe ser igual a 15. a+b+c=15 → a+c=15 – b (II)
Reemplazamos (II) en (I).
15 11
11 4
−( )− =
+
↓b b
o
o
→ 11 4 2
o
+ = b
Aplicamos el principio de Arquímedes.
11 2
o
+ =b
Se deduce que b=2.
Luego, en (II) a+c=15 – 2 a+c=13
Finalmente, evaluamos los valores de a y c.
a c+ =
↓ ↓13
456789
987654
6 valores
Por lo tanto, hay 6 números de tres cifras que cumplen dicha condición.
Respuesta: 6
2
LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
PREGUNTA N.º 3
Sean las clases de equivalencia de números racionalesa
b
m
n
r
s
; y
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si a
b
m
n
∩
= φ, entonces an=bm.
II. Si a
b
m
n
∩
≠φ, entonces
n
b
m
a= .
III. Si a
b
m
n
r
s
+
=
, entonces
an bm
bn
r
s
+∈
.
¿cuáles son correctas?
A) solo I B) solo II C) solo IIID) II y III E) I y III
RESOLUCIÓN
Tema: Números racionales
Análisis y procedimiento
Sean las clases de equivalencia de números racionales
a
b
m
n
r
s
; y
donde {a; m; r} ⊂ Z {b; n; s} ⊂ Z – {0}
I. Incorrecta
Si a
b
m
n
∩
= φ
� ��� ���
, entonces an=bm.
a
b
m
n≠
→ an ≠ bm
II. Incorrecta
Si a
b
m
n
∩
= φ
� ��� ���
, entonces n
b
m
a= .
a
b
m
n=
→ an=bm
Entonces, n
b
m
a= no cumple si a=0.
III. Correcta
Si a
b
m
n
r
s
+
=
de la construcción delconjunto dee los números
racionales, se tiene
� ��� ���
, entonces an bm
bn
r
s
+∈
(a; b)∼(m; n) (a; b)+ (m; n)
a
b
m
n+
an bm
bn
+
(an+bm; bn)
→ an bm
bn
r
s
+
=
\ an bm
bn
r
s
+∈
Respuesta: solo III
PREGUNTA N.º 4
Halle el menor valor de a+n, donde a; n; M ∈ N, tales que
3 9 3 9 3 9 00 0 259
2 2
a a a
n n
( ) ( ) ( ) =... ...
cifras cifras� ���� ���� ���
MM 2
N es el conjunto de los números naturales.
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de divisibilidad
Análisis y procedimiento
De la igualdad tenemos
3 9 3 9 3 9 00 0 259
2 2
a a a
n n
( ) ( ) ( ) =... ...
cifras cifras� ���� ���� ���
MM 2
3 9 3 9 3 9 10 259
2
2 2a a a M
n
n( ) ( ) ( ) × =...
cifras
� ���� ����
3 9 3 9 3 9 10 259
2
2
37
7a a a
n
n( ) ( ) ( ) × = =...
cifras
o
o
o
� ���� ����
UNI 2018-1Solucionario de MatemáticaAcademia CÉSAR VALLEJO
3
Matemática
Como 102n no es múltiplo de 7 ni de 37, se cumple que
3 9 3 9 3 9 259
2 37
7a a a
n
( ) ( ) ( ) = =...
cifras
o
o
o
� ���� ����
Dado que debemos hallar el menor valor de a+n (a ∈ N; n ∈ N), analizaremos los valores que puede tomar n en la última expresión
Si n=1
→ 3 9 259a( ) =
o
(no existe solución)
Si n=2
→ 3 9 3 9 259
37
7a a( ) ( ) =
o
o
o
3 9 3 9 71a a( ) ( ) =
− 2 3 1
o
6 27 7a+ =o
6 7 6 7a+ + =o o
6 7 6a = −o
a = −7 1o
a=6 (incrementa porque a ≤ 3)
Si n=3
→ 3 9 3 9 3 9 259
37
7a a a( ) ( ) ( ) =
o
o
o
• 3 9 3 9 3 9 72 3 1a a a( ) ( ) ( ) =
− − − 2 3 1
o
0 7=o
(Para que cumpla el criterio del 7, a toma cualquier valor)
• 3 9 3 9 3 9 37a a a( ) ( ) ( ) =o
3 9 3 9 3 9 37a a a( ) ( )+ ( ) =
o
303 90 909 30 37a a+ + + =o
333 999 37a+ =o
37 37 37
o o o
+ = (Para que cumpla el criterio de 37, a toma cualquier valor)
Como queremos el menor valor de a, le damos a=1.Por lo tanto, el menor valor de a+n es 4.
Respuesta: 4
PREGUNTA N.º 5
Se tiene dos barras de oro, en la primera el 80% del peso total es oro y en la segunda el 75% de su peso es oro, siendo esta el cuádruple de la anterior. Si se mezclan, determine la pureza resultante de dicha mezcla.
A) 0,755 B) 0,760 C) 0,765D) 0,770 E) 0,775
RESOLUCIÓN
Tema: Regla de mezcla
Análisis y procedimiento
Según el enunciado, se tienen dos barras de oro donde el peso del segundo es el cuádruple del peso del primero.Además, nos indican lo siguiente:1.a barra
El 80% del peso total es oro puro. ley1=0,80peso=w
2.a barra
El 75% del peso total esoro puro .ley2=0,75 peso=4w
Nos piden la pureza resultante al mezclar ambas barras, es decir, nos piden la ley media.Finalmente, de los datos anteriores
leyM
w w
w=( )( ) + ( )( )
( )0 80 4 0 75
5
, ,
leyM=0,76
Respuesta: 0,760
4
LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
PREGUNTA N.º 6
En un total de 15 personas, 10 son hombres y 5 son mujeres, van a ser divididos al azar en cinco grupos con 3 personas cada uno. Calcule la probabilidad que en cada uno de los cinco grupos siempre haya una mujer.
A) 0,05B) 0,06C) 0,07D) 0,08E) 0,09
RESOLUCIÓN
Tema: Probabilidades
Análisis y procedimiento
e: Se divide al azar un total de 15 personas (10 hombres y 5 mujeres) en cinco grupos con 3 personas cada uno.A: En cada uno de los cinco grupos siempre hay
una mujer.
10 hombres y 5 mujeres
1 mujer y
2 hombres
1 mujer y
2 hombres
1 mujer y
2 hombres
1 mujer y
2 hombres
1 mujer y
2 hombres
Cantidad de
resultados
a favor del
evento A
C
= × ×5 2
10 44 3 2 1 528
26
24× × × × × × ÷C C C !
Cantidad de
resultados
totales
= × × × ×C C C C3
15312
39
36 1 ÷5!
De donde
PA
A[ ] =
Cantidad de
resultados a
favor del
evento
Canttidad de
resultados
totales
=× × × × × × ×5 4 3 22
1028
26
2C C C C44
315
312
39
36
1
1
×
× × × ×C C C C
= 81
1001
P A[ ] =0 080919, P A[ ] ≈0 08,
Respuesta: 0,08
PREGUNTA N.º 7
Señale la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. 111(3)=23(5)
II. 0,25=0 1 5, ( )
III. 0 11, ( )a =0 4 5, ( )
, donde a=10.
A) FVF B) FVV C) VFFD) VVF E) VVV
RESOLUCIÓN
Tema: Números avales
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
1113=235
Pasamos ambos números a base 10 para comprobar si se cumple la igualdad.
1×32+1×3+1=2×5 + 3
13=13
Como se puede observar, sí se cumple la igualdad.
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5
Matemática
II. Verdadera
0,25=0 15,
Pasamos ambos números a su fracción generatriz
para comprobar si se cumple la igualdad.
25
100
1
4
5
5
=
1
4
1
4=
Como se puede observar, sí se cumple la igualdad.
III. Verdadera
0 0 411 5, ,a
=
Pasamos ambos números a su fracción generatriz.
a11
11
5
510
4
4( )=
a
101=
a=10 Se puede comprobar que el valor de a es 10.
Respuesta: VVV
PREGUNTA N.º 8
Indique el valor de verdad de las siguientes proposicionesI. Si a – b ∈ N y b ∈ N, entonces a ∈ N.II. Si a – b ∈ N y a ∈ N, entonces b ∈ N.III. si a2 ∈ N, entonces a ∈ N.N es el conjunto de los números naturales.
A) VFF B) VFV C) VVFD) VVV E) FVF
RESOLUCIÓN
Tema: Operaciones fundamentales
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
Dado que a – b ∈ N y a ∈ N, podemos afirmar que a – b=c (c ∈ N) a=c+b ↓ ↓ N N → a ∈ N
Entonces, a sí pertenece al conjunto de los naturales.
II. Falsa
Dado que a – b ∈ N y a ∈ N, podemos afirmar que
a – b=c (c ∈ N) a – c=b
↓ ↓ N N Entonces, b no necesariamente es un número
natural.
Nota
También se podría demostrar con un contraejemplo.
Si a=5 y b= (–3), entonces a – b=8.
Se puede observar que a – b ∈ N, pero b ∉ N.
III. Falsa
Dado que a2 ∈ N, podemos afirmar que
a2=c (c ∈ N)
a c= Entonces, a no necesariamente es un número
natural.
Nota
También se puede demostrar con un contraejemplo.
Si a2=8, entonces a= 8 .
Se puede observar que a2 ∈ N, pero a ∉ N.
Respuesta: VFF
PREGUNTA N.º 9
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Sea A una matriz cuadrada de orden n e I la matriz identidad del mismo orden.
I. Si |A – kI|=0, k número real, entonces
A kIT− =0
II. Si A2= I – A, entonces |A|=0.
III. Si B= (–1)n+1|A|A2n, entonces |B|=|A|3n.
A) VVV B) VFV C) VVFD) FFV E) VFF
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LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
RESOLUCIÓN
Tema: Determinantes
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
0= − = −( )A kI A kIT
0 = − ( )A kIT T
0 = −A kIT
II. Falsa
A2= I – A ↔ A2+A= I
↔ A(A+ I)= I
↔ A A I I+( ) = → A A I
≠ ≠
⋅ + =
0 0
1
III. Verdadera
B A A A An n n
nn= −( ) = −( )( )+ +
1 11 2 1 2
B A An n n n
= −( ) +( )1
1 2
B An n n
= −( ) +( )1
1 3
Como el producto de dos enteros consecutivos es par n n+( )=( )1 par ,
→ B An= 3
Respuesta: VFV
PREGUNTA N.º 10
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Sea la matriz
A=
1 0 1
0 1 0
0 0 1
.
I. det A nn( )= para todo n ∈ N.
II. An
n =
1 0
0 1 0
0 0 1
para todo n ∈ N.
III. Si B es la matriz inversa de An, entonces
det B nn( )= − para todo n ∈N.
A) VVV B) VFV C) FVVD) FVF E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Matrices
Análisis y procedimiento
I. Falsa
det(An)= (det(A))n
=
= × ×( ) =
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 1 1 1
n
n
Por ser una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.
II. Verdadera
A2
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1
=
=
A3
1 0 2
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 3
0 1 0
0 0 1
=
=
A
nn =
1 0
0 1 0
0 0 1
III. Falsa
det(Bn)=|B|n, pero B=A–1
det(Bn)=|A–1|n
det(Bn) =
= =1
1 1A
nn
Respuesta: FVF
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7
Matemática
PREGUNTA N.º 11
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. Si a los términos de una progresión aritmética se
le aumenta un valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.
II. Si la progresión tiene una cantidad par de tér-minos, la suma de los términos extremos de una progresión aritmética (primero y último) es igual a la suma de los términos centrales.
III. Si a los términos de una progresión aritmética se le multiplica por el valor constante, entonces se forma una progresión aritmética con la misma razón.
A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) VFF
RESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones
Análisis y procedimiento
Sea la sucesión lineal (progresión aritmética) de razón r.
a a a a a an n{ }: ; ; ; ; ...;1 2 3 4
r r r
I. Verdadera
r r r
b a x a x a x a x a x a xn n n{ }= +{ } + + + + +: ; ; ; ; ...;1 2 3 4
II. Verdadera
Sea n=2k; k ∈ Z+. Entonces
a1; a2; a3; ... ; ak; ak + 1; ... ; a2k
k términos k términos
términos centrales
términos extremos
ka a
r
a a
r
k k k=−
+ =−
++2 1 11 1
a2k - ak+1 = ak - a1
a1 + a2k = ak+ak+1
III. Falsa
xr xr xr
c xa xa xa xa xa xan n n{ }={ }= 1 2 3 4; ; ; ; ...;
Si x ≠ 1, no cumple.
Respuesta: VVF
PREGUNTA N.º 12
Determine el conjunto de valores de K para que el siguiente sistema lineal en x e y admita al menos una solución.(K+3)x+2Ky=5K – 9(K+4)x+ (3K – 2)y=2K+1
A) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩B) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; 3⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩C) ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; ∞⟩D) ⟨ – 2; 2⟩ ∪ ⟨2; 3⟩ ∪ ⟨3; ∞⟩E) ⟨ – ∞; 2⟩ ∪ ⟨2; ∞⟩
RESOLUCIÓN
Tema: Sistema de ecuaciones
Análisis y procedimiento
Para que admita al menos una solución, debe ser compatible.Determinaremos el conjunto de valores de K donde el sistema sea incompatible para luego calcular su complemento y así determinar los valores de K donde el sistema sea compatible.Usamos el teorema para que el sistema sea incompatible.
K
K
K
K
K
K
+
+=
−≠
−
+
3
4
2
3 2
5 9
2 1� ��� ���
(*)
(K+3)(3K – 2)=2K(K+4)
K2 – K – 6=0 K – 3 K 2
(K – 3)(K+2)=0 K=3 ∨ K= – 2
8
LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
Reemplazamos en (*).
Si K=3: 6
7
6
7
6
7= ≠ (no cumple)
Si K= – 2 : 1
2
4
8
19
3=−
−≠−
− (sí cumple)
Entonces el sistema es incompatible para K= – 2; en consecuencia, es compatible para K ≠ – 2.
Respuesta: ⟨ – ∞; – 2⟩ ∪ ⟨ – 2; ∞⟩
PREGUNTA N.º 13
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).Respecto al sistema de ecuaciones lineales en x, y,
(1– l)x+y=c
2x – ly=2c
x – y= (1+l)c
I. Si l = – 2, el sistema tiene solución para todo c ∈ R.II. Si l=0, el sistema no tiene solución.III. Si l=1, el sistema tiene solución única para cada
valor real de c.
A) VVV B) VFV C) VFFD) FVF E) VVF
RESOLUCIÓN
Tema: Sistema de ecuaciones lineales
Análisis y procedimiento
Se tiene el sistema (1- l)x+y=c
2x - ly=2c
x - y= (1+l)c
I. Verdadera
Para l=-2
3x+y=c (a) 2x+2y=2c (b) x - y=-c (q)
De a+q 4x=0 x=0 → y=c
CS={(0; c) / c ∈R}
Entonces, el sistema tiene solución para todo c ∈ R.
II. Falsa
Para l =0
x+y=c (a) 2x=2c (b) x - y=c (q)
De b x=c → y=0
CS={(c; 0) / c ∈ R}
Entonces, el sistema tiene solución.
III. Falsa
Para l=1
y=c (a) 2x - y=2c (b) x - y=2c (q)
De a
y=c → x c= 32
También x=3c. Esto es una contradicción. Entonces, el sistema no tiene solución ∀ c≠ 0.
Por lo tanto, la secuencia correcta es VFF.
Respuesta: VFF
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9
Matemática
PREGUNTA N.º 14
En una granja de pollos se da una dieta “para engor-dar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A, y 20 unidades de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo M con una composición de 1 unidad A y 5 unidades de B, y el tipo N con una composición de 5 unidades de A y 1 de B.El precio del tipo M es de 1000 soles y el del tipo N es de 3000 soles.El dueño de la granja quiere saber qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las ne-cesidades con un costo mínimo.
Six: número de unidades del compuesto M que se
comprany: número de unidades del compuesto N que se
compranmodele el problema que responda a la inquietud del dueño de la granja.
A) mín(1000x + 3000y) sujeto a x + 5y ≤ 15 5x+y ≤ 20 x ≥ 0; y ≥ 0
B) mín(3000x +1000y) sujeto a x+5y ≥ 15 5x + y ≤ 20 x ≥ 0; y ≥ 0
C) mín(1000x+3000y) sujeto a x + 5y ≥ 15 5x+y ≥20 x ≥ 0; y ≥ 0
D) mín(1000x + 3000y) sujeto a x+5y ≥20 5x+y ≥ 15 x ≥ 0; y ≥ 0
E) mín(3000x + 1000y) sujeto a x+5y ≥ 15 5x+y ≥ 20 x ≥ 0; y ≥ 0
RESOLUCIÓN
Tema: Programación lineal
Análisis y procedimiento
Ordenando los datos, tenemos
compuesto A B cantidad precio
tipo M 1 5 x 1000
tipo N 5 1 y 3000
Luego se requiere un mínimo de 15 unidades A: x+5y≥15se requiere un mínimo de 20 unidades B: 5x+y≥20
Además x ≥ 0; y ≥ 0
Se busca el costo mínimo. mín(1000x+3000y)
Por lo tanto, el modelo matemático tiene la forma
mín sujeto a1000 3000
5 15
5 20
0 0
x y
x y
x y
x y
+( )+ ≥
+ ≥
≥ ≥
;
Respuesta: mín(1000x + 3000y) sujeto a
x+5y ≥ 15 5x+y ≥20 x ≥ 0; y ≥ 0
PREGUNTA N.º 15
Sea M xx x
x x= ∈
+ − +
− − +≥
R2 3
1 40
¿Cuántos números enteros hay en MC?
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
10
LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
RESOLUCIÓN
Tema: Inecuación con valor absoluto
Análisis y procedimiento
Se tiene
M xx x
x x= ∈
+ − +
− − +≥
R2 3
1 40
Aplicamos un artificio.
x x x x x x
x x x x x x
+ − +( ) + + +( ) − + +( )
− − +( ) − + +( ) + + +( )≥
2 3 2 3 1 4
1 4 1 4 2 30
x x
x x
+( ) − +( )
−( ) − +( )≥
2 3
1 40
2 2
2 2
− +( )
− +( )≥
2 5
5 2 30
x
x
→ +( ) +( ) ≥ ≠−
2 5 2 3 03
2x x x;
++ ++––
– 5 2
– ∞ +∞– 3 2
→ = −∞−
∪
−+ ∞M ; ;
5
2
3
2
Luego,
MC=⟨–2,5; –1,5]
Por lo tanto, la cantidad de números enteros en MC
es uno.
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 16
La ecuación cuadrática x2+bx+c=0 tiene como conjunto solución (∆-1; ∆ + 1), ∆ es el discriminante de la ecuación. Determine la suma de sus raíces.
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 12
RESOLUCIÓN
Tema: Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
Sea la ecuación cuadrática x2+bx+c=0 de conjunto solución {∆ –1; ∆+1}.
Por propiedad de raíces• – b=∆ – 1+∆+1 → b= – 2∆• c= (∆ – 1)(∆+1) → c=∆2 – 1
Por definición de discriminante
∆=b2 – 4c
→ ∆ ∆ ∆= −( ) − −( )2 4 12 2
∆=4∆2 – 4∆2+4
∆=4
Luego, las raíces son 3 y 5.Por lo tanto, la suma de raíces es 8.
Respuesta: 8
PREGUNTA N.º 17
El mayor rango de la función x x
x
4 2
2
8 15
5
− +
− es
A) − ∞ −{ }3 5 5; \ ;
B) [-3; ∞⟩C) [-3; ∞⟩\{2}D) [-2; ∞⟩\{3}E) [-2, ∞⟩\{1}
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11
Matemática
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones
Análisis y procedimiento
Sea la función
y fx x
xxx= =
− +
−≠( )
4 2
2
28 15
55;
yx x
x
x=−( ) −( )
−( )− ≠
2 2
2
23 5
5
5 0;
→ y = x2 - 3; x2≠ 5 → x2 - 3 ≠ 2 → y≠ 2
Además, x2 ≥ 0 x2 - 3 ≥ -3→ y ≥ -3
\ Ran(f): y∈[-3; +∞⟩ \ {2}
Respuesta: − +∞ { }3 2; \
PREGUNTA N.º 18
Considere la siguiente función f: [0; 6] → [-4; 4] cuya gráfica se muestra a continuación:
Y
X6
– 4
0
4
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. f es biyectiva.II. |f(x)|-f(x) > 0 para todo x ∈ [0; 6].III. g(x) = f(x)+|f(x)| es inyectiva.
A) VVV B) VVF C) VFFD) FFV E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones
Análisis y procedimiento
Se tiene f: [0; 6] → [– 4; 4]
Y
4
60
− 4
X
I. Verdadera Del gráfico, f es inyectiva. Ran(f)= [– 4; 4] (sobreyectiva)
Por lo tanto, f es biyectiva.
II. Falsa
Sea H f fx x x( ) ( ) ( )= − .
Y
8
6 X
H
→ f f xx x( ) ( )− ≥∀ ∈[ ]0 6;
III. Falsa
Se tiene g f fx x x( ) ( ) ( )= + .
Y
8
6 X
g
Del gráfico, g no es inyectiva.
Respuesta: VFF
12
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PREGUNTA N.º 19
Dado xyz = 14
, calcule
Exy z x y z xy z
xy z xy z=
+( ) + −( ) + −( )
+( ) − −( )
4 2 2 22 4
6 6
A) 1
4 B)
1
2 C) 1
D) 2 E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Productos notables
Análisis y procedimiento
Sean a=xy+z; b=xy – z → ab=x2y2 – z2
→ a+b=2xy; a – b=2z
→ a2 – b2=4xyz=1, esto es a2 – b2=1
Al reemplazar, nos queda
Ea ab b
a b=
+ ( ) +
−
4 2 4
6 6
Ea a b b
a b a a b b a b=
+ +( )
−( ) + +( )=
−=
4 2 2 4
2 2 4 2 2 4 2 2
1
11
��� ��
\ E=1
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 20
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).I. La función f(x)=4x+4– x es monótona.II. La función g(x)=4x– 4– x posee en algún x0 ∈ R
su valor mínimo.III. La función h(x)=2x – 3– x es una función impar.
A) VVV B) VVF C) VFVD) FVV E) FFF
RESOLUCIÓN
Tema: Función exponencial
Análisis y procedimiento
I. Falso
La gráfica de f(x)=4x+4 – x es
Y
X
La función no es creciente ni decreciente. Por lo tanto, no es monótona.
II. Falso
La gráfica de g(x)=4x – 4 – x es
Y
X
Por lo tanto, la función no tiene valor mínimo.
III. Falso
Se tiene h(x)= 2x – 3 – x
→ h( – x)=2 – x – 3x
Como h( – x) ≠ – h(x)
Por lo tanto, h(x) no es impar.
Respuesta: FFF
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13
Aptitud Académica y Humanidades
PREGUNTA N.º 21
En un ángulo triedo isósceles una cara es recta y la medida del ángulo entre dichas caras y la arista opuesta es 45º. Calcule la medida de una de las caras congruentes.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) arctan2
3 E) arcos
1
3
RESOLUCIÓN
Tema: Geometría del espacio: ángulo triedro
Análisis y procedimiento
Sea PQ ⊥ AOB.
2a
PC
M
Q
N
B
a45º
45º
a
a
a
A
O
2a
2aaa
Datos: mS AOC=mS BOC=a mS AOB=90º mS POQ=45º
OQ: bisectriz del S AOB → mS QOM=mS QON
Como mS MON=90º → mS QOM=mS QON=45º
Si OM=a → MQ=a y OQ a= 2
En el PQO, PQ OQ a OP a= = → =2 2
En el PMO, OP OM= ( )2 .
\ a=60º
Respuesta: 60º
PREGUNTA N.º 22
Desde un punto O fuera del plano de un triángulo ABC, cuyo perímetro es p, se proyecta dicho triángulo ABC sobre un plano Q paralelo al plano del triángulo. Si A’B’C’ es el triángulo proyectado y AA’=AO, entonces el perímetro del triángulo A’B’C’ es
A) p
2 B) p C) 2p
D) 3p E) 4p
RESOLUCIÓN
Tema: Geometría del espacio
Análisis y procedimiento
A
A'A'C'C'
B'B'
O
C
B
b
ac
2c2c2a2a
2b2b
Del dato a+b+c=p
A'A=AO=
Como el plano ABC es paralelo al plano A'B'C'→ AB//A’B’; AC//A’C’
• En el A'OB', OB=BB' → A'B'=2AB=2c
• En el A'OC', OC=CC' → A'C'=2AC=2b
• En el B'OC' → B'C'=2BC=2a
Por lo tanto, la longitud del perímetro de la región A'B'C' es 2(a+b+c)=2p.
Respuesta: 2p
14
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PREGUNTA N.º 23
En el exterior de un poliedro convexo, se toma un punto, el cual se une con los vértices de la cara más próxima; este nuevo poliedro posee 16 aristas, su número de vértices es igual al número de caras, y el número de aristas excede en 4 a las del poliedro inicial. Determine el número de caras del poliedro inicial.
A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
Tema: Poliedros
Análisis y procedimiento
Sea ABC... un poliedro y PABC... el nuevo poliedro.
Analizamos los datos.• Si el número de aristas del nuevo poliedro excede
en 4 al inicial, entonces desde P se han trazado 4 aristas. Por lo tanto, la cara más próxima tiene 4 lados.
• Si el nuevo poliedro tiene 16 aristas, entonces el poliedro inicial tiene 12 aristas; y como una de sus caras es un cuadrilátero, dicho poliedro solo puede ser un hexaedro de caras cuadrangulares.
• En el nuevo poliedro se tiene que cumplir que N.o de vértices = N.o de caras
Finalmente, con estos datos, podemos determinar la siguiente figura, donde vemos 9 vértices y 9 caras:
C
A
P
BB
Por lo tanto, el n.o de caras del poliedro inicial (hexaedro) es igual a 6.
Respuesta: 6
PREGUNTA N.º 24
Se tiene un tronco de cilindro circular recto, con
AB=8 cm como diámetro de la base, y generatrices
AC > 2 cm y BD=2 cm. La bisectriz del ángulo ACD
corta a AD en E, de tal forma que AE = 49
68 .
Si AC+CD=18 cm, halle volumen (cm3) del tronco de cilindro.
A) 60π B) 70π C) 80πD) 90π E) 100π
RESOLUCIÓN
Tema: Cilindro
Análisis y procedimiento
Datos:
- BD=2; AC+CD=18
- AB=8
- AE = 89
17
Analizamos en el gráfico.
10
917
8
D
B
C
A
qqqq
2
8
8
9
8
917EE
Por teorema de Pitágoras BAD: AD = 2 17
Luego
DE DA AE= − =10
917
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15
Aptitud Académica y Humanidades
En ACD: aplicamos teorema de la bisectriz
AC
DC=
8 17
9
10 17
9
y del dato se deduce que AC=8 y DC=10.
\ Vtronco =+
=π π4
8 2
2802
Respuesta: 80π
PREGUNTA N.º 25
Se tiene 2 conos rectos de la misma altura h y bases del mismo radio R. Si el vértice de cada cono está en el centro de la base del otro cono, el volumen común (en u3) a los conos es
A) πR h2
4 B)
πR h2
6 C)
πR h2
8
D) πR h2
12 E)
πR h2
13
RESOLUCIÓN
Tema: Cono
Análisis y procedimiento:
Graficamos.
RR
RR
RRh
h/2
h/2
Piden el volumen común de los conos, es decir, el volumen de los dos conos pequeños mostrados.
→ Vcomún =
+
1
3 2 2
1
3 2 2
2 2π πR h R h
\ Vcomún =πR h2
12
Respuesta: πR h2
12
PREGUNTA N.º 26
Se tienen dos esferas concéntricas. Se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera
menor, determinando un círculo de área 16π m2. Calcule el área, en m2, del casquete menor formado en la esfera mayor sabiendo que el radio de la esfera menor es 3 m.
A) 16π B) 18π C) 20πD) 22π E) 24π
RESOLUCIÓN
Tema: Esfera
Análisis y procedimiento
Dato:
OT=3 m
AC=16π m2
33
OO
44B ATT
RR
CC
hcasquete
Del dato del área del círculo 16π m2, obtenemos
AT=4 y de allí OA=5.
Luego
R=5 ∧ h=2
Acasquete=2πRh
Acasquete=2π(5)(2)
Acasquete=20π
Respuesta: 20π
16
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PREGUNTA N.º 27
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado.I. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan,
entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpen-
diculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.
III. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces el trapecio es isósceles.
A) VVF B) VFF C) VFVD) FVF E) VVV
RESOLUCIÓN
Tema: Cuadrilátero
Análisis y procedimiento
I. Verdadera
En todo paralelogramo, sus diagonales se bisecan; análogamente, se cumple lo recíproco. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, este solo puede ser un paralelogramo.
II. Falsa
Si un cuadrilátero tiene diagonales perpendicu-lares y congruentes, no necesariamente es un cuadrado.
A A
B
D
B
D
C C
III. Verdadera
Si las diagonales de un trapecio son congruentes, dicho trapecio solo puede ser isósceles.
A D E
B C
d
α ββββ
dddd
BCED: paralelogramo CE=BD=d → a =b \ AB=CD
Respuesta: VFV
PREGUNTA N.º 28
Sean ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero, ambos inscritos en la misma circunferencia, de modo que AF y CD se intersecan en el punto I; ID=2 cm. Halle el radio de la circunferencia (en cm).
A) 2 2 6- B) 2 6+ C) 2 2 6+
D) 2 2 6+ E) 2 2 2 6+
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia
Análisis y procedimiento
Piden R.
R
CB
E
60º
60º15º
15º30º
44 2230º
90º
FI
DHA4 2 32 3
ABCD es un cuadrado, entonces m ºAD =90 .
AEF es un triángulo equilátero, entonces m ºADF =120 .
En el HID (notable de 30º), hallamos el lado AD del cuadrado en función del radio. AD R= = +2 4 2 3
\ R= +2 2 6
Respuesta: 2 2 6+
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Aptitud Académica y Humanidades
PREGUNTA N.º 29
En la figura mostrada, determine PO (en cm), tal que PC es la bisectriz interior en el triángulo BPN; mS BNO=mS ROP; AP=4 cm y ON=3 cm.
R
P
B C N
O
A
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10
RESOLUCIÓN
Tema: Proporcionalidad
Análisis y procedimiento
Piden PO=x.
R
P
B C N
O
MA
a a
xk
3k
q
q
4x4
x – 4
3
• En el PCN: RO//CN
Por corolario de Thales
PR
RC
PO
ON
x= =3
• Por teorema de la bisectriz PM=PA=4
• En el PCO: RM//CO Por corolario del teorema de Thales
x k
k x3
4
4=
−
x(x - 4)=12 \ x=6Respuesta: 6
PREGUNTA N.º 30
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se ubican los puntos M y N, puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. En AC se ubican los puntos R y H, de modo que R ∈ AH. Sabiendo que el área de la región formada por el cuadrilátero RMNH es la mitad del área formada por la región triangular ABC, calcule RH/MN.
A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75D) 1 E) 1,25
RESOLUCIÓN
Tema: Áreas
Análisis y procedimiento
Piden RH
MN.
b
2b
aA R
M N
B
H C
h
h
Por dato
AA
MNHRABC=2
→+
=
( )( )a bh
b h
2
1
2
2 2
2
a+b=2b → a=b
∴ = =RH
MN
a
b1
Respuesta: 1
18
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PREGUNTA N.º 31
En una circunferencia, dos cuerdas paralelas miden 2 cm y 6 cm. Si la distancia entre ellas es 2 cm, calcule el radio (en cm) de dicha circunferencia.
A) 3 B) 10 C) 2 3
D) 4 E) 3 2
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia
Análisis y procedimiento
Piden R.
B
DC
H
2
2
222A
52
6
45º
R
90º
El DHB es notable de 45º.
→ mAD =90º
En el ADH: AD = 2 5
Como mAD =90º→ AD R= =2 2 5
\ R= 10
Respuesta: 10
PREGUNTA N.º 32
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia; tiene por lados AB = 7a cm, BC=15a cm, CD=20a cm y AD=24a cm. Si M y N son puntos medios de las diagonales AC y BD,
respectivamente, y MN=15 cm, calcule el perímetro del cuadrilátero ABCD (en cm).
A) 130 B) 132 C) 135D) 140 E) 142
RESOLUCIÓN
Tema: Métricas en el cuadrilátero
Análisis y procedimiento
Piden 2p ABCD
R
N
M
R
RR
20a15
53º53º
15a
24a
7a7a
D
C
A
B
aa
37º16º
Por teorema de cosenos en ABD y BCD
(BD)2=625a2- 600a2cosq=625a2-336a2cosa
→ cosq=cosa=0
→ a=q=90º→ N es centro de la circunferencia
Luego,• MNC es notable de 53º. → NC=R=25
• BCD es notable de 37º. → BD=50 y BC=30=15a
→ a=2
Finalmente, hallamos el perímetro de la región ABCD (2p). 2p=7a+15a+20a+24a=66a
2p=132
Respuesta: 132
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19
Aptitud Académica y Humanidades
PREGUNTA N.º 33
La distribución diaria (en horas) de luz solar durante el año en Lima está dada por la función
f t tt( ) = −( )
+ ≤ ≤sen ; ,
2
36554 11 0 365
π
donde t es el número de días trascurridos desde el inicio del año. Determine en qué fecha del año se tiene la menor cantidad de luz.
A) 29 de nov.B) 27 de nov.C) 24 de nov.D) 20 de nov.E) 15 de nov.
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimiento
f tt( ) = −( )
+sen
2
36554 11
π
donde 0 ≤ t < 365.
Por condición, f(t) es mínimo.
→ 2
36554
3
2
π πt −( ) =
Entonces, se obtiene t=327,75 días.
Observación
Para t=327 días 23 de noviembre
Por lo tanto, la fecha de menor cantidad de luz será 24 de nov.
Respuesta: 24 de nov.
PREGUNTA N.º 34
Resuelva la siguiente inecuación:
cos xx
+ ≥3
20
π
A) x∈ − +∞
π
3;
B) x∈ − +∞
π
2;
C) x∈ −∞ −
;π
2
D) x∈ −∞ −
;π
3
E) x∈ − +∞
5
12
π;
RESOLUCIÓN
Tema: Inecuaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
cos xx
+ ≥3
20
π
3
2
xx
π≥ − cos ; f
xx( ) =
3
2π
g(x)=-cosx
Graficamos las funciones.
Y
X
1
-1
- π π2
- π2π
3- π
3x2π
y =
y = - cos x
Del gráfico, f(x) ≥ g(x) si
x∈ − +∞
π
3;
Respuesta: x∈ − +∞
π
3;
PREGUNTA N.º 35
Sea ABCD un cuadrilátero con AB=3 cm, BC=4 cm, CD=2 cm y AD=5 cm.
Calcule el valor de E =+1 6
5
cos
cos
B
D.
A) 1 B) 3/2 C) 2D) 5/2 E) 3
20
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RESOLUCIÓN
Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Análisis y procedimiento
BB D
C
D
A
3 cm
2 cm4 cm
5 cm
x
Aplicamos el teorema de cosenos.
ABC: x2= (3)2+ (4)2 - 2(3)(4)cosB
x2=25 - 24cosB
ADC: x2= (5)2+ (2)2 - 2(5)(2)cosD
25 - 24cosB=29 - 20cosD
20cosD=24cosB+4
20cosD=4(1+6cosB)
5cosD=1+6cosB
→ 11 6
5=
+ cos
cos
B
D
\ E=1
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 36
Dado el punto P = −( )2 3; , determine las nuevas coordenadas del punto luego de que los ejes coordenados giran un ángulo de 30º en sentido antihorario.
A) −
3
1
2; B) −
2 3
5
2; C) −
3
7
2;
D) −
3
2
5
2; E) − −
3
4
1
2;
RESOLUCIÓN
Tema: Transformación de coordenadasAnálisis y procedimiento
Datos:- P = −( )2 3;
- ángulo de giro: 30º
Nuevas coordenadas de P(x’; y’)
Entonces x’=xcosq+ysenq y’= – xsenq+ycosq
Reemplazamos valores. x ' cos º sen º= −( ) +2 30 3 30
y ' sen º cos º= − −( ) +2 30 3 30
Finalmente, se obtiene
x y' ; '= − =3
2
5
2
Respuesta: −
3
2
5
2;
PREGUNTA N.º 37
Dados dos ángulos, calcule la medida del menor ángulo en radianes si la diferencia de los cuatro tercios del número de grados sexagesimales de uno y los tres quintos del número de grados centesimales del otro es 20. Además, son complementarios.
A) 4
7π B)
4
9π C)
2
9π
D) π9
E) π16
RESOLUCIÓN
Tema: Sistemas de medidas angularesAnálisis y procedimiento
Planteamos.
Sº = Cg o g1 1S C=
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21
Aptitud Académica y Humanidades
Por condición
4
3
3
5201S C− =
También S+S1=90
Luego
4
3
4
31201S S+ = (I)
4
3
3
5201S C− = (II)
Al restar (I) y (II) se obtiene
4
3
3
51001 1S C+ =
4
39
3
510 1001 1k k( )+ ( )=
→ 9k1=50 → S1=50 → S=40
Por lo tanto, el menor ángulo será 40º; expresado en radianes es
2
9π
Respuesta: 2
9π
PREGUNTA N.º 38
En la circunferencia trigonométrica del gráfico mostrado si AM = θ , calcule la ordenada del punto P.
A
M
X
Y
O
P
q
A) tan
tan
θ
θ
( )( )−1
B) tan
tan
θ
θ
( )− ( )1
C) cos
cos
θ
θ
( )( )−1
D) cos
cos
θ
θ
( )− ( )1
E) sen
sen
θ
θ
( )( )−1
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia trigonométrica
Análisis y procedimiento
Piden la ordenada del punto P.
y 1 − y
45º
45º
P
M
Y
O cosθ
θ
− senθ− senθ
Xy
A
Del gráfico
y
y1−=− sen
cosθ
y= (1 – y)(– tanq) y= – tanq+ytanq tanq=y(tanq –1)
\ tan
tan
θ
θ −=
1y
Respuesta: tan
tan
θ
θ
( )( ) −1
PREGUNTA N.º 39
Si el ángulo q satisface sen(q)=1 - sen2(q), calcule M= csc2(q) - tan2(q)
A) 1
2 B) 2 C) 3
D) 2 E) 5
22
LUMBRERAS EditoresUNI 2018-2
RESOLUCIÓN
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
Análisis y procedimiento
Del dato sen(q)=1– sen2(q) sen(q)=cos2(q)
sen
cos
cos
cos
θ
θ
θ
θ
( )( )
=( )( )
2
tan(q)=cos(q)→ cot(q)= sec(q)
Piden
M=csc2(q) – tan2(q)
M=1+cot2(q) – tan2(q)
M=1+ sec2(q) – tan2(q)
M=1+1
\ M=2
Respuesta: 2
PREGUNTA N.º 40
Determine el conjunto solución de
1
1
4
60
tan tanθ θ( )−+ ( )−
> para θπ π
∈ −2 2; .
A) arctan 12
( )< <θπ
B) arctan arctan1 3( )< < ( )θ ;
arctan 62
( )< <θπ
C) arctan(2) < q < arctan(6)
D) arctan(1) < q < arctan(2);
arctan 62
( )< <θπ
E) arctan 62
( )< <θπ
RESOLUCIÓN
Tema: Inecuaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
Sea la inecuación trigonométrica
1
1
4
60
tan tanθ θ( )−+
( )−>
→ tan(q)≠1 ∧ tan(q)≠6
Luego,
5 10
1 60
tan
tan tan
θ
θ θ
( )−( )−( ) ( )−( ) >
→ 5 2 1 6 0tan tan tanθ θ θ( )−( ) ( )−( ) ( )−( )>
1 2 6
+ +––
→ 1 < tan(q) < 2 ∨ tan(q) > 6
Del dato,
θπ π
∈ −2 2;
\ arctan(1) < q < arctan(2) ∨ arctan 62
( )< <θπ
Respuesta: arctan(1) < q < arctan(2);
arctan 62
( )< <θπ
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