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Examen de Estadística II
Facultad Politécnica UNA
Prof. Emilio Ramón Ortiz Trepowski
Junio de 2010
Final
Total de puntos: 125 puntos. Tiempo: 2 horas.
1. (25 puntos) Sea x cualquier punto en el intervalo 0, y 00
xP x x para
cualquier 0x en ese intervalo. Definamos el conjunto de todos los puntos en el
intervalo 0 01 1,x xn n
como .nA Muestre que nA es una secuencia monotónica.
¿Es creciente o decreciente? ¿Cuál es conjunto límite de nA ? Compute .nP A
Derive las consecuencias del Teorema 2.9. (que se recuerda más abajo) para la
secuencia de conjuntos.
Ayuda: Teorema 2.9.
Si 1 2, ,..., ,...nA A A es una secuencia monotónica, entonces:
lim limn nn nP A P A
2. (15 puntos) Se dice que tres eventos, A, B y C, son mutuamente independientes si:
,
,
,
.
P AB P A P B
P BC P B P C
P AC P A P C
P ABC P A P B P C
Suponga que una moneda simétrica se lanza dos veces de forma independiente. Defina los siguientes eventos: A: Aparece una cara en el primer lanzamiento. B: Aparece una cara en el segundo lanzamiento. C: Los dos lanzamientos arrojan el mismo resultado. ¿Son A,B y C eventos mutuamente independientes?
2
3. (25 puntos) Se tiene la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta para las variables aleatorias 1Y y 2Y , las cuales representan las proporciones de dos sustancias
en una muestra de una mezcla de insecticida:
1 2 1 21 2
2, 0 y 1, 0 y 1, 0 y 1,
0, en cualquier otro puntoy
f y y (1.1)
Una cantidad importante para los productos químicos en cuestión es la proporción
total de químicos 1 2Y Y encontrada en cualquier muestra. Calcule 1 2E Y Y y
1 2 .V Y Y
4. (20 puntos) En un invernadero se instalan 25 lámparas caloríficas de tal manera que si
una falla, se enciende otra automáticamente (una a la vez). Las lámparas funcionan en forma independiente y cada una tiene una vida media de 50 horas y una desviación estándar de 4 horas. Si no se practica ninguna inspección en el invernadero durante un período de 1300 horas después de encender el sistema de lámparas, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas se funda al término del período de 1300 horas?
5. (20 puntos) Suponga que 1Y y 2Y están uniformemente distribuidas en el triángulo
sombreado de la siguiente figura.
a) Encuentre 1 23 / 4, 3 / 4 .P Y Y
b) Encuentre 1 2 0 .P Y Y
6. (20 puntos) Si Y es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de
probabilidad
2 1 , 0 y 10, en cualquier otro punto
yf y (1.2)
3
Encuentre la función de densidad de 1 2U Y y halle la .E U
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