View
38
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Exercicis dia 29/05/2006. Exercici de Conjunts. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
Exercicis dia 29/05/2006
Exercici de Conjunts
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
ENUNCIAT DEL PROBLEMA:En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D. Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A. Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C.Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res.El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D.El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B.Hi ha clients que han comprat A, B i C.En total han comprat el producte A 30 clients, el producte B 20 i el producte C 28.Quants clients té en total l'empresa ?
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
• Comprovem de seguida que seguir l’enunciat del problema és pràcticament impossible, pel què deicidim fer la representació gràfica corresponent, obtenint així una visió general del problema.
ENUNCIAT DEL PROBLEMA:
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
1.- En una empresa disposen de quatre productes que, per comoditat, representarem per A, B C i D:
A
C D
B
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
2.- Tots els clients que han comprat el producte D també han comprat el producte A:
C D
BA
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
3.- Els clients que han comprat el producte D no han comprat ni el producte B ni el producte C:
C
D B
A
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
4.- Han comprat només A, 8 clients; només B 5 clients; només C 7 clients. 7 Clients no han comprat res:
C
D B
A
8
5
77
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
5.- El nombre de clients que ha comprat només B i C és el doble que els clients que han comprat D:
D
A
8x
B
5
C
7
2x
7
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B:
B
C
7
2x
D
A
8x
5
7
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
6.- El nombre de clients que han comprat A i C és més gran en dues unitats que el doble del nombre de clients que han comprat només A i B:
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
7.- Hi ha clients que han comprat A, B i C:
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
z
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
8.- En total han comprat el producte A 30 clients...
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
z30
x+3y+z+10=30
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
... el producte B 20 ...
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
z
x+3y+z+10=30
20
2x+y+z+5=20
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
... i el producte C 28:
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
z
x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20
28
2x+2y+z+9=28
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
D’aquesta manera, i a partir de la representació gràfica del problema, hem aconseguit poder-lo plantejar en forma d’equacions de 3 incògnites, formant així un
sistema d’equacions...
7
B
C
7
D
A
8
x
2x
5y
2y+2
z
x+3y+z+10=30 2x+y+z+5=20 2x+2y+z+9=28
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
... que com no, resoldrem pel sistema de Gauss:
x+3y+z+10=30
2x+y+z+5=20
2x+2y+z+9=28
1 3 1 10 30
2 1 1 5 20
2 2 1 9 28
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
Multiplicant la 1ª fila per 2 i:- restant-la a la 2ª fila,
- restant-la a la 3ª fila...
1 3 1 10 30
2 1 1 5 20
2 2 1 9 28
1 3 1 10 30
0 -5 -1 -15 -40
0 -4 -1 -11 -32
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
... multiplicant la 2ª fila per 4 i restant-la a 5 vegades la 3ª ...
1 3 1 10 30
0 -5 -1 -15 -40
0 -4 -1 -11 -32
1 3 1 10 30
0 -5 -1 -15 -40
0 0 -1 5 0
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
... i ja podem aïllar la “z”:
1 3 1 10 30
0 -5 -1 -15 -40
0 0 -1 5 0
-z + 5 = 0
z = 5
Per substitució, resolem el sistema:
z = 5
-5y –1·(5) -15 = 40
-5y = -20
y = 4
y = 4
x + 3·(4) + 1·(5) + 10 = 30
x + 27 = 30
x = 3
x = 3
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
Podem comprovar els resultats substitïnt les incògnites a les equacions obtingudes a partir del gràfic:
x+3y+z+10=30
2x+y+z+5=20
2x+2y+z+9=28
3 + 12 + 5 + 10 = 30
6 + 4 + 5 + 5 = 20
6 + 8 + 5 + 9 = 28
z = 5 y = 4 x = 3
A
B
C
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
Ara ja tenim prou informació per resoldre el problema.Amb el principi d’inclusió – exclusió obtenim la suma dels 4 conjunts:
CBA
CB
DA
CA
BA
D
C
B
A
A U B U C U D
5
6
3
10
4
3
28
20
30
63
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
Tornant al gràfic, i sabent que la suma dels conjunts dóna 63, nomes ens cal afegir els clients que no han comprat res:
7
C
D
A
A B C D+ + + = 63
BB
+ = 70
Josep Lluis Bausèla Oriol Conesa Harold González
Fonaments de Matemàtica Discreta
D’aquesta manera hem resolt la pregunta del problema:
Quants clients té en total l'empresa ?
La resposta és 70.
Lluis Bausela Oriol Conesa Harold González
Una producció de:
per a
Fonaments de Matemàtica Discreta
Fonaments de Matemàtica Discreta1er E.T.I.G (nocturn)
EUNCET
Recommended