Existen dos tipos de polígonos · la Alameda, justo en frente de la Moneda. •Fue inaugurada el...

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Existen dos tipos de polígonos:

¿Qué recordamos de polígonos?

Polígonos Regulares:Sus lados y ángulos son IGUALES, es decir, son congruentes.

Polígonos Irregulares:Sus lados y ángulos son DESIGUALES.

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¿Conoces la bandera del bicentenario?

• La Bandera Bicentenario es una bandera chilena monumental situada en el bandejón central de la Alameda, justo en frente de la Moneda.

• Fue inaugurada el 17 de septiembre de 2010 en conmemoración de los 200 años del inicio de la independencia de Chile e izada por primera vez por un grupo de niños de las distintas regiones de nuestro país.

• Confeccionada en EEUU, mide 27 m de largo y 18 m de ancho. La Bandera Bicentenario es sostenida por un mástil de acero galvanizado de 61 m.

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La bandera que tiene Simón en su casa es semejante a la del bicentenario, pero el ancho que tiene es de 1,5 m ¿Cuánto mide el largo?

MEDIDAS DE LAS BANDERAS

BICENTENARIO SIMÓN

LARGO 27 m 2,25 m

ANCHO 18 m 1,5 m

Las banderas tienen la misma “forma”, pero nonecesariamente el mismo tamaño.

“Por lo tanto las banderas son SEMEJANTES”

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OA 10Aplicar propiedades de semejanza y de proporcionalidad a modelos a escala y otras situaciones de la vida diaria y otras asignaturas

META DE APRENDIZAJE:Conocer el concepto de semejanza, identificar polígonos semejantes en diversos contextos

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• Dos figuras son semejantes cuando mantienen su “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño.

¡¡Conozcamos la definición de semejanza!!

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA:Dos figuras son semejantes si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales.

Se usa el símbolo ~ para Semejanza

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VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

¿Los siguientes rectángulos son

semejantes?

Al cumplirse las dos condiciones

anteriores, podemos decir que los

dos rectángulos son semejantes

Se llama razón de semejanza r al

cociente entre dos longitudes

correspondientes

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¿son el siguiente par de triángulos semejantes?

Solución:

¿son sus ángulos correspondientes congruentes?

Si, ya que sus ángulos correspondientes son iguales, es

decir:

<FGE = <IJH = 80°

<GEF = <JHI = 70°

<EFG = <HIJ = 30°

¿sus lados homólogos son proporcionales?

Si, ya que:

5

2=10

4=

6

2,4

Respuesta: Los triángulos son semejantes.

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¿el siguiente par de cuadriláteros son semejantes?

Solución:

¿son sus ángulos correspondientes congruentes?

Si, ya que sus ángulos correspondientes son iguales, es

decir:

<GHE = <CDA = 90°

<HEF = <DAB = 110°

<EFG = <ABC = 70°

<FGH = <BCD = 90°

¿sus lados homólogos son proporcionales?

Si, ya que:

3

6=4

8=

5,2

10,4=3,5

7

Respuesta: el par de cuadriláteros si es congruente.

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La figura representa dos triángulos semejantes.Los triángulos no están dibujados a escala. En el triángulo ABC, ¿cuál es lalongitud del lado BC?

Solución:

La razón de semejanza es:

𝒓 =6

20= 0,3

Por lo tanto, la medida del lado BC

corresponde al producto del lado

correspondiente con la razón.

𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 ∙ 𝐫

𝐵𝐶 = 15 ∙ 03

𝐵𝐶 = 4,5 𝑐𝑚

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Triángulos semejantes Dos triángulos son

semejantes si sus ángulos correspondientes son

congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos

triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar

todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen

con el nombre de “Criterios de semejanza de triángulos”

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EXISTEN TRES CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS:

LAL (lado – ángulo – lado)LLL (lado – lado – lado)AA (ángulo – ángulo)

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PRIMER CRITERIO: LAL• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes

proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos tiene igual medida.

• Es decir:

•𝑏

𝑏′=

𝑐

𝑐′𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑎 = 𝑎′

• Entonces ∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑨′𝑩′𝑪′

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SOLUCIÓN

Tenemos que:3

9=

4

12

¿los ángulos formados por estos lados son congruentes?

Efectivamente, por que tal como señala el dibujo, ambos son ángulos rectos.

<CBA = <FDE = 90°

Por lo tanto, por el criterio LAL podemos decir que:

∆𝐶𝐵𝐴 ~ ∆𝐹𝐸𝐷

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SEGUNDO CRITERIO: LLL

• Dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados correspondientes proporcionales

• Es decir:

•𝑎

𝑎′=

𝑏

𝑏′=

𝑐

𝑐′= 𝒓

• Entonces: ∆𝑨𝑩𝑪 ~∆𝑨′𝑩′𝑪′

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SOLUCIÓN

¿las medidas de los lados correspondientes son proporcionales?

3,5

7=1,5

3=

5

10= 0,5

Efectivamente son proporcionales, por lo

tanto, por el criterio LLL podemos decir que:

∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝑃𝑄𝑅

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TERCER CRITERIO: AA

• Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos interiores correspondientes tienen igual medida.

• Es decir:

• 𝒂 = 𝒂′

• 𝜷 = 𝜷′

• De lo anterior se deduce que los ángulos faltantes igual son congruentes.

• Entonces:

• ∆𝑨𝑩𝑪 ~∆𝑨′𝑩′𝑪′

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SOLUCIÓN

Al tener dos de sus ángulos

correspondientes iguales,

podemos decir que son triángulos

semejantes, ya que cumplen con el criterio AA.

<FGE = <OMN = 65°

<EFG = <NOM = 25°

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APLICACIÓNSOLUCIÓN

Por el criterio de LLL, tenemos que la razón de semejanza es:

𝑟 =8

4= 2 𝑐𝑚

Por lo tanto podemos encontrar el valor de x,

multiplicando el lado correspondiente por el valor de la razón de semejanza.

𝑥 = 3 ∙ 2 = 6 𝑐𝑚

El valor de y, podemos obtenerlo a través del

cociente entre el lado correspondiente y la razón de semejanza.

𝑦 =5,2

2= 2,6 𝑐𝑚