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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 1
Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática.
• Campo de una carga puntual.
• Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición.
• Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas. EyM 3d-1J.L. Fernández Jambrina
Ecuaciones de Poisson y Laplace
• Se puede ligar el potencial con las densidades de carga, así para medios isótropos:
• La ecuación para medios homogéneos, lineales e isótropos recibe el nombre de Ecuación de Poisson:
• En el caso de regiones sin carga, la ecuación de Poisson se reduce a la Ecuación de Laplace:
• Todas estas ecuaciones son de segundo orden.
( ) ( ) ρεερεεερ
−=∆Φ+Φ∇⋅∇⇒=Φ∇−⋅∇=⋅∇⇒
Φ−∇=
=
=⋅∇
E
E
ED
Dr
r
rr
r
ερ
−=∆Φ
0=∆Φ
EyM 3d-2J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 2
Soluciones generales con dependencia de una única coordenada
• En muchas situaciones se puede suponer en primera aproximación que el potencial sólo depende de una coordenada:
– Es interesante conocer las soluciones correspondientes.
( ) xAEBAxrxzy
ˆ002
2
−=+=Φ⇒=Φ
=∆Φ⇒=Φ
=Φ rr
∂∂
∂∂
∂∂
( )
( )
( ) zAEBAzrz
AEBAr
z
AEBAr
z
rrr
rr
rr
−=+=Φ⇒=Φ
=∆Φ⇒=Φ
=Φ
≠−=+=Φ⇒=Φ
=∆Φ⇒=Φ
=Φ
≠−=+=Φ⇒=
Φ=∆Φ⇒=
Φ=
Φ
00
0;ˆ01
0
0;ˆln01
0
2
2
2
2
2
∂∂
∂ϕ∂
∂ρ∂
ρϕρ
ϕ∂ϕ∂
ρ∂∂
∂ρ∂
ρρρ
ρ∂ρ∂
ρ∂ρ∂
ρ∂∂
∂ϕ∂
Cartesianas:
Cilíndricas:
EyM 3d-3J.L. Fernández Jambrina
Soluciones generales con dependencia de una única coordenada (2)
• Esféricas
( )
( )
( )0ˆ0
10
0ˆ
2ln
01
0
0
ˆ
01
0
2
2
2
2
2
2
2
≠θ
θϕ
−=
+ϕ=Φ⇒=
∂ϕΦ∂
θ=∆Φ⇒=
∂θΦ∂
=∂Φ∂
≠θ
θθ−
=
+
θ=Φ
⇒=
∂θΦ∂
θ∂θ∂
θ=∆Φ⇒=
∂ϕΦ∂
=∂Φ∂
≠
=
+=Φ⇒=
∂Φ∂
∂∂
=∆Φ⇒=∂ϕΦ∂
=∂θΦ∂
rsen
rsen
AE
BAr
senrr
rsen
rsen
AE
BtgAr
sensenrr
r
rr
AE
Br
Ar
rr
rr
r
r
r
r
r
r
EyM 3d-4J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 3
Condiciones de interfase del Potencial
• La ecuación de Poisson, por ser una ecuación diferencial, sólo se puede aplicar en puntos ordinarios del espacio:
– no se puede aplicar en las interfases entre medios.
• Es necesario obtener las condiciones de interfase:
– A partir de la condición para la componente normal de :
– A partir de la condición para las componentes tangenciales de :
– No obstante, esta última condición puede mejorarse substancialmente:...
( ) ( ) s
S
sSnnsS nn
EEDDn ρ∂
∂ε
∂∂
ερεερ =
Φ−
Φ⇒=−⇒=−⋅ 2
2
1
1112212ˆ
rr
r
D
r
E
( ) ( ) ( ) cte0ˆ12
12
1212 =Φ+Φ−⇒=
Φ+
Φ−=−=−×
S
SS
ttS tt
EEEEn∂
∂∂
∂rrrr
Medio 1
Medio 2
$n
ε σ2 2
2 2 2
,
, ,r r
E D Φ
ε σ1 1
1 1 1
,
, ,r r
E D Φ
EyM 3d-5J.L. Fernández Jambrina
Condiciones de interfase del Potencial (2)
• Utilizando la idea de una zona de transición continua entre medios cuyo espesor ∆n se hace tender a cero,
– Se escogen sendos puntos A y C, uno en cada medio y en el límite de la zona de transición, de forma que se cumpla:
– En estas condiciones:
– y puesto que los campos no se hacen infinitos:
• En resumen, el potencial es continuo en las interfases:
– Equivalencias entre condiciones de interfase:
Medio 1
Medio 2$n
ε σ2 2
2 2 2
,
, ,r r
E D Φ
ε σ1 1
1 1 1
,
, ,r r
E D Φ
A
BC
∆n
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫∫ ⋅−⋅−=Φ−Φ+Φ−Φ=Φ−ΦB
A
C
BldEldEABBCACrrrr
12112212
( ) ( )( ) 0limlimlim 10
20
120
=⋅−⋅−=Φ−Φ ∫∫ →∆→∆→∆
B
An
C
BnnldEldEACrrrr
BCBAn →→⇒→∆ ;0
( ) 012
=Φ−ΦS
( )( ) ( ) 00ˆ
ˆ
2112
2
2
1
112
=Φ−Φ⇐=−×
=
Φ−
Φ⇔=−⋅
SS
s
S
sS
EEn
nnDDn
rr
rr
ρ∂
∂ε
∂∂
ερ
EyM 3d-6J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 4
Condiciones de Regularidad en el Infinito.
• Se ha ido haciendo hincapié en todos ejemplos con distribuciones de dimensiones finitas en que el potencial tiende al de una carga puntual a medida que el punto de cálculo se aleja de la distribución.
• Esto lleva a la llamada Condición de Regularidad en el Infinito:
• Puede expresarse una condición similar para el campo eléctrico:
– Las condiciones de regularidad en el infinito del campo y del potencial son equivalentes.
– Son aplicables siempre que el medio en el infinito sea homogéneo, lineal e isótropo.
( )r
Qqd
rrr
qdr
QQrrrrrr
r
rr πε=′
πε=
′−
′
πε=Φ ∫∫ ′∞→∞→ 44
1
4
1limlim
( ) Krrr
=Φ∞→
rr
rlim
( ) ( )233
4
ˆ
44
1limlim
r
rQqd
r
r
rr
qdrrrE
QQrrrr
r
rr
rrrr
rr
πεπεπε=′=
′−
′′−= ∫∫ ′∞→∞→
( ) rKrErr
ˆlim2
=∞→
rrr
r
EyM 3d-7J.L. Fernández Jambrina
• Sea una distribución esférica de carga de densidad y radio a. Determinar el potencial y el campo producidos.
• Método de Gauss:
– Campo en la región exterior:
– Campo en la región interior:
– El potencial en la región exterior:
– El potencial en la región interior:
( ) ( ) rrrErrrD iriˆ
33
44 0
0
32
, ερ
ρππ =⇒=r
( ) ( )r
q
r
adr
r
adrrrrEr
rr
ee
00
3
0
2
0
3
0
43
1
3ˆˆ
πεερ
ερ
==−=⋅−=Φ ∫∫ ∞∞
Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica
a(i)
(e)
εεεεεεεε0000
ρρρρ0000
0ρ
( ) ( ) ( ) ( )ε
ρε
ρε
ρε
ρ6333
22
0
0
2
00
0
2
0raa
rdra
drrEarr
a
r
aiii
−+=−=−Φ=Φ ∫∫
( )
( ) rr
qr
r
ar
r
arE
arrD
re
re
ˆ4
ˆ3
ˆ4
4
2
0
2
0
3
0
2
0
0
3
3
4
,
0
3
3
42
,
πεερ
πε
ρπ
ρππ
===
=
r
EyM 3d-8J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 5
• Por integración directa de la ecuación de Poisson.
– El potencial sólo depende de r:
– Región exterior:
» Ecuación homogénea => Solución general:
– Región interior:
» Ecuación no homogénea => Solución general + particular:
excepto en el origen de coordenadas.
– Hay cuatro constantes a determinar con las condiciones de contorno.
Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica (2)
ερ
−=∆Φ
i
i
i
ii
i
i
iii
Br
Ar
r
Ar
dr
dAr
dr
dr
drrdr
drd
dr
dr
dr
d
r
+−−=Φ⇒+−=Φ
⇒+−=Φ
⇒
⇒−=
Φ⇒−=
Φ=∆Φ
20
2
0302
20202
2
633
1
ερ
ερ
ερ
ερ
ερ
e
e
e
ee
e
ee
e Br
A
r
A
dr
dA
dr
dr
dr
dr
dr
d
r+−=Φ⇒=
Φ⇒=
Φ⇒=
Φ=∆Φ
2
22
20
1
EyM 3d-9J.L. Fernández Jambrina
• Condiciones de contorno:
– Regularidad en el infinito: potencial nulo en el infinito.
– El origen es un punto ordinario: no tiene que haber singularidades.
– No hay densidades de carga en r=a: continuidad de la derivada
– Potencial continuo en r=a.
Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica (3)
r
aaAa
a
A
dr
d
dr
dee
e
ar
i
ar
e
S
1
330
30
0
3
0
0
3
00
200 ερ
ερρ
εεερ =Φ⇒−=⇒=−−⇒Φ
+Φ
−====
r
ABB
r
A e
ee
r
e
e
re −=Φ⇒==
+−=Φ
∞→∞→
0
ερ
ερ
ερ
ερ
6336
2
0
0
2
0
0
2
0
2
0aa
Ba
a
AB
ai
e
areiari +=⇒=−=Φ=+−=Φ==
iii
r
ii
ri Br
ABr
Ar+−=Φ⇒=⇒∞≠
+−−=Φ
=
= ερ
ερ
60
6
2
0
0
2
0
0
( )0
2
0
22
0
2
0
0
3
0
3663 ερ
+ε−ρ
=+ε
ρ−=Φ
ερ
=−=Φara
Br
r
a
r
Aii
ee
EyM 3d-10J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 6
• Método de aportaciones infinitesimales.
– En principio no es válido: requiere medio homogéneo.
– Suponiendo medio homogéneo el potencial en cualquier punto se obtiene mediante la expresión:
– Restringiendo el cálculo al eje Z. (Que puede ir en cualquier dirección)
Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica (4)
( ) ( )Vd
rr
rr
V′
′−
′=Φ ∫∫∫ rr
rr ρ
πε41
ϕθθ ′′′′′=′ ddrdrVd sen2
a
(i)
(e)
εεεε
εεεε
ρρρρ
x
y
z
rr
r′r
r rr r− ′
( ) 21
cos2ˆ
ˆ220 θθ ′′−′+=′−⇒
′′=′
== rrrrrrrrr
rrr rr
r
r
( )( )
( )L
r
=′′−′+
′′′′=
=′′−′+
′′′′′=Φ
∫ ∫
∫ ∫ ∫
=′ =′
=′ =′ =′
a
r
a
r
rrrr
drdr
rrrr
ddrdrr
0 0 22
2
0
0 0
2
0 22
2
0
21
21
cos2
sen
2
cos2
sen
4
π
θ
π
θ
π
ϕ
θ
θθε
ρ
θ
ϕθθπερ
EyM 3d-11J.L. Fernández Jambrina
( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ]∫∫
∫∫ ∫
=′=′
=′=′ =′
′′−−′+′=′
′−−′+′=
=′
′′−′+′=′′−′+
′′′′=Φ
a
r
a
r
a
r
a
r
rdrrrrrr
rdrrrrrr
rdrrrrr
rrrrr
drdrr
0
0
0
20
0 0
220
0 0 22
2
0
22
cos21
2cos2
sen
2
21
21
ερ
ερ
θε
ρ
θ
θθε
ρ ππ
θ
r
Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica (5)
• En la región exterior
• En la región interior hay que descomponer la integral en dos tramos [0,r] y [r,a]:
rrrrrar ′−=′−⇒≤≤′
( ) ( ) ( )[ ]r
a
r
rrdr
rrdrrrrr
rr
a
r
a
r
a
re ε
ρε
ρερ
ερ
332
3
0
0
3
0
0
20
0
0 =′
=′′=′′−−′+′=Φ=′
=′=′ ∫∫r
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )ε−ρ
+ε
ρ=
ε
′ρ+
ε
′ρ=′′
ερ
+′′ερ
=
=′′−+′+′ε
ρ+′′−−′+′
ερ
=Φ
=′=′=′=′
=′=′
∫∫
∫∫
2323
22
22
0
2
0
2
0
0
3
00
0
20
0
0
0
rarr
r
rrdrrdr
r
rdrrrrrr
rdrrrrrr
r
a
rr
r
r
a
rr
r
r
a
rr
r
ri
r
rrrrarr
rrrrarr
−′=′−⇒≤′≤
′−=′−⇒≤≤′
EyM 3d-12J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 7
Condiciones para la unicidad de la solución de la ecuación de Poisson
• ¿Qué condiciones hay que aplicar a la ecuación de Poisson para que su solución sea única?
– Esquema:
» Supongamos dos soluciones de un mismo problema que en principio se consideran diferentes:
» Construyamos el escalar auxiliar
» Si logramos determinar bajo que condiciones U=0, entonces, bajo esas mismas condiciones:
• En algunos casos habrá que conformarse con
• Esta ambigüedad no afecta a la unicidad del campo.
21Φ=Φ
21
22
11
;
:
:
Φ≠Φ
−=∆ΦΦ
−=∆ΦΦ⇒
ερερ
Vρ
C.C. ε
01212
=∆Φ−∆Φ=∆Φ−Φ= UU
( )2221121
ctectecte EEUrr
=Φ−∇=+Φ−∇=Φ−∇=⇒+Φ=Φ⇒=
ctecte 21 +Φ=Φ⇒=U
EyM 3d-13J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (2)
• Considerando medios lineales, homogéneos e isótropos:
– Punto de partida:
– Por la definición de U, ∆U=0:
– Aplicando Gauss:
– Si se consigue demostrar que bajo ciertas condiciones:
– Entonces, en esas mismas condiciones
( )[ ] ( ) UUUUUUUUU ∆+∇=∇⋅∇+∇⋅∇=∇⋅∇ εεεεε 2
( ) 02
≥∇=⋅∇=∇⋅∇ ∫∫∫∫∫∫∫∫ VSVdVUSdUUdVUU εεε
r
( ) 2UUU ∇=∇⋅∇ εε
0==⋅∇ ∫∫∫∫ SSdS
n
UUSdUU
∂∂
εεr
Buscar las condiciones de contorno de Φ que hagan que: 0=∫∫S dSn
UU
∂∂
εObjetivo:
cte00
012
2
+Φ=Φ⇒=∇⇒
>
=∇∫∫∫ UdVU
V
ε
ε
EyM 3d-14J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 8
Unicidad (3): Dirichlet y Neumann.
• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar el potencial:
– Este es el caso de conductores a potencial conocido.
• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar la derivada del potencial:
( )( )( ) 0,
,,
212
211
21=⇒
=Φ
=Φ⇒=Φ
⊂⊂
⊂
⊂ SS
SS
SS
SS D
D
D
D
UuuF
uuFuuFV
ρ
εS
( )( )
( )0
,
,
,
21
2
21
1
21=⇒
=Φ
=Φ
⇒=Φ
⊂
⊂
⊂
⊂ SS
SS
SS
SS N
N
N
Nn
U
uuGn
uuGn
uuGn ∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂V
ρ
εS
0=∫∫S dSn
UU
∂∂
ε
EyM 3d-15J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (4):Regularidad en el infinito.
• Si parte de la superficie que limita la región de estudio es la superficie del infinito y en ella se verifica la condición de regularidad:
S S∞
0=∫∫S dSn
UU
∂∂
ε
U
U
cter
Ur
rlim
cter
rrlim
cter
rrlim
cteUrrlim
cterrlim
cterrlim
=−∞→
⇒
=Φ
−∞→
=Φ
−∞→
=∞→
⇒
=Φ∞→
=Φ∞→
rr
r
rr
r
rr
r
r
rr
r
r
r
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
22
1
12
22
11
02
3
2
=Ω∞→
=∞→ ∫∫
∞
rr
cte
rlimdS
n
UU
rlim U
S
r
rrr ∂∂
Ω== drddrdS22
senr
ϕθθ
ΩΩΩΩ
EyM 3d-16J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 9
Unicidad (5): Conductor cargado y aislado.
• Si parte de la superficie es un conductor aislado y de carga conocida:
0=∫∫S dSn
UU
∂∂
ε
ρε
S
q
σ
SC
$n
0
0
1
2
1
1
22
11
==⇒
=⇒
Φ=
Φ=
=⇒
=Φ
=Φ
∫∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫ CS
CS
CS
CS
CS
CS
CS
CS
dSn
UUdS
n
UU
dSn
U
dSn
q
dSn
q
UUV
V
∂∂
ε∂∂
ε
∂∂
ε
∂∂
ε
∂∂
ε
EyM 3d-17J.L. Fernández Jambrina
Unicidad (6): Conclusiones.
• Si en todos los puntos de la superficie que limita el recinto se impone una y sólo una de las condiciones:
» Dirichlet.
» Neumann.
» Regularidad en el infinito.
» Conductor de carga conocida.
• entonces:
• Y la solución del potencial será única salvo una constante aditiva.
• Si alguna de las condiciones es del tipo Dirichlet o Regularidad en el infinito, entonces la constante es nula.
• Si se impone más de una condición en un punto, puede que el problema no tenga solución.
ctecteUUdSn
UU
S+Φ=Φ⇒=⇒=∇⇒=∫∫ 1200
∂∂
ε
EyM 3d-18J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 10
J.L. Fernández Jambrina
Problema 2. Junio 1993 (Conv. Ordinaria)
• Sistema de dos conductores esféricos.
• El interior es macizo y el exterior hueco.
• Exterior a tierra.
• Dieléctrico interior cargado.
ε
ab
c
0ρ
• ¿Cuándo hay solución única?
a) Con los datos anteriores.
b) Cuando el interior está descargado.
c) Cuando la carga total es nula.
d) Cuando la carga total es nula y el interior está a tierra.
e) Cuando el conductor interior está puesto a tierra y descargado.
• Resolver lo que se pueda.
EyM 3d-19
• Enunciado: En una región homogénea sin cargas el valor medio del potencial en una superficie esférica es igual al potencial en su centro.
– Escogiendo el origen de coordenadas en el centro de la esfera se calcula el valor medio del potencial sobre la esfera de radio R:
– Se deriva respecto de R y resulta que la derivada es nula:
» La carga encerrada por la esfera, q, es 0 ya que se trata de una región sin cargas.
– El valor medio es independiente del radio de la esfera.
– Como para R=0 la esfera degenera en su centro, el valor medio coincide con el valor del potencial en el punto y queda demostrado el teorema.
Teorema del Valor Medio.
∫ ∫∫ ∫∫∫π
=ϕ
π
=ϑ
π
=ϕ
π
=ϑϕθθΦ
π=ϕθθΦ
π=Φ
π=Φ
2
0 0
2
0 0
2
22sen
4
1sen
4
1
4
1ddddR
RdS
R S
044
1
4
1
4
1
4
1sen
4
1sen
4
1
2222
2
2
0 0
2
2
2
0 0
=−
=⋅−
=⋅−
=⋅Φ∇=
=Φ
=Φ
=Φ
=Φ
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫ ∫∫ ∫ = == =
r
qSdD
RSdE
RSd
R
dSdR
d
RddR
dR
d
Rdd
dR
d
dR
d
SSS
S
πεπεππ
πϕθθ
πϕθθ
π
π
ϕ
π
ϑ
π
ϕ
π
ϑ
rrrrr
EyM 3d-20J.L. Fernández Jambrina
Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad. Página 11
Teorema del valor medio.Aplicaciones
• El potencial en una región sin cargas no puede tener ni máximos ni mínimos:
– Si en un punto el potencial tuviera un máximo (mínimo) entonces:
» El potencial en dicho punto es mayor (menor) que en su entorno.
» Existiría una esfera centrada en ese punto tal que el valor medio del potencial sobre ella sería menor (mayor) que en su centro.
– Lo que contradice el teorema de la media: Luego es falso que exista un máximo o un mínimo.
• Si no hay cargas en el interior de una superficie equipotencial, el potencial es constante en su interior.
– Si no fuera constante, habría al menos un máximo o un mínimo.
– Pero, para no contradecir el teorema de la media, no puede haber ni máximos ni mínimos.
– Luego el potencial debe ser constante.
EyM 3d-21J.L. Fernández Jambrina
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