Fasciculo 4

Semestre 1

Fascículo

Fundamentosde Matemáticas

Fundamentosde matemáticas Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

Tabla de contenido Página

Introducción 1

Función lineal y función cuadrática 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascículo 4 3

Función 3

Gráfica de una función 6

Función compuesta 8

Función lineal 9

Determinación de la fórmula de una función lineal 10

Pendiente de una recta y forma punto pendiente de una recta 12

Rectas paralelas 14

Rectas perpendiculares 15

Función cuadrática 17

Actividad de trabajo colaborativo 24

Resumen 24

Bibliografía recomendada 25

Nexo 26

Seguimiento al autoaprendizaje 27

Créditos: 3 Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.

Semestre 1

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C.

Orientación a cargo de;

ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008

Fascículo No. 4 Semestre 1

Introducción Función lineal y función cuadrática En muchas situaciones cotidianas o del ambiente económico-adminis-

trativo, sucede que dos magnitudes o variables están íntimamente rela-

cionadas entre sí, como: precio y cantidad de artículos demandados,

precio y cantidad de artículos ofrecidos, cantidad de artículos producidos y

costo, etc. En cada una de las anteriores relaciones se tiene que al variar

las cantidades de una de las magnitudes o variables, las de la otra tam-

bién lo hacen.

El análisis de las variables presenta un problema cuantificable en donde se

definen exactamente los interrogantes planteados. A partir del comporta-

miento de las variables involucradas y su relación de independencia o de

dependencia, se llega al concepto de función. También, a partir de la

representación gráfica de una función y del análisis de su comportamiento,

se establece una regularidad para cada tipo de ellas, dependiendo del

grado de la variable independiente.

Al inicio del fascículo se aborda la función lineal o de primer grado, la

obtención de la fórmula de una función de primer grado, es decir, de una

recta, el principio de las rectas paralelas y perpendiculares, y poste-

riormente, la función cuadrática, con su interpretación tanto gráfica como

analítica.

Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos propuestos en este

fascículo, se requiere que además de tu auto-motivación, buena dispo-

sición e interés personal, reflexiones y respondas los siguientes interro-

gantes y actividades:

1. ¿Qué es una tabla de valores?,¿qué es la gráfica de una función?,¿

cómo y en donde se representa gráficamente una función?, ¿cómo se

halla el valor numérico de un polinomio?,¿cómo se simplifican términos

semejantes?.

2. Simplifique: })232(}{))243)(31()25)(24(({ 22222 +−−−−++−−−

Sea 85)( 432 −−= xxxP

3. Halle el valor numérico del anterior polinomio para:

i) 2−=x

ii) 21−=x

iii) 4=x

4. Efectuar :

i) ( ) 19127 −−x

ii) ( ) ( )33123 −−− xxxx

Elaboró: Hernán A. Díaz G.

Mapa conceptual fascículo 4 Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante:

Determina una función lineal, su modelo matemático y la interpreta gráfica y analíticamente. Halla rectas que sean paralelas o perpendiculares a otra recta dada. Traza la gráfica de una función de segundo grado.

se encuentra se representa mediante un se encuentra

se define entre

hacen la

es decir conforma conforma es decir

de comportamiento de comportamiento de comportamiento de comportamiento

LINEAL PARABÓLICO PARTICULAR PARABÓLICO O PARTICULAR

PRIMER GRADO

SEGUNDO GRADO

TERCER GRADO

CUARTO GRADO

puede ser de

ABSCISA ORDENADAPAR

ORDENADO

muestra el

COMPORTAMIENTO

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

FUNCIÓN

CONJUNTO DE PARTIDA(Dom)

CONJUNTO DE LLEGADA(Ran)

V. INDEPENDIENTE V. DEPENDIENTE

LogrosLogrosLogros

Muchos modelos matemáti-cos se describen mediante el concepto de función.

Función Cuando una variable x de un conjunto P, tomado como conjunto de partida,

está íntimamente relacionada o establece una correspondencia con una

variable y de un conjunto Q, tomado como conjunto de llegada, de tal forma

que para todos y cada uno los valores en P, que puede tomar la variable

independiente x, existe un y sólo un valor que toma la variable

dependiente y en Q. Cuando esto sucede, se dice que se establece una

función f de P en Q o que f envía a x en y, que se escribe: f(x) = y, y que

se lee “f de x igual a y ” ;donde x es la pre-imagen y y es la imagen.

Se acostumbra a notar las funciones con las letras f ,g, h, etc. Todos los

elementos del conjunto de partida P deben ser pre-imagen, y forman un

conjunto que se llama dominio y los elementos del conjunto Q que son

imagen, forman un conjunto que se llama rango. Ejemplo: Determinar si la correspondencia es o no una función:

Dominio Correspondencia Rango

a) El conjunto de cuentas del disponible El valor de cada cuenta Un conjunto de números

positivos

b) El conjunto de todas las unidades Número de artículos Un conjunto de números

negativos

producidas por un fabricante producidos un día

c) El conjunto de todas las unidades costo de producir un Un conjunto de números

positivos

producidas por un fabricante número de artículos

Solución:

a) Es una función porque cada cuenta del disponible tiene un único valor

asignado que es positivo.

b) No es una función porque cada número de unidades producidas por día

no puede ser negativo.

c) Es una función porque para cada cantidad de unidades producidas hay

un costo en particular.

Esencialmente trabajaremos con funciones donde el dominio y el rango son

subconjuntos de los números reales, es decir las variables son números

reales.

Definimos las funciones mediante expresiones algebraicas que establecen

cómo se relacionan las variables y se denominan fórmulas.

Ejemplo:

I. Sea x un número real.

1)( += xxf , el siguiente de un número dado

1)( −= xxg , el anterior de un número dado

xxh 2)( = , el duplo o el doble de un número dado

21)( +

=xxi , la mitad del siguiente de un número dado

1)( 2 += xxf , el siguiente del cuadrado de un número

II. Dada la función de costo C (en pesos) definida como:

C = C (q) = 2.500q +1´ 800.000

a) ¿Cuál es el costo de producir 500 artículos?

b) ¿Cuáles son los costos fijos en la producción de artículos?

c) ¿Cuál es el dominio y el rango?

a) Para saber cuál es el costo de producir 500 artículos, calculamos la

función en 500, es decir hacemos C (500) reemplazando en la función

q por 500.

C (500) = 2.500(500) +1´800.000 = 1´250.000 + 1´800.000 = 3´050.000

El costo de producir 500 artículos es de $ 3´050.000

b) Los costos fijos se obtiene cuando no hay producción de artículos, es

decir:

Cuando q = 0 hallamos C (0)

C (0) = 2.500(0) +1´800.000 = 1´800.000

Los costos fijos asociados a la producción de artículos son de

$ 1´800.000

c) Como la cantidad de artículos es siempre positiva Dom (C)= +R y el

valor de producir cualquier cantidad de artículos es siempre positivo

Ran(C)= +R

Gráfica de una función Si damos sucesivamente a la variable independiente x los valores:

,...,, 321 xxx la variable dependiente y toma unos valores: ,...,, 321 yyy los

cuales conforman pares ordenados que determinan puntos en el plano

cartesiano como: ( ) ( ) ( ),...,,,,, 332211 yxyxyx

Se denomina gráfica al conjunto de todos los puntos del plano (x, y) en

donde f (x) = y. Cada uno de los valores x, y recibe el nombre de

coordenada. Encontrar algunos de los puntos de la gráfica de una función,

recibe el nombre de tabulación y conectar los puntos de la gráfica

mediante un trazo continuo recibe el nombre de curva.

Cada punto (x, y) tiene dos coordenadas una en x que recibe el nombre de abscisa y una coordenada en y que recibe el nombre de ordenada. Para graficar una función inicialmente se acostumbra a realizar una tabulación, la cual consiste en calcular la función en varios valores de x arbitrarios cercanos al cero, tanto positivos como negativos, obteniendo los respectivos valores de y que se van colocando en una tabla. Posteriormente se llevan al plano cartesiano y se conectan mediante una curva suave.

Figura 4.1 Gráfica de una función definida por partes o trozos.

Ejemplo: Sea g (x) = ⎩⎨⎧

0,20,1

2 xsixxsix

Es una función definida por partes o a trozos, cada parte tiene una curva

diferente. Hacemos una tabla y le vamos dando valores cercanos a cero a

la variable x tanto positivos como negativos, luego llevamos estos pares al

plano cartesiano y los conectamos mediante una curva suave, es decir

mediante un trazo continuo (Ver figura 4. 1).

x –4 –3 –2.5 –1 0 1 1.5 2 3

y –5 –4 –3.5 –2 2 3 4.25 6 11

1. Utilizando lenguaje matemático, es decir símbolos algebraicos,

exprese los siguientes enunciados:

i) El duplo de una cantidad elevada al cuadrado.

ii) la suma de tres números consecutivos.

iii) La mitad del siguiente del triplo de un número.

2. La función de utilidad para el producto de un fabricante está dada

000.120000.321)( 2 −+−= qqqU .Determinar U (450) y U (0), e

interpretar los resultados.

3. Graficar la función 1

1)( 2 +=

xxh , hallar el dominio y el rango

4. Graficar la función ⎩⎨⎧

≥+−<−

xsixxsix

Función compuesta También se puede obtener una nueva función muy importante mediante la

combinación de dos o más funciones, aplicando inicialmente una de ellas y

luego, a su resultado, aplicarle la otra función y así sucesivamente. Una

función compuesta es una función de una función. La composición de la

función f (x) con la función g(x), se escribe ( ) )(xgf o y se obtiene

introduciendo en la variable de la función f la función g.

Ejemplo: Sean las funciones 12)( += xxf y 1)( 2 −+= xxxg

( ) )(xgf o = ( ) 1221222112 222 −+=+−+=+−+ xxxxxx

( ) ( ) ( ) 16411214411212)( 222 ++=−++++=−+++= xxxxxxxxfg o

Ejemplo: Sea m la función definida como m(x) = ( )

3 2135+x

expresarla

como la compuesta de dos o más funciones:

Al examinar m(x) hallamos primero la función más interna 3x +1, la

elevamos al cuadrado, hacemos el cociente entre 5, y a esta función, por

último le extraemos la raíz cúbica, por lo tanto se definen las siguientes

funciones:

f (x)= 3x+1 ; ( )213)( += xxg ; ( )213

xh ; m(x) = ( )

3 2135+x

Por dos puntos del plano o del espacio pasa una única recta.

Figura 4.2 Gráfica de la función lineal, pendiente de la recta.

1. Sean las funciones 3

xxf y g (x) = 3x +2 .Obtener ( ) )(xgf o

y ( ) )(xfg o

2. sean las funciones 2

3)( −=

xxh e i(x) = 2x + 3 hallar: ( ) )(xih o y

( ) )(xhi o 3. Expresar como la compuesta de otras funciones, la función j(x)=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Función lineal En la primera parte de este fascículo se presentó la definición de función y

su gráfica, ahora consideraremos algunas funciones, iniciando con la

función donde su variable independiente es elevada a la uno, es decir, la

función de primer grado.

Si trazamos la recta que pasa por los puntos ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ , se llama

pendiente de la recta al grado de inclinación que tiene ésta, se representa

con la letra m y se establece como el cociente entre el cambio o variación

en x sobre el cambio o variación en y. 21

−−

=−−

= (Ver

figura 4.2).

2y . ),( 22 yxQ

{ 12 yy −

1y . ),( 11 yxP

43421 12 xx −

b(0,b)

Ejemplo:

Hallemos la pendiente de una recta que pasa por los puntos:

H = (-1,3) y D = (2,-1) 34

21)1(3

−=−

=−−−−

=xym ;

)1(231

−=−−−−

La pendiente de la recta que pasa por (-1,3) y (2,-1) es 34

Para obtener la fórmula de una función lineal, podemos hacerlo de dos

formas:

Fórmula pendiente punto de intersección, llamada también pendiente ordenada

y . ),( yxQ

{ by −

3210−x

x Figura 4.3 Fórmula de una función lineal pendiente punto de intersección

Cuando se conoce la pendiente de la recta y el punto de corte de la recta

con el eje y, llamado punto intercepto o punto ordenada, el cual se denota b

y sus coordenadas son b = (0,b), tomamos otro punto cualquiera Q sobre la

recta cuyas coordenadas son ),( yxQ = y hallando la pendiente de la recta

tenemos : x

bym −=

−−

. (Ver gráfica 4.3).

Si multiplicamos por x en ambos lados de la igualdad se obtiene

bymx −= , si sumamos b en ambos lados de la igualdad se tiene

ybmx =+ , la cual se llama fórmula pendiente-ordenada.

0=++ CByAx , se denomina fórmula general de la recta.

y y . ),( yxQ { 1yy − 1y ( )11 , yxP

43421 1xx −

0 1x x

Ejemplo:

A. Hallemos la fórmula de la recta que tiene de pendiente 34

− y corta el eje

y en el punto 3.

La pendiente de la recta es 34

−=m y el punto ordenada es b = 3. Para

obtener la fórmula de la recta basta con reemplazar en ybmx =+ y se

tiene:

yx =+− 334 ; yx

394 ; yx 394 =+− ; 0934 =+−− yx

B. Encontremos la pendiente y el punto ordenada de la recta que tiene

como fórmula 135 =− xy .

Escribimos la expresión de la forma ybmx =+

135 =− xy Sumando x3 en ambos lados de la igualdad

135 += xy Dividiendo por 5 en ambos lados de la igualdad

Luego la pendiente de la recta es 53

=m y el punto ordenada es 51

Fórmula punto-pendiente

Figura No.4.4 Fórmula de una función lineal punto-pendiente.

Se presenta cuando se conoce la pendiente de la recta y un punto por

donde ella pasa.

Sea P el punto conocido de coordenadas ( )11 , yxP = , tomamos otro punto

cualquiera Q sobre la recta cuyas coordenadas son ),( yxQ = y hallando la

pendiente de la recta tenemos:1

−−

= si multiplicamos por ( )1xx − en

ambos lados de igualdad, se tiene 11 )( yyxxm −=− que recibe el nombre

de fórmula punto-pendiente.

Ejemplo:

A. Hallemos la fórmula de la recta que pasa por el punto (-5, -2) y tiene de

pendiente 31

La pendiente de la recta es 31

=m y el punto tiene coordenadas (-5, -2).

Como se conoce la pendiente de la recta y un punto por donde pasa para

obtener la fórmula basta con reemplazar estos valores en la expresión

11 )( yyxxm −=−

Obtenemos : )2())5((31

−−=−− yx Aplicando la propiedad distributiva

+=+ yx Restando y y 2 en ambos miembros

=−+− yx Efectuando las operaciones

=−− yx Es la fórmula de la recta de

pendiente 31

=m que pasa por el punto (-5, -2).

B. Hallemos la fórmula de la recta que pasa por los puntos H = (-1,3) y

D = (2,-1).

Inicialmente determinamos la pendiente de la recta 34

21)1(3

−=−

=−−−−

La pendiente de la recta que pasa por (-1,3) y (2,-1) es 34

−=m .

Como conocemos la pendiente y tenemos dos puntos por donde ella pasa,

aplicamos la fórmula punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos H o

D. Basta con reemplazar los valores 34

−=m , 3,1 =−= yx en la expresión

11 )( yyxxm −=− , entonces:

3))1((34

−=−−− yx

−=−− yx

=+−−− yx

=+−− yx Fórmula de la recta que pasa por H = (-1,3) y D = (2,-1)

C. Graficar la función 0232 =−− xy

Para graficar una función de primer grado despejamos la variable

dependiente en términos de la independiente y luego tabulamos.

Despejando y tenemos 232 += xy

+= xy donde 23

=m y 1=b

Al graficar la función tenemos:

Dos rectas son paralelas si gráficamente jamás se inter-ceptan, es decir sus pendien-tes son iguales.

Dos rlares blecendecir sde lasopues

Gráfica 4. 5.

Representación gráfica de la función 0232 =−− xy .

Figura 4.6

La recta 1l es paralela a la recta 2l ,e.d. 21 mm =

Rectas paralelas

Sean 21 lyl dos rectas, 21 mym sus pendientes respectivamente, 1l II 2l ,

1l es paralela a 2l si y solamente si 21 mm = .

Rectas perpendiculares Sean 21 lyl dos rectas, 21 mym sus pendientes respectivamente, 21 ll ⊥ ,

1l es perpendicular a 2l si y solamente si 1. 21 −=mm

Figura 4.7

La recta 1l es perpendicular a la recta 2l , e.d.

Cuando una recta es paralela al eje x la pendiente de dicha recta es cero ( 0=m ) y al reemplazar en la fórmula ybmx =+ se tiene ybm =+)0( luego su fórmula queda yb = . Cuando la recta es paralela al eje y o sea, perpendicular al eje x, la recta tiene como fórmula x = c siendo c el punto de corte con el eje x.

Ejemplo: A. La fórmula de la recta que es paralela al eje x y corta al eje y en el punto

–1 es y = –1. La fórmula de la recta que es paralela al eje y y corta al eje

x en el punto 3 es: x = 3.

B. Obtengamos la fórmula de la recta 1l que pasa por el punto (-3,-2) y es

paralela a la recta 2l de fórmula 035 =−− yx

Inicialmente, transponiendo adecuadamente expresamos la recta 2l de

fórmula 035 =−− yx en la forma 35 −= xy , cuya pendiente es 52 =m .

Como 1l II 2l entonces la pendiente de 1l es 51 =m y aplicando la

Transponer un término sig-nifica pasarlo al otro lado de la igualdad, mediante la operación opuesta.

fórmula punto-pendiente 11 )( yyxxm −=− tenemos:

)2())3((5 −−=−− yx

2155 +=+ yx

135 += xy o 0135 =+− yx

C. Hallemos la fórmula de la recta 1l que pasa por el punto (- 5,3) y que es

perpendicular a la recta 2l de fórmula 0135 =+−− yx

Inicialmente transponiendo adecuadamente, expresamos la recta 2l de

fórmula 0135 =+−− yx en la forma 31

+−= xy , cuya pendiente es

2 −=m . Como 21 ll ⊥ entonces la pendiente de 1l es 53

1 =m y

aplicando la fórmula punto-pendiente 11 )( yyxxm −=− tenemos:

3))5((53

−=−− yx

−=+ yx

yx =+ 653 o 06

=+− yx

Actividad: Reto Contador y medio realizan proceso contable y medio en día y medio. Trabajando de igual forma ¿Cuántos procesos contables realizan cuatro contadores traba-jando seis días?.

1. Determine cuál es la pendiente y el punto ordenada en las

siguientes rectas: i) 253

+= xy ii) 32 −= xy

Cuando una parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto más bajo y recibe el nombre de punto de mínimo.

Cuando una parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto más alto y recibe el nombre de punto de máximo

iii) 01247 =−− yx iv) 623 =− yx 2. Obtenga la fórmula de la recta que es paralela al eje x y corta al eje

y en 2. 3. Obtenga la fórmula de la recta que es paralela al eje y y corta al eje

x en 53

4. Si una recta pasa por los puntos (-2,3) y (3, 5) hallar la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos.

5. Establecer la fórmula de la función lineal que pasa por el punto (-1,-

2) y tiene de pendiente 73

−=m .

6. Determine la fórmula de la recta que pasa por el punto (-1,3) y es paralela a la recta 01247 =−− yx .

7. Determine la fórmula de la recta que pasa por el punto (1,-3) y es perpendicular a la recta 623 =− yx .

Función cuadrática Anteriormente se presentó la función de primer grado o lineal, ahora vamos

a considerar la función de segundo grado, es decir, aquella donde la

variable independiente es elevada a la dos, y la cual se denomina función

cuadrática. La fórmula cbxaxxf ++= 2)( , donde cba ,, son números reales,

recibe el nombre de fórmula de la función de segundo grado. Cuando

graficamos una función de segundo grado se obtiene una curva muy

particular llamada parábola, la cual puede ser cóncava hacia arriba o

cóncava hacia abajo. Una parábola es cóncava hacia arriba, cuando la

curva extiende infinitamente sus brazos hacia arriba desde un punto

),( khv = llamado vértice, y es cóncava hacia abajo, cuando la curva

extiende infinitamente sus brazos hacia abajo desde el punto vértice. El

valor a determina el grado de concavidad de la parábola.

eje principal o de simetría

),( khv =

0<a Q Q′

eje principal o de simetría

Si 0>a la concavidad de la parábola es para arriba.

Figura 4.8 Función cuadrática cóncava hacia arriba, es decir con

Si 0<a la concavidad de la parábola es para abajo

Figura 4.9 Función cuadrática cóncava hacia abajo, es decir con

Podemos observar en las gráficas anteriores, que el comportamiento de

una parábola es igual en ambos lados de una recta vertical, que aunque no

hace parte de la gráfica de la función, es útil para su construcción. Cada

puntoQ de la gráfica tiene uno similar Q′a igual distancia y altura de dicha

recta llamado su simétrico, es decir, la gráfica es simétrica y a la recta se

le denomina eje de simetría.

Partiendo de la fórmula cbxaxxfy ++== 2)( , podemos hallar el vértice, el

T.C.P Trinomio Cuadrado Perfecto

eje de simetría y los puntos de corte con el eje x. Haciendo y = 0,

tenemos:

02 =++ cbxax

cbxax −=+2 restando c en cada miembro

−=+2

dividiendo por a en cada miembro

abx −=+2

abx −=++ 2

44 completamos un T.C.P sumando 2

4ab en cada

miembro

2 aacb

abx −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + factorizando y haciendo común denominador

acbabx

2 −±=+ tomando raíz cuadrada en cada miembro

aacbbx

242 −±−

= restando ab

2 en cada miembro

aacbbx

242 −±−

= recibe el nombre de fórmula cuadrática.

Para hallar las coordenadas del vértice ),( khv = hacemos abh2

−= y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

, los puntos de corte con el eje x que algunas veces

pueden ser dos, los obtenemos con toda la fórmula 1x , uno de los puntos

tomando el signo (+) y 2x el otro punto tomando el signo (–). La

ecuación de la recta vertical que corresponde al eje de simetría es :

−= .

Ejemplo:

En la parábola definida mediante la fórmula 66)( 2 ++= xxxf ,

06,6,1 >=== acomocba la parábola tiene concavidad hacia arriba.

Reemplazando en abx2

−= .obtenemos la fórmula del eje de simetría

−=x . 3−=x que es a su vez la abscisa del vértice.

Para obtener la otra coordenada del vértice ),( khv = hacemos )3(−f

361896)3(6)3()3( 2 −=+−=+−+−=−f

Luego el vértice está ubicado en el punto )3,3( −−=v l

En la parábola definida mediante la fórmula 233

21)( 2 ++−= xxxf .

comocba23,3,

==−= 0<a la parábola es cóncava hacia abajo.

Reemplazando en abx2

−= obtenemos la fórmula del eje de simetría

−=x . 3=x que es a su vez la abscisa del vértice.

Para obtener la coordenada del vértice ),( khv = hacemos )3(f

23)3(3)3(

21)3( 2 =++−=++−=f

Luego el vértice está ubicado en el punto )6,3(=v

Figura 4.10 Adaptada de: (www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas)

1. En las siguientes parábolas determine por simple inspección su

concavidad.

a) 1231)( 2 −−= xxxf

b) 66)( 2 ++= xxxf , c) 32)( 2 +−−= xxxf , d) 26)( 2 −−−= xxxf ,

2. Hallar la fórmula del eje de simetría y el vértice de cada una las parábolas del punto anterior.

Para graficar la función ( ) cbxaxxf ++= 2 si hacemos 0=x entonces cy = . notemos que ella corta al eje y en el punto ( )c,0 .Por otro lado, valiéndonos de la simetría obtenemos puntos simétricos cercanos al vértice, tanto a derecha como a izquierda, los cuales se ubican en una tabla de valores.

La fórmula a

acbbx2

42 −±−= permite hallar las soluciones

de la ecuación 02 =++ cbxax

Por el Teorema Fundamental del Algebra, como la ecuación es cuadrática, debe tener dos soluciones que corresponden a los puntos donde la función corta al eje x . Más sin embargo, no siempre la función corta al eje x. Analicemos la expresión

acb 42 − la cual recibe el nombre de discriminante. Si el discriminante 042 >− acb la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes, que corresponden a dos puntos diferentes de corte de la función con el eje x . Si el discriminante 042 =− acb la ecuación tiene un sólo punto de corte que está sobre el eje x y coincide con el vértice de la función. Si el discriminante 042 <− acb la solución no es real, estaría en los imaginarios, lo cual significa que la gráfica no corta al eje x . Por último, se llevan todos estos puntos al plano cartesiano y se conectan mediante una curva suave.

Ejemplo

A. Graficar la función 142)( 2 −−= xxxf

Como 2=a , la parábola es cóncava hacia arriba. Obtenemos

inicialmente el vértice y el eje de simetría de la parábola

reemplazando en abx2

−= , . 1)2(2

−−=x . 1=x es la ecuación

del eje de simetría y la abscisa del vértice. Reemplazando en

la fórmula de la función 31421)1(4)1(2)1( 2 −=−−=−−=f , el

vértice está ubicado en el punto )3,1( − .Tabulamos dando

valores anteriores y posteriores a 1=x , obteniendo uno y su

simétrico a cada lado del vértice. )1,0( − y su

simétrico )1,2( − ; )5,1(− y su simétrico )5,3( ; )15,2(− y su simétrico )15,4( .

Representamos los puntos en el plano y conectamos mediante una curva

suave.

–2 15

–1 5

0 –1

1 –3

2 –1

Figura 4.11

B. Graficar la función 22)( 2 +−−= xxxf

Como 1−=a , la parábola es cóncava hacia abajo. Obtenemos

inicialmente el vértice y el eje de simetría de la parábola reemplazando

en abx2

−= , . 1)1(2

−−

−=x . 1−=x es la ecuación del eje de simetría y

la abscisa del vértice.

Reemplazando en la fórmula de la función

32212)1(2)1()1( 2 =++−=+−−−−=−f .

El vértice está ubicado en el punto )3,1(− .Tabulamos dando valores

anteriores y posteriores a 1−=x , obteniendo uno y su simétrico a cada

lado del vértice. )2,2(− y su simétrico )2,0( ; )1,3( −− y su

simétrico )1,1( − ; )5,4( −− y su simétrico )5,2( − .

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 y –5 –1 2 3 2 –1 –5

Representamos los puntos en el plano y conectamos mediante una

curva suave .

Figura 4.12

Reúnete con tu equipo de trabajo y realicen la siguiente actividad: 1. Hallen la fórmula de la recta que pasa por el punto )2,2(− y es paralela a la

recta 3840 ++−= yx 2. Obtengan la fórmula de la recta que es perpendicular a la recta.

2750 −+= yx y pasa por el punto )1,3( −− 3. Determinen inicialmente la concavidad, el eje de simetría y el vértice de cada

una de las siguientes parábolas: a) 5)( 2 −= xxf b) 384)( 2 ++−= xxxf ,

4. Obtengan la gráfica de cada una de las anteriores fórmulas. 5. Grafiquen la parábola 66)( 2 ++= xxxf ,

6. Grafiquen la parábola 233

21)( 2 ++−= xxxf .

En este fascículo abordamos el concepto de función, es decir la relación

entre dos variables de dos conjuntos, en donde todos los elementos del

primer conjunto se relacionan con uno y sólo uno de los elementos del

segundo conjunto; la primera recibe el nombre de variable independiente

y la segunda variable dependiente, usualmente se expresan con las letras

f, g, h, etc.

Una función siempre se define mediante una fórmula algebraica, que

generalmente se representa gráficamente en el plano cartesiano mediante

una curva suave la cual recibe el nombre de gráfica. A continuación se

analizó la función de primer grado cuya gráfica siempre es una línea recta,

por lo cual, recibe el nombre de función lineal. Así mismo, se determinaron

las formas de obtener su fórmula, ya sea conociendo su pendiente, es

decir, el grado de inclinación de la recta y un punto por donde ella pasa, o

conociendo la pendiente y el punto de corte con el eje y , y la fórmula

general 0=++ CByAx .

Posteriormente se estudió la función de segundo grado de fórmula

cbxaxxf ++= 2)( , cbacon ,, números reales, de donde se obtiene la

fórmula cuadrática a

acbbx2

42 −±−= y de allí el eje de simetría

−= , el vértice ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

2y cómo, valiéndonos de la simetría,

tabulamos con valores cercanos al vértice para obtener fácilmente su

gráfica , la cual siempre es una curva llamada parábola, que puede ser

cóncava hacia arriba, cuando 0>a , es decir , que sus brazos se

extiendan infinitamente hacia arriba, o cóncava hacia abajo, cuando

0<a ,es decir, que sus brazos se extiendan infinitamente hacia abajo,

según sea el caso.

HAEUSSLER, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía,

Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición,

SOO TANG tan, Matemáticas para administración y economía. Inter-

nacional THOMPSON. 1999

Smith Charles Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison Wesley

Iberoamericana.1992

HOFFMANN D, Laurence, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,

Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Séptima edición.2001

Francisco Soler, Reinaldo Núñez, Moisés Aranda. Fundamentos de

Cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002

BITTINGER. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial

Addison Wesley. Séptima edición

BUDNICK, Frank S, Matemáticas aplicadas para Administración, economía

y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998

En el siguiente fascículo estudiaremos las ecuaciones, las cuales pueden

ser de primer grado o lineales y cómo se pueden establecer sistemas de

ecuaciones simultáneas mediante varias de ellas. Analizaremos por qué su

representación gráfica permite justificar o explicar si un sistema de

ecuaciones es consistente o inconsistente.

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Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 4 Nombre______________________________________________________

Apellidos _______________________________ Fecha:

_________________

Ciudad_________________________________ Semestre:

_______________

1. Obtenga el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Toda recta de pendiente negativa es creciente ( ) b) Toda recta de pendiente positiva es creciente ( ) c) La pendiente determina el punto de corte con el eje y de una recta ( ) d) El vértice en una parábola cóncava hacia abajo es un punto de máximo ( ) 2. La pendiente para la función lineal que se define mediante la fórmula 0537 =−+ yx es:

a. 7 b. 3 c. 37

− d. 35

3. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,-2) y (3, 3) es:

a. 323

+= xy b. 21

+= xy c. 356

+= xy d. 265

−= xy

4. El vértice para la función de segundo grado que se define mediante la

fórmula 255)( 2 −+= xxxf es:

a. ( )1,1 b. ( )1,21− c. ( )4

1321 ,−− d. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

Preguntas de selección múltiple con respuesta múltiple

Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con las letras A, B, C, y D. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.

Si a y b son correctas, marca la respuesta A Si b y c son correctas, marca la respuesta B Si c y d son correctas, marca la respuesta C Si b y d son correctas, marca la respuesta D

5. Para la función de primer grado que se define mediante al fórmula 05311 =−− yx se tienen:

a. 11 b. 3

11 c. 5 d.

Los valores de su pendiente y el punto de corte con el eje y respectivamente son: A. B. C. D. 6. Para la función de segundo grado que se define mediante la fórmula

342)( 2 −=−= xxxf se tienen: a. ( )1,1 b. ( )3,0 c. ( )0,3 d. ( )3,0 − Los puntos vértice y ordenada respectivamente son A. B. C. D. 7. Hallar la fórmula de la recta que es perpendicular a la recta 05311 =−− yx y pasa por el punto ( )3,0 − 8. Graficar la función 342)( 2 −=−= xxxf

Fasciculo 4

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FASCICULO N 4

Creacion de empresas ii fasciculo 4

FASCICULO 2

Introduccion A La Programacion Fasciculo 4

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Serie 4 fasciculo 4. Culturas amazónicas