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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FENÓMENOS DE
TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES
DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE
VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.
SISTEMAS RECTANGULARES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, agosto de 2017.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
CONTENIDO.
CONTENIDO. ...................................................................................................................... 2
PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4
ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6
2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS. ......................................................................................... 8
2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE. ......................................................... 9
Ejemplo 2.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. ..... 16
Ejemplo 2.2. ................................................................................................................... 17
Ejemplo 2.3. Cálculo de la velocidad de una película. Ejemplo 2.2-1 del Bird. Página
2.8. ................................................................................................................................. 17
Ejemplo 2.4. Espesor de una película descendente. Problema 2A.1 del Bird. Segunda
Edición. Página 71. ........................................................................................................ 17
Ejemplo 2.5. Problema 5.17 del Streeter. Octava Edición. Página 239. ........................ 18
Ejemplo 2.6. ................................................................................................................... 18
Ejemplo 2.7. Flujo de una película descendente. Otras deducciones. Problema 2.D2 del
Bird. Página 2-30. .......................................................................................................... 18
Ejemplo 2.8. ................................................................................................................... 19
Ejemplo 2.9. Problema 5.14 del Streeter. Octava Edición. Página 239. ........................ 19
Ejemplo 2.10. Flujo laminar en una rendija estrecha. Problema 2.E2 del Bird. Página 2-
31. .................................................................................................................................. 20
Ejemplo 2.11. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette
plano”). Problema 2B.4 del Bird. Segunda Edición. Página 73. ................................... 21
Ejemplo 2.12. ................................................................................................................. 23
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 23
Ejemplo 2.13. ................................................................................................................. 24
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 25
Ejemplo 2.14. ................................................................................................................. 26
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 27
Ejemplo 2.15. Flujo de una película polimérica. Problema 8B.1 del Bird. Segunda
Edición. Página 301. ...................................................................................................... 29
Ejemplo 2.16. ................................................................................................................. 31
Ejemplo 2.17. ................................................................................................................. 31
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 32
Ejemplo 2.18. Flujo no – newtoniano de una película. Problema 2.K2 del Bird. Página
2-34. ............................................................................................................................... 32
Ejemplo 2.19. ................................................................................................................. 33
Ejemplo 2.20. ................................................................................................................. 33
Ejemplo 2.21. ................................................................................................................. 34
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 34
Ejemplo 2.22. Plate glass casting. .................................. ¡Error! Marcador no definido.
Ejemplo 2.23. ................................................................................................................. 35
Ejemplo 2.24. ................................................................................................................. 36
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 3
Ejercicios propuestos ..................................................................................................... 38
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 4
PRESENTACIÓN.
La presente es un Manual de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para
estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil,
Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de
algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del
estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su
compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad
de los mismos.
Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada
en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor
sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente
en la literatura.
Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las distribuciones de velocidad
en flujo laminar para sistemas rectangulares, contiene los fundamentos teóricos, 24
ejercicios resueltos paso a paso y 12 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal
para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad
Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Fenómenos de
Transporte o Mecánica de Fluidos, así como por profesores que estén impartiendo clases en
el área de enseñanza de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos para estudiantes
de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.
El concepto de distribuciones de velocidad en flujo laminar es fundamental en el
estudio de los Fenómenos de Transporte, pues es la base de algunas definiciones
involucradas en el estudio de esta materia (Ecuaciones de variación para sistemas
isotérmicos, flujo a régimen permanente en canales abiertos y balances macroscópicos en
sistemas isotérmicos), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el
espectro de situaciones involucradas en el manejo de los perfiles de velocidad en flujo
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 5
laminar para sistemas rectangulares tanto para un flujo libre sobre una lámina, como para
dos fluidos en movimiento uno encima del otro y diferentes tipos de fluidos.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte y la Mecánica
de Fluidos, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales
pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo
electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,
Maturín, Estado Monagas, Venezuela.
Ing. Willians Medina.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la
enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a
través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de
ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,
Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de
Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual
cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)
mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica
http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS.
En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es
el siguiente: primeramente se escribe un balance de cantidad de movimiento para una
envoltura de espesor finito ( x ); después se hace tender a cero este espesor ( 0 x ),
utilizando la definición matemática de la derivada (x
xfxxf
x
)()(lim
0
) con el fin de
obtener la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad
de flujo de cantidad de movimiento ( ). Se introduce entonces la adecuada expresión
newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (xd
vd ), con el fin de
obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad (v). Mediante la
integración de estas dos ecuaciones se obtienen, respectivamente, las distribuciones de
densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad del sistema. Esta información
puede utilizarse después para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad
media (<v>), velocidad máxima (vmax), velocidad volumétrica de flujo (Q), pérdida de
presión, y fuerzas que actúan sobre las superficies límite.
En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de
integración que se evalúan utilizando las ‹‹condiciones límite››, es decir, determinaciones
de hechos físicos para valores concretos de la variable independiente. La mayor parte de las
condiciones límite utilizadas son las siguientes:
a) En las interfases sólido – fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se
mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido está adherido a la
superficie sólida con la que se halla en contacto.
b) En las interfases líquido – gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por
consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase líquida es extraordinariamente pequeño, y
en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero.
c) En las interfases líquido – líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento
como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos
lados de la interfase.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 9
Subíndices en la nomenclatura.
Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zx , x – z es el plano a través del cual se
observa el elemento diferencial de fluido.
Velocidad: vz, z es el eje en el cual se mueven los elementos diferenciales de fluido.
Suposiciones.
1. El flujo es laminar.
2. La densidad es constante (‹‹fluido incompresible››).
3. El flujo es independiente del tiempo (‹‹estado estacionario››).
4. El fluido es newtoniano; es decir, xd
vd zzx .
5. Los efectos finales son despreciables.
6. El fluido se comporta como un medio continuo.
7. No hay deslizamiento en la pared.
2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE.
Consideremos una superficie plana inclinada. Se supone que la viscosidad y densidad del
fluido son constantes y se considera una región de longitud L, suficientemente alejada de
los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están
incluidas en L; es decir, que en esta región el componente vz de velocidad es independiente
de z.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Vista de frente: Elemento diferencial de espesor.
Condiciones:
Estado estacionario.
Flujo laminar.
Fluido Newtoniano.
Propiedades del fluido constantes ( , ).
Efectos de borde despreciables.
Flujo en dirección z ( 0xv , 0yv , 0zv ).
La velocidad varía en función de x: vz = vz (x).
Se analizan cada uno de los términos involucrados en el balance de cantidad de
movimiento:
x z
)(xv z
)(xyx Dirección de
la gravedad
x
L
x
y
x
W
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en x:
Área de contacto (Área paralela a x ): L W
Densidad de flujo de cantidad de movimiento: xzx
Cantidad de movimiento: xzxWL (2.1)
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en
xx :
Área de contacto (Área paralela a xx ): WL
Densidad de flujo de cantidad de movimiento: xxzx
Cantidad de movimiento: xxxzWL
(2.2)
Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en
0z :
Flujo de cantidad de movimiento = Flujo másico Velocidad
Flujo másico = Flujo volumétrico Densidad ( Qm ).
Flujo volumétrico = Área Velocidad ( zvAQ ).
Área de flujo:
xWA
Flujo volumétrico.
0 zzvxWQ
Flujo másico.
0zzvxWm
0
zzvxWm
Flujo de cantidad de movimiento = 00
zzzz vvxW
= 0
2
zzvxW (2.3)
Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en
Lz :
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Flujo de cantidad de movimiento = Lz
zvxW
2 (2.4)
Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido:
Fuerza = Peso del fluido en la dirección del flujo.
= Masa Aceleración de la gravedad
= Volumen Densidad Aceleración de la gravedad
= )()()( zgxWL (2.5)
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie rectangular situada en 0z .
Fuerza = Área Presión.
0)( pxWFp
xWpFp 0 (2.6)
Fuerza de presión que actúa sobre la superficie rectangular situada en Lz .
Fuerza = Área Presión.
Lp pxWF )(
xWpF Lp (2.7)
Balance de cantidad de movimiento.
0
presión de Efecto
0
gravedad de Efecto velocidadde Efecto
2
0
2
viscosoEfecto
xWpxWpgxWLvxWvxWWLWL LzLz
zz
zxxzxxzx
(2.8)
Como zv vale lo mismo para 0z y Lz , para cada valor de x, los términos tercero y
cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.
0
presión de Efecto
0
gravedad de Efecto viscosoEfecto
xWpxWpgxWLWLWL Lzxxzxxzx
(2.9)
0)( 0
xWppgxWLWLWL Lzxxzxxzx
(2.10)
Las películas descendentes son de longitud L, de ancho W y de espesor x . El espesor de
la capa de fluido descendente es .
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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La ecuación (2.10) corresponde al balance de cantidad de movimiento en coordenadas
rectangulares para una película descendente. En caso de un sistema en el cual las
coordenadas rectangulares se encuentren en otra orientación, debe hacerse la adaptación de
la ecuación (2.10) al sistema indicado.
La ecuación (2.10) es el punto de partida para abordar cualquier problema de flujo laminar
en películas, bien sea que el flujo se deba a la gravedad (inclinado o vertical), a una
diferencia de presión ( 00 Lpp ) o a la transferencia de cantidad de movimiento
(movimiento de una o de las dos láminas). Para su aplicación se pueden presentar los
siguientes casos:
Flujo sin diferencia de presión ( 00 Lpp ).
0
zxxzxxzx gxWLWLWL
(2.11)
Lámina horizontal ( 0zg ).
0)( 0
xWppWLWL Lxxzxxzx
(2.12)
En este caso, para que exista flujo el fluido debe estar limitado por dos láminas con por lo
menos una en movimiento o ambas estáticas con el fluido sometido a una diferencia de
presión.
Lámina vertical ( gg z ).
0)( 0
xWppgxWLWLWL Lxxzxxzx
(2.13)
En este caso, el flujo puede existir a expensas de la diferencia de presión, sólo por el efecto
gravitacional. Si adicionalmente no existe diferencia de presión, la ecuación (2.9) se reduce
a:
0
gxWLWLWLxxzxxzx
(2.14)
En los ejemplos resueltos en este manual se partirá de la ecuación (2.10) directamente, pues
su deducción ya ha sido mostrada rigurosamente.
Definición de la derivada de una función:
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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x
ff
xd
fd xxx
xlim
0
(2.15)
Ley de Newton de la viscosidad:
xd
vd zzx (2.16)
Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.
Velocidad máxima. Velocidad media. Flujo volumétrico.
0,max,
zxrzz vv
W
W
z
ydxd
ydxdxvv
0 0
0 0)(
W
z ydxdxvQ0 0
)(
Número de Reynolds.
444Re
v (2.17)
Régimen de flujo:
Flujo laminar sin ondulaciones 25a4Re
Flujo laminar con ondulaciones 2000a1000Re25a4
Flujo turbulento 2000a1000Re
Desarrollo en series de potencias para funciones de interés.
...)1(
...5432
)1(ln15432
nn
xn
xxxxxx (2.18)
...!
...!5!4!3!2
15432
n
xxxxxxe
nx (2.19)
Integrales notables.
cea
xde xaxa 1
(2.20)
x
y
W
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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cea
xaxdex xaxa
2
1 (2.21)
cbxnn
nambx
n
mxd
bxn
axm
)(ln
2 (2.22)
cubab
uduba
u
)(ln
2
1 222
2222 (2.23)
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Ejemplo 2.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4.
Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación
con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación
de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son
constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los
extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están
incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es
independiente de z .
Determinar:
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.
b) Distribución de velocidad.
c) Velocidad máxima.
d) Velocidad media.
e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal).
f) Espesor de la película.
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.
x z
)(xv z
)(xyx Dirección de
la gravedad
L
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.2.
Un fluido que fluye con flujo laminar en la dirección x entre dos placas paralelas, tiene un
perfil de velocidad dado por la siguiente expresión:
2
0
max 1y
yvvx (2.2-1)
Donde 02 y es la distancia entre las placas, y es la distancia a la línea central y xv
la velocidad en la dirección x. Deduzca la ecuación que relacione la velocidad media,
xv con la velocidad máxima, maxv .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.3. Cálculo de la velocidad de una película. Ejemplo 2.2-1 del Bird. Página
2.8.
Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2×10–4
cm2/s y una densidad de 0.8×10
–3
kg/m3. ¿Cuál tiene que ser la velocidad de flujo de masa de una película que desciende por
una pared vertical para que el espesor de la misma sea de 2.5 mm?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.4. Espesor de una película descendente. Problema 2A.1 del Bird. Segunda
Edición. Página 71.
Por una pared vertical fluye agua a 20ºC de manera descendente con 10Re . Calcular a)
El caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pared, y b) es espesor de la película en
pulgadas.
VER SOLUCIÓN.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Ejemplo 2.5. Problema 5.17 del Streeter. Octava Edición. Página 239.
Una película de fluido con un espesor de 0.005 pies fluye hacia abajo por una superficie
vertical fija con una velocidad superficial de 2 pies/s. Determine la viscosidad del fluido.
3
f /pielb 55 .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.6.
A través de un ducto de sección cuadrada (5 cm 5 cm) fluyen 100 L/h de agua
( 3kg/m 1000 , mPa.s 1 ). El ducto está abierto a la atmósfera en su parte superior de
forma tal que el agua rebosa y cae formando una película sobre las paredes exteriores del
ducto. Determine el espesor de dicha película y la distribución de velocidad. Suponga que
la interfase agua – aire es recta, despreciando así lo que sucede en la zona de formación de
la película. Desprecie las variaciones de espesor de película y velocidad que ocurren cerca
de las esquinas del ducto.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.7. Flujo de una película descendente. Otras deducciones. Problema 2.D2 del
Bird. Página 2-30.
Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando el origen de coordenadas de la
forma que x se mida a partir de la pared (es decir, 0x corresponde a la pared y x
a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada
por
22
2
1cos
xxgvz (2.D-1)
y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec.
3
cos2gv z .
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Demostrar cómo se puede llegar a la distribución de velocidad de la Ec. 2.D-1 a partir de la
Ec.
22
12
cos
xgv z . Sugerencia: xx .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.8.
Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y su
dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.9. Problema 5.14 del Streeter. Octava Edición. Página 239.
La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la
velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. a) ¿Cuál es la distribución
de velocidad del fluido en la banda?, b) ¿Cuál es la tasa volumétrica del fluido que se
L
0v
x
z
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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transporta? c) ¿Qué velocidad se debe ajustar en la cinta para duplicar el caudal
transportado?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.10. Flujo laminar en una rendija estrecha. Problema 2.E2 del Bird. Página
2-31.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas
separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y
obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad (Figura).
xL
PP Lzx
0
22
0 12
)(
B
x
L
BPPv L
z
en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la
máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la
rendija.
0v
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.11. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette
plano”). Problema 2B.4 del Bird. Segunda Edición. Página 73.
Extienda el ejemplo 2.10 permitiendo que la pared en Bx se mueva en la dirección z
positiva a una velocidad estable 0v . Obtenga a) la distribución de la densidad de flujo de
cantidad de movimiento, y b) la distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente
identificados de estas funciones.
Ejemplo 2.10.
Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas
separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y
x
z
y
B2
Entrada de fluido
Salida de fluido
L
W
p0
pL
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de
movimiento y de velocidad (Figura).
xL
PP Lzx
0
22
0 12
)(
B
x
L
BPPv L
z
en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la
máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la
rendija.
Solución.
VER SOLUCIÓN.
x
z
y
B2
Entrada de fluido
Salida de fluido
L
W
p0
pL
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 23
Ejemplo 2.12.
Una correa vertical continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto
químico a una velocidad 0v , levanta una película de líquido de espesor h , densidad y
viscosidad ; no hay rozamiento con la atmósfera.
a) Establezca las ecuaciones que describen el sistema, con las hipótesis realizadas y las
condiciones de borde correspondientes.
b) Obtenga una expresión para la distribución de velocidad.
c) ¿En qué punto la velocidad local igualará a la velocidad media?
d) Obtenga el valor de 0v para el cual se cumplirá que la velocidad media en y es igual a
cero.
e) Calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la pared y dibuje la
distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, yx .
f) ¿Habrá algún valor de 0v tal que el caudal neto sea cero? De ser así, obtenga su
expresión.
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
1. Una delgada capa de aceite fluye en estado estacionario sobre un plano inclinado (ver
figura). La distribución de velocidad está dada por la ecuación
2
sen 2yyh
gvx
.
Encuentre una expresión para el flujo másico por unidad de espesor (W).
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Respuesta:
3
sen 32 hg
W
m
.
2. Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo.
En el ejemplo 2.1 hemos utilizado el siguiente procedimiento: i) obtener una ecuación para
la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley
de Newton para obtener una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv)
integrar esta última ecuación para obtener la distribución de velocidad. Otro método es el
siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii)
insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para el
perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad.
Aplicar este segundo método al problema de la película descendente sustituyendo la
ecuación xd
vd zzx en la ecuación
cosg
xd
d zx y prosiguiendo como se indica
hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.
Ejemplo 2.13.
Dedúzcase una expresión para a) La distribución de velocidad, b) el flujo que pasa por una
sección transversal fija de la figura y c) la componente de la fuerza F del fluido sobre la
placa superior para flujo laminar entre dos placas en movimiento. d) Simplifíquese el
problema para la condición en que no existan gradientes de presión y que la lámina inferior
permanezca estática.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
3. Un fluido viscoso se mueve entre 2 placas horizontales debido a un gradiente de presión
constante. La placa inferior está en reposo y la superior se mueve con velocidad 0v en
sentido opuesto al flujo. Calcular:
a) Distribución de velocidad.
b) ¿A qué distancia de la placa inferior 0xv ?
c) Velocidad media.
d) Punto donde la velocidad es máxima.
e) El caudal de circulación.
f) ¿Cuánto debe valer 0v , para que el caudal neto sea 0?
g) Fuerza que se ejerce en la pared.
0v
Lp
0p
L
0u
y
x
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Respuesta: a)
yvyy
L
PPv L
x 0
20 )(2
)(
; b)
)(
2
0
0
LPP
Lvy
; c)
L
v
L
PPv L
212
)( 0
2
3
0
; d)
)(2 0
0
LPP
Lvy
; e)
212
)( 0
3
0 Wv
L
WPPQ L
; f)
L
PPv L
6
)( 2
0
0
.
Ejemplo 2.14.
Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas
paralelas de área A separadas por una distancia . La placa superior se mueve con una
velocidad constante 0v en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se
encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se
desarrolla en ella una distribución de velocidad.
La suspensión puede ser considerada un fluido newtoniano pero, debido a que las
partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa inferior, su viscosidad será función
lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede expresarse como una función lineal
de y en la forma
y10 , determine la distribución de velocidad. Halle además
una expresión para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para
mantener su movimiento. Simplifíquese el problema para la condición en que la viscosidad
sea constante 0 y compare con la parte d) del ejemplo 2.13.
Ejemplo 2.13 y respuesta a la parte d).
Dedúzcase una expresión para a) La distribución de velocidad, b) el flujo que pasa por una
sección transversal fija de la figura y c) la componente de la fuerza F del fluido sobre la
0v
y
x
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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placa superior para flujo laminar entre dos placas en movimiento. d) Simplifíquese el
problema para la condición en que no existan gradientes de presión y que la lámina inferior
permanezca estática.
Distribución de velocidad:
yvvx
0 Se trataría de una distribución de velocidad lineal.
Flujo; 2
0 WvQ
Fuerza:
AvFx
0)(
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
4. Película descendente con viscosidad variable. Variación lineal.
Resolver el ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la
forma siguiente:
x10 , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la
película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x.
Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente
para el caso límite de que 0 (película de viscosidad constante).
Respuesta: a) xgzx cos ; b)
)1(ln1ln1
cos2
0
2
xxgvz ; c)
0v
Lp
0p
L
0u
y
x
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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)]1(ln[cos2
2
,
gv máxz ; d)
)]1(ln22[2
cos 2
3
0
2
gvz ; e)
)]1(ln22[2
cos 2
3
0
3
WgQ .
5. Película descendente con viscosidad variable. Variación cuadrática.
Resolver el ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la
forma siguiente:
2
22
0 1
x, en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la
película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x.
Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente
para el caso límite de que 0 (película de viscosidad constante).
6. Película descendente con viscosidad variable. Variación exponencial.
Resolver el Ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la
forma siguiente: )/(
0
xe , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película,
y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x. Una
variación de este tipo tiene lugar en el flujo descendente del condensado en una pared, con
un gradiente lineal de temperatura a través de la película. Demostrar como el resultado de
este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0
(película de viscosidad constante).
Respuesta: a) xgzx cos ; b)
1)1(
cos /
2
0
2
xee
gv x
z ; c)
]1)1([cos2
2
,
eg
v máxz ; d) ]2)22([cos 2
3
0
2
eg
vz ; e)
]2)22([cos 2
3
0
3
eWg
Q .
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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7. Resolver el Ejemplo 2.14 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la
forma siguiente: )/(
0
ye , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la
película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x.
Respuesta: 0
)/(
1
1v
e
ev
y
x
;
)1()( 00
e
AvFx
.
8. Resolver el Ejemplo 2.14 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ).
Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de
que 0 en el problema anterior.
Respuesta: 0vy
vx
;
AvFx
00)( .
Ejemplo 2.15. Flujo de una película polimérica. Problema 8B.1 del Bird. Segunda
Edición. Página 301.
Trabajar el ejemplo 2.1 para el fluido que obedece la ley de potencias. Demostrar que el
resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.
Ejemplo 2.1 y respuestas obtenidas.
Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación
con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación
de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son
constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los
extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están
incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es
independiente de z .
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Determinar:
a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento: xgzx cos
b) Distribución de velocidad:
22
12
cos
xgvz
c) Velocidad máxima:
2
cos2
,
gv máxz
d) Velocidad media:
3
cos2gvz
e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal):
3
cos3WgQ
f) Espesor de la película:
cos
3
g
vz , 3
cos
3
Wg
Q
, 3
2 cos
3
g
g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie: cos)( WLgFz
VER SOLUCIÓN.
x z
)(xv z
)(xyx Dirección de
la gravedad
L
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Ejemplo 2.16.
Un fluido que sigue el modelo de la potencia se escurre a lo largo de una pared vertical
formando una película de espesor h , la cual está en todo momento en contacto con la
atmósfera. Determine la distribución de velocidad del fluido y el flujo volumétrico por
unidad de ancho. Recuerde que la densidad de flujo de cantidad de movimiento según el
modelo de la potencia viene dado por
n
y
yxxd
vdm
donde m y n son constantes, x es la coordenada perpendicular a la pared e y es la
coordenada vertical paralela a la pared.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.17.
Un fluido que sigue la ley de la potencia se coloca entre dos placas paralelas horizontales
separadas una distancia H como se muestra en la figura. La placa inferior está fija mientras
que la superior se mueve con velocidad constante 0v y entre ellas hay una diferencia de
presión 0P ( LPPP 0 ) para una longitud L .
Modelo de la ley de potencia:
n
zzx
xd
vdm
.
Para este sistema:
a) Obtenga una expresión que permita determinar la distribución de velocidad. No evalúe
las constantes de integración pero establezca las condiciones y ecuaciones que permitan
calcularlas.
b) Obtenga una expresión para calcular el caudal volumétrico por unidad de ancho a partir
de la distribución de velocidad obtenido en (a).
c) Simplifique las expresiones obtenidas en (a) y (b) para un fluido newtoniano ( 1n ).
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
9. Flujo en una rendija estrecha de un fluido que obedece a la ley de potencias.
En el ejemplo 2.10 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha.
Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo másico para un fluido que
obedece a la ley de potencias y circula en la rendija.
Respuesta:
1)/1(/1
0 11)/1(
)(nn
Lz
B
x
n
B
Lm
BPPv , Bx 0 ;
n
L
Lm
BPP
n
BWw
/1
0
2 )(
2)/1(
2
.
Ejemplo 2.18. Flujo no – newtoniano de una película. Problema 2.K2 del Bird. Página
2-34.
Deducir una fórmula para el espesor de una película de un fluido de Bingham descendiendo
por una pared plana vertical con una velocidad ( 1g.s por unidad de anchura de pared).
Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano;
32 cos
3
g .
VER SOLUCIÓN.
0v
Lp
H 0p
L
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Ejemplo 2.19.
Determine el máximo valor del ángulo de inclinación (ver figura) para que un fluido tipo
Bingham no fluya sobre el plano inclinado. Exprese su resultado en términos del espesor de
la película ( h ) y propiedades del fluido.
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.20.
Un fabricante de pinturas ha diseñado un compuesto que se comporta como un plástico de
Bingham con una densidad de flujo de cantidad de movimiento de cedencia de 2.77 N/m2.
Si la densidad de la pintura es de 1393 kg/m3, determine cuál es el máximo espesor del film
que dejará el compuesto al ser aplicado sobre una superficie vertical sin deslizarse por
efecto de la gravedad.
VER SOLUCIÓN.
Dirección de
la gravedad
L
x
Superficie
libre
z
h
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Ejemplo 2.21.
Para unir dos vidrios cuadrados de lado L (en forma de sándwich) se emplea una sustancia
que se comporta de acuerdo al modelo de Bingham ( 0 , ). Si los vidrios están colocados
verticalmente responda:
a) ¿Cuál es el máximo espesor ( ) de sustancia permitido para que ésta no se derrame?
b) Un operador inexperto colocó un 100% más ancha la capa de material plástico lo que
provocó un deslizamiento de producto. ¿Qué caudal se deslizó?
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos.
10. Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.
Para suspensiones y pastas espesas en encuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza
cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (límite elástico), y luego el fluido circula de tal
forma que parte de la corriente está en “flujo de tapón”. El modelo más simple de un fluido
con un valor de cedencia es el modelo de Bingham:
xd
vd zzx 00
donde 0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y 0 es un
parámetro con unidades de viscosidad.
a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido en una rendija estrecha
(Problema 11) es
B
xB
B
x
L
BPPv L
z 112
)(
0
0
2
0
2
0
.
b) Demostrar que la velocidad de flujo másico está dada por
3
0
0
0
0
0
3
0
)(2
1
)(2
31
3
)(2
BPP
L
BPP
L
L
BWPPw
LL
L
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Ejemplo 2.22. Moldeado de placa de vidrio.
Una placa de vidrio de alta calidad es moldeada con superficies extremadamente planas
haciéndola flotar en estaño fundido y dejándola enfriar a medida que el vidrio y el piso de
estaño bajan por un plano ligeramente inclinado.
Datos:
-Vidrio líquido ingresando al proceso: 3g/cm 2.3 , 2N.s/m 0.1 , espesor de película
= 1 mm.
- Estaño líquido: 3g/cm 0.7 , 23 N.s/m 103 , espesor de película = 1 mm.
Ángulo del plano inclinado: 2º.
a) Escriba la solución general de la ecuación de la conservación de momento en el plano
inclinado en la dirección del flujo.
b) ¿Cuál es la condición de límite de interfase en la interfase vidrio-estaño?
c) Calcule la distribución de velocidad tanto para el vidrio como para el estaño (Ayuda: en
el estaño mida la distancia desde el fondo, y en el vidrio mida la distancia desde la parte
superior de la superficie).
d) ¿Cuáles son las velocidades máximas y promedios en el vidrio y en el estaño?
e) Comente sobre el Número de Reynolds en el vidrio y en el estaño. ¿Cree usted que el
flujo permanecerá laminar en ambas capas?
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.23.
En la figura se muestra una placa plana de área muy grande, la cual se separa de un plano
inclinado por un aceite (fluido 1: Pa.s 45.01 , 3
1 kg/m 881 ), en tanto que sobre ella
se extiende otro aceite (fluido 2: Pa.s 09.02 , 3
2 kg/m 900 ). La placa se mueve en la
dirección indicada con una velocidad m/s 10 v tal que el flujo neto de ambos fluidos en la
dirección paralela al plano inclinado es nulo. Si el espesor de la película del fluido 1 es
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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mm 81 , determine el espesor de la película del fluido 2, 2 . El ángulo de inclinación
del plano es º20 .
VER SOLUCIÓN.
Ejemplo 2.24.
Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y su
dirección y la distribución de velocidad de ambos fluidos. Simplifíquese el problema para
el caso en que existe sólo un fluido entre las láminas y compárese con los resultados
obtenidos en el ejemplo 2.8.
L
x
z
Fluido I
Fluido II
2
1
Dirección de
la gravedad
0v
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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Ejemplo 2.8 y respuesta obtenida.
Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y su
dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?
L
x
z
Fluido I
Fluido II
2
1
Dirección de
la gravedad
0v
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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0
2
sen vgzx ,
6
sen 0
gv
VER SOLUCIÓN.
Ejercicios propuestos
11. [RB] Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.
Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión, en la
dirección z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y anchura W . Las
velocidades de los dos fluidos están ajustadas de tal forma que una mitad de la rendija está
llena del fluido I (la fase más densa), y la otra mitad está ocupada por el fluido II (la fase
menos densa). Se desea analizar la distribución de velocidad y de densidad de flujo de
cantidad de movimiento en este sistema.
Respuesta:
III
III
Lzx
b
x
L
bpp
2
1)( 0 ;
L
0v
x
z
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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22
0 2
2
)(
b
x
b
x
L
bppv
III
III
III
I
I
LI
z
22
0 2
2
)(
b
x
b
x
L
bppv
III
III
III
II
II
LII
z
.
12. Se tiene un plano inclinado con un ángulo Φ. Sobre el plano inclinado hay una capa de
espesor 1 de un fluido Bingham, como se muestra en la figura. Sobre este primer fluido
hay uno no newtoniano que sigue la ley de la potencia:
n
zzx
xd
vdm
a) Calcule la distribución de velocidad del fluido no newtoniano suponiendo que el fluido
Bingham no se mueve. Plantee el sistema de ecuaciones que le permita calcular las
constantes desconocidas.
b) Calcule el ángulo máximo Φ para que el fluido Bingham no fluya. Desprecie los
gradientes de presión en ambos fluidos.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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BIBLIOGRAFÍA.
BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial
Reverté., Barcelona, 1996.
BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda
Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006.
ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda
Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.
GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,
Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.
MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,
México, 1996.
MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de
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SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana
S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995.
STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-
Graw Hill., México, 1988.
STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición.,
Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000.
WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición.
Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.
Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.
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TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y
PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE.
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Serie Problemas Resueltos y Propuestos de:
- Electricidad (Física II).
- Química.
- Cálculo Diferencial.
- Cálculo Integral.
- Cálculo Vectorial.
- Ecuaciones Diferenciales.
- Métodos Numéricos.
- Estadística.
- Mecánica Vectorial (Estática).
- Termodinámica Básica.
- Termodinámica Aplicada.
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Videotutoriales.
Cálculo diferencial: Límites de funciones.
Cálculo diferencial: Derivadas de funciones.
Ecuaciones diferenciales de primer orden.
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