View
27
Download
12
Category
Preview:
DESCRIPTION
formulario
Citation preview
FORMULARIO DE CLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto Garca 1 Materia: Matemtica III
VECTORES:
Norma de un
vector:
uuu nu22
2
2
1
Vector unitario:
u
u
Producto punto o producto escalar:
n
i
nnii vuvuvuvuvu1
2211
Cosenos directores:
1)(cos)(cos)(cos
;)cos(,)cos(,)cos(
222
321
u
u
u
u
u
u
Angulo entre dos
vectores:
vu
vu )cos(
Componente de v a lo largo de u:
)cos()cos( vu
vu
u
vuvcompu
Producto cruz o producto vectorial:
2222 )(
)(
vuvuvu
senvuvu
rea del paralelogramo generado
por u y v: vuA
rea del tringulo
es la mitad del rea
del paralelogramo
generado por u y v
Producto cruz o producto vectorial:
)()()( 212131313232
321
321
uvvukuvvujuvvui
vvv
uuu
kji
vu
Triple producto escalar:
321
321
321
)(
www
vvv
uuu
wvu
Volumen del paraleleppedo generado por u, v, w:
)( wvuV
Volumen de la pirmide inscrita es 1/6 del volumen
del paraleleppedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:
Ecuacin vectorial de la recta: tvrr 0 : donde v es el
vector direccin, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.
Ecuaciones simtricas de la recta:
0; 3213
0
2
0
1
0
vvvconv
zz
v
yy
v
xx
Ecuaciones paramtricas de la recta:
30
20
10
tvzz
tvyy
tvxx
Ecuacin vectorial del plano: 0)( 0 rrn donde n es
el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).
Ecuacin escalar del plano que pasa por
P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
0)()()( 000 zzcyybxxa .
Ecuaciones paramtricas del plano:
330
220
110
sutvzz
sutvyy
sutvxx
Distancia de un punto Q a un plano:
222
000)(
cba
dczbyax
n
nPQ
PQcompD n
Distancia de un punto Q a una recta L est dada por: u
uPQ
D
, donde P es un punto cualquiera de la recta.
SUPERFICIES:
Una superficie de revolucin tiene la
ecuacin:
x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z
y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x
x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y
Superficies cuadrticas:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elptico o circular
recto, cilindro hiperblico recto, cono recto, paraboloide
elptico, paraboloide hiperblico.
FORMULARIO DE CLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto Garca 2 Materia: Matemtica III
DERIVADAS PARCIALES:
Derivadas parciales de orden superior:
xyxyxy
yyyxxx
ffyx
f
yyxf
xyff
xy
f
xyxf
yx
ffyy
f
yyxf
yff
xx
f
xyxf
x
),(;),(
),(;),(
22
2
2
2
2
Gradiente de z=f(x,y) ),(),( yx ffyxf .
Gradiente de w=f(x,y,z) ),,(),,( zyx fffzyxf
Si F(x,y,z)= z f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z est dado por:
),,(),,( zyx FFFzyxF
La derivada direccional de una funcin z=f(x,y), en la
direccin del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0)
est dada por: )),(),,((),(
),(),(
000021
0000
yxfyxfuu
yxfuyxfD
yx
u
Si la funcin z=f(x,y), es diferenciable en el
punto (x0,y0) entonces:
dyyxfdxyxfdzz yx ),(),( 0000
La ecuacin del plano tangente a la superficie F(x,y,z)=
0 en el punto P=(x0,y0,z0) est dada por:
0,,),,( 000000 zzyyxxzyxF
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuacin del plano
tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es: 0,,)1),,(),,(( 0000000 zzyyxxyxfyxf yx
La ecuacin de la recta normal a la superficie
F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) est dada por:
tzyxFzztzyxFyytzyxFxx zyx ),,(;),,(;),,( 000000000000
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuacin de la
recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:
tzztyxfyytyxfxx yx 0000000 ;),(;),(
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dyy
zdx
x
zdz
REGLA DE LA CADENA (1. Versin) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
REGLA DE LA CADENA (2. Versin)
Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
;
DERIVACIN IMPLCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
donde z=f(x,y), entonces:
z
F
y
F
F
F
y
z
z
Fx
F
F
F
x
z
z
y
z
x
;
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2
xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crtico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x0,y0) Es un valor mximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)0 y fxx(x0,y0)>0
3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D
FORMULARIO DE CLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto Garca 3 Materia: Matemtica III
CAMBIO DE VARIABLE:
dd)dsen())cos(),)sen(sen(),)cos(sen(f(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS
dzdrdrz)),rsen(),f(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA
drdr))rsen(),f(rcos(y)dxdyf(x,POLARES
2
QS
R Q
R Q
SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:
.
)(
)()(
)('
)('')('
)('
)('
)(),(''
''''''
)(
'1
''
)(
)()()()()(
)(
)()()()(
)()()(
)('
)(')(
)('
)(')(
)()()('')(
)(')(
)(')(
:,)()()()(
)()()(
2
3
2322
23
2
2
22
2
2
ESPACIOELEN
CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE
tv
tNtaK
tr
trtr
tr
tTK
ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
tyytxxPORDADACyx
xyyxK
xfyPORDADAC
y
yK
PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS
dt
dsK
tv
tatvatatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
dt
sd
tv
tatvtTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE
tNtTtBBINORMALVECTOR
tT
tTtNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR
tr
trtTUNITARIOTANGENTEVECTOR
tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR
trdt
dstvRAPIDEZ
trtvVELOCIDADVECTOR
ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr
PLANOELENCURVAjtyitxtr
TN
T
NT
R R
yx dAyxfyxfdS
SUPERFICIELADEAREA
22),(),(1
LONGITUD DE ARCO
b
a
b
a
dttztytxdttrs222
)(')(')(')('
INTEGRAL DE LNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO
REALIZADO)
CC
CC
b
aCC
PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr
PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr
PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI
dttrtztytxFTdsFdrF
)()()()(
),,(
)()()(
),(
)('))(),(),((
FORMULARIO DE CLCULO VECTORIAL
Licenciado: Julio Cesar Barreto Garca 4 Materia: Matemtica III
INTEGRAL DE LNEA
C
b
a
C
b
a
dttztytxtztytxfdszyxf
ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI
dtjtytxtytxfdsyxf
jtyitxtrPORDADAESTACSI
222
22
)(')(')('))(),(),((),,(
)()()()(
)(')('))(),((),(
)()()(
Sea F(x,y)=Mi + Nj un campo vectorial, F es
CONSERVATIVO si x
N
y
M
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, F es
CONSERVATIVO si el ROTOR (O ROTACIONAL) es
nulo, es decir:
0
)(
y
M
x
Nk
z
M
x
Pj
z
N
y
Pi
PNM
zyx
kji
Frot
Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo
vectorial. las siguientes conclusiones son
equivalentes:
C
C
CERRADACCURVATODAPARAdrF
CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF
fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF
0.3
.2
..1
REA DE UNA SUPERFICIE
PARAMETRICA.
kv
zj
v
yi
v
xrk
u
zj
u
yi
u
xrDONDE
dArrdSSUPERFICELADEAREA
vu
S D
vu
,:
Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, si F es
CONSERVATIVO, entonces
))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrFCC
donde
F(x,y) es una funcin potencial de F, es decir:
),(),( yxfyxF
Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, la
DIVERGENCIA de F es y
N
x
MyxdivF
),(
Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, la
DIVERGENCIA de F es z
P
y
N
x
MzyxdivF
),,(
TEOREMA DE GREEN
(O DE GREEN-RIEMAN)
Relaciona una integral doble
extendida a un dominio del plano
con una integral curvilnea sobre
la curva cerrada frontera de ese
dominio.
RC
RRC
RC
dAFdivdsNF
dAkFrotdAy
M
x
NdrF
dAy
M
x
NNdyMdx
)(
)(
TEOREMA DE LA
DIVERGENCIA (DE GAUSS-
OSTROGRADSKI).
Relaciona una integral triple
sobre una regin slida Q, con
una integral de superficie sobre la
superficie de Q
QS
dVFdivdSNF )(
INTEGRALES DE SUPERFICIE
R
vu
S
S D
R
yx
S
S R
yx
yx
vectorialForm adArrFdSNF
escalarForm adSvuzvuyvuxfdSzyxf
aparam tricForm a
arribahacianorm alvectorialForm adAkjyxgiyxgFdSNF
escalarForm adAyxgyxgyxgyxfdSzyxf
dAyxgyxgds
yxgz
)),(),,(),,((),,(
)(),(),(
),(),(1)),(,,(),,(
),(),(1
),(
22
22
TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR).Establece la relacin
entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la
integral de lnea sobre una curva espacial cerrada que constituye el
borde de S. SC
dSNFrotdrF ))((
GRADIENTE
nx
xf
x
xfxfgrad 0
1
00 ,,
LAPLACIANO:
2
2
2
1
2
nx
f
x
ff
Recommended