FRACTALES Y PAPIROFLEXIA PAPIROFLEXIA MODULAR APLICADA A LA MODELIZACIÓN DE UNA DE LAS FASES DEL...

FRACTALES Y

PAPIROFLEXIA

PAPIROFLEXIA MODULAR APLICADA A LA MODELIZACIÓN DE UNA DE LAS

FASES DEL CUBO DE MENGER

¿Qué es un FRACTAL?

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”

Benoît B. Mandelbrot (Polonia, 1924)

¿Qué es un FRACTAL?

• Objetos geométricos con formas semejantes a distintas escalas de observación y que se obtienen por iteración.

Quizá la mejor manera de entenderlo es ver algunos....

Georg CANTOR (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845, Halle, 6 de enero de 1918 ) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind de la teoría de conjuntos

CONJUNTO DE CANTOR

Niels Fabian Helge von KOCH (25 de enero de 1870 - †11 de marzo de 1924) fue un matemático sueco, cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva fractal llamada curva Copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas.

CURVA DE KOCH

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

Wacław Franciszek SIERPIŃSKI (n. 14 de marzo de 1882, Varsovia - m. 21 de octubre de 1969 en Varsovia) fue un matemático de Polonia.

El salto a 3D

El salto a 3D

ESPONJA DE MENGER

Karl MENGER (1902 – 1985) matemático austríaco

PAPIROFLEXIA MODULAR

Construcción de un modelo a base de ensamblar piezas

iguales construidas a partir de un cuadrado de papel.

Utilizaremos los denominados módulos SONOBÉ, para construir la esponja de Menger en su tercera etapa

MÓDULO SONOBÉ

MÓDULO SONOBÉ

Distintas formas de plegado según el objetivo.

CUBO completo: 486 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU PRIMERA ETAPA

ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA

648 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA

648 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU SEGUNDA ETAPA

648 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA

1056 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA

1056 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA

1056 piezas

ESPONJA DE MENGER EN SU TERCERA ETAPA

1056 piezas

ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:

El número de cubitos que

componen la esponja en la n-

sima iteración es 20n

ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:

Si partimos de que la arista del cubo inicial mide 1, la arista de

uno de los cubitos en la n-sima etapa mide (1/3)n

1

1/3

(1/3)2

ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:

El área del cuerpo obtenido en la etapa nª es: 6·(1/9)n·20n

El volumen del cuerpo obtenido en la etapa nª es:

20n·(20/27)·(1/3)3n

A = 6

V = 1

A = 40/3 ≈ 13’3

V = 400/729 ≈ 0’55

A = 800/27 ≈ 29’6

V = 8000/19683 ≈ 0’4

ALGUNAS OBSERVACIONES MATEMÁTICAS:

Los resultados anteriores nos muestran que si pudiéramos

seguir “hasta el infinito” perforando el cubo inicial,

“llegaríamos” a un cuerpo cuya área va aumentando

hacia el infinito y cuyo volumen desciende hacia cero.

¡Curioso! ¿NO?De esta manera:

CUADRADO: Dimensión 2 (ancho y alto)

CUBO: Dimensión 3 (largo, ancho y alto)

ESPONJA DE MENGER: Dimensión ≈ 2’7

Marzo - 2008

TODOS LOS MODELOS

ESTÁN REALIZADOS

CON PAPEL RECICLADO