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INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDADMATEMÁTICAS 1.º Bach.
Unidad 8: Función exponencial y logarítmica
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8Función exponencial, logarítmica y trigono-métrica
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LECTURA INICIAL
ESQUEMA
Algunas enfermedades adquieren carácter epidémico cuando afectan a numerosas personas al mismo tiempo,
y el crecimiento del número de afectados suele ser exponencial.
ACTIVIDAD
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Unidad 8: Función exponencial y logarítmica
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John Neper y los logaritmos
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Enlace a la biografía de
John Neper
Historia de los logaritmos
Los logaritmos se hallan presentes en numerosas situaciones de la vida real y son una herramienta
muy utilizada en contextos científicos.
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Unidad 8: Función exponencial y logarítmica
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Esquema de contenidos
Función exponencial y logarítmica
Función exponencial
Tipo
Otras
Interés compuesto
Función inversa
Logaritmos
Función logarítmica
y=ax
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Función exponencial
La función exponencial es del tipo:
donde a es un número real positivo y distinto de 1 ( a > 0 y a ≠ 1).
y=ax
• La imagen de 0 vale 1 : (0,1)
• La imagen de 1 vale a: (1,a)
• La función es creciente si a > 1
• La función es decreciente si 0 < a < 1
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Función exponencial
Representamos: y=2x y= 12
x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0,125 0,25 0,5 1 2 4 8
8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
y=2x
y= 12
x
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Función exponencial
Las funciones del tipo :
con k un número cualquiera distinto de 0, son de forma exponencial, donde la base es .
y=ak⋅x
ak
y=ak⋅x=ak x
k=2
k=12
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Función exponencial
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
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Función exponencial
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:
b unidades hacia arriba si b es positivo.
b unidades hacia abajo si b es negativo.
y=ax
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
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Función exponencial
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:
b unidades hacia arriba si b es positivo.
b unidades hacia abajo si b es negativo.
y=ax
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
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Unidad 8: Función exponencial y logarítmica
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Función exponencial
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior horizontalmente:
b unidades a la izquierda si b es positivo.
b unidades a la derecha si b es negativo.
y=ax
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:
b unidades hacia arriba si b es positivo.
b unidades hacia abajo si b es negativo.
y=ax
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
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Unidad 8: Función exponencial y logarítmica
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Función exponencial
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior horizontalmente:
b unidades a la izquierda si b es positivo.
b unidades a la derecha si b es negativo.
y=ax
Son iguales que la función y se obtienen trasladando la gráfica anterior verticalmente:
b unidades hacia arriba si b es positivo.
b unidades hacia abajo si b es negativo.
y=ax
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
Las funciones
son del tipo exponencial.
y=axb
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Función exponencial
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−5−4
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Función exponencial
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6
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Función exponencial
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6
5 unidades abajo
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Función exponencial
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6
5 unidades abajo
5 unidades derecha
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Función exponencial
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
y=4x y=4x−5 y=4x−5y=4x−6−6
6 unidades abajo
6 unidades derecha
5 unidades abajo
5 unidades derecha
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Interés compuesto
El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es:
C f=C⋅1 r100
r
Para calcular el capital que tenemos en cada momento,
conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede
considerar la fórmula anterior como una función de tipo
exponencial donde la variable dependiente es Cf y la variable
independiente es el tiempo transcurrido.
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Interés compuesto
El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital C a un rédito r durante un tiempo t a interés compuesto, es:
C f=C⋅1 r100
r
Para calcular el capital que tenemos en cada momento,
conocidos el capital C y el rédito r, en función del tiempo t, se puede
considerar la fórmula anterior como una función de tipo
exponencial donde la variable dependiente es Cf y la variable
independiente es el tiempo transcurrido.
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Logaritmos
Dados dos números reales positivos a y b ( a ≠ 0), el logaritmo en base a de b es el exponente al que hay que elevar a para que el resultado sea b.
logab=c ac=b
Cuando los logaritmos son de base 10 se llaman logaritmos decimales.
Cuando los logaritmos son de base el número e = 2,7182… se llaman logaritmos neperianos.
log10102=log 102
=2loge e
3=ln e3
=3
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
a log2 8
b log 0 ,001
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8
a log2 8
b log 0 ,001
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8 2x=23descom ponem os8 en potencias de 2
a log2 8
b log 0 ,001
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8 2x=23
x=3
a log2 8
b log 0 ,001
descom ponem os8 en potencias de 2
log2 8=3
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8 2x=23
x=3
log 0 ,001 =x 10x= 0,001
a log2 8
b log 0 ,001
descom ponem os8 en potencias de 2
log2 8=3
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8 2x=23
x=3
log 0 ,001 =x 10 de potencias en
,0010 descomponemos
10x= 10-4
a log2 8
b log 0 ,001
10x= 0,001
descom ponem os8 en potencias de 2
log2 8=3
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Logaritmos
Calcular los siguientes logaritmos:
log2 8=x 2x=8 2x=23
x=3
log 0 ,001 =x
10x= 10-4 x=−4
log 0 ,001=−4
a log2 8
b log 0 ,001
10 de potencias en
,0010 descomponemos10x= 0,001
log2 8=3
descom ponem os8 en potencias de 2
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Propiedades de los logaritmos
LOGARITMO DE: PROPIEDAD
UN PRODUCTO
UN COCIENTE
UNA POTENCIA
LA UNIDAD
CAMBIO DE BASE
loga b⋅c = loga bloga c
loga bc =loga b−loga c
loga bn=n⋅loga b
loga 1=0
loga b=logcb
logca
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Propiedades de los logaritmos
a log4 128
b log 0 ,1log 100
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Propiedades de los logaritmos
log 4 128=log4 27 =log 4 26⋅2 =log4 22 3⋅2 = log4 43⋅2 =
=log 4 43 log 4 2=3 log 4 4log 4 4=3log4 4
12=3
12
log 4 4=312=
52
a log4 128
b log 0 ,1log 100
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Propiedades de los logaritmos
log 0,1 log 100= log 10-2 log102
=−2 log102 log10==−22=0
a log4 128
b log 0 ,1log 100
log 4 128=log4 27 =log 4 26⋅2 =log4 22 3⋅2 = log4 43⋅2 =
=log 4 43 log 4 2=3 log 4 4log 4 4=3log4 4
12=3
12
log 4 4=312=
52
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Función logarítmica
Una función logarítmica es del tipo:
donde a es un número real positivo, a > 0, y distinto de 1 (a ≠ 1).
y=f x =loga x
Esta función verifica que:
• El logaritmo solo existe para valores positivos.
Dom f = ( 0, +∞).
• La imagen de 1 es 0, pasa por (1,0), ya que
• La imagen de a es 1, pasa por (a,1), ya que
• La función es creciente cuando a > 1 y es decreciente cuando a < 1.
loga 1=0
loga a=1
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Función logarítmica
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
f x =ln 3 x
f x =ln x3
f x =ln 3 x3
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Función logarítmica
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
f x =ln 3 x
f x =ln x3
f x =ln 3 x3
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Función logarítmica
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
f x =ln 3 x
f x =ln x3
f x =ln 3 x3
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Función logarítmica
Relacionamos las expresiones algebraicas de las funciones con su representación gráfica.
f x =ln 3 x
f x =ln x3
f x =ln 3 x3
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Función inversa
Una gráfica es inversa de otra cuando ambas son simétricas respectivamente de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Otra forma de averiguar que dos gráficas son inversas es comprobando que si el punto (a , b) pertenece a la gráfica de la primera función, entonces (b , a) pertenecerá a la gráfica de la segunda.
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Función inversa
¿Son inversas las funciones siguientes?
f x =2x g x = log2 x
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Función inversa
¿Son inversas las funciones siguientes?
f x =2x g x = log2 x
x f ( x ) g ( x )
−3 0,125
−2 0,25
−1 0,5
0 1
1 2 0
2 4 1
3 8 1,58
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Función inversa
¿Son inversas las funciones siguientes?
f x =2x g x = log2 x
x f ( x ) g ( x )
−3 0,125
−2 0,25
−1 0,5
0 1
1 2 0
2 4 1
3 8 1,58
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Función inversa
¿Son inversas las funciones siguientes?
f x =2x g x = log2 x
Son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, por lo que son
INVERSAS.
x f ( x ) g ( x )
−3 0,125
−2 0,25
−1 0,5
0 1
1 2 0
2 4 1
3 8 1,58
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Función definida a trozos
La expresión analítica requiere de varias fórmulas, cada una de las cuales rige el comportamiento de f(x) en un cierto tramo. Ejemplo:
f x ={x si x≤21 si x2
y=sgn x ={1 si x00 si x=0−1 si x0
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Función valor absoluto
f x =∣x∣={ x si x≥0−x si x0
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Función parte entera
La parte entera de un número y=E(x) = [x] , se define como el primer número entero menor o igual que él.
La función y= x-[x] se denomina parte decimal.
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Función trigonométrica: seno
* Dom f = R
* Como Im f = [-1,1]−1≤sen x≤1
* Periodo T= 2 sen x=sen x2k, k∈ℝ
* Máximos en Mínimos en22k , k∈ℝ 3
22k , k∈ℝ
* Impar: f(-x)=sen (-x)= - sen x=- f(x). Es simétrica respecto del origen de coordenadas
y=f x =sen x
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Función trigonométrica: coseno
* Dom f = R
* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1
* Periodo T= 2 sen x=cos x2k, k∈ℝ
* Máximos en Mínimos en02k , k∈ℝ 2k , k∈ℝ
* Par: f(-x)=cos (-x)= cos x= f(x). Es simétrica respecto del eje Y.
y=f x =cos x
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Función trigonométrica:tangente
* Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0
* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1
* Periodo T= tg x=tgxk, k∈ℝ
* Es siempre creciente
* Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).
ℝ−{2 k , k∈ℤ}
tg x=sen xcos x
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Función trigonométrica: inversas
* Dom f = La tg x no está definida si cos x= 0
* Como Im f = [-1,1]−1≤cos x≤1
* Periodo T= tg x=tgxk, k∈ℝ
* Es siempre creciente
* Impar: f(-x)=tg (-x)= -tg x= -f(x). Es simétrica respecto del (0,0).
ℝ−{2 k , k∈ℤ}
tg x=sen xcos x
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Ayuda el alumno
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La revista “Números”
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Enlaces de interés
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Actividad: La velocidad y el tiempo, magnitudes inversas
En la sección chilena de la Editorial Santillana, esta actividad del programa Excel usa la proporcionalidad inversa de la relación velocidad-tiempo.
Para conocerlo, sigue este enlace.
Dirección:
http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4c.htm
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