Funciones

FuncionesPresentado por: Tammy Roterman y

Orli GlogowerPresentado a: Patricia Cáceres

Décimo Grado

Funciones

Definición

Características

Formas de expresar

Funciones Inyectivas,

Sobreyectivas y Biyectivas

Funciones Pares e Impares

Tipos

Función

• Definición• Una función es una relación entre un

conjunto dado X (el conjunto de salida) y otro conjunto de elementos Y (el conjunto de llegada) de manera que a cada elemento x del conjunto de salida le corresponda uno y solo un elemento del conjunto de llegada f(x).

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de 4 distintas formas:

Enunciado

AlgebraicamenteGráfica

Tabla

Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y.

X 0 2 8 10 12

Y 3 4 2 8 10

Ejemplo:

Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.

Ejemplo: A cada Y le corresponde el mínimo +1.

Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y. Y = f(x)

f(x)= 2X + 4f(x)= 4X2 – 3X + 8

f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3

Ejemplo:

Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano.

Ejemplo:

Variable dependiente

Variable independiente

Imagen

Pre Imagen

Conjunto de salida Conjunto de llegada

Dominio

Rango

Punto de corte con X

Punto de corte con Y

Crecimiento

Periodicidad

Máximos y mínimos

Elementos y Características de las funciones

Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.

Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama

X.

Características

Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.

a 1

b 2

c 3

4

YX

f

Características

Rango: Conjunto formado por las Imágenes.

Dominio: Conjunto formado por las Pre Imágenes.

Características

Conjunto de Salida: Conjunto de los elementos que componen al dominio.

Conjunto de Llegada: Conjunto de variables dependientes.

Características

Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, y se resuelve la ecuación resultante.

Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.

Características

Crecimiento:Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.

Periodicidad:Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante.Periodo: Longitud del intervalo que se repite.

Máximos y mínimos:Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos.Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos.

Características

• Funciones Inyectivas:

• Una función es Inyectiva si a cada Imágen le corresponde una única Pre Imágen.

• Funciones Sobreyectivas:

• Una función es Sobreyectiva si cada elemento del conjunto de llegada es como mínimo la imagen de un elemento del domino.

1

2

3

D

B

C

A

X Y

1

2

3

4

D

B

C

X Y

Función Biyectiva:

• Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).

1

2

3

4

D

B

C

A

X Y

• Función Impar:

• Se llama función impar a la función en la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.

• Ejemplo:• f(x)= X3

• f(2)=8• f(-2)=-8

• Todas las funciones impares cumplen la ecuación:

• Función Par:

• Se llama función par a la función en la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:

• Se produce una simetría con respecto al eje y.

• Ejemplo:• f(x)= X2

• f(-2)= 4• f(2)= 4

• Todas las funciones pares cumplen la ecuación:

Impar

Par

Tipos de funciones

Trigonométricas

Por Partes o A Trozos

Valor AbsolutoLogarítmica

RacionalPolinómicas Exponencial

Grado Impar

Funciones polinómicas

Cuadrática

Grado ParConstante

Lineal

Cúbica

Afín

Idéntica

Funciones Trigonométricas

SenoCoseno

Tangente

CotangenteSecante

Cosecante

Círculo Gonio métrico

Generalidades de una función Polinómica

• Se llama función polinómica a toda aquella función que está definida por medio de polinomios.

• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en:

• En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:

• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).

Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d

Función Constante

• Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable.

• Se define por la ecuación: y= a

Dominio= IRRango= {a}Conjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no existe, cuando a ≠ 0.Punto de corte con y= a

EJEMPLO

Análisis:y= 6Dominio-Conjunto de salida= IRConjunto de llegada= IRRango= {6}Punto de corte con y= 6

Constante

Función Afín

• La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n

• Donde X y Y son las variables• m es la pendiente• n es la ordenada en el origen

• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con y= n

La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces:Si m<0 decrecienteSi m>0 creciente Si m=0 constantem se calcula:

EJEMPLO

Análisis:y= 6x +2Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -1/3Pendiente= 6

Afín

Funciones de Grado Par

• Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par.

• Para las funciones de grado par, el Dominio siempre es IR y el Rango es (mínimo, ∞) o (- ∞, máximo).

• Se definen por la ecuación:

EJEMPLO

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

Grado Par

y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8

Función Cuadrática

• Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.

• El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:

• Dominio= IR• Conjunto de salida= IR• Conjunto de llegada= IR• Punto/s de corte con x: y= 0, se

halla/n mediante la formula cuadrática, o factorizando.

• Punto de corte con y= c

EJEMPLO

Análisis:y= x2 + 3x – 4Dominio-Conjunto de salida= IRRango= [-5, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= -4Punto de corte con x= {-4, 1}Mínimo relativo: x= -3/2

Cuadrática

Funciones de Grado Impar

• Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar.

• Para las funciones de grado Impar, el Dominio y el Rango siempre son IR.

• Se definen por la ecuación:

EJEMPLO

y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

Grado Impar

y= 3x3 + 2x2 – x + 4

Función Lineal

Es la función que se define por la ecuación: y= mx

Dominio= IRRango= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0

EJEMPLO

Análisis:y= 4xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0Pendiente= 4

Lineal

Función Idéntica

• Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.

• Se define por la ecuación: y= x• Su pendiente es m=1• Su gráfica es la recta bisectriz

de los cuadrantes primero y tercero.

EJEMPLO

• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X y Y= 0

Análisis: y= xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0

Idéntica

Función Cúbica

• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈

EJEMPLO

Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con y= d

Análisis:y= x3 + 3x2 + 4x + 6Domino-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 6Punto de corte con x= -2.5

Cúbica

Función Valor Absoluto

• La función de valor absoluto se define por la ecuación: y= IxI + c

• El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.

-X, Si X < 0 IXI=

El valor absoluto de X siempre será igual o mayor que cero, y nunca será negativo.

X, Si X > 0

• No negatividad : |a| ≥ 0• Definición positiva: |a| = 0 a = 0• Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b|• Propiedad aditiva: |a+b| ≤ |a|+|b|• Simetría: |-a| = |a|• Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b• Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b|

Propiedades del Valor Absoluto

Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= [mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo]Conjunto de Llegada= IRPunto de Corte con y= c

EJEMPLO

Valor Absoluto

Análisis:y= IxIDominio= IR Conjunto de salida= IR

Rango= [0, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x=0Punto de corte con y=0No hay desplazamiento

Para un desplazamiento horizontal:y= Ix + 2IDominio= IR Conjunto de salida= IR

Rango= [0, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x= -2Punto de corte con y= 2Desplazamiento horizontal izquierda= 2

Para un desplazamiento vertical:y= IxI + 4Dominio= IR Conjunto de salida= IR

Rango= [4, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x= No existePunto de corte con y= 4Desplazamiento vertical arriba= 4

Función Logarítmica

• La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x

• Solo esta definida en los números positivos.

• Si a>1:• Dominio= IR +

• Conjunto de Salida= IR +

• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)• Creciente

• Si 0<a<1:• Dominio= IR +

• Conjunto de Salida= IR +

• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Puntos que pertenecen a la gráfica: (1,0) y (a,1)• Decreciente

Deducciones de los logaritmos

•No existe el logaritmo de un número con base negativa•No existe el logaritmo de un número negativo•No existe el logaritmo de cero•El logaritmo de 1 es cero•El logaritmo en base a de a es uno•El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base

EJEMPLO

Logarítmica

Análisis:y= log xDominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IRConjunto de llegada= IRPunto de corte con x= 1Punto de corte con y= No hayAsíntota vertical: x=0No hay desplazamiento

Para un desplazamiento horizontal:y= log x (x + 2)Dominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IRConjunto de llegada= IRPunto de corte con x= -1Punto de corte con y= 0.8Asíntota vertical: x= -2Desplazamiento horizontal izquierda= 2

Para un desplazamiento vertical:y= log x (x) + 4Dominio= IR +

Conjunto de salida= IR +

Rango= IRConjunto de llegada= IRPunto de corte con x= No hayPunto de corte con y= No hayAsíntota vertical: x=0Desplazamiento vertical arriba= 4

Función Racional

• La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios:

• En las funciones racionales, la variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de q.

Dominio= IR- {asíntotas verticales}Conjunto de Salida= IRRango= R- {asíntotas horizontales}Conjunto de Llegada= IRPunto de Corte con x= Se iguala a 0 el numerador, y se soluciona la ecuación resultante.Punto de Corte con y= Se sustituye x por 0 en la ecuación original.

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas. En las asíntotas verticales, la función se aproxima mucho a la recta cuando el valor de la variable dependiente se aproxima mucho al valor de la variable independiente. En las asíntotas horizontales, la función se aproxima a ∞ y a -∞.

Para:f x

a x a x a

b x b x bm

m

nn

( )...

...

1 0

1 0

1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal.3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales.

Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.

EJEMPLO

Análisis:y= 1/x-4Dominio= IR- {0}Conjunto de Salida= IR- {0}Rango= R- {-2}Conjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= 2Punto de corte con y= No existeAsíntotas verticales: x=0Asíntotas horizontales: y= -2

Racional

Función Exponencial• La función exponencial se define por

la ecuación: y= ax + b , donde a, x y b son números reales.

• Cuando a<1, la función es decreciente.

• Cuando a>1, la función es creciente. (a debe ser diferente de 1)

• También está la función exponencial natural definida por la ecuación y=ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828....

Propiedades de los Exponentes

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Dominio= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de Corte con y= 1Si b=0, Rango= IR + , y el eje X es asíntota.Si b=a, Rango= (a,∞), y Y=a es asíntota.

EJEMPLO

Exponencial

Análisis:y= 2x Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (0, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x= No hayPunto de corte con y= 1No hay desplazamiento

Para desplazamientos verticales:y= 2x + 2Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (2, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x= No hayPunto de corte con y= 3Asíntota horizontal: y= 2Desplazamiento vertical= 2

y= 2x + 4Dominio= IRConjunto de salida= IRRango= (4, ∞)Conjunto de llegada= IRPunto de corte con x= No hayPunto de corte con y= 5Asíntota horizontal: y= 4Desplazamiento vertical= 4

Función A Trozos

La función a trozos o por partes se define cuando se usan dos o más ecuaciones.

Para distintos valores de X se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen Y que les corresponde.

Es muy importante conocer qué formula usar con cada valor de X, por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación.

Así, tiene el siguiente aspecto:

En la función f (x) cada ecuación tiene su dominio individual; uniendo ambos dominios se obtiene el dominio de f (x). Por lo tanto:Dominio= dominio ₁ U dominio ₂Los dominios aparecen como intervalos o puntos. Conjunto de Salida= dominio ₁ U dominio ₂

Por ejemplo, para: Si x toma valores inferiores a -7, el criterio es x + 1, pero si x toma valores iguales o mayores a -7, el criterio es 2x + 4.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas.

Círculo Goniométrico

El círculo goniométrico o círculo trigonométrico es el círculo con centro en el origen de coordenadas. Su radio tiene como medida unitaria el valor de 1.

Está dividido en cuatro partes iguales llamadas cuadrantes, y se numeran en dirección opuesta a las manecillas del reloj. (I, II, III, IV)

• En la medida de los ángulos, se emplean tres unidades básicamente:

Grado sexagesimal: Unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Cada grado se divide en 60’(que se lee 60 minutos de arco) y cada minuto de arco se divide en 60’’ (que se lee 60 segundos de arco).

Grado centesimal: Unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Radián: Se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es la unidad más usada en cuanto a trigonometría.

Propiedades de las Funciones Trigonométricas

• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje y: cos (-x) = cos x.

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π.

• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas.

• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

• Cada función trigonométrica tiene una función recíproca. Así, la cotangente es recíproca de la tangente, la cosecante es recíproca del seno, y la secante es recíproca del coseno.

Función Seno• La función seno es periódica, limitada y

continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= sen x, y su inversa es y= 1/csc x.

• El seno de un ángulo α se define: sen α= y/r, siendo r el radio, y Y la coordenada Y.

Punto de Corte con x= (0 + π k) Punto de Corte con y= (0,0)Periodo= 2π radCreciente= … U( -π/2, π/2) U (3π/2, 5π/2) U…Decreciente= …U(π/2, 3π/2) U (5π/2, 7π/2) U…Amplitud= 1

Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= [-1, 1]Conjunto de Llegada= IRMáximos=Mínimos=

EJEMPLO

y= sen x

Función Coseno• La función coseno es periódica y continua, y

existe para todo el conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= cos x, y su inversa es y= 1/sec x.

• El coseno de un ángulo α se define: cos α= x/r, siendo r el radio, y X la coordenada X.

Punto de Corte con x= (π/2 + k)Punto de Corte con y= (0,1)Periodo= 2π radCreciente= … U( -π, 0) U (π, 2π) U…Decreciente= …U(0, π) U (2π, 3π) U…Amplitud= 1

Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= [-1, 1]Conjunto de Llegada= IRMáximos=Mínimos=

EJEMPLO

y= cos x

Función Tangente• La función tangente es periódica y asocia a

todo el conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= tg x, y su razón recíproca es y= 1/ctg x.

• La tangente de un ángulo α se define: tg α= y/x, siendo Y la coordenada Y, y X la coordenada X.

Punto de Corte con x= (0 + π k)Punto de Corte con y= No hayPeriodo= π radCreciente= IR

Dominio= Conjunto de Salida= Rango= IRConjunto de Llegada= IRMáximos= No tiene Mínimos= No tiene

EJEMPLO

y= tg x

Función Cosecante• La función cosecante es periódica y asocia a todo

el conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= csc x, y su razón recíproca es y= 1/sen x.

• La cosecante de un ángulo α se define: csc α= r/y, siendo r el radio, y Y la coordenada Y.

Punto de Corte con x= No hay Punto de Corte con y= No hayPeriodo= 2π radCreciente= … U (π/2, π) U (π, 3π/2) U…Decreciente= … U (0, π/2) U (3π/2, 2π) U…

Dominio= Conjunto de Salida= Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)Conjunto de Llegada= IRMáximos= Mínimos=

EJEMPLO

y= csc x

Función Secante• La función secante es periódica y asocia a todo el

conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= sec x, y su razón recíproca es y= 1/cos x.

• La secante de un ángulo α se define: sec α= r/x, siendo r el radio, y X la coordenada X.

Punto de Corte con x= No hay Punto de Corte con y= No hayPeriodo= 2π radCreciente= … U (0, π/2) U (π/2, π) U…Decreciente= … U (π, 3π/2) U (3π/2, 2π) U…

Dominio= Conjunto de Salida= Rango= (- ∞, -1) U ( 1, ∞)Conjunto de Llegada= IRMáximos= Mínimos=

EJEMPLODominio:

y= sec x

Función Cotangente• La función cotangente es periódica y asocia a todo el

conjunto de los números reales.

• Se define por la ecuación: y= ctg x, y su razón recíproca es y= 1/tg x.

• La cotangente de un ángulo α se define: ctg α= x/y, siendo X la coordenada X, y Y la coordenada Y.

Punto de Corte con x= (π/2 + k)Punto de Corte con y= No hayPeriodo= π radDecreciente= IR

Dominio= Conjunto de Salida= Rango= IRConjunto de Llegada= IRMáximos= No tieneMínimos= No tiene

EJEMPLO

y= ctg x

Referencias de consulta• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar

• http://www.x.edu.uy/lineal.htm

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva• http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htm• http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/fraciow.htm• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_a_trozos_ejemplos_jbb/definici.htm• http://www.scribd.com/doc/95037/Trigonometria• http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html