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Funciones de Varias Variables
Preparado por: Prof. Gil Sandro Gmez 1
Funciones de varias variables
Funcin de dos variables
Definicin. Es una funcin f que asigna a cada pareja ordenada ( , )x y de D un
nico nmero real ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de f , y el
correspondiente conjunto de valores ( , )f x y es el rango.
Dominio Rango
Grfica de la funcin de dos variables
Es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z para los ( , ) ( , )z f x y y x y que est en
el dominio de f .
(x,y) = (,)
f
Funciones de Varias Variables
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Ejemplo. Bosqueje la grfica de 2 2( , ) 1f x y x y
Curvas de nivel
Una segunda manera de visualizar una funcin de dos variables es usar un
campo escalar en el que el escalar ( , )z f x y se asigna al punto ( , )x y . Un
campo escalar puede caracterizarse por sus curvas de nivel o lneas de contorno
a lo largo de los cuales es constante. Las curvas de nivel de igual presin se
llaman isobaras. Las curvas de nivel que en mapas climticos representan
puntos de igual temperatura reciben el nombre de isotermas. Las curvas de
nivel que representan campos de potenciales elctricos se llaman lneas
equipotenciales.
Los mapas de contorno suelen utilizarse para representar regiones de la
superficie de la tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el
nivel del mar. Este tipo de mapas se llama mapa topogrfico.
Lmites y continuidad
Previo a la definicin de lmite de una funcin de dos variables necesitamos
definir una serie de conceptos, tales como:
1. Vecindad de un punto x: un punto x que pertenece a R, cualquier
subconjunto de R que posea un abierto que contenga a x se llama una
vecindad de x.
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2. Bola abierta: se llama bola abierta al conjunto representado por
2 2
( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y
3. Bola cerrada: se llama bola cerrada al conjunto dado por
2 2
( ) 0 0{( , ) : ( ) ( ) }xB x y x x y y
4. Punto interior: un punto x es un punto interior de un conjunto S si existe
una vecindad de x contenida en S. El conjunto de los puntos interiores de
S se llama interior de S.
5. Punto frontera: un punto x es un punto frontera de un conjunto S si cada
vecindad de contiene puntos que estn en el interior de S y puntos que no
estn en S. El conjunto de los puntos fronteras recibe el nombre de
frontera de S.
6. Un conjunto es abierto si contiene todos puntos interiores y es cerrado si
contiene todos sus puntos fronteras. Hay conjuntos que no son abiertos ni
cerrados.
7. Conjunto acotado; un conjunto S es acotado si existe un R>0 tal que todas
las parejas ordenadas en S estn dentro de un crculo de radio R y con
centro en el origen.
Definicin lmite de una funcin de dos variables
Sea f una funcin de dos variables en un disco abierto centrado en 0 0( , )x y ,
excepto posiblemente en 0 0( , )x y , y sea L un nmero real. Entonces
0 0( , ) ( , )
2 2
0 0
lim ( , )
cada 0 existe 0
( , ) 0 ( ) ( )
x y x yf x y L
Si tal que
f x y L siempre que x x y y
Funciones de Varias Variables
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Nota: los lmites de dos variables tienen las mismas propiedades que cuando es
de una sola variable.
Ejemplo. Calcular el lmite de
( , ) (0,0)
coslim
cosx y
xy x
xy x
( , ) (0,0)
cos (0)(0) cos0 0 1lim 1
cos (0)(0) cos0 0 1x y
xy x
xy x
Ejemplo. Determine si el lmite existe o no.
2 2( , ) (0,0)
2 2 2 2( , ) (0,0)
2 2 2 2 2( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0) ( ,0) (0,0)
( ,0) (0,0)
lim
:
(0)(0) 0lim
00 0
a lo largo del eje x
(0) 0lim lim lim
0
0lim 0
Pr
x y
x y
x x x
x
xy
x y
Solucin
xy
x y
Acerquemonos
xy x
x y x x
x
ocedamos acercarno
2
2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
2 2
2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim lim lim
0lim lim lim 0
2 2 22
x y x x x x
x x x y x x
s a traves de la recta x y
xy xx x
x y x x x x
x x x
xx
Podemos decir que el lmite existe, porque al acercarnos por caminos diferentes
siempre nos da 0, y este es el valor del lmite.
Funciones de Varias Variables
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Otra forma: Utilizando coordenadas polares podemos determinar si el lmite
existe o no.
Determine si el siguiente lmite existe o no.
2 2
2 2( , ) (0,0)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0
lim
cos ,
coslim lim cos
cos
x y
x y r
x yxy
x y
x r y rsen
x y r r senxy r rsen
x y r r sen
2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 20 0
2 2 2 2 2 2
0
(cos ) (cos )lim cos lim cos
(cos )
lim cos cos (0) cos cos 0
r r
r
r sen r senr sen r sen
r sen r
r sen sen sen sen
Funcin continua en un punto
Definicin. Una funcin ( , )f x y es continua en el punto (a,b) si se cumple que:
1. f tiene un valor en (a,b)
2. El lmite f existe en (a,b)
3. ( , ) ( , )
( , ) lim ( , )x y a b
f a b f x y
Continuidad en un conjunto
Definicin. Una funcin ( , )f x y es continua en un conjunto S si ( , )f x y es
continua en cada punto del conjunto.
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Teorema. Composicin de funciones
Si una funcin g de dos variables es continua en (a,b) y una funcin f de una
variable es continua en ( , )g a b , entonces la composicin f g , definida como
( )( , ) ( ( , )f g x y f g x y es continua en (a,b).
Derivadas parciales
Sea f una funcin de dos variables ( , )x y . Si y se mantiene constante, digamos
0y y , entonces 0( , )f x y es una funcin de la variable simple x . Su derivada en
0x x es la derivada parcial f respecto de x en 0 0( , )x y y se denota por
0 0( , )xf x y .
As
0 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) limx
x
f x x y f x yf x y
x
De forma anloga, la derivada parcial de f respecto a y en 0 0( , )x y se denota
por 0 0( , )yf x y y est dada por
0 0 0 00 0
0
( , ) ( , )( , ) limy
y
f x y y f x yf x y
y
( , )f x y
x
este smbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de x.
( , )f x y
y
este smbolo significa la derivada parcial de ( , )f x y respecto de y.
Funciones de Varias Variables
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Ejemplo. Determine la derivada parcial de
2 2
2 2
2 2 2 2 2
cos( ) 2
2 ( ) 2
2 ( ) cos( ) 2
z y x y xy
zxysen x y y
x
zy sen x y x y x
y
Derivadas parciales de orden superior
Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible determinar las segundas,
terceras, etc., derivadas parciales de una funcin de varias variables, siempre
que stas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden en
que se hace la derivacin. Dada la funcin ( , )z f x y tiene las siguientes
derivadas parciales de segundo orden.
1. Derivar dos veces respecto a x:
2
2 xx
f ff
x x x
2. Derivar dos veces respecto de y:
2
2 yy
f ff
y y y
3. Derivar primero respecto de x y luego respecto a y:
2
xy
f ff
y x x y
4. Derivar primero respecto de y y luego respecto a x:
2
yx
f ff
x y y x
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).
Funciones de Varias Variables
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Ejemplo. Hallar las derivadas parciales de segundo orden
22
2
22
2
22 2
2
22
tan
tan cos
tan
sec cos
sec cos
2 sec tan
sec cos
x
x
x
x
x
x
x
z e y senxy
ze y y xy
x
ze y y senxy
x
ze y xysenxy xy
x y
ze y x xy
y
ze y y x senxy
y
ze y xysenxy xy
y x
Como se puede observar las derivadas 2 2
z z
yx y y x
son iguales.
Teorema. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Si f es una funcin en ( , )x y tal que xyf y yxf son continuas en un disco abierto
R , entonces, para todo ( , )x y en R ,
2 2( , ) ( , )f x y f x y
x y y x
Diferenciales
Funciones de Varias Variables
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Definicin de diferencial total
Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y , entonces las
diferenciales totales de las variables independientes son dx x y dy y
y la diferencial total de la variable dependiente z es
( , ) ( , )x yz z
dz dx dy f x y dx f x y dyx y
Esta definicin puede extenderse una funcin de tres o ms variables.
Ejemplo. Hallar la diferencial total
2 32 ; (1,1), (0.99,1.02)z x y P Q
Aplicando la frmula de de diferencial total:
( , ) ( , )x yz z
z dx dy f x y dx f x y dyx y
3 2 2
3 2 2
4 , 6
0.99 1 0.1, 1.02 1 0.02
4 6
z zxy x y
x y
dx dy
dz xy dx x y dy
Evaluamos el diferencial total de la funcin en (1,1)
2 2 24(1)(1) ( 0.01) 6(1) (1) (0.02) 0.08dz
Diferenciabilidad
Funciones de Varias Variables
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Definicin. Una funcin f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )x y si z
puede expresarse en la forma
0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y
Donde 1 2 0y cuando ( , ) (0,0)x y . La funcin f es diferenciable en una
regin R si es diferenciable en todo punto de R .
Teorema. Condiciones suficientes para la Diferenciabilidad
Si f es una funcin en ( , )x y , para la que x yf y f son continuas en una regin
abierta R , entonces f es diferenciable en R .
Teorema. Diferenciabilidad implica continuidad
Si una funcin en ( , )x y es diferenciable en 0 0( , )x y , entonces es continua en
0 0( , )x y .
Reglas de la cadena para funciones de varias variables
Teorema. Regla de la cadena: una variable independiente
Sea ( , )w f x y , donde f es una funcin derivable de x e y . Si ( ), ( )x g t y h t ,
donde g y h son funciones derivables de t , entonces w es una funcin
diferenciable de t , y
dw w dx w dy
dt x dt y dt
Ejemplo 1. Determine dw
dt mediante la regla de la cadena.
Funciones de Varias Variables
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2 2
2 2
; cos ,
2 , 2 ; , cos
w x y xy x t y sent
dw w dx w dy
dt x dt y dt
w w dx dyxy y x xy sent t
x y dt dt
Sustituyendo cada derivada en la frmula tenemos:
2 2(2 )( ) ( 2 )cosdw
xy y sent x xy tdt
Ahora sustituimos a x e y por su equivalente para poner el resultado en funcin
de t
2 2
2 2
2 2
(2cos ) (cos 2cos )cos
( 2cos ) (cos 2cos )cos
2 cos 2
( 2 ) (cos 2 )cos
dwtsent sen t sent t tsent t
dt
dwtsent sen t sent t tsent t
dt
sent t sen t
dwsen t sen t sent t sen t t
dt
Teorema. Regla de la cadena: dos variables independientes
Sea ( , )w f x y , donde f es una funcin derivable de x e y . Si ( , ), ( , )x g s t y h s t
son tales que las derivadas parciales de primer orden , , x x y y
ys t s t
, existen, y
estn dadas por
w w x w y
s x s y s
y
w w x w y
t x t y t
Ejemplo 2. Hallar w
s
y
w
t
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2 2 , cost,
~ ( ) ~ ( )
2 , 2 , cos , ~ (2)
t
t
w x y x s y se
w w x w y w w x w ya b
s x s y s t x t y t
w w x yx y t e
x y s s
Sustituyendo (2) en (a)
2 (cos ) 2 ( )tw
x t y es
Sustituyendo a x y a y por su valor:
2 2
2 cost(cos ) 2 ( )
2 cos 2
t t
t
ws t se e
s
ws t se
s
Ahora derivemos respecto a t :
~ ( )w w x w y
bt x t y t
,
~ (3)
2 ( ) 2 ( )
t
t
x yssent se
t t
wx ssent y se
s
Sustituyendo (3) en (b)
2 2 2
2 cos ( ) 2 ( )
2 cos ) 2
t t
t
ws t ssent se se
s
ws tsent s e
s
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Extremos de funciones de dos variables
Definicin de extremos relativos
Sea f una funcin definida en una regin R que contiene 0 0( , )x y .
1. La funcin f tiene un mnimo relativo en 0 0( , )x y si
0 0( , ) ( , )f x y f x y
para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y .
2. La funcin f tiene un mximo relativo en 0 0( , )x y si
0 0( , ) ( , )f x y f x y
para todo ( , )x y en un disco abierto que contiene 0 0( , )x y .
Teorema del valor extremo
Sea f una funcin continua de dos variables x e y y definida en una regin
acotada cerrada R en el plano xy .
1. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mnimo.
2. Existe por lo menos un punto en R , en el que f toma un valor mximo.
Definicin de los puntos crticos
Sea f definida en una regin abierta R que contiene 0 0( , )x y . El punto 0 0( , )x y es
un punto crtico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:
0 0 0 01. ( , ) 0 ( , ) 0x yf x y y f x y
0 0 0 02. ( , ) ( , )x yf x y o f x y no existe.
Funciones de Varias Variables
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Teorema. Los extremos relativos se presentan solo en los puntos
crticos
Si f tiene un extremo relativo en 0 0( , )x y en una regin abierta R , entonces es
un punto crtico de f .
El criterio de las segundas derivadas parciales
Los puntos crticos de una funcin de dos variables no siempre son mximos o
mnimos. Algunos puntos crticos dan puntos sillas que no son ni mximos ni
mnimos.
Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales
Sea f una funcin con segundas derivadas parciales continuas en una regin
abierta que contiene un punto (a,b) para el cual
( , ) 0 y ( , ) 0x yf a b f a b
Para buscar los extremos relativos de f , considrese la cantidad
2
( , ) ( , ) ( , )xx yy xyd f a b f a b f a b
Entonces
1. 0 ( , ) 0, min ( , ).
2. 0 ( , ) 0, ( , ).
xx
xx
Si d y f a b entonces f tiene un m o en a b
Si d y f a b entonces f tiene un mximo en a b
3. 0, ( , , ( , )) .
4. 0 .
Si d entonces a b f a b es un punto silla
Si d el criterio no lleva a ninguna conclusin
Nota: Una forma conveniente para recordar el valor de d, es utilizar el
determinante 2x2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
xx xy
xy yy
f a b f a b
f a b f a b
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Ejemplo 3. Determine todos los puntos crticos. Indique si cada uno de estos
puntos da un mximo local o un mnimo local o si es un punto silla.
3 3
2
2
2
2
2
( , ) 6
1. :
( , ) 3 6
( , ) 3 6
( , ) 0, ( , ) 0
3 6 0
3 6 0
2. Re det min cos :
3
x
y
x y
f x y x y xy
Derivamos a la funcin respecto de x e y
f x y x y
f x y y x
Igualamos a f x y f x y
x y
y x
solvemos el sistema para er ar los puntos crti
x
2
22 4
4 4 3
3
3
62
33 6 0 6 0
2 4
12 24 0 2 0, ( 2) 0
0, 2, :
40,
2
xy y
x xx x
x x x x x x
x x entonces
y y
33
cos :
4(0,0) 2,
2
3. :
( , ) 6
( , ) 6 , ( , ) 6
xy
xx yy
Los puntos crti son
y
Halllemos las derivadas de segundo orden
f x y
f x y x f x y y
4. cos, :
(0,0) 6(0) 0, (0,0) 6(0) 0
(0,0) 6
xx yy
xy
Evaluemos las derivadas en los puntos crti para luego hallar el valor de d
f f
f
0 -636
-6 0d
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3 3
3
3 3 3 34 4
2 2
3 4
2
3
3
0
(0,0) 0
. (0,0,0)
2, 6 2, 2, 3 4
2, 6
6 2 - 60
-6 3 4
0,
xx yy
xy
Como d existe un punto silla
f
El pto silla
f f
f
d
d no hay conclusin
Multiplicadores de Lagrange
Teorema de Lagrange
Sean y gf funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que
f tiene un extremo en un punto 0 0( , )x y sobre la curva suave de restriccin o
ligadura ( , )g x y c . Si 0 0( , ) 0g x y , entonces existe un nmero real tal que
0 0 0 0( , ) ( , )f x y g x y
Mtodo de los multiplicadores de Lagrange
Si y gf son funciones que satisfacen las hiptesis del teorema de Lagrange, y
sea f una funcin que tiene un mnimo o un mximo sujeto a la restriccin
( , )g x y c . Para hallar el mnimo o el mximo de f , seguir los pasos descritos a
continuacin:
1. Resolver simultneamente las ecuaciones ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y y g x y c
resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:
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( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
x x
y y
x y
x y
f g x y
f g x y
g x y c
2. Evaluar f en cada punto solucin obtenido en el primer paso. El valor
mayor da el mximo de f sujeto a la restriccin ( , )g x y c , y el valor
menor da el mnimo de f sujeto a la restriccin ( , )g x y c .
Ejemplo. Mediante los multiplicadores de Lagrange encuentre los extremos de
la funcin sujeto a la restriccin 2 2 1yx .
2 2
2
3
1 . ( , )
2 . :
( , ) 2 3 ~ (1)
( , ) 3 2
( , ) 2 ( , ) 2
:
( , ) ( ,
( , )
1er
do
x
y
x y
x x
xy y
Paso Sea g x y
Paso Hallamos las derivadas parciales de f y g
x y x y
f x y x y
g x y x y g x y y
Construmos el sistema de ecuaciones
x y g x y
f x y x
x y
f
f
2 2
)
( , ) ( , )
( , )
2 3 2 ~ (1)
3 2 2 ~ (2)
1 ~ (3)
y yf x y g x y
g x y c
x y x
x y y
x y
2 3 3 2~ (4), ~ (5)
2 2
(4) (5) :
2 3 3 2
2 2
. (1) (2) :
x y x y
x y
Igualamos las ecuaciones y
x y x y
x y
Despejando de las ecs y
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,
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
1 12 2
1 1,
2 2
4 6 6 4
6 6
. (3) :
1 2 1
1 1 1 1 ,
2 2 2 2
:
1 1 1 1 1 3 1 53
2 2 2 22 2 2 2
xy y x xy
y x y x
Sust a y por su valor en
x x x
x x El punto crtico es
Evaluamos a f en
f
5
2Mx
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