Funciones Polinómicas de grado 3

Destinatarios:

Alumnos de primer año polimodal.

Objetivos:

Que el alumno logre: Conocer las diferentes formas de expresar una

función polinómica de grado 3. Identificar los términos y componentes de ambas

formas. Conocer la gráfica de una función polinómica de

grado 3 y la relación existente con los términos de la misma.

Conocer la utilidad y manejo de la planilla de cálculo de Excel para resolver situaciones relacionadas con el tema propuesto.

Contenidos:

Función polinómica de grado 3. Diferentes formas de expresar una

función polinómica de grado 3. Términos y componentes de ambas

formas. Gráfica de la función polinómica de

grado 3.

Saberes Previos:

Operaciones elementales.

Operaciones con expresiones algebraicas enteras.

Función cuadrática.

Teorema de Gauss.

Plantea y resuelve la siguiente situación problemática:

“Dada la siguiente función cuadrática y=x^2+2x-1, multiplicarla por x y al resultado restarle 2.”

¿Cuál de las siguientes funciones es la que obtuvieron al resolver los cálculos indicados?

Y=2x^2+2x-3 Y=x^3+2x^2-x-2

Y=x^3-2x^2-x-2 Y=2x^2+2x-1

La función obtenida es una función polinómica de grado 3, que presenta la forma:

y=ax^3+bx^2+cx+d,

llamada forma polinómica, donde a,b,c y d son números reales.

Los términos de la forma polinómica son:

Y=ax^3+bx^2+cx+d

ax^3 Términocúbico

bx^2Término

cuadrático

cxTérmino

lineal

dTérmino

independiente

Intersección con el eje y

Analizando la función obtenida en el problema inicial, Y=x^3+2x^2-x-2, responder:

Cuales de los siguientes términos corresponde, en la función citada a:

Término cúbico

3x^3

X^3

2x^2

Término cuadrático

3x

2x^2

X^2

Término lineal

-5x

2x

-x

Término independiente

-5

-2

4

Dada una función de grado 3, en su forma polinómica, el término independiente nos indica la intersección con el eje y.

Gráfica de la función polinómica de grado 3:

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a nuestra función polinómica Y=x^3+2x^2-x-2 ?

Continuemos…

La función con la que venimos trabajando, al ser de orden 3 tiene 3 raíces, por lo tanto podemos expresarla mediante las mismas, de la siguiente manera:

Y=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Los términos de la forma factorizada son:

Y=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

aCoeficiente

principal

X1, x2 y x3Ceros o raíces

Puntos de intersección con el eje x

Retomemos el ejemplo del problema inicial:

Para hallar los ceros o raíces de una Función Polinómica de grado 3, aplicamos Teorema de Gauss.

En Primer lugar, buscamos los divisores del término independiente y del coeficiente principal.

Y=1x^3+2x^2-x-2

Coeficiente

Principal

Término

Independiente

p=-2: ±1; ±2 q= ±1

Posibles raíces: p/q= ±1; ±2,

Por teorema del resto:P(1)=0 x1=1, es raízP(-1)=0 x2=-1, es raízP(-2)=0 x3=-2, es raíz

Divisores del término independiente

Divisores del coeficiente principal

¿Cuál de las siguientes funciones polinómicas, en forma factorizada, corresponde a nuestro ejemplo?

Y=1.(x-2)(x-1)(x+1)

Y=1.(x-1)(x+1)(x+2)

Y=2.(x-1)(x+1)(x+2)

Y=1.(x-1)(x-2)(x-3)

Resolver los siguientes ejercicios que se presentan a continuación utilizando la hoja de cálculo de Excel, haciendo variar el término independiente a través de la barra de desplazamiento correspondiente.

Para practicar lo aprendido:

Ejercicio 1:

a) Si consideramos la función polinómica de grado 3 con la que venimos trabajando Y=x^3+2x^2-x-2, pero modificamos su término independiente por -5, ocurre que:

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La gráfica se desplaza 5 unidades hacia arriba sobre el eje y

La gráfica se desplaza 5 unidades hacia abajo sobre el eje y

La gráfica se desplaza 6 unidades hacia abajo sobre el eje y

b) Y si ahora modificamos su término independiente por -10, sucede que:

La gráfica se desplaza 10 unidades hacia arriba sobre el eje y.

La gráfica se desplaza 10 unidades hacia la derecha sobre el eje x.

La gráfica se desplaza 10 unidades hacia abajo sobre el eje y.

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Ejercicio 2:¿Qué sucede cuando el término

independiente vale 0?La gráfica se desplaza 2 unidades

hacia arriba sobre el eje y.

La gráfica se desplaza 2 unidades hacia la derecha sobre el eje x.

La gráfica pasa por el origen de coordenadas.

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En la planilla de excel que se presenta a continuación, utilizar las barras de desplazamiento correspondientes para hacer variar las raíces de la función polinómica de grado 3 dada en su forma factorizada y responder las siguientes consignas:

Ejercicio 3:

Dada la siguiente función polinómica, en su forma factorizada:Y=1.(x-1).(x-2).(x-4), indica:¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponde a la función dada?

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Ejercicio 4:Dada la siguiente gráfica de una función polinómica de tercer grado, indicar cuales son sus ceros o raíces.

X1=2, x2=3, x3=5

X1=0, x2=2, x3=4

X1=0, x2=1, x3=4

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A modo de repaso:

Integrantes del grupo:

Susana Crettaz

Albina Morel Vulliez