Funciones Reales

Funciones Reales

Prof. Jessica Chacón Piedra

Ejemplo:

Si se paga a 800 colones la hora. El

salario de un trabajador depende de las

horas que trabaje.

El salario será igual a 800 por el número

de horas trabajadas.

VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

Si S = salario y h = horas trabajadas entonces:

Variable VariableDependiente Independiente

Esto significa que el valor de la variable S depende del valor del variable h, porque entre más horas trabaje mayor es su salario.

hS 800

Es una relación que se establece

entre dos conjuntos por medio de la

cual a uno o varios elementos del

primer conjunto se le asigna o asocia

uno o varios elementos del segundo

conjunto.

CORRESPONDENCIA

Nota: Estefany no compró nada,

situación que puede ocurrir en una

correspondencia.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una ley, regla o correspondencia que a cada elemento de A, le hace corresponder uno y sólo un elemento de B.

FUNCIONES

Al conjunto A se le llama dominio y al conjunto B se le llama codominio de la función.

A los elementos del dominio se les llaman: Preimágenes

A los elementos del codominio se les llaman: Imágenes

Al conjunto de imágenes que es subconjunto del codominio se le llama: Rango o Ámbito.

A cada elemento del conjunto A le debe corresponder algún elemento del conjunto B, el cual debe ser único.

No necesariamente todos los elementos del conjunto B deben corresponder a algún elemento de A. Es decir pueden sobrar elementos en el conjunto B.

Se lee como: la función f está definida

del conjunto A al conjunto B, donde A es

el conjunto de partida y B el conjunto de

llegada

NOTACIÓN DE FUNCIONES

Una función describe la dependencia de

una cantidad respecto de otra. Por lo que

los elementos de una función se

representan por medio de pares ordenados,

la primer cantidad pertenece al dominio y

la segunda al codominio. La forma general

de representar un elemento de una función

es:

La x es la preimagen de f(x), y f(x) es la imagen de x, por lo que:

 Si 3 es la imagen de 2, en forma simbólica, por la función p, se expresa:

La expresión significa que: * 8 es la imagen de –5 por la función m ó * -5 es la preimagen de 8 por la función m

3)2( p

8)5( m

CRITERIO O FÓRMULA DE UNA FUNCIÓN

Ecuación con la que se denota una función.

42)( xxf3

2)(

x

xp

85)(x

xt

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función, el grafico de f lo denotamos y se define, como el conjunto de pares ordenados .

Ejemplo 1: Determine el gráfico de la función h, representada en el diagrama adjunto.

Solución:

fG )(, xfx

4,2,1,0,6,4,3,2 hG

SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS

Rectas que se cortan perpendicularmente, el punto sobre el que ellas se cortan se identifica como y se llama origen del sistema.

La recta horizontal se le conoce como “eje x o eje de las abscisas” y la recta vertical se le conoce como “eje y o eje de las ordenadas”.

Al plano que contiene los ejes coordenados se le denomina plano coordenado.

0,0

SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS

SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS

E je de las ordenadas

E je de las abscisas

IR -

IR -

IR+

IR+

Si se traza una recta vertical que pase por el punto “x” y trazamos una recta horizontal que por el punto “y”, entonces el punto de intersección de estas rectas se identifica con el par yx,

yx,

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función, muestra la posición de cada uno de los elementos de su gráfico, en un sistema coordenado.

23)( xxf 13)( 2 xxxg

CÁLCULO DE IMÁGENES

Para calcular la imagen de un elemento del dominio de una determinada función, se sustituye el valor dado en lugar de la “x” y así determinar “y”.

EJEMPLO 1: ¿Cuál es la imagen de –2, para la función

?Solución:Se sustituye la x por –2:

Por lo tanto la imagen de –2 es 1

25 xxt

2)2(52 t45

1

CÁLCULO DE PREIMÁGENES

Cuando se tiene una imagen y se quiere

calcular su preimagen(es) se iguala el

criterio de la función con la imagen

dada y se resuelve la ecuación

resultante.

Es decir, se sustituye el valor dado en

lugar de la “y” ( ) y se determina

“x”.

xf

EJEMPLO 1: ¿ Cuál es la preimagen de 9, para la función ?SoluciónSe sustituye por 9 y se despeja “x”:

Por lo tanto la preimagen de es .

105 xxf

)(xf

1059 x

x

x

x

x

5

15

1

51

5109

95

1

EJEMPLO 3: Si halle el valor de la expresión

Solución:

xxf 35 32 ff

INTERPRETACIÓN DE IMÁGENES Y PREIMÁGENES

Para cada pareja que pertenezca al

gráfico de la función, se puede señalar

un punto en la gráfica de una función y

así determinar la posición de la

preimagen y de la imagen.

es la preimagen de ____ es la imagen de ____

es la preimagen de ____

es la imagen de _____

2 0

4 2

6 0

0 6

EJEMPLO 1

DETERMINACIÓN DEL ÁMBITO A PARTIR DEL DOMINIO

Se obtiene determinando la imagen

correspondiente a cada elemento del

dominio.

Para la función , ,con

halle el ámbito de f.

Solución:

Como es el dominio de f (son las

preimágenes), entonces:

Por lo tanto el ámbito es

Qf 2,3: 52 xxf

2,3

1,4fA

DETERMINACIÓN DEL DOMINIO A PARTIR DEL ÁMBITO

De obtiene determinando la preimagen

correspondiente a cada elemento del

ámbito.

Para la función con

Halle el dominio de f.

Solución:

Se debe encontrar la preimagen de :

9,4,1: Af xxf

9,4,1

81,16,1 fD

Para la función , con . Halle el dominio de f.

Solución:

Sustituimos “y” por y obtenemos los

valores respectivos de “x”:

MIRf : 2xxf

,

81,16,1M

9,4,1,1,4,9 fD