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Universidad de Oviedo CÁLCULO
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Alberto Suárez López Página 57
Capítulo 3: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CÁLCULO DIFERENCIAL.
Capítulo 3.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA: Dada una función )(xfy = continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , se llama tasa de
variación media de )(xf en el intervalo [ ]ba, a la expresión: [ ]ab
afbfbaTVM
−−= )()(
, .
Da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece en un determinado intervalo
la función y es el cociente entre la variación de la función y la variación de la variable independiente.
x
y
a b
f(a)
f(b)
b-a
f(b)-f(a)
y=f(x)
�
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Si tomamos el intervalo [ ]hxx +90 , , laTVM en dicho intervalo vendrá dada por:
( ) ( ) ( ) ( )xy
hxfhxf
xhxxfhxf
TVM∆∆=−+=
−+−+= 00
00
00 .
x
y
x0 x0+h
f(x0)
f(x0+h)
h
f(x0+h)- f(x0)
y=f(x)
�
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Capítulo 3.2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: Si al calcular laTVM hacemos que la amplitud del intervalo h tienda a cero ( )0→h ,
será necesario calcular: ( ) ( )
xy
hxfhxf
hh ∆∆=−+
→→ 0
00
0limlim .
Se puede hablar ahora de tasa de variación instantánea o mejor aún, de derivada de la
función en el punto 0x .
x
y
x0 x0+h
f(x0)
f(x0+h)
f(x0+h)- f(x0)
y=f(x)
h
� �P
Q
M
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Capítulo 3.3. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO: Se dice que una función RRDf →⊆: es derivable en un punto c perteneciente al
dominio de la función, si existe y es finito el limite siguiente:
( ) ( )h
cfhcfh
−+→0
lim , en cuyo caso a dicho valor se le llama derivada de f en el
punto c y se representa: ( )cf ' . si xhc =+ ; entonces:
( ) ( ) ( )cfcx
cfxfcx
'lim =−−
→
Ejemplo:
211
)(x
xf+
= en 10 =x
21
42
4422
lim)442(
)2(lim
)442(2
lim
442222
lim21
221
lim)1()1(
lim)('
20202
2
0
2
2
0
2
00
−=−=++
−−=++
−−=++
−−
=++−+−
=−
++=−+=
→→→
→→→
hhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhh
hfhf
xf
hhh
hhh
Capítulo 3.3.1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:
en PQM :h
xfhxfPQQM
tg)()( 00 −+==α
si PM → ; PQ → ; 0→h ; ϕα → ; ϕα tgtg →
hxfhxf
tgtgtghhPM
)()(limlimlim 00
00
−+===→→→
ααϕ
La derivada de una función )(xf en un punto 0x es la pendiente m de la recta tangente a la función en dicho punto.
)(' 0xftgm == ϕ
La derivada de una función )(xf en un punto 0x es la pendiente m de la recta tangente a la función en dicho punto.
)(' 0xftgm == α
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Capítulo 3.3.2. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA FUNCIÓN EUN PUNTO ( )[ ]cfc, :
( )( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )cxcfcfycfcyx
cfm
xxmyy
−=−���
==
−=−
·',,
'
·
00
00
Capítulo 3.3.3. DERIVADAS LATERALES: Como consecuencia de que la derivada de una función )(xf es un límite y teniendo en
cuenta que algunas veces el límite no existe, pero sí existen sus límites laterales, se pueden definir las derivadas laterales de )(xf de la siguiente forma:
),(),()(
0 bax
ba
xf
∈
Derivada lateral por la derecha:
hxfhxf
xfh
xfhxfxf
hh
)()(lim)('
)()(lim)(' 00
00
00
00
−+=�−+=
→
+
→
++
Derivada lateral por la izquierda:
hxfhxf
xfh
xfhxfxf
hh −−−=�
−+=→
−
→
−−
)()(lim)('
)()(lim)(' 00
0000
00
Por tanto:
)(')(')(' 000−+ == xfxfxf
Una función es derivable en un intervalo abierto ( )ba, si lo es en todos los puntos del
intervalo.
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Ejemplo:
Sea ( )���
<−≥
==00
xsix
xsixxxf , entonces:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )���
���
�
−==−
=−+=
==−
=−+=
−−−
+++
→→→
−
→→→
+
1lim0
lim00
lim0'
1lim0
lim00
lim0'
000
000
h
h
h
h
hfhf
f
h
h
h
h
hfhf
f
hhh
hhh0=x se dice que es un
pico o un punto anguloso y la función no es derivable en dicho punto.
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Capítulo 3.4. FUNCIÓN DERIVADA: Sea una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, y derivable en el intervalo ( )ba, , se
puede componer una función )('xf que nos permita conocer el valor de la derivada de la función en un punto cualquiera de su dominio.
Ejemplo: • si kxf =)( :
0lim)()(
lim)('00
=−=−+=→→ h
kkh
xfhxfxf
hh
• si xxf =)( :
1limlim)()(
lim)('000
==−+=−+=→→→ h
hh
xhxh
xfhxfxf
hhh
• si nmxxf +=)( :
( )
( ) mmh
mhh
nmxnmhmxh
nmxnhxmh
xfhxfxf
hhh
hh
==−+++=
=−−++=−+=
→→→
→→
000
00
limlimlim
·lim
)()(lim)('
• si 2)( xxf = :
( )
( ) ( ) xxhh
xhhh
xhhh
xxhhxh
xhxh
xfhxfxf
hhh
hhh
22lim2·
lim2
lim
2limlim
)()(lim)('
00
2
0
222
0
22
00
=+=+=+=
=−++=−+=−+=
→→→
→→→
• si xxf =)( :
( ) ( )( ) ( )
xxhx
xhxhxhx
xhxhxhxxhxxhx
xhxxhx
hxhx
hxhx
hxfhxf
xf
h
hh
hhh
211
lim
·lim
···
lim
·limlim)()(
lim)('
0
0
22
0
000
=++
=
=++
−+=++
−+−+++=
=++++−+=−+=−+=
→
→→
→→→
• …
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Capítulo 3.4.1. RELACIÓN ENTRE DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD: Si una función )(xf es derivable en el punto 0x , )(xf es continua en ese punto.
[ ] 00)·('lim·)()(
lim·)()(
lim)()(lim 00
00
0
00
0000==−+=−+=−+
→→→→xfh
hxfhxf
hh
xfhxfxfhxf
hhhh
[ ]
)(lim)(lim
0)(lim)(lim
0)()(lim
0000
0000
000
xfhxf
xfhxf
xfhxf
hh
hh
h
→→
→→
→
=+
=−+
=−+
)()(lim 000xfhxf
h=+
→ Definición de continuidad
Sin embargo, no toda función continua es derivable. Ejemplo:
���
<−≥
==00
)(xsix
xsixxxf
en )(lim)0(00)(lim
0lim)(lim
0)0(
00
0
0
0
xffx
xxf
f
xx
x
x
x→
→
→→
=��
��
�
��
��
�
��
���
��
���
=−=
=
=
=−
+
en )0(')0('
0)0()0(
1lim)0()0(
lim)0('
0)0()0(
1lim)0()0(
lim)0('
0
00
00
−+
→→
−
→→
+
≠
����
�
����
�
�
����
�
����
�
�
���
=−=−
−=−
=−
−−=
���
==+
+==−+=
= ff
f
hhfh
hh
fhff
f
hhfhh
hfhf
f
x
hh
hh
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Capítulo 3.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES: • Las funciones elementales son derivables en su dominio
,...,ln,cos,,,),( xxxsenxaexP xx , excepto x , que es derivable en ( )∞,0 • La suma, recta, producto y composición de funciones derivables es una función
derivable gf ± , gf · , fog
• El cociente de funciones derivables es una función derivable excepto en los puntos que anulan al denominador
gf
Capítulo 3.5.1. OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVABLES: Si f y g son dos funciones derivables en un punto c , entonces:
• Suma: gf + es derivable en c
( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgf ''' +=+
• Producto por un escalar: f·α es derivable en c
( ) ( ) ( )cfcf '·'· αα =
• Producto: gf · es derivable en c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgcfcgf '··''· +=
• Cociente:gf
es derivable en c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2
''··'
cgcgcfcgcf
cgf −=��
���
• Polinomio: ( ) nn xaxaxaxaxaxP ·...···· 3
32
21
10
0 +++++= es derivable en c
( ) 123
121 ··...··3··2' −++++= n
n xanxaxaaxP
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Capítulo 3.6. DERIVADA DE LAS FUNCIONES COMPUESTAS. REGLA DE LA CADENA:
( ) ( )( )cgfcgc
RRR fg
→→→→
Si g es derivable en c y además f es derivable en ( )cg . Entonces se verifica que fog es
derivable en c y además se verifica lo siguiente: ( ) ( ) ( )( ) ( )cgcgfcfog '·'' = Ejemplo:
( ) ( )xsenxh 2=
( )xsenxx
RRR fg
22 →→→→
( ) ( )( ) ( ) ( ) 2·2cos'·'' xcgcgfxh ==
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Capítulo 3.7. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA:
( ) ( )( )cffcfc
RRR ff
11
1
−− →→→→
−
Sea f una función inyectiva y 1−f su función inversa. Si f es derivable en ( )cf 1− con
derivada distinta de cero, entonces 1−f es derivable en c y adermás se verifica:
( ) ( ) ( )( )cffcf 1
1
'1
' −− =
Capítulo 3.7.1. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL: • ( ) xxf alog=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )���
��� ==�=�=�=⇔=
===����
����
�
+=
=�
��
+=�
��
+=�
��
+
=�
��
+
=
=�
��
+
=−+=−+=
→→
→→→→
→→→
aae
xeaxeaeaxe
axaxe
xhxx
xh
xxhx
xhx
hxx
xhx
hx
xx
hx
hx
hxhx
hxfhxf
xf
xxa
ah
hx
ah
hx
ah
hx
ah
a
h
a
h
a
h
aa
hh
ln1
lnln
ln·lnlnlnlog
·ln1
ln1
·1
loglim·11
1loglim·1
1loglim·1
loglim·1
·loglim·
1log
lim
loglim
logloglimlim'
00
0000
000
• ( ) xaxg =
( ) ( )( ) ( ) aa
aaafxff
xg x
x
x ·ln
·ln11
'1
'1
' 1 ==== −
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Capítulo 3.7.2. DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y ARCOSENO: • ( ) ( )xsenxf =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xx
hxsenx
h
hxsen
hhx
hhxsen
hhsenx
hhsenxhxsen
hhsenxxsenhxsen
hxsenhsenxhxsen
hxsenhxsen
hxfhxf
xf
hhh
hhh
hh
hh
cos0cos2
·limcos2
·lim
·coslim
cos1·lim
·coslim
·cos1cos·lim
·cos·coslim
·cos·coslim
limlim'
0
2
00
000
00
00
=−=−=−=
=−−=+−=
=+−=−+=
=−+=−+=
→→→
→→→
→→
→→
• ( ) ( )xarcsenxg =
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2211
1
1
1cos
1'
1'
xxarcsensenxarcsenxffxg
−=
−=== −
Capítulo 3.7.3. DERIVADA DE LAS FUNCIONES COSENO Y ARCOCOSENO: • ( ) ( )xxf cos=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xsenxsenxsenhx
hhxsenx
h
hx
hhsenxsenx
hhx
hhsenxsenhx
hxhsenxsenhx
hxhx
hxfhxf
xf
h
hhhh
hh
hh
−=−=−−=
=−−=−−−=
=−−=−−=
=−+=−+=
→
→→→→
→→
→→
02
·coslim
·lim2
·coslim
·lim
cos1·coslim
·1cos·coslim
cos··coscoslim
coscoslimlim'
0
0
2
000
00
00
• ( ) ( )xarcsenxg =
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2211
1
arccoscos1
1arccos
1'
1'
xxxsenxffxg
−−=
−−=
−== −
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Capítulo 3.7.4. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TANGENTE Y ARCOTANGENTE:
• ( ) ( ) ( )( )xxsen
xtgxfcos
==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )xx
xsenxxx
xsenxsenxxxf 22
22
2 cos1
cos·coscos
cos··coscos
' =+=−−=
• ( ) ( )xarctgxg =
( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
11
11
coscoscos
1
coscos
1cos
cos1
cos11
'
x
xarctgtgxarctgxarctgsen
xarctgxarctg
xarctgxarctgsenxarctg
xarctgxarctgxarctgsen
xarctg
xg
+=
=+
=+
=+
=
=+
==
Ejemplo: Calcular la función derivada de:
• ( ) ( ) ( )241ln2·2 xxarctgxf +−=
( ) ( )( )
2222
22222
411·4
4144
414
414
41·28
414
8·412
1·
41
12·
411
·2'
xx
xx
xx
x
xx
xx
xxxxf
+−=
+−=
+−
+=
=+
−+
=++
−+
=
• ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2ln1·2ln
21·2
ln +−+=++= xtgxtg
xtgxtg
xg
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )xxsen
xxsenxxsenxxxsenxsen
xxsen
xxsen
xxxsen
xxsenx
xtgxtgxxtgxtgxtgx
xtgxtgxtgxtg
xxtgxtgxtgxtg
x
xtgxtgxxxtgxxtgxg
·cos·523
·cos·5·cos2·23
·cos2·cos·5·23
2cos
·5cos
·2·cos
3
2cos
·5cos
·2
3·
cos1
2·5·23
·cos
12·4·2
3·
cos1
2·1·21·24·2
·cos
12·1·2
1·22·2·
cos1
21
1·22
·cos
1cos
1·
21
cos1
·2·1·2
1'
2222
2
22
2
22
2222
22
222
+=
=++
=++
=
=
��
���
++
=++
=
=++
=+++
=
=++
−−+=++
+−+=
=��
���
+−
+=
+−
+=
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• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxhxxhxxh xx ++=�+=�+= ++ 1·ln1lnln1lnln1 1ln1ln
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �
��
+−+
−++−
+
++=++=
=++=+++=
=+
++=+
+=
++=
ex
ex
xx
x
xxxx
xxxxxx
xxx
xxhxh
xxxh
xh
1lnln1ln
11ln1ln1
1ln
1·1·ln21·1·ln2
1·1·ln21·1·1·ln21
1·1·ln2·1
11
·1·ln2·'
1·1
1·1·ln2'·
1
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 ·lnlnlnln xaax
arctgxjxaxjxaxj ax
arctgax
arctg +�
��
=�+=�+= �
��
�
��
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ��
���
�
��
+++=
=��
���
�
��
++++=
=����
����
�
+
�
��
+++=
=����
����
�
+
�
��
++
++=
=+
�
��
+++++=
=+
�
��
+++=
+�
��
+++=
+�
��
+++
=
=+
�
��
+++
=
�
��
−�
��
−�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
ax
arctgxxaaxa
ax
arctgxxaaxaxa
xaax
arctgxxaaxa
xaax
arctgx
xaxaa
xa
xax
ax
arctgxa
axaxa
xa
xax
ax
arctgxj
axaxa
xjxj
xax
ax
arctg
axaxa
xjxj
xax
ax
arctgxaa
axa
xjxj
xxaa
xarctgxa
aax
xjxj
arctga
xarctg
a
xarctg
ax
arctg
ax
arctg
a
xarctg
a
xarctg
·2·ln·
·2·ln··
·2·ln·
·2·ln
·
2··
ln·
2··
ln·'
2·
ln'·
1
2··ln
1·
1'·
1
2·1
··ln1
·1
1'·
1
22422
2212222
22
22
22
2222
2222
2222
22
2222
2222
22
2222
22
2222
2
22
2222
2
2
π
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Capítulo 3.8. TEOREMA DE ROLLE: Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo
abierto ( )ba, , verificando además que )()( bfaf = , entonces existe al menos un
punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica que 0)(' =cf .
• )(xf es constante
o 0)(')( =�= xfKxf o se verifica en todos los puntos del intervalo
• )(xf no es constante
y
x a b
f(a) f(b)
c
y
x a b
f(a) f(b)
c
y
x a b
f(a) f(b)
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Capítulo 3.8.1. TEOREMA DE CAUCHY: Si dos funciones, )(xF y )(xf son continuas en el intervalo cerrado [ ]ba, , derivables
ambas en el intervalo abierto ( )ba, y sus derivadas no se anulan simultáneamente en un punto
interior [ ]bac ,∈ , se verifica que:
)(')('
)()()()(
cFcf
aFbFafbf =
−−
( )ba <<<
Demostración: Sea la función [ ] [ ])()()·()()()·()( aFbFxfafbfxFxG −−−=
• )(xG es continua en [ ]ba,
• )(xG es derivable en ( )ba, , [ ] [ ])()()·(')()()·(')(' aFbFxfafbfxFxG −−−=
• )()( bGaG =
[ ] [ ]
)()·()()·()()·()()·()()·()()·(
)()()·()()()·()(
bFafbfaF
aFafbFafafaFbfaF
aFbFafafbfaFaG
−=+−−
=−−−=
[ ] [ ]
)()·()()·()()·()()·()()·()()·(
)()()·()()()·()(
afbFaFbf
aFbfbFbfafbFbfbF
aFbFbfafbfbFbG
−=+−−
=−−−=
Luego es aplicable el Teorema de Rolle: [ ] [ ]
[ ] [ ]
)(')('
)()()()(
)()()·(')()()·('0)()()·(')()()·(')('
cFcf
aFbFafbf
aFbFcfafbfcF
aFbFcfafbfcFcG
=−−
−=−=−−−=
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Capítulo 3.9. TEOREMA DE LAGRANGE, DEL VALOR MEDIO O DE LOS INCREMENTOS FINITOS:
Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo
abierto ( )ba, , entonces existe un punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica:
)(')()(
cfab
afbf =−−
( )ba <<<
Demostración: Aplicando el Teorema de Cauchy a )(xf y xxF =)( :
1)('1)(')()(
1)(')()(
)(')('
)()()()(
=→===
=−−→=
−−
cFxF
aaF
bbF
cfab
afbfcFcf
aFbFafbf
Interpretación gráfica: En todo arco de curva, con tangente en todos los puntos, existe al menos un punto en el
cual la tangente es paralela a la cuerda.
( ) ( ) ( )ab
afbftg
−−=α
x
y
a b c
A
B
�
b-a
f(b)-f(a)
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Capítulo 3.10. APLICACIONES: Capítulo 3.10.1. TEOREMAS DE BOLZANO Y ROLLE: Problema: Demostrar que una ecuación polinómica 0354 234 =−++ xxx tiene una solución real
única. Encontrar un intervalo que contenga dicha solución real. Solución: Vamos a estudiar, en primer lugar, la derivada primera de la función:
( )( ) ( )
( ) ( )��
��
�
−±−=−±−=�=++
==++�=
++=++=
−++=
446
45·2·466
0562
0056220'
562210124'
354
22
2
223
234
xxx
x
xxxxf
xxxxxxxf
xxxxf
Hemos obtenido que dicha función alcanzará un máximo o un mínimo en el punto 0=x .
Vamos a buscar un punto en el entorno de dicho punto en el cual podamos aplicar el Teorema de Bolzano:
Por tanteo:
( )( ) �
��
>=−++=<−=
0735411030
f
f
Hemos encontrado un punto 1=x cuyo signo difiere de signo de la raíz de ( )xf ' . Por
tanto, podemos aplicar el Teorema de Bolzano: Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]1,0 al ser polinómica.
• ( )xf es derivable en ( )1,0 por la misma justificación.
• ( ) ( ) 0217·31·0 <−=−=ff Tesis:
( ) ( ) 01,0 =∈∃ cfc Demostrada la existencia de al menos una raíz, vamos a demostrar que es única. Para lo
cual supondremos la existencia de una segunda raíz '' ccc < y aplicaremos el Teorema de
Rolle en el intervalo [ ]',cc : Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]',cc al ser polinómica
• ( )xf es derivable en ( )',cc por la misma justificación anterior.
• ( ) ( ) 0'== cfcf , supuesto. Tesis:
( ) ( ) 0'', =∈∃ mfccm
( ) xxxxf 10124' 23 ++=
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( )( )
( )
( )
��
�
��
�
�
���
���
�
−−
+−±−=−±−=�=++
∈=
=++�
�=++���
=++=
3323
426
446
0562
',0
05622
0101240'
10124'
22
2323
i
ii
mmm
ccm
mmm
mmmmf
mmmmf
Como la tesis no se verifica, las hipótesis iniciales tienen que fallar necesariamente. De
estas hipótesis, el único supuesto que hemos considerado es la existencia de una segunda raíz 'c por lo que dicha suposición será falsa y por tanto la ecuación 0354 234 =−++ xxx tendrá una única raíz ( )1,0∈c .
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Capítulo 3.10.2. TEOREMA DE LAGRANGE: Problema: Demostrarar que se cumple la desigualdad:
( ) xxx
x <+<+
1ln1
; 0>x
Solución: Para llevar a cabo la demostración vamos a aplicar el Teorema de Lagrange la
función ( ) ( )xxf ln= en el intervalo [ ]1,1 +x (la elección del intervalo se “tantea” para que la expresión del Teorema de Lagrange se asemeje a la desigualdad). Así pues:
Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]1,1 +x .
• ( )xf es derivable en ( )1,1 +x . Tesis:
( ) ( ) ( ) ( )11
11'1,1
−+−+=+∈∃
xfxf
cfxc
( )x
xf1
' =
( ) ( ) ( )
xx
xx
c+=−+= 1ln1ln1ln1
Hemos obtenido una identidad. Sin embargo, debemos demostrar una desigualdad, para
lo cual hemos de considerar el intervalo de existencia de c , ( )xc +∈ 1,1 :
xc +<< 11 Operando, llegaremos a una expresión de c similar a la que aparece en la identidad
hallada aplicando el Teorema de Lagrange:
11
11
111
11
<<+
+>>
cx
xc
Sustituyendo( )
xx
c+= 1ln1
:
( )1
1ln1
1 <+<+ x
xx
Y finalmente, multiplicando todos los términos de la expresión por 0>xx :
( ) xxx
x <+<+
1ln1
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Capítulo 3.11. REGLA DE L´HÔPITAL:
• Indeterminación00
�
��
==→→ 0
0)()(
lim)()(
limafaF
xfxF
axax
���
→→
→0)(0)(
xf
xFax
)()()()(
)()(
afxfaFxF
xfxF
−−= , aplicando el Teorema de Cauchy:
)(')('
)()()()(
cfcF
afxfafxF =
−−
( )ba <<<
)(')('
)(')('
lim)()()()(
lim)()(
limafaF
cfaF
afxfaFxF
xfxF
axaxax==
−−=
→→→
Si un cociente de funciones toma la forma00
)()(
lim)()(
lim ==→→ af
aFxfxF
axax, se
obtiene el verdadero valor de dicho límite calculando:
)(')('
)(')('
lim)()(
limafaF
cfaF
xfxF
axax==
→→
Ejemplo:
121
242
241·2
24cos2
lim00
242
lim
00
122cos2
lim00
422
lim00cos22
lim
00
20304
2
0
−=−=−=−=�
��
=−=
=�
��
=−=�
��
=−=�
��
=−−
→→
→→→
xx
senx
xx
xxsenx
xxx
xx
xxx
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• Indeterminación∞∞
�
��
∞∞==
→→ )()(
lim)()(
limafaF
xfxF
axax
���
���
�
=∞
→�∞→
=∞
→�∞→→
01
)(1
)(
01
)(1
)(
xfxf
xFxF
ax
[ ]
[ ]
[ ][ ]
22
2
2
2
2
)()(´
lim·)(')('
lim)()(
·)(')('
lim
)()·(')()·('
lim
)()('
)()('
lim00
)(1
)(1
lim)()(
lim
��
���
�=�
�
���
�
==−
−=�
��
==
→→→
→→→→
xfxF
xfxF
xfxF
xfxF
xFxfxfxF
xfxf
xFxF
xf
xFxfxF
axaxax
axaxaxax
si:
)(')('
lim
)(')('
1lim
)(')('
lim
1·
)(')('
lim)()(
lim 2
xFxf
xfxF
xfxF
llxfxF
llxfxF
axax
ax
axax →→
→
→→===→=→=
Ejemplo:
21
cos2cos·
lim00
2·cos
lim2·
1
·cos1
limln
lnlim
00
2
020=+−=�
��
===�
��
∞∞=
→→→→ xxsenxx
senxxx
xx
xsenx
xsenx
xxxx
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• Indeterminación ∞·0 ( )∞=
→·0)()·(lim xFxf
ax
���
∞→→
→)(
0)(xF
xfax
Se pasa a:
���
�
���
�
�
���
�
���
�
�
�
��
∞∞=∞==→
∞∞
�
��
=
∞
==→
→→
→→
01
)(1
)(lim)()·(lim
00
10
)(1
)(lim)()·(lim
00
xf
xFxFxf
xF
xfxFxf
axax
axax
y se
aplica L´Hôpital. Ejemplo:
( )
����
�
����
�
�
=−=−=→∞∞
�
��
=→
=∞=
→→→
→
→
0)(lim1
1
lim1
lnlim
00
ln1
lim00
·0lnlim
0
2
00
0
0
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxx
x
x
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• Indeterminación ∞−∞ [ ] ( )∞−∞=−
→)()(lim xfxF
ax
���
∞→∞→
→)()(
xf
xFax
( )0·)(
1)(
1)()·(lim ∞=�
�
���
�−
→ xFxfxFxf
ax
Se pasa a00
ó∞∞
y se aplica L´Hôpital.
Ejemplo:
( )
020
0110
coscoslim
00
cos1cos
lim00
·lim
11lim
0
000
==++
=−+
−=
=�
��
=+
−=�
��
=−=∞−∞=�
��
−
→
→→→
xsenxxxsenx
xxsenxx
senxxxsenx
senxx
x
xxx
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• Indeterminaciones 00 , ∞1 , 0∞
[ ] )()(lim xf
axxF
→
000)(0)(
���
���
→→
→xf
xFax
∞
���
���
∞→→
→ 1)(
1)(xf
xFax
0
0)()(
∞���
���
→∞→
→xf
xFax
[ ] lxF xf
ax=
→
)()(lim . Tomamos neperianos:
[ ] [ ] )()·ln(lim)(lnlim)(limln )()( xFxfxFxFlax
xf
ax
xf
ax →→→=== ; de la
forma ∞·0 se pasa a00
ó∞∞
y se aplica L´Hôpital y su límite es K .
queda: [ ] )(ln)(lim)()(limlnxFxfxf
ax
k axexFlelkx →==→=→=→
.
Ejemplo:
( ) ksenx
xex ==
→
0
00lim
( )
1lim01
010
0cos·
·cos·2lim
coslim
cos
1
lim1
lnlim·0lnlim
0
00
2
0
2
000
===→=−
=−
=−
=
=−
=−==∞==
→→
→→→→
eexxsenxx
xsenx
xxxsen
xsenx
x
senx
xxsenxK
ksenx
xx
xxxx
( ) kx
xex ==+ ∞
→1)51(lim 21
0
( )52521
0
000
)51(lim
25
2
5·51
1
lim00
2)51ln(
lim0·)51ln(21
lim
eeex
xx
xx
xK
kx
x
xxx
===+→
→=+=�
��
=+=∞=+=
→
→→→
( ) kx
xex =∞=
∞→
01lim
( )
1lim
011
lim1
1
limln
lim·0ln1
lim
01 ===→
→=∞
===�
��
∞∞==∞==
∞→
∞→∞→∞→∞→
eex
xx
xx
xx
K
kx
x
xxxx
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Capítulo 3.12. DERIVADAS N – ÉSIMAS: La derivada n-ésima de una función )(xf es una expresión matemática que nos permite
determinar )()( xf n sin necesidad de operar y con sólo sustituir el valor n en la expresión. Para hallar dicha expresión es necesario determinar la ley de composición de las
sucesivas derivadas. El cálculo de la derivada n-ésima de una función se basa en dos propiedades: • )()()( ···· nnn gfFgfF βαβα +=→+=
• )()0()2()2()1()1()0()()( ··....··2
··1
··0
· nnnnn gfn
ngf
ngf
ngf
nFgfF ��
���
++��
���
+��
���
+��
���
=→= −−
Fórmula de Leibniz Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nnnn
IV
IIIIII
xn
xny
xxy
xxyxyxyxy
!1·1!·1·1
...·3·2·1·1·3·2·1
·2·1·1·2·1·1ln
11
434
32321
−−=−−=
−=−−−=
−=−−=→−=→=→=
−−−
−−
−−−−
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Capítulo 3.12.1. DERIVADAS N – ÉSIMAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Seno:
�
��
+=�==
�
��
+=
�
��
+=�
��
++=�
��
+=
�
��
+=�
��
++=�
��
+=
�
��
+==
==
2·)(
2
...2
322
22
2cos'''
22
222cos''
2cos'
)(
)(
)(
π
π
ππππ
ππππ
π
nkxsenkysenkxxfy
nxseny
xsenxsenxy
xsenxsenxy
xsenxy
senxxfy
nn
n
Coseno:
�
��
+=�==
�
��
+=
�
��
+=�
��
++=�
��
+−=
�
��
+=�
��
++=�
��
+−=
�
��
+=−=
==
2·coscos)(
2cos
...2
3cos
222
cos2
2'''
22
cos22
cos2
''
2cos'
cos)(
)(
)(
π
π
ππππ
ππππ
π
nkxkykxxfy
nxy
xxxseny
xxxseny
xsenxy
xxfy
nn
n
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Desarrollo de Leibniz:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( )( )( ) 2
122
122
1222
12)(
212
212
)(
27
25
23
21
)2(
)1(
)0(
)2()2(
21
)1()1(
21
)0()(
21
)(
21
21
1·2
!!32·
1·2
!!12·11·
1·2
!!11·2·1·
1·2
!!12·1)(
1·2
!!121·
2!!12
...
1·1·1·1·25
·23
·21
'''
1·1·1·23
·21
''
1·1·21
'
1
01
11
11
21·
!21·
!2!·2!2·1·
!2!·2!
2
!1!1!·1!1·
!1!·1!
1
1!0
1!0!·
!0
0...01·1·2
1·1·1
1·1·0
)(
·1·11·1)(
11
−++−+
+
+−
−
−
−
−
−−
−−−
−−
−
−+−
−−=−
−−++−
−=
�������
�
�������
�
�
−
−=−−=
−−−−�
��
−�
��
−�
��
−=
−−−�
��
−�
��
−=
−−�
��
−=
−=
���
���
�
=+
=+
+=+
����
�
����
�
�
−=−=−
−−=−
=��
���
==−
−=−
=��
���
===��
���
++++�
��
−��
���
+
++�
��
−��
���
++�
��
−��
���
=
=+−=−+=
−+=
nnnnn
n
nn
n
nnn
x
nn
x
nx
x
nnx
x
nxF
x
nx
ny
xy
xy
xy
xy
x
x
xx
nnnnn
nnnn
nn
nn
nnn
nnn
nnn
xxn
xxn
xxn
xF
gfxxxxxF
xx
y
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Capítulo 3.13. POLINOMIO DE TAYLOR: Sea una función )(xf continua en [ ]ba, y con derivadas continuas hasta el orden n en un
punto ( )bax ,0 ∈ . Entonces existe a lo sumo un único polinomio a lo sumo de grado n que cumple las siguientes condiciones:
• ( ) ( )00 xfxPn =
• ( ) ( )00 '' xfxPn =
• ( ) ( )00 '''' xfxPn =
• ( ) ( )00 '''''' xfxPn =
• …
• ( ) ( )0)(
0)( xfxP nn
n = Y viene expresado por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )�=
−=
=−++−+−+−+=
n
k
kk
nn
n
xxk
xf
xxn
xfxx
xfxx
xfxx
xfxfxP
00
0)(
00
)(3
002
00
00
0
·!
·!
...·!3
'''·
!2''
·!1
'
Es decir, se trata de aproximar una función en el entorno de un punto 0x por un
polinomio.
f(x)
P(x)
x0 x0-� x0+� x
y
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Capítulo 3.13.1. POLINOMIO DE MCLAURIN: Es un caso particular del polinomio de Taylor cuando 00 =x :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )�
=
=
=+++++=
n
k
kk
nn
n
xk
f
xn
fx
fx
fx
ffxP
0
)(
)(32
·!0
·!0
...·!30'''
·!20''
·!10'
0
Capítulo 3.13.2. FÓRMULA DE TAYLOR: Se trata de desarrollar una función en el entorno de un punto 0xx = . Definición: a) Sea una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, y con derivadas continuas hasta
el orden n en todo punto [ ]bax ,0 ∈ y con derivada finita de orden 1+n en un punto
interior de ( )ba, , entonces [ ] ( ) *,,, 00 xxcbax ∈∃∈∀
b) Sea )(xf una función derivable hasta el orden 1+n inclusive en el entorno de un
punto [ ]bax ,0 ∈ , entonces se verifica que [ ] ( ) *,,, 00 xxcbax ∈∃∈∀
(*)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 1
0
)1(
00
)(
30
020
00
00
·!1
·!
...·!3
'''·
!2''
·!1
'
++
−+
+−+
++−+−+−+=
nn
nn
xxn
cfxx
nxf
xxxf
xxxf
xxxf
xfxf
f(x)
P(x)
x0 x0-� x0+�
x
y
a b x c
Error=Rn(x)
f(x)=P(x) + Rn(x)
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Siendo el elemento( )
( ) ( ) 10
)1(
·!1
++
−+
nn
xxn
cfel resto o término complementario según
Lagrange. ( )( )xRn
( )
( )1,0
,
0
0
0
∈∆+=
+=∈
θθθ
xxc
hxc
xxc
( ) ( ) ( )( ) ( ) 1
0
)1(
0 ·!1
++
−+
=−= nn
nn xx
ncf
xxoxR
Fórmula simbólica ( )( ) ( )�
�
��
�
−→
−n
n
n
xxxR
o
xxo
0
0
que erápidament más 0:que Indica
Peanosegún ariocomplement términoo RestoLandau de pequeña
Justificación:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )nn
nn
xxnn
xx
nn
nn
xxxR
xxxR
xxxPxf
xxoxPxf
xxoxPxf
0'
0'0'
0'
0'
0limlim00
−<<<
=−
=−−
−=−
−+=
→→
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Capítulo 3.13.3. FÓRMULA DE MCLAURIN: Si el desarrollo se hace en el entorno del origen 00 =x , se obtiene la fórmula de
McLaurin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )��
�
��
�
�
∈∆=
=∈
+++++++= +
+
1,0
,0
·!1
·!0
...·!30'''
·!20''
·!10'
0 1)1()(
32
θθθ
xc
hc
xc
xn
cfx
nf
xf
xf
xf
fxf nn
nn
Fórmula de Taylor:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1
0
)1(
00
0)(
·!1
·!
++
=
−+
+−=� nnn
k
kk
xxn
cfxx
kxf
xf
Fórmula de McLaurin:
( ) ( ) ( )( )
1)1(
0
)(
·!1
·!0 +
+
= ++=� n
nn
k
kk
xn
cfx
kf
xf
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Capítulo 3.13.4. ACOTACIÓN DEL RESTO: El resto acotado es una medida del error que se comete al sustituir una función ( )xf por
su polinomio de Taylor, ( )xPn . • Taylor:
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) Mcf
xxnM
xxcfn
xxn
cfxRError
xxxc
xxn
cfxR
n
nnnnn
n
nn
n
≤
−+
≤−+
=−+
==
���
�
���
�
�
∈−+=
−+
=
+
+++++
++
)1(
10
10
)1(10
)1(
00
10
)1(
·!1
··!1
1·
!1
1,0
·!1
θθ
• McLaurin:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) Mcf
xnM
xcfn
xn
cfxRError
xc
xn
cfxR
n
nnnnn
n
nn
n
≤
+≤
+=
+==
���
�
���
�
�
∈=
+=
+
+++++
++
)1(
11)1(1)1(
1)1(
·!1
··!1
1·
!1
1,0
·!1
θθ
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Capítulo 3.13.5. APLICACIONES: Problema: Obtener 1cos con un error menor que 710− . Solución: En primer lugar vamos a calcular la derivada n-ésima de la función coseno necesaria en
la expresión del la fómula de Taylor.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )�
��
+=�
��
+=
=→�
��
+=
=→�
��
+=
−=→�
��
+=�
��
+−=
=→�
��
+=−=
=→=
2·2
cos2·
cos
...
...
102
4cos
002
3cos
102
2cos
2
002
cos
10cos
)( ππ
π
π
ππ
π
nx
nxxf
fxxf
fxxf
fxxsenxf
fxxsenxf
fxxf
n
IVIV
IIIIII
IIII
II
Escribimos la fórmula de McLaurin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )1212
2642
10
)1(
00
)(
30
020
00
00
·!12
212cos
·1!2
·1!6!4!2
1
·!1
·!
...·!3
'''·
!2''
·!1
'
++
++
+
�
��
++−+−+−+−=
=−+
+−+
++−+−+−+=
nnn
n
nn
nn
xn
nc
nxxxx
xxn
cfxx
nxf
xxxf
xxxf
xxxf
xfxf
π
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Y acotamos el error:
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )712
712
71212
7
10··!12
1
12
12cos112
12·cos
10··2
12·cos·!12
1
10·!12
212cos
·1
10
−+
−+
−++
−
<+
≤�
��
++≤���
−⇔≤�
��
++
<�
��
+++
<+
�
��
++−
<
n
n
nn
xn
ncnc
xncn
xn
nc
Error
ππ
π
π
Se evalúa el error para 1=x :
( )710
!121 −<+n
La inecuación obtenida se resuelve por tanteo:
8
6
4
3
10·5,25
10·75,24
10·98,13
10·33,82
166,01
−
−
−
−
→=
→=
→=
→=
→=
n
n
n
n
n
Cogemos 6 términos en el desarrollo ya que observando el término general, ( )!2
·12
nx n
n− ,
la n empieza en cero para obtener el primer término del desarrollo.
!101
!81
!61
!41
!21
11cos −+−+−=
Los términos hay que cogerlos con 8 decimales para que los 7 primeros decimales sean
exactos, y si hay error, éste estaría en el octavo.
54032303,0!10
1!8
1!6
1!4
1!2
111cos ≈−+−+−=
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Problema: A tomar como valor aproximado de la función ( ) ( )xxf += 1ln el
polinomio ( )2
2
2
xxxP −= se comete un error. Calcular dicho error cuando 110−≤x .
Solución: Escribimos la fórmula de McLaurin:
( )
( )2
1ln
...432
1ln
2
432
xxx
xxxxx
−≈+
+−+−=+
Luego, el resto vendría dado por la expresión:
( )( )( )
( ) !3·1·2
·!3 3
33
3
2 cx
xcf
xR+
==
Acotamos el error:
( ) ( )33
33
3
··!3
2·
11
·!3
2!3·1
·2xx
ccx
error ≤+
=+
=
Evaluamos el error en 110−≤x :
( )3000
110·
!32
101 31
2 =≤�
��
= −Rerror
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Problema:
Cuando se toma como ( )xcos el valor aproximado del polinomio ( )!4!2
142
4
xxxP +−= ,
¿qué valor debe tener x para que se cometa un error menor que 510− ? Solución: En primer lugar vamos a calcular la derivada n-ésima de la función coseno necesaria en
la expresión del la fómula de Taylor.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )�
��
+=�
��
+=
=→�
��
+=
=→�
��
+=
−=→�
��
+=�
��
+−=
=→�
��
+=−=
=→=
2·2
cos2·
cos
...
...
102
4cos
002
3cos
102
2cos
2
002
cos
10cos
)( ππ
π
π
ππ
π
nx
nxxf
fxxf
fxxf
fxxsenxf
fxxsenxf
fxxf
n
IVIV
IIIIII
IIII
II
Escribimos la fórmula de McLaurin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )1212
2642
10
)1(
00
)(
30
020
00
00
·!12
212cos
·1!2
·1!6!4!2
1
·!1
·!
...·!3
'''·
!2''
·!1
'
++
++
+
�
��
++−+−+−+−=
=−+
+−+
++−+−+−+=
nnn
n
nn
nn
xn
nc
nxxxx
xxn
cfxx
nxf
xxxf
xxxf
xxxf
xfxf
π
( )!4!2
1cos42 xx
x +−≈
El resto vendrá dado por:
( ) ( ) 9994 !9
2·9
cos
!92·9
cos·1 x
cx
cxR
�
��
+−=
�
��
+−=
ππ
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Acotando el error:
96288,3ln
96288,3ln
96288,3ln
96288,3ln
ln
9
9
59
59
59
5
99
96288,3ln
ln
6288,3ln·ln9
6288,3lnln
6288,3
10!·9
10·1·!9
1
12·9
cos112·9
cos
10·2·9
cos·!9
1
10
·2·9
cos·!9
1!9
2·9
cos
≤≤−
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
���
≤�
��
+≤−⇔≤�
��
+−
<�
��
+−
���
�
���
�
�
<
�
��
+−=�
��
+−=
−
−
−
−
xe
ex
ee
x
x
x
x
x
x
cc
xc
error
xcxc
error
x
ππ
ππ
π
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Cálculo de límites utilizando desarrollos limitados de McLaurin:
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )( ) 27
12·3·9
2!3·9!2·1
!29!3
1
!481
!29
!5!31
lim
!481
!29
·
!5!31
·lim
!481
!29
!5!3lim
!43
!23
11·
!5!3lim
...!4
3!2
311·
...!5!3
lim3cos1·
lim
...!4
3!2
313cos
...!4!2
1cos
...!5!3
00
3cos1·lim
3
52
3
52
0
3
523
3
523
05
53
553
04
42
553
0
442
553
00
442
442
553
0
====+−
+−=
=
��
���
+−
��
���
+−
=+−
+−=
��
���
�+−+−
+−+−=
=
���
�
���
�
��
���
+++−−
��
���
+++−−
=−−
���
�
���
�
�
+++−≈
+++−≈
+++−≈
�
��
=−−
→
→→→
→→
→
xxx
xxx
xxx
x
xxx
x
xoxx
xxx
xoxx
x
xxx
xx
xoxx
x
xoxx
xx
xxsenxx
xoxx
x
tott
t
xoxx
xsenx
xxsenxx
x
xxx
xx
x
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Capítulo 3.14. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN: Se dice que una función )(xf es estrictamente creciente en un punto ax = , si en un
entorno ),( haha +− se verifica que: )()()( hafafhaf +<<− ; es decir, si a un
incremento positivo de )(xh se corresponde un incremento positivo de )(xf . Y se dice que es creciente si verifica )()()( hafafhaf +≤≤− .
x
y
a a+h a-h
f(a)
f(a+h)
f(a-h)
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De una manera similar, se dice que una función )(xf es estrictamente decreciente en un
punto ax = , si en un entorno ),( haha +− se verifica que: )()()( hafafhaf +>>− ; es
decir si a un incremento positivo de )(xh le corresponde un incremento negativo de )(xf . Y se dice que es decreciente si verifica )()()( hafafhaf +≥≥− .
x
y
a a+h a-h
f(a)
f(a+h)
f(a-h)
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Teorema 1: Sea el intervalo abierto ( )baIRI ,=⊂ y f derivable en dicho intervalo. Entonces:
• Si ( ) fIxxf �∈∀> ,0' es estrictamente creciente en I .
si 0>h , será:
0)('
0)()(
lim
0)()(
0)()(
0
>
>−+
>−+>−+
→
xfh
xfhxfh
xfhxf
xfhxf
h
• Si ( ) fIxxf �∈∀< ,0' es estrictamente decreciente en I .
si 0<h , será:
0)('
0)()(
lim
0)()(
0)()(
0
<
<−+
<−+<−+
→
xfh
xfhxfh
xfhxf
xfhxf
h
• Si ( ) fIxxf �∈∀= ,0' es constante en I .
si 0=h :
0)('
0)()(
lim
0)()(
0)()(
0
=
=−+
=−+=−+
→
xfh
xfhxfh
xfhxf
xfhxf
h
Ejemplo:
( )
( )( )( )( )�
�
��
�
<<==>>
=
=
00'00'00'
'
2
xsixf
xsixf
xsixf
xf
xxf
Teorema 2: Sea el intervalo cerrado [ ]baIRI ,=⊂ y f derivable en el abierto ( )ba, y continua en
el cerrado [ ]ba, . Entonces:
• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀> ,,0' es estrictamente creciente en [ ]baI ,= .
• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀< ,,0' es estrictamente decreciente en [ ]baI ,= .
• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀= ,,0' es constante en [ ]baI ,= .
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Teorema 3: Si RRf →: presenta en un punto cx = un máximo o mínimo local o relativo
entonces: • ( ) 0' =cf ó • ( )cf '∃/ La implicación en el sentido contrario no es cierta. Contraejemplo 1:
( )( )( ) 003
0'3' 2
2
3
=�=���
==
=
xxxf
xxf
xxf
El punto 0=x es un candidato a máximo o mínimo. ¿Se produce en un entorno de dicho punto un cambio en el carácter creciente o
decreciente de la función? ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0,0000
0,0000fxfxfxfx
fxfxfxfx
<<∀�=<<>>∀�=>>
No existe máximo o mínimo.
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Contraejemplo 2:
( )( )
( )0'·3
1'
3 2
3
fx
xf
xxf
∃/
=
=
El punto 0=x es un candidato a máximo o mínimo. ¿Se produce en un entorno de dicho punto un cambio en el carácter creciente o
decreciente de la función? ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0,0000
0,0000fxfxfxfx
fxfxfxfx
<<∀�=<<>>∀�=>>
No existe máximo o mínimo. Capítulo 3.14.1. DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO: Decimos que cx = es un punto crítico de RRf →: si se verifica:
• ( ) 0' =cf ó
( )cf '∃/ Capítulo 3.14.2. CRITERIO DE LA DERIVADA PRIMERA: Sea c un punto crítico de f y f continua en cx = , si ( )δ,cE∃ :
• si( ) ( )( ) ( ) f
ccxxf
ccxxf�
���
���
+∈∀<−∈∀>
δδ
,,0',,0'
presenta en cx = un máximo local o relativo de
valor ( )cf .
• si( ) ( )( ) ( ) f
ccxxf
ccxxf�
���
���
+∈∀>−∈∀<
δδ
,,0',,0'
presenta en cx = un mínimo local o relativo de
valor ( )cf . Capítulo 3.14.3. CRITERIO DE LA DERIVADA N – ÉSIMA: Sea RRf →: , ( )baIRI ,=⊂ si cx = es un punto crítico de f y ( ) ( )ICf n∈ .
Si Ic ∈ y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 1 ===== − cfcfcfcf nIIIIII y ( ) ( ) 0≠cf n : • si n es par:
o si ( ) ( ) fcf n �> 0 presenta en cx = un mínimo local o relativo de
valor ( )cf .
o si ( ) ( ) fcf n �< 0 presenta en cx = un máximo local o relativo de
valor ( )cf . • si n es impar: no presenta máximo o mínimo.
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Ejemplo:
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0024
0024
0012
004
04
2
3
3
4
≠�=
=�==�=
=���
���
��
���
=
=�=
=
IVIV
IIIIII
IIII
II
fxf
fxxf
fxxf
xx
xfxxf
xxf
4=n (par) y ( ) ( ) 02401 >=−nf (máximo). Capítulo 3.14.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN EL EXTREMO: Para RRf →: definimos intervalos de la forma [ ]ba, , [ )∞,a , ( ]b,∞− , los
extremos finitos pueden dar lugar a máximos y mínimos en el extremo. Sea ax = extremo finito inferior de domf :
• f presenta en ax = un mínimo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfafaE ≤∃ + δ, ,
( )δ,aEx +∈∀ .
• f presenta en ax = un máximo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfafaE ≥∃ + δ, ,
( )δ,aEx +∈∀ . Sea bx = extremo finito superior de domf :
• f presenta en bx = un mínimo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfbfbE ≤∃ − δ, ,
( )δ,bEx −∈∀ .
• f presenta en bx = un máximo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfbfbE ≥∃ − δ, ,
( )δ,bEx −∈∀ . Capítulo 3.14.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS: • Decimos que un punto cx = es máximo absoluto de RRf →: si y sólo
si ( ) ( ) domfxxfcf ∈∀≥ ,
• Decimos que un punto cx = es mínimo absoluto de RRf →: si y sólo
si ( ) ( ) domfxxfcf ∈∀≤ , Para calcular el máximo absoluto tomamos el mayor de los máximos locales y en el
extremo, si los hay. Para calcular el mínimo absoluto tomamos el menor de los mínimos locales y en el
extremo, si los hay.
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Capítulo 3.14.6. INTERVALOS DE MONOTONÍA: Se definen intervalos de monotononía como intervalos abiertos que dividen al domino de
definición de una función. Los estremos de dichos intervalos con puntos críticos consecutivos de f . Si domf∈∞± , han de tenerse en cuenta a la hora de formar estos intervalos.
En cada uno de ellos la función es derivable y su signo no varía. Por tanto, para
determinar el signo de la derivada primera en un intervalo de monotonía basta tomar un punto interior y el signo que adquiere la derivada primera en el intervalo es igual al signo de la derivada primera del punto.
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Capítulo 3.15. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: Sea la función RRf →: y el intervalo abierto ( ) RbabaIRI ∈∀=⊂ ,,, . Se dice que la función es cóncava en el intervalo o que vuelve su concavidad hacia la
parte positiva del eje de ordenadas cuando al trazar la cuerda que une los puntos ( )[ ]afa, y
( )[ ]bfb, está queda por encima de la gráfica de la función.
x
y
b a
[a,f(a)]
[b,f(b)]
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De manera similar, se dice que la función es convexa o que vuelve su concavidad hacia la parte negativa del eje de ordenadas cuando al trazar la cuerda que une los puntos ( )[ ]afa, y
( )[ ]bfb, está queda por debajo de la gráfica de la función.
Teorema: Si RRf →: , f es derivable dos veces en RI ⊂ , entonces:
• ( ) fIxxf �∈∀> ,0'' es cóncava en I .
( )xf ' pasa de negativa a positiva, es una función creciente y su derivada ( )( )xf '' es
la de una función creciente que es positiva, ( ) 0'' >xf ; por tanto, es cóncava en I .
• ( ) fIxxf �∈∀< ,0'' es convexa en I .
( )xf ' pasa de positiva a negativa, es una función decreciente y su
derivada ( )( )xf '' es la de una función decreciente que es negativa, ( ) 0'' <xf ; por
tanto, es convexa en I .
x
y
b a
[a,f(a)]
[b,f(b)]
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Capítulo 3.15.1. PUNTO DE INFLEXIÓN: Sea RRf →: . Decimos que un punto cx = es un punto de inflexión de ( )xf si
cx = separa arcos de distinta curvatura, es decir:
( ) ( ) ( ) opuestas esconcativad tiene,y,, δδδ +−∃ cccccE
Teorema: Sea RRf →: . y sea cx = un punto de inflexión de ( )xf , entonces:
• ( ) 0'' =∃/ cf ó • ( ) 0'' =cf El recíproco no es cierto. Capítulo 3.15.2. INTERVALOS DE CONCAVIDAD: Son intervalos abiertos del dominio de f cuyos extremos son puntos críticos
consecutivos de la función 'f ( ) ( )( )0'',0'' ==∃/ cfcf . Si domf∈∞± , han de tenerse en
cuenta a la hora de formar estos intervalos. En cada uno de dichos intervalos f es derivable dos veces y el signo de la derivada segunda es constante. Así pues, para determinar el signo de la derivada segunda en cada intervalo basta tomar un punto interior al intervalo y el signo que adquiere la derivada segunda en el intervalo es igual al signo de la derivada segunda en el punto.
x
y
c+� c-�
f(c-�)
[b,f(b)]
c
f(c)
f(c+�)
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Capítulo 3.16. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EXPLÍCITAS, ( ))(xfy = :
1. Dominio o campo de existencia:
Conjunto de valores de x para los cuales está definida la función.
si)()(
)(xgxh
xf = , no está definida para los valores de x que hacen 0)( =xg
si n xgxf 2 )()( = , no está definida para los valores de x que hacen 0)( <xg
si )(log)( xgxf n= , no está definida para los valores de x que hacen 0)( ≤xg
2. Simetrías: respecto al eje OX:
si es )(xgy ±=
Ejemplo: 22222 111 xyxyyx −±=→−=→=+
respecto al eje OY: si )()( xfxf =− (Función par)
x
y
f(x) f(-x)
O
x
y
O
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Ejemplo: ( )( )�
�
�
��
�
�
=−
=−−
−=−
−=
)(44
)(
4)(
2
2
2
2
2
2
xfx
xx
xxf
xx
xf
respecto al origen:
si )()( xfxf −=− (Función impar)
Ejemplo: ( )( )�
�
�
��
�
�
−=+
−=+
−=+−
−=−
+=
)(222
)(
2)(
2
3
2
3
2
3
2
3
xfx
xx
xx
xxf
xx
xf
Si la función es simétrica, se reduce el dominio a 0≥∀ xx .
3. Periodicidad: Una función )(xfy = se dice que es una función periódica de periodoT si para
cualquier valor de x se verifica que ( ) ( ) mínimo 0, ≥∃=+ TxfTxf . Si la función es periódica se reduce el dominio a un intervalo de amplitud igual al periodo. Se representa la gráfica de la función en dicho intervalo y el resto se obtiene por traslaciones sucesivas a lo largo del eje OX. Sólo se cumple en funciones trigonométricas. Ejemplo: senxxf =)(
x
y
f(x)
-f(-x)
O
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4. Puntos de corte con los ejes: Los puntos de intersección de la curva con los ejes.
con OX: Se hace 0=y y se calculan los valores de x
con OY:
Se hace 0=x y se calculan los valores de y
x
y
P(0,y)
O
x
y
P(x,0)
O
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5. Asíntotas: Rectas tangentes a la curva en el infinito.
Horizontales, paralelas al eje OX: Son de la forma ky = , siendo )(lim xfk
x ∞→= .
Posición de la curva respecto de la asíntota: Depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x
( )[ ] +
+∞→=− 0lim kxf
x
( )[ ] −
+∞→=− 0lim kxf
x
k
y
x
k
y
x
k
y
x
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( )[ ] +
−∞→=− 0lim kxf
x
( )[ ] −
−∞→=− 0lim kxf
x
Ejemplo:
( )( )
[ ]
[ ]������
�
������
�
�
��
��
�
>→=∞−
−=−=−
<→=∞−=−=−
−=−−−=
−+−=
=−
+−+−=−−−
−+−=−
−+−=−
=→==�
��
∞∞=
−−=�
��
∞∞=
−+−=→=
−+−=
+
−∞→−∞→
−
+∞→+∞→
∞→∞→
1)(044
lim)(lim
1)(044
lim)(lim41·1·444
45451
45)(
1122
1252
lim45
lim
45
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xfx
kxf
xfx
kxf
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
kxf
yxx
xxxx
kky
xxxx
y
xx
xx
xx
k
y
x
k
y
x
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Verticales, paralelas al eje OY: Son de la forma hx = , siendo h los valores finitos de x que hacen ∞→)(xf .
si)()(
)(xgxm
xf = , h son los valores de x que hacen 0)( =xg
si )(log)( xgxf a= , h son los valores de x que hacen 0)( =xg ( )∞=0loga
Posición de la curva respecto de la asíntota: Se calculan los límites laterales: )(lim xf
hx +→y )(lim xf
hx −→
( ) +∞=+→
xfhx
lim
h
y
x x=h
h
y
x x=h
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( ) +∞=−→
xfhx
lim
( ) −∞=+→
xfhx
lim
( ) −∞=−→
xfhx
lim
h
y
x x=h
h
y
x x=h
h
y
x x=h
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Ejemplo:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )�������
�
�������
�
�
��
�
��
�
�
−∞==−+
+=−+=
+∞==−+
+=−+=
���
−==
=−+→=−
−+=
−→→→
+→→→
−−−
+++
2·02
1·11
lim11
lim)(lim
2·02
1·11
lim11
lim)(lim:
11
01·101:
11
2
12
2
11
2
12
2
11
2
2
2
xxx
xx
xf
xxx
xx
xf
ónaproximaci
x
xxxxasíntotas
xx
y
xxx
xxx
Generales, oblicuas:
Sólo existen si la curva no tiene asíntotas horizontales.
Son de la forma nmxy += , siendoxxf
mx
)(lim
∞→= y [ ]mxxfn
x−=
∞→)(lim
��
��
�
→∞=→=
==
∞→OY dedirección laen parabólica rama una existeOX dedirección laen parabólica rama una existe0
finito)(
limxxf
mx
( )���
=→∞==
−=∞→ mxy
mxxfnx dedirección laen parabólica rama una existe
finito)(lim
y
x
y=mx+n
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Posición de la curva respecto de la asíntota: Al igual que en el caso de las asíntotas verticales, depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x
( ) ( )[ ] +
+∞→=+− 0lim nmxxf
x
( ) ( )[ ] −
+∞→=+− 0lim nmxxf
x
( ) ( )[ ] +
−∞→=+− 0lim nmxxf
x
y
x
y=mx+n
y
x
y=mx+n
y
x
y=mx+n
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( ) ( )[ ] −
−∞→=+− 0lim nmxxf
x
6. Puntos de corte de la curva y la asíntota: Solamente se pueden cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, puesto que en el caso de las verticales, la curva las cortará en el infinito. Se resuelve el sistema tomando dos ecuaciones:
���
==
)(xfy
ky
���
=+=)(xfy
nmxy
7. Máximos y mínimos:
Se buscan los puntos críticos y se evalúan. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Será creciente en los intervalos en que 0)(' >xf
Será decreciente en los invervalos en que 0)(' <xf
8. Puntos de inflexión: Se buscan los puntos críticos y se evalúan. Intervalos de concavidad y convexidad: Será cóncava en los invervalos en que 0)('' >xf
Será convexa en los invervalos en que 0)('' <xf
9. Tabla de valores (obtativo) 10. DIBUJAR la curva
y
x
y=mx+n
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