Funciones & sus Inversas - mathematicsvisionproject.org · mantener a los perros hambrientos...

The Mathematics Vision Project Scott Hendrickson, Joleigh Honey, Barbara Kuehl, Travis Lemon, Janet Sutorius

This work is licensed under the Creative Commons Attribution CC BY 4.0

MÓDULO 1

Funciones & sus Inversas

MATEMÁTICAS III

NIVEL SECUNDARIA

Un Enfoque Integrado

MATEMÁTICAS III NIVEL SECUNDARIA // MÓDULO 1

FUNCIONES Y SUS INVERSAS

Mathematics Vision Project Licensed under the Creative Commons Attribution CC BY 4.0 mathematicsvisionproject.org

MÓDULO 1 - TABLA DE CONTENIDO

FUNCIONES Y SUS INVERSAS

1.1Brutus Bites – Actividad para Desarrollar Comprensión Desarrolla el concepto de funciones inversas en un contexto de modelado lineal utilizando tablas, gráficas y ecuaciones. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4a) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.1

1.2Ferraris – Actividad para Consolidar Comprensión Extiende los conceptos de funciones inversas en un contexto de modelado cuadrático con un enfoque en el dominio y rango, y si una función se puede invertir en un dominio dado. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4c, F.BF.4d) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.2

1.3Monitoreando una Tortuga – Actividad para Consolidar Comprensión Afirma los conceptos de función inversa en un contexto de modelado exponencial y expone ideas sobre logaritmos. (F.BF.1, F.BF.4, F.BF.4c, F.BF.4d)Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.3

1.4 Sacar un Conejo del Sombrero – Actividad para Consolidar Comprensión Utiliza máquinas de función para modelar funciones y sus inversas. Enfócate en encontrar funciones inversas y verificar que dos funciones son inversas. (F.BF.4, F.BF.4a, F.BF.4b) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.4

1.5 Universo Inverso – Actividad para Practicar Comprensión Utiliza tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas de funciones para unir funciones y sus inversas y verificar la relación inversa entre dos funciones. (F.BF.4a, F.BF.4b, F.BF.4c, F.BF.4d) Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Funciones y sus Inversas 1.5

FUNCIONES Y SUS INVERSAS – 1.1

1.1 Brutus Bites

Actividad para Desarrollar Comprensión

¿RecuerdasaCarlosyClarita?Haceunpardeaños,comenzaronaganardinerocuidandomascotasmientrassusdueñosnoestaban.Debidoasuasombrosoanálisismatemáticoysucariñoporlosgatosyperrosquereciben,CarlosyClaritahanhechoquesunegocioseamuyexitoso.Paramanteneralosperroshambrientosalimentados,debencomprarregularmenteBrutusBites,lacomidafavoritadetodoslosperros.CarlosyClaritahanestadobuscandounnuevoproveedordealimentosparaperrosyhanidentificadodosposibilidades.TheCanineCateringCompany,ubicadaensuciudad,vende7librasdealimentospor$5. Carlospensóencuántopagaríanporunacantidaddadadealimentosydibujóestagráfica:

1. EscribelaecuacióndelafunciónquegraficóCarlos.

Claritapensóenlacantidaddecomidaquepodríancomprarporunadeterminadacantidaddedineroydibujóestagráfica:

2.EscribelaecuacióndelafunciónquegraficóClarita.

3. EscribeunapreguntaquesearespondidaconmayorfacilidadporlagráficadeCarlos.EscribeunapreguntaquesearespondidamásfácilmenteporlagráficadeClarita.¿Cuálesladiferenciaentrelasdospreguntas?

4. ¿Cuáleslarelaciónentrelasdosfunciones?¿Cómolosabes?

5.Usalanotacióndefunciónparaescribirlarelaciónentrelasfunciones.

Enlínea,Carlosencontróunacompañíaquevende8librasdeBrutusBitespor$6másuncargodeenvíode$5porcadapedido.Lacompañíaanunciaquevenderáncualquiercantidaddealimentosalmismoprecioporlibra.ModelalarelaciónentreelprecioylacantidaddealimentosutilizandoelenfoquedeCarlos.

ModelalarelaciónentreelprecioylacantidaddealimentosutilizandoelenfoquedeClarita.7.

8. ¿Cuáleslarelaciónentreestasdosfunciones?¿Cómolosabes?

9. Usalanotacióndefunciónparaescribirlarelaciónentrelasfunciones.

10. ¿EnquécompañíadeberíancomprarClaritayCarlossusBrutusBites?¿Porqué?

Needhelp?Visitwww.rsgsupport.org

PREPARACIÓNTema:Operacionesinversas

Lasoperacionesinversasse"deshacen"entresí.Porejemplo,lasumaylarestasonoperaciones

inversas.Tambiénlosonlamultiplicaciónyladivisión.Enmatemáticas,amenudoesconveniente

“deshacer”variasoperacionespararesolverunavariable.

Resuelvexenlossiguientesproblemas.Luego,completaladeclaraciónidentificandola

operaciónqueutilizastepara"deshacer"laecuación.

1.24=3x Deshacerlamultiplicaciónpor3_______________________________________________

2. Deshacerladivisiónpor5______________________________________________________

3. Deshacerlasumapor17________________________________________________________

4. Deshacerlaraízcuadrada___________________________________________________

5. Deshacerlaraízcúbica_____________________________luego_______________________

6. Deshacerelexponentedexal4°poder________________________________________

7. Deshacerelexponentealcuadrado____________________luego__________________

PRÁCTICATema:Funcioneslinealesysusinversas

CarlosyClaritatienenunnegociodecuidadodemascotas.Cuandoestabantratandodedecidir

cuántosperrosygatospodríancaberensupatio,hicieronunatablabasadaenlasiguiente

información.Lasjaulasparagatosrequieren6piescuadradosdeespacio,mientrasquelasjaulas

paraperrosrequieren24piescuadrados.CarlosyClaritatienen360piescuadradosdisponiblesen

elcobertizodealmacenamientoparajaulasypistas,almismotiempo,dejandosuficienteespacio

paramoverseentrelasjaulas.Hicieronunatabladetodaslascombinacionesdegatosyperrosque

x5= −2

x +17 = 20

x +1( )3 = 2

x4 = 81

x − 9( )2 = 49

P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha

podríanusarparallenarelespacio.Rápidamentesedieroncuentadequepodíancaberen4gatosen

elmismoespacioqueunperro.

gatos 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

perros 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8.Utilizalainformacióndelatablaparaescribir5paresordenadosquetengangatoscomo

valordeentradayperroscomovalordesalida.

9.Escribeunaecuaciónexplícitaquemuestrecuántosperrospuedenacomodarsegúnla

cantidaddegatosquetengan.Elnúmerodeperros"d"seráunafuncióndelnúmerode

gatos"c"o! = #(%)

10.Usalainformacióndelatablaparaescribir5paresordenadosquetenganperroscomo

valordeentradaygatoscomovalordesalida.

11.Escribeunaecuaciónexplícitaquemuestrecuántosgatospuedenacomodarsegúnla

cantidaddeperrosquetengan.Elnúmerodegatos"c"seráunafuncióndelnúmerode

perros"d"o' = (()).

Basatusrespuestasen#12y#13enlatablaenlapartesuperiordelapágina.

12.Repasaelproblema8yelproblema10.Describecómolosparesordenadossondiferentes.

13.a)Repasalaecuaciónqueescribisteenelproblema9.Describeeldominiopara) = *(').

b)Describeeldominioparalaecuación' = (())queescribisteenelproblema11.

c)¿Cuáleslarelaciónentreellos?

RENDIMIENTOTEMA:USARLANOTACIÓNDEFUNCIONESPARAEVALUARUNAFUNCIÓN:

Lasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.

Calculalosvaloresdefunciónindicadosenlossiguientesproblemas.

Simplificatusrespuestas.

15. 16. 17.

19. 20. 21.((, + .)

22. 23. 24. 25.

f x( ) = x g x( ) = 5x −12 h x( ) = x2 + 4x − 7

f 10( ) f −2( ) f a( ) f a + b( )

g 10( ) g −2( ) g a( )

h 10( ) h −2( ) h a( ) h a + b( )

1.2 Ferraris

Actividad para Consolidar Comprensión

Cuandolaspersonasaprendenaconducirporprimeravez,amenudoselesdicequemientrasmásrápidoconduzcan,mástiempotomaránendetenerse.Porlotanto,cuandoconducesenlaautopista,debesdejarmásespacioentretuautomóvilyelqueestáenfrente,quecuandomanejaslentamenteporunvecindario.¿Tehaspreguntadoalgunavezsobrelarelaciónqueexisteentrelavelocidadconlaqueconducesycuántoviajasantesdedetenerte,despuésdepisarlosfrenos?

1. Piénsaloporunminuto.¿Quéfactorescreesquepuedenhacerunadiferenciaenladistanciaquerecorreunautomóvildespuésdepisarlosfrenos?

Enrealidad,seharealizadobastantetrabajoexperimental(principalmentepordepartamentosdepolicíaycompañíasdeseguros)parapodermodelarmatemáticamentelarelaciónentrelavelocidaddeunautomóvilyladistanciadefrenado(quétanlejosviajaelautomóvilhastaquesedetienedespuésqueelconductorpisalosfrenos).

2. Imaginaelautodetussueños.TalvezesunFerrari550Maranello,unautomóvilitalianosúperrápido.Losexperimentoshandemostradoque,encarreteraslisasysecas,larelaciónentreladistanciadefrenado(d)ylavelocidad(v)estádadapor!(#) = 0.03)* .Lavelocidadsedaenmillas/horayladistanciaenpies.

3. a) ¿Cuántospiesdebesdejarentretúyelautomóvilquetienesenfrentesiconducesel

Ferraria55mi/hora?

b) ¿Quédistanciadebesmantenerentretúyelautomóvilquetienesenfrentesiconducesa100millasporhora?

c) Siunautomóvilpromediomideaproximadamente16piesdelargo,¿aproximadamentecuántaslongitudesdeautodebehaberentretúyelautomóvilfrenteatisiconducesa100millasporhora?

d) Tienesentidoparamuchaspersonasque,sielautomóvilseestámoviendoaciertavelocidadyluegovadosvecesmásrápido,ladistanciadefrenadoseaeldoble.¿Escierto?Explicaporquésíoporquéno.

4.Graficalarelaciónentreladistanciadefrenadod(v)ylavelocidad(v),acontinuación.

5.SegúnlacompañíaFerrari,lavelocidadmáximadelautomóvilesdeaproximadamente217mph.UtilizaestoparadescribirtodaslascaracterísticasmatemáticasdelarelaciónentreladistanciadefrenadoylavelocidadparaelFerrari,modeladopor!(#) = 0.03)* .

6. ¿QuépasaríasielconductordelFerrari550estuvieramanejandoaunavelocidadconstanteyderepentepisaralosfrenosparadetenerseporquevioungatoenlacarretera?Ellapatinóhastadetenerse,yafortunadamente,noatropellóalgato.Cuandosaliódelautomóvil,midiólasmarcasdedeslizamientodejadasporelautomóvilysupoquesudistanciadefrenadofuede31pies.

a)¿Quétanrápidoibacuandoellapisóelfreno?

b)Sinovioalgatohastaqueestabaa15piesdedistancia,¿cuáleslavelocidadmásaltaalaquepodríairantesdepisarelfreno,siquiereevitaratropellaralgato?

7.Partedeltrabajodelosoficialesdepolicíaesinvestigarlosaccidentesdetráficoparadeterminarquécausóelaccidenteyquéconductortuvolaculpa.Midenladistanciadefrenadousandomarcasdedeslizamientoycalculanvelocidadesusandolasrelacionesmatemáticascomolohemoshechoaquí,aunqueamenudousanfórmulasdiferentesparatomarencuentavariosfactores,comolascondicionesdelacarretera.RegresemosalFerrarienuncaminollanoyseco,yaqueconocemoslarelación.Creaunatablaquemuestrelavelocidadconlaqueviajabaelautomóvilenfuncióndeladistanciadefrenado.

8.Escribeunaecuacióndelafunciónv(d)quedalavelocidadconlaqueelautomóvilviajabaparaunadistanciadefrenadodeterminada.

9.Graficalafunciónv(d)ydescribesuscaracterísticas.

10.¿Quénotassobrelagráficadev(d)comparadaconlagráficaded(v)?¿Cuáleslarelaciónentrelasfuncionesd(v)yv(d)?

11.Consideralafunción!(#) = 0.03)*sobreeldominiodetodoslosnúmerosreales,nosoloeldominiodelasituacióndeesteproblema.¿Cómocambialagráficadelaotragráficaded(v)enlapregunta#3?

12.¿Cómocambiaeldominioded(v)lagráficadelinversoded(v)?

13.¿Eslainversaded(v)unafunción?Justificaturespuesta.

PREPARACIÓN Tema:CómoresolverunavariableResuelveparax.

1. 17 = 5% + 2

2.2%( − 5 = 3%( − 12% + 313.11 = √2% + 1

4.√%( + % − 2 = 25.−4 = √5% + 1- 6.√352- = √7%( + 9-

7.30 = 243 8.50 = 11(2 9.40 = 1

PRÁCTICA Tema:Exploracióndefuncionesinversas

10 Losestudiantesrecibieronunconjuntodedatosparagraficar.Despuésdecompletarsus

gráficas,cadaestudiantecompartiósugráficaconsucompañerodeallado.CuandoEthany

Emmavieronlasgráficasdelotro,exclamaronjuntos,"¡Tugráficaestáequivocada!"

Ningunadelasgráficasestámal.ExplicaloqueEthanyEmmahanhechoconsusdatos.

GráficadeEthan

GráficadeEmma

11.DescribeunasecuenciadetransformacionesquellevaríalagráficadeEthanaladeEmma.

Unapelotadebéisbolesgolpeadahaciaarribadesdeunaalturade3piesconunavelocidadinicialde80piesporsegundo(aproximadamente55mph).Lagráficamuestralaalturadelapelotaencualquiersegundodadodurantesuvuelo.Usalagráficapararesponderlaspreguntasacontinuación.

a. Calculaeltiempoquelapelotaestáensualturamáxima.b. Calculaeltiempoenquelapelotatocaelsuelo.

c. ¿Aquéhoralapelotaestáa67piesdelsuelo?

d. Hazunanuevagráficaquemuestreelmomentoenquelapelotaestáenlasalturasdadas.

e. ¿Estunuevagráficaunafunción?

Explica.

RENDIMIENTO Tema:Usarlanotacióndefuncionesparaevaluarunafunción

Lasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.

Calculalosvaloresdefunciónindicados.Simplificatusrespuestas.

13.4(7) 14.4(−9) 15.4(7) 16.4(7 − 8)

17.9(7) 18.9(−9) 19.9(7) 20.9(7 − 8)

21.ℎ(7) 22.ℎ(−9) 23.ℎ(7) 24.ℎ(7 − 8)

Observaquelanotaciónf(g(x))indicaquereemplazastexenf(x)cong(x).

Simplificalosiguiente:

25.f(g(x)) 26.f(h(x)) 27.g(f(x))

f x( ) = 3x g x( ) = 10x + 4 h x( ) = x2 − x

1.3 Monitoreando una Tortuga

Actividad para Consolidar Comprensión

Puedequerecuerdesunatareadelañopasadosobrelafamosacarreraentrelatortugaylaliebre.Enlahistoriainfantildelatortugaylaliebre,laliebreseburladelatortugaporserlenta.Latortugaresponde:"Ellentoyconstanteganalacarrera".Laliebredice:"Yaveremoseso"ydesafíaalatortugaaunacarrera.

Enlatarea,modelamosladistanciadesdelalíneadepartidaquetantolatortugacomolaliebreviajarondurantelacarrera.Hoyconsideraremossoloelviajedelatortugaenlacarrera.

Debidoaquelaliebreestátanseguradequepuedeganarlealatortuga,ledaalatortugaunaventajade1metro.Ladistanciadesdelalíneadepartidadelatortuga,incluidalaventajainicial,sedaporlafunción:

!(#) = 2( (denmetrosytensegundos)

Lafamiliadelatortugadecideverlacarreradesdeelotroladoparapoderverasuqueridahermanatortuga,Shellie,demostrarelvalordelapersistencia.

1. ¿Aquédistanciadelalíneadepartidadebeestarlafamilia,paraqueseubiqueenellugarcorrectocuandoShelliecorra5segundosdespuésdelcomienzodelacarrera?¿Despuésde10segundos?

2. Describelagráficaded(t),ladistanciadeShellieeneltiempot.¿Cuálessonlascaracterísticasimportantesded(t)?

3. Silafamiliadelatortugaplaneaverlacarreraa64metrosdelpuntodepartidadeShellie,¿cuántotiempotendránqueesperarparaverpasaraShellie?

4. ¿CuántotiempodebenesperarparaveraShelliecorriendosiestána1024metrosdesupuntodepartida?

5. Dibujeunagráficaquemuestrecuántotiempoesperarálafamiliadelatortugaparaverlacorrerenunlugardeterminadodesdesupuntodepartida.

6. ¿CuántotiempodebeesperarlafamiliaparaveraShelliecorriendosiseencuentrana

220metrosdedistanciadesupuntodepartida?

7. ¿Cuáleslarelaciónentred(t)ylagráficaqueacabasdedibujar?¿Cómousasted(t)paradibujarlagráficaenel#5?

8. Consideralafunción)(*) = 2+ .A) ¿Cuáleseldominioyrangode)(*)?¿Es)(*)-./)-.01ó.inversa?

B) Grafica)(*)y)45(*)enlacuadrículaalcalce.

C) ¿Cuáleseldominioyrangode)45(*)?

9. Si)(3) = 8,¿quées)45(8)?¿Cómolosabes?

10. Si) 95:; = 1.414,¿quées)45(1.414)?¿Cómolosabes?

11. Si)(/) = ?¿quées)45(?)?¿Turespuestacambiaríasif(x)fueraunafuncióndiferente?Explica.

PREPARACIÓN Tema:Resolviendoecuacionesexponenciales.Resuelvex.

1. 5"#$ = 5&"'( 2. 7("'& = 7'&"#* 3. 4(" = 2&"'*

4. 3."'/ = 9&"'( 5. 8"#$ = 2&"#( 6. 3"#$ = $

PRÁCTICA Tema:ExplorandolainversadeunafunciónexponencialEnelcuentodehadasJackandtheBeanstalk,Jackplantaunfrijolmágicoantesdeirsealacama.Porlamañana,Jackdescubreuntallodefrijolesgigantequehacrecidotantoquedesapareceenlasnubes.Peroaquíestálapartedelahistoriaquenuncaescuchaste.Escritoenlabolsaqueconteníalosfrijolesmágicosestabaestanota.Planta un frijol mágico en tierra fértil justo cuando el sol se esté poniendo. No mires el sitio de la planta por 10 horas. (Esto es parte de la magia.) Después de que el frijol ha estado en el suelo durante 1 hora, el crecimiento del tallo puede ser modelado por la función 2(4) = 36. (b en pies y t en horas). Jackeraunbuenestudiantedematemáticas,asíque,aunquenuncamirósutallodefrijolesdurantelanoche,usólafunciónparacalcularquétanaltodebíaseramedidaquecrecía.Latabladeladerechamuestraloscálculosquehizocadamediahora.

Tiempo(horas)

Altura(pies)

1 31.5 5.22 92.5 15.63 273.5 46.84 814.5 140.35 2435.5 420.96 7296.5 1,262.77 2,1877.5 3,7888 6,5618.5 11,3649 19,6839.5 34,09210 59,049

Porlotanto,Jacknosesorprendiócuando,enlamañana,vioquelapartesuperiordeltallodefrijoleshabíadesaparecidoenlasnubes.7.DemuestracómoJackusóelmodelo2(4) = 36 paracalcularquétanaltoseríaeltallodefrijoles

despuésdequepasaron6horas.(Puedesusarlatabla,peroescribedóndecolocaríaslosnúmerosenlafunciónsinolatuvieras).

8.Duranteesamismanoche,unvecinoestabajugandoconsudrone.Fueprogramadoparaflotara

243pies.¿Cuántashorashabíanestadocreciendolosfrijolescuandolaplantaestabatanaltacomoeldrone?

9.¿Utilizastelatabladelamismamanerapararesponderlapregunta#8comopararesponderla#

7?Explica.10.MientrasJackpreparabasutabla,sepreguntabaquétanaltoseríaeltallodelosfrijolesmágicos

despuésdelas10horas.Rápidamenteescribiólafunciónensucalculadoraparaaveriguarlo.EscribelaecuaciónqueJackhabríaescritoensucalculadora.

11.Losavionescomercialesvuelanentre30,000y36,000pies.¿Aproximadamentecuántashorasde

crecimientopodríanpasarantesdequelosfrijolesmágicospuedaninterferirconlosavionescomerciales?Explicacómoobtuvisteturespuesta.

12.Usalatablaparaencontrar9(7)y9'$(11,364).13.Usalatablaparaencontrar9(9)y9'$(9).

13.Explicaporquéesposibleresponderalgunasdelaspreguntassobrelaalturadelosfrijoles

mágicossimplementeconectandolosnúmerosalaregladelafunción,yporquéavecessolopuedesusarlatabla.

RENDIMIENTO Tema:EvaluacióndefuncionesLasfuncionesƒ(x),g(x),yh(x)sedefinenacontinuación.

f(x) = −2x g(x) = 2x + 5 h(x) = x& + 3x − 10

Calculalosvaloresdefunciónindicados.Simplificatusrespuestas.

14.f(a)

15.f(b&) 16.f(a + b) 17.fFG(H)I

18.g(a)

19.g(b&) 20.g(a + b) 21.hFf(H)I

22.h(a)

23.h(b&) 24.h(a + b) 25.hFG(H)I

1.4 Sacar un Conejo del Sombrero Actividad para Consolidar Comprensión

Tengountrucodemagiaparati:

• Elijeunnúmero,cualquiernúmero• Súmale6• Multiplicaelresultadopor2• Réstale12• Divídeloentre2• ¡Larespuestaeselnúmeroconelquecomenzaste!

Laspersonasamenudosedesconciertancontalestrucos,peroaquellosdenosotrosquehemosestudiadooperacionesinversasyfuncionesinversas,podemosdescubrircómofuncionaneinclusocrearnuestrospropiostrucosnuméricos.Comencemosaveriguandocómofuncionanjuntaslasfuncionesinversas.

Paracadaunadelassiguientesmáquinasdefunciones,decidequéfunciónsepuedeusarparahacerquelasalidaseaigualqueelnúmerodeentrada.Describelaoperaciónenpalabrasyluegoescríbelasimbólicamente.

Aquíhayunejemplo:

Entrada Salida

!(#) = # + 8 !)*(#) = # − 8

# = 7 7 7 + 8 = 15

Enpalabras:Resta8delresultado

ristia

Enpalabras:

Entrada

Salida

!(#) = 2. !)*(#) =

# = 7 7 2/ = 128

Enpalabras:

Entrada Salida

!(#) = 3# !)*(#) =

# = 7 7 3 ∙ 7 = 21

Entrada

Salida

!(#) = #3 !)*(#) =

# = 7 7 73 = 49

Enpalabras:

Entrada

Salida

!(#) = 2# − 5 !)*(#) =

# = 7 7 2 ∙ 7 − 5 = 9

Entrada

Salida

!(#) = # + 53 !)*(#) =

# = 7 7 7 + 53 = 4

Entrada

Salida

!(#) = (# − 3)3 !)*(#) =

# = 7 7 (7 − 3)3 = 16

Enpalabras:

9.Cadaunodeestosproblemascomenzóconx=7.¿Cuálesladiferenciaentrelaxutilizadaenf(x)ylaxutilizadaen!)*(#)?

10.Enel#6,podríausarsecualquiervalordexenf(x)yaunasídarelmismoresultado(salida)de!)*(#)?Explica.¿Quétalel#7?

11.Segúntutrabajoenestatareaylasotrastareasdeestemódulo,¿quérelacionesvesentrelasfuncionesysusinversas?

Entrada

Salida

!(#) = 4 − √# !)*(#) =

# = 7 7 4 − √7

Enpalabras:

Entrada

Salida

!(#) = 2. − 10 !)*(#) =

# = 7 7 2/ − 10 = 118

PREPARACIÓN Tema:PropiedadesdeexponentesUsalaregladelproductoolaregladelcocienteparasimplificar.Dejatodaslasrespuestasenformaexponencial,únicamenteconexponentespositivos.1. 3" ∙ 3$

2.7& ∙ 7" 3.10)* ∙ 10+ 4. 5- ∙ 5)"

5. .&.$

6. 2" ∙ 2)0 ∙ 2 7. 1221)$ 8. +3

05 11.

+65 12. 8

PRÁCTICA Tema:Funcióninversa

13. Dadaslasfunciones:(<) = √< − 1BC(<) = <& + 7:

a.Calcula:(16)BC(3).

b.Escribe:(16)comounparordenado.

c.EscribeC(3)comounparordenado.

d.¿Quéimplicantusparesordenadosparaf(16)yg(3)?

e.Encuentra:(25).

f.Basadoenturespuestapara:(25),prediceC(4).

g.EncuentraC(4). ¿Turespuestacoincidiócontupredicción?

h.¿Son:(<)BC(<)funcionesinversas? Justificaturespuesta.

Hazcoincidirlafunciónenlaprimeracolumnaconsuinversaenlasegundacolumna.

:(<) :)2(<)16.:(<) = 3< + 5

a.:)2(<) = IJC$<

17.:(<) = <$ b.:)2(<) = √<9

18.:(<) = √< − 33 c.:)2(<) =

19.:(<) = <0 d.:)2(<) =K

0− 5

20.:(<) = 5K e.:)2(<) = IJC0<

21.:(<) = 3(< + 5) f.:)2(<) = <$ + 3

22.:(<) = 3K g.:)2(<) = √<3

RENDIMIENTO Tema:Funcionescompuestaseinversas

CalculaLMN(O)PQNML(O)Pparacadapardefunciones.

(Tomaencuenta:lanotación(: ∘ C)(<)B(C ∘ :)(<)significalomismoque:MC(<)PBCM:(<)P,

respectivamente).

23.:(<) = 2< + 5C(<) =K)$

24.:(<) = (< + 2)0C(<) = √<9 − 2

25.:(<) =0

*< + 6C(<) =

*(K)")

26.:(<) =)0

K+ 2C(<) =

Hazcoincidirlosparesdefuncionesanteriores(23-26)consusgráficas.Etiquetaf(x)yg(x).

27.Graficalalíneay=xencadaunadelasgráficasanteriores.¿Quenotaste?

28.¿Creesquetusobservacionessobrelasgráficasenel#27tienenalgoqueverconlas

respuestasqueobtuvistecuandoencontraste:MC(<)PBCM:(<)P?Explica.

29.Miralagráficab.Sombrealos2triángulosformadosporelejey,elejexycadalínea.¿Qué

esinteresanteacercadeestosdostriángulos?

30.Sombrealos2triángulosenlagráficad.¿Soninteresantesdelamismamanera?Explica.

1.5 Universo Inverso Actividad para Practicar Comprensión

Tuytucompañerorecibieroncadaunounconjuntodiferentedetarjetas.Lasinstruccionesson:

1.Seleccionaunatarjetaymuéstraselaatucompañero.2.Trabajenjuntosparaencontrarunatarjetaenelconjuntodetarjetasdetucompañeroquerepresenteelinversodelafunciónrepresentadaensutarjeta.3.Enelespacioacontinuación,registralastarjetasqueseleccionasteylarazónporlaquesabesquesoninversas.4.Repiteelprocesohastaquetodaslastarjetasesténemparejadas.

*Soloparaestatarea,supónquetodaslastablasrepresentanpuntosenunafuncióncontinua.

Par1: _____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________

Par10:_____________________ Justificacióndelarelacióninversa:____________________________________

!(#) = &−2# − 2, −5 < # < 0−2, # ≥ 0

A3 Cadavalordeentrada,x,secuadrayluegoseagrega3alresultado.Eldominiodelafunciónes[0,∞)

x y-2 -32 30 06 54 4−43

A2Lafunciónaumentaaunatasaconstantede01ylainterseccióndeyes(0,c).

2 = 33

x y-5 -125-3 -27-1 -11 13 275 125

A10Yasmincomenzóunacuentadeahorroscon$5.Alfinaldecadasemana,agregó3.Estafunciónmodelalacantidaddedineroenlacuentaparaunasemanadeterminada.

2 = log7#

!(#) = 923 #, −3 < # < 32# − 4, # ≥ 3

x y-216 -6-64 -4-8 -20 08 264 4216 6

B3Lainterseccióndexes(c,0)ylapendientedelalíneaes10.

x y3 04 17 212 319 428 539 6

: y-2 -3-1 -20 11 62 13

B10Lafunciónescontinuaycreceenunfactoriguala5enintervalosiguales.Lainterseccióndelejeyes(0,1).

PREPARACIÓN Tema:PropiedadesdelosexponentesUsalaspropiedadesdelosexponentesparasimplificarlosiguiente.Escribetusrespuestasenformaexponencialconexponentespositivos.1.√"#$ ∙ √"&$

2.√"' ∙ √"( ∙ √")

3.√*) ∙ √*#' ∙ √+&,

4.√32, ∙ √9 ∙ √27'

5.√8( ∙ √16' ∙ √2)

6.(5#)&

7.(7#)78

8.(379)7:

9.;:<(

PRÁCTICA Tema:RepresentacionesdefuncionesinversasEscribelainversadelafuncióndada,enelmismoformatoquelafuncióndada.Funciónf(x)

Inversa?78(")

10.x f(x)

11. 12.

12.?(") = −2" + 4

13.?(") = EFG&"

15.x ?(")

RENDIMIENTO Tema:FuncionescompuestasCalculaHIJ(K)LMJIH(K)Lparacadapardefunciones.

(Tomaencuenta:Lanotación(? ∘ G)(")O(G ∘ ?)(")significalomismo,respectivamente).

16.?(") = 3" + 7; G(") = −4" − 11

17.?(") = −4" + 60; G(") = − 8

9" + 15

18.?(") = 10" − 5; G(") = #

:" + 3

19.?(") = −#

&" + 4; G(") = − &

#" + 6

20.Observatuscálculosanteriorespara?IG(")LOGI?(")L.Dosdelosparesdeecuacionesson

inversasentresí.¿Cuálescreesqueson?¿Porqué?

Funciones & sus Inversas - mathematicsvisionproject.org · mantener a los perros hambrientos...

Documents

Analisis Perros Hambrientos

Camión REcolector Brutus

Jovenes y hambrientos

Dossier Franquicia Brutus

CICERÓN - Brutus o de los ilustres oradores (versión bilingüe)

Brutus de Gaper Barcelona

Hambrientos o productivos

Los perros hambrientos

Comercialización de bites de cereal

MCU 8 12 36 bites

Comu perros hambrientos- indigenismo

Brutus - PR Newswirefilecache.mediaroom.com/mr4enh_navistar/648/download/... · 2009. 3. 25. · Brutus tenía un pequeño golpe en la cabeza, pero él ya estaba fuera de la zanja

Menu Para Hambrientos

Leaners Magazine - Reality bites - May 2014 - Etiopia

Aavv, Bites & Bytes (Suplemento de 18.01.08)

SEGUEL BITS AND BITES

Perros hambrientos

Percebeiros (sea bites)

Presentación Power Point. Proyecto empresa: CANDY BITES

Perros hambrientos 1