Fundamentos financiero burga

Fundamentos Financieros para Evaluación de Proyectos

CENTRUM-PUCP

Econ. LUIS BURGA RAMÍREZ

Desarrollar habilidades para realizar una acertada toma de decisiones en la

evaluación de proyectos de inversión y financiamiento, utilizando modelos

financieros de análisis que permitan determinar la viabilidad de una decision

financiera.

CENTRUM-PUCP

Objetivo

Participación en claseControlesEjercicios de claseAsignación de trabajos grupales

CENTRUM-PUCP

Metodología

FINANZAS

FINANZAS

¿ QUÉ SE ENTIENDE POR FINANZAS ?¿ QUÉ SE ENTIENDE POR FINANZAS ?

“ “ Ganar Dinero”Ganar Dinero”

“ “ ... pero qué pasa con la liquidez ”... pero qué pasa con la liquidez ”

“ “ ... qué pasa con la probabilidad de perder “... qué pasa con la probabilidad de perder “

EQUILIBRIO :EQUILIBRIO :

RiesgoRiesgo

LiquidezLiquidez

RentabilidadRentabilidad

FINANZAS

FINANZAS

RiesgoRiesgo

Posibilidad de perderPosibilidad de perder

Fundamentos Financieros

RentabilidadRentabilidad

Posibil idad de generar Posibil idad de generar beneficiosbeneficios

Fundamentos Financieros

LiquidezLiquidez

Capacidad de pagar alCapacidad de pagar al Corto plazoCorto plazo

Fundamentos Financieros

COSTO DECOSTO DEOPORTUNIDADOPORTUNIDAD

Rendimiento que alguien deja deRendimiento que alguien deja de percibir por ocuparse de unapercibir por ocuparse de una

actividad diferenteactividad diferente

Es un costo no contableEs un costo no contable

Fundamentos Financieros

VALOR DEL DINEROVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOEN EL TIEMPO

Un sol de hoy vale más Un sol de hoy vale más que un sol de mañanaque un sol de mañana

Fundamentos Financieros

Finanzas

Las finanzas tratan de las condiciones y oportunidad en que se consigue el capital, de los usos de éste y de los pagos e intereses que se cargan a las transacciones en dinero.

También suele definirse como “el arte y la ciencia de administrar dinero”.

Las Finanzas y la Contabilidad

La contabilidad es un insumo de la función financiera.

La contabilidad se basa en el principio de devengado; las finanzas reconocen y evalúan las entradas y salidas de dinero (flujo de caja), a fin de evaluar las posibles inversiones. Es una técnica que registra en forma cronológica las transacciones u operaciones de la empresa en términos de dinero

Registro de Ventas Fecha Detalle Contado Crédito

La empresa Electric S.A. vendió un grupo electrógeno justo al terminar el 2009 a US$ 100,000 el equipo se había comprado el año pasado a un costo total de US$ 80,000. Aunque la empresa pago totalmente el grupo durante el año pasado al final del año aún tiene que cobrarle los US$ 100,000 al cliente.

El Análisis Financiero y Contable son iguales … ?

20092009

El Análisis Financiero y Contable son iguales … ?

20092009

El Análisis Financiero y Contable son iguales … ?

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El valor del dinero está relacionado con la capacidad de compra de éste y no con la nominación que pueda tener.

Lo que relaciona el valor del dinero con el tiempo es el interés

Nunca se deben sumar valores en fechas diferentes.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Muestra los ingresos, egresos y periodos de tiempo en el que se realizan las transacciones.

Al tiempo se le representa como una línea horizontal de izquierda a derecha.

Los flujos de efectivo se representan por flechas, con la punta hacia arriba (+) o hacia abajo (-).

REPRESENTACION DE FLUJOS DE CAJA

0 1 2 3 n

Desde el punto Desde el punto de vista del de vista del ahorristaahorrista

Flujo de caja de una operación pasiva (depósito)

0 1 2 3 n

Desde el punto Desde el punto de vista de la de vista de la IFIIFI

0 1 2 3 nDesde el punto Desde el punto de vista de la de vista de la IFIIFI

Flujo de caja de una operación activa (crédito)

0 1 2 3 n

Desde el punto Desde el punto de vista del de vista del prestatarioprestatario

El valor del dinero en el tiempo

¿S/. 10,000 hoy o dentro de un año? Hoy

Una misma suma de dinero vale más hoy que dentro de n periodos.

Si obtenemos una cantidad de dinero hoy y pagamos por ella dentro de un año, debemos pagar una cantidad mayor.

A la diferencia entre estos valores se le llamainterés.

Interés y tasa de interés Hoy obtenemos S/. 1,000.00 y devolvemos

dentro de un año S/. 1,050.00 . Entonces:

Interés = S/.1,050.00 – S/.1,000.00 = S/.50.00 Tasa de Interés=(50.00/1,000.00)x100%=5%

Formula: Interés = Valor Final – Valor Inicial Tasa de Interés=(Interés/Valor Inicial)x100%

Interés y tasa de interés Ejemplo:

Se compra un TV por S/.500.00 con un crédito para pagar en un mes la suma de S/.520.00. ¿Qué interés estamos pagando?

Interés : 520-500=20 Estamos pagando 20 soles de interés.

Tasa de Interés: (20/500)x100% = 4% Estamos pagando 4% mensual.

La tasa de interés debe expresarse asociada al periodo de tiempo: i % anual, mensual, semanal, diaria, etc.

Equivalencia

Dos sumas de dinero en dos momentos, son diferentes pero pueden ser equivalentes económicamente.

Esta equivalencia está determinada por la tasa de interés.

¿S/.100 hoy equivalen a S/.106 en un año? Si, a una tasa de 6% anual. NO, a cualquier otra tasa.

El valor del dinero en el tiempo, más de un periodo

Cuando tenemos más de un periodo hay que cuidar la relación entre las tasa de interés y el tiempo total que estamos considerando.

Hay que tener cuidado en: El trato de los intereses generados La forma de expresar la tasa

El trato de los intereses generados:Interés Simple o Interés Compuesto

Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés del 10% anual. ¿A cuanto equivale dentro de 2 años?

La respuesta depende de cómo tratamos los intereses generados al final del primer año.

Este tratamiento se denomina “capitalización”.

Terminología

Antes de seguir, para tratar claramente los temas, fijemos alguna terminología: P , VP = Valor o cantidad de dinero en un

tiempo determinado como el presente, tiempo 0. F , VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo

futuro dado. n = Números de periodos de interés. i = Tasa de interés por periodo.

Tipos de interés

INTERÉS SIMPLE: El interés de cada período se retira y no se acumula al capital

inicial Progresión Aritmética a una tasa nominal Se emplea en EE.UU, UE, Japón y otros

INTERÉS COMPUESTO: El interés de cada período se acumula y aumenta el capital inicial Progresión Geométrica a una tasa efectiva Se emplea en el Perú

INTERÉS CONTÍNUO: El interés de cada período se acumula y aumenta el capital inicial

cada segundo. Es una progresión Geométrica llevada al límite Se emplea en valorización de Opciones Financieras

Interés Simple

Es aquel interés que se genera sobre un capital que permanece constante en el tiempo.

Es una progresión aritmética a una tasa nominal

Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés simple del 10% anual. ¿A cuanto equivale dentro de 2 años? En cada año se generan S/.10 de intereses. En dos años se generan S/.20 de interesés Al final del segundo año tendremos S/120

Período o Plazo

Comercial u ordinario: 360 días al año 180 días al semestre 90 días al trimestre 30 días al mes

Exacto: 365 días al año

El dinero para que gane (cobre) interés es necesario que haya permanecido un día en la cuenta.

Interés Simple

10,000.00x6%=600.00 10,600.00

10,000.00x6%=600.00

10,000.00x6%=600.00

10,000.00x6%=600.00

10,000.00x6%=600.00

11,200.00

11,800.00

12,400.00

13,000.00

Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual simple.¿Cuánto debemos pagar al final?

Interés Simple

VP a n años con i % interés anual simple. ¿Cuánto debemos pagar al final?

VF=VP(1 + i x n) Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés

anual simple. ¿Cuánto debemos pagar al final?

VF= 10,000(1+0.06x5) =10,000(1.3)=13,000.00

Ejemplo

1.-Calcule los intereses que producirá un

capital de 1.000.000 colocados a interés

simple durante dos años, 5 meses y 20

días, si la tasa es 20% anual durante el

primer año y 36% anual durante el resto de la

operación.

R: 730.000

000.530530**000.000.1I 36036,0

2 ==

Solución Nº 1

I=P*i*n

Intereses del primer año:

I1=1.000.000*0,20 = 200.000

Intereses del resto de la operación:

n = 360+150+20 ⇒ n=530 días

I=I1+I2= 200.000+530.000= 730.000

Ejemplo

Interés Compuesto En el caso del interés compuesto se considera

que los intereses generados en un periodo pasan a formar parte del capital

Esto quiere decir que los intereses se capitalizan en cada periodo.

El interés se calcula en cada periodo sobre el capital total (principal más intereses acumulados).

Interés Compuesto Supongamos S/.100 hoy a una tasa de interés

compuesto del 10% anual. ¿A cuanto equivale dentro de 2 años? En el primer año se generan S/.100x10%=S/.10 de

intereses. El nuevo capital, al final del primer año, es de

S/.100 +S/.10=S/.110 En el segundo año se generan S/.110x10%=S/.11

de intereses. Al final del segundo año tendremos

S/110+S/.11=S/121

Interés Compuesto

10,000.00x6%=600.00 10,600.00

10,600.00x6%=636.00

11,236.00x6%=674.16

11,910.16x6%=714.61

12,625.77x6%=757.49

11,236.00

11,910.16

12,625.77

13,382.26

Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual compuesto. ¿Cuánto debemos pagar al final?

Interés Compuesto

VP a n años con i % interés anual compuesto. ¿Cuánto debemos pagar al final?

VF=VP(1+i)n

Ejemplo: S/. 10,000 a 5 años con 6% interés anual compuesto. ¿Cuánto debemos pagar al final?VF= 10,000(1+0.06)5 = 10,000(1.338226)=13,382.26

Formas de expresar la tasa de interésTasa Nominal y Tasa Efectiva

Una misma tasa de interés se puede expresar de dos maneras.

La Tasa Nominal no toma en cuenta la capitalización periódica o subperiódica.

La Tasa Efectiva toma en cuenta las capitalizaciones.

Veremos como convertir tasas nominales en efectivas y viceversa.

Formas de expresar la tasa de interésTasa Nominal y Tasa Efectiva

Ponemos S/.1,000 al 6% durante un año. ¿Qué pasaría si nos pagan los interesés cada seis meses y estos se capitalizan? A los seis meses ha transcurrido medio (½) año, a este

periodo le corresponde: ½ x 6%=3% En seis meses hemos ganado S/.1,000x3%=S/.30,

tenemos al medio del año: S/.1,030.00 En el segundo medio año ese capital gana el otro 3%:

S/.1030x3%=S/.30.90 Al final del año tenemos S/.1,060.90, hemos ganado un

6.09% de intereses. En el año, la tasa nominal es 6% pero la efectiva

es 6.09%. No son iguales por la capitalización.

• Es la nominación de la tasa.• La nominación es anual.• No expresa el verdadero interés ganado o pagado.

Depende de la capitalización.• Se debe indicar el periodo de capitalización para

poder conocer el interés efectivo (ejemplo: 10% anual capitalizable trimestralmente).

Tasa de Interés Nominal

Tasa Proporcional• Es el cociente entre la tasa nominal anual y la cantidad

de sub periodos.• Tasa proporcional = i/m

Ejemplo: m = cantidad de sub periodosi = tasa nominal

i = 60% anual capitalización bimensual

i/m = 60/6 = 10% proporcional bimestral

Tasa de Interés Efectiva

• Es la tasa que capitaliza o actualiza un monto de dinero.

• Es el interés que efectivamente se paga.

Ejemplo: Si nos prestan S/100 y devolvemos S/130, entonces hemos pagado 30% efectivo.

Tasa de Interés Efectiva

• Fórmula práctica:

i = (1+i/m)n-1

Ejemplo: Calcular la tasa efectiva semestral correspondiente a la tasa de interés del 60% anual capitalizable bimestralmente.

i = (1+0.60/6)3-1 = 0.331 = 33.10%

CASOS PRACTICOS

1.1. Calcular la tasa efectiva semestral Calcular la tasa efectiva semestral correspondiente a la tasa de interés del correspondiente a la tasa de interés del 50% anual capitalizable trimestralmente.50% anual capitalizable trimestralmente.

i = (1 + 0.50/4)2 - 1 = 0.26562 = 26.56%

Tasa de Interés Equivalente

• Son aquellas que pueden expresarse en diferentes unidades de tiempo y que producen el mismo monto.

• Fórmula práctica:

TMayor = (1+tmenor)(n)-1 Potenciamos para hallar una Tasa mayor

tmenor = (1+Tmayor)(1/n)-1 Radicamos para hallar una Tasa menor

Tasa de Interés EquivalenteTasa Efectiva

Ejemplo: Un préstamo de S/100, a una i360 del 20%, al cabo de 1 año será S/120; si utilizamos la i15 de 0.7626%, también tendremos, luego de 24 quincenas, un valor futuro de S/120.

i = (1+0.20/1)1/24-1 = 0.0762566 = 0.7626%

3.3. Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Si la tasa efectiva mensual es de 4%. Hallar la tasa equivalente diaria.Hallar la tasa equivalente diaria.

ii0101 = (1 + 0.04) = (1 + 0.04)1/301/30- 1 = 0.0013082 - 1 = 0.0013082

= 0.13082%= 0.13082%

CASOS PRACTICOS

4. Si la tasa efectiva quincenal es de 1.5%. Hallar la tasa equivalente semestral.

iisemestralsemestral = (1 + 0.015) = (1 + 0.015)1212- 1 = (1.015)- 1 = (1.015)1212 - 1 - 1

= 0.195618 = 19.562%= 0.195618 = 19.562%

CASOS PRACTICOS

Valor Presente y Valor Futuro Terminología

En un flujo de dinero identificamos: P , VP = Valor o cantidad de dinero en un tiempo

determinado como el presente, tiempo 0. F , VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo

futuro dado. A = Cantidad de dinero igual y consecutiva. Serie

constante. n = Números de periodos de interés. i = Tasa de interés por periodo.

Representación Un flujo se puede representar gráficamente:

Fórmula práctica:Fórmula práctica:

P = F/(1+i)P = F/(1+i)nn

Ejemplo:Ejemplo: Luis quiere recibir en un año Luis quiere recibir en un año 1,430 soles, la TEA de la IFI es 10%. 1,430 soles, la TEA de la IFI es 10%. ¿Cuánto debe depositar hoy?¿Cuánto debe depositar hoy?

P = 1,430/(1+0.10)P = 1,430/(1+0.10)11 = 1,300 = 1,300

Valor Presente (Interés Compuesto)

Fórmula práctica:Fórmula práctica:

F = P(1+i)F = P(1+i)nn

Ejemplo:Ejemplo: Se deposita 5,000 soles en una Se deposita 5,000 soles en una cuenta que ofrece una TEA del 14%. cuenta que ofrece una TEA del 14%. ¿Cuánto se recibe a los 2 años?¿Cuánto se recibe a los 2 años?

F = 5,000(1+0.14)F = 5,000(1+0.14)22 = 6,498 = 6,498

Valor Futuro (Interés Compuesto)

1. Ud. realiza un préstamo por 10,000 soles y desea ganar un 40% anual sobre dichos fondos. ¿Cuánto deberá cobrar al cabo de 5 años?

F = 10,000(1 + 0.40)F = 10,000(1 + 0.40)55- 1 = 53,782.40- 1 = 53,782.40

Ejemplos Valor Presente

2. Ud. quiere ganar 51,000 soles y desea tener una rentabilidad de 2.5% mensual sobre dicha inversión. ¿Cuánto deberá invertir, si el proyecto dura 148 días?

P = 51,000/(1 + 0.025)P = 51,000/(1 + 0.025)(148/30)(148/30)

= 45,150.83= 45,150.83También podemos hallar primero la tasa También podemos hallar primero la tasa

diariadiariaTdiaria= (1 + 0.025)Tdiaria= (1 + 0.025)(1/30(1/30

Y luego elevarla 148 díasY luego elevarla 148 días

Ejemplos Valor Presente

3. ¿Con qué tasa de interés mensual un préstamo de S/15,000 se convertirá en S/17,500 al cabo de 6 trimestres?

i = i = nn F/P - 1 F/P - 1

i = i = 1818 17,500/15,000 – 1 = 0.0086 17,500/15,000 – 1 = 0.0086

= 0.86%= 0.86%Despejamos de la formula: F = P(1+i)Despejamos de la formula: F = P(1+i)nn

Ejemplos Valor Presente

4. ¿Cuál es el valor de una inversión realizada, cuyo valor de liquidación es de 62,000 soles y que rindió 4% trimestral por un plazo de 2 años?

P = 62,000/(1+0.04)P = 62,000/(1+0.04)88 = 45,302.79 = 45,302.79

Ejemplos Valor Presente

5. Ud. recibe un préstamo por 10,000, el cual debe cancelar íntegramente a los 6 meses. La tasa de interés es del 8% semestral. ¿A cuánto asciende el pago?

F = 10,000(1+0.08)F = 10,000(1+0.08)11 = 10,800 = 10,800

Ejemplos Valor Presente

6. Se ha tomado un préstamo de 5,000 soles a 135 días, a una tasa de interés del 25% efectivo anual. Calcule el monto que debe pagarse por el préstamo.

i01 = (1 + 0.25)1/360 - 1 = 0.000620035

F = 5,000(1+0.00062)F = 5,000(1+0.00062)135135 = 5,436.40 = 5,436.40

Ejemplos Valor Presente

7. Con la finalidad de obtener un monto de 5,000 soles luego de 3 depósitos mensuales, se realizarán 3 depósitos mensuales iguales en una entidad financiera que paga una TEA de 18.56%. Si el primero de ellos se realiza hoy día. ¿Cuál es el valor de dicho depósito? ii3030 = (1+0.1856) = (1+0.1856)(1/12) (1/12) – 1 = 0.0142885– 1 = 0.0142885

Ejemplos Valor Presente

5,000 = P(1+0.0142885)5,000 = P(1+0.0142885)33+P(1+0.0142885)+P(1+0.0142885)2 2

+ P(1+0.0142885) + P(1+0.0142885) 5,000 = P(1.001428855,000 = P(1.001428853 3 + 1.00142885+ 1.001428852 2 + +

1.00142885) 1.00142885) 5,000 = P(1.004292678 + 1.002859742 +5,000 = P(1.004292678 + 1.002859742 +

1.00142885) 1.00142885) 5,000 = 3 P 5,000 = 3 P P = 5,000/3 = 1,666.67P = 5,000/3 = 1,666.67

Ejemplos Valor Presente

Calcular el valor futuro sabiendo el valor presenteFactor F/P (halla F dado P) Tenemos un valor inicial P

puesto a un interés i% a n períodos. ¿Cuál es el valor futuro F? F=P (F/P,i%,n)=Px(1+i)n

Ejemplo: ¿Cuál es el valor futuro de S/.1,000 dentro de 4 años a un 3.5% anual? F=1,000x(1.035)4=1,147.52

Problemas y ejercicios

ANUALIDADES

Definición: Una anualidad o renta es una serie de pagos iguales o variables a intervalos iguales de tiempo, para reunir un capital o amortizar una deuda. Diagrama Temporal

Anualidades o Rentas

R= cuota periódica n=número de cuotas

0 1 2 3 4 5 6 …………………………………… n-1 n

………………..

VA

VF

R R R R R R R R R R

( ) ( ) ( )n2 r1

R...

r1

R

r1

RVA

+++

++

+=

Ciertas: Las fechas de los pagos están estipuladas en forma

concreta libre de riesgo.

Eventuales o contingentes: Dependen de algún suceso

previsible, pero la fecha de realización no puede fijarse.

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES

Ordinarias (Vencidas): El pago de la renta se hace al final

del periodo de pago.

Anticipadas (Adelantadas): El pago se efectúa al principio

del período de pago.

Constantes: Todos los pagos son iguales.

Variables: Todos los pagos no son iguales.

Enteras: El periodo de pago coincide con el

periodo de capitalización.

Fraccionadas: El periodo de pago no coincide con

el periodo de capitalización.

Inmediatas: El primer pago se hace en el periodo inicial.

Diferidas: El primer pago se efectúa al transcurrir cierto

número de periodos.

Anticipadas: El primer pago se hace antes del inicio de la

operación financiera

Capitalización: El objetivo es reunir un capital.

Amortización: El objetivo es cancelar una deuda.

68

Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidades

Cuota (R): cada uno de los pagos periódicos.

Período de pago: tiempo que transcurre entre dos pagos consecutivos

Duración de la renta: tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período de pago

Fecha de la valoración: momento en que se calcula el valor de la renta

Valor actual (VA): valor al inicio del primer período

Valor final (VF): valor al término del último periodo

Tasa del periodo (i): es la tasa del periodo de capitalización que debe coincidir con el periodo de pago

Elementos de la anualidad

0 1 2 3 4 5 6 …………………………………… n-1 n

………………..

VA

VF

R R R R R R R R R R

( )

−+=r

1r1RVF

n ( )( )

+−+=n

n

r1r

1r1RVA

R: cuota periódican: número de cuotas periódicasVA: Valor actual de la rentaVF: Valor final de la rentar : tasa del periodo de la renta

Notación y Fórmulas de la anualidad

Rentas perpetuas

Es una anualidad compuesta por un conjunto de rentas que se generan y distribuyen homogéneamente hasta el infinito

Pueden ser vencidas, anticipadas y diferidas

ejemplos.: dividendos de utilidades de sociedades anónimas, fondos que se acumulan para mantener infraestructura de larga vida como puentes, carreteras, etc

1. ¿Cuál es el valor final de una renta anual de S/. 1.000 durante 10 años al 5% anual compuesto anualmente?

12.577,890.05

110

0.0511.000VF =

−+=

EJEMPLOS

Solución:

R: 1.000i =5%n = 10 cuotas

En este caso los intereses ganados son: I= 12.577,89 - (10)(1000) = 2.577,89

2. Usted necesita solicitar un préstamo de US$ 28.000 para la compra de un carro. El banco le cobra una tasa de 18% nominal anual capitalizable mensualmente.

Si debe cancelar el préstamo en cuatro años por medio de cuotas mensuales, ¿Cuál será el valor de la cuota?

822.500R0.015

480.0151

148

0.0151R28.000.000 =⇒

+

−+=

Solución:

VA: 28.000.000i =18/12 = 1,5 % mensualn = 4* 12 =48 cuotas

Los intereses pagados son: I= (48)* (822.500)-28.000.000 = 11.480.000

EJEMPLOS

n)i1(1

VAiR −+−

=

)i1(log

)R/VAi1(logn

+−−=

VALOR DE LA RENTA

PLAZO

[ ]1)i1(i

RVF n −+=

1)i1(

VFiR

n −+=

)i1(log

)R/VFi1(logn

++=

[ ]i

)i1(1RVA

n−+−=

RESUMEN DE FORMULAS

MONTO Y VALOR ACTUAL

Ejercicio

Se depositan anualmente 250.000 en un banco que

abona intereses del 48% anual (TEA):

a) ¿Cuál será el monto acumulado al cabo de 5 años?

b) Si transcurridos los dos primeros años baja la tasa de

interés a 40% anual (TEA) ¿Cuál será el monto

acumulado a final del año 5?

R: 3.177.511 y

2.791.280

0 1 2 3 4 5

250 250 250 250 250

( )

( )( )

( )

32.791.280,

0,401

250.0000,410,48

1 250.000 S

043.177.511,0,48

1 250.000 S

30,413

20,481

50,481

=

−++

−=

=

−=

++

+

Solución Nº1

Una persona desea reunir 5.000.000 en 6 años y para

lograrlo se propone depositar en un banco una cantidad

fija de dinero todos los años a una TEA de 36% anual.

Si el banco aumentara la TEA a 45% anual una vez

realizado el 4º depósito, ¿qué cantidad deberá depositar

los dos últimos años para reunir los 5 millones?

R: 90.911,90

Ejercicio Nº2

( )

( ) ( )

90.911,90R

0,451

R0,45)(10,36

1 R 5000000

337.868,34R0,36

1 R 5000000

2

20,451

22

40,361

1

1

60,361

1

=

−++

−=

=⇒

−=

++

+

Solución Nº2