View
36
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
FUNTZIOAK
OINARRIZKO
TRANSFORMAZIOAK
DBH MATEMATIKA4 B AUKERA
Matematika Departamentua
Petri Atarrabiakoa DBHI
e i · + 1 = 0
AURKIBIDEA
OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK FUNTZIOEKIN .......................................... 1
-f(x) transformazioa: X ardatzarekiko biraketa .......................................................... 1
f(-x) transformazioa: Y ardatzarekiko biraketa .......................................................... 2
f(x) + k eta f(x) - k transformazioak: translazio bertikalak ................................ 2
f(x + k) eta f(x - k) transformazioak: translazio horizontalak ............................ 3
k · f(x) transformazioak ................................................................................................................ 4
FUNTZIOEN TRANSFORMAZIOAK GEOGEBRA PROGRAMAREKIN ............... 5
FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 1 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK FUNTZIOEKIN
Funtzio bat, ikusi dugun bezala, bi magnituderen arteko erlazio bat da. x -ri aldagai aske deitzen genion, eta
y-ri, menpeko aldagai.
yxxfyf ;)(
Gogoratu, bere oinarrizko propietateak aztertu genituela (eremua, ibiltartea, jarraitasuna, ...) baita bere adie-
razpen grafikoa ere.
Oraingo honetan, funtzio batean eragin ditzakegun transformazioak aztertuko ditugu. Transformazio hauek
biraketak izango dira (X eta Y ardatzekiko) baita translazioak ere, bertikalak zein horizontalak. Bakoitza
nondik sortu daitekeen ikusiko dugu, lehenik funtzioaren adierazpen aljebraikoan eta ondoren bere grafikoan
islatuta burututako transformazioa.
-f(x) transformazioa: X ardatzarekiko biraketa
X ardatzarekiko 180º biraketa bat burutuko dugu, y f(x) funtzioaren ordez bere aurkakoa adierazten ba-
dugu, hau da, y f(x). Adibide gisa bigarren eta hirugarren mailako funtzio polinomiko sinpleenak erabiliko
ditugu, y f(x) x2 eta y f(x) x3 hain zuzen ere.
Ordenatuen zeinu guztiak aldatzen direnez, honek eragiten du horrelako biraketa sortzea. Balio taulak ere
adierazgarriak dira zer gertatzen den ulertzeko.
x y f(x) x2 y f(x) x
2 x y f(x) x
3 y f(x) x
3
3 9 9 3 27 27
2 4 4 2 8 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 4 4 2 8 8
3 9 9 3 27 27
FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 2 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
f(-x) transformazioa: Y ardatzarekiko biraketa
Y ardatzarekiko 180º biraketa bat burutuko dugu, y f(x) funtzioan abzisaren aurkakoa adierazten badugu,
hau da, y f(x)1.
x y f(x) x2 y f(x) x
2 x y f(x) x
3 y f(x) x
3
3 9 9 3 27 27
2 4 4 2 8 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
2 4 4 2 8 8
3 9 9 3 27 27
f(x) + k eta f(x) - k transformazioak: translazio bertikalak
y f(x) funtzio batean translazio bertikalak egiteko, jatorrizko ordenatuei k balio bat gehitu edo kendu
beharko diegu. k balio bat ordenatu guztiei gehituz gero, funtzioaren grafikoa k unitate transaldatuko dugu
bertikalean gorantz. k balio hori kentzen badiegu ordea, beherantz egingo du grafikoak k unitate. Aztertu on-
dorengo balio taula.
x y f(x) x2 y f(x) 2 x
2 2 y f(x) 1 x
2 1
3 9 11 8
2 4 6 3
1 1 3 0
0 0 2 1
1 1 3 0
2 4 6 3
3 9 11 8
1 y x
2 funtzioa Y ardatzarekiko simetrikoa denez, f(x) f(x) eta orduan ez dugu sumatzen biraketarik.
FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 3 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
f(x + k) eta f(x - k) transformazioak: translazio horizontalak
y f(x) funtzio batean translazio horizontalak egiteko, jatorrizko abzisei k balio bat gehitu edo kendu be-
harko diegu. Horrela, k gehituta ezkerralderako eta k kenduta eskuinalderako translazioak burutuko di-
tugu. Aztertu balio taulak eta grafikoak.
x y f(x) x2 x 2
y f(x 2) (x 2)2
y f(x 2) x2 4x 4
x 3 y f(x 3) (x 2)
2
y f(x 3) x2 6x 9
3 9 5 9 0 9
2 4 4 4 1 4
1 1 3 1 2 1
0 0 2 0 3 0
1 1 1 1 4 1
2 4 0 4 5 4
3 9 1 9 6 9
FUNTZIOAK OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 4 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
k . f(x) transformazioak
Funtzio bat k balio batekin biderkatzen badugu, jatorrizko funtzioa baino beste bat "estuagoa" ala "zabala-
goa" lortuko dugu, k balio horren arabera. Alde batetik k>0 izan daiteke edo bestetik k<0. Guk lehen kasua
aztertuko dugu. Behin hau ikusita, k<0 den kasua X ardatzarekiko biraketa bat bezala aztertu ahal izango
dugu ondoren.
k > 0 bada, bi kasu aztertuko ditugu bi funtzio desberdinetan: lehena, bigarren mailako funtzio polinomikoa;
bigarrena, alderantzizko proportzionaltasun funtzioa. Zein ondorio atera daiteke?
0 < k <1
k > 1
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 5 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
FUNTZIOEN TRANSFORMAZIOAK GEOGEBRA PROGRAMAREKIN
GeoGebra programarekin aljebra eta geometria lantzeaz gain matematikaren analisia atala (funtzioen azter-
keta) jorratu daiteke. Dena dela Aljebra, CAS - Kalkulu Formala eta Ikuspegi Grafikoa erabiliko ditugu
modu bereizezinean.
Ikuspegia irekitzerakoan CAS-Kalkulu Formala eta ondoren Ikuspegia menu berean Aljebra ere aukeratu
eta honako ikuspegia izango duzu2. Nahi izanez gero, ezkuta daiteke leihoren bat eta gero berriz agerian jarri.
Hasiera emateko gure azterketari, orain arte erabili ez dugun tresna berezi batera joko dugu: Irristailua.
Tresna honen bitartez, parametro aldakor bat (edo gehiago) sar daiteke funtzio baten adierazpenean. Ikuspegi
leihoan marra zuzen botoidun bat (bere itxura eta ezaugarriak alda daiteke gerora) agertzen da eta bertan
eraginez kurtsoarekin funtzioa eta bere adierazpen grafikoa aldatzen doa, azterketari dinamismoa emanez.
2 Aurretik ikusi ditugun esku-liburuetan (Hizkera Aljebraikoa; Ekuazioak, Inekuazioak eta Sistemak) GeoGebra pro-
gramari buruzko lehen urratsak kontsulta ditzakezu.
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 6 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
Ikuspegi Grafikoa leihoan nahi dugun puntu batean klikatuz, honako koadro hau agertuko zaigu. Bertan irris-
tailuaren ezaugarriak ezarri daitezke baina osoagoa izango da behin Aplikatu botoian sakatuta, irristailuaren
gainean eskuineko botoiarekin Propietateak aukeratzen badugu. Hobespenak koadroa agertuko zaigu. Au-
kera batzuk ezagunak ditugu aurretik. Berriak eta interesgarrienak direnak komentatuko ditugu.
Irristailua aukeran, mugituko den tartea aukeratu daiteke, baita zein izango den bere gehikuntza.
Finkatua aukeratzen bada, zooma erabiltzen badugu (saguaren gurpilaren bitartez) gure ikuspegitik
desager daiteke. Horrelakoa saihesteko Finkatua desaktibatu eta Posizioa erlaitzean Posizio ab-
solutua pantailan aktibatuta izan (gauza bera gertatzen da txertatutako Testu batekin).
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 7 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
ARIKETA EBATZIA
1.- Bigarren mailako f(x) x2 funtzioan oinarrituz, osatu irristailuen bitartez edozein bigarren mailako funtzioa
lortzeko eraikuntza aztertu ditugun oinarrizko transformazioen erabiliz.
Prozedura
i. Eraiki behar dugun funtzioaren adierazpen orokorra honako hau izango da:
baxkxf 2
)(
Beraz, lehenik eta behin hiru irristailu sortu behar ditugu. Honako hauek izango dira bakoitzaren ezau-
garriak (koloreak eta lodiera zure aukeran):
k: Funtzioaren formako parametroa. Tartea: 5/5 ; Gehikuntza: 0.5 ; Posizio absolutua bai ; finka-
tua ez.
a: Desplazamendu horizontaleko parametroa. Tartea: 10/10 ; Gehikuntza: 0.25 ; Posizio abso-
lutua bai ; finkatu ez.
b: Desplazamendu bertikaleko parametroa. Tartea: 10/10 ; Gehikuntza: 0.25 ; Posizio absolu-
tua bai ; finkatu ez.
ii. Aljebra leihoko Sarrera eremuan, idatzi aurreko adierazpen orokorra: k (x+a)2+b. Enter sakatu bezain
pronto Ikuspegi Grafikoan funtzioaren adierazpen grafikoa agertuko zaigu (ondoren aldatu bere
forma-ezaugarriak).
iii. Orain, funtzioaren puntu bat adieraziko dugu. Puntu hau kurbaren gainean mugitu ahal izateko,
Puntua Objektuan aukeratuko dugu Puntuak botoi-menu multzokoa dena eta grafikoaren gainean kli-
katu egingo dugu.
Puntuaren koordenatuak Ikuspegi Grafikoa leihoan adieraziko ditugu orain. Horretarako Testua bo-toian sakatzen dugunean agertzen zaigun koadroan Editatu leihotxoan A idatzi eta ondoren Objek-tuak aukera-zerrenda zabaldu eta A aukeratu.
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 8 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
iv. Eraikuntza dinamikoagoa izateko funtzioaren adierazpen aljebraikoa agertaraziko dugu ondoren.
Bertan, irristailuetan burutzen ditugun aldaketak islatzeko.
Testuak txertatuko ditugu. Bi izango dira idatzi beharrekoak:
v. Azkenik, bigarren mailako funtzio baten adierazpen orokorra3 sortuko dugu. Adierazpen hau eza-
gunagoa egiten zaigu eta komenigarria da begi bistan izatea. Hau burutzeko, Sarrera eremuan Garatu
komandoa erabiliz hau idatziko dugu:
Garatu[ f ]
g(x) funtzioa sortuko du GeoGebrak. Ezkutatuko dugu bere adierazpen grafikoa eta ondoren Testua tresna aukeratuko dugu adierazpena agertzeko. Bukatzeko eraikuntzaren titulua txertatuko dugu.
3 Gogoratu: f(x) ax
2 + bx + c. Ez nahasi ekuazio honetan erabiltzen diren parametroen letrak aurretik erabili ditugune-
kin.
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 9 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
PROPOSATUTAKO ARIKETA
1.- Aurreko Ariketa Ebatzian oinarrituta eta Alderantzizko Proportzionaltasun funtziotik abiatuta burutu
itzazu egin beharreko transformazio multzoak Lehen Mailako Funtzio Arrazional adierazpen orokorra
lortzeko.
qpx
nmxb
ax
ky
xxfy
zioaktransforma
1)(
2.- Ariketa bera burutu errodun funtzioarentzako.
xxfy )(
FUNTZIOAK GEOGEBRAREKIN OINARRIZKO TRANSFORMAZIOAK
petri atarrabiakoa dbhi - 10 - dbh matematika4 b aukera
matematika departamentua ei · + 1 0
Recommended