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Índice
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ÍndiceEn la realidad, la figura plana de dos dimensiones no existe como tal sino formando parte de una figura del espacio. Así, cuando manipulamos papel, cartón, madera,..., lo hacemos con figuras tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos la figura plana de la del espacio.
Las figuras cuyos elementos básicos están situados en el espacio son el objetivo de la geometría sólida o espacial.
ESPACIOESPACIO
1.1. Rectas y planos en el espacioRectas y planos en el espacio
2.2. Figuras poliédricasFiguras poliédricas
3.3. Figuras de revoluciónFiguras de revolución
4.4. Cónicas y cuádricasCónicas y cuádricas
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Índice
RECTAS Y PLANOS EN EL RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIOESPACIO
Podemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ello tendremos la imagen del plano geométrico. En el espacio, existe, una infinidad de planos ¿cómo determinar uno de ellos en concreto.
Con un solo punto del espacio no queda determinado un plano, ni con dos.
En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano.
Otras formas son mediante:
Una recta y un punto exterior a ella.
Dos rectas que se corten
Dos rectas paralelas
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Índice
Posiciones relativas de rectas y Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio (I)planos en el espacio (I)
A. Entre recta y plano Posición relativa Características
B. Entre dos rectas Posición relativa Características
r y p se cortan La recta y el plano tienen un punto común
r y p son paralelosLa recta y el plano no tienen ningún punto
en común
r está contenida en pLa recta y el plano tienen
en común todos los puntos de la recta
Rectas paralelasLas dos rectas están en un mismo plano y no tienen ningún punto común
Rectas que se cortan Las dos rectas tienen un punto en común
Rectas que se cruzan No tienen ningún punto en común
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Índice
Posiciones relativas de rectas y Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio(II)planos en el espacio(II)
C. Entre dos planos Posición relativa Características
¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio?
¿Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y por un punto?
Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es el menor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de planos que pueden formar? ¿Y cuál es el mayor número de ellos?
Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí?
¿Estarán siempre en un mismo plano tres rectas paralelas? ¿Cuál es el número máximo y mínimo de planos que pueden determinar?
¿Existe siempre un plano que pase por dos rectas?
¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes?
¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?
¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?
Planos que se cortan Los dos planos tienen una recta común
Planos paralelos No tienen ningún punto en común
Planos coincidentes Tienen todo un plano en común
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Índice
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Índice
Se dice que una recta r es
perpendicular a un plano si lo es a cualquier recta
contenida en dicho plano.
En este caso, cualquier plano
que pasa por r, es también
perpendicular al plano
r
p
r
p
Recta oblícua al plano
Por un punto A del espacio solamente se puede trazar una sola recta AA’ perpendicular a un plano dado; las demás son
oblícuas.
La longitud del segmento AA’, perpendicular al plano, se llama distancia del punto A al plano p.
Observa que si A pertenece a dicho plano, la distancia es nula.
Recta perpendicular al plano
A
A’
El punto A’ recibe el nombre de proyección ortogonal de A
sobre el plano p.
Recta perpendicular a un plano. Recta perpendicular a un plano. Distancia de un punto a un planoDistancia de un punto a un plano
Figuras poliédricasFiguras poliédricas
1.1. Ángulos diedros, triedros, poliedros.Ángulos diedros, triedros, poliedros.
2.2. PoliedroPoliedro
3.3. PrismasPrismas
4.4. PirámidesPirámides
5.5. Volumen de un poliedroVolumen de un poliedro
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ÁNGULOS DIEDROS ÁNGULOS DIEDROS
Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo
diedro o simplemente
diedro.
Caras del diedro son los semiplanos que lo determinan
y arista la recta común a las dos
caras
cara
caraarista
Para medir un ángulo diedro,
hacemos uso del llamado ángulo
rectilíneo correspondiente al diedro. Este es el ángulo formado
por dos rectas, una en cada cara,
perpendiculares a la arista en un mismo punto.
Ángulos rectilíneos de un diedro
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ÁNGULOS POLIEDROSÁNGULOS POLIEDROS
Si fijas tu atención en tu habitación puedes observar cómo dos paredes contiguas junto con el techo se encuentran en un punto. El espacio alrededor de ese punto y comprendido entre las paredes y el techo recibe el nombre de triedro
Se llama ángulo poliedro a la región del espacio limitada por tres o más plano que se cortan dos a
dos según rectas concurrentes en un mismo vértice.
Al igual que lo diedros, tienen caras y aristas
Según el número de diedros, el ángulo poliedro se llamará: ángulo triedro, tetraedro, pentaedro,
hexaedro, etc. Pudiendo ser cada uno de ellos convexos o cóncavos.
Poliedro cóncavo
En un ángulo poliedro, las secciones producidas por planos paralelos son semejantes y la razón de sus
áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus lados, y también de sus distancias al vértice
Poliedro convexo experimentaexperimenta
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Índice
FIGURAS POLIÉDRICASFIGURAS POLIÉDRICAS
Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos.
Según el número de caras, los poliedros pueden ser
tetraedros, pentaedros, hexaedros,...
Diagonal de una cara
Diagon
al
Plano diagonal
cara
aris
ta
Vértice
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Índice
FÓRMULA FÓRMULA DE EULERDE EULER
Poliedro Nº de caras
C
Nº de vértices
V
Nº de aristas
AC+V-A
6 8 12 2
7
5 6 9 2
5 5 8 2
11 11 20 2
7 12 2
Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética:
Nº de caras+Nº de vértices=Nº de aristas +2
Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII
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POLIEDROS POLIEDROS REGULARESREGULARES
Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí
y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo hay cinco, y se
llaman también sólidos platónicos.
Posibles caras del poliedro
Nº de caras por vértice>2
Suma de ángulos en cada vértice <360º
Poliedro regular
180º
240º
300º60º
90º
108º
120º
3
3
3
3
4
4
4
5
6 360º
270º
360º
Imposible
Imposible
Imposible
TETRAEDRO
ICOSAEDRO
OCTAEDRO
HEXAEDRO o CUBO
DODECAEDRO
Imposible
324º
360º
>360º
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Índice
Platón, filósofo griego del siglo IV a.J:C:, concebía el mundo como constituido por los cuatro principios básicos:tierra, fuego, aire y agua. Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como símbolo del universo.
Sin duda nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época.
En cuanto al figura de Platón no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio.
Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia: “No entre aquí nadie que ignore la geometría”
Siglos mas tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay armonía si no hay matemáticas”
SÓLIDOS PLATÓNICOSSÓLIDOS PLATÓNICOS
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Índice
PRISMASPRISMAS
Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos.
Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base se dice que el prisma es recto; en caso contrario el prisma es oblícuo.
Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares.
Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc.
Cara básica
Ca
ra l
ate
ral
Ari
sta
la
tera
l
Arista básica
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Índice
ÁREA LATERAL Y TOTAL ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMADE UN PRISMA
Área total=A L+ 2 . A B
El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El desarrollo plano de un prisma recto, es un rectángulo de base el perímetro de la base y de altura su arista lateral
Área lateral=PB.h
PB
AB
h
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PARALELEPÍPEDOSPARALELEPÍPEDOS
Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son paralelogramos.
Cubo Ortoedro Romboedro
a) Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.
b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.
N
O
M
ab
c
m
d
Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del teorema de Pitágoras:
En el triángulo rectángulo MON: d2 = m2 + c2
Pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto: m2 = a2 + b2
De donde d2 = a2 + b2 + c2 o también 222 cbad
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Índice
PIRÁMIDESPIRÁMIDES
La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.
Según sean los polígonos de la base, las pirámides se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales,...etc.
Si la base es un polígono regular y es recta, se dice que la pirámide es regular.
En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales.
Pirámide recta y pirámide oblícua
Cara básica
Car
a la
tera
l
Ari
sta
late
ral
altu
ra
apotema
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Índice
ÁREA LATERAL Y TOTAL DE ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE Y DE UN UNA PIRÁMIDE Y DE UN TRONCO DE PIRÁMIDETRONCO DE PIRÁMIDE
El área lateral de una pirámide es la suma de la superficie de todas sus caras laterales.
Si es recta y de base regular (sus caras son triángulos isósceles todos ellos iguales):
2
aP
2
aanAlateralÁrea BB
L
BLT AAAtotalÁrea
AB
h
aapotema lateral
2
aPP
2
aaanAlateralÁrea bBbB
L
aapotema lateral
AB
hAb
ALa
bBLT AAAAtotalÁrea
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Índice
VOLUMEN DE POLIEDROSVOLUMEN DE POLIEDROS::VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDOVOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
cbaalturaAVVolumen base
El volumen de un ortoedro es igual al área de la base (rectángulo) por la altura.
b
c
a
El volumen de un cubo es igual al cubo del lado.
3lV l
Si el paralelepípedo es oblícuo, el volumen equivale al del ortoedro con iguales base y altura.
alturaAV base hAb
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Índice
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Índice
PRINCIPIO PRINCIPIO DE DE
CAVALIERICAVALIERI
Si en dos cuerpos de igual altura las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen.
Cavalieri advirtió que tres pilas de igual número de cartulinas iguales tienen el mismo volumen
Sin embargo, no es necesario que las cartulinas tengan la misma forma, basta con que las secciones tengan igual área (las bases tengan el mismo área)
alturaAV base
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Índice
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Índice
VOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDEVOLUMEN DEL PRISMA Y DE LA PIRÁMIDE
El principio de Cavalieri simplifica el cálculo del volumen de un prisma. Basta comparar éste con el ortoedro de igual altura y base de igual área.
h
AbAb
h
Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos construir una pirámide con el vértice en el centro. Ello supone que el volumen de la pirámide será:
ll6
1l
6
1V 23 Y siendo l = 2 h, tenemos:
hA3
1h2A
6
1V bbpirámide
hA3
1V bpirámide
hAV bprisma
Lo anterior está referido a una pirámide cuadrangular, no obstante, para otras pirámides sigue siendo válido al tener en cuenta el Principio de Cavalieri. Es decir:
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Índice
23
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ÍndiceF
A
E
D
C
B
A
D
B
C
D
B
C
E
F
= +I
II
III
Un prisma triangular se descompone en tres pirámides triangulares de igual volumen.
prismapirámide V3
1v
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Índice
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Índice
VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDEVOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
VTRONCO DE PIRÁMIDE=VPIRÁMIDE GRANDE-VPIRÁMIDE PEQUEÑA
hA3
1HA
3
1V bBpirámidedetronco
H
h
AB
Ab
Figuras de revoluciónFiguras de revolución
1.1. En generalEn general
2.2. CilindroCilindro
3.3. Cono. Tronco de conoCono. Tronco de cono
4.4. EsferaEsfera
5.5. Figuras esféricasFiguras esféricas
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Índice
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Índice
FIGURAS DE REVOLUCIÓNFIGURAS DE REVOLUCIÓN
Son figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.
eje eje eje
El cilindro como rotación de un
rectángulo alrededor de un lado
El cono como rotación de un triángulo
rectángulo alrededor de un cateto
La esfera como rotación de una
semicírculo alrededor de su diámetro
experimentaexperimenta
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Índice
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Índice
ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDROÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO
r
h
r
h AL=2prh
AB=pr2
2pr
AT=AL+2 AB
Vcilindro= AB h Vcilindro= p r2 h
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Índice
28
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Índice
ÁREA Y VOLUMEN DEL CONOÁREA Y VOLUMEN DEL CONO
h
r
h
r
g
g
2pr
AB=pr2
AL=prg
AT=AL+AB
hA3
1V Bcono hr
3
1V 2
cono
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Índice
29
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Índice
Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra figura geométrica denominada tronco de cono (recto u oblícuo según sea el plano
paralelo o no a la base del cono)
2pR
2pr
R
r
AB=pR2 AT=AL+AB+ Ab
hrHR3
1hA
3
1HA
3
1V 22
bBconodetronco
grRgrRg2
r2R2g
2
PPA bB
L
Ab=pr2
VTRONCO DE CONO=VCONO GRANDE-VCONO PEQUEÑA
ÁREA Y VOLUMEN DE UN ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO RECTOTRONCO DE CONO RECTO
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Índice
30
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Índice
LA ESFERALA ESFERA
Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de revolución obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera
La propiedad que define la esfera es la de que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo llamado centro; dicha distancia se llama radio de la esfera.R
Arquímedes de forma experimental llegó a observar que el volumen de la esfera equivale a
3R3
4V
Dando pie a que en su tumba fuera grabada la esfera inscrita en un cilindro con las expresiones de sus volúmenes
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Índice
31
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Índice
VOLUMEN DE LA ESFERA (I)VOLUMEN DE LA ESFERA (I)
R
OR Imaginemos una semiesfera de radio R así
como un cilindro de altura y radio de la base también R, colocados tal como
muestra la figura.
Pero usando el Principio de Cavalieri, demostraremos que el volumen de este complemento es igual al del cono de vértice
en O y base la del cilindro
Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento
Vcomplemento=Vcono Vsemiesfera=Vcilindro-Vcono
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Índice
32
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Índice
Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son iguales, ambos tienen el mismo volumen”
M
O
E N
R
OR
En nuestro caso se reduce a comprobar que la corona circular del complemento y el círculo del cono son equivalentes en área a cualquier altura
a
22
ciónseccírculo aENA
O
NE
a
H F
OEl triángulo OHF,
rectángulo en H, es isósceles OH=R=HF
Por semejanza, lo es igualmente el triángulo
OEN.
Por tanto EN=OE=a
2222
222
222
22
circularcorona
aaRR
aRR
OERR
ENEMA
Resumiendo, ambas secciones son de igual área y por el Principio de Cavalieri el volumen del complemento y del cono son iguales
VOLUMEN DE LA ESFERA(II)VOLUMEN DE LA ESFERA(II)
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Índice
33
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Índice
R
O R
R
OR
Vcomplemento=Vcono
Vsemiesfera=Vcilindro-Vcomplemento= Vcilindro-Vcono
322semiesfera R
3
2RR
3
1RRV
33esfera R
3
4R
3
22V
VOLUMEN DE LA ESFERA (III)VOLUMEN DE LA ESFERA (III)
experimentaexperimenta2R
R
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Índice
34
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Índice
ÁREA DE LA ESFERAÁREA DE LA ESFERA
2R
R
La superficie de la esfera se llama superficie esférica. No se puede desarrollar sobre el plano
más que aproximadamente.
Imaginemos la esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella. Pues bien, el área de la esfera es igual
que el área lateral de ese cilindro
2esfera R4A
2cilindrodellateral R4R2R2A
VOLUMEN DE LA ESFERA (Otra forma)
32
321
321esfera
R3
4RR4
3
1
R...SSS3
1
...RS3
1RS
3
1RS
3
1V
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Índice
35
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Índice
cilindrocilindrocilindro VV3
1V
3
2
UNA RELACIÓN INTERESANTEUNA RELACIÓN INTERESANTE
Es interesante observar que el volumen de la esfera es igual a los 2/3 del volumen
del cilindro circunscrito a ella:
O
Vsemiesfera + Vcono = Vcilindro
cilindrocilindrosemiesfera VV3
1V
32esfera R
3
4RR
3
22V 32
esfera R3
4RR
3
22V
Vsemiesfera
El volumen de la zona esférica
El volumen del tronco de cono
El volumen de la zona del cilindro comprendido entre los mismos
planos que determinan a aquellos+ =
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Índice
36
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Índice
FIGURAS ESFERICAS(I)FIGURAS ESFERICAS(I)
Huso esférico Cuña esférica
Zona esférica Segmento esférico de dos bases
ºnº360
R4A
2
huso
ºnº360
R34
V
3
cuña
222 'r3r3h6
hV
Rh2A zona
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Índice
37
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Índice
Segmento esférico de una base Casquete esférico
Sector esférico Sector esférico de dos bases
hR33
hV
2
Rh2Acasquete
hR3
2V 2 V=Vsector exterior-Vsector interior
FIGURAS ESFERICAS(II)FIGURAS ESFERICAS(II)
Cónicas y cuádricasCónicas y cuádricas
1.1. En generalEn general
2.2. ElipseElipse
3.3. ParábolaParábola
4.4. HipérbolaHipérbola
5.5. CuádricasCuádricas
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Índice
39
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Índice
CÓNICASCÓNICAS
CircunferenciaHipérbola
Parábolaelip se
Recuerda cómo el cono venía engendrado por su generatriz al girar ésta alrededor de un eje. Si consideramos tal generatriz como una recta ilimitada, la figura resultante del giro es una superficie cónica, la cual resulta estar compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el vértice
Cortando una superficie cónica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas.
Según la distinta posición del plano, dichas secciones pueden ser: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
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SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS
Según la inclinación
del plano que corta la superficie cónica,
tenemos las diferentes cónicas:
Circunferencia Elipse
Parábola
Hipérbola
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Círculo
Elipse (h)
Parábola (h)
Hipérbola (h)
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La elipseLa elipseLa elipse es una curva cuyos puntos cumplen que la suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (2a).
PF+PF’=2a
La elipse es la curva obtenida al cortar todas las generatrices de una superficie cónica mediante un plano.
En un corcho fija una cartulina y clava dos chinchetas con 12 cm de separación. Enlaza en cada una de ellas los extremos de un cordón de 20cm de longitud. Manteniendo el cordón tenso con la punta de un lápiz, dibuja la curva que éste te permita trazar.
A’ O
B
A
B’
FF’
La figura muestra los elementos notables de la elipse. Los diámetros son cuerdas que pasan por el centro, teniendo éstos longitudes variables. El mayor se denomina eje mayor (AA’=2a), y el menor de ellos, eje menor (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).
Observando el dibujo podemos comprobar que:
a2 = b2 + c2
B’
O
B
AFF’
a
c
b El grado de achatamiento de la elipse se mide por la excentricidad de la elipse, definida como
ac0queya1a
ce0 experimentaexperimenta
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Excentricidad de la elipseExcentricidad de la elipse
ac0,a
ce
e=0 (los focos coinciden con el centro)
0< e <1 (los focos no coinciden con el centro)
0< e <1 (los focos se van separando del centro)
0< e <1 (los focos se siguen separando del
centro y la excentricidad sigue aumentando)
e=1 (los focos coinciden con los extremos del eje
mayor)
experimentaexperimenta
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ka
T3
2
Algo de HistoriaAlgo de Historia
Kepler, en el siglo XVII, observó la gran utilidad de las cónicas en astronomía al constatar que las trayectorias de los planetas del sol son elípticas, llegando a enunciar sus tres conocidas leyes sobre el movimiento de los planetas:
1. Los planetas se mueven alrededor del sol siguiendo órbitas elípticas en uno de cuyos focos esta el sol.
2. El radio vector que va del sol a un planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Los cuadrados de los tiempos empleados por cada planeta en describir la órbita completa son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas, lo que significa que es idéntica para todos los planetas la relación
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Área encerrada en una elipseÁrea encerrada en una elipse
Si sobre una pieza elástica se dibuja un cuadrado y una circunferencia inscrita en él, al estirar la pieza observaremos que el cuadrado se transforma en un
rectángulo, mientras que la circunferencia lo hará en la elipse inscrita en dicho rectángulo. Ello permite plantear la siguiente proporción entre áreas:
cuadrado
rectángulo
círculo
elipse
A
A
A
A
22
elipse
R2
b2a2
R
A
De donde ab
R4
ab4RA
2
2
elipse
Rb
a
abAelipse
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Propiedades de los focos Propiedades de los focos de la elipsede la elipse
En la elipse, los focos tienen la propiedad de que cualquier rayo emergente de uno de ellos se refleja pasando por el otro. En esta propiedad se basan los los espejos y las bóvedas elípticas.
Basándose en esta propiedad de la elipse, Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos con cuentas, nos presenta las siguientes escenas:
El secreto del Salón Ovalado:
El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta rebosar de espías, contraespías y contracontraespías. Y, sin embargo, el Primer Ministro tenía absoluta necesidad de comunicar inmediatamente a Su Majestad el gran secreto del que acababa de enterarse. Como quien no quiere la cosa, al aproximarse al Rey le dijo con voz bien perceptible: “Majestad, parece que los focos de rebeldes reclaman nuestra atención”. Todos los espías se fueron hacia las paredes del salón para sacar de los forros de sus capas allí colgadas las claves de los mensajes cifrados.
Les siguieron, naturalmente con gran sigilo, los contraespías, y a éstos, los contracontraespías. El Rey, con paso tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un lado del ovalado salón. El Ministro, por su parte, se dirigió en dirección contraria al otro lado del salón ovalado. Los espías los observaban de reojo mientras consultaban en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y “exigen”. Los contraespías estaban atentos a los espías, y los contracontraespías no perdían de vista ni un momento a sus contraespías correspondientes. El Rey se paró un momento y el Ministro, respetuoso, se paró también en su camino. Estaban a más de 20 metros de distancia cuando un espía más astuto observó y apuntó en su libreta. “Este Ministro, o habla solo o está rezando”. Pero nadie pudo oir nada. Sólo el Rey pudo percibir claramente en sus oídos el mensaje del Ministro: “Majestad, con todos mis respetos, su bragueta está completamente abierta”
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La parábolaLa parábola
La parábola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a una sola generatriz.
experimentaexperimenta
V
dire
ctriz
eje
La parábola es una curva cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto fijo llamado foco.
En la parábola el foco es tal que los rayos que emergen de él “rebotan” en ella saliendo paralelos al eje y viceversa. Esta propiedad permite múltiples aplicaciones, en hornos parabólicos, antenas parabólicas de TV, estufas, espejos o faros.
En Física existen diversos movimientos con forma parabólica. Fue Galileo quien demostró que la trayectoria seguida por un proyectil es una parábola y calculó una tabla de distancias y elevaciones en la cual el artillero podía hallar la altura a que debía elevar la mira de su cañón para hacer blanco en un punto situado a una distancia determinada.
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La hipérbolaLa hipérbolaLa hipérbola es una curva cuyos puntos cumplen que la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (2a).
PF-PF’=2a
La hipérbola es la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano paralelo a dos generatrices.
experimentaexperimenta
La figura muestra los elementos notables de la hipérbola. Las longitudes de los lados del rectángulo de la figura son las medidas del eje real (AA’=2a), y del eje imaginario (BB’=2b); ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría. F y F’ se denominan focos. La distancia que separa los focos, se llama distancia focal (FF’=2c).
Observando el dibujo podemos comprobar que:
c2 = a2 + b2
a
b cas
ínto
ta
asíntota
F’
Un punto luminoso colocado en uno de los focos, al emitir rayos sobre ella, son reflejados de forma divergente como si procedieran de otro foco. En esta propiedad se basan los espejos hiperbólicos usados en superficies amplias como los estadios de fútbol.
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Excentricidad de la hipérbolaExcentricidad de la hipérbola
ca0,a
ce
experimentaexperimenta
e=1’03
e=1’25e=2’24e=2’24
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Superficies engendradas por cónicas: Superficies engendradas por cónicas: las cuádricaslas cuádricas
El balón de rugby, las antenas parabólicas de telecomunicación o las chimeneas de una central térmica son figuras engendradas por cónicas, ya sea por rotación de éstas alrededor de uno de sus ejes o bien por simple traslación o desplazamiento. Todas ellas constituyen una nueva familia de figuras, las cuádricas.
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Superficies engendradas por cónicas: Superficies engendradas por cónicas: las cuádricas(III)las cuádricas(III)
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Cónicas y cuádricas en Cónicas y cuádricas en ArquitecturaArquitectura
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Todo lo anterior está basado en su mayoría en el libro GEOMETRÍA Y EXPERIENCIAS
de la Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede encontrar
ejercicios sobre los temas vistos en este trabajo
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