Geométria espacial autor antonio carlos carneiro barroso

Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso

•Ensino de Matemática•Colégio Estadual Dinah Gonçalves•Salvador bahia•www.ensinodematemtica.blogspot.com.br• 21/09/2012• Geométria Espacial•accbarroso@hotmail.com•www.facebook.com/acmatematico

Prisma   Um prisma é um poliedro limitado por dois polígonos e paralelos (as bases) e vários paralelogramos (as faces laterais). A altura do prisma é a distância entre as bases. Se todas as faces laterais são retângulos, elas serão perpendiculares às bases e então o prisma chama-se prisma reto.  Se as faces laterais não são perpendiculares às bases, chama-se prisma oblíquo. Um prisma é regular quando tem um prisma reto que cujas bases são polígonos regulares. As arestas laterais de um prisma são segmentos iguais e paralelos entre si. Nos prismas retos são perpendiculares às bases.

Classificação dos prismas segundo o polígono das bases  Conforme os polígonos das bases são triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc., o prisma chama-se triangular, quadrangular, pentagonal, etc. Os prismas retos cujas bases são polígonos regulares chamam-se prismas regulares. Quer em objetos de uso corrente, quer na Natureza, encontramos com frequência formas prismáticas.

Área do prisma  Área lateral = Perímetro da base x altura Área total = Área lateral +2 x Área da base

Volume do prisma  O volume de um prisma reto ou oblíquo, é:     Volume do prisma = Área da base x altura   Recordamos que a altura de um prisma é a distância entre as duas bases. Se o prisma é reto, a altura coincide com o comprimento das arestas laterais.

Pirâmides  Uma pirâmide é um poliedro que tem por base um polígono qualquer e por faces laterais triângulos com um vértice comum, que se chama vértice da pirâmide. A altura da pirâmide é a distância do vértice ao plano da base. Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o vértice projeta-se sobre o centro desse polígono. Uma pirâmide é oblíqua quando a projeção do vértice não coincide com o cento do polígono da base. Uma pirâmide é reta quando o vértice tem a sua projeção coincidente com o centro da base.

  Numa pirâmide regular as arestas laterais são todas iguais e as faces são triângulos isósceles iguais. As alturas desses triângulos  chamam-se apótemas da pirâmide.   O apótema de uma pirâmide regular é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura da pirâmide e o apótema do polígono da base. As pirâmides chamam-se triangulares, quadrangulares, pentagonais,... consoante o polígono da base seja um triângulo, um  quadrilátero, um pentágono,...

Cilindro Circular

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.

Cilindro circular reto

No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.

Cilindro equilátero

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero. No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At. do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At. = 2*π*r*h + π*r2 + π*r2 → At. = 2*π*r*h + 2π*r2

Volume do cilindro circular

O volume V de um cilindro circular de altura h e raio da base r é igual ao produto da área da base, πr2, pela altura h, isto é:

V = π*r2*h

Hexaedro Segundo o filósofo grego Platão, o hexaedro é o representante do elemento terra, figura formada por 12 arestas, 8 vértices e 6 faces no formato quadrangular. O hexaedro também pode ser denominado de cubo.

Área de um hexaedro ou cubo

Em razão das faces possuírem formato quadrangular, é preciso calcular a área de uma dessas faces e multiplicar por seis (número de lados do hexaedro), lembrando que a área de um quadrado é dada pela expressão A = l2 (lado), definimos a seguinte expressão matemática:

Volume

O volume de um hexaedro é dado multiplicando a área da base pela medida da altura. Como o hexaedro é uma figura regular, todos os lados (arestas) possuem a mesma medida. Generalizando, temos a expressão para o cálculo do volume de um hexaedro:

De acordo com o filósofo grego Platão, o octaedro é o representante do elemento ar. Esse sólido platônico é formado por 12 arestas, 6 vértices e 8 faces que possuem o formato de um triângulo equilátero. O volume de um sólido geométrico que possui forma de octaedro regular é dado pela expressão:

Área de um octaedro regular

O octaedro regular é formado por oito triângulos equiláteros, ao multiplicarmos por 8 a expressão que calcula a área de um triângulo equilátero, teremos o valor da área do octaedro.

Paralelepípedo é um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem.

Paralelepípedo reto é aquele onde toda a projeção de sua face superior cai sobre sua face inferior, ou seja faz um ângulo de 90º entre cada uma das faces.

Cubo é o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes.

Diagonal e área do cubo, se notarmos um cubo é formado por seis faces quadradas, de lado n. Poderemos então concluir que sua área lateral total é de : 6n2

Para a diagonal do cubo deveremos considerar a a diagonal do lado e d a diagonal principal.Assim

Para calcular f devemos efetuar o Teorema de Pitágoras com os lados do cubo.

Observe que para o paralelepípedo retângulo a ideia é a mesma onde encontramos:

Onde sua superfície lateral total é de :2ab + 2bc + 2acE d (sua diagonal principal) é:O volume do cubo é dado por n3 e o do paralelepípedo reto é abc.

Icosaedro: é um poliedro convexo de 20 faces. Um icosaedro regular, é constituído por 20 triângulos equiláteros e é um dos sólidos platônicos.

O icosaedro também pode ser chamado tetraedro pois a planificação de um tetraedro regular dá um icosaedro regular. O estudo das figuras geométricas sólidas perfeitas, como o icosaedro é de tamanha importância para a matemática, mais especificamente a geometria espacial.Planificação do icosaedro regular:

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regularÉ um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Tetraedro RegularO filósofo grego Platão estabelecia uma ligação dos poliedros com as forças da natureza. Hoje é possível estudar as formas moleculares existentes na natureza e observar que as ideias que Platão teve por volta do século V e IV A.C. são verificadas e comprovadas.

O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas.

Área do tetraedro regular

Considerando que o tetraedro regular é formado por quatro triângulos equiláteros, devemos calcular a sua área total, multiplicando por 4 a expressão que calcula a área de um triângulo equilátero. L2 √3

Professor de Matemática do Governo da Bahia no Colégio Estadual Dinah Gonçalves e Biologia na rede privada,graduado em Ciências Naturais pela UFBA,pós graduado em Metodologia de Ensino Superior. Com 30 anos de experiência ensinando matemática,Ciências naturais e Desenho geométrico.

curso de Mídias digitais 120hs,Aprendendo e ensinando com as tics 120hs,uso de novas tecnologias pela FJA 80hs,Cartografia digital 120hs,Tvpendrive 40hs,combate ao uso de drogas na escola pública pela UNB 120hsc gestar em Matemática 393 hs , Mídias na educação 360hs.

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