GEOMETRIA maruuu 22222222222

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -2-200 MILLAS

GEOMETRIA

1.- DEFINICIÓN: Es un conjunto infinitos de puntos de un plano, que equidista de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

2.- CÍRCULO: es la reunión de una circunferencia y su región interior.

3.- ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

1. Centro : “O”

2. Radio : OA

3. Diámetro : AB

4. Cuerda : PQ5. Arco : BC

6. Flecha o sagita : EF7. Recta tangente : L1

8. Recta secante : L2

9. Pto. de tangencia :”T”

10. Sector circular : BOC

11. Segmento circular : MN

3.1 RADIO: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de sus puntos.

3.2 CUERDA: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

3.3 DIÁMETRO O CUERDA MÁXIMA: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

4.- PROPIEDADES:

4.1.- Si “T” es punto de tangencia, entonces:

OT ⊥ L1 .

4.2.- Si: A y B son puntos de tangencia, entonces: PA = PB

También : si “O” es centro.

POes bisectriz A P̂B

4.3.- Si: OM ⊥ AB ; entonces:

AM = MB

4.4.- Tangentes Comunes Interiores:

AB = CD

4.5.- Tangentes Comunes Exteriores.

AB = CD

5.- ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

5.1.- Ángulo Central:

5.2.- Ángulo Inscrito:

5.3.- Ángulo Semi-Inscrito:

x = mAB

x°m° n°

5.4.- Ángulo Ex - Inscrito:

5.5.- Ángulo Interior:

x = mAB

x° = m°+n°

n° m°P

5.6.- Ángulo Exterior:

x° = m°−n°

Am°n°

x° y°

5.7.- De un Ángulo exterior

5.8.- Si AB = CD, entonces : AB CD

x° = m°−n°

x + y = 180

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Calcula “x” , si “O” es centro.

Resolución:

Trazamos radio perpendicular al punto de tangencia “C”.

40° x°

40° x°80°

Se observa que en el triángulo rectángulo OCD el valor de x = 45°.

2.- Del gráfico calcula el valor de “x”.

Resolución:

Se observa que

x +80° = 180°

x = 180 - 80

60°80° x°

x = 100°

3.- Del gráfico calcula el valor de “x”

Resolución:

Se sabe que:

60° es un ángulo interior

60° =

80 °+ x2

120° = 80° + x

120° - 80° = x

40° = x

4.- Calcula el valor de “x”

Resolución:

Del gráfico se observa que:

x + 112 = 360°

x = 360° - 112

x = 248°

5.- Calcula el valor de

Resolución:

Se observa que:

= 2(60)

= 120°

+ = 180°

+ 120° = 180°

= 60°

x° 80°60°

6.- Calcula x:

Resolución:

Del gráfico se observa que x es un ángulo interior:

x = 60+802

x = 70°

CUESTIONARIO

1).- Calcula “x”, si “O” es centro.

O O’35° x°

a) 53° b) 37° c) 45°

d) 30° e) 60°

2).- Calcula “x”, si O y O’ son centros.

a) 35° b) 45° c) 55°

d) 65° e) 40°

3).- Calcula “x” si “o” es centro.

100°ox°

a) 40° b) 45° c) 30°

d) 50° e) 60°

4).- Calcula “x” si “o” es centro.

a) 15° b) 30° c) 50°

d) 25° e) 10°

5).- Calcula “x”

a) 10° b) 20° c) 30°

d) 40° e) 50°

6).- Calcula “x” si: AB = BC

a) 60° b) 30° c) 50°

d) 55° e) 40°

a) 10° b) 20° c) 15°

d) 5° e) 12°

a) 100° b) 80° c) 90°

d) 120° e) 150°

x° 120°80°

a) 140° b) 90° c) 130°

d) 120° e) 110°

10).- Calcula “x”, si “O” es centro

a) 15° b) 40° c) 10°

d) 20° e) 30°

11).- Calcula “x” si “O” es centro.

a) 15° b) 18° c) 12°

d) 10° e) 20°

12).- Si: + - = 80°, calcula “x”

x°y°

a) 35 b) 55 c) 65

d) 40 e) 50

13).- Calcula (x + y)

a) 135 b) 120 c) 90

d) 105 e) 180

14).- Calcula (x + y + z)

y° z°

w°x°

a) 90 b) 540 c) 360

d) 270 e) 180

15).- Calcula (w + x + y + z)

a) 150° b) 225° c) 270°

d) 90° e) 180°

16).- Calcula “x” si “O” es centro.

a) 80° b) 40° c) 60°

d) 70° e) 50°

17).- En la figura, calcula “R”

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 2,5

18).- Si ABCD es cuadrado, calcula el perímetro del triángulo EBG.

a) 8 b) 4 c) 6 d) 12 e) 16

19).- En la figura, calcula “x” si “O” es centro.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

20).- Calcula “x” si “O” es centro

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

1) b 2) c 3) e 4) d

5) b 6) d 7) a 8) c

9) e 10) e 11) b 12) e

13) c 14) e 15) e 16) a

17) b 18) a 19) b 20) d

3° Secundaria Alumno(a) :...........................................................

“Planificación Estratégica para una Educación

TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

1° Unidad Temática N° 7; 8 2° Objetivo N° 7.1; 8.1 3° Tema N° VIII ; IX 4° Contenido N° 8.4; 8.5; 8.6; 9.1; 9.3

1.- TEOREMA DE THALES:

Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: L1 // L2 // L3

2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO

Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: MN // AC

3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:

En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz.

a).- BISECTRIZ INTERIOR:

A EC n

b).- BISECTRIZ EXTERIOR:

4.- TEOREMA DEL INCENTRO:

En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.

5.- TEOREMA DE MENÉALO:

c+ab= BI

En todo triángulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.

6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

6.1).- DEFINICIÓN:

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos interiores de igual medida y las longitudes de sus lados son directamente proporcionales.

El ABC ~ PQR

6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

a.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

b.- Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.

c.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

PROBLEMAS RESUELTOS

x-3x-4

Si L1 // L2 // L3

Solución:

Aplicando el Teorema de Thales.

= DEEF

820= x( x+6 )

4(x+6) = 10x

4x + 24 = 10x

24 = 6x

2.- Calcula “x” si: PQ // AC

Solución:

Aplicando el teorema de Thales.

x−2x−4

= 6x−3

x2 – 5x + 6 = 6x – 24

x2 – 11x + 30 = 0

x –5

x – 6

(x-5)(x-6) = 0

C.S {5; 6}

3.- Calcula “x.y.z”, si: a.b.c = 24

Solución:

Aplicando el Teorema de Menelao

a.b.c = x.y.z

24 = x.y.z

4.- Del gráfico calcula “x”:

Solución:

Aplicando el Teorema de la bisectriz interior:

16x= x

x2 = 16.9

x = 4.3 = 12

5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 además AB= 3; CD = 4; EG= 6 y FH = 7

Solución:

Aplicando el Teorema de Thales:

= EFGH

34= 6−x

7−x⇒ 21−3x=24

6.- Calcula “x”

Solución:

= BCMC

Simplificando x = 10

CUESTIONARIO

1).- Calcula DE . Si: AB = 4 ; DE = BC y EF = BC − 1 ; además L1 // L2 // L3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2,5 e) 3,5

2).- Calcula “x”, si PQ // AC

a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3

3).- Calcula “x”: L1 // L2 // L3

a) 5 b) 6 c) 8

d) 12 e) 10

4).- En la figura calcula “x”, si MN // AC .

a) 8 b) 21 c) 17

d) 12 e) 14

5).- Calcula : MN , si AB= 12; AC = 9 ; BN = 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 21,6 b) 12 c) 13,5

d) 15 e) 24

7).- Calcula “m - n”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8).- Calcula: “m + n”

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

9).- Calcula x.

a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15

10).- Calcula “x”, si AP= 8 y PB = 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

4 9M N

a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45

d) 1,75 e) 2,75

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

13).- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 9

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15).- En un triángulo ABC, AB=10; BC =14 y AC =12, se traza BDbisectriz interior (“D” en AC ),

calcula AD .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16).- En la figura calcula AD .

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

17).- En la figura, calcula x.

A E L1

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

18).- Calcula

19).- En la figura: L1//L2//L3. AB=5; EF =x+2; BC =7 y FG=2x –2. Calcula “x”.

D H L4

a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

20).- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB=5; CD =7; EG= 15 y FH = 19. Calcula “FG ”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

CLAVES

1) b 2) a 3) b 4) e

5) c 6) a 7) a 8) d

9) e 10) a 11) e 12) c

13) d 14) b 15) c 16) c

17) c 18) a 19) c 20) c

TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

COLEGIO PRIVADO

1° Unidad Temática N° 7; 8 2° Objetivo N° 7.1; 8.1 3° Tema N° VIII ; IX 4° Contenido N° 8.4; 8.5; 8.6; 9.1; 9.3

1.- TEOREMA DE THALES:

Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: L1 // L2 // L3

2.- CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO

Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intersecta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.

Si: MN // AC

3.- TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO:

En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz.

a).- BISECTRIZ INTERIOR:

A EC n

b).- BISECTRIZ EXTERIOR:

4.- TEOREMA DEL INCENTRO:

En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.

5.- TEOREMA DE MENÉALO:

c+ab= BI

En todo triángulo al trazar una recta transversal o secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.

6.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

6.1).- DEFINICIÓN:

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos interiores de igual medida y las longitudes de sus lados son directamente proporcionales.

El ABC ~ PQR

6.2).- CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

a.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

b.- Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo respectivamente congruente y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.

c.- Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

PROBLEMAS RESUELTOS

x-3x-4

Si L1 // L2 // L3

Solución:

Aplicando el Teorema de Thales.

= DEEF

820= x( x+6 )

4(x+6) = 10x

4x + 24 = 10x

24 = 6x

2.- Calcula “x” si: PQ // AC

Solución:

Aplicando el teorema de Thales.

x−2x−4

= 6x−3

x2 – 5x + 6 = 6x – 24

x2 – 11x + 30 = 0

x –5

x – 6

(x-5)(x-6) = 0

C.S {5; 6}

3.- Calcula “x.y.z”, si: a.b.c = 24

Solución:

Aplicando el Teorema de Menelao

a.b.c = x.y.z

24 = x.y.z

4.- Del gráfico calcula “x”:

Solución:

16x= x

x2 = 16.9

x = 4.3 = 12

5.- Si L1 // L2 // L3 // L4 además AB= 3; CD = 4; EG= 6 y FH = 7

Solución:

Aplicando el Teorema de Thales:

= EFGH

34= 6−x

7−x⇒ 21−3x=24

6.- Calcula “x”

Solución:

= BCMC

Simplificando x = 10

CUESTIONARIO

1).- Calcula DE . Si: AB = 4 ; DE = BC y EF = BC − 1 ; además L1 // L2 // L3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2,5 e) 3,5

2).- Calcula “x”, si PQ // AC

a) 5 b) 4 c) 7 d) 8 e) 3

3).- Calcula “x”: L1 // L2 // L3

a) 5 b) 6 c) 8

d) 12 e) 10

4).- En la figura calcula “x”, si MN // AC .

a) 8 b) 21 c) 17

d) 12 e) 14

5).- Calcula : MN , si AB= 12; AC = 9 ; BN = 4

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 21,6 b) 12 c) 13,5

d) 15 e) 24

7).- Calcula “m - n”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

8).- Calcula: “m + n”

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

9).- Calcula x.

a) 20 b) 18 c) 16 d) 12 e) 15

10).- Calcula “x”, si AP= 8 y PB = 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

4 9M N

a) 1,5 b) 3,4 c) 2,45

d) 1,75 e) 2,75

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

13).- Calcula EF sabiendo que EFGA: rombo

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 9

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15).- En un triángulo ABC, AB=10; BC =14 y AC =12, se traza BDbisectriz interior (“D” en AC ),

calcula AD .

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

16).- En la figura calcula AD .

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

17).- En la figura, calcula x.

A E L1

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

18).- Calcula

19).- En la figura: L1//L2//L3. AB=5; EF =x+2; BC =7 y FG=2x –2. Calcula “x”.

D H L4

a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

20).- En la figura: L1 // L2 // L3 // L4. AB=5; CD =7; EG= 15 y FH = 19. Calcula “FG ”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

CLAVES

1) b 2) a 3) b 4) e

5) c 6) a 7) a 8) d

9) e 10) a 11) e 12) c

13) d 14) b 15) c 16) c

17) c 18) a 19) c 20) c

TEMA : RELACIONES MÉTRICAS

COLEGIO PRIVADO

DOSCIENTAS MILLAS

1° Unidad Temática N° 9 2° Objetivo N° 9 3° Tema N° X 4° Contenido N° 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6

M N NAl

I. PROYECCIÓN ORTOGONAL Se llama proyección ortogonal de un punto, sobre una recta, al pie de la perpendicular desde el punto a la recta. Ejem :

A’ : Proyección de A, sobre l.

MN : Proyección deAB , sobre l.

AN : Proyección deAB , sobre l.

II.RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1) a2 = n . b

2) c2 = m . b

3) h2 = m . n

4) a . c = b . h

5) a2 + c2 = b2

III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

1) TEOREMA DE EUCLIDES

a2 = b2 + c2 - 2bm para < 90°

a2 = b2 + c2 + 2bm para > 90°

2) TEOREMA DE HERÓN

2c√P (P−a )(P−b )(P−c )

Donde : P =

a+b+c2

3) TEOREMA DE LA MEDIANA

a2 + b2 = 2x2 +

IV. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

1) TEOREMA DE LAS CUERDAS

a.b = x.y

2) TEOREMA DE LA TANGENTE

3) TEOREMA DE LAS SECANTES

x2 = a . b

ab = x .

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Del gráfico halla el valor de “x”

Solución :

Aplicando el teorema de las cuerdas, se tiene que :

8 . 12 = 3 . x

8 . 123 = x

8 x 4 = x

x = 32 cm

2) Halla “x”

Solución :

Aplicando el teorema de la tangente :

62 = (x + 5) 5

36/5 = x + 5

7,2 = x + 5

x = 2,2

3) Halla “h”, si AC es diámetro.

Solución :

Del triángulo ABC se observa que :

h2 = 4 . 9

h = 36

4) Halla “x”

Solución :

Del gráfico se observa que :

x2 = 12 . 3

x2 = 36

5) Halla “x”

Solución :

Aplicando el Teorema de Euclides :

x2 = 102 + 52 – 2(10) (4)

x2 = 100 + 25 – 80

x2 = 45 x = 3√5

6) Halla “x”

Solución :

Aplicando el teorema de Euclides.

18 - x

16 - x

x2 = 62 + 82 + 2(6)(4)

x2 = 36 + 64 + 48

x2 = 148

x = 2√37

CUESTIONARIO

1).- Calcula “x” :

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

a (a+1)

a) 20 b) 15 c) 13

d) 12 e) 10

a) 1 b) 2 c) 4

x 6 12

d) 6 e) 8

a) √3 b) 2 c) 1

d) 2√3 e) 4√3

a) 3 b) 4 c) 5

d) 2 e) 1

6).- Calcula “CD”, si : AB=8 ; BC = 4; DE =6

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) 2,5

a) 9 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

8).- Calcula : CQ, si : AM=MC; AP= 3; PB =BC =9

a) 4 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

9).- Calcula “x” , si O y O’ son centros.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 2

11).- Calcula “x”, si “O” es centro :

a) 2 b) 4 c) 6

d) 3 e) 1

a) 20 b) 15 c) 14

d) 12 e) 16

13).- Calcula “R” :

a) 6 b) 4 c) 3

d) 8 e) 5

14).- Calcula “AL” si : BF=5; FH=4 y “O” es centro.

a) 4 b) 6 c) 8

d) 5 e) 2

a) 6 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

16).- Calcula “AB” si “O” es centro :

a) 2 b) 6 c) 8

d) 10 e) 4

17).- Calcula “x” en la semicircunferencia mostrada.

a) 2 b) 1 c) 4

d) 3 e) 8

18).- En la figura, calcula “x” :

a) 3,5 b) 1 c) 4

d) 3 e) 2

a) 7 b) 8 c) 5

d) 6 e) 4

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

CLAVES

1)b 2)c 3)b

4)e 5)b 6)b

7)e 8)a 9)b

10)b 11)b 12)e

13)e 14)a 15)e

16)c 17)c 18)b

19)d 20)e

5° Preuniversitario

Alumno(a) :................................................................. Semanas :

TEMA : PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

COLEGIO PRIVADO

1)TEOREMA DE THALES

L1 // L2 // L3

2)TEOREMA DE LA BISECTRIZ

ABBC=DE

ADDC= ABBC

AEEC= ABBC

3)TEOREMA DEL INCENTRO

4)TEOREMA DE CEVA

I : Incentro

BIID= AB+BC

AD . BE . CF = DB . EC . FA

A C°°

5)TEOREMA DE MENELAO

6)CASO GENERAL DE SEMEJANZA

a . b . c = x . y . z

AB y DE

BC y EF lados homólogos

AC y DF

“También Se pueden dividir cualquier par de elementos homólogos: Alturas, medianas, bisectrices, inradios, ...............”.

PROBLEMAS RESUELTOS

ABDE= BC

EF= AC

1) Si : L1 // L2 // L3 , calcula “x”

Solución :

Por el teorema de Thales :

6a⇒ a2

2⇒ a

b=√2

3b⇒ x=4 a

x = 2√2

2).- El gráfico ADes diámetro tal que AE = 9, EB=6 y AD=12.

Calcula : DC

Solución :

Por el teorema de Thales :

3).- En la figura I es incentro del triángulo ABC tal que BD =6, BC=7 y AC=8.

Calcula : AD

Solución :

Por el teorema del incentro:

ab=6+x+7

Por el teorema de Thales:

Reemplazando :

6x=13+x

x2 + 13x – 48 = 0

4).- Del gráfico AP=6, BP=9 y BF=10

Calcula :

Solución :

Por el teorema de Ceva :

(6) (10) (y) = 9 (z) (x)

Por el teorema de la bisectriz

Reemplazando :

203 z=15

10+z z =8

5).- En la figura, halla la longitud “x” :

Solución :

En el rectángulo ADE : AD=8

Luego :

ABC ADE

x = 10,5

6).- Se tiene un ABC en el cual se traza la bisectriz interior AF por F se hace pasar una recta

paralela al lado AC que corta en E aAB . Calcula EF sabiendo que AB=a y AC=b.

Solución :

5 x +3

EBF ABC

a−xa= xb

ab – xb = ax

ab = x(a+b)

CUESTIONARIO

1).- Si en el triángulo ABC de la figura: DE // AC , entonces el triángulo es :

a) Escaleno b) Rectángulo

c) Isósceles d) equilátero

e) Isósceles rectángulo

2).- Halla “CR- AR”, si : AB=5, BC=7 y AC=6.

a) 1 b) 0,5 c) 2

d) 2,5 e)3

3).- Halla “CP”, si : AC=12 y AB=3BC.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 12

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

5).- En el triángulo ABC mostrado, halla “x” :

a) 0,8 b) 1,5 c) 1

d) 2,5 e) 2

6).- Un triángulo tiene por lados 20,26 y 30 cm. ¿Cuáles son los lados de otro triángulo semejante de 114cm de perímetro?

a) 30, 39 y 46cm

b) 25, 35 y 46cm

c) 30, 39 y 45cm

d) 25, 35 y 46cm

e) N.A.

7).- En un trapecio ABCD (BC // AD ), “M” es el punto medio de CD . Si : mBAM = mCDA y BC = 7, AD = 25, calcula “AM”.

a) 32 b) 16 c) 20

d) 15 e) 18

8).- En un triángulo ABC se traza la ceviana APde modo que : mBAP =mBCA, BP=2 y PC=6, calcula “AB”.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9).- Las bases de un trapecio miden 12m y 6m y su altura 3m. Calcula la distancia del punto de intersección de la prolongación de los lados no paralelos a la base mayor.

a) 9m b) 8 c) 7

d) 6 e) N.A.

10).- En un triángulo ABC la distancia de “B” a MN // ACes 5/7 de la alturaBH . Si los lados del triángulo son : AB=7, AC=5 y BC=9, halla el perímetro del triángulo MBN.

a) 21 b) 147/5 c) 15

d) 14/5 e) N.A.

11).- En la figura : L⃗1 // { L⃗2 // { L⃗¿3 // { L⃗¿4¿

Si : BC.CD = 225 y NR. RS = 256.

Halla :

a) 16/15 b) 15/16 c) 15/8

d) 8/15 e) N.A.

12).- En la figura mostrada, halla “AM”.

a) 1 b) 2 c) 1,5

d) 2,5 e) N.A.

13).- Dado un paralelogramo ABCD tal que :

5AB = 4BC. En ACse ubica el punto “P”, calcula la distancia de “P” aAB , si la distancia a ADes 2.

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

14).- Halla el lado del cuadrado mostrado en la figura en función de la base “b” del triángulo sobre el cual descansa y de la altura “h” relativa a dicha base.

2bhb+2h b)

2bh2b+h c)

b+hbh e)

2bhb+2h

15).- Según el gráfico : BC // ODy OD=2AB, calcula “BC”, si : AD=4u.

a) 2√2u b) 3 c) 5

d) 2 e) 1

16).- Dado un trapecio de bases : BC=2 y AD=17. Se traza MN paralelo a las bases (“M” y “N” en

ABy CD respectivamente). Calcula “MN” , si 3MB = 2MA.

a) 15 b) 13 c) 12

d) 11 e) 8

17).- En una circunferencia de centro “O” se trazan las cuerdas AB y CD las cuales se cortan en

“E”. Si DB es diámetro , DE =2AE y AC = 7, determina el radio de la circunferencia.

a) 14 b) 10 c) 7

d) 8 e) 12

18).- Dadas dos circunferencias de radios 8 y 4, la circunferencia menor tiene su centro en la circunferencia mayor. Calcula la distancia entre el punto de intersección de la tangente común con la recta que une los centros y el centro de la circunferencia mayor.

a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 20

19).- En la figura mostrada : R. r = 4, calcula : (AQ). (BQ)

a) 2 b) 8 c) 16

d) 4√2 e) 8√2

CLAVES

1)c 2)a 3)d

4)c 5)e 6)c

7)c 8)d 9)d

10)c 11)b 12)b

13)d 14)c 15)d

16)e 17)c 18)d

Alumno(a) :..................................................................................

TEMA : RELACIONES METRICAS

COLEGIO PRIVADO

1) EN LA CIRCUNFERENCIA

a. TEOREMA DE LAS CUERDAS

b. TEOREMA DE LAS SECANTES

AP.PB = CP. PD

PB.PA=PD.PC

c. TEOREMA DE LA TANGENTE

Observación : Los Teoremas de Ptolomeo y Viette se aplica también para cuadriláteros inscriptibles.

2) EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

a) AB2 = AC.AH

b) BC2 = AC.HC

c) BH2 = AH.HC

d) AB.BC = AC.BH

e) AC2 = AB2 + BC2

PA2 =PC.PB

Relaciones Auxiliares:

* AB2 = AC.AH

* BH2 = AH.HC

(AC : Diámetro)

3) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO:

1. TEOREMA DE EUCLIDES

2. TEOREMA DE STEWART

BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH

x2.b = a2m + c2.n -

b C H A

3. TEOREMA DE HERÓN

Donde:

a + b + c2

4. TEOREMA DE LA MEDIANA

a2 + c2 = 2m2 +

Segundo teorema de la bisectriz.

2b√ p( p−a )( p−b )( p−c )

BD2 = a.c - m.n

BE2 = m.n – a.c

4) RELACIONES MÉTRICAS EN CUADRILÁTERO

1. TEOREMA DE PTOLOMEO

2. TEOREMA DE VIETTE

3. TEOREMA DE CHADU

AC.BD=AB.CD+BC.AD

ACBD= BC .CD+AB . AD

AB . BC+AD . DC

4. TEOREMA DE EULER

PC = AP + PB

AC2+BD2+4 x2=AB2+BC 2+CD2+AD2

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- AB, BC y AQ son valores enteros y consecutivos. Halla AQ.

Solución :

* Por el teorema de las tangentes:

(a + 2)2 = (2a + 1) (a)

a2 + 4a + 4 = 2a2 + a

a2 – 3a - 4 = 0

Nos piden :

AQ = a + 2

AQ = 6

2).- Las diagonales del rectángulo mostrado mide 9, si HC=5, calcular el lado CD.

Solución :

* Por dato :

AC = 9 ; HC = 5

* Por relaciones métricas en el trig. rect. :

x2 = 9 . 4

x2= 36 x = 6

3).- Halla : BT; si AB=5 ; BC=7 ; AC=6.

Solución :

* Por propiedad :

AT = P – BC

AT = 2

TC = 4

* Por el teorema de Stewart:

(BT )2 (6) = (7)2(2) + (5)2(4) – (2)(4)(6)

6(BT )2 = 98 + 100 – 48

6(BT )2 = 150 (BT )2 = 25

BT = 5

4) Del gráfico, calcula “x” si :(BD )2 -(AC )2= 16

Solución :

* Del gráfico :

BC2+CD2=BD2

AB2+AD2=BD2

Por el teorema de Euler :

AB2+BC2+CD2+AD2= BD2+AC2

2 BD2=BD2+AC2+ 4x2

4x2 = BD2 - AC2 x = 2

5).- Según la figura AB = 3 y BC = 2, calcula CN (N es punto de tangencia).

Solución :

Por Pitágoras:

X2 +32 = 52

6).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la altura BH . Calcula HC, Si AH = 7 y

BH = 2√14 .

Solución :

Se sabe:

(2√14 )2 = x.7

56 = 7x

CUESTIONARIO

1).- Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a uno. Calcula la altura relativa a la hipotenusa.

a) 1 b) 1,4 c) 1,6

d) 2,2 e) 2,4

2).- Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores de radios iguales a 2 y 3. Calcula la medida del segmento tangente común exterior a ambas circunferencias.

a) 2√6 b) 3√6 c) 4√6

d) √6 e) 2√3

3).- De la figura AP = 4; PB = 9. A qué distancia de “P”.

Se deberá encontrar un punto “Q” sobre “L” de modo que : mQAB = mPQB.

a) 1 b) 3 c) 6

d) 8 e) 16

4).- Se tiene un rectángulo cuyas dimensiones son 6 y 8. Calcula la medida de la proyección de una de las diagonales sobre la otra.

a) 3,6 b) 1,8 c) 4,6

d) 2,8 e) 2,4

5).- Los tres lados de un triángulo miden 18, 16, 9. Calcula cuanto se le tiene que quitar a cada lado, para que el triángulo resulte rectángulo.

a) 1/2 b) 1 c) 3/2

d) 2 e) 5/2

6).- En un triángulo rectángulo ABC La hipotenusa ACmide 13 y la altura relativa a ella mide 6. Calcula la medida del menor segmento determinado por la altura.

a) 6 b) 5 c) 4

d) 4,5 e) 2,5

7).- En un triángulo rectángulo ABC, se traza BH perpendicular a AC . Calcula

AHCH , si : AB = 1 y BC

a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9

d) 1/5 e) 1/4

8).- En un cuadrado ABCD de lado igual a 4 , se se traza un cuadrante de centro “A” y de radio AB .

Calcula el radio de la circunferencia que tienen su centro en CD y que es tangente al lado BC y al arco BD.

a) 2 b) c) 1

d) 2/3 e) √3

9).- En un cuadrado ABCD se toma en su interior el punto “P” y luego se traza PH perpendicular a BC ;

BH = 2 y HC = 8 , calcula PH sabiendo que el ángulo APD es recto.

a) 5 b) 6 c) 7

d) √6 e) √7

10).- En un cuadrado ABCD de lado igual a 8, con centros en “A” y “D” y con radio igual al cuadrado, se

trazan los arcos BD y AC . Calcula el radio de la circunferencia tangente a estos arcos y al lado AD .

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11).- Se tiene un triángulo acutángulo ABC en el cual se trazan las alturas AH y CF , de tal manera que se cumpla : AB.AF+BC.CH= 100m2.

Calcula AC .

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

12).- Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 2cm, se toma un punto en la región interior y se une con los vértices cumpliéndose que la suma de los cuadrados de dichas distancias es igual a 80cm2.

Calcula la distancia de dicho punto al centro del cuadrado.

a) √2 b) 2√2 c) 3√2

d) 4 √2 e) 2

13).- Se tiene un rombo ABCD cuyo lado se desea conocer, sobre el lado BC se toma el punto medio “M” tal que AM = 13 y MD = 9.

a) 5 b) 10 c) 15

d) 9 e) 12

14).- En el gráfico mostrado AB = DC, calcula “r”.

a) 3R/2 b) 3R/4 c) 3R/8

d) 3R/16 e) N.A

15).- En el gráfico mostrado calcula “r” en función de “R”.

a) R√3 /2 b) R/4 c) R√3 /4

d) R/8 e) N.A

16).- En el gráfico mostrado calcula “r” en función de “R”.

√5+1 b)

√5−1 c)

R √55

√3+1 e) N.A

17).- En un cuadrilátero ABCD, la mB =90°, mABD + mDCB =90°; AD = 26, las diagonales son

perpendiculares, la distancia del punto medio de AC , BD mide 12.Calcula la distancia del punto

medio de BDa AC .

a) 9 b) 7 c) 5

d) 4 e) 3

18).- En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se traza la bisectriz AF y la altura BH que se

intersectan en “E”. Si : AF.EF=72, calcula BE .

a) 7 b) 5 c) 4

d) 6 e) 8

19).- En un triángulo ABC(obtuso en B) se prolonga ABhasta E y en AC se ubica el punto medio D tal

que DEBC , DE BC = {F} . DE = FE =

12 AD = 3. Calcula AB .

a) 4√3 b) 2√5 c) 3√7

d) 5 e) 18

20).- En un triángulo ABC se traza la mediana AM y luego BH perpendicular a AM (H en AM ).

Si BH = 5; HM = 6. Calcula CH .

a) 8 b) 10 c) 12

d) 13 e) 15

CLAVES

1) e 2) a 3) c

4) d 5) b 6) c

7) c 8) c 9) b

10)c 11)b 12)c

13)b 14)c 15)c

16)a 17)c 18)d

19)a 20)d

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS

5° PRE-UNIVERSITARIO

Alumno(a) :...........................................................

TEMA : ÁREAS

COLEGIO PRIVADO

I.- ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

1.- FÓRMULA GENERAL

1° Tema N° XII 2° Contenido N° 12.1 ; 12.2 Semana N° 16 y 17

SABC =

2.- TRIÁGULO EQUILÁTERO

En función de su lado:

En función de su altura:

3.- FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

SABC =

l2√34

SABC =

h2√33

SABC =

4.- FÓRMULA DE HERÓN

5.- EN FUNCIÓN DEL INRADIO

Semiperímetro : p

a+b+c2

SABC = √ p ( p−a)( p−b)( p−c )

SABC = P.r

6.- EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO

7.- EN FUNCIÓN DEL EXRADIO

SABC =

a .b.c4 R

r2r1 r

8.- DIVERSAS EXPRESIONES DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

9.- EN FUNCIÓN DE SUS ALTURAS

SABC = √r1 . r2 . r . R

+ 1r 2

+ 1R= 1

12 ( 1

10.- ALGUNAS RELACIONES DE ÁREAS

SABC =

14 [H (H− 1

ha+H− 1

+H− 1hc )]−

S1 S2CA

11.-RELACIONES DE ÁREAS DE TRIÁNGULARES SEMEJANTES

Si 2 triángulos son semejantes, la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos.

12.- CASOS PARTICULARES

√S ABC=√ S1+√S2

II.- ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES:

1.- Diversas Expresiones del Área de un cuadrilátero.

√S ABC=√ S1+√S2+√S3

SABC =

d1 .d2

2.Senθ

SABCD =

2.- Trapecio

S ABCD

SABCD=( a+b2 )h

SABCD=n .h

S=S1+S2

3.- Paralelogramo

√S ABC=√ S1+√S2

S=√S1 . S2

√S ABCD = √S1+√ S2

SABCD=b .h1

SABCD=a .h2

4.- Rectángulos

5.- Cuadrado

En función de su lado

En función de su diagonal

SABCD = b.h

S ABCD

SABCD = l

6.- Rombo

7.- Cuadrilátero Circunscrito a una Circunferencia.

SABCD =

SABCD = d1 .d2

S = p.r

8.- Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia

III.- ÁREA DE REGIONES CURVAS:

1.- Círculo

Donde: = 3,14

2.- Corona Circular

SABCD=√( p−a)( p−b )( p−c )( p−d )

S = r2

3.- Sector Circular

4.- Segmento Circular

5.- Trapecio Circular

6.- Zona o Faja Circular

LÚNULAS DE HIPÓCRATES

A B D C

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Del gráfico, calcula la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular UNI.

Solución:

Para el círculo: S1 = x r2

Para el UNI : S2=

r×2 r2

A I45° 45°

45°45°

Nos piden:

2.- En la figura , calcula S1 / S2 , Si : MA = MI = MN (M punto de tangencia)

Solución:

El ANI, es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en N).

G TS2/2

El MEN es rectángulo e isósceles notable de 45° (recto en E).

Ahora, en el trapecio rectángulo IMEN por propiedad se tiene:

S1 = S2

S2 = 1

3.- En el gráfico, calcula S1 / S2, si: RE // GI // ON mON = 2 x mGR.

Solución:

OLA GTA (A – L - A)

Es decir ( - - )

Entonces, se cumple:

S1 + K =

2+ K ⇒ S1=

4.- Del gráfico, calcula : S1 + S2.

Solución:

Según el gráfico:

(6−h )×62

5.- Calcula Sx en función de A y B.

S1 +S2 = 18

45°45°

Solución:

Según el gráfico:

* Sx + K =

* A + K + B =

6.- En el gráfico, calcula el área de la región sombreada, si IC = 1 y CA = 3 (T, A son puntos de tangencia).

Sx = A +

1 53°37°

37°26,5°

Solución:

En el TIA (propiedad : semejanza)

TI2 = 4 x 1 TI = 2

En el FIA Notable y aproximado de 37° y 53°. Se tiene : FI = 3

Nos piden:

3×52×sen90 °

Sx = 7,5u2

7.- En el gráfico, ON = 2√2 . Siendo T punto de tangencia. Calcula el área de la corona circular.

Solución:

En el PON (propiedad : semejanza)

(2√2 )2 = (R + r)(R - r) R2 – r2 = 8

Nos piden:

Sx = (R2 - r2)

Sx = 8u2

CUESTIONARIO

1).- En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que la base menor BC mide 3cm. En la altura AB se ubica el punto F tal que el ángulo AFD es el doble del ángulo BCF y FD = 8cm. Calcula el área del triángulo CFD.

a) 6 b) 12 c) 20

d) 28 e) 30

2).- Se tiene el ángulo recto ABC, donde AB = BC, y una semicircunferencia de diámetro AB. En dicha semicircunferencia se ubican los puntos P y Q de modo que BP2 – BQ2 = 16m2. Calcula el área del cuadrilátero no convexo BPCQ.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

3).- Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC y una semicircunferencia de diámetro AB que no intercepta al triángulo. En la semicircunferencia se ubica el punto P de modo que AP = 3 y BP = 7. Calcula el área del triángulo APC.

a) 15 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

4).- Se tiene un cuadrado ABCD de lado 2√5 cm. El segmento que une B con el punto medio del lado CD intercepta a la diagonal AC en el punto P y al arco AC del cuadrante ADC, en el punto Q. Calcula el área del triángulo PQC.

a) ¾ b) 4/3 c) ½

d) 2 e) 5

5).- En un semicircunferencia de diámetro AB se tiene que O es el punto medio de AB y el radio OC es perpendicular a AB. La cuerda AQ intercepta a los segmentos OC y BC en los puntos P y T respectivamente, de modo que AP = m y TQ = n. Calcula el área del triángulo PTB.

a) mn b) m + n c)

mn e) m2

6).- Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC y una semicircunferencia de diámetro AB que no intercepta al triángulo. En la semicircunferencia se ubica el punto T de modo que TB = 10. Calcula el área del triángulo TBC.

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

7).- La circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD es tangente a los lados AB, BC y CD en los puntos P; Q y T respectivamente. Si M es el punto medio del arco QT y N es la intersección de las prolongaciones de los segmentos AD y MT, de modo que PN = 4cm, calcula el área del triángulo PMN.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8).- En un cuadrilátero ABCD se tiene que BD = CD, AD = 20cm y los ángulos BAD y BDC miden 37° . Calcula el área del triángulo ACD.

a) 90 b) 120 c) 100

d) 80 e) 60

9).- Se tiene un rectángulo ABCD de perímetro igual a 16cm. Sobre los lados AB y BC se construyen exteriormente dos cuadrados de centros P y Q. Calcula el área del triángulo PDQ.

a) 16 b) 20 c) 24

d) 21 e) 32

10).- En un rectángulo ABCD se tiene que AB = 4cm. La bisectriz del ángulo ABC intercepta al lado AD en el punto P. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los segmentos BD y PC; y un punto del lado BC.

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

11).- En un cuadrado ABCD se trazan los arcos AC y BD cuyos centros son los vértices D y A; los cuales se interceptan en el punto P. Los segmentos AP y BD se interceptan en el punto Q de modo que CQ = 4cm. Calcula el área del triángulo CQD.

a) 2(3+√3 ) b) 2(3−√3 )

c) 2√3 d) 2 e) N.A.

12).- Se tiene un cuadrado BCD de lado 2cm. Se construye interiormente el triángulo equilátero APD y exteriormente el triángulo equilátero CQD. Calcula el área del triángulo APQ.

a) 1+√3 b) √3−1 c) √3

d) √3+1 e) -√3

13).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 64cm2. Desde el incentro O del triángulo ADC, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia los lados BC y AB respectivamente. Calcula el área del rectángulo BPOQ.

a) 30 b) 32 c) 36

d) 40 e) 25

14).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 24cm2. desde el excentro O del triángulo BAD, relativo al lado BD, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia las prolongaciones de los lados DC y BC respectivamente. Calcula el área del rectángulo CPOQ.

a) 14 b) 16 c) 12

d) 18 e) 20

15).- Se tiene el rectángulo ABCD de área igual a 48cm2. Desde el excentro O del triángulo ADC, relativo al lado CD, se trazan las perpendiculares OP y OQ hacia la prolongación del lado BC y al lado AB respectivamente. Calcula al área del rectángulo BPOQ.

a) 16 b) 12 c) 24

d) 28 e) 30

16).- En la figura mostrada se pide S, sabiendo que W = 20cm2.

a) 20 b) 40 c) 60

d) 80 e) 100

17).- En la figura mostrada se pide el área del rectángulo PBTQ, sabiendo que el área del triángulo ABC es igual a 12 cm2.

a) 12 b) 24 c) 48

d) 96 e) 100

18).- En la figura mostrada se pide el área del cuadrilátero ABCD, sabiendo que r1 = 3 y r2 =2.

a) 9 b) 12 c) 15

d) 18 e) 21

19).- Se tiene un triángulo rectángulo ABC, cuyos catetos suman 4cm, y el cuadrado ACDE que es exterior a dicho triángulo. Se trazan las perpendiculares EF y DG hacia el lado BC y a la prolongación del lado BA respectivamente. Calcula el área del cuadrilátero EGFD.

a) 8 b) 10 c) 4

d) 12 e) 20

20).- Se tiene un triángulo rectángulo ABC y el cuadrado ACDE de centro O que es exterior a dicho triángulo, de modo que BO = 6cm. Calcula el área del cuadrilátero ABCO.

a) 18 b) 20 c) 22

d) 24 e) 30

21).- En una circunferencia se inscribe un triángulo ABC, en el cual se traza la bisectriz interior BE, cuya prolongación intercepta a la circunferencia en el punto D. Desde el punto E se trazan las perpendiculares EF y EG hacia los lados AB y BC respectivamente. Calcula la relación de las áreas de las regiones ABC y FBGD.

a) 1 b) 2 c) ½

d) 1/3 e) N.A.

22).- En la figura mostrada se pide S, conociendo las áreas X e Y.

a) xy b) x+y c) x-y

xy e) x2 + y2

23).- Se tiene un triángulo acutángulo ABC de circuncentro O, circunradio igual a 13cm. Se trazan las alturas AN y CM. Calcula el área del cuadrilátero MBNO sabiendo además que AC = 24cm.

a) 20 b) 40 c) 60

d) 80 e) 100

CLAVES

1) b 2) d 3) c 4) b

5) c 6) e 7) b 8) b

9) a 10) a 11) a 12) a

13) b 14) a 15) c 16) c

17) c 18) d 19) a 20) a

21) c 22) b 23) c

TRIGONOMETRIA

COLEGIO PRIVADO

3° Secundaria

Alumno(a) :..................................................................................

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Un ángulo trigonométrico esta en posición normal si su vértice esta en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje “x”.

Si el lado final esta en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ángulo del segundo cuadrante y análogamente para los otros cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que el ángulo no pertenece a ningún cuadrante.

II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Si “” es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue :

90° a ningún cuadrante

no esta en

P(x, y)

r =√ x2+ y2

Donde :

yr= ordenadaradio vector

xr= abscisaradio vector

yx=ordenada

abscisa

ry=radio vector

ordenada

rx= radio vector

abscisa

xy= abscisaordenada

SIGNOS DE LAS R.T. EN CADA CUADRANTE

Como regla práctica se usa el siguiente esquema para el reconocimiento de los signos de las R.T solamente para valores positivos.

todasSen Csc

Cos SecTg Ctg

360°180°

III IV

ÁNGULO CUADRANTAL

Un ángulo en posición normal se llamará cuadrantal cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.

Los principales ángulos cuadrantales son : 0°, 90°, 180°, 270° y 360°, que por “comodidad gráfica se escribirán extremos de los ejes.

PROPIEDAD

Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple :

Si I 0° < < 90°

Si II 90° < < 180°

Si III 180° < < 270°

Si IV 270° < < 360°

R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES

El siguiente cuadro muestra las R.T de los ángulos cuadrantales

0° 90° 180° 270° 360°

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Cot ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND -1 ND 1

(x; 12)

Csc ND 1 ND -1 ND

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Halla “x”

Solución :

Aplicamos la formula : r = √ x2+ y2

que es lo mismo : r2 = x2 + y2

Reemplazamos “y” por 12 y “r” por 13 en la igualdad anterior.

x2 + 122 = 132

x2 + 144 = 69

x2 = 25

(-8; y)

x2 = 5

Como “x” esta en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo.

x = -5

2) Halla “y”

Solución :

Análogamente aplicamos : x2 + y2 = r2

Reemplazamos “x” por 8 “r” por 17 en la igualdad anterior.

(-8)2 + y2 = 172

64 + y2 = 289

y = 225

y = 15

Como “y” esta en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo.

3) ¿Qué signo tiene?

Sen100 ° .Cos200 °Tan300 °

Solución :

100° II Sen100° es (+)

200° III Cos200° es (-)

300° IV Tan300° es (-)

Reemplazamos E =

(+)(−)(−)

(−)(−)

E = (+)

4) Si II Cos2 = 2/3 ; halla Cos.

Solución :

Despejamos Cos de la igualdad.

Cos2 = 2/9

Como R entonces Cos es negativo, por tanto.

Rpta : Cos = -

5) Si IV Tan2 =

425 . Halla Tan

Solución :

Despejamos Tan de la igualdad

Tan2 =

Como IV entonces Tan es negativa por tanto :

Rpta : Tg = −2

6) Calcula : E =

2Sen( π2 )−Cos πCot ( 3π2 )+Sec 2π

Solución :

Los ángulos están en radianes, haciendo la conversión obtenemos.

π2 = 90°

= 180°

π2 = 270°

2 = 360°

Reemplazamos :

2Sen90 °−Cos180 °Cot 270 °+Sec 360 °

2(1)−(−1 )0+1

(x; 4)

Rpta : E = 3

CUESTIONARIO

1).- Halla Cos :

a) 3/5 b) 4/5 c) –3/5

d) –4/5 e) 5/9

(2; y)

(-7; y)

2).- Halla “Tg”

3√52 b)

9√54 c)

3√57

d) 3/9 e) 5/4

3).- Halla Sen

a) −24

25 b) −10

20 c) −40

1530 e)

4).- Si IV Tan2 = 4/25. Halla Tg

a) 2/5 b) −2

5).- Si II. A que cuadrante pertenece?

α2 + 70°

a) I b) II c) III

d) IV e) II y III

6).- Calcula el valor de E para x = 45°

Sen2 x+Cos6 xTan4 x+Cos8 x

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

7).- Del gráfico mostrado, calcula :

E = Sec . Csc

a) 1 b)

√42 c)

√4213

√1342 e)

√4213

8).- Del gráfico mostrado, calcula :

E =Sec + Tg

a) -√5 b) √5 c)

−√55

√55 e) 1

(7; -24)

9).- Del gráfico, calcula :

E = Cot + Csc

a) 3/4 b) – 3/4 c) 1

d) 4/3 e) – 4/3

10).- Si (5; 12) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :

1−SenθCosθ

a) 5 b) -5 c) 1/5

d) – 1/5 e) 10

11).- Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (-3; 2) halla el valor de :

SecθCscθ

a) √13 b) –3/2 c) 3/2

d) –2/3 e) 2/3

12).- Si el punto (-8;-15) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :

E = Sec + Tg

a) – ¼ b) ¼ c) 4

d) –4 e) -1

13).- Dado el punto (1; -2) correspondiente al lado final de un ángulo en posición normal “”. Halla EL valor de :

E = Cot - Csc2

a) 9/4 b) – 9/4 c) – 7/4

d) ¾ e) – 3/4

14).- Si Tan > 0 Sec < 0, en que cuadrante se encuentra .

a) I b) II c) III

d) IV e) I y II

15).- Halla el signo de :

E = Tan125°.Cos2200°.Sen3310°.Cos180°

a) + b) - c) + v -

d) + - e) No tiene signo

16).- Si : Csc < 0 Sec > 0. en que cuadrante esta ?

a) I b) II c) III

d) IV e) Es cuadrantal

17).- Halla el signo de :

E = Cot432° . Tan2134°.Csc3214° . Sec4360°

a) + b) - c) + v -

d) + - e) No tiene signo

18).- Si : Cos= 2/5 IV. Halla Cot.

√21 b)

√21 c)

√21 e)

19).- Si Sen=1/3 II. Halla Tan.

√24 b) -2√2 c)

−√22

d) 2√2 e)

−√24

20).- Si (3; 4) es el punto del lado final de un ángulo en posición normal . Halla el valor de :

Senθ1−Cosθ

a) 1 b) 2 c) ½

d) 3 e) 1/3

21).- Si el lado final de un ángulo en posición normal pasa por el punto (-1; 2), halla el valor de:

E = Sec. Csc

a) – 5/2 b) 5/2 c) - 2/5

d) 2/5 e) 1

CLAVES

1) c 2) a 3) a 4) b 5) b

6) a 7) b 8) c 9) e 10)c

11)d 12)a 13)c 14)c 15)b

16)d 17)b 18)b 19)e 20)b

TEMA : REDUCCIÓN AL I CUADRANTE

COLEGIO PRIVADO

1° Unidad Temática N° VII 2° Objetivo N° VII.1 3° Tema N° VII 4° Contenido N° 7.1; 7.2

1.- ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA:

a).- EN GENERAL:

R.T. 180°

= RT()

R.T. 90°

= Rcomp.()

1ra forma 2da forma

II180° -

90° +

III180° +

270° -

IV360° -

270° +

b).- CASO PARTICULAR:

II C 180° -

III C 180° +

IV C 360° -

2.- ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA.

2.1.-PROCEDIMIENTO:

a).- Se divide el ángulo dado entre el ángulo de una vuelta.

b).- Se iguala la R.T. del ángulo dado con la R.T. del residuo.

c).- Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante.

3.- ÁNGULOS NEGATIVOS:

a).- Sen(-x) = -Senx

b).- Cos(-x) = Cosx

c).- Tg(-x) = -Tgx

d).- Ctg(-x) = -Cotx

e).- Sec(-x) = Secx

f).- Csc(-x) = -Cscx

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Simplifica:

CosxCos(180 °+ x )

+Sen(360 °− x )

Solución:

Cosx−Cosx

+ −SenxSenx

E = -1 –1

E = -2

2.- Simplifica:

Csc( π2 − x ).Cot ( π−x )

Sec ( π+x ) . Tg( π2 + x)

Solución:

Por reducción al I cuadrante

E =(Secx )(−Cotx )(−Secx )(−Cotx )

E = (-1)(1)

E = -1

3.- Reduce al primer cuadrante Tan 870°.

Solución:

Tan(870°) = Tg[2(360°)+150]

Tan 870° = Tg150°

Reduciendo 150° al primer cuadrante

Tg150 = Tg(180-30°)

Tg150 = -Tg30°

Tg870° = -Tg30°

Tg870° = -

4.- Reduce al primer cuadrante Sen 1215°

Solución:

Sen1215° = Sen[3(360°)+135°]

Sen1215° = Sen135°

Sen1215° = Sen(180-45)

Sen1215° = Sen45°

Sen1215 =

5.- Calcula E = √Sen210 ° + Cos60 °

Solución:

E = √Sen120 °+Cos60 °

E = √Sen (180°+ 30)+Cos60 °

E = √−Sen30°+Cos60 °

E = √−12+ 1

E = √0 E = 0

6.- Simplifica:

Sen (90−x ) . Tg(270−x ) .Sen30°Cosx . Cotx . Cos60 °

Solución:

E = cos x . cot x . sen30 °Cosx .Cotx .Cos60°

CUESTIONARIO

1).- Calcula E = √Sen240 °+ Sen120°

a) 1 b) 0 c) √2

d) 4√3 e) 2

2).- Calcula E =

Sen300 °Tan315 °

−12 c)

d) −√3

3).- Calcula E = Sec135°.Csc150°

a) −2√2 b) 2√2 c) 2

d) –2 e) −√2

4).- Simplifica:

Tan (270 °+ x )Cot (180 °+ x )

a) 0 b) –1 c) 1

d) Tan2x e) Ctg2x

5).- Calcula E = Cos210°-Tg120°

a) 0 b) -

√32 c) 2√3

d) −2√3 e)

6).- Calcula:

Sen120 °Cot 240°

a) 2/3 b) –2/3 c) 3/2

d) –3/2 e) √3/3

7).- Calcula

E = Sen225°.Cos210°

3√34

√64 e)

8).- Simplifica

Sen(270°+ x )Cos(360°+ x )

a) 0 b) 1 c) -1

d) Tgx e) Cotx

9).- Si Cos10° = a ¿A qué es igual?

E = Sen100° . Cos190°

a) a2 b) –a2 c) 1

d) a4 e) –a4

10).- Si: Sen40° = k ¿A que es igual?

E = Sen140°.Cos130°

a) k b) k2 c) k-2

d) k4 e) k-4

11).- Reduce al primer cuadrante.

Tan10000°

a) Tan80° b) –Tan80°

c) Tan70° d) –Tan70°

e) –Tan10°

12).- Reduce al primer cuadrante Sen8230°

a) Sen10° b) Sen22°

c) –Sen50° d) Sen50°

e) –Sen10°

13).- Simplifica:

Sen(180 °+ x )Sen (360 °−x )

+Tan(270 °−x )Cot (180°−x )

a) 0 b) 3 c) -3

d) –1 e) 1

14).- Simplifica:

CosxCos(180°+ x )

+Sen(360 °−x )

a) 0 b) 2 c) -2

d) –1 e) 1

15).- Calcula:

Sen750 °−Cos1500 °Sen1430 °+Cos1510 °

a) 0 b) 1 c) -1

d) 3 e) -3

16).- Simplifica:

Sen1490 °−Cos1120°Tan765 °−Tan1860 °

a) 1 b) √3 c) 0

d) -√3 e)

17).- Calcula:

E = (b - 1)Sen450° - (b + 1)Cos900°

a) 0 b) 2 c) -2

d) 26 e) -26

18).- Simplifica:

E = (a + 1)Cos540° - (a - 1)Sen630°

a) 2 b) –2 c) 2a

d) –2a e) 0

19).- Calcula:

Csc(−240 °)Cot (−315 °)

a) 2 b)

√3 c)

d) –2 e) 1

20).- Calcula

Sen (−120 °)Tan(−135 °)

−12 c)

d) −√3

CLAVES

1) b 2) c 3) a 4) b

5) e 6) c 7) d 8) c

9) b 10) b 11) b 12) c

13) a 14) d 15) a 16) c

17) d 18) b 19) b 20) d

Alumno(a) :...................................................................Semana :

TEMA : REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

COLEGIO PRIVADO

I. DEFINICIÓN

Reducir al primer cuadrante significa expresar la razón trigonométrica de un ángulo agudo.

En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.

II.ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA

1ra Forma 2da Forma

II180° -

90° +

III180 +

270° -

IV360 -

270° +

EN GENERAL

R.T. (360°180° ± α )=± R .T .(α )

R.T. (2 ππ ± α )=± R .T .( α )

R.T. (270°

90 ° ± α )=± R .Comp .(α )

R.T. (3 π /2π /2 ± α )=± R .Comp .( α )

CASO PARTICULAR

22 Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

II C 180° -

III C - 180°

IV C 360° -

III. ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DE UNA VUELTA

Procedimientos

A) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una vuelta en su respectivo sistema (360°, 2).

B) En este capítulo estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para los siguientes casos.

C) Si fuera necesarios se reduce al primer cuadrante utilizando el 1er caso.

IV. ÁNGULOS NEGATIVOS

En general:

1) Sen(-x) = -Senx2) Cos(-x) = Cosx3) Tan(x) = -Tanx4) Cot(-x) = -Cotx5) Sec(-x) = Secx6) Csc(-x) = -Cscx

PROBLEMAS RESUELTOS

1).- Simplifica :

Sen140°−Sen220°−Sen320°Sen130°+Sen230°−Sen310°

Solución :

( Sen40 °)−(−Sen40 ° )−(−Sen40 °)Sen50+(−Sen50 )−(−Sen50 )

3Sen40 °Cos40 °

E = 3Tan40°

2).- Siendo y ángulos trigonométricos.

Calcula :

Sen(α−θ

2 )+Cos (α−θ2 )+Sen(α−θ )

(1, 2)

Colegio PrivadoDOSCIENTAS MILLAS PERUANAS

Solución :

En la figura : - = 270°

Entonces :

E = Sen135° + Cos135° + Sen270°

E = Sen45° + ( -Cos45°) + (-1)

E = -1

3).- El grafico, calcula : E= √5Cscθ−Cot θ

(1, 2)

270°- 1

Solución :

En la figura :

Tan (270°-) = -2

Cot = -2

Entonces :

E = √5Csc - Cot

E = √5 (√5 ) – (-2)

4).- Reduce el tercer cuadrante Tg480°

Solución :

Tan2480° = Tan(360 x 6 + 320)

Tan2480° = Tan320°

Tan2480° = -Tan40°

Pero piden reducir al III C, entonces :

Entonces :

Tan 2480° = -Tan 220°

5) Calcula :

E = Cos1° + Cos2° + Cos3° + . . . +Cos180°

Solución :

E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . +Cos177° + Cos178° + Cos179° + (-1)

E = Cos1° + Cos2° + Cos3°+ . . . + (-Cos3°)+(-Cos2°) + (-Cos1°) –1

Quedando el término central :

E = Cos90° - 1 = 0 - 1

6) Si : y son coterminales , reduce :

SenαCsc β+Cos α Sec βCos(α−β )+Tan (α−β )

Solución :

Si y son coterminales.

Entonces :

Sen = Sen ; Cos = Cos

Además : - = 2k

Luego : Cos( - ) = 1; Tan( - ) = 0

Reemplazando :

Sen β Csc β + Cos β Sec β1+0

Rpta : 2

C U E S T I O N A R I O

I. ESCRIBE “V” O “F” SEGÚN CORRESPONDA :

1) Sen(270°+x) = -Sen(x) ( )

2) Cos (2-x) = Cosx ( )

3) Tan (90°+x) = Cotx ( )

4) Csc(-x) = Cscx ( )

5) Cos (180°+x) = -Senx ( )

6) Sec(/2 + x) = -Cscx ( )

6) Cot(

3π2 -x) = Tanx ( )

7) 2 -x IC ( )

8) Csc (90°-x) = Secx ( )

9) Sen (360°-x) = -Cosx ( )

II. RELACIONA :

1) Tan 200° Sec60°

2) Sen(+x) -Cot40°

3) Cos(180°-x) -Senx

4) Sec 300° Tan 20°

5)Cot140° -Sen70°

6) Sec(270°+x) Cscx

7) Sen250° -Cos

III. SUBRAYA LA ALTERNATIVA CORRECTA

Si : 0< x < 90°

1).- En que cuadrante se encuentra “ + x”

a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC

2).- En que cuadrante(s) se encuentra : “

3π2 +x”

3).- En que cuadrante se encuentra “360°+x”

4).- En que cuadrante se encuentra : “180-x”

5).- Reduce al IC:

a) Sen (+x) b) Cos (2-x)

c) Tg (180°-x) d) Csc (-x)

6).- Reduce al IC:

a) Sen (270°+x) B) Ctg (90°+x)

c) Sec (

3π2 -x) D) Csc (

3π2 +x)

7).- Reduce al IC:

a) Sen 330° b) Cos 25° c) Tg 150°

d) Sec 120° e) Ctg 240°

8).- Indica verdadero (V) o falso (F):

a) Sen(3

π2 -) = -Sen ( ___ )

b) Tg (

π2 -) = -Ctg ( ___ )

c) Sec (

π2 + ) = Csc ( ___ )

9).- Simplifica :

Q=2Cos(-120°)+3Sen(-150°)+Tg135°-Tg45°

a) 7/2 b) –9/2 c) 5/2

d) –3/2 e) N.A.

10).- Si:

a = Sen(180°-)+Cos(180°-)

b = Sen(180°+)+Cos(180°+)

Calcula: a-b

a) 2Sen b) 2Cos c) –2Sen

d) –2Cos e) 0

11).- Simplifica :

Cos(−1290° )Tg 5715 °

√32 b) 1/2 c) -

d) –1/2 e) N.A.

12).- Simplifica :

14 π33

+Csc15 π32

+Sec19 π33

−Csc17 π32

a) 1 b) 2 c) –1

d) 0 e) N.A.

13).- Siendo “” y “” ángulos complementarios, reducir:

Sec (α+2θ )Tg(2α+3θ)Cos(2α+θ )Tg (4 α+3θ )

a) 1 b) 2 c) 3

d) Sen e) Sen2

14).- Si : Tg2220°=

1−k 2

Calcula : P= Sen140 ° Cos130° Tg230 °

Ctg220 ° Sec 410 °Csc 320°

a) k b) –k c) k4 d) –k4 e) –k3

15).- Si: Cos( 3π7 +α )=3

Calcula : 3Sec ( 4π

7−α)

a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5

16).- Si: Cos = Sen 2615°

Calcula : “”

a) 95° b) 85° c) 5°

d) 15° e) N.A.

17).- Si: - = k kZ

Simplifica :

Sen (x+α) Sen( y+θ )Sen (x+θ )Sen( y+α )

a) 1 b) (-1)k c) 2(-1)k d) –1 e) 0

18).- Al reducir la expresión:

W=Tg (90°+x) Tg (360°+x) +1

se obtiene:

a) 0 b) 1 c) 2 d) Sec2x e) N.A.

19).- Calcula el valor de la siguiente expresión:

a) b) c)

d) e) N.A.

20).- Si III C y

Calcula el valor de:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) -3

21).- Si: KZ, a qué es igual: Sen (k +)

a) Sen b) -Sen

c) (-1)k Sen d) (-1)k Cos

e) - (-1)k Sen

CLAVES

1) c 2) d 3) a 4) b 5) --

6) -- 7) -- 8) -- 9) b 10)a

11)a 12)d 13)a 14)c 15)c

16)c 17)b 18)a 19)c 20)e

COL2004/TRIG-07 25/08/

V.DEFINICIÓN

Alumno(a) :...................................................................Semana :

TEMA : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

COLEGIO PRIVADO

Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.

VI. CLASIFICACIÓN

a. IDENTIDADES RECÍPROCAS

Senx.Cscx=1; n , n Z Cscx=

Cosx.Secx=1;x(2n+1)

π2 ,nZ Secx=

Tanx.Cotx = 1; xn

π2 , nZ Cotx=

b. IDENTIDADES T. POR DIVISIÓN

Tanx =

SenxCosx ; x(2n+1)

π2 ; nZ

Cotx =

CosxSenx ; x n; nZ

c. IDENTIDADES T. PITAGÓRICAS

Sen2x = 1-Cos2x

Sen2x + Cos2x = 1; x R

Cos2x =1-Sen2x

Sec2x-Tan2x=1

Tan2x+1 = Sec2x; x(2n+1)

π2 , n R

Tan2x = Sec2 x - 1

Csc2x-Cot2 x = 1

Cot2x+1 =Csc2x; x n, nR

Cot2x = Csc2x-1

Los problemas que se presenten , son de tipo demostración; simplificación, condicionales y eliminación de variables; pero lo más importante es el manejo adecuado de las igualdades ya conocidas, para obtener la solución del problema.

Observación :

Verso de x : Ver x = 1- Cosx

Coverso de x : Cov x = 1- Senx

Exsecante de x : Ex secx = Secx-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Demuestra que : Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx

Solución :

En este problema, la idea es reducir el miembro dela igualdad más complicado y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y para ello es bueno recordar:

Cscx =

1Senx ; Secx =

SenxCosx ; Cotx=

En el problema :

Tan2x . Cosx . Cscx = Tanx ; nota que :

Tan2 =

sen2 xcos2 x

sen2 xcos2 x . Cosx .

1senx = tanx

Reduciendo :

senxcos x⏟

tan x = tanx tanx = tanx

2) Simplifica :

L = tanx . cos2x - cotx . sen2x

Solución :

Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así :

L = tanx . cos2x – cotx . sen2x

senxcos x

. cos2 x−cos xsenx

. sen2 x

Reduciendo :

L = senx . cosx – cosx . senx

3) Reduce:

L = (secx - cosx) (cscx – senx)

Solución :

Pasando a senos y cosenos:

L = ( 1cos x

−cos x )( 1senx

−senx)

operando :

L = ( 1−cos2 xcos x )( 1−sen2 x

senx );

pero : 1- cos2x = sen2x

1- sen2x = cos2x

reemplazando :

sen2 xcos x

.cos2 xsenx L = senx.cosx

4) Simplifica :

L = (sec x+senxcsc x+cos x )cot x

Solución :

Vamos a colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así :

(sec x+senxcsc x +cos x )cot x=(

1cos x

+cos x ) .cos xsenx

Operando y ordenando :

1+senx .cos xcos x1+cos x . senx

senx) . cos x

Reduciendo :

1cos x

) . cos xsen x

senxcos x

.cos xsenx

5) Reduce :

L = (secx + tanx –1) (secx – tanx+1)

Solución :

Si bien , el pasar a senos y cosenos, es un criterio muy generalizador; no siempre es necesario tales cambios; sino también al manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo :

L = (secx + tanx-1) (secx-tanx+1)

operando :

L = sec2x – secx . tanx + secx + tanx . secx

– tan2x + tanx – secx + tanx – 1

reduciendo :

L = sec2x - tan2x + 2tanx – 1 = 1 + 2tanx – 1

L = 2tanx

6) Reduce :

Sen 4 x−Cos4 xSenx−Cosx

−Cosx

Solución :

En muchos problemas; el uso de los productos notables es necesario para simplificar expresiones; siendo estos casos, importante, la adaptación de las propiedades algebraicas a la expresión trigonométrica a analizar. En el problema, tenemos :

sen4 x−cos4 xsenx−cos x - cos x ; nota que :

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

En la expresión :

(sen2 x )2−(cos2 x )2

senx−cos x−cos x

(sen2 x+cos2 x ) ( sen2 x−cos2 x )senx−cos x

−cos x

Pero : sen2x + cos2x = 1

Luego :

sen2 x−cos2 xsenx−cos x - cosx

Note :

sen2x-cos2x = (senx + cosx)(senx-cosx)

( senx+cos x )( senx−cos x )senx−cos x

−cos x

Reduciendo .

L = senx + cosx – cosx

L = senx

C U E S T I O N A R I O

1).- Reduce : 0°<0<90°

a) Sen Cos b) Sec Csc

c) Tg d) Ctg

2).- Si: 0°<<90°

Reduce :

a) Sen b) Cos c) Cos2

d) Sec e) Csc

3).- Simplifica :

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

4).- Reduce :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

5).- Si: . Calcula :

a) 5 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

6).- Si: Sec Csc=n. Calcula :

a) n (n+1) b) n (n-1) c) n (1-n)

d) 2n (n+1) e) 2n (n-1)

7).- Si: . Calcula :

a) 4 b) 16 c) 1/2

d) 1/4 e) 1/16

8).- El equivalente de:

a) Sec+Tg b) Csc+Ctg

c) Csc-Ctg d) Sec-Tg

e) Csc-Sec

9).- Simplifica la siguiente expresión:

a) 0 b) 1 c) d) 2 e) 4

10).- Si : Ctg - Cos = 4

E=4Tg+Sen

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

11).- Reduce :

E= 1+Senα+Tgα+Sec α1+Cosα+Ctgα+Cscα

a) 1 b) Tg c) Ctg

d) Sec e) Csc

12).- Si :

1+Tgx=USecx

1-Tgx=Vsecx

Hallar: U2+V2

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4

13).- Si :

Calcula :

a) 1 b) c) 3/4 d) 4/3 e)

14).- Determina el valor de “n” tal que la siguiente relación sea una identidad.

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

15).- Calcula “Tgx” si:

aSenx+bCosx=a

aCosx-bSenx=b

16).- Si

Calcular:

a) b) 4 c) 7 d) e) 11

17).- Se tienen las siguientes relaciones:

Calcula : “Cosx”

a) a/b b) b/a c)

18).- En el gráfico mostrado calcula :

19).- Elimina : ““ de:

a) a+b=0 b) a+b=1 c) a+b=-1

d) ab=0 e) a-b=0

20).- Elimina : de:

Tg+Ctg=x

Sec+Csc=y

a) x2-2x=y2 b) x2-x=y2

c) x2+2x=y2 d) x2+x=y2

e) x+y=xy

CLAVES

1)a 2)a 3)c 4)c 5)e

6)a 7)e 8)b 9)b 10)b

11)b 12)b 13)a 14)d 15)d

16)d 17)d 18)a 19)a 20)c

5° PRE-

UNIVERSITARIO Alumno(a) :...........................................................

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE, MITAD Y TRIPLE

COLEGIO PRIVADO

SEMANA N° 13 y 14

I.- R.T. DEL ÁNGULO DOBLE

1).- Sen2x = 2SenxCosx

2).- Cos2x = Cos2x – Sen2x

* Cos2x = 1 – 2Sen2x

* Cos2x = 2Cos2x - 1

3).- Tan 2x =

2 tan x

1−tan2 x

Además:

*Sen2x =

2 tan x

1+ tan2 x

*Cos2x =

1− tan2 x1+tan2 x

II.- R.T. DEL ÁNGULO MITAD

En general las principales ecuaciones que nos permiten calcular las R.T del ángulo mitad son :

1) Sen ( x2 )=±√ 1−Cosx

2) Cos ( x2 )=±√ 1+Cosx

3) Tan ( x2 )=±√ 1−Cosx

NOTA : El signo () depende del cuadrante en el cual se encuentra el ángulo mitad y de la R.T que la está afectando.

2.1.- EQUIVALENCIAS IMPORTANTES

a) Tan ( x2 ) = Cscx - Cotx

b) Cot ( x2 ) = Cscx + Cotx

III.- R.T. DEL ÁNGULO TRIPLE

3.1.- EN GENERAL LAS PRINCIPALES ECUACIONES SON :

a) Sen3x = 3Senx – 4Sen3x

b) Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx

c) Tan3x =

3Tanx -Tan3 x1 -3Tan2 x

3.2.- OTRA FORMA DE EXPRESAR :

a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1)

b) Cos3x = Cosx(2Cos2x – 1)

c) Tan3x =Tanx ( 2Cos2x+1

2Cos2 x−1 )

3.3.- EQUIVALENCIAS IMPORTANTES

a) 4Senx Sen(60 – x) Sen(60+x) = Sen3x

b) 4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x

c) TanxTan(60° - x) Tan(60°+x)=Tan3x

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula :

E = (Cot22,5°-1) (Cot15° - 2)

Solución :

Por las equivalencias:

E = (Csc45°+Cot45°-1) (csc30° +Cot30°-2)

E = (√2 + 1 – 1) (2 + √3 - 2)

E = √6

2) Reduce :

Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

Solución :

Por propiedad :

Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

Q = Cscx + Csc2x + Cot2x

Q = Cscx + Cotx

Q = Cot x/2

3) Si : Cscx + Cotx = Cos

Halla :

2+ Sen2θ

2−Secθ+2

Solución:

En el dato :

Cot x/2 = Cos Tan x/2 = Sec

Reemplazando :

1+Cot2 x /2 +Sen2 θSecθ−Secθ+2

=1+Cos2 θ+Sen2 θ2

Csc2 x /2 +Sen2θTan x /2 −Secθ+2 = 1

4) Simplifica :

Sen3 x+Sen3 xCos3 x−Co3 x

Solución :

3 Senx−4 Sen3 x+Sen3 xCos3 x−(4 Cos3 x−3Cosx )

3Senx (1−Sen2 x )3Cosx (1−Cos2 x )

Senx Cos2 xCosx Sen2 x

=CosxSenx

E = Cotx

5) Calcula :

K = Sen10°Sen50°Sen70°

Solución :

Multiplicando por 4

4k = 4Sen10°Sen50°Sen70°

4k = Sen30° = ½ k = 1/8

6) Halla “n” para que la expresión sea una identidad.

Sen3 xSenx

=Cos3 xCosx

Solución :

Sen3 xSenx

−Cos3 xCosx

Senx (3−4 Sen2 x )Senx

−cos x ( 4Cos2 x−3 )

Cosx=n

6 – 4 (Sen2x + Cos2x) = n

CUESTIONARIO

1).- Simplifica:

E = (secx - cosx)(cscx - senx)

cos2 xb)

cos 4 x

c) cos2x d)

12sen 2x

2).- Reduce:

E = (secx + cscx).cos (x+ π4 )

a) √2. tg 2x b) √2.ctg 2x

c) √2. sec 2x d) √3 .ctg 2 x

e) √2.ctg 3 x

3).- Si:

tg2x – tgx – 1 = 0

Calcula:

E = tg22x – tg2x - 1

a) 7 b) 5 c) 9 d) 6 e) 4

4).- Si:

senx = cosx + sec

Calcula:

E = sen2x + tg2

a) 1 b) –1 c) 0

d) 2 e) -2

5).- Si: tg = 3tg

Además:

sen2θ = m . sen2αn+ pcos 2α

Determina:

E = √m+n+ p

a) 2 b) 3 c) 4

d) 2√3 e) 3√2

6).- Reduce:

E = sen3x.sen3x + cos3x.cos3x

a) cosx b) cos32x c) cos33x

d) cos22x e) cos3x

7).- Si: senx =

−2√65

; π < x < 3π2

Calcula: “tg

x2 ”

√62 b)

−√62 c)

d) −√5

2 e) 1

8).- Reduce:

tgx . tgx / 2+1tgx .cot gx / 2−1

a) 1 b) –1 c) 2

d) csc

−cscx2

9).- Si: cscx + cscy + cscz = ctgx + ctgy + ctgz

Calcula:

E=tg3 x /2 + tg3 x /2 + tg3 z /2tgx /2 . tgy /2 . tgz /2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

10).- Reduce:

E = csc2 + csc4 + csc8 + csc16 + csc32

a) ctg - csc32 b) ctg - ctg2

c) ctg - ctg64 d) ctg32

e) cot - cot32

11).- Simplifica:

E=√ 12−1

2 √ 12+1

2cos8θ

a) cos8 b) sen4 c) cos2

d) sen e) 1

12).- Del gráfico siguiente calcula “cos2”

13).- Si: sen 2x =

Determina:

sen3 x . cos3 x+(senx+cos x )6

sen4 x . cos4 x+( senx−cos x )8

302013 b)

3078257 c)

3078157

3021257 e)

3041257

14).- Reduce:

E = (sec

α2+ tg α

2 ) tg( π−α4 )

a) –1 b) 1 c)

d) −1

15).- Reduce la expresión:

M = sen3 x+sen3 xcos3 x−cos3 x

a) tgx b) ctgx c) tg3x

d) ctg3x e) 1

16).- Calcula el valor de:

K = 8cos340° - 6cos40°

a) –1 b) –1/2 c) 0

d) ½ e) 1

W= sen310 °+cos320 °sen10 °+cos20 °

a) ¼ b) ½ c) ¾

d) 1 e) 4/3

18).- A qué es igual la expresión:

4 cos10 °−3sec10 °4cos 80 °−3sec80 °

a) −√3 tg10 ° b) –tg10°

c) –tg210° d) −√3 tg210 °

e) N.A.

19).- Simplifica la expresión:

M = tgx(2cosx+cos3x)

a) sen3x b) cos3x c) 3senx

d) 3cosx e) 3tgx

3√1+6 cos20 °cos20 °

a) 1/3 b) ½ c) 2

d) 3 e) 6

CLAVES

1) d 2) b 3) b 4) c

5) a 6) b 7) b 8) a

9) c 10) e 11) d 12) e

13) c 14) b 15) b 16) a

17) c 18) d 19) a 20) c

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES

200 MILLAS

5° PreuniversitariAlumno(a) :...........................................................

TEMA : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO COMPUESTO

COLEGIO PRIVADO

I.DEFINICIÓN

Es aquel ángulo conformado ya se por la suma ó la diferencia de dos ó más ángulos.

Ejemplos :

x = + + y = 45° - 20°

Observación :

Sen(x+y) Senx + Seny Tan - Tan Tan(-)

II. FÓRMULAS BÁSICAS

Para la suma ó la diferencia de dos ángulos (x y)

1) Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx

2) Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny

3) Tan(x y) =

Tanx±Tany1∓TanxTany

III. PROPIEDADES

1) Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)

2) Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen2y

Cos( x± y )Cosx Cosy =Tgx Tgy

Cos( x± y )Senx Seny =Cotx Coty-1

Además :

Si : + + = n ó 180n (nZ)

Tg +Tg+Tg=TgTgTg

CotCot+CotCot+CotCot=1

Si : ++=(2n+1)/2 ó (2n+1)90°

TgTg+TgTg+TgTg =1

Cot+Cot+Cot=CotCotCot

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica :

Sen (60°+ x )+Sen(60 °−x )Cosx

Solución :

En la expresión; desarrollando cada término del numerador :

Sen (60+x )+Sen (60 °−x )Cosx

L =Sen60 ° .Cosx+Senx .Cos60 °+ Sen60 ° .Cosx−Senx .Cos60°

Simplificando:

2Sen60 ° .CosxCosx

L = 2Sen60°=2(√3

L = √3

2) Determina el valor de :

Sen3 x .Cos2x+Sen2x .Cos3 xSen4 x .Cosx+Senx .Cos4 x

Solución :

Recuerda que :

Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+)

Luego; si : =3x =2x

Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)

= Sen5x

En la expresión :

Sen3 x .Cos2x+Sen2x .Cos3 xSen4 x .Cosx+Senx .Cos4 x

Sen5 xSen5 x L=1

3) Calcula el valor de “Sen75°”

Solución :

En este caso, descomponemos “75°” como la suma de dos ángulos conocidos, por ejemplo :

Sen75° = Sen(45°+30°)

desarrollando :

Sen75° = Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45°

Reemplazando valores notables:

Sen75°=

. √32+ 1

2. √2

Sen75° =

√6+√24

Sugerencia, no olvides el siguiente triángulo :

4) Reduce :

Sen (α+x )−Sen α .CosxCos(α+ x )+Sen α .Senx

Solución :

Vamos a desarrollar los términos conocidos; así :

Sen (α+x )−Sen α .CosxCos(α+ x )+Sen α .Senx

Senα .Cosx+Senx .Cos α−Senα .CosxCosα .Cosx−Senα .Senx+Senα .Senx

Reduciendo :

Senx . CosαCosα . Cosx

= SenxCosx L = Tanx

5) Calcula el valor de “Cos8°”

Solución :

Descomponemos 8° usando dos ángulos conocidos :

8° = 45° - 37°

Esto es : Cos8° = Cos(45°-37°)

Cos8° = Cos45°.Cos37°+Sen45°.Sen37°

Reemplazando valores conocidos :

Cos8° =

,45+ √2

Cos8° =

7√210

como sugerencia; no olvides este triángulo :

6) Simplifica : L =

Sen (α+β )Cosα . Cos β - Tan

Solución :

En estos casos; lo ideal es desarrollar la fórmula :

Senα .Cos β+Sen β .CosαCosα .Cos β - Tan

Luego, la fracción desdoblar en homogéneas así :

Senα .Cos βCosα .Cos β

+ Senβ .Cos αCosα .Cos β -Tan

Reduciendo :

SenαCosα

+ Sen βCos β - Tan

L = Tan + Tan - Tan

L = Tan

CUESTIONARIO

1).- Expresa como monomio :

Cos7x + Sen5x Sen2x

a) Cos5xCos2x b) Sen5xCos2x

c) Cos5xSen2x d) Sen3xCosx

e) N.A.

2).- Reduce :

Cos(60°+x)(Cos(30°-x)-Sen(60°+x)Sen(30°-x)

a) 0 b) ½ c) 3/2

d) Cosx e) Senx

3).- Si : x + y = /6

Calcula : (Senx+Cosy)2+(Cosx+Seny)2

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 1,5

4).- Si : x + y = , simplifica:

(Ctg+Tgx)CosxSecy

a) Secx b) SecxCsc

c) Csc d) 1

e) Ctg

5).- Calcula “Tg8°”

a) 7/24 b) 5/24 c) 3/14

d) 1/7 e) 1/14

6).- Si : 12 =

Calcula : Tg +Tg3 + Tg5

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

7).- Reduce : M =

Sen (x− y )Cosx Cosy + Tgy

a) 0 b) Tgx c) Tgy

d) Tgx + Tgy e) 2Tgx

8).- Reduce :

Sen( x+ y )+Cos( x− y )( Senx+Cosx )(Seny+Cosy )

a) 1 b) 2 c) Senx

d) Cosx e) Sen2x

9).- Si : Tg10° = a, calcula :Tg50° - Tg40°

a) 0,5a b) a c) 1,5a

d) 2a e) 2,5a

10).- Si : Tg21° = a,

calcula : Tg55°30’-Tg34°30’

a) a b) 0,5a c) 2a

d) 1,5a e) 2,5a

11).- Reduce : M=Sen70° - Sen50°

a) Cos10° b) Sen10°

c) Cos20° d) 1

e) Sen20°

12).- Reduce :

Q = (Cos43°+Sen73°) Sec13°+√3

a) 2 b) 3√3 c) 2√3

d) 4 e) 5

13).- Si : Tg(10°+x)=4,

calcula : Tg(55° + x)

a) –1/3 b) –1 c) –5/3

d) –5 e) 5/3

14).- Si : a + b + c = /2

Halla : Cos

b2 (Tg b2+1) .Sec ( a+c2 )

a) 1 b) 0 c) -1

d) √2 e)

15).- Si: Tg y Tg son las raíces de la ecuación : x2 + 5x – 4 = 0

Halla el valor de “” +””

a) 30° b) 45° c) 60°

d) 75° e) 37°

16).- Del gráfico, calcula “Tg”

c) 1/3

d) 1/4

e) 1/6

17).- Simplifica : Tg+Tg3+Tg4.Tg.Tg3

a) Tg b) Tg3 c) Tg4

d) Tg5 e) Tg6

18).- Reduce :

2(Tgx+Tg2x) + Tgx Tg2x Tg3x

Siendo : Tgx+Tg2x+Tg3x=k

a) k b) 3k c) 2k

d) k/3 e) k/2

19).- Calcula : (√3+Tg10°) (√3+Tg20°)

a) 4 b) 3 c) 3/4

d) 4/3 e) √3

20).- Simplifica :

Sen2 A+Sen2 ( A+B )−Sen2B

Cos2 A+Sen2 ( A+B )−Cos2B

a) TgA b) CtgB

c) TgACtg d) TgACtgB

e) CtgATgB

CLAVES

1)a 2)a 3)d

4)c 5)d 6)d

7)b 8)a 9)d

10)c 11)b 12)c

13)c 14)d 15)b

16)b 17)c 18)a

19)a 20)c

5° Preuniversitario Alumno(a) :.......................................................................

COLEGIO PRIVADO

TEMA : TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Semana N° : 6 Tema N° : XIV Contenido N° : 14.1 – 14.2

I. INTRODUCCIÓNEs este capítulo vamos a realizar operaciones de funciones trigonométricas realizando la adición y multiplicación con sus respectivas propiedades, para lo cual tenemos que aplicar lo estudiado anteriormente.

A continuación veamos como se realiza las siguientes propiedades.

II. PROPIEDADES :

1. TRANSFORMACIONES A PRODUCTO

a) SenA+SenB = 2Sen( A+B2 )

Cos( A−B

b) SenA–SenB = 2Sen( A−B

2 )Cos( A+B2 )

c) CosA+CosB = 2Cos( A+B2 )

Cos( A−B

d) CosB–CosA = 2Sen( A+B2 )

Sen( A−B

2. TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO

a) 2Senx Cosy = Sen(x+y)+Sen(x – y); x>y

b) 2Senx Cosy=Sen(x+y) – Sen(y – x); x<y

c) 2Cosx Cosy = Cos(x+y)+Cos(x – y)

d) 2Senx Seny = Cos(x – y) – Cos(x+y)

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica :

2 sen2 x . cos3 x+senx2 sen4 x . cos x−sen3 x

Solución :

Tenemos :

2 sen2 x . cos3 x+senx2 sen4 x . cos x−sen3 x

Transformando :

sen (2x+3 x )+sen(2 x−3 x )+senxsen(4 x+x )+sen (4 x−x )−sen 3x

sen5 x+sen(−x )+senxsen5 x+sen 3x−sen3 x

sen(-x) = -senx

sen5 x−senx+senxsen5 x+sen 3x−sen3 x

Reduciendo :

sen5 xsen5 x

2) Reduce :

2 sen 4 x . cos x−sen5 x2cos 5x . cos2x−cos7 x

Solución :

En la expresión :

2 sen 4 x . cos x−sen5 x2cos 5x . cos2 x−cos7 x

Transformando :

sen( 4 x+x )+sen (4 x−x )−sen5xcos (5x+2 x )+cos (5 x−2x )−cos7 x

Operando :

sen5 x+sen 3x−sen5 xcos7 x+cos3 x−cos7 x

= sen3 xcos3 x

J = tan3x

3) Reduce :

sen5 x . senx+cos7 x . cos xcos6 x

Solución :

En la expresión :

sen5 x . senx+cos7 x . cos xcos6 x

Multiplicamos x 2 :

2 sen5 x . senx+2cos7 x . cos xcos6 x

transformando :

2J =cos x (5 x−x )−cos x (5x+x )+cos (7 x+x )+cos (7 x−x )cos6 x

cos 4 x−cos 6 x+cos8 x+cos6 xcos6 x

reduciendo :

cos 8x+cos 4 xcos6 x

transformando a producto :

cos8x+cos4x=2cos( 8 x+4 x

2 )cos( 8 x+4 x

2cos 6 x . cos2 xcos6 x

simplificando :

J = cos2x

4) Simplifica :

J = sen3x . cos2x + sen3x.cos4x + senx.cos6x

Solución :

En la expresión :

J = sen3x.cos2x+sen3x.cos4x+senx.cos6x

Multiplicamos x 2 :

2 sen3x . cos2x⏟+2 sen3 x . cos4 x⏟+2 senx . cos 6x⏟

transformando :

2J=sen5x+senx+sen7x-senx + sen7x-sen5x

reduciendo :

2J = 2sen7x

J = sen7x

5) Reduce :

J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

Solución :

En la expresión :

J = cos5x.cos2x+sen6x.senx-cos4x.cosx

Multiplicamos x 2 :

2J=2cos5x.cos2x+2sen6x.senx-2cos4x.cosx

transformando :

2J=cos7x+cos3x+cos5x–cos7x–(cos5x+ cos3x)

2J=cos7x+cos3x+cos5x–cos7x–cos5x– cos3x

reduciendo :

2J = 0 J = 0

6) Transforma a suma ó diferencia de senos o cosenos :

J = 4senx . cos2x . cos4x

Solución :

En la expresión :

J = 4senx . cos2x . cos4x

Agrupamos y transformamos :

J = 2(2senx. Cos2x) cos4x

J = 2(sen3x-senx)cos4x

Desarrollando :

J = 2sen3x . Cos4x - 2senx.cos4x

Transformando nuevamente :

J = sen7x-senx-(sen5x - sen3x)

J = sen7x-senx-sen5x+sen3x

Ordenando :

J = sen7x –sen5x + sen3x – senx

CUESTIONARIO

1).- Reduce :

E=Sen5 xCosx+Sen2xCos 8xCos3 x

a) Senx b) Sen3x

c) Sen5x d) Sen7x

e) N.A.

2).- Reduce :

M=Sen20 º Cos80 º+Sen50 º Cos10 ºSen70 º

a) 1 b) 1/2 c)

d) 1/4 e)

3).- Simplifica :

F=Cos3 x Cos5x−Senx Sen3 xCos2x Cos6 x

a) Tg2x b) Tg6x c) 2

d) 1/2 e) 1

E= Senx+Sen3 x+Sen5 xCosx+Cos3 x+Cos5 x

a) Tgx b) Ctx c) Tg2x

d) Ctg2x e) Tg3x

E= Sen2x+Sen5 x−SenxCos2 x+Cos5 x+Cosx

a) Tgx b) Ctgx c) Tg2x

d) Ctg2x e) Tg3x

6).- Al factorizar la expresión :

K=√3+2Cos10 º

uno de sus factores es:

a) Cos8º b) Cos12º

c) Cos16º d) Cos20º

e) Cos24º

7).- Dado que :

Sen2x Sen5x+Cosx Cos6x=Senx Cos4x

Calcula: “Ctgx”

a) 1 b) 1/2 c) 2

d) 1/4 e) 4

Q= Csc 10º - 4Sen70º

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

9).- Calcula: Sen (a+b) . Sen (a - b)

Si: Cos a= 1/4 y cos b=1/3

a) 7/12 b) 7/144

c) 5/12 d) 25/144 e) 45/144

10).- Reduce

E = Cos10º + Cos30º + Cos50º + Cos70º

a) 2 b) ½ cot10° c) 2Tg 10º

d) 2Ctg 10º e) N.A.

N=√3 Sen π9

. Sen 2π9

. Sen 4 π9

a) 1/2 b) 3/2 c) 3/4

d) 4/9 e) 3/8

W= Sen2 10º + Sen2 50º + Sen2 70º

a) 3/4 b) 1 c) 5/4

d) 3/2 e) 7/4

13).- Si: 19x=π , calcula el valor de la expresión:

W= Sen16x+Sen4 xSen23 x−Sen3 x

a) -2 b) -1 c) 1

d) 2 e) N.A.

14).- Si : a + b = 45º y a – b = 60º

K = Sen2a - Sen2b

√22 b)

√63 c)

√66 e) N.A.

15).- Calcula el valor máximo de la expresión:

W = Sen(65º + x) + Sen(25º - x)

a) 1 b) √2 c) √3

d) 2 e) 2√2

16).- Simplifica:

B=√ Sen7θ⋅Sen3θ+Sen22θ

a) Sen b) Sen3

c) Sen5 d) Cos5 e) 1

17).- Calcula la medida de “ ” que maximice el valor de “Y” en :

Y = 1 - Cos Cos (+40)

a) 20º b) 30º c) 50º

d) 70º e) 90º

P=32 Sen36º. Sen72º . Sen108º . Sen144º

a) 1 b) 2 c) 5

d) 10 e) 20

19).- En un triángulo ABC, Reduce

E=Sen2 A2+Sen2 B

2+Sen2 C

a) −4Sen

b) −2Sen

c) 2Sen

d) 4 Sen

e) N.A.

20).- Si en un triángulo ABC, se cumple que:

SenA+SenB+SenC=4 Sen

luego, el triángulo, es

a) Escaleno b) Isósceles

c) Equilátero d) Rectángulo

e) Rectángulo e Isósceles

CLAVES

1) d 2) c 3) e 4) e 5) c

6) d 7) a 8) d 9) b 10)b

11)e 12)d 13)b 14)c 15)b

16)c 17)d 18)e 19)b 20)e

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