View
224
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
New Jersey Center for Teaching and Learning
Iniciativa de Matemática Progres iva®
Este materia l está disponible gratuitamente en ww.njctl.org y está pensado para e l uso no comercia l de estudiantes y profesores. No puede ser utilizado para cualquier propós ito comercia l s in e l consentimiento por escrito de sus propie tarios.NJCTL mantiene su s itio web por la convicción de profesores que desean hacer disponible su trabajo para otros profesores, participar en una comunidad de aprendiza je profes ional virtua l, y /o permitir apadres, estudiantes y otras personas e l acceso a los materia les de los cursos.
Nosotros, en la Asociación de Educación de Nueva Jersey (NJEA) somos fundadores orgullosos y apoyo de NJCTL y la organización independiente s in fines de lucro.NJEA adopta la mis ión de NJCTL de capacitar a profesores para dirigir e l mejoramiento escolar para e l beneficio de todos los estudiantes.
Click para ir al s itio web: www.njctl.org
Slide 1 / 209
Geometría
Puntos, rectas, y planos
www.njctl.org
2015-07-20
Slide 2 / 209
Tabla de contenidos
Puntos y rectas
Planos
Construcciones y loci
Preguntas de muestra PARCC
click sobre el tema para ir a la sección
Introducción a la Geometría
Congruencia, distancia y longitud
Slide 3 / 209
A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.
MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas .MP6: Ser preciso.MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.
Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
Slide 4 / 209
Introducción a la
Geometría
Volver a la tabla de contenidos
Slide 5 / 209
El origen de la Geometría
Hace unos 10,000 años una gran parte de África del Norte eran fértiles tierras de cultivo.
El área aldededor del río Nilo era muy pantanosa por lo que estaba escasamente poblada.
Slide 6 / 209
Pero a lo largo de miles de años, el clima cambió y la mayoría del norte africano se convirtió en desierto.
Las orillas del río Nilo se convirtieron en excelentes tierras de cultivo.
El origen de la Geometría
Slide 7 / 209
Las tierras a lo largo del Nilo se llenaron de gente.
Se practicaba la agricultura a lo largo de la ribera del Nilo porque había:
· Agua para riego
· Suelos fértiles debido a la inundación anual que deposita sedimentos de río arriba.
Pero, y ya que las tierras se inundaban cada año, ¿cómo se podría hacer el seguimiento de quienes vivían en dichas tierras?
El origen de la Geometría
Slide 8 / 209
About 4000 years ago an Egyptian pharaoh, Sesostris, is said to have invented geometry in order to keep track of the land and tax it's owners.
Reestablishing land ownership after each annual flood required a practical geometry.
"Geo" means Earth and "metria" means measure, so geometry meant to measure land.
Geometría Egipcia
Slide 9 / 209
Sabemos más sobre geometría que los que los egipcios sabían hace 4000 años, así que vamos a hacer un laboratorio para ver como se resolvería este problema
Laboratorio "Los límites de la tierra"
Trabajarán en grupo y cada grupo resolverá el problema, pero antes pasemos a cómo los griegos construyeron sobre
la solución egipcia.
Slide 10 / 209
Antes de la inundación anual del Nilo las tres parcelas de tierra podrían ser como se muestra.
Los puntos rojos indican estacas ubicadas sobre el nivel de la inundación.
Las estacas permanecerían en el mismo lugar año tras año.
A
Parcela 1
C
B
D
Parcela 3
Parcela 2
Mapa de los límites pre-inundación
E
Laboratorio "Los límites de la tierra"
Slide 11 / 209
Antes de la inundación, las tres parcelas de tierras podrían verse así.
A
C
B
D
E
Mapa del río y riberas post-inundación
Más tarde, sólo las estacas sobre el nivel de la inundación
permanecían y el río había cambiado su curso.
Laboratorio "Los límites de la tierra"
AParcela 1
C
B
DParcela 3
Parcela 2
Mapa de los límites pre-inundación
Slide 12 / 209
El faraón tenia que:
· Reestablecerr nuevos límites de manera que los agricultores supieran que tierras tenían que cultivar.
· Ajustar los impuestos para que coincidan con la nueva cantidad de tierra de cada dueño.
Los egipcios sólo tenían estacas y sogas,
tu sólo tienes cinta y cuerda.
Laboratorio "Los límites de la tierra"
Slide 13 / 209
Después de la inundación, el faraón enviaría a sus geómetras con cuerdas, que habían sido utilizadas para medir cada parcela de tierra en los años anteriores
¿Cómo hacían esto?
(no puedes usar los lados del papel o reglas debido a que eran campos abiertos de gran tamaño.)
Laboratorio "Los límites de la tierra"
A
C
B
D
E
Mapa del río y riberas post-inundación
Slide 14 / 209
La matemática egipcia era muy práctica. ¿Qué aplicaciones prácticas, piensas que los matemáticos egipcios usaron para esto?
Ellos no desarrollaron matemática abstracta. Esto quedó para los egipcios quienes construyeron sobre lo que habían aprendido de los egipcios, los babilonios y otros.
Geometría egipcia
Slide 15 / 209
Geometría griega
Los griegos desarrollaron un enfoque de pensamiento sobre las medidas de la Tierra que les permitió generalizar.
Mantuvieron sus supuestos al mínimo y mostraron como todo siguió a partir de esos supuestos
Aquellos supuestos son llamados definiciones, postulados y axiomas.
Ese pensamiento analítico se convirtió en la lógica que nos permite no sólo hacer mediciones de tierras, sino también medir la validez de las ideas.
Slide 16 / 209
Geometría Euclideana
El libro de Euclides, Los elementos, resumió los resultados de la Geometría griega: la Geometría Euclideana.
La geometría euclideana es la base de una gran parte de la matemática, la filosofía y la ciencia occidental.
Esto representa también, una buena oportunidad para aprender sobre este tipo de pensamiento.
Slide 17 / 209
La Geometría euclidiana data de 400 AC.
Esto la hace alrededor de 1000 años más antigua que el álgebra y alrededor de 2000 años más antigua que el
cálculo.
El hecho de que todavía es enseñada de igual forma que hace unos 2000 años, nos dice ¿qué cosa sobre la
Geometría de Euclides?
Geometría Euclidiana
Slide 18 / 209
Esta frase estaba sobre la Academia de Platón en la antigua Grecia, hace unos 2500 años.
Esta pintura renacentista de Rafael, describe a esa academia.
"No se permite que nadie quien ignore la geometría entre aquí."
Geometría Euclidiana
Slide 19 / 209
Cuando el imperio romano decayó y luego desapareció, hace unos 1800 años, la mayor parte de los escritos de la civilización griega se perdieron.
Esto incluyó a la mayor parte de las obras, historias y de los trabajos en filosofía, matemática y ciencias de esa era, incluyendo a Los Elementos de Euclides.
Esas obras no se destruyeron a propósito, pero se deterioraron con el tiempo al no haber medidas de gobierno para preservarlas.
Geometría Euclidiana
Slide 20 / 209
La Geometria euclidiana se perdió en Europa por unos 1000 años.
Pero, se siguió usando y desarrollando en el mundo islámico.
En los años 1400 esas, ideas fueron reintroducidas a Europa.
Esas y otras obras redescubiertas, condujeron al Renacimiento Europeo, que duró por varios siglos, comenzando en 1400 aproximadamente.
Geometría Euclidiana
Slide 21 / 209
Una gran parte del pensamiento de la ciencia y de la matemática modernas se desarrolló a partir del redescubrimiento de Los Elementos de Euclides.
El pensamiento que subyace a la Geometría Euclidiana se ha mantenido muy bien.
Muchos todavía creen que éste es la mejor introducción al pensamiento analítico.
Geometría Euclidiana
Slide 22 / 209
Aproximadamente unos 100 años, Charles Dodgson, el geómetra de Oxford quien escribió Alicia en el país de las maravillas, bajo el nombre de Lewis Carrol, argumentó que el pensamiento de Euclides era todavía la mejor manera para entender el pensamiento matemático.
Geometría Euclidiana
Slide 23 / 209
La geometría es usada directamente en muchas tareas en las que hay que medir longitudes, áreas y volúmenes; agrimensura de tierras, diseños ópticos, etc. La Geometría es subyacente a la mayor parte de la ciencia, la tecnología, la ingeniería y la matemática. (CTIM).
Geometría Euclidiana
Slide 24 / 209
Este curso usará el pensamiento básico desarrollado por Euclides.
Trataremos de clarificar y distinguir entre:
· Que suponemos que es cierto, y no podemos comprobar· Que seguimos a partir de lo que tenemos asumido o comprobado previamente.
Este es el razonamiento que hace al pensamiento geométrico tan valorable.
Cuestionar siempre, cada idea que se presenta, esto es lo que hubieran querido Euclides y aquellos quienes inventaron.
Geometría Euclidiana
Slide 25 / 209
Esto representa también un camino al pensamiento lógico, el cual el filósofo británico Bertrand Russel mostró que es idéntico al pensamiento matemático.
Cliqar un video breve sobre el mensaje de Bertrand Russell para el futuro que fue filmado en 1959.
¿Escuchaste algo que te sonara familiar?
¿Qué?
Geometría Euclidiana
Slide 26 / 209
Los supuestos de Euclides son axiomas, postulados y definiciones.
No se espera que los memorices, sino que los uses para desarrollar más allá tu comprensión.
Las ideas principales que pueden demostrarse se llaman Teoremas.
Las ideas que provienen fácilmente de un teorema se llaman Corolarios.
Geometría Euclideana
Slide 27 / 209
Los cinco axiomas son muy generales, aplican al curso entero y no dependen de las definiciones o postulados, así que los revisaremos en esta unidad.
Los postulados y definiciones están relacionados a temas específicos, de modo que los introduciremos a medida que se necesiten.
También se introducirán términos modernos adicionales que necesitarás conocer.
Geometría Euclideana
Slide 28 / 209
Euclides llamó a sus axiomas "Comprensiones comunes".
Parecen demasiado obvio para nosotros, ahora, y para él entonces que el hecho que el los escribió como sus supuestos refleja que tan cuidadosamente el quiso dejar claro su pensamiento.
No quiso asumir incluso la más obvia comprensión sin indicar que esta haciendo justamente eso.
Axioma de Euclides (Comprensiones comunes)
Slide 29 / 209
El cuidadoso rigor es lo que condujo a que este enfoque cambie el mundo.
Los grandes avances en ciencia, matemática, ingeniería, negocios, etc., están hechas por gente que cuestionan lo que parece obviamente cierto...pero no siempre resulta ser cierto.
Sin reconocer los supuestos que se construyen, no eres capaz de cuestionarlos... y, algunas veces no eres capaz de ir más allá de ellos.
Axioma de Euclides (Comprensiones comunes)
Slide 30 / 209
Las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí
Primer axioma de Euclides
Por ejemplo:
Si sé que Tom y Bob tienen la misma altura y sé que Bob y Sara también tienen la misma altura.... ¿qué otra conclusión puedo tener?
Tom Bob Sara
Slide 31 / 209
Si iguales se suman a iguales, el entero es igual.
Segundo axioma de Euclides
Por ejemplo,
Si tú y yo tenemos cada uno la misma cantidad de dinero, vamos a decir $20, y cada uno de nosotros gana la misma cantidad de dinero adicional, vamos a decir $2,
entonces aún cada uno de nosotros tienen la misma cantidad total de dinero que el otro, en este caso $22.
Slide 32 / 209
Si iguales son sustraídos de iguales, el resto es igual.
Tercer axioma de Euclides
Así luce el tercer axioma.
Da un ejemplo propio. Mira hacia atrás al segundo axioma si necesitas una pista.
Slide 33 / 209
Las cosas que coinciden con otras cosas son iguales a las otras cosas.
Cuarto axioma de Euclides
Por ejemplo,
Si pongo dos piezas de madera lado a lado y ambos extremos y todos los puntos entre ellos se alinean, diría que tienen igual longitud.
Slide 34 / 209
El entero es mayor que las partes.
Quinto axioma de Euclides
Por ejemplo,
Si un objeto está construido por más de una parte, entonces el objeto es más grande que cualquiera de sus partes.
Slide 35 / 209
Primer axioma: las cosas que son iguales a la misma cosa son también iguales entre sí. Segundo axioma: si a iguales se suman iguales, el entero es igual.
Tercer axioma: si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.
Cuarto axioma: las cosas que coinciden con otras son iguales a esas otras.
Quinto axioma: el entero es mayor que las partes.
Axiomas de Euclides (Comprensiones comunes)
Slide 36 / 209
Puntos y Rectas
Volver a la tabla de contenidos
Slide 37 / 209
Definiciones
Las definiciones son palabras o términos que tienen un significado acordado, no pueden ser derivados o comprobados.
Las definiciones usadas en geometría son idealizaciones, no existen físicamente.
Cuando dibujamos objetos basados en esas definiciones, esto es justamente para ayudarnos a visualizarlas. Sin embargo, los
objetos geométricos imaginarios se pueden usar para desarrollar ideas que pueden luego ser convertidas en objetos reales.
Slide 38 / 209
Puntos
Un punto es infinitamente pequeño.
No puede ser dividido en partes pequeñas.
Es una ubicación en el espacio sin dimensiones.
No tiene longitud, ancho o altura.
Definición 1: Un punto es aquel que no tiene una parte
Slide 39 / 209
Puntos
Mira este punto. ¿Por qué no puede ser considerado un punto?
Discute tu respuesta con un compañero.
Definición 1: Un punto es aquel que no tiene una parte
Slide 40 / 209
Puntos
Un punto está representado por un punto. El punto dibujado sobre una página tiene dimensiones, pero el punto representado no las tiene.
Un punto puede ser imaginado, pero no representado.
Sólo la posición del punto es mostrado por el punto.
Los puntos son usualmente nombrados con una letra mayúscula. (e.j. A, B, C).
A B
C
Slide 41 / 209
Rectas
Una recta está definida por tener longitud, pero no ancho o altura.
La recta dibujada sobre una página tiene ancho, pero la idea de una recta no la tiene.
Definición 2: Una recta es una longitud sin ancho.
Las rectas pueden ser pensadas como un infinito número de puntos sin espacio entre ellos.
Slide 42 / 209
Rectas
Una recta consiste de un infinito número de puntos puestos uno al lado del otro de manera que los extremos son puntos.
Estos son llamados puntos finales.
Definición 3: Los extremos de una recta son puntos.
Incluso aunque así describimos correctamente a una recta con puntos finales, ¿por qué esto no es acertado?
Slide 43 / 209
Rectas
Definición 4. Una línea reca es una línea en la cual se encuentran uniformemente esparcidos los puntos en
sí misma.
En una línea recta los puntos descansan uno al lado del otro sin curvarse o volverse en cualquier dirección.
Mientras una línea pueda seguir cualquier patrón, en este urso, usaremos el término, "recta" para referirnos a una línea recta, a
menos que se indique otra cosa.
Slide 44 / 209
Primer postulado: Dibujar de cualquier punto a cualquier punto.
Rectas
Este postulado dice que dados dos puntos cualesquiera, es posible dibujar una recta entre ellos.
Aparte de permitirnos conectar dos puntos con una recta, esto también nos permite extender cualquier recta tan lejos como pudimos elegir desde los puntos que podrían ser ubicados en
cualquier punto en el espacio.
Slide 45 / 209
Rectas
Segundo postulado: Producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.
Este postulado dice que la recta dibujada entre dos puntos puede ser una línea recta.
Esto permite el uso de un lado recto para dibujar rectas.
Un lado recto es una regla sin marcas.
Nota: se puede usar cualquier objeto con un lado recto.
Slide 46 / 209
Segmentos
Usando esas definiciones y postulados podemos dibujar primero dos puntos (los puntos finales) y luego dibujar una línea recta entre ellos usando un lado recto.
Una línea recta dibujada de esa manera se llama segmento.
Esto es una longitud finita un comienzo y un fin.
En cada uno de los extremos hay un punto final como se muestra abajo.
A Bpunto final punto final
Slide 47 / 209
Nombrando segmentos
Por ejemplo , y son diferentes nombres para el mismo segmento.
AB BA
Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales.
El orden de los puntos finales no interesa.
A Bpunto final punto final
AB ó BA
Slide 48 / 209
Una recta se extiende infinitamente en ambas direcciones, puede ser formada a partir de extender un segmento en ambas direciones.
Esto es permitido por nuestras definiciones y postulados imaginando conectar cada punto final del segmento a otros puntos que descansan más allá de él, en ambas direcciones.
Rectas
Slide 49 / 209
A B
En este ejemplo, el segmento AB se extiende en ambas direcciones para formar la recta AB.
Rectas
A Bpunto final punto final
Slide 50 / 209
DE
Una recta se nombra usando cualesquiera dos puntos sobre ella o usando una letra minúscula. Una flecha en el símbolo arriba de los puntos en el nombre de la recta representa que la recta continúa sin final en direcciones opuestas.
Nombrando rectas
D
F
E
a
DF EF
FEED FD a
Aquí hay 7 nombres válidos para esta recta.
Cuando se usan dos puntos para nombrar una recta, su orden no importa ya que la recta va en ambas direcciones.
Slide 51 / 209
Da 7 diferentes nombres para esta recta
Ejemplo
U
W
V
b
Slide 52 / 209
Los puntos colineales son puntos que caen en la misma recta.
¿Cuáles de esos puntos son colineales con la recta dibujada?
Puntos colineales
D
F
E
a
A
B C
Slide 53 / 209
¿Es posible para dos puntos cualesquiera no ser colineales al menos sobre una recta?
Ven con una respuesta a tu mesa. Recuerda, usa sólo hechos para armar tu argumento!
Puntos colineales
Slide 54 / 209
1 ¿Cuántos puntos se necesitan para definir una recta?
Slide 55 / 209
2 ¿Puede haber dos puntos colineales sobre la misma recta?
Sí
No
Slide 56 / 209
3 ¿Puede haber tres puntos no colineales sobre la misma recta?
Sí
No
Slide 57 / 209
¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en mas de un punto?
Rectas intersecantes
Una buena técnica para comprobar si ésto es posible se llama:
Argumentum ad absurdum(Argumento al absurdo)
ó
Reductio ad absurdum(Argumento de reducción al absurdo)
Slide 58 / 209
Rectas intersecantes
Argumentum ad absurdum
ó
Reductio ad absurdum
Estos son dos términos latinos que se refieren al mismo y potente enfoque, una prueba indirecta.
Primero, se asume que algo es cierto. Luego se ve que lógica sigue ese supuesto. Si la conclusión es absurda, e supuesto era falso y
desaprobado.
Slide 59 / 209
Rectas intersecantes
Vamos a asumir que dos rectas diferentes pueden compartir más de un punto y ver a que nos conduce esto.
Vamos a nombrar los dos puntos compartidos por A y B.
Podríamos conectar a y B con un segmento, ya que podemos dibujar un segmento entre dos puntos cualesquiera.
Este segmento se superpondría con nuestra recta original entre A y B, ya que son todas líneas rectas y todas ellas incluyen a A y B.
¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en mas de un punto?
Slide 60 / 209
Podríamos extender nuestro segmento AB infinitamente en ambas direcciones, y nuestra nueva recta AB se superpondría con nuestras dos rectas originales infinitamente en ambas direcciones.
Si comparten todos los mismos puntos, son las mismas rectas sólo que con diferentes nombres.
Pero asumimos que las dos rectas originales eran rectas diferentes compartiendo dos puntos.
Rectas intersecantes
Slide 61 / 209
Pero hemos concluido que son la misma recta, no rectas diferentes.
Es imposible para ellas ser rectas diferentes y la misma recta.
De modo que, nuestro supuesto queda demostrado que es falso
y el supuesto contrario debe ser cierto.
Dos rectas diferentes no pueden compartir dos puntos.
Rectas intersecantes¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en más de un punto?
Slide 62 / 209
Q
T
K
R
S
De manera que, dos rectas diferentes:
· no se intersecan en varios puntos
· sólo se intersecan en un sólo punto
F
E
D
C
Rectas intersecantes¿Es posible para dos rectas diferentes intersecarse (cruzarse) en más de un punto?
Slide 63 / 209
4 ¿Cuál es el máximo número de puntos en los que dos rectas pueden intersecarse?
Slide 64 / 209
5 ¿Cuáles conjuntos de puntos son colineales sobre las rectas dibujadas en este diagrama?
A
CD
B
A A, D, BB C, D, BC A, D, CD ninguno
Slide 65 / 209
6 ¿En qué punto o puntos, las rectas dibujadas se intersecan?
A A y DB A y CC ningunoD D
A
CD
B
Slide 66 / 209
Abajo, el segmento AB se extiende infinitamente, más allá del punto B, para formar una semirrecta AB.
Semirrectas
A B
A Bpunto final punto final
Una semirrecta se forma extendiendo un segmento infinitamente en una única dirección. Tiene un punto en un extremo, su extremo final y se extiende infinitamente en el otro.
Slide 67 / 209
Nombrando semirrectasCuando se nombra una semirrecta, la primera letra es el punto donde la semirrecta comienza y el segundo es otro punto cualquiera sobre la semirrecta.
El orden de las letras sí importa para las semirrectas, mientras que no importa para las rectas. ¿Por qué piensas que el orden de las letras importa para las semirrectas?
A B
A B
Recta AB ó recta BA
Semirrecta AB
Slide 68 / 209
En lugar de la doble flecha que se usa para indicar una recta, en una semirrecta se utiliza una flecha simple.
La flecha apunta desde el extremo de la semirrecta hasta el infinito.
A B
A B
AB ó BA
AB
Nombrando semirrectas
Slide 69 / 209
El segmento AB puede ser extendido en cualquier dirección.
Podemos extenderlo en B para obtener la semirrecta AB.
O podemos extenderlo en A para obtener la semirrecta,BA.
A BAB
A B
A BBA
Nombrando semirrectas
Slide 70 / 209
Las semirrectas AB y BA NO son iguales. ¿Cuál es la diferencia entre ellas?
A BAB
A BBA
Nombrando semirrectas
Slide 71 / 209
A continuación supongamos que el punto C está entre los puntos A y B.
Las semirrectas CA y CB son semirrectas opuestas.
Las semirrectas opuestas se definen como dos semirrectas con un extremo común en direcciones opuestas que forman un ángulo recto.
Semirrectas opuestas
A BC
Slide 72 / 209
Recuerda: Debido a que A, B, y C están ubicados en la misma recta, podemos decir que son puntos colineales.
Similarmente, las semirrectas también son llamadas colineales si están sobre la misma recta.
Semirrectas colineales
A BC
Slide 73 / 209
7 Nombra un punto colinear con G y H.
A
BCDEFGH
C
DG
A
FH
B
E
Slide 74 / 209
8 Nombra un punto colineal con los puntos D y A.
A
BCDEFGH
C
DG
A
FH
B
E
Slide 75 / 209
9 Nombra un punto colineal con los puntos D y E.
A
BCDEFGH
C
DG
A
FH
B
E
Slide 76 / 209
10Nombra un punto colineal con los puntos C y G
A
BCDEFGH
C
DG
A
FH
B
E
Slide 77 / 209
11 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta MN.
A Semirrecta MQ
B Semirrecta MO
C Semirrecta RO
D Semirrecta PRO
QP
M
TR
N
S
Slide 78 / 209
12 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta PS.A Semirrecta MQB Semirrecta MOC Semirrecta POD Semirrecta PR
O
QP
M
TR
N
S
Slide 79 / 209
13 Nombra una semirrecta opuesta a la semirrecta PM.A Semirrecta MQB Semirrecta MOC Semirrecta POD Semirrecta PR
O
QP
M
TR
N
S
Slide 80 / 209
14 Las semirrectas HE y HF son iguales.
Verdadero
D
H
g
P
G
E
F
p
Falso
Slide 81 / 209
15 Las semirrectas HE y HP son iguales.
D
H
g
P
G
E
F
p
Verdadero
Falso
Slide 82 / 209
16 Las rectas EH y EF son iguales.
D
H
g
P
G
E
F
p
Verdadero
Falso
Slide 83 / 209
17 La recta p contiene sólo tres puntos.
Verdadero
D
H
g
P
G
E
F
pFalso
Slide 84 / 209
18 Los puntos D, H, y E son colineales.
Verdadero
D
H
g
P
G
E
F
pFalso
Slide 85 / 209
19 Los puntos G, D, y H son colineales.
Verdadero
D
H
g
P
G
E
F
pFalso
Slide 86 / 209
20 ¿Son las semirrectas LJ y JL semirrectas opuestas?
Sí
J
K
L
No
Slide 87 / 209
21 ¿Cuál de las siguientes son semirrectas opuestas?
A semirrectas JK y LKB semirrectas JK y LK
C semirrectas KJ y KLD semirrectas JL y KL
J
K
L
Slide 88 / 209
22 Nombra el punto de origen de la semirrecta AC.
A
B
C
A
B
C
Slide 89 / 209
23 Nombra el punto de origen de la semirrecta BC.
A
B
C
A
B
C
Slide 90 / 209
Planos
Volver a la tabla de contenidos
Slide 91 / 209
Planos
Un plano es una superficie plana que no tiene espesor o altura.
Puede extenderse infinitamente en las direcciones de su largo y ancho al igual que las rectas que están contenidas en él pueden
hacerlo.
Pero no tiene altura en absoluto
Definición 5: A superficie que tiene sólo longitud y ancho.
Slide 92 / 209
Planos
Recuerda que los puntos que están ubicados en la misma recta se llaman puntos colineales.
Con esto en mente, ¿cómo piensas que se llaman los puntos que están sobre el mismo plano?
Slide 93 / 209
Planos
Justamente como los extremos de las rectas son puntos, los lados de los
planos son rectas.
Definición 6: Los lados de una superficie son rectas.
Slide 94 / 209
Planos
Esto indica que la superficie del plano es plana, de modo que las rectas sobre el plano se encontrarán planas sobre él.
Pensando sobre las definiciones de puntos y rectas,¿exactamente cuán plano piensas que es un plano?
Definición 7: Una superficie plana es una superficie que yace uniformemente con las líneas rectas en sí misma.
Slide 95 / 209
Así como lo resolviste anteriormente, los puntos coplanares son puntos que están en el mismo plano.
Puntos coplanares y rectas
Todas las rectas y puntos mostrados aquí son coplanares.
D
F
E
a
A
B C
Slide 96 / 209
Nombrando planos
También pueden ser nombrados con una sola letra, "Plano R."
Los planos pueden ser nombrados por tres puntos cualesquiera que no sean colineales.
Este plano puede ser llamado "Plano KMN," "Plano LKM," ó "Plano KNL."
Slide 97 / 209
Puntos coplanares
Los puntos coplanares descansan sobre el mismo plano.
En este caso, los puntos K, M, y L son coplanares y están en el plano indicado.
Slide 98 / 209
Mientras los puntos O, K, y L no están en el plano indicado, son coplanares entre sí.
¿Puedes imaginar un plano en el que sean coplanares?
¿Puedes dibujarlo sobre la imagen? ¿Cuál sería el nombre para este plano?
Puntos coplanares
Slide 99 / 209
¿Es posible para tres puntos cualesquiera no ser coplanares
entre sí?
Intenta y encuentra 3 puntos sobre este diagrama que no sean coplanares.
Puntos coplanares
Slide 100 / 209
24 ¿Cuántos puntos se necesitan para definir un plano?
Slide 101 / 209
25 ¿Puede haber tres puntos no coplanares sobre un plano cualesquiera?
Sí
No
Slide 102 / 209
26 ¿Puede haber cuatro puntos no coplanares sobre un plano cualesquiera?
Sí
No
Slide 103 / 209
¿Cómo se vería la intersección entre dos planos?
Pista: las paredes y techo de esta habitación podrían representar planos.
Planos intersecantes
Slide 104 / 209
A B
La intersección de esos dos planos es mostrada mediante la recta AB.
Intenta imaginar cómo se intersecarían dos planos en un punto, o de cualquier otra manera que una recta.
Planos intersecantes
Slide 105 / 209
Varios planos definidos por 3 puntos
Imagina o sombrea el Plano BAW en el diagrama de abajo.
Slide 106 / 209
Plano BAW
¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que
puedes nombrar este mismo plano?
Varios planos definidos por 3 puntos
Slide 107 / 209
Imagina o sombrea el Plano AZW en el diagrama de abajo.
Varios planos definidos por 3 puntos
Slide 108 / 209
Plane AZW
¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que
puedes nombrar este mismo plano?
Varios planos definidos por 3 puntos
Slide 109 / 209
Dibuja el plano UYA en el diagrama de abajo.
Varios planos definidos por 3 puntos
Slide 110 / 209
Plano UYA
Varios planos definidos por 3 puntos
¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que
puedes nombrar este mismo plano?
Slide 111 / 209
Imagina o dibuja el Plano ABU en el diagrama de abajo.
Varios planos definidos por 3 puntos
Slide 112 / 209
Plano ABU
Varios planos definidos por 3 puntos
¿Cuáles son las otras 3 maneras en las que
puedes nombrar este mismo plano?
Slide 113 / 209
27 Nombra el punto que no está en el plano ABC.
A
BCD
A
B
C
D
Slide 114 / 209
28 Nombra el punto que no está en el plano DBC.
A
BCD
A
B
C
D
Slide 115 / 209
29 Nombra dos puntos que estén ambos en los planos indicados.
ABCD
A
B
C
D
Slide 116 / 209
30 Nombra dos puntos que no estén en la recta BC.
ABCD
A
B
C
D
Slide 117 / 209
31 La recta BC no contiene al punto R. ¿Los puntos R, B, y C son colineales? Dibuja la situación si te ayuda.
Sí
No
Slide 118 / 209
32 El plano LMN no contiene al punto P. ¿Los puntos P, M, y N son coplanares?
Sí
No
Slide 119 / 209
33 El plano QRS contiene a la recta QV.¿Los puntos Q, R, S, y V son coplanares? (Dibuja)
Sí
No
Slide 120 / 209
34 El plano JKL no contiene a la recta JN. ¿Los puntos J, K, L, y N son coplanares?Sí
No
Slide 121 / 209
35 La recta BA y la recta DB se intersecan en el punto ____.
ABCDEFGH
Slide 122 / 209
36 ¿Qué grupos de puntos son no coplanares con los puntos A, B, y F sobre el cubo de abajo.
A E, F, B, A
B A, C, G, E
C D, H, G, C
D F, E, G, H
Slide 123 / 209
37 ¿Las rectas EF y CD son coplanares sobre el cubo de abajo?
Sí
No
Slide 124 / 209
38 ¿El plano ABC y el plano DCG se intersecan en _____?A C
B recta DC
C recta CG
D no se intersecan
Slide 125 / 209
39 Los planos ABC, GCD, y EGC se intersecan en _____?
A recta GC B punto A
C punto C
D recta AC
Slide 126 / 209
40 Nombra otro punto que esté en el mismo plano como los puntos E, G, y H.
A
B
C
D
E
F
G
H
Slide 127 / 209
41 Nombra un punto que sea coplanar con los puntos E, F, y C.
A
B
C
D
E
F
G
H
Slide 128 / 209
42 Las rectas intersecantes __________ son coplanares.
A SiempreB Algunas veces C Nunca
Slide 129 / 209
43 Dos planos ____________ se intersecan en exactamente un punto.
A Siempre B Algunas vecesC Nunca
Slide 130 / 209
44 Un plano __________ ser dibujado de modo que tres puntos cualesquiera sean coplanares.
A SiempreB Algunas vecesC Nunca
Slide 131 / 209
45 Un plano que contiene dos puntos de una recta __________ contiene a la recta entera.
A SiempreB Algunas vecesC Nunca
Slide 132 / 209
46 Cuatro puntos ____________ son no coplanares.
A Siempre B Algunas vecesC Nunca
Slide 133 / 209
47 Dos rectas ________________ se encuentran en más de un punto.
A SiempreB Algunas vecesC Nunca
Slide 134 / 209
Congruencia, Distancia y Longitud
Volver a la tabla de contenidos
Slide 135 / 209
Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, en cualquier combinación de traslación, rotación y refexión, de manera que cada parte cualquiera de los objetos se superponga.
Este es el símbolo para congruente:
Si a es congruente con b, se debería representar así:
lo que se lee como "a es congruente con b."
a b
Congruencia
Slide 136 / 209
A partir de esta definición, esto puede ser visto que todas las rectas son congruentes entre sí.
Son infinitamente largas, de modo que tienen la misma longitud.
Si se rotan de modo que cualesquiera dos puntos de ellos se superponen, todos los puntos se superpondrán.
Congruencia
Slide 137 / 209
Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, en cualquier combinación de traslación, rotación y reflexión, de manera que cada parte cualquiera de los objetos se superponga.
Rotando la recta b no hay problema para que se superponga con la recta a.
Congruencia
a b
Slide 138 / 209
Y ellas son infinitamente largas, de modo que tienen la misma longitud.
Además, se superpodrán en cada punto después de que roten y se superpongan en 2 puntos.
Ellas son congruentes.
Congruencia
a b
Slide 139 / 209
¿Lo mismo será verdad para cualesquiera dos semirrectas?
Congruencia
a b
Slide 140 / 209
De nuevo, todas las semirrectas son infinitamente largas, de manera que tienen la misma longitud.
Y una vez que sus vértices y otro punto cualquiera sobre ambas semirrectas se superponen, todos los puntos se superpondrán.
Las dos semirrectas son congruentes.
Congruencia
a
b
Slide 141 / 209
¿Lo mismo será cierto para el segmento todo?
Congruencia
a b
Slide 142 / 209
Si dos segmentos tienen diferentes longitudes no importa cuánto se los rote o mueva, no se superpondrán en cada punto.
Sólo los segmentos que tienen igual longitud son congruentes.
Congruencia
ab
Slide 143 / 209
Mientras que la distancia y la longitud son términos relacionados, también son diferentes.
Traigamos las definiciones de distancia y longitud que muestran como estos términos se relacionan y cómo son diferentes.
Distancia y Longitud
Distancia:
Longitud:
Slide 144 / 209
La distancia se define como cuánto se aleja un punto de otro.
La longitud se define como la distancia entre los dos extremos de un segmento.
Ya que cada segmento tiene un punto en cada extremo, estos son conceptos muy cercanamente relacionados.
Para mostrar la congruencia de los segmentos deben tener la misma longitud.
Distancia y Longitud
Slide 145 / 209
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Postulado de la Regla: se puede establecer correspondencia entre los puntos de una recta y los
números reales de manera que a cada punto de la recta corresponde un punto.
Esto puede ser usado para crear una regla a fin de medir longitudes y distancias.
Distancia y Longitud
Slide 146 / 209
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Por ejemplo, podemos indicar que sobre la recta numérica de abajo:
El punto C está localizado en la posición del 0.
El punto E está localizado en +7.
Distancia y Longitud
Slide 147 / 209
Podemos decir que los puntos C y E son 7 de modo que tenemos que mover 7 unidades de medición para ir desde la ubicación 0 hasta la ubicación +7.
También, podemos construir el segmento CE y observar que la longitud es 7.De modo que dos puntos que están apartados en 7 unidades están conectados por un segmento de 7.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Distancia y Longitud
Slide 148 / 209
Cualquier segmento que tiene una longitud de 7 será congruente con el segmento CE, incluso si es necesario que sea rotado o movido para superponerlo.
Todos estos segmentos tienen igual longitud independientemente de la orientación.
Así que, los segmentos CE y EC son congruentes y tienen una longitud de 7.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Distancia y Longitud
Slide 149 / 209
¿Cuál es la distancia de la recta de abajo?
¿Esa respuesta es positiva o negativa?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Distancia y Longitud
Slide 150 / 209
Todas las medidas de distancia y longitud son positivas, independientemente de la dirección y orientación de los puntos con
respecto a otro o a ese segmento.
Dos puntos no pueden apartarse una distancia negativa.
Un segmento no puede tener una longitud negativa.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Distancia y Longitud
Slide 151 / 209
Puedes imaginar que cada número sobre la recta numérica es un paso y la distancia entre dos puntos cualesquiera es justo cuántos
pasos necesitas hacer para llegar de un punto al otro.
En qué dirección caminas a lo largo de la recta no cambia la distancia.
La distancia siempre es un número positivo.
¿Recuerdas un término que usamos en física para describir una distancia que tiene una dirección y podría tener un valor negativo?
Distancia
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 152 / 209
48 ¿Cuál es la ubicación del punto F?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 153 / 209
49 ¿Cuál es la ubicación del punto A?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 154 / 209
50 ¿Cuál es la distancia de A a C?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 155 / 209
51 ¿Cuál es la distancia de B a E?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 156 / 209
52 ¿Cuál es la distancia de B a A?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 157 / 209
Cálculo de la distanciaAlgunas veces es fácil calcular la distancia entre dos puntos más bien que contar los pasos entre ellos.
· Primero, resta la ubicación de los dos puntos
· Luego, toma el valor absoluto de tu respuesta, de manera que sea positiva.
Recuerda, la distancia siempre es positiva.
Si conduces 100 millas, usas la misma cantidad de energía independientemente de en qué dirección conduzcas, sólo cuán lejos conduces es lo que importa.
Slide 158 / 209
Cálculo de distanciaVamos a calcular la distancia entre A y C.
· Primero, nota que A está en -7 y C está en 0
· Luego, resta estos números: -7 - (0) = -7
[Coloca siempre el número que se resta entre paréntesis para asegurarse tener su signo a la derecha]
· Luego toma el valor absoluto: el valor absoluto de -7 es 7.
De manera que la distancia entre A y C es 7.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 159 / 209
Cálculo de distanciaVamos a hacer el mismo cálculo, pero esta vez vamos a revertir como hacemos la resta, vamos a restar A a C.
· Primero observemos que A está en -7 y C está en 0
· Luego, vamos a restar aquellos números: 0 - (-7) = +7
· Luego, tomamos el valor absoluto: el valor absoluto de +7 es 7.
Así que la distancia entre A y C es 7, calculada en ambos sentidos.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 160 / 209
53 ¿Cuál es la distancia entre A y F?
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
A B C D E F
Slide 161 / 209
54 ¿Cuál es la distancia entre dos puntos si uno está localizado en +125 y el otro en -350?
Slide 162 / 209
55 ¿Cuál es la distancia entre dos puntos si uno está ubicado en -540 y el otro en -180?
Slide 163 / 209
cm
C EA B D
F
Calcula la medida de cada segmento en centímetros.
a.
b.
Ejemplo
CE = 8 - 2 = 6 cm
AB = 1.5 cm
Nota: Cuando se da la medida de segmentos usando un signo igual, no se usa la barra.
Slide 164 / 209
56 Encuentra un segmento de 4 cm de longitud.
ABCD
cm
C EA B D
F
Slide 165 / 209
57 Encuentra un segmento de 6.5 cm de longitud.
ABCD
cm
C EA B D
F
Slide 166 / 209
58 Encuentra un segmento de 3.5 cm de longitud.
ABCD
cm
C EA B D
F
Slide 167 / 209
59 Encuentra un segmento de 2 cm de longitud.AB
C
D
cm
C EA B D
F
Slide 168 / 209
60 Encuentra un segmento de 5.5 cm de longitud.
ABC
D
cm
C EA B D
F
Slide 169 / 209
61 Si el punto F está ubicado en 3.5 cm sobre la regla, ¿cuán lejos estará del punto E?
A 5 cm
B 4 cm
C 3.5 cm
D 4.5 cm
cm
C EA B D
F
Slide 170 / 209
AB BC
AC
Postulado de la adición de segmentos
Si sobre la misma recta hay tres puntos, entonces, uno de ellos debe estar entre los otros dos.
Los dos segmentos más cortos se suman al más largo como se muestra abajo.
CA B
Slide 171 / 209
AB BC
AC
CA B
Suma de segmentos
Si B está entre A y C, entonces AB + BC = AC.
Alternativamente
Si AB + BC = AC, entonces B está entre A y C.
Slide 172 / 209
CA B D E
AB BC CD DE AE++ + =
Suma de Segmentos
Esto funciona para cualquier número de segmentos sobre una recta.
Slide 173 / 209
Ejemplo
CA B D E
AB CD=
BC = 6DE = 5
AE = 27Dado:
BE
CD
Calcula:
Slide 174 / 209
MK= 14x - 56PM= 2x + 4
P está entre K y M sobre una recta.
EjemploColoca nombre a la recta y calcula el valor de x dado que:
PK = x + 17
Slide 175 / 209
Ejemplo
P, B, L, y M son colineales y están en el siguiente orden:
a) P está entre B y M
b) L está entre M y P
Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:
ML = 3x +16
PL = 2x +11
BM = 3x +140
PB = 3x + 13
Slide 176 / 209
62 ¿Cuál es la longitud del segmento AB?
Pista: comienza siempre estos problemas ubicando la información que tienes sobre el diagrama.
CA B D E
Slide 177 / 209
63 ¿Cuál es la longitud del segmento DE?
CA B D E
Slide 178 / 209
64 ¿Cuál es la longitud del segmento CA?
CA B D E
Slide 179 / 209
65 ¿Cuál es la longitud del segmento CE?
CA B D E
Slide 180 / 209
66 ¿Cuál es la longitud del segmento CE?
CA B D E
Slide 181 / 209
67 ¿Cuál es la longitud del segmento DA?
CA B D E
Slide 182 / 209
68 ¿Cuál es la longitud del segmento BE?
CA B D E
Slide 183 / 209
69 X, B, y Y son puntos colineales, con Y entre B y X. Ubica los puntos sobre la recta y resuelve para x, dado:
BX = 6x + 151
XY = 15x - 7
BY = x - 12
YXB
Slide 184 / 209
70 Q, X, y R son puntos colienales, con X entre R y Q. Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:
XQ = 15x + 10 RQ = 2x + 131
XR = 7x +1
QXR
Slide 185 / 209
B, K, y V son puntos colineales, con K entre V y B. Dibuja un diagrama y resuelve para x, dado:
KB = 5x BV = 15x + 125
KV = 4x +149
VKB
Slide 186 / 209
Construcciones
y
LociVolver a la tabla de contenidos
Slide 187 / 209
Introducción al Locus
En matemática, un locus está definido como un conjunto de puntos que satisfacen una condición dada.
Muy frecuentemente, estableceremos una condición y resolveremos para el locus de puntos que reúne esa condición.
Esto puede ser hecho algebraicamente, pero puede ser también hecho con el uso de equipo de dibujo tal como recta y compás.
Slide 188 / 209
El círculo como un LocusUn importante ejemplo de un locus es que un conjunto de puntos que equidistantan de un punto cualquiera es un círculo.
El punto del cuál los otros puntso son equidistantes es el centro del círuculo.
La distancia desde el centro es el radio, r, del círculo.
Aprenderemos muhco más sobre los círculos más adelante, pero necesitamos aprender un poco ahora ya que vamos a construirlos.
r
Slide 189 / 209
Euclides y Círculos
Tercer postulado: para describir un círculo se necesita cualquier centro y una distancia.
Este postulado dice que podemos dibujar un círculo de cualquier radio, ubicando su centro en un lugar que se elija.
Slide 190 / 209
Euclides y Círculos
Definición 15: Un círculo es una figura plana contenida en una recta de tal manera que todas las líneas rectas que caen sobre ella desde un punto entre los que se encuentran dentro de la figura son iguales entre sí.
Las líneas rectas referenciadas aquí son los radios que son de igual longitud desde el centro a los puntos que están sobre el círculo.
Slide 191 / 209
Euclides y Círculos
Definición 16: y el punto se llama centro del círculo.
Esto dice que el punto que es equidistante desde todos los puntos sobre el círculo es el centro del círculo.
Slide 192 / 209
Introducción a las Construcciones
Además de un lái, usaremos dos herramientas para construir figuras geométricas: una recta y un compás.
Una regla nos permite dibujar una línea recta entre dos puntos cualquiera.
Un compás nos permite dibujar un círculo.Intenta con el compás de la derecha.Puedes usar el lápiz para rotar el compás.
Slide 193 / 209
centro
r
círculo
La punta afilada de un compás es ubicada en el centro del círculo. El lápiz luego dibuja el círculo.
Para las construcciones, dibujaremos justo una pequeña parte del círculo, un arco. Hacemos esto para tomar ventaja del hecho de que cada punto sobre el arco es equidistante del centro. Podemos dibujar múltiples arcos, si se necesita.
Introducción a las Construcciones
Slide 194 / 209
Intenta ésto!
1) Forma un círculo usando el segmento de abajo.
F
E
M
Slide 195 / 209
H
GM
Intenta ésto!
2) Forma un círculo usando el segmento de abajo.
Slide 196 / 209
Construcción de segmentos congruentes
Vamos a usar estas herramientas para armar un segmento CD que es congruente con el segmento dado AB.
Primero haremos esto con una regla y un compás.
BA
Slide 197 / 209
Construcción de segmentos congruentes
Primero, usa la regla para dibujar una recta que sea más larga que AB incluyendo al punto C tal como la recta de abajo.
BA
a
C
Slide 198 / 209
Luego, extiende el compás entre los puntos A y B.
BA
a
C
Construcción de segmentos congruentes
Slide 199 / 209
El compás ahora puede usarse para dibujar un arco con cualquier centro con el radio de AB, ¿cómo piendas que podría usar eso para formar un segmento congruente sobre la recta a con C como un punto de origen?
BA
a
C
Construcción de segmentos congruentes
Slide 200 / 209
Luego, mantiene el compás sin cambiar, ubica su punto en C y haz un arco a lo largo de la recta a. Todos lso puntos sobre el arco están a una distancia AB a partir de C. El punto donde el arco corta la recta, es esa distancia a partir de C y sobre la recta.
a
C
BA
Construcción de segmentos congruentes
Slide 201 / 209
Luego, dibuja el punto D en la intersección del arco y la recta a. El punto D está sobre la recta a una distancia AB a partir de C.
a
C
BA
D
Construcción de segmentos congruentes
Slide 202 / 209
El segmento CD es congruente con el segmento AB y este era nuestro objetivo.
a
C
D
BA
Construcción de segmentos congruentes
Slide 203 / 209
Intenta ésto!
3) Construye un segmento congruente con la recta dada.
L
M
N
Slide 204 / 209
I
JK
Intenta ésto!
4) Construye un segmento congruente con la recta dada.
Slide 205 / 209
Click sobre la imagen de abajo para mirar un video demostrativo de construcción de
segmentos congruentes usando el Software de Geometría Dinámica.
Software de Geometría Dinámica
Slide 206 / 209
Preguntas de muestra para la prueba PARCC
Las restantes diapositivas en esta presentación tienen preguntas PARCC para la prueba de muestra. Después de terminar la unidad 1, deberías ser capaz de resolver estas preguntas. .
Buena suerte!
Volver a la tabla de contenidos
Slide 207 / 209
72 Los puntos J, K, y L son puntos distintos, y JK = KL. ¿Cuál de estas afirmaciones son ciertas? Selecciona todas las que aplican.
A J, K, y L son coplanares
B J, K, y L son colineales
C K es el punto medio de JL
D JK ≅ KL
E La medida de ∠JKL es 90°.
Pregunta 11/11 Tema: Congruencia, Distancia y Longitud
PARCC Released Question (PBA)
Slide 208 / 209
Pregunta 11/11 Tema: Congruencia, Distancia y Longitud
PARCC Released Question (PBA)
Los puntos J, K, y L son puntos distintos, y JK = KL. ¿Cuál de estas afirmaciones son ciertas? Selecciona todas las que aplican.
A J, K, y L son coplanares
B J, K, y L son colineales
C K es el punto medio de JL
D JK ≅ KL
E La medida de ∠JKL es 90°.
Slide 209 / 209
Recommended