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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 1 de 15
Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada Optimización de Funciones
(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial) SOLUCIONARIO v1.0
Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los ejercicios del 1 al 14 aplique sus conocimientos técnico-prácticos sobre máximos y mínimos para resolver la problemática planteada
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 2 de 15
C
w a
w
x
P
P
D
1) Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto,
como se muestra en la figura. Con las partes marcadas como se indica, determine “x” para: a. Maximizar el área del triángulo A b. Minimizar el área del triángulo B
(Para los cálculos que se consideren convenientes, ΔA ~ ΔC)
paralelasentreángulosscongruenteagudosángulosconsrectángulotriangulosdossonporqueejerciciodeldato;AACA
posiciónlaessoloDyBelentrediferencialaporqueigualessonladostreslos;LLLDBeriorsuppartelaaizquierdaeriorinfesquinalade,Ppuntoelencambioelpresentaseesopor
DovacíoespaciodelformalaenpapeleldoblarderesultadoelessombreadoBelqueNotese
inareslimePrionesConsiderac
a32x0ax2
3a0'A
aax2
ax23a
aax22
a2xaaax2
aax22
a2xa2
aax2'A
a2aax221xa2
1aax221'A
Derivadaera1ladeCriterio
aax2xa21A
imizarmaxaModificadaObjetivoFunción
aax2xaxy
:tenemossrectángulotrianguloscontrabajandoAyudadeFórmula
yxa21AObjetivoFunción
).a
2
2
2
2
2
2
2
21
22
2
222
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 3 de 15
a32xó0x0a2x3x0xa2x30'A
aax2
xa2x32a
aax2
xa2ax32a
aax2aax2
axaax2x2
2a
aax2aax2
axaax2x2
2a
'A
aax2
a2aax221xaax2x2
2a
'A
Derivadaera1ladeCriterioaax2
x2a
aax2
axx2
1A
imizarminaModificadaObjetivoFunciónaax2
axw
yax
wyx
aw
:tenemossrectángulotriangulosdesemejanzacontrabajandoAyudadeFórmula
wx21BObjetivoFunción
).b
2
23
2
22
23
2
22
2
2
22
2
2
22
22
21
222
2
2
2
2
C
w a
w
x
P
P
D
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in3A
in3
sen3
cos3 cos3
B C
D
E F
2) Un canalón (cuneta) metálico para el agua de lluvia tiene
lados de 3 pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman ángulos iguales θ con el fondo ¿Cuál debe ser θ para maximizar la capacidad de desalojo de agua del canalón? Nota: 0 ≤ θ ≤ π/2
º.60ó3cuandoposible
aguadecantidadmayorladesalojarpuedecunetala/R
in92A2cuando
in7.113A3cuando
in00A0cuando
iomindodelextremosyencontradovalorenobandoPr
60ó321cos2
1cos
iomindofueraestarpordescartado180ó1cos1cos
entonces,cosxpero
21x;1x
01xx2
ecuaciónlaresolverparacosxhacemos01coscos2
01coscos290'A
1coscos29'A
cos1senrecordarcossencos9'A
coscos9sensen9cos9'A
Derivadaera1ladeCriterio
sencos9sen9A
sen3cos3212sen33A
A2AA
AAAA
ObjetivoFunción
imizamaxsecunetaladeltransversaciónsecladeáreaelsirincrementapuedeseentoalmacenamidecapacidadLa
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2222
ABEABCDgulotanrec
CDFABEABCDgulotanrec
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3) Se pretende fabricar una lata para almacenar jugo de naranja, la cual tiene forma cilíndrica (con
tapadera) con una capacidad de 1,000cm3. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal en la elaboración de dicha lata?
m84.10
4193.5
1000r
1000h
m42.5500
r
0r420000'Ar
r42000r4
r2000
r4r2000'A
Derivadaera1ladeCriterio
r2r2000r2r
2000r2
r1000
r2A
ificadamodobjetivoFunción
r1000
hrV
hhrVAyudadeFórmula
erficialsupáreaimizarminr2rh2AObjetivoFunción
22
3
3
2
3
22
21222
222
2
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4) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10cm y por altura 15cm. (consejo: utilice semejanza de triángulos como fórmula de ayuda).
m5215153
2y1532x
ym215y3
410
0y34100'A
y3410'A
Derivadaera1ladeCriterio
y32y10yy153
2A
ificadamodobjetivoFunción
y1532x
15y15
210
2x
semejantesAyudadeFórmula
rectángulodeláreaimizarmaxyxAObjetivoFunción
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el costo de un contenedor que tiene forma de
paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9.00m3, su altura 1.00m y el costo de construcción de: base 50.00 $/m2, tapadera 60.00 $/m2 y paredes laterales: 40.00 $/m2
m339
x9y
m3x3x80
720x
0720x800'Cx
720x80
x
72080x172080'C
Derivadaera1ladeCriterio
x720x80990x720x80990x
980x80x9x110C
ificadamodobjetivoFunción
yx91yxVAyudadeFórmula
y80x80xy1101y2401x240xy60xy50CObjetivoFunción
2
2
2
22
1
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x x
80cm
50cm
6) Con una lámina de cartón que posee dimensiones de 80cm (base) y 50cm (altura), se desea
construir una caja recortando y doblando convenientemente un cuadrado de lado igual a “x” en cada esquina del cartón. Calcule la dimensión “x” para que el volumen de la caja sea máximo.
cm10serdebex,volumenelimizarmaxpara/R
negativaoargldeensiondimunagenera"x"devaloresteporque
descartado3.33x10x
1224000124520520
x
04000x520x120'V
4000x520x124000x520x12'V
Derivadaera1ladeCriteriox4000x260x4x250xx280V
ificadamodobjetivoFunción
x250lxh
x280bAyudadeFórmula
cajadevolumenimizarmaxlhbVObjetivoFunción
2
12
2
22
23
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2cm
1cm
7) Una hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2cm de
altura y márgenes laterales de 1cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimicen la superficie o área total del papel.
cm10
251054
2x10x4
y
cm5x,hojaladeareaelimizarminpara/R
1x;5x01x5x05x4x
020x16x40'A
2x
20x16x4
2x
x10x420x10x16x8
2x
1x10x42x10x8'A
Derivadaera1ladeCriterio2x
x10x42x10x4
xA
ificadamodobjetivoFunción
2x10x4
y
2x2x418
y
y42x
184y2x18
hbAAyudadeFórmula
papeldehojaladeáreaimizarminyxVObjetivoFunción
2
2
2
2
2
22
2
2
2
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 9 de 15
8) Una boya (señalización flotante situada en el mar y generalmente anclada al fondo), será
construida utilizando dos conos rectos de hierro, unidos por sus bases, por especificaciones técnicas se solicita que la altura inclinada de ambos conos tenga una longitud de 3m. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
m639x
y9x
m3y,boyaladevolumenelimizarmaxpara/R
y3
y26
0y260'V
y26'V
Derivadaera1ladeCriterio
y32y6yy93
2V
ificadamodobjetivoFunción
y9x
)"y"principalalturalacon"x"baselade
radioelorelacionad,pitagorasdeteorema(3yxAyudadeFórmula
)conos2(boyaladevolumenimizarmaxyx312VObjetivoFunción
2
22
2
2
2
32
22
222
2
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 10 de 15
b
h 1m
9) Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mide 1.00
metro.
m22
21
21
2112
21h
b1h
m22b,triangulodelareaelimizarmaxpara/R
b22
b21
b21
0b210'A
b12
b21
b1
bb121
b1
bb1b121
b1
bb1
21
b2b121bb112
1'A
Derivadaera1ladeCriterio
b1b21A
ificadamodobjetivoFunción
b1h
1hbAyudadeFórmula
gulotanrecundeareaimizarmaxbh21AObjetivoFunción
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
2
222
122
2
2
222
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 11 de 15
10) A las 7:00am, un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 mi/hr. y el segundo barco navega con rumbo sureste a 30 mi/hr., ¿Cuándo estarán más cerca uno del otro?
1er barco – 1 2do barco – 2
cercamasestaráncuallaenhoraam09:8hrs15.815.17/R
hrs15.124.296,42.945,4
t
02.945,4t24.296,40'd
2.945,4t24.296,4'd
Derivadaera1ladeCriterio600,3t2.945,4t12.148,2t86.449600,3t2.945,4t26.698,1
t21.2160t21.41
t215t20t21560
0t215t20t21560d
ificadamodobjetivoFunción
1barcoalpertenecequecontinuorayadodecartesianoplanoelreferenciacomotomandoobtenidasson
,y,x&y,xposiciondescoordenadalas
t215y0y
t21560xt20x
t30dt20d
2barco1barco
tVdtdVAyudadeFórmula
cercamas
estarancuandosaberparaciatandisimizarminyyxxdObjetivoFunción
2
2
222
22
22
222
2211
21
21
21
212
212
2
t215
t215
t20d1
N
O
S
E
N
S
1 2 E O
45º
t21560
t30d2
1barcodeejealrelaciónenmi60
11 y,x
22 y,x
2122
122 yyxxd
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 12 de 15
2r
h
r
11) Una ventana de estilo normando consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Determine las dimensiones de una ventana con perímetro 10 metros y que permita la entrada de la mayor cantidad posible de luz.
m40.1410
2410
410
5h2rr5h
;m40.1410
r,atanvenladeáreaelimizarmaxpara/R
410
410
r
0rr4100'Arr410'A
Derivadaera1ladeCriterio
r21r2r10r2
1rr2r10A
r21
2rr5r2A
ificadamodobjetivoFunción
2rr5h
2r2
h2r210
osemicírculperímetrorectánguloperímetroatanvenPerimetroAyudadeFórmula2r
hr2A
atanvendeáreaimizarmaxosemicírculáreagulotanrecáreaAObjetivoFunción
22222
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12) Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que cinco veces el cuadrado del primero más
seis veces el cuadrado del segundo sean un mínimo.
202444x44y;24x,sumalaimizarminpara/R
24x0528x220'S528x22'S
Derivadaera1ladeCriterio616,11x528x11x6x528616,11x5xx88936,16x5x446x5S
ificadamodobjetivoFunción
x44y44yxAyudadeFórmula
sumalaimizarminy6x5SumaObjetivoFunción
2222222
22
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 13 de 15
13) Se tiene un alambre de 100cm de longitud y se desea dividirlo en dos fragmentos para formar con
uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determine la longitud de cada uno de los dos fragmentos para que la suma de las áreas de ambas figuras sea mínima.
cm10001.5699.43onverificaci
cm01.56a4perimetro
cm0044.1475.025a
r2125acuadradoparafragmento
cm99.4372r2circuloparafragmento/R
cm72
1225
r
25212r
0r2125r20'A
r2125r2'A
Derivadaera1ladeCriterio
r41r25625rr2
125rA
ificadamodobjetivoFunción
ar2125
a4
r2100a4r2100
cuadradoperímetrocírculoperímetroPerímetroAyudadeFórmulaarA
figurasambasdeáreaelimizarmincuadradocírculoAObjetivoFunción
2
2
2
2
22222
22
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 14 de 15
14) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P
situado a 500Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/hr., mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/hr. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.
.recorridodetiempoelimizarminparadesiertodeltravesam375000,90225
ycarreteraenm175225400recorrerdeberatotanlopor;m225x/R
22516000,810x
000,90x9x25
000,90x3x5
000,90x60x100
0x100000,90x600't
000,90x60100
x100000,90x60
000,90x60
x100
1't
x2000,90x21
6011100
1't
Derivadaera1ladeCriterio
000,90x601x400100
160
000,90x100
x400t
ttt
ificadamodobjetivoFunción
Vdtt
dV
000,90x300xMP
x400AMxMB
400300500ABAyudadeFórmulas
recorridodetiempoimizarmintttObjetivoFunción
2
22
222
2
2
2
2
2
21
2
2
2
desiertorecorridocarreterarecorrido
222
22
desiertorecorrido
carreterarecorrido
A M B
P
500Km300Km
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SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 15 de 15
Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada Optimización de Funciones
(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial) Respuesta de todos los ejercicios v2.0
1.-) R/=> a.-) x = (2/3)a b.-) x = (2/3)a 2.-) R/=> θ = 60º 3.-) R/=> r = 5.42cm; h = 10.84cm 4.-) R/=> x = 5.00cm; y = 15/2cm 5.-) R/=> x = 3.00m, y = 3.00m, C = $1,470.00 6.-) R/=> x = 10.00cm 7.-) R/=> x = 5.00cm; y = 10.00cm
8.-) R/=> x = 61/2 m; y = 31/2 m 9.-) R/=> x = y = 0.707m 10.-) R/=> 8:09 am 11.-) R/=> r = h = 1.40m 12.-) R/=> x = 24, y = 20 13.-) R/=> Circulo = 43.99cm, Cuadrado = 56.01cm 14.-) R/=> 175 m. en carretera y 375m a través del desierto.
Bibliografía Utilizada en la Selección de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.
Santiago de Chile. 11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de Honduras
(UNAH). Tegucigalpa, Honduras. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de
Venezuela. 13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de
Chile, Chile. 14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
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