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Guía de Estudios Matemáticas
Guía de Estudios Matemáticas
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
GUÍA DE ESTUDIOS
DATOS INFORMATIVOS CARRERA: Tecnología Superior en Agroecología
NIVEL: Tecnológico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática
CÓD. ASIGNATURA: BAS1MA1
PRE – REQUISITO: Aritmética Básica
CO – REQUISITO: Física
TOTAL HORAS: 89
# DE HORAS POR CADA COMPONENTE
Componente Docencia: 53 horas
Componente de Practicas de Aprendizaje: 36 h
Componentes de Aprendizaje Autónomo: 42 h
SEMESTRE: Primero “A y B”
PERIODO ACADÉMICO: Junio 2020 – Noviembre 2020 (IPA 2020)
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Civil Edison P. Nagua Nagua.
jormancor865@hotmail.comTexto tecleadoCopyrigth©2020 Instituto Superior Tecnológico Manuel Encalada Zúñiga. All rigths reserved
Guía de Estudios Matemáticas
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
ÍNDICE
Pág. Presentación………………………….………………...…...……………………………………. 1 Syllabus de asignatura…….……….………………...…...……………………………………. 2 Orientaciones generales….……….………………...…...……………………………..……..10 Desarrollo de actividades: Unidad 1: Aritmética general.
Números naturales………………….………………...…...…………………………………….13 Números enteros……...…………….………………...…...…………………………………….15 Números racionales……………..….………………...…...…………………………………….17 Números irracionales……………..….……..………...…...…………………………………...18 Números reales……………..….……..………...…...…………………………………………..20 Regla de tres……………..….……..………...…...……………………………………………..21 Regla de tres simple inversa……………..….……..………...…...……………..…………..23 Regla de tres compuesta……………..….……..………...…...……………..……………….25 Porcentaje……………..….……..………...…...………………………………..……………….28 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….30 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….32 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….33
Unidad 2: Algebra Superior.
Conceptos básicos de algebra ….………………...…...………………………………….....35 Teorema de los exponentes………………………….………………...…...…………………39 Productos notables……….……….………………...…...……………………………………...45 Descomposición factorial………………………….………………...…...…………………….50
Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo…...……………………………………. 54 Radicación………………………….………………...…...……………..……………………….56 Racionalización………………………….………………...…...……………..…………………61 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….66 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….67 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….68
Unidad 3: Trigonometría Plana.
Los ángulos y su medida………….………………...…...…………………………………….71 Razones trigonométricas…………….………………...…...………………………………….76 Relaciones trigonométricas…….……….………………...…...………………..…………….79 Resolver triángulos rectángulos……….………………...…...………………..……………..81 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera…………….………………...…...….84 Aplicaciones de la trigonometría….………………...…...……………………………………86 Resumen de unidad...….……..………...…...………………………………..……………….87 Autoevaluación...….……..………...…...……………….……………………..……………….88 Evaluación...….……..……………….…...…...………………………………..……………….92
Guía de Estudios Matemáticas
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guía de Estudios Matemáticas
1 Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
PRESENTACIÓN
La presente guía tiene como finalidad revisar y aplicar conceptos básicos que cotidianamente necesitamos el de desarrollo de la sociedad. Se ha recopilado una variedad de información iniciando con un objetivo, se relata una breve introducción a cada actividad, se plantean ejercicios resueltos y propuestos, entre ello existe una autoevaluación y evaluación en cada unidad.
En la primera unidad trataremos del estudio de la aritmética conocido como una de las ramas de las matemáticas, cuya finalidad es el estudio de números y las operaciones elementales como son: Suma, Resta, Multiplicación y División.
En la segunda unidad estudiaremos el álgebra superior que es la continuación de la aritmética, donde se desconoce el valor de una de las cantidades sustituyéndolas por variables. La representación de sus variables pueden ser las siguientes a,b,x,y,z etc.
En ultima unidad veremos la trigonometría que se encargada de la relación de sus lados y ángulos de todo tipo triangulo. La trigonometría es una materia auxiliar para las otras ciencias aunque inicialmente se la uso en la navegación y la topografía destinada al estudio de lugares inaccesibles.
Para que tengas un éxito total en las evaluaciones tendrás que revisar y estudiar cada uno de los ejemplos planteados en la guía y verificando los resultados. Si por algún caso tienes alguna dificultad puedes acudir al docente que estará dispuesto a despejar tus dudas en cualquier instante. Éxitos y bienvenido al mundo de los números.
El autor.
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SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
I. DATOS INFORMATIVOS CARRERA: Tecnología Superior en Agroecología NIVEL: Tecnológico TIPO DE CARRERA: Tradicional NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática CÓD. ASIGNATURA: BAS1MA1 PRE – REQUISITO: Aritmética Básica CO – REQUISITO: Física # CRÉDITOS: No aplica TOTAL HORAS: 89 POR MODALIDAD, # DE HORAS Componente Docencia: 53 horas DESTINADAS A COMPONENTE. Componente de Practicas de Aprendizaje: 36 h Componentes de Aprendizaje Autónomo: 42 h SEMESTRE: Primero “A y B” PERIODO ACADÉMICO: Junio 2020 – Noviembre 2020 (IPA 2020) DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Civil Edison P. Nagua Nagua. II. FUNDAMENTACIÓN La carrera de Tecnología Superior en Agroecología se inscribe como un área prioritaria, pues sus egresados deberán tener impacto en los siguientes ámbitos; satisfacción de las necesidades alimentarias de la población, manteniendo la soberanía en el proceso productivo, sustentabilidad de los agro ecosistemas, disminución del impacto ambiental generado por el uso irracional de agroquímicos (pesticidas y fertilizantes inorgánicos).En este contexto , los profesionales Tecnólogos Superiores en Agroecología contribuirán a garantizar la disponibilidad actual y futura de alimentos mediante el diseño de proyectos productivos sustentables adecuados al entorno de las regiones tropicales. La asignatura se orienta a desarrollar conocimientos y experiencias de carácter general en el campo de la matemática, pertinentes para iniciar al alumno en el nivel superior que le permita adquirir herramientas matemáticas básicas para el desarrollo del pensamiento lógico y crítico. La necesidad de la comprensión del concepto de número, el conocimiento del conteo y del valor del número según su ubicación. El objeto de estudio de la matemática es una ciencia formal que partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico estudia la aritmética general, algebra y trigonometría. El objetivo general de la asignatura es de resolver situaciones problemáticas de su entorno, mediante la aplicación de aritmética, algebra y trigonometría, para medir sus conocimientos matemáticos y capacidad de razonamiento en un ambiente próximo a la vida cotidiana. III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Unidad I.- Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área.
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Unidad II.- Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.
Unidad III.- Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante leyes del comportamiento de las funciones para la respectiva solución de problemas del entorno cotidiano.
IV. CONTENIDOS.
Sistema general de conocimiento. Unidad I: Aritmética general. Unidad II: Algebra superior Unidad III: Trigonometría plana Sistema general de habilidades. Unidad I: Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales matemáticas. Unidad Il: Calcular el producto notable, le descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc. Unidad Ill: Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante las leyes del comportamiento de las funciones y su integración a la teoría lógica. Sistema general de valores.
Respeto y consideración a los compañeros.
Responsabilidad en los trabajos expuestos. V. PLAN TEMÁTICO.
DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN HORAS
TEMAS DE LA ASIGNATURA C CP S CE T L E THP TI THA
Aritmética general. 5 14 6 25 14 39
Algebra Superior 8 18 7 2 35 16 51
Trigonometría Plana 4 17 4 2 27 12 39
EXAMEN FINAL 2 2 2
Total de horas 17 49 17 - 6 89 42 131
Leyenda C - Conferencias. S - Seminarios. CP - Clases prácticas. CE - Clase encuentro. T - Taller.
L - Laboratorio.
E - Evaluación. THP -Total de horas presenciales. TI - Trabajo Independiente. THA -Total de horas de la asignatura.
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VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDACTICAS.
Unidad I: Aritmética General Objetivo: Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área. Sistema de contenidos de la unidad didáctica I
Sistema de Conocimientos Sistema de Habilidades Sistema de Valores
Números naturales Números reales Regla de tres simple directa e inversa Regla de tres compuesta directa e inversa Tanto por ciento
Revisar con eficacia la información. Interpretar el idóneo entre varios caminos de resolución. Identificar procesos cognitivos usados en la resolución de problema en razones y proporciones. Determinar el valor de una proposición lógica y las operaciones que las relacionan. Analizar los procedimientos para hallar el porcentaje en operaciones más usadas en el medio. Resolver problemas aplicando las técnicas aprendidas.
Respeto y consideración a los
compañeros. Responsabilidad en los trabajos expuestos.
Porcentaje
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Unidad Il: Algebra Superior Objetivo: Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.
Sistema de Conocimientos Sistema de Habilidades Sistema de Valores
Conceptos básicos de algebra Teorema de exponentes Operaciones con exponentes Productos notables
Resolver analíticamente la distancia entre dos puntos.
Respeto y consideración a los
compañeros
Calcular la división de rectas. Determinar la ecuación de una recta dada, a partir de dos puntos. Identificar los diferentes elementos de los radicales. Calcular monomios, binomios, trinomios y polinomios aplicando la descomposición factorial.
Responsabilidad en los trabajos
encomendados y expuestos.
Descomposición factorial Máximo común divisor y múltiplo Radicación Racionalización
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Unidad Ill: Trigonometría Plana Objetivos: Interpretar los conceptos de relaciones en los triángulos, mediante las leyes del comportamiento de las funciones y su integración a la teoría lógica para la solución de problemas del entorno cotidiano.
Sistema de Conocimientos Sistema de Habilidades Sistema de Valores
La trigonometría Sistema de medición Angular Razones trigonométricas
Comparar e interpreta las diferentes fuentes teóricas.
Reconocer las propiedades de cada función trigonométrica
Diferenciar y aplica las particularidades de las relaciones fundamentales.
Respeto y consideración a los
compañeros.
Responsabilidad en los trabajos
encomendados y expuestos
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA
ASIGNATURA La asignatura se imparte en cinco horas semanales. En cada clase se presentará el tema y el objetivo con la habilidad que se espera alcanzar. Cada estudiante se anticipará revisando los temas propuestos en cada unidad, de manera que se pueda establecer un intercambio de opiniones sobre los temas tratados. La puntualidad a las sesiones de trabajo es de vital importancia, por ello se pasará lista al iniciar la clase. Toda la asignatura se puede revisar en el texto base y en la bibliografía complementaria. Sin embargo, para guardar un histórico de las sesiones de trabajo, el estudiante deberá documentar todas las actividades de aprendizaje mediante un portafolio. La asignatura contará con: clases tipo conferencia para explicar los fundamentos teóricos, talleres individuales y grupales como refuerzo de actividades, clases prácticas para desarrollar en el aula ejercicios referentes a la asignatura. Los métodos apropiados en la asignatura serán, activos, cooperativos y participativos. Entre las técnicas que más se usarán están: Solución de problemas, generación de ideas, participación activa. Al finalizar cada unidad se medirá los conocimientos del estudiante mediante una evaluación escrita y/o práctica.
VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS
Básicos: Marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Técnicos: documentos técnicos de apoyo.
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IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA La evaluación se hará de acuerdo al Reglamento de Evaluación del Instituto y el cronograma establecido para el semestre. Adicionalmente, la evaluación será diagnóstica, formativa y sumativa, con antelación terminada en las clases, presentación de informes escritos como producto de investigaciones bibliográficas considerándolas necesarias y complementarias para una valoración global y objetiva de lo que ocurre en la situación de enseñanza y aprendizaje. Los estudiantes serán evaluados con los siguientes parámetros, considerando que la calificación final de la asignatura está dada por un examen final que corresponde al 30% de la valoración total, el restante 70% se lo debe distribuir de acuerdo a los demás parámetros, considerando que por cada parcial se debe rendir un examen equivalente al 20% en cada una. Todas las pruebas, evaluaciones, trabajos orales o escritos serán sobre diez (10,00) puntos; pudiendo el estudiante, por cada uno de los parciales y por asignatura, obtener una calificación de diez (10,00) puntos como máximo. La nota mínima a registrar es 0.01, con la utilización de dos decimales. No se aplicará ninguna forma de redondeo. Se utilizará el método promedio para el cálculo de las calificaciones parciales y final.
Evaluaciones Parciales:
Pruebas parciales dentro del proceso, determinadas con antelación en las clases.
Presentación de informes escritos como producto de investigaciones bibliográficas.
Participación en clases a partir del trabajo autónomo del estudiante.
Trabajo Individual de cada estudiante.
Trabajo grupal entre estudiantes. Exámenes:
Examen, del parcial I
Examen, del parcial II
Examen Final, proyecto integrador de saberes.
Parámetros de Evaluación:
PARÁMETROS DE EVALUACIÓN PUNTAJES
1er. PARCIAL 2do. PARCIAL
Participación en clases 1,00 1,00
Deberes y trabajos. 1,00 1,00
Lección Escrita 1,00 1,00
Portafolio 1,00 1,00
Trabajos Grupales/ individuales 1,00 1,00
Examen parcial 2,00 2,00
SUMAN 7,00 7,00
PROMEDIO 7,00
Examen Final 3,00
SUMAN 10,00
Para la aprobación de las asignaturas, los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de siete sobre diez puntos (7,00/10,00). Siendo de carácter obligatorio la defensa del proyecto/actividad de vinculación.
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La evaluación de recuperación se podrá rendir por una sola vez durante cada periodo académico, cuando el estudiante no haya alcanzado la nota mínima aprobatoria de la asignatura, curso o equivalente. La calificación de esta evaluación tendrá un valor del 60% y será acumulado al 40% de la nota anterior. No tendrán derecho a este tipo de pruebas, aquellos estudiantes que hayan perdido la asignatura por inasistencias, retiro, los que cursen tercera matrícula; y, los que no hayan alcanzado una nota mínima de 2,50/10,00 en la nota final. Acreditación
a) Presentación de un proyecto por escrito
b) Disertación del proyecto Como examen final de la asignatura se realizará un proyecto de vinculación conformado en equipos de trabajo, que se constituirán en equipos de discusión, planificación, ejecución, evaluación y difusión de resultados, y su evaluación será de manera individual con su debida sustentación y defensa del proyecto. De tal manera que, como examen final de la asignatura se realizará un proyecto integrador junto con las asignaturas del semestre, dirigidas a actividad denominada CAPACITACIÓN SOBRE LOS EFECTOS DE LAS CONDICIONES CLIMÁTICAS EN LA PRODUCCIÓN DE CULTIVO DE ARROZ. Para el proyecto integrador se evaluara los siguientes parámetros:
Aporte de la asignatura 1.50
Calculo del área de terreno en los diferentes cultivos de arroz. Aplicación de fórmulas para determinar la diferencia de temperatura en el ambiente.
0.75
0.75
Exposición 0.75
Dominio del tema 0.25
Material de apoyo 0.25
Presentación personal 0.25
Informe 0.75
Estructura 0.25
Coherencia del documento 0.25
Dominio del uso de los métodos y técnicas de la profesión
0.25
TOTAL 3.00
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Además, es importante que recuerde que puede reprobar la asignatura por exceso de inasistencias injustificadas. En Matemáticas se reprueba con el 20% de faltas. Las evaluaciones y actividades extra clase atrasadas pueden ser presentadas únicamente con la respectiva justificación ante Vicerrectorado. Dentro de la equivalencia de notas se clasifica de la siguiente manera:
10,00 a 9,50 Excelente
9,49 a 8,50 Muy bueno
8,49 a 8,00 Bueno
7,99 a 7,00 Aprobado
6,99 a menos Reprobado
X. BIBLIOGRAFÍA
MARGALLO TORAL, José. Matemáticas, 3 ESO (1 edición). Editorial Editex, S.A.. ISBN 978-84-9771-427-3., España. 2010 ARYA. Lardner . Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Cuarta edición. Prenti ce Hall. México 2002 HOFFMANN, BRADLEY, Rosen , Cálculo aplicado para administración, economía y ciencias sociales. Octava edición. McGraw Hill. México. 2006. HAUSSLER Y PAUL . Matemáticas para Administración y Economía. Décima edición. Pearson, Prentice Hall, México D. F. 2003 AURELIO BALDOR. Aritmética y Algebra. Décima edición. Español, 2013. Editorial Patria. WEB
Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:
Ing.Civil Edison P. Nagua Nagua
Docente
Ing. Agro. Yamile Orellana
Coordinador Académico
Dra. María Isabel Jaramillo
Vicerrectora
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ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS
Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente: 1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu
desarrollo profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad. 2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de
investigación científica. 4. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no
sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente. 5. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la
realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y profesional.
6. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el docente, para aprender los temas objeto de estudio.
7. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para después desarrollar individual o grupalmente las actividades.
8. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las actividades:
IMAGEN SIGNIFICADO
Sugerencia
Talleres
Reflexión
Subir Tareas al Aula Virtual Amauta
Apuntes clave
Foros
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11 Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Resumen
Evaluación
9. Animo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.
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12 Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
UNIDAD DIDACTICA 1
ARITMÉTICA GENERAL
Introducción. Como todo conocemos la Aritmética es una rama de las matemáticas cuyo objeto es el estudio de los números y las operaciones elementales como son:
-Suma -Resta -Multiplicación -División.
De igual manera como en otras áreas de la matemática, como son el álgebra o la geometría, el sentido de la aritmética ha ido desarrollándose paulatinamente. La aritmética ha crecido de manera formal en la Antigua Grecia. En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al conjunto que reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.); Las cuatro operaciones básicas (o elementales) de la aritmética son las antes mencionadas, algunos registros antiguos de la aritmética datan de la Edad de Piedra: huesos, palos, piedras talladas y escarbadas con muescas, presumiblemente con fines de conteo, de representación numérica y calendarios.
Objetivo de la unidad. Demostrar el uso correcto de conceptos entre varios autores en lo referente a los números y las operaciones fundamentales, atreves de ejemplos propuestos para la resolución de problemas complejos en el área.
Organizador Gráfico de la Unidad
ARITMETICA GENERAL
Números naturales
Números reales
Regla de tres
simple directa
Regla de tres
compuesta Tanto por ciento
Auto evaluación
Porcentaje
Evaluación de la
unidad
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1.- NÚMEROS NATURALES N-No.
1.1 Sistema de numeración decimal
1.2 Orden en los números
1.3 Redondeo de un número
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 1Actividad de aprendizaje 1 de la unidad didáctica 1:
DESARROLLO DE CONTENIDOS:
Los números TRIANGULARES
El primer número triangular es 1.
El segundo número triangular es 1+2=3.
El tercer número triangular es 1+2+3=6
Es la sustitución, a partir de cierto lugar, de todas las cifras por ceros. Pero si la primera
cifra que se sustituye es 5 o mayor que 5 se aumenta en uno la cifra anterior a la
sustituida. El número 7 261 459 803
Redondeado a unidades de millón : La cifra de los millones es 1, la cifra siguiente es un
4, que 5, luego el nº redondeado es:
7 261 000 000
Redondeado a unidades de millar: La cifra de los millares es 9, la cifra siguiente es un 8,
mayor
que 5, luego el nº redondeado es:
7 261 460 000
Se puede escribir:
513
Dados dos números naturales cualesquiera se cumplirá una de las siguientes opciones:
• El primero es menor que el segundo
• El primero es igual que el segundo
• El primero es mayor que el segundo
El sistema de numeración decimal permite escribir
cualquier número con diez símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.
En un número, el valor de cada cifra depende de la
posición que ocupa: unidades, decenas, centenas,
unidades de mil o de millar, decenas de millar...
¿Sabrías cuál es el centésimo número triangular? Es decir, cuánto
vale
Ten en cuenta que cuando escribes los numeros, hasta el numero treinta es
con una sola palabra.
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1.4 Suma
1.5 Resta
1.6 Multiplicación Tarea
1.7 División
1.- Sombrea la cifra que te indican en los siguientes números:
a. Centenas en 126346
b. Decenas de millar en 33848590040
c. Unidades de millar de millón en 734623783774
2.- Utiliza los símbolos < o > para las siguientes parejas de números:
a. 344 ____ 433
b. 553675 ____553756
c. 900900 _____9008990
3.- Aproxima mediante redondeo:
a. 55344 a las centenas
b. 29999999 a las decenas de millar
c. 734545454847 a las unidades de millar de millón
4.- Calcula:
a) (6+3)·5= b) (7+6)·3=
c) 3+3·3= d) 6+4·8=
e) 2·8+3·5= f) 6·7+8·5=
Realiza una
investigación sobre
Jerarquía de las
operaciones.
Profundiza con
ejercicios prácticos.
NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 5 y 7 del libro
digital 1.
La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a:b o a/b.
a:b=c significa que a=b·c;
a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.
Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una división exacta
porque 8·5=40 y 8·6=48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y de resto 45−40=5.
La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la
suma de a sumandos iguales al número b. Se expresa a x b o a·b;
a y b se llaman factores. Propiedades
• Conmutativa: a·b=b·a
• Asociativa: (a·b)·c=a·(b·c)=a·b·c
División
Los números que intervienen en una resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia:
Minuendo−Sustraendo=Diferencia
380 -100 = 280
Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la suma que se
realiza primero. La suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:
• Conmutativa: La alteración del orden de los sumandos no altera la suma.
a+b=b+a 777+560=560+777
• Asociativa: Se pueden asociar de cualquier modo los sumandos sin alterar la suma.
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c). (777+560)+123=777+(560+123)
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2.- NÚMEROS ENTEROS Z.
2.1 El conjunto de los números enteros
2.2 Opuesto de un número entero
2.3 Números enteros en la recta numérica
Fig. 2
El valor absoluto de un número entero es la distancia que separa al número
del cero en la recta numérica. Esta medida siempre es una cantidad positiva.
El valor absoluto de un número entero a se simboliza como |a|.
Ejem. El valor absoluto de +14 es 14 porque, en la recta numérica, la
distancia de +14 a 0 es de 14 unidades. Se escribe I +14 I=14.
Estudiamos los números naturales y vimos que sirven
para contar. Sin embargo, hay situaciones que para ser
descriptas correctamente requieren de otro tipo de
números. Los números enteros negativos se usan en
diversos contextos. Esta decisión dio origen al conjunto
de los números enteros (Z), el cual incluye los enteros
negativos (Z+), los enteros positivos (Z-) y el 0.
Actividad de aprendizaje 2 de la unidad didáctica 1:
Casos cotidianos
Representa matemáticamente estas variaciones.
Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de agosto,
con una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de 7°C. En
contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos haberes o
activos poseídos.
Cada elemento del conjunto de los enteros positivos tiene un opuesto en el conjunto de
los enteros negativos, y viceversa. El opuesto de un número entero a se simboliza como
2a.Ejemplo:
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica como sigue.
1. Sobre una recta horizontal se marca un punto que represente el 0.
2. Se fija la distancia del 0 al 1. Esta medida se toma como unidad y se traslada a la
derecha y a la izquierda del 0 tantas veces como sea necesario (Figura 1).
3. Se sitúan a la derecha del 0 los números enteros positivos y a la izquierda los números
enteros negativos (Figura 2).
Fig. 1
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Guia de Estudios Matemáticas
2.4 Adición de números enteros del mismo signo
2.5 Adición de números enteros de diferente signo
Ejem. -9 + 12 = +3
2.6 Adición de varios números enteros
1.- Resuelve los siguientes problemas:
2.- Determina y escribe el número entero que debe ir en cada casilla.
3.-
a. -4 + (-3 ) b. 6 + 5
En la adición de números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de
los sumandos y a esta suma se le antepone el signo que tienen en común.
Ejem. -45 + (-27) = -72
Se deduce entonces que el buzo descendió 72 m en total.
NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 5 y 7 del
libro digital 1.
Ejem.
a) A las 3 a.m. la temperatura es de –5oC. )Cuál es la temperatura a las 12 m. Si
ha tenido una subida de 18o ?
Relaciona cada adición con la representación en la recta numérica que le
corresponde.
Realiza una
investigación sobre
Propiedades de la
adición de números
enteros.
En la adición de números enteros de diferente signo, se restan los valores
absolutos de los sumandos y a la suma se le antepone el signo del
sumando que tenga el mayor valor absoluto.
Las propiedades de la adición de números enteros permiten
efectuar la adición de tres o más números enteros de dos
maneras equivalentes.
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3.- NÚMEROS RACIONALES Q.
Temario de exposición
» Definición 3.1 Estructura de guía
» Propiedades /operaciones
»
» Fracciones generatriz
1.-
2.- Demostrar la segunda Propiedad de Fracciones Irreducibles.
3.-
Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los complejos, Mineduc
Matemáticas 8,9,10.
1.- Tema.
2.- Objetivo.
3.- Temática.
4.- Actividad
5.- Bibliografía.
Clasificación de las
expresiones decimales.
Halla la fracción generatriz de cada número decimal.
Expresar a manera de conjunto la relación que existe entre números naturales,
números enteros y números racionales.
Actividad de aprendizaje 3 de la unidad didáctica 1:
Para esta clase vamos a utilizar la forma de enseñanza tipo Seminario por lo que se
pide a cada uno de los estudiantes seguir las instrucciones. 1.- organizarse por
grupos 5 estudiantes 2.- Revisar los temas. 3.- elaborar la guía de exposición. Se
recomienda que todos los estudiantes se empapen del tema para su posterior
evaluación. Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los
complejos.
NOTA: Para completar la trabajo independiente revisar libro digital Los números de
los naturales a los complejos. Pág. 112, Mineduc Matemáticas 9 pág. 16.
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4.- NÚMEROS IRRACIONAL I.
4.1 Definición
Casos cotidianos
De acurdo al origen, los números irracionales se clasifican en dos gropos :algebraicos o
trascendentes.
Actividad de aprendizaje 4 de la unidad didáctica 1:
Pitágoras utilizo su teorema para determinar la diagonal de
un cuadrado de lado 1. ¿Cuál es el valor de la diagonal d?
¿A qué conjunto numérico pertenece este valor ?¿Por
qué?
Para mayor exactitud en los
procesos aritméticos y
algebraicos, los números
irracionales se indican y no
se escriben en su expresión
decimal.
Los números pertenecen al conjunto
de los números irracionales porque su expresión
decimal es infinita no periódica.
Los números irracionales son aquellos que no se
pueden expresar como razones entre números enteros
y tienen como característica que su expresión decimal
es infinita no periódica. Este conjunto se representa
con el símbolo I.
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el
conjunto de los números reales, se designa por R.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guia de Estudios Matemáticas
4.2
http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf
4.3 Números irracionales en la recta numérica.
1.- Resuelve los siguientes problemas:
2.- Resolución de problemas
Bibliografía.
http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf
Mineduc 9 matemáticas Libro digital.
Mineduc 10 matemáticas Libro digital.
El largo y ancho de una piscina olímpica es 50 m y 25 m, respectivamente. Si un
nadador quiere recorrerla en diagonal, ¿qué distancia recorre? ¿A qué conjunto
numérico pertenece este valor?
NOTA: Para completar la trabajo independiente desarrollar la pág.. 22 (Mineduc
9) y 14 (Mineduc 10)del libro digital .
Investiga los pasos
para graficar los
números irracionales
en la recta numérica.
los siguientes pasos.A cada número irracional le corresponde un punto en la recta.
Por ejemplo, se pueden graficar los números que son raíces
utilizando el teorema de Pitágoras.
Ejem.
Para el siguiente triángulo rectángulo, con vértices A, B, C y lados a, b, c , halla el
valor del lado que hace falta en cada caso usando el teorema de Pitágoras.
Representación de la relación conjunto números naturales, números enteros,
números racionales y números irracionales.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdfhttp://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf
Guia de Estudios Matemáticas
5.- NÚMEROS REALES R.
Temario de exposición
» Definición 5.1 Estructura de guía
» El orden
»
» un ejemplo geométrico
1.-
http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf
2.- Demostrar la segunda Propiedad de Fracciones Irreducibles.
3.- Resolución de problemas.
Actividad de aprendizaje 5 de la unidad didáctica 1:
Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los complejos, Mineduc
Matemáticas ,9,10.
Expresar a manera de conjunto la relación que existe entre números naturales,
números enteros, números racionales, números irracionales y números reales.
En el pueblo Cube, en la pasada sequía, un río se encontraba a 90 cm por debajo del
nivel de inundación (A). Para este invierno, un servidor público tomó la medida actual
del río (B) y determinó cuánto aumentó.
El cálculo que hizo fue: d(A, B) 5 U2902140Z. Según esto, ¿cuál es la altura del río
actualmente, respecto al nivel de inundación
Se necesita distribuir 27 libros entre 4 personas de manera equitativa. ¿Cuál sería la
mejor manera de repartirlos y por qué?
Para esta clase vamos a utilizar la forma de enseñanza tipo Seminario por lo que se
pide a cada uno de los estudiantes seguir las instrucciones. 1.- organizarse por
grupos 5 estudiantes 2.- Revisar los temas. 3.- elaborar la guía de exposición. Se
recomienda que todos los estudiantes se empapen del tema para su posterior
evaluación. Bibliografía: Libro digital Los números de los naturales a los
complejos.
1.- Tema.
2.- Objetivo.
3.- Temática.
4.- Actividad
5.- Bibliografía.
Las operaciones
NOTA: Para completar la trabajo independiente revisar libro digital Los números de
los naturales a los complejos. Pág. 112, Mineduc Matemáticas 10 pág. 16.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
http://blog.educastur.es/matematicas3eso/files/2008/11/los-numeros-irracionales.pdf
Guia de Estudios Matemáticas
6.- REGLA DE TRES.
6.1 Definición
6.2 Métodos de resolución
6.3 Método de reducción a la unidad.
4 libros -------------- $8
15 libros ------------ $x
6.4 Método de las proporciones.
Para construir una pared de 2 metros de largo sabemos
que necesitamos 60 ladrillos. En la actualidad necesitamos
construir un paredón de 12 metros de largo. ¿Cuántos
ladrillos necesitaremos?.
Fuente: http://ejemplosde.co/regla-tres-simple/
Dos magnitudes son
proporcionales cuando
multiplicando o dividiendo una
de ellas por un número, la otra
queda multiplicada o dividida. (o
viceversa) por ti mismo número.
Las magnitudes proporcionales
pueden ser directamente
proporcionales e inversamente
proporcionales.
La Regla de Tres es una operación que tiene por
finalidad hallar el cuarto termino de una proporción,
cuando se conoce tres. La Regla de Tres puede ser
simple y compuesta.
Si 4 libros cuestan $8, 1 libro cuesta 4 veces menos: $8 / 4 = $2 y 15 libros costarán 15
veces más. $2 x 15= $30.
Si 4 libros cuestan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?
1) Método de reducción a la unidad.
2) Método de las proporciones.
3) Método práctico.
Actividad de aprendizaje 6 de la unidad didáctica 1:
Es importante destacar que las cantidades correspondientes a una
misma magnitud, deben expresarse en la misma unidad de medida.
La Regla de Tres se puede resolver por tres métodos:
Si 4 libros cuentan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?
Como que a mas libros, mas dólares, estas cantidades son directamente proporcionales
y sabemos que la proporción se forma igualando las razones directas.
Casos cotidianos
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guia de Estudios Matemáticas
6.5 Método practico.
Ejemplo.
+ +
4 hombres --------- 12 días
7 hombres --------- X días
-
Es una magnitud inversamente proporcional.
Resuelve los siguientes problemas:
1.- Si 5 fotocopias cuestan 40 centavos, ¿cuántas fotocopias haré con 8 $?
2.- Si 3 libros de lectura cuestan 36 $, ¿Cuánto costarán 2 docenas de libros?
3.-
4.-
5.-
6.-
Bibliografía.
* problemas-de-proporcionalidad.pdf
* problemas-de-regla-de-tres-simple-y-compuesta.pdf
* Aritmética de Baldor.pdf
Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran
con 5 kg?
Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000
tornillos?
En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2,8 cm.
¿Cuánto medirá sobre ese mismo plano otra calle de 200 metros?
En una panadería, con 80 kilos de harina hacen 120 kilos de pan. ¿Cuántos kilos
de
harina serían necesarios para hacer 99 kilos de pan?
La Regla de Tres puede
ser simple y compuesta.
Es simple cuando
solamente intervienen en
ella dos magnitudes y
compuesta cuando
intervienen tres o mas
magnitudes.
Ponemos - debajo de hombres y + arriba ; ponemos + también
a 12 días.
Ahora, el valor de X será igual al producto de 12 por 4, que son los
que tienen signo + dividido entre 7 que tiene - .
Las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone
debajo un signo + y en la parte de arriba un signo - , y a las magnitudes que sean
inversamente proporcionales con la incógnita se la pone debajo un signo - y en la parte
de arriba un signo +. El valor de la incógnita X, será igual al valor conocido de su misma
especie (siempre llevara +), multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo +,
partiendo este producto por el producto de las cantidades que llevan el signo - .
4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días podrían hacer la obra 7
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guia de Estudios Matemáticas
7.- REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.
7.1 Definición
7.2 Método de reducción a la unidad.
4 hombres ---------
7 hombres -----------x días
7.3 Método de las proporciones.
Como que a mas hombres, menos días, estas cantidades son inversamente
proporcionales y sabemos que la proporción se forma igualando la razón directa de las
dos primeras con la razón inversa de las dos ultimas o viceversa.
En la regla de tres simple inversa, en cambio, la proporcionalidad
constante sólo se conserva cuando, a un incremento de A, le
corresponda una disminución de B.
La regla de tres es una forma de
resolver problemas de
proporcionalidad. Si la
proporcionalidad es directa
utilizaremos la regla de tres
directa. Si la proporcionalidad es
inversa utilizaremos la regla de
tres inversa.
Una regla de tres simple e inversa consiste en que
dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes
inversamente proporcionales, calcular la cantidad de
una de estas magnitudes correspondiente a una
cantidad dada de la otra magnitud.
Si 4 hombres hacen la obra en 12 días, 1 hombre tardaría para hacerla 4 veces mas : 4 x
12 = 48 días y 7 hombres tardarían 7 veces menos.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre
las magnitudes se establecen las relaciones: +- o -+.
12 días
4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra 7
hombres.
4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra 7
hombres.
Actividad de aprendizaje 7 de la unidad didáctica 1:
Casos cotidianos
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas
en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera
de 7 l por minuto?
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/proporcion
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/proporcionalidad/regla-de-tres-simple-inversa.html
Guia de Estudios Matemáticas
7.4 Método practico.
+ +
20 días --------- 6 horas diarias
X días --------- 8 horas diarias
-
Es una magnitud inversamente proporcional.
Resuelve los siguientes problemas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Bibliografía.
* problemas-de-proporcionalidad.pdf
* problemas-de-regla-de-tres-simple-y-compuesta.pdf
* Aritmética de Baldor.pdf
Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga.
¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la
misma carga?
Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se
venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?
5 Obreros hacen una pared en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la
misma pared?
A más días menos horas diarias; colocamos signo - debajo de
horas diarias y + en la parte de arriba; ponemos + a 20 días y
el valor de X será:
Un granjero tiene pienso para alimentar a sus 12 vacas durante 45 días. Si
compra 3 vacas más,
¿Cuánto le durará el pienso?
4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en
12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?
Este método es similar al de regla de tres simple directa.
Las magnitudes que sean directamente proporcionales con la incógnita se les pone
debajo un signo + y en la parte de arriba un signo - , y a las magnitudes que sean
inversamente proporcionales con la incógnita se la pone debajo un signo - y en la parte
de arriba un signo +. El valor de la incógnita X, será igual al valor conocido de su misma
especie (siempre llevara +), multiplicado por todas las cantidades que llevan el signo +,
partiendo este producto por el producto de las cantidades que llevan el signo - .
Investigar gráficos de
proporcionalidad
directa e inversa.
Ejemplo.- Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 8 horas
diarias. ¿En cuantos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias?.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guia de Estudios Matemáticas
8.- REGLA DE TRES COMPUESTA.
8.1 Definición
8.2 Método de reducción a la unidad.
3 hombres --------- 8 h ----
----
80 mt. ---- 10 días
5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- x días
Si en lugar de trabajar 8 horas diarias, trabajaran 1 hora diaria, tardarían 8 veces más y
trabajando 6 horas diarias, tardarían 6 veces menos.
Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de la obra en 10 días, 1
hombre tardará más y 5 hombres, 5 veces menos:
La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que
en la primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se
relacionan tres o más magnitudes.
Si en lugar de hacer 80 mt. hicieran 1 mt., tardarían 80 veces menos y para hacer 60 mt.
Tardarían 60 veces mas.
Las magnitudes se pueden
establecer relaciones de
proporcionalidad directa o
inversa, de las cuales se puede
distinguir tres casos de regla de
tres compuesta:
1) Regla de tres compuesta
directa
2) Regla de tres compuesta
inversa
3) Regla de tres compuesta
mixta
La regla de tres compuesta se emplea cuando se
relacionan tres o más magnitudes, de modo que a
partir de las relaciones establecidas entre las
magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias
reglas de tres simples aplicadas
sucesivamente.
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros
de la misma obra.
Actividad de aprendizaje 8 de la unidad didáctica 1:
Casos cotidianos
Cinco canillas abiertos durante 8 horas diarias han
consumido una cantidad de agua por valor de $20
Averiguar el precio del vertido de 15 canillas abiertos 12
horas durante los mismos días.
https://sites.google.com/site/260magnitudesproporcionales/regla-de-tres-
8.1
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://sites.google.com/site/260magnitudesproporcionales/regla-de-tres-compuesta
Guia de Estudios Matemáticas
8.3 Método de las proporciones.
En este caso tenemos 3 proporciones:
3 hombres --------- 8 h ----
----
80 mt. ---- 10 días
5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- X días
Primera proporción:
3 hombres --------- 10 días
5 hombres -----------Y días
Es una proporción inversa por lo tanto:
5 igual 10
3 Y
Segunda proporción:
Y días -------------- 8 horas diarias
Y' días 6 horas diarias
Es una proporción inversa por lo tanto:
Y igual 6
Y' 8
Tercera proporción:
Y' días -------------- 80 mt.
X días -------------- 60 mt.
Es una proporción directa por lo tanto:
Y' igual 80 mt
x 60mt
Multiplicando y simplificando todas las proporciones nos quedaría lo siguiente :
8.4 Método de las práctico.
3 hombres --------- 8 h ----
----
80 mt. ---- 10 días
5 hombres -----------6 h ---- 60 mt. ---- X días
La regla de tres
compuesta es una
forma de resolución de
problemas cuyos
enunciados están
formados por varias
reglas de tres simples
aplicadas varias veces.
https://matematica.laguia2
000.com/general/regla-de-
Este método es muy sencillo se trata de descomponer la regla de tres compuesta en
simples como se muestra a continuación :
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros
de la misma obra?
3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros
de la misma obra?
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://matematica.laguia2000.com/general/regla-de-tres-compuestahttps://matematica.laguia2000.com/general/regla-de-tres-compuesta
Guia de Estudios Matemáticas
Multiplicando y simplificando todas las proporciones nos quedaría lo siguiente :
9 Resuelve los siguientes problemas:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Bibliografía.
https://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-
resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.html
Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar
una obra . Si hubieran trabajado una hora menos al día, ¿en cuantos cuantos
días habrían terminado la obra? R. 16 d.
Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días
si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100
soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración
de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días, 5
obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la obra?
El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros
cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped
funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped
de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas?
El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20
operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en
dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año
para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.
En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían
cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces
semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres
meses?
Hacemos la respectiva comparación : a mas hombres, menos días: colocamos el signo -
en la parte de abajo de hombres y + en la parte superior; a más horas diarias de trabajo,
menos días en hacer la obra: colocamos el signo - en la parte de abajo de hombres y +
en la parte superior; a más metros, mas días, colocamos el signo + en la parte de abajo
de hombres y - en la parte superior; finalmente colocamos signo + en 10 días.
http://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-
compuesta.html
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.htmlhttps://www.matesfacil.com/ESO/proporcionalidad/compuesta/problemas-resueltos-proporcionalidad-compuesta-directa-inversa-regla-tres-ejemplos.htmlhttp://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-compuesta.htmlhttp://examen-senescyt.blogspot.com/2013/03/pregunta-38-regla-de-tres-compuesta.html
Guia de Estudios Matemáticas
9.- PORCENTAJE .
9.1 Definición
9.2 Tanto por ciento.
Por ejemplo, si se divide 120 en 100 partes iguales, cada parte vale 1,2.
Así, si queremos el 20% de 120, tomamos 20 veces el valor 1,2, que da 24.
Luego, el 20% de 120 es 24.
Queremos encontrar el 25 % de 150.
Tenemos que 150 representa al 100 %. Luego, al reemplazar en la proporción, tenemos que:
lo que implica que el 25 % de 150 es igual a 37,5.
El tanto por ciento es una forma común de referirse al porcentaje. Se refiere a la relación
de proporcionalidad establecida entre un primer número y un segundo.
Actividad de aprendizaje 9 de la unidad didáctica 1:
En términos prácticos, se llama tanto por ciento de un número a una o más partes de las
cien partes iguales en que se puede dividir dicho número
Casos cotidianos
Para resolver ejercicios relacionados a porcentajes, se utiliza la siguiente proporción:
Si el número x representan el y% de un número z, entonces se tiene que:
Los problemas de tanto por
ciento se reducen a encontrar el
cuarto componente de una
proporción, cuando tres de ellos
se conocen.
El porcentaje es un término matemático que se utiliza
para establecer la relación de proporción existente
entre 2 números. Para hacerlo más intuitivo, se ha
usado siempre la relación en términos de cien
unidades, y de ahí la proveniencia del nombre.
En matemáticas, un porcentaje es una forma de
expresar un número como una fracción de 100 ("por
ciento" significa de cada 100).
Se representa el porcentaje de un número con el
símbolo %.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guia de Estudios Matemáticas
9.3 Tanto por ciento como fracción
El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:
Para saber como se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:
9.4 Tanto por ciento como multiplicación
Resuelve los siguientes problemas:
1.- Calcula el 12% de 300
2.- Calcula el 5 % de 25
3.- Calcula el 69% de 21
4.- Calcula el 53% de 187
5.-
6.-
7.- Halla qué por ciento es
a) 10 de 200
b) 24 de 48
8.-
Bibliografía.
* https://www.ecured.cu/Tanto_por_ciento#Ejercicios_resueltos_3
* Aritmética de Baldor.pdf
El calculo de tanto
por ciento se utiliza
constantemente en
diversas operaciones
aritméticas y
contables.
Una obrera de un taller de confecciones tenía planificado producir en el mes 156
camisas, pero sólo confeccionó el 75% de ellas. ¿Cuántas camisas confeccionó?
Un obrero textil ha producido 1959 m de tela que es el 75% del plan a cumplir en
una etapa. ¿Cuántos metros de tela habrá producido al cumplir el plan de la
etapa?
La fracción común se multiplica por el número que sea necesario
para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que
será el porcentaje.
En una escuela hay 620 estudiantes, de ellos el 55% son varones ¿Cuántos
varones hay?
Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la
siguiente operación:
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://www.ecured.cu/Tanto_por_ciento#Ejercicios_resueltos_3
Guia de Estudios Matemáticas
Gráfico
http://educale.com/mate/1/images/CLASIFICACION%20DE%20LOS%20NUMEROS.pdf
Hasta aquí hemos tratado sobre la clasificación y resolución de los números en general,
pero nuestro estudio de repaso inicia con los Números Naturales representado con la
letra (N) así mismo argumentando que son todos los números mayores a cero o
podemos decir que son los números cardinales N=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,…). Después de ello
nos adentramos a los números Enteros más conocido con la letra (Z) la cual nos hace
referencia a la expresión de las deudas monetarias, temperaturas y niveles bajo cero (0),
Z= (-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4). Siguiendo la clasificación ordenada llegamos a los Números
Racionales denotado con la letra (Q) y decimos que es todo número que se puede
representar con una fracción u cociente tomando teniendo en cuenta que su
denominador tiene que ser diferente de cero, Q=( a/b,a€Z;b€Z;b≠0); incluir en este tema
los números irracionales considerando que esta no puede ser fracción y que tiene
decimales no periódicas. Concluyendo así con los números reales cuya letra
representativa el (R) y es la que encierra todos los números estudiados anteriormente lo
podemos representar en forma de conjunto, tal como lo demuestra la gráfica.
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
http://educale.com/mate/1/images/CLASIFICACION DE LOS NUMEROS.pdf
Guia de Estudios Matemáticas
Grafico de regla de tres simple directa Grafico de regla de tres simple inversa
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres
valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad,
proporcionalidad, entre los valores .
Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo
los otros tres.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe la
regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta. La regla de tres es muy útil en
casos matemáticos debido a su facilidad de operación y comprensión Muchas personas,
a las que claramente no les gustan las matemáticas suelen quejarse de la complejidad
de algunas operaciones que propone ésta y por ello es que las consideran ajenas a sus
vidas y más propias de campos científicos complejos. Sin embargo, nada de esto es así
en la realidad y las matemáticas están muy presentes en nuestras vidas cotidianas,
incluso en las de aquellos que más las repelen, porque en muchísimas oportunidades es
necesario recurrir a ellas, a los números, para resolver, como ya dijimos, cuestiones que
hacen a nuestra cotidianidad
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
Guia de Estudios Matemáticas
Resolver los siguientes ejercicios.
1.- Sombrea la cifra que te indican en los siguientes números:
a. Centenas en 126346
b. Decenas de millar en 33848590040
c. Unidades de millar de millón en 734623783774
2.- Determina y escribe el número entero que debe ir en cada casilla.
3.- Utiliza los símbolos < o > para las siguientes parejas de números:
a. 344 ____ 433
b. 553675 ____553756
c. 900900 _____9008990
4.-
5.- Aproxima mediante redondeo:
a. 55344 a las centenas
b. 29999999 a las decenas de millar
c. 734545454847 a las unidades de millar de millón
6.- Calcula:
a) (6+3)·5= b) (7+6)·3=
c) 3+3·3= d) 6+4·8=
e) 2·8+3·5= f) 6·7+8·5=
7.-
8.-
Para el siguiente triángulo rectángulo, con vértices A, B, C y lados a, b, c , halla el
valor del lado que hace falta en cada caso usando el teorema de Pitágoras.
Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte tiene víveres para 180 días
si consumen 900 gramos por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100
soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días. ¿Cuál deberá ser la ración
de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles?
4 albañiles tardan en arreglarme el tejado 18 días. Si quiero acabar el tejado en
12 días, ¿Cuántos albañiles tengo que contratar?
Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
Guía de Estudios Matemáticas
34 Ing. Edison Patricio Nagua Nagua
UNIDAD DIDACTICA 2
ALGEBRA SUPERIOR
Introducción. Prácticamente el álgebra es la continuación de la aritmética, donde se desconoce el valor de una de las cantidades sustituyéndolas por variables. Coincide con algunas de las características de la aritmética complementando con fórmulas y ecuaciones. La representación de sus variables las podemos realizar con la siguiente simbología a,b,x,y, etc. Con lo especificado anteriormente se puede decir que en álgebra se usan letras para representar números o usamos letras para la demostración de reglas y fórmulas expresando de forma general, así que cuando usamos letras en combinación con números podemos argumentar que se trata de un lenguaje algebraico.
Símbolos algebraicos básicos: Suma + Resta - Multiplicación x, ( )( ), • , División ÷, / Radicación √ Agrupación ( ), { }, [ ], ¯ Es igual a = Es mayor que > Es menor que < Es mayor o igual que ≥ Es menor o igual que ≤
Objetivo de la unidad. Calcular el producto notable, la descomposición factorial, la radicación, la racionalización, etc, mediante revisión bibliográfica del álgebra general para compararlos en situaciones problemáticas diarias.
Organizador Gráfico de la Unidad
ARITMETICA GENERAL
Conceptos Básicos De Algebra
Teorema de exponentes
Operaciones con exponentes
Productos notables
Descomposición factorial
Radicación
Máximo común divisor y múltiplo
Racionalización
Auto evaluación Evaluación de la
unidad
Guia de Estudios Matemáticas
Resolver los siguientes ejercicios.
1.- Utiliza los símbolos < o > para las siguientes parejas de números:
a. 344 ____ 433
b. 553675 ____553756
c. 900900 _____9008990
2.- Demostrar la segunda Propiedad de Fracciones Irreducibles.
3.- Resolución de problemas
4.- Aproxima mediante redondeo:
a. 55344 a las centenas
b. 29999999 a las decenas de millar
c. 734545454847 a las unidades de millar de millón
5.-
6.-
4.-
7.-
8.-
9.-
10.-
11.-
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 20 días. Luego de 5 días, 5
obreros se retiran. ¿Cuánto demorarán los obreros restantes en terminar la obra?
El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros
cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped
funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped
de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas?
El año pasado, una empresa cubana de producción de azúcar contrató 20
operarios que recolectaron al día una media de 100kg de caña por persona en
dos semanas de recolecta. Calcular cuántos operarios deben contratar este año
para que en una semana recolecten 2.000 kilos en total.
En un sembradío de sandías que es regado 2 veces a la semana se podrían
cosechar 12 toneladas de esta fruta en 4 meses. Sin embargo, se riega 4 veces
semanales para duplicar la producción. ¿Cuántas toneladas se producen en tres
meses?
El largo y ancho de una piscina olímpica es 50 m y 25 m, respectivamente. Si un
nadador quiere recorrerla en diagonal, ¿qué distancia recorre? ¿A qué conjunto
numérico pertenece este valor?
Con 200 g. de harina se elaboran 6 barras de pan. ¿Cuántas barras se elaboran
con 5 kg?
Una máquina fabrica 400 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tardará en fabricar 1.000
tornillos?
Un camión que carga 3.000 kg. da 15 viajes para transportar una carga.
¿Cuántos viajes dará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la
misma carga?
Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se
venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?
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10. CONCEPTOS BASICOS DE ALGEBRA
10.1Definición
10.2Símbolos algebraicos básicos
Casos cotidianos
En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un algebra muy
elemental que usaron para resolver problemas del día a día
que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y
materiales.
Es realmente interesante hallar y compartir ejemplos
cotidianos de problemas y aplicaciones del álgebra.
¿Qué clase de cosas resolvemos con álgebra? .
Lo cierto es que cuando llegas a internalizar el álgebra
en tu vida (como herramienta cotidiana) los métodos
que aprendes con ella solucionarán muchas cuestiones
cotidianas y pequeños y grandes retos que se te
presenten.
El álgebra es una extensión de la aritmética en la cual se desconoce el valor de una de las
cantidades con las que se opera. Generalmente se usan letras para representar números
o usamos letras para la demostración de reglas y formulas para mostrarlo de una manera
general que es apta para cualquier numero lo que hace de estas reglas generales para
cualquier numero existente.
En el álgebra s Al usar letras para estas formulas estamos hablando en lenguaje
algebraico o notación algebraica.
Ejemplo:
El álgebra estudia la estructura de las matemáticas aplicadas en la forma más abstracta
posible, explicándola mediante fórmulas y operaciones.
Para su análisis usamos símbolos de relación y agrupación, entre los mas conocidos
tenemos los siguientes:
Ya que su nombre significa “la reducción” (álgebra viene del árabe al yabr).El
álgebra es de gran utilidad en nuestra vida, ya que nos simplifica muchos
trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas. Ejemplo; si compramos 5
lápices y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos
da los valores/precios de a y b, nos facilitara sacar el total de los precios.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD DIDÁCTICA 2Actividad de aprendizaje 1 de la unidad didáctica 2:
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Guia de Estudios Matemáticas
-9 + 12 = +3
-59ax - 59 ax
8v³ + 8 v³
xyz + 1 xyz
-89 - 89
10.3
Ejemplo
Investiga más símbolos
usados en algebra y su
respectiva función.
En el caso de la multiplicación cuando dos letras se asume que
se esta multiplicando así si tenemos “ab” estamos diciendo que
“a” esta multiplicando a “b”, o en paréntesis (a)(b) también es
“a” por “b”. Y la división se puede expresar como una fracción
a/b.
En general una combinación de símbolos y signos del álgebra representa a un
numero y se llama una expresión algebraica
5abx + 258bx – 36ay
La parte de la expresión algebraica que no se encuentra separada por un signo
de suma o resta se llama término
Del ejemplo anterior son términos: 5abx; 258bx; -36ay
Todos los términos poseen un signo, un coeficiente y una parte literal, así:
Término Signo coeficiente literal
Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de
operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten
traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.10.3.1 Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio: Polinomio que consta de un término.
Ej: x, 2aba 2 , 8
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10.4
Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
Grado de c = 7
Ej: 5x 2-3y 2 u +at 4a2b +x 2y 6
Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término.
Ej: 2a +b , 3x 2-5y +z, 2x 3-7x 2-3x +8
10.3.2 Grado de un término algebraico
Grado absoluto: se obtiene sumando todos los exponentes de las variables.
Grado = 5 + 4 + 7
Grado = 16
Grado relativo: es el valor del exponente de cada variable.
Grado de a = 5
Grado de b = 4
Racionales: cuando no tienen ninguna letra bajo signo radical.
Clases de términos.
Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor
absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a
2 = 0
Enteros: cuando no tienen letras en el denominador.
Ejemplos:
• 3ax³/4
• 3x²
Fraccionarios: cuando tienen letras en el denominador.
Ejemplos:
• 3am/4d
• 2ax²y/n
• 98oj³/ a²b³
• 4m² n³; 85 m² n³;3/5 m² n³
Ejemplos:
• 25ab√29
• 8mn√5
Irracionales: cuando tienen letras bajo un signo radical.
Ejemplos:
• 5√x
• 25mn√32m
Semejantes: son los que tienen la misma parte literal, o sea las mismas letras y cada letra
con el mismo exponente.
Ejemplos:
• 3x²; -5x²; 91x²; 35x²
• 5√y³; 85√y³; 0.36√y³
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x² + 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x³ + 3x² - 3
Polinomio completo
U n polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.
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ІІ-) Escriba (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es falsa.
ІII-) Completa la siguiente tabla.
ІV-) Clasifique los términos siguientes en: monomios, binomios o polinomios.
Bibliografía
https://matte23.blogspot.com/2016/09/algebra-y.html
P(x) = 2x³ + 5x – 3
U n polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.
P(x) = 2x³ + 3x² + 5 x – 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor
1-) ¿Qué es el algebra?
2-) ¿Cuál ha sido la importancia del algebra en el desarrollo de la ciencia?
3-) ¿Cuál es la diferencia entre álgebra y aritmética?
4-) ¿Crees que la cebra Surge en los tiempos presentes?
5-) ¿Qué es un monomio?
Dos polinomios son iguales si verifican:
1-) Los dos polinomios tienen
2-) Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x³ + 5x - 3
І-) Responde las siguientes preguntas.
50 cosas que hay que saber sobre las matemáticas, Grupo Planeta
(GBS), 2009 - 216 páginas
7-) ¿A qué llamamos expresiones algebraicas?
8-) ¿Qué es álgebra?
1.___ Un polinomio es una expresión algebraica.
2.___ Un polinomio de tres términos y exponente 3 en alguna de las variables recibe el
3.___ La expresión 25x³y + 2xy³ es un monomio.
4.___ Una expresión algebraica de un solo término es un binomio.
7a³b² __________________________
6sxyz _________________________
2m²+ b² + a²b² __________________
6sxyz -10 _____________________
2a³b² + 50x³y ___________________
6-) ¿Cuál es la diferencia entre un binomio y un polinomio?
Polinomios iguales
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11. TEOREMAS DE LOS EXPONENTES
11.1
11
.2
radicales. Aquí las leyes a continuación su explicación:
Casos cotidianos
Fernando y Luisa participan en un concurso de matemáticas. En una de las pruebas
deben justificar si la expresión 252 5 25 es verdadera. Fernando dice que la igualdad
es correcta, mientras que Luisa dice que es falsa. ¿Quién tiene razón y cuál es la
justificación
a esta respuesta?
¿Qué es un exponente?
El exponente de un número me indica el número de veces
que este se va a multiplicar. Se denota por un número
pequeño arriba y a la derecha del número base.
¿Qué es la teoría de exponentes?
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los
exponentes a través de las operaciones de potenciación y
radicación.
También se le conoce como Leyes de los exponentes y
La operación que da origen al exponente es la potenciación.
Actividad de aprendizaje 2 de la unidad didáctica 2:
Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es la base y n es
el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que
pertenezca el exponente.
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11.3 Potenciación
O también descrito de la siguiente manera:
11.4
11.4.1 Producto de bases iguales: Suma de exponentes
Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le
denomina potencia.
REPRESENTACIÓN:
An = (AxAxAxAx...xA) "n" veces
Propiedades o Reglas de los Exponentes
Investiga las potencias
de bases negativas.
Producto de bases iguales los exponentes se suman.
Ejemplos de multiplicación con exponentes
11.4.2 Cociente de bases iguales
los exponentes se restan
ejemplo:
11.4.3 Exponente cero: es igual a unoTodo número elevado a la potencia 0 siempre nos da como resultado la unidad.
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11.4.4 Exponente Negativo: la base se invierteTodo número elevado a un exponente negativo, puede quedar expresado con el signo
positivo, solo debes invertir la base.
11.4.5 Potencia de Potencia: los exponentes se multiplican
Cuando tenemos un exponente elevado a otro, separados por algún signo de agrupación
(Normalmente se usan los paréntesis), estos se deben de multiplicar.
Es decir, se coloca la misma base y los exponentes se multiplican.
11.4.6 Producto de variables elevadas a una potencia: eleva cada factor a la potenciaCada vez que tengas un producto de variables y todos están elevados a un
exponente cualquiera, cada factor del producto queda elevado a ese mismo
exponente,
ejemplo:
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11.4.7 Potencia de un cociente:
11.4.8 Exponentes sucesivos
Ejemplo:
ejemplo:
La forma practica de reducirlos, es agrupándolos de dos en dos de arriba hacia abajo.
Si un cociente, está elevado a un exponente cualquiera, tanto el numerador como el
denominador, quedarán afectados a ese mismo exponente.
Ejemplos:
Eleva tanto el numerador como el denominador a la potencia.
ejemplos:
11.4.9 Términos SemejantesSon aquellos que tienen las mismas variables (x, y, z, etc.) afectadas del mismo
exponente, no importa el coeficiente.
Operaciones con Términos Semejantes
Se pueden sumar y restar los términos semejantes de la siguiente manera:
Suma de Términos Semejantes
ejemplos:
Resta de Términos Semejantes
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ejemplo:
11.4.10 Exponente fraccionarioOrigen:
El exponente fraccionario proviene de extraer una raíz a una potencia cuando el
exponente de la cantidad sub-radical no es divisible por el índice de la raíz.
RADICAL DE RADICAL
PRODUCTO DE RADICALES
COCIENTE DE RADICALES HOMOGÉNEOS
POTENCIA DE UN RADICAL
EXPONENTE NEGATIVO DE UN COCIENTE
Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.
Sabemos que para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia
por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar
indicada la división y se origina el exponente fraccionario.
Así:
11.4.11 Interpretación del exponente fraccionario
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario equivale a una raíz cuyo índice es el
denominador del exponente y la cantidad sub-radical la misma cantidad elevada a la
potencia que indica el numerador del exponente.
Decimos que:
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Aplica las propiedades vistas, según sea su caso.
1.-
2.-
3.-
4.-
5.- Si :
6.-
15. Calcula
7.-
8.- Calcula:
Bibliografía
http://teoremasdeexponentes.blogspot.com/
http://profe-alexz.blogspot.com/2012/10/teoria-de-exponentes-
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12 PRODUCTOS NOTABLES
12.1
Los productos notables son productos que cumplen
reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación. Estas operaciones son fáciles de
recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación
Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo
que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:
Para obtener la superficie de un terreno que sabes es cuadrado, pero la
longitud de su lado está parciamente definida pudiendo ser A =(a+6).
A = a2+12a+ 36
y no es necesario realizar la operación de multiplicar los dos binomios
(a+3)(a+3)
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Regla del cuadrado de la suma de dos cantidadesEl cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Ejemplo con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+10)2.
Cuadrado del primer término: x2.
Dos veces el primero por el segundo:
Cuadrado del segundo término: 102=100.
Respuesta:
Actividad de aprendizaje 3 de la unidad didáctica 2:
Los factores son la base
de una potencia y tienen
un exponente. Cuando se
multiplican los factores,
los exponentes deben ser
sumados.
Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su
comprensión.
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12.2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo
que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:
En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
http://laredroja.blogspot.co
m/2012/07/productos-
Recordemos que dos números negativos cuando se
multiplican, el signo resultante es positivo:
Regla del cuadrado de la resta de dos cantidadesEl cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el
primer término por el segundo término, más el cuadrado
Ejemplos con solución
1) Desarrolle (x-10)2.
Cuadrado del primer término:
Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-
Cuadrado del segundo término:
Respuesta:
12.3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios
conjugados)
Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidadesLa suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.
Ejemplos con solución paso a
1) Desarrolle (x+1)(x-1).
Cuadrado del minuendo: x2.
Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1
Respuesta:
RECUERDA: Los
productos notables
se aplican en
problemas como por
ejemplo en las
superficies de
terrenos. Con los
productos notables
podemos obtener
superficies con tan
solo aplicar las
formulas.
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http://laredroja.blogspot.com/2012/07/productos-notables.htmlhttp://laredroja.blogspot.com/2012/07/productos-notables.html
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12.4 Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)
12 Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)
Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada
por su diferencia:
Ejemplos de multiplicación de trinomios
1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad,
más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del
primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
En este caso se realiza lo siguiente:
.-los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo
negativo por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
.-Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos
Esto queda de la siguiente forma:
Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos
Ejemplos de multiplicación de trinomios con números
1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).
12.6 Cubo de la suma de dos cantidades
En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por
Regla del cubo de la suma de un binomio
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Respuesta:
12.7 Cubo de la resta de dos cantidades
En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar