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7/21/2019 Gua 1 Mat Financiera
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FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINPedagoga en MatemticaMatemtica Financiera.
GUA 1: POTENCIAS, RACES Y ECUACIONES EXPONENCIALES
POTENCIAS
Consideremos y . Definiremos como como:
Lo que llamaremos elevado a su ensima potencia donde a es la base y nel exponente.
Ejemplos:
Extenderemos ahora esta definicin para . En particular nos preocuparemos cuando (exponente negativo)
donde la definicin anterior simplemente no tiene sentido pues no podramos pensar que:
que simplemente sera algo "absurdo".Para este caso la definicin acertada ser
Ejemplos:
Propiedades de Las Potencias
1) ,2)
3)
4) ,5) 6) ,
7) ,
8)
9) 10)10.1)Si y n par, entonces10.2)Si y n impar, entonces
Definicin:
a
x
y= a
xy , a IR, x,y Z
Notacin cientficaUn nmero se escribe en notacin cientfica de la forma:
M xn10 donde M es un nmero entre 1 y 10; y n es un
nmero entero.
POTENCIAS Y NOTACIN CIENTFICA
I. Calcule el valor de las siguientes potencias.
1) 42 = 2)3
5 = 3) 27 = 4) 42 =5) 32 = 6) 35 = 7) 52 = 8) 43 =
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9) 15 = 10) 5
3
2
=
11)
3
5
6
=
12)
2
2
3
=
13)
3
2
7
=
14)
1
3
2
=
15)
3
5
3
=
16)
2
7
4
=
II. En cada caso, calcule el valor de la expresin reduciendo a una sola potencia.1)
6
53
2
22
2)
64
73
66
66
3)
78
23
55
55
4)
810
29
88
88
5) 42
2143
2
22
6) 432
2324
55
55
7)
13
2
4
52
2
12
8)
22
1
34
5
9)
2132
435
22
10)
4
1
3
2
2
1
2
2
4
15
11)
33
22
22
3
2
3
1
12)
22
222
202,02
103,03
1
13)
22
23
32
22
12
21
52
72
24
15
42
32
14)
1221
2
3
3
12:
3
2
2
1 15)
2
212
73
29:
4
1
3
15
III. Los siguientes nmeros estn escritos en notacin cientfica. Escrbalos en notacin estndar (normal).1) 65,7 x 510 2) 5,2 x 110 3) 61,2 x 610
4) (2,52 x 210 ) : (4,2 x 310 ) 5) (6 x 410 ) (2,2 x 310 ) 6) (3,2 x 210 ) : (0,16 x 410 )
IV. Escriba los siguientes nmeros en notacin cientfica.1) 93.000.000 2) 7.281,3 3) 0,000047
4)
8.100.000 x 6.500.000 5)
2 : 5.687.945.122 6)
2.540.000 x 1.900.000
V. PROBLEMAS DE APLICACIN
1) Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes elmismo pedido durante una semana. 6 cajas con 6
bebidas cada una, 6 veces a la semana. Cuntas
bebidas reparte en una semana?
2) A un cubo de arista 4 le aumentaron los lados al doble.a) Cul es el volumen del cubo de arista 4?b) Cul es el volumen del nuevo cubo?c) En cuntas veces aumenta el volumen?Volumen del cubo = a 3, con a : medida de la arista
3) Cmo se puede expresar como potencia el siguiente
enunciado?
Pedro camina la cuarta parte de la cuarta parte de lacuarta parte del viaje que hace en bus
4) Una bacteria cada una hora se reproduce 10 veces ms
que la hora anterior.
a) Cuntas bacterias hay al cabo de 4 horas?b) Si se tienen 10 millones de bacterias Cuntas haba
en la hora anterior?5) La velocidad de la luz puede medirse al dividir la
distancia desde el Sol a la Tierra (1,47 x 10 11 metros),con el tiempo que le toma a la luz del Sol llegar a laTierra (4,9 x 10 2segundos). Por lo tanto la velocidad dela luz es:
2
11
109,4
1047,1
. A cuntos metros por segundo
equivale esta expresin?
6) La fisin nuclear se utiliza como fuente de energa Sabe cunta energa proporciona un gramo de uranio
235?, la respuesta es235
107,4 9 Kilocaloras. Escrbalo en
notacin cientfica.
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I. POTENCIAS ALGEBRAICAS
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II. RACES
Definicin:
a
x
y= a
xy , a IR, x,y Z
PROPIEDAD EJEMPLO
I. Utilizando las propiedades: baba ;b
a
b
a y
bb
11 , estima las races dadas; sabiendo que: (sin usar
calculadora) 4142,12 ; 7321,13 ; 2361,25 y 6458,27
1) 9 2) 12 3) 16 4) 20 5) 27 6) 28 7) 36 8) 45 9) 48 10) 49
11) 50 12) 6 13) 15 14) 14 15) 42 16) 120 17) 5,0 18) 25,0
19)3
1 20) 125,0
II.
Cunto vale 7512 con tres decimales? Sin calculadora, usando los valores dados en (ejer. I)
Escribe en forma exponencial las expresiones siguientes:
1. 2x =
2. b3 4
=
3. mx3 =
4. =4 52yx
5. bca5 33
=
RAIZ DE UNA POTENCIA CON EXPONENTE IGUAL AL INDICE:
( ) a=a=n
nn n
a
Ej.: ( ) 77 55 =
RAIZ DE UN PRODUCTO:
nn b= aban
Ej.: 2824 333 ==
RAIZ DE UN CUOCIENTE:
n
n
n
b
a
b
a=
Ej.: 5252
50
2
50===
RAIZ DE UNA RAIZ:
nmn m aa =
Ej.: 26464 63 ==
AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ:
np mpn m aa = pn pmn m aa: :
=
Ej.: 52525255:10 5:510 5
===
FACTOR DE UNA RAZ
n nn baba =
Ej.: 182323 2 ==
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III. Es cierto que baba ?
IV. Don Juan, que es algo patriarcal, regala a su primognito Sebastin un terreno agrcola de 900 m por 1600 m. Cuandosu hija Leonor reclama, le dice: Bueno, te regalo tambin a ti un terreno, de la misma rea que a Sebastin, siempre
que t elijas las dimensiones, largo y ancho, de modo que te cueste menos cerrarlo que a tu hermano el suyo. Leonor
piensa un instante y elige las dimensiones ptimas, de modo que el costo del cierre sea el mnimo posible. Cules sonlas medidas que escogi Leonor?
V.
Calcula las siguientes races de nmeros positivos y negativos, sin calculadora.
1) 7128
1 2) 3
8
5123) 3 27 4) 5 00032,0 5) 3 064,0
VI.
Aplica las propiedades de las races y potencias para reducir las expresiones:
1) 53 2) mm abaa 132 3) ba 5 4) 55 273
5)2
1
3
4 6) 2222 7)
nmnm
122 8) 2yx
9) 2
126 x 10) 2
22 xx 11) 232
3xx aa 12) 13552
13) xx aa 3113 23 14) 772a
m
2
m
a 15) 2232
VII.
Efecta las siguientes operaciones:
1) 38
71
12
7
4
32
5
4
2)
13
2
15
7
3
2
2
1
15
4
3
5
3
26
5
26
3) 32333 27:3913211
4)5 33 3 64168813212125
5) 2562711002 235
15
6)
1
2
12
1
2
1
5
5
6
36
1
4
11
3
1:
5
21
210
1
2
1
2
1
4
3
2
12
212
VIII. Efecta los siguientes productos; deja el resultado simplificado
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6
1) 2182 2) 23223 3) 732732 4) nx
n xn
x
m
m
m
36
2
5
1 e)
IX.
RACES ALGEBRAICAS
Calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las races y de las potencias. ( Suponer todas lascantidades sub-radicales positivas)
1)
ba
baba
ba
ba 2222 2: ba 2)
2222 2
1
2
1
yxyxyxyx
3) 4 xy 12
1
x
4)4
22
a
aa
5)3 4 3
x 6 x x 6) 53
6 64
13
z
zz : 60 z 7)
n
n
nn
1
21
41
3
399
8) 22222 9) )1()1()1( xxx 10)4 4913
4 175
ayx
yxa
4 55
4 94
yxb
xyb
11)
4
22
2
ba
b abb
ba
x
x
x 12)
5,1
3
2
3
b
a:
2
12
6 35,0
ca
ba 13)
3 21663216632
yxxyxxx
yx
14)
6
2/1
3/12
3/1
2/1
4 1
3
b
a
a
b
b
a 15) nnn 4629 16)
c
b
a
bc
b
ac
b
ca
c
ba
c
ab
464
5
4
3
32
2
: 322
bc
ba
II.- DETERMINA EL CONJUNTO EN EL CUAL LAS RACES SEAN REALES :
Aplicacin de 0 xIRx
1. 1x
2. 12 +x
3. x21
4.3
1
x
5.1
1
+
x
x
6.
5
2
x
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7
8.
3-2
3+2=
9.
35
25=
+
10.
2253
32 =
11. =b-a
b+a
17)
4
31
5
221
221
xy
yx
xy
yx 18) )
2
4
46
13
2
ab
ba:
ab
ba
19)
3
1
43
4
3
1
3
1
2
1
:: xaxxa 20)
a
aa
n n
n
n
n2
112
=
ECUACIN EXPONENCIALUna ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece en el exponente. Pararesolver una ecuacin exponencial vamos a tener en cuenta:
1. a > 0 , a 1
2.ax1 = ax2
x1=x2
Caso 1Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo quepodemos igualar los exponentes.
ax1 = ax2 x1=x2
Ejemplos
RACIONALIZA LOS DENOMINADORES :
1. =3
5
2. 23
2 =
3. =3 3
3
. =ab
ba
5.ab
a3
=
6. =m
mn4 3
n
12.
13.
14.
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8
1) 22x 1 = 4
22x 1 = 22 2x 1= 2 x=3
2
2)
3x 3
2x 1= 3
3
2
x 3
2x 1=
3
2 x=
3
4
3)
2x+1 +2x +2x 1 = 28
2x 2+2x +2x
2= 28
2x 2+1+1
2
= 28
2x 7
2= 28
x=
3
Caso 2Si tenemos la suma de los n trminos de una progresin geomtrica, aplicamos la frmula:
Sn=anr a1
r 1
Ejemplo 1
1+2+ 4+8+...+2x =1023
2x 2 1
2 1=
1023
2x = 29
x= 9
Ejemplo 2
22x+1 32x +1= 0
En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar lassumas o restas de los exponentes.
22x+1
32x
+1= 0
Posteriormente realizamos el cambio de variable:
2x= t y 22x = 2x( )
2
Resolvemos la ecuacin y deshacemos el cambio de variable.
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9
2t2
3t+1= 0
t1=
1
2 2x =
1
2 x1= 1
t2=1 2x=1 x1= 0
Ejemplo 3
2 3x+3
x+1= 0
2 1
3x+ 33x = 0
3x = t
2
1
t+3 t= 0
3t2 + 2t
1= 0t1
= 1 3x = 1 sin solucin
t2=1
3 3x =
1
3x= 1
I. Resolver las siguientes ecuaciones y comprobar las soluciones obtenidas:
a)4
14 x g) 39 1 x m) 422 xx
b) 82 1 x h) 12.4 1 xx n)2
333.
2
1 xx
c) 273.9 x i) 03
13.27 2 x o) 0
25
655 1 xx
d)
x
x
2
3
127
j) 42.8 x p)
4
922 3 xx
e) xx 21 42 k) xx 332 93.27 q) 013 13 x
f) 8132 x l)16
12
1 x r)4
19222 13 xxx
II.
Hallar x en las siguientes ecuaciones:
a) 0142.522 xx e) 32024 31 xx
b) 0255.745.3 2 xx f) 9039 21 xx
c) 0377.57.2 12 xx g) 1446.336 12 xx
d) 82.82.5 212 xx h) 432.34.5 13 xx
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LTIMOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR.
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ECUACIONES IRRACIONALES
Las ecuaciones irracionales son aquellas igualdades en las que intervienen races y cuya incgnita formaparte de una o ms cantidades subradicales.
Ejemplo de ecuaciones irracionales : ; ;
Al resolver una ecuacin irracional debemos elevar miembro de ella una o ms veces a las potencias quecorrespondan para eliminar sucesivamente las races que contienen la incgnita.
Ejemplo: 1) Resolver
Elevemos al cuadrado la ecuacin
Adicionemos a cada lado 5 / +5
Amplifiquemos por 1/2 y obtenemos el resultadoComprobemos en la ecuacin original
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12
Por lo tanto x = 27 satisface la ecuacin, es decir, es su raz o solucin.
Ejemplo: 2) Resolver
Primero aislamos una de las races
Elevemos al cuadrado la ecuacin
Desarrollemos los cuadrados
Aislemos la raz.
Elevemos al cuadrado
Nos queda
Multiplicamos termino a termino
Despejamos la incgnita restando 288 / - 288
Nos queda /
Amplificamos por 1/144 y obtenemos
Comprobemos en la ecuacin original
Por lo tanto satisface la ecuacin, es decir, es su raz o solucin.
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13
Ejemplo: 3) Resolver
Amplificamos por /
Obtenemos
Al despejar y sumar se tiene
Elevamos al cuadrado
Adicionamos 3 a cada lado para despejar X
Obtenemos
Comprobemos en la ecuacin original
Por lo tanto NO satisface la ecuacin, es decir, NO es raz o NO es solucin.
EjerciciosInstrucciones: Desarrolle las siguientes ecuaciones irracionales aplicando las propiedades de las racesque corresponda.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
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14/14
14
15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25) 26)
27) 28)
29) 30)
31) 32)
33) 34)
Bibliografa disponible en Biblioteca Osorno
N PEDIDO 650.01513 M664c 2008
Ttulo Curso de matemtica financiera/ Javier Miner AranzbalAutores Miner Aranzbal,JavierEdicin 2a. ed.Pie de imprenta Madrid : McGraw-Hill , 2002Referencias: $nreferencias 907
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