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7/24/2019 GUA DE POLINOMIOS 2015-2
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Universidad de TalcaInstituto de Matemtica y Fsica
1. En IR[X], descomponga en 6 factores, el polinomio
P(X) =X12 1
2. El polinomio P(X) =X4
1, descompongalo en:
(a) Un factor de grado 1 y un factor grado 3
(b) En dos factores de grado 2
(c) En sus factores irreducible en C[X]
(d) Encuentre sus factores propios monicos en IR[X]
3. Dado aIR, descomponga X6 a6 como producto de factoresirreducibles en C[X]
4. Descomponga en sus factores irreducibles el polinomio P(X) =X8 1i) en IR[X]; ii) en Q[X]
5. El polinomio P(X) = X6 + 1, descompongalo en IR[X] en unfactor de grado 2 y un factor de grado 4.
6. Demuestre que el polinomio
P(X) = (2a b)X2 + 4a2(bX) +b2(X 2a)
es divisible por D1(X) =X 2a y D2(X) =X b.
7. Calcule el producto P(X) = (X3 +X2 1)(X2 X+ 1). Digaen que se convierte este desarrollo si cambiamos Xpor X. De-duzca la descomposicion deR(X) =X5 +X+ 1 en un productode dos factores.
8. Encuentre un polinomioP(X) con coeficientes enteros, del menorgrado posible, tal que P(
2 +
3) = 0
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9. Determinar el cuociente y el resto al dividir el polinomio :i) 2X4 3X3 + 4X2 5X+ 6 por X2 3X+ 1ii)X5 X4 + 1 por 2X3 2Xiii)4X3 +X2 por X+ 1
2
10. Al dividir el polinomio aX4 2X3 + bX2 18X+ apor X 1,el resto es 3 y el cuociente es un polinomio que toma el valor 33
para X= 2. Calcular a y b.
11. En IR[X] encuentre:
(a) Un polinomio de grado 3 que tenga por races 1 + i, 1 i, 2(b) Un polinomio que tenga por races 1, 0, 1 2i(c) Un polinomio que tenga por races 2 y 3 y que deje resto 4
al ser dividido por R(X) =X 4
12. Sabiendo que 2i es raz del polinomio
P(X) =X5 3X4 + 2X3 6X2 8X+ 24
encuentre las otras races.
13. Encuentre las condiciones que deben cumplira y bpara que
P(X) =X3 + 3aX+ b
tenga:
(a) Una raz de multiplicidad dos
(b) Una raz triple
14. Dos de las races de P(X) =X4 2(a2 + b2)X2 + (a2 b2)2 son(a+b) y (a b).Encuentre las otras dos
15. Dado a IR, demuestre que P(X) = X4 +aX2 + 1 no puedetener una raz triple.
16. Encuentre un polinomio P(X) en C[X], IR[X] o Q[X], de grado3, cuyas races sean , + 1 y 2y tal que el coeficiente de X2
sea 3. Ademas determine .
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17. Encuentre todas las races en C del polinomio X6 +X4 +X2 + 1.
18. Factorice en IR[X] y en C[X] los polinomios
(a) P(X) =X4 + 2X2 8
(b) Q(X) =X4
+X3
+X2
+X(c) R(X) = X3 X2 7X+ 15, sabiendo que admite a 2 +i
como raz).
19. Exprese en la forma a+ bi las races de P(X) = X4 + 4 y deQ(X) =X2 +i
20. Considere los polinomiosP(X) =X2 4X+ 5 y Q(X) =X3(1 + 2i)X2 3X+ 2i 1
(a) Encuentre los numeros complejos que son races del poli-nomio P(X)
(b) Pruebe que el polinomioQ(X) tiene una raz comun conel polinomioP(X). Determine
(c) DividaQ(X) por D(X) =X (d) DescompongaQ(X) en factores de grado 1
(e) DetermineR(X) C[X], de grado minimal que sea multiplocomun deP(X) y del polinomioS(X) =X3(1+2i)X23X+a. Discuta los valores de a. Es unico este polinomio
R(X)?
21. Descomponga en C[X],los siguientes polinomios a) X61; b)X4 + 16; c) X4 2; d) X8 1; e) X12 + 1
22. Determine los valores de para que las ecuaciones siguientestengan al menos una raz doble :
(a) x3 3x+= 0(b) x3
8x2 + (13
)x
62= 0
(c) x4 4x3 + (2 )x2 + 2x 2 = 0y resuelva cada una de estas ecuaciones con las condicionesencontradas
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23. Resuelva la ecuacion 24x3 14x2 63x+ 45 = 0, sabiendo queuna raz es el doble de la otra
24. Resuelva la ecuacionx416x3 +86x2176x+105 = 0, sabiendoque 1 y 7 son races
25. Resuelva la ecuacion 4x3 + 16x2 9x 36 = 0,sabiendo que lasuma de dos de sus races es cero.
26. Resuelva la ecuacion 4x3 + 20x2 23x+ 6 = 0, sabiendo quetiene dos races iguales
27. Descomponer en fracciones parciales, las siguientes funcionesracionales
a)
2z3 +z+ 1
z 1 ; b) 2z+ 1
(z 1)(z+ 2)c) z2 + 1
(z 1)3 d) z2 z+ 2z4 5z2 + 4
e) z2
(z2 + 1) g)
3z3 + 4
z2 + 3z+ 2
h) 1
z2 + 1 i)
1
(z2 + 1)
j) 1
z2 + 4 k)
4z3 2z2 +z+ 1(z 2)(z+ 1)3
l) z2 z+ 4
(z 1)(z2
+ 2z+ 2)2 m)
7z3 + 20x2 + 35z 13
z2
(z2 4z+ 1)
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