Guía ETS Cálculo Vectorial 2012

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A.

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL

Prof. Sergio Flores Corona Junio 2011

FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR

(1) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva dada en el valor indicado.

3 31 1( ) [ , , ]; t=2

2 3r t t t t

4( ) 3 ; t=2

tr t ti tj k

( ) 3cos( ) 3cos( ) 2 ; t=4

r t t i t j tk

(2) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y aceleración normal de una partícula con función de posición dada en el tiempo indicado.

2 2( ) (25 ) (10 16 ) ; t=0tr t e i t t j

2 2( ) 2 ln( ) ; t=er t t i tj t k

23( ) ( ) (2 ) ( ) ; t=42

r t t i t j t t k

(3) Calcule el valor de la longitud de arco de la curva en el intervalo o entre los puntos indicados

( ) ( cos ) ( ) ; 1 4t tr t e t i e sent j t

33 2 32

1 1 2( ) ( 4) ; 3 5

3 3 3r t t i t j t k t

1 2( ) 4 3 ( ) 3 (cos ) ; (0,0,0); (12.5664,0, 9.4248)r t ti t sent j t t k P P

2 32( ) 3 3 ; 0 1

3r t ti t j t k t

2 3( ) (2 6) 2 6 ; 3 6r t ti t j t k t

3 3 2( ) cos ;

6 3r t ti sen tj t

1 2( ) 2 ln( ) ; (1,2,0); ( ,2 ,1)r t t i tj t k P P e e

(4) Encuentre la curvatura del radio vector en el punto indicado.

(5) ( ) ( cos ) ( ) ; (1,0,0,)t t tr t e t i e sent j e k P

322( ) 4 ; (1,4, 1,)r t ti t j t k P

2 3( ) ; (2,4,8)r t ti t j t P

(6) Determine la función que representa la función posición de acuerdo a las ecuaciones y condiciones iniciales dadas en cada ejercicio.

2 1'( ) ; (3) 2 5

2r t t i j r i j

2 2'( ) ( ) (2cos ) ; ( ) 0r t sen t i t j r

2 8'( ) 6cos(2 ) sec ( ) ; ( ) 3 2

4r t t i t j k r i j k

3"( ) ( ) ; '(0) 4 2 4 ; (0) 4 2tr t e i tj sen t k r i j k r j k

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES)

(1) Determine el dominio de las funciones indicadas.

a) 2 2

( , )xy

f x yx y

b) 2 2 2( , ) ( 36 )f x y x y

c) 2 2( , ) 4f x y x y y

(2) Calcule las primeras derivadas parciales de la función indicada

a) 2 2 54z x xy y

xf x y

c) 2 2cos (5 ) (5 )z x sen y

d) 3 2 24( , ) x y xf x y e

( , ) x yf x y xe

( , )2

x yf x y

(3) Determine el gradiente de la función dada

a) 2 3 2 4( , )f x y x x y y

b) 3 4( , )f x y x y y

c) 2 2 2( , , ) ( )f x y z x y sen z

d) 2 2 2( , , ) ln( )f x y z x y z

(4) La temperatura T en ºC, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado por

la ecuación 2 23 2 4( , , ) 4 y xT x y z x y z xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3)

a) La dirección, así como la razón del cambio máximo de temperatura.

b) La razón de cambio de la temperatura en la dirección 2 2a i j k indicando si aumenta,

disminuye o es invariante.

(5) El campo magnético B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está

dado por la ecuación 2( , , ) cos( ) ( )yB x y z xe x xy sen yz . Calcule en el punto (2, 0, --3)

a) La dirección, así como la razón del cambio máximo.

b) La razón de cambio del campo en la dirección 2 2a i j k .

(6) La distribución de iluminación L en luxes, en el punto (x, y, z) dentro de una habitación medida en metros,

está dado por la ecuación

2 24 41( , , )

y xL x y z z e . Calcule en el punto (1,2, 1) .

a) La dirección del cambio máximo de la iluminación. b) La razón del cambio máximo de la iluminación.

c) La razón de cambio de la iluminación en la dirección 2 3 6b i j k .

(7) Considere la función 3 2( , ) 3 4f x y x y y xy Determine en el punto P(1, 2)

a) La dirección, así como la razón de cambio de la máxima derivada direccional

b) La derivada direccional sobre el vector 4 3a i j

(8) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado

a) 2 3 2 2 3( , , ) ; M(3,2,1)F x y z xy z x y yz xz

b) 2( , , ) 2 +10 ; M(-5,5,1)F x y z xy yz xz

c) ( , , ) 2 cos ; M(0, 3,1)xF x y z e y z

(9) Determine las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y silla, si existen, de la función

3 2( , ) 48 32 24f x y xy x y

4 2( , ) 4 2 2f x y xy x y

3 3( , ) 3f x y x xy y 2 2( , ) 4 2 2 10 2f x y x y xy y x

2 2 2( , ) 6 3 4f x y xy x y 3 2 2( , ) 4 2f x y y y xy x

2 4( , ) 8f x y xy

3 3( , ) 72 70 68 66f x y x y xy y

(10) Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales ,z z

a) 2 2 3 3cos(4 ); ; z x y x u t y u t ; cuando 1, 2u t

b) 2 2 2 2; ; t tz x y x e y e ; cuando 0t

c) 2ln( 2 ); ( ); cosz x x y x u sent y u t ; cuando 2,

d) 2 2ln( )z x y ; x u t , 2y ut ; cuando 2, 1u t .

(11) La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/min, el radio disminuye a razón de 15 cm/min.

Calcule la razón de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm. (12) La longitud del cateto A un triángulo rectángulo crece a razón de 3 cm/min., la del cateto B decrece a

razón de 2 cm /min. Calcule la razón de cambio del ángulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100 cm y B = 120 cm

(13) En un tanque elástico en forma de cilindro circular recto entra agua a razón de 2 m3/min . El tanque se

expande pero conservando su forma, su radio crece a razón de 0.005 m/min. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m3?

(14) Sea el ángulo entre los lados iguales de un triángulo isósceles y sea “x” la longitud de estos lados. Si

x se incrementa a razón de ½ metro por hora y se incrementa a razón de radianes por hora, hallar la

tasa de cambio del área cuando x=6 y 4

(15) Los dos radios de un tronco de cono circular recto se incrementan a razón de 4 centímetros por minuto y

la altura decrece a razón de 2 centímetros por minuto. Hallar a qué velocidad cambian el volumen y el área superficial cuando los radios son de 35 y 50 centímetros, respectivamente y la altura es de 30 centímetros

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

(1) Evalúe las siguientes integrales iteradas

18 10 2

xx y dxdy

yx y dxdy

0cos ( )

x sen y dxdy

1 cos( )3

0 3cosrdrd

(2) Evalúe la integral 2 2

x y dA sobre la región encerrada por las curvas 0x y , x y localizada

en el primer cuadrante

(3) Evalúe la integral (cos(2 )R

x y dA sobre la región encerrada por las curvas

; 3 0; y x x y y

(4) Evalúe1

dAx sobre la región en plano XY:

2y x , 24y x x

(5) Evalúe 2 x

sobre la región en el plano XY: 2x y , 2y , 9x

(6) Evaluar ( , )R

f x y dA sobre la región de la figura

cos( )

y sen x

2 2 50x y

xsen y dA

(7) Cambiar el orden de integración y evauar la integral

yye dxdy

b) 1 1

ysen x dxdy

c) 22 2

xe dydx

yx senx dxdy

(8) Determine el volumen del sólido limitado por las gráficas de las funciones indicadas

a) 2 6, 0, 0, 0x y z x y z , primer octante

b) 2 2 4, 2 2 4x y x y z , primer octante

c) 2 2 24 , 2 , 0z y x y x z

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULAES

(1) Evalúe la integral indicada

a) 4 2 1

2 2 1( )x y z dxdydz

1 1 2(24 )

xy dzdydx

0 0 0cos( )

y y xdzdxdy

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS

Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Interior al cilindro 2 2 4x y , bajo la esfera

2 2 2 16x y z , sobre el plano 1z

(2) Paraboloide 2 2z x y , cilindro

2 2 25x y , planos 0; 36z z

a) Interior al cilindro b) Exterior al cilindro

(3) El cono horizontal 2 2x z y , el paraboloide

2 26x y z

(4) El cono 2 2 12z x y y el paraboloide

2 28z x y , en el PRIMER OCTANTE

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS

Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.

(1) Cono 2 2z x y ; esfera

2 2 2 9x y z

(2) Esfera2 2 2 4x y z ¸ planos verticales

3y x ; 3y x

(3) Bajo el plano 3z , exterior al cono 2 2z x y , interior al cono

2 23 3z x y ,

(4) Dentro de la esfera 2 2 2 1x y z , fuera del doble cono

2 2 2z x y

(5) Determinar z

e dv donde D es el sólido en el primer octante bajo la superficie 2 2z x y , interior al

cilindro 2 2 9x y , sobre el plano XY

FUNCIONES VECTORIALES DE UN VECTOR (CAMPOS VECTORIALES)

INTEGRALES DE LÍNEA

1) Evalúe la integral de línea C

ydx xdy zxdz donde C es la curva dada por las ecuaciones

cos x t y sent z t ; 0 t

2) Evalúe la integral de línea 2 2(6 2 ) 4

Cx y dx xydy donde C es la curva dada por las ecuaciones

3; ; 0 1x t y t t

3) Evalúe la integral de línea 3C

xydx xdy ydz donde C es la curva dada por

( ) cos( ) ( ) 2r t t i sen t j tk ; 02

4) Evalúe C

F dr donde

3 2( , )F x y y i x yj ¸ 2( ) t tr t e i e j ; 0 ln(2)t

TEOREMA DE GREEN

1) Por medio del Teorema de Green evalúa la integral de línea cerrada

2 3cosC

xy dx ydy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas 2 3, y x y x

2) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada

2 2( 2 cos ) ( )C

xy x y dx x seny dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas: 2y x ,

3) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada

2 2 3( 3 ) ( )C

y x y dx xy x dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada

por las gráficas 2y x , 2y x

4) Por medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea cerrada 2 31

xy xy dx y dy

donde C es la frontera encerrada por la gráficas x y , 21x y , 0y

Guía ETS Cálculo Vectorial 2012

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