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Contabilidad
Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
GUIA Nº 1 DE MATEMATICA SUPERIOR
EL CÁLCULO DIFERENCIAL
INTRODUCCIÓN
Es tradicional decir que Newton y Leibnitz inventaron el cálculo infinitesimal. Normalmente se atribuye a personas concretas las invenciones concretas, pero no los métodos generales, que suelen ser resultado de la evolución histórica de los problemas y de las soluciones particulares que se han ido dando a cada uno. Sin embargo, el cálculo infinitesimal se atribuye en concreto a los mencionados investigadores, habiendo sido el método que ha posibilitado la resolución de un mayor número de problemas dispares desde su descubrimiento. Desde este punto de vista, el trabajo de Newton y Leibnitz es extraordinario pero no es el único. La situación es semejante a la atribución a Einstein de la teoría de la Relatividad. Evidentemente su trabajo es enorme; pero su labor, como la de los anteriores, tiene el merito de haber sido de una síntesis y de una imaginación inmensa para conseguir unir todos los problemas en uno y dar una sola solución a todos ellos.
Contabilidad
Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
LIMITES
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una
función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado
valor. En cálculo concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de
convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
Limite de una función:
( ) 0, 0/0 ( )x cLim f x L x c f x L
Como se pude observar en al gráfico mientras los valores de x tanto por izquierda y derecha se Acercan a c sus respectivas imágenes se acercan a L. ALGEBRA DE LÍMITES Si existen y entonces: a) b) c) d) esto siempre y cuando LIMITE ESPECIAL
( )x aLim f x
( )x aLimg x
( ) ( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x g x Lim f x Limg x
( ) ( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x g x Lim f x Limg x
( ) ( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x g x Lim f x Limg x
( )( )
( ) ( )
x a
x a
x a
Lim f xf xLim
g x Limg x
( ) 0x aLimg x
11
x
xLim e
x
Contabilidad
Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
LIMITES LATERALES En el cálculo de límites, hay ocasiones, en las que la función a tratar no es la misma para todos los valores de existencia de la función. Es esos casos debemos de decidir que función tenemos que utilizar. Para eso utilizamos los límites laterales. Por ejemplo: Para nuestro estudio analizaremos el cálculo de los límites por derecha e izquierda de 1. De esta forma se concluye que SI hubieran sido distintos de decía que dicho límite no existía
2 1 3( )
3 2 3
x si xf x
x si x
3( ) 7
xLim f x
1( ) 7
xLim f x
1( ) 7
xLim f x
Contabilidad
Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
LIMITES AL INFINITO Sea f(x) una función definida en el intervalo .Diremos que el límite de f(x) cuando x tiene a es si los valores de x están próximos a como queramos con tal de tomar x>a suficientemente grande
,a
Será lo mismo limites al infinito
que limites infinitos.Investigalo
In
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TALLER Nº 1
I. Dada las funciones y considerando que no existe ,calcular los siguientes límites. 1. 3. 2. 4. II. Calcular los siguientes límites 1. 4. 2. 5. 3. 6.
III. Calcular los siguientes límites levantando la indeterminación 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8.
2( ) 8
xLim f x
2( )
xLim x
2( ) 0
xLimh x
2[ ( ) ( )]
xLim g x x
2[ ( ) ( )]
xLim g x f x
2( ) 4
xLimg x
2
( )
( )x
g xLim
f x
2[ ( ) ( )]
xLim g x f x
2
4( 9 8)
xLim x x
2
20
3 4 5
6 7 8x
x xLim
x x
4
22 1
xLim x x
3 2
6[( 4) ( 5) ]
xLim x x
3 2
1(4 3 2 1)
xLim x x x
5
1
1( )
xLim x
x
2
21
1
3 2x
xLim
x x
4 2
4 21
3 2
2 3x
x xLim
x x
4
31
1
1x
xLim
x
2
22
4
2x
x x xLim
x x
27
2 3
49x
xLim
x
2
2
2x
xLim
x
4
3 5
1 5x
xLim
x
0
1 1
x
x xLim
x
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IV. Sea Determinar si existe: V. Dado Calcular si existe el límite en los puntos 1 y 4 VI. Hallar los valores de a y b en cada caso, si existen los límites en los puntos indicados: a) b) VII.Halle los siguientes límites infinitos 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4 8.
2 , si 2
1 , si 2 1
2 1 , si 1
( )
x xx
x
x
x x
f x
1( )lim
xf x
2( )lim
xf x
2 3 , 0 1
( ) 3 , 1 4
1, 4 5
x x x
f x x x
x x
3 2
2
2
3 9 27, 3
3
2 1 , 3 3
22 57, 3
3
( )
x x xx
x
ax bx x
x xx
x
f x
2
3 2
2
, 1 1
( ) , 1 3
, 3
2
3
2
x
f x x
x
ax bx x
x
x x
bx x
0 3x 0 3x 0 3x 0 1x
6
2 3x
xLim
x
4 1
2x
xLim
x
3
2
2 1
1x
x xLim
x
3
2 1x
xLim
x x
1
xLim x
x
1
1x
xLim
x
2
5
3 2x
xLim
x x
4
3 2
2 3 1
2 1x
x xLim
x x
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Continuidad Definición: (Continuidad en un punto) Sea una función f definida en un cualquier intervalo I se dice que f función es continua en un punto si se cumple: i) f(a) exista ii) Exista
iii) Definición: (Continuidad en un Intervalo) Sea f una función definida en cualquier intervalo I, se dice que f es continua en el intervalo I si es continua en todos sus puntos. Geométricamente la representación de continuidad es la gráfica de una función que no presenta cortes ni saltos, es hecha en un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.
Función continua Función discontinua
Ejemplos de funciones continuas
1º Toda función polinómica es continua en R 2º Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.
3º Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos 4º Las funciones Irracionales son continuas en sus respectivos dominios
a I
( ) ( )x aLim f x f a
( )x aLim f x
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Definición (función discontinua en un punto)
Una función f se le llama discontinua en un punto si no se cumple algunas de las condiciones
de continuidad
Definición (Continuidad esencial) son de dos tipos
Continuidad esencial de Primera especie: cuando los límites laterales existen pero son
diferentes
Continuidad Esencial de Segunda Especie: Cuando por lo menos uno de los límites laterales
no existe
Definición (Continuidad evitable)
Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en
el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de
f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.
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Asíntotas Verticales
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes
condiciones:
i) ii)
iii) iv)
Ejemplo:
La recta x= 2 es una asíntota vertical
Asíntotas Horizontales
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
i)
ii)
( )x cLim f x
( )x cLim f x
( )
x cLim f x
( )x cLim f x
2( )
xLim f x
2( )
xLim f x
1( )
2f x
x
( )xLim f x L
( )xLim f x L
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Ejemplo:
La recta y=2 es una asíntota horizontal
Asíntotas Oblicuas
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
i) ii)
iii) iv)
Ejemplo:
La recta y=2x+2 es una asíntota oblicua
2( )
1
xf x
x
2lim 2
1x
x
x
2lim 2
1x
x
x
( )limx
f xa
x
( )limx
f xa
x lim ( ( ) )
xf x ax b
lim ( ( ) )x
f x ax b
22( )
1
xf x
x
2
2
( ) 2lim lim 2x x
f x x
x x x
22lim ( ( ) ) lim ( 2 ) 2
1x x
xf x ax x
x
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Un Límite especial
Interés compuesto continuamente.
Cuando el interés se cobra no sólo por el capital original sino también sobre los intereses
devengados, estamos frente al interés compuesto, la fórmula se obtiene
Donde:
: Es el monto final
C: es el capital inicial
t: es la tasa de interés
n: es el tiempo
Ejercicios
1. ¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 3 años por un préstamo de s/ 1000 000 con un
interés de 8% compuesto anualmente?
2. ¿Cuánto debería cancelar usted al cabo de 5 años por un préstamo de s/ 23 000 con un
interés de 10% compuesto anualmente?
1
0(1 ) x
xLim x e
(1 )n
nM C i
nM
Ten en cuenta que el tiempo
y la tasa deben estar siempre
en las mismas unidades
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Si el interés se capitaliza más de una vez al año:
Siendo
M: número de capitalizaciones en el año
n : Número de años
Ejercicios
1. Ejemplo una empresa pide prestado s/ 1000 000 al 8% de interés anual compuesto
trimestralemente.¿cuánto debe cancelar al cabo de 3 años?
2. ¿En cuánto tiempo S/ 10 000 produce una ganancia de S/ 7280, con una tasa de interés
compuesto del 20 % anual?
3. Un inversionista nos ofrece S/ 40 000 dentro de 2 años, siempre y cuando le entreguemos
una cantidad al 25 % anual. ¿Cuánto le debemos dar?
Capitalización continua
El interés se compone continuamente, aumentando “m” a tal punto que puede aproximarse al
infinito. Si m se aproxima al infinito. Si m se aproxima al infinito, el término (1 )mni
m
de la fórmula anterior se aproxima a ine , donde e es aproximadamente 2,71828 que está
definido como:
De donde el valor final de (M) de un capital cuyo interés se capitaliza continuamente sería
(1 )mn
n
iM C
m
12
3
0.081000000(1 ) 1268000
4M
(1 )in m
m
ie Lim
m
in
nM Ce
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Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
Ejercicios
1.-Una empresa pide prestado 300 000 soles a una tasa de interés de 8% anual compuesta
continuamente ¿Cuánto se debe pagar al final de tercer año?
0,08 3
3 300000(2,71828) 3813747xM
2.-Calcular el interés y el Monto que generará un documento financiero de s/ 3 000 000
durante 92 días si se considera una tasa de interés del 4 % anual con capitalización continua.
Taller N º 2
1. Indica los puntos en los que las funciones son continuas
a) d)
b) e)
c) f)
2. Analizar la continuidad o discontinuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados.
a) b)
02x
01x
2( ) 2 3f x x x
1( )
1
xf x
x
2( ) 1f x x
2
2
2 3( )
1
x xf x
x
2
1( )
6f x
x x
2( ) 4f x x
2
2 , 2
1 , 2
4
3 3 3 , 2
2
2
4
( )
x
x
xx
x
x x
x
f x
2 3
, 1
2 , 1
4
1 2 , 1
1
2 2 2 2
( )
x
x
xx
x
x x
x
f x
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c)
3. Determinar las constantes para que la función sea continua los puntos indicados
a) 2
2
2 , 1
1 5
, 5
1( ) ,
3 1 2
2 35
5
3 1 x
x
x
A
xf x
x
x x
Bx B
x x
b)
c)
4. Analiza que tipo de discontinuidad existe para cada función
i) ii)
iii) iv)
2
2 2 , 2
21
, 24
4 , 2
16 32
( )
xx
x
x
xx
x
f x
0
1x
2
2
2 , 2
42 , 2
3 3 3 , 2
2
( )
x xx
xx
xx
x
f x
2
2
3 , 3
91
, 32
2 10 4, 3
3
( )
x xx
x
x
xx
x
f x
2
2
2 , 2
41
, 24
3 3 3 , 2
2
( )
x xx
x
x
xx
x
f x
2
-x+6 , 2
5 , 2
x , 2
( )
x
x
x
f x
2 , si 3
2 , 3 2
3 2 , si 2
( )x c x
cx k si x
x k x
f x
2
3 2
2
, 1 12
( ) 3 , 1 3
, 32
ax bx xx
x
f x x x x
xbx x
03x
01x
05x
01x
02x
03x
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Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
5. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones
a) b)
c) d)
e) f)
6. Determinar si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable en x=-1.
a) b)
c) d)
7. Si se invierten 100 dólares a una tasa anual del 5% capitalizado continuamente,
encontrar el monto total final
8. Si se depositan s/ 100 en una cuenta de ahorros que gana interés a una tasa anual de
4 % capitalizable continuamente. ¿Cuál será el valor de la cantidad al final de 2 años?
9.-Si se invierten $/ 10000 a una tasa anual de 3% capitalizable continuamente,
encuentre el monto total al final de 2 años
10. La mesa directiva de una compañía acuerda redimir algunas de sus acciones
preferentes en 5 años. En ese tiempo se requerían S/ 1000 000.Si la compañía puede
invertir dinero a una tasa de interés anual de 5v% capitalizable continuamente. ¿Cuánto
debe invertir en ese momento de modo que el valor futuro sea suficiente para redimir
las acciones?
11. Un fondo de inversión se establece por un solo pago, de modo que al final e 30 años
habrá s/ 50 000 en el fondo. Si el interés se capitaliza continuamente a una tasa anual
de 6 %.¿cuánto de dinero debe pagarse inicialmente?
12. Encuentre el monto total y el interés compuesto si se invierten $ /4000 durante 6
años y el interés se capitaliza continuamente a la tasa de 9 %
13. Para una relación particular presa – depredador, se determinó que el número “y” de presas
consumidas por un depredador a lo largo de un período fue una función de la densidad de
presas “x” (el número de presas por unidad de área)
21
( ) xx
f x
2 4
5( )x
xf x
2
2 2( )
x
xx
f x
2
3 1( ) x
xf x
2
2
4
4 3( ) xx
x xf x
1
4( )
xf x
101 0.1
xx
y
2 6 7
1( ) xx
xf x
2 1
1( ) x
xf x
1( ) x
xf x
2 1
1( ) x
xf x
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Si la densidad de presas aumentara sin cota. ¿A que valor se aproximaría y?
14. La población de cierta ciudad pequeña t años a partir de ahora se pronostica que será:
Determine la población a largo plazo
3 2
3 2
36,000 10,000 5000( )
2 6N t
t t
t t
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DERIVADAS
Definición [Derivada de una función]
La derivada de una función en x viene dada por:
Siempre y cuando el límite exista
Definición [Recta tangente]
La recta tangente de una función f se define como en donde
Es la pendiente de la recta tangente.
Teorema:
“Si una función y = f (x) es derivable en x = a, entonces es continua en x = a ”
El teorema anterior establece una condición necesaria, pero no suficiente, para que una
función sea derivable. por lo tanto podemos asegurar que si una función que no es
continua en x = a, no será derivable ahí. Sin embargo conviene preguntarse si una
función continua en x = a, es derivable en ese punto. La respuesta es negativa.
Ejemplo: Sea f (x) = x calcular f ’(0)
0
( ) ( )(́ )
h
f x h f xf x Lim
h
( )f x mx b
(́ )m f x
Si una función tiene derivada
en un punto, se dice que ella es
derivable en dicho punto
0 0
0 0'(0) lím lím
h h
h hf
h h
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Con límites laterales tenemos que es 1, si h 0+, y –1 si h 0– . Por lo tanto este
límite no existe, luego f ’(0) no existe o no es derivable en x = 0.
Teoremas acerca del Álgebra de derivadas
Proposición: “ Si las funciones f, g son derivables en el punto x a, b, entonces las
funciones f + g, f – g, fg y f/g (g (x0) 0 ) son derivables en x0 y además:
Nota: Viendo la gráfica de la
función anterior ésta tiene una
“esquina aguda” o “punta” en x =
0. Lo cual anunciaremos como
“Una función es derivable en x = a
si es continua y “suave” en ese
punto”
Usaremos las
siguientes notaciones
para derivadas
df,́ (́ ), , ,
dxx
dyy f x f
dx
,
2
)[( )( )]´ (́ ) (́ )
)[( )( )]´ (́ ) (́ )
)[( )( )]´ (́ ) ( ) ( ) (́ )
'( ) ( ) ( ) '( ))
( )
i f g x f x g x
ii f g x f x g x
iii fg x f x g x f x g x
f f x g x f x g xiv
g g x
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Docente : Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
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Taller Nº 3
1. Aplicando la definición de derivada, hallar ( )f x
a) 2 1( ) xf x b) 22( ) x xf x
c) 2( ) 2f x x x d) 2 6( ) 5f x x
2. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k)
l) 32
1( ) x
xef x e m) 3 2 33( ) ( 4 4) 5 f x x x x n)
o) 1 x
xy
p)
2
2
22 1 1
2( ) ln xx
xbf x e
q) 2
2
1ln
x
xy
2 6ln(4 )y x
4 23 3xy x (2 3)(6 1) xy x 2
( 3)
1
x
xy
3 23 4x xy x 2 (2 3)( 3) xy x 2
(2 4)
7
x
x xy
3 28 1y x 7 3(2 3)(6 1) xy x
3
2
(2 3)
4
x
xy
2
3
x
xy
2 4 66 n 10( ) 5xL x x xf x te
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