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varios ejercicios resueltos
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Sistemas Electromecánicos, Guía II:”Transformadores”
1
GUÍA II : “TRANSFORMADORES”
1. El transformador de la figura tiene una tensión primaria de 115 [Vef] y debe entregar una tensión secundaria de Vs = 500 [Vef]. La frecuencia de la red es de f = 50 [Hz]. El material del núcleo puede ser usado con Bmax = 1.4 [T] y tiene un factor de apilamiento k1 = 0.95. Los devanados pueden trabajar con una densidad de corriente de J = 2 [A/mm2]. El factor de utilización de cada ventana del núcleo es k2 = 0.45 (Área de cobre / Área de la ventana)
Figura 1. Transformador, medidas en [cm].
a) Determine las vueltas Np y Ns de los devanados. b) Determinar la potencia nominal del transformador. c) Considerando que la resistividad del cobre es de ρ = 2·10-8 [Ω·m], estime las pérdidas totales en los devanados cuando operan a corriente nominal. Suponga que los extremos de la bobina son semicirculares.
Resolución:
a) Se tiene que:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
2
BqNfVefˆ····44.4= (1)
Donde:
][00342.0][2.346·6· 221 mcmkq === (2)
Despejando N y evaluando para el primario:
][10800342.0·4.1·50·44.4
115·ˆ··44.4
vueltasqBf
VN pef
p === (3)
De la misma forma para el secundario, utilizando Vsef = 500 [V], o bien:
][470108·115500· vueltasN
VV
N ppef
sefs === (4)
b) El área de la ventana está dada por:
][0018.0][186·3 22 mcmAAA spv ===+= (5) Definamos Aci como el área del conductor "i", entonces:
ci
i
AI
J = (6)
De donde se obtiene que:
css
cpp
AJI
AJI
·
·
=
= (7)
Figura 2. Ventana
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
3
Usando Àmpere en la ventana de la figura:
pspp
sppp
ININ
ININlH
··
··0·
=⇒
−==∂∫rr
(8)
Además según el factor de apilamiento:
22
22
···
···
kAN
AAkAN
kAN
AAkAN
csssscss
cppppcpp
=⇒=
=⇒= (9)
Reemplazando (9) en (5), y usando (7):
vsspp
ssppv
csscppv
AkJININJkIN
JkIN
A
kAN
kAN
A
······
··
··
2
22
22
=+⇒
+=
+=
(10)
Usando esto último con (8):
vpp AkJIN ····2 2= (11) Despejando Ip, se obtiene:
][7.1·
][5.72
0018.0·45.0·10810
1·2
2·
·6
2
AINN
I
AAk
NJI
pp
ss
v
pp
==
===−
(12)
Luego la potencia nominal del transformador es:
][8507.1·500·· VAIVIVS sspp ==== (13) c) Las pérdidas en el cobre son del tipo I2·R, donde:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
4
∑=ci
i
Al
R ·ρ (14)
Con: Aci corresponde al área del conductor "i"; Ai corresponde al área del devanado "i". Despejando de (9) Aci y reemplazando en (14):
mii
ii
i
i
i
ii lAk
Nl
AkN
AkNl
R ··
··
··
··
·222
ρρρ ∑∑ === (15)
Las pérdidas son:
s
msssssspérd
p
mpppppppérd
AklN
IRIP
AklN
IRIP
··
···
··
···
2
222
_
2
222
_
ρ
ρ
==
==
(16)
Usando de (10):
JkNI
AJk
NIA ss
spp
p ··
··
22
=∧= (17)
Con (8), Ap = As , por lo tanto:
msssspérd
mpppppérd
lJNIPlJNIP
········
_
_
ρ
ρ
=
= (18)
Considerando el esquema de la figura del enunciado:
][36.010)]·75.03·(·22·6[
][45.010)]·75.05.13·(·22·6[2
2
ml
ml
ms
mp
=++=
=+++=−
−
π
π (19)
Entonces:
][1.26][5.1136.0)·10·2)·(10·2·(470·7.1
][6.1445.0)·10·2)·(10·2·(108·5.768
_
68_
WPWP
WP
Totales
spérd
ppérd
=
==
==−
−
(20)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
5
2. El reactor de la figura está hecho con láminas de acero eléctrico M-15. las curvas de magnetización y de pérdidas de este acero se muestran en las figuras siguientes. El devanado se excita con una tensión sinusoidal para producir una inducción en el acero de B(t) = 1.4·sen(377·t). El factor de apilamiento del núcleo es 0.94. la densidad del acero es 7.65 [gr/cm3], N = 200 [vueltas]. Determine:
Figura 3. Reactor (medidas en pulgadas) y Circuito Simplicado
a) El voltaje aplicado en el tiempo b) El valor máximo de la corriente magnetizante Im. c) El valor efectivo de la corriente magnetizante (ayuda: regraficar la característica B – H en escala lineal). d) Las pérdidas en el núcleo. e) Se representa el reactor por el circuito eléctrico simplificado de la figura. e.1) ¿Cuánto vale Rfe? e.2) ¿Cuánto vale la corriente de vacío I0?
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
6
Figura 4. Curva de Magnetización
Figura 5. Pérdidas en el Núcleo
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
7
Resolución: a) Por Faraday:
)·cos(ˆ······ tBANtBAN
tN
tV ωωφ
−=∂∂
−=∂∂
−=∂Ψ∂
−= (21)
Donde:
][377
][00242.0]lg[76.394.0·2·2 22
segrad
mpuA
=
===
ω (22)
Entonces:
)·377cos(4.255)()·377·cos(4.1·377·00242.0·200)(
ttVttV
−=−=
(23)
b) Por ley de Ampere:
mm LHNI ·ˆ·ˆ = (24)
Donde Lm = 28 [pulg] = 0.7112 [m]; ][4.1ˆ TB = ; según curva B-H, ][25ˆmAH =
][09.0200
7112.0·25ˆ AIm == (25)
c) La característica B-H en escala lineal:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
8
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
H [AV/m]
B [T
]
Figura 6. Curva Lineal de Magnetización
Considerando que con ][4.1ˆ TB = el material no está totalmente saturado, lo que implica que la corriente magnetizante es aproximadamente sinusoidal
][063.02
ˆA
II m
mef == (26)
d) De la curva de pérdidas, se tiene que con ][4.1ˆ TB = :
][1kgWPc = (27)
De tal forma:
MasaPPérdidas c ·= (28)
Donde :
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9
][23.1725]lg[28.1052)·6·94.0·2·2(2)·2·94.0·2·8(
][65.7
·
32
3
cmpuVolumencmgr
VolumenMasa
==+=
=
=
δ
δ
(29)
Donde :
][198.13198.13·1][198.1365.7·25.17WPérdidas
KgMasa==⇒
== (30)
e) Se tiene que:
fe
effe P
VR
2
= (31)
Donde:
][6.1802
4.2552
ˆVVVef === (32)
Luego:
][3.2471198.136.180 2
Ω==feR (33)
Anteriormente se obtuvo:
][063.0 AImef = (34) Por su parte, la corriente a través de la resistencia del fierro es:
][073.03.2471
6.180 ARV
Ife
effe === (35)
Luego, sumando fasorialmente las corrientes se obtiene que:
][096.0220 AIII mfe =+= (36)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
10
3. Un transformador monofásico de 100 [kVA], 13200/230 [V], 50 [Hz], fue sometido a un ensayo en cortocircuito con corriente nominal, midiéndose 528 [V] y 1590 [W]. Ensayado en vacío con tensión nominal se middió 4.5 [A] y 318 [W].
a) Determine los parámetros del circuito equivalente T y expréselos en (pu), en Ω referidos al devanado de alta tensión, y en Ω referidos al devanado de baja tensión b) Para una carga de 80 [kVA], cos(φ) = 0.8 capacitivo, determine las corrientes en las ramas del circuito equivalente y expréselas en (pu), en [A] referidas al lado de alta tensión y en [A] referidas al lado de baja tensión. c) Exprese las pérdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal del transformador. d) Determine la regulación del transformador para las condiciones indicadas en b). e) Si la red es de 60 [Hz] y 13.2 [kV]. Determine las nuevas pérdidas del fierro nominales, suponiendo que las medidas a 50 [Hz] son 2/3 PH y 1/3 PF.
Resolución: a) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:
Figura 7. Ensayo de Cortocircuito
][016.010·100
1590)(
][040.013200
528)()(
3_ pu
SP
r
puvz
n
ncue
cce
===
=== (37)
Entonces:
][037.0)()()( 22 purzx eee =−=σ (38)
Las impedancias base:
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11
][53.010·100
230
][174210·100
13200
3
22
3
22
Ω===
Ω===
b
bsbs
b
bpbp
SV
Z
SV
Z (39)
Luego, las impedancias en el lado de alta:
][5.64)·(][9.27)·(Ω==
Ω==
bpee
bpee
ZxXZrR
σσ
(40)
Y en el lado de baja:
][0196.0)·(][0085.0)·(Ω==
Ω==
bsee
bsee
ZxXZrR
σσ
(41)
Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:
Figura 8. Ensayo de Vacío
Referido al lado de baja tensión
][4.1663182302
0
2
Ω===P
VR sn
fe (42)
Potencia reactiva en vacío:
][985)318()5.4·230( 220 VARQ =−= (43)
][7.539852302
0
2
Ω===Q
VX sn
m (44)
Referido al lado de alta tensión:
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12
][9.176)230
13200·(7.53)·('
][1.548)230
13200·(4.166)·('
22
22
Ω===
Ω===
kVV
XX
kVV
RR
sn
pnmm
sn
pnfefe
(45)
En (pu):
][10153.07.53)(
][31453.0
4.166)(
puZX
x
puZR
r
bs
mm
bs
fefe
===
=== (46)
b) Corriente en la carga, considerando ][º0230
*VVs ∠= y φ = arcos(0.8) = 36.9º
][º9.36348º0230
º9.3610·80 3
*
*arg
*A
V
SI
s
ac
s ∠=∠∠
== (47)
Figura 9. Circuito T equivalente
Caída de tensión en la rama de magnetización:
][º9.02.229)0196.0·0085.0·(21·
***VVjIV ssi ∠=++= (48)
Corriente magnetizante:
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13
][º1.893.4º907.53º9.02.229
·' *
*A
Xj
VI
m
i
m −∠=∠∠
== (49)
Corriente por Rfe:
][º9.04.14.166
º9.02.229' *
*
AR
VI
fe
i
fe ∠=∠
== (50)
La suma de (49) y (50) no da la corriente I':
][º1.715.4'''
***AIII fem −∠=+= (51)
Luego la corriente primaria vista desde baja tensión:
][º2.366.346º1.715.4º9.36348''
***
AIII sp ∠=−∠+∠=+= (52)
Refiriendo ahora dichas corrientes al lado de alta tensión, según:
13200230'·'·
1
2 INN
II == (53)
Entonces:
][º2.3604.6
][º9.0024.0
][1.89075.0
][º9.3606.6'
*
*
*
*
AI
AI
AI
AI
p
fe
m
s
∠=
∠=
−∠=
∠=
(54)
La corriente de base de alta tensión es:
][58.713200
10·100 3
AIbp == (55)
Luego las corrientes en (pu) son:
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14
][º2.36797.058.7
º2.3604.6)(
][º9.00032.058.7
º9.0024.0)(
][º1.890099.058.7
º1.89075.0)(
][º9.368.058.7
º9.3606.6)(
*
*
*
*
*
*
*
*
puI
Ii
puI
Ii
puI
Ii
puI
Ii
bp
p
p
bp
fe
fe
bp
m
m
bp
s
s
∠=∠
==
∠=∠
==
−∠=−∠
==
∠=∠
==
(56)
c) Considerando que el ensayo de cortocircuito se realizó a corriente nominal, las pérdidas de
cobre nominales en (pu) son:
][0159.010·100
1590)( 3_ pup ncu == (57)
Considerando que el ensayo de vacío se realizó a tensión nominal, las pérdidas del fierro en (pu) son:
][00318.010·100
318)( 3_ pup nfe == (58)
Luego el rendimiento estará dado por:
%1.9800318.00159.01
1
___
_
_
_ =++
=++
==ncunfenútil
nútil
nentrada
nsalidan PPP
PPP
η (59)
d) La regulación está dada por:
)()·())·cos(( φφε σ senxr een += (60) Además se tienen las siguientes relaciones para corrientes distintas a la nominal:
)(·)(
)·()·cos(
)(
)·()(·
·)·cos(
·____
φφφφε
σ
σ sen
ZV
IZX
ZV
IZR
senV
IXV
IR
bs
ns
sbs
e
bs
ns
sbs
e
ns
se
ns
se +=+= (61)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
15
%735.0))6.0·(037.08.0·016.0(435348
))()·())·cos(·((_
−=−+=
+=
ε
φφε σ senxrII
eens
s
(62)
e) Se tiene:
.··44.4
· cteAN
VBf == (63)
Luego las pérdidas de foucalt son constantes a cualquier frecuencia según:
2)··( BfkP FF = (64)
Sin embargo, las pérdidas por histéresis no lo son:
BkBBfkBfkP HHHH '·)···(·· 2 === (65)
Dependen de la inducción, pero:
65
65
6050
··
50
60
60
50
60
50
60605050
=⇒===⇒
=
H
H
Hz
Hz
Hz
Hz
HzHzHzHz
PP
ff
BB
fBfB (66)
Considerando los datos del enunciado:
][283][177)318·
65·(
32
][106318·31
6060_60
60
60
WPPPWP
WPHFnfe
H
F
=+=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==
== (67)
4. De los ensayos de vacío y cortocircuito de un transformador monofásico de 20 [kVA], 2400/240 [V], 60 [Hz] se obtuvo: con el devanado de alta tensión abierto V0 = 240 [V], I0 = 1.066 [A], P0 = 126.6 [W]; con el devanado de baja tensión cortocircuitado Vcc = 57.5 [V], Icc = 8.34 [A], Pcc = 284 [W]. Determine:
a) Los parámetros del circuito equivalente referidos al lado de baja tensión. b) La regulación y el rendimiento para plena carga con factor de potencia de la carga 0.8
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
16
inductivo.
Resolución: c) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:
Figura 10. Ensayo de Cortocircuito
][014.02400
10·20·34.8
284·1·)(
][024.02400
10·20·34.8
5.57·1·)(
2
3
2222
2
3
2
puVS
IP
ZIP
r
puVS
IV
ZIV
z
pn
n
cc
cc
bpcc
cce
pn
n
cc
cc
bpcc
cce
====
====
(68)
Entonces:
][019.0)()()( 22 purzx eee =−=σ (69)
Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:
Figura 11. Ensayo de Vacío
Referido al lado de baja tensión
][4556.126
2402
0
20 Ω===
PV
R fe (70)
Potencia reactiva en vacío:
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17
][222)6.126()066.1·240( 22
0 VARQ =−= (71)
][2592222402
0
20 Ω===
QV
X m (72)
La impedancia base de baja tensión es:
][88.22000024022
Ω===n
snbs S
VZ (73)
El circuito visto desde baja tensión es:
][º9.36348º0230
º9.3610·80 3
*
*arg
*A
V
SI
s
ac
s ∠=∠∠
== (74)
Figura 12. Circuito T equivalente
Considerando:
][259][455
][027.02)·(
2'
][020.02·
2'
Ω=
Ω=
Ω====
Ω====
m
fe
bseepp
bseeps
XR
ZxXXX
ZrRRR
σσσσ (75)
b) La regulación, con cos(φ) = 0.8 ind. (φ = 36.9º), está dada por:
%26.26.0·019.08.0·014.0)()·())·cos((
=+=+=
n
een senxrε
φφε σ (76)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
18
Para obtener el rendimiento a plena carga consideremos:
][º9.36240
10·20
][º0240
3
*
*
AI
VV
s
s
=−∠=
∠=
(77)
Figura 13. Circuito T equivalente
La tensión en la rama de magnetización es:
][º2.07.242
]º90027.0020.0º·[9.363.83º0240)··(
*
***
VV
XjRIVV
i
ssssi
∠=
∠+−∠+∠=++= σ
(78)
Luego la corriente en la rama de magnetización:
][º4.6008.1
][º2.053.0455
º2.07.242
][º8.8994.0º90259
º2.07.242·
***
*
*
*
*AIII
AR
VI
AXj
VI
fem
fe
i
fe
m
i
m
−∠=+=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
∠=∠
==
−∠=∠∠
==
(79)
Con esto:
][2.373.84'***
AIII sp −∠=+= (80)
Ahora las potencia activa tanto en el cobre, el fierro y la carga son:
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19
][3.15987)º9.36·cos(3.83·240)·cos(·][8.127455·53.0·
][9.280020.0·8.83020.0·3.84·'·'
arg
22
2222
WIVPWRIP
WRIRIP
ssac
fefefe
ssppcu
===
===
=+=+=
φ (81)
Entonces con esto último el rendimiento es:
%5.97arg
arg =++
=fecuac
ac
PPPP
η (82)
Nota: Se sabe que Sn = Vpn·Ipn , lo que nos lleva a que:
n
pn
pn
pnbp S
VIV
Z2
== (83)
Análogo para el secundario.
5. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7630/220 [V], 50 [Hz], tiene tensión de cortocircuito de 3.6% y pérdidas de cobre nominales de 2.5%..
a) Demostrar que (pcu n) = (re) y que (vcc) = (zcc). b) Calcule los valores en Ω de la resistencia y la reactancia de cortocircuito referidas al devanado de alta tensión.. c) El transformador tiene el 80% de la tensión nominal en el primario y entrega corriente nominal a una carga capacitiva pura. c.1) Determine la tensión en el secundario en [V]. c.2) Determine la regulación del transformador. c.3) Dibuje el diagrama fasorial.
Resolución: a) Definiendo la impedancia base como:
n
nb I
VZ = (84)
Entonces se tiene que:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
20
])[(··
)(2
__ pur
ZR
IVR
VIRI
SP
p eb
e
n
n
e
nn
en
n
ncuncu =====
(85)
Figura 14. Circuito Simplificado del Ensayo CC
Según la figura anterior:
])[(·
)( puzZZ
VZI
VV
v ccb
cc
n
ccn
n
cccc ==== (86)
b) Se tiene:
][025.0100
5.2)()(
][036.0100
6.3)()(
_ pupr
puvz
ncue
cccc
===
=== (87)
][026.0)()()( 22 purzx ecc =−=σ (88) La impedancia base de alta tensión es:
][116410·50
76303
22
Ω===n
pnbp S
VZ (89)
Entonces los parámetros en Ω primarios:
][3.301164·026.0)·(][1.291164·025.0)·(Ω===
Ω===
bp
bpee
ZxXZrR
σσ
(90)
c) Se tiene el siguiente circuito simplificado:
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21
Figura 15. Circuito Simplificado
Trabajando en (pu) se tiene que (vp') = 0.8 [pu] e (ip') = 1. Por LVK:
)]·()·())·[('()'(**
cepp xjxjriv −+= σ (91)
)](0026.0·[025.0º08.0º1
)]()·[()(
)'()'( *
*
c
ce
p
p
xj
xxjr
vi
++∠
=∠
−+=
α
σ (92)
Calculando el módulo de la corriente y despejando:
º88826.0)(
)](0026.0[025.08.01
2
=⇒=⇒
++=
αc
c
xx
(93)
c.1) La tensión en el secundario es:
][º27.181
º90826.0º·881·220)]·()['(
*
**
VV
xjIVV
c
cpsnc
−∠=
−∠∠=−= (94)
c.2) Consideremos la regulación como:
0
0
s
ss
VVV −
=ε (95)
Donde Vs0 corresponde a la tensión en el secundario en vacío, y Vs corresponde a la tensión en el secundario con carga. De este modo:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
22
%24.38.0·220
7.1818.0·220
V '
c
0
−=−
=−
=⇒
=
=
'VV'V
VVV
p
cp
s
ps
ε
(96)
c.3) Diagrama fasorial:
Figura 16. Circuito Simplificado
Con esto se tiene:
Figura 17. Diagrama Fasorial
Notar que la tensión del secundario es mayor que la del primario, esto es consecuencia de la carga capacitiva, se tiene regulación negativa
6. Dos transformadores monofásicos de 400 [kVA] cada uno, con igual relación de transformación operan en paralelo alimentando a una carga de 300 [kW] con factor de potencia 0.8 capacitivo. Las impedancias de los transformadores son Za = 0.5 + j·0.8 [Ω] y Zb = 0.75 + j·4 [Ω]. Calcule la potencia entregada por cada transformador.
Resolución:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
23
a) Consideremos el siguiente circuito equivalente de la situación que se presenta:
Figura 18. Circuito Equivalente Simplificado
Se tiene que º9.36)8.0cos( −== arφ y que:
][º9.36375º9.368.0*
kVAP
S cc −∠=−∠= (97)
Por LVK:
****VVVV cba === (98)
Entonces, considerando las potencias:
][º9.36375*·*·
*·*·
*·*·
*****
*****
*****
kVAIVIVS
IVIVS
IVIVS
cccc
bbbb
aaaa
−∠===
==
==
(99)
Las corrientes por cada transformador son:
***
***
º·4.1719.0·
º·97.382.0·
cab
acb
cba
bca
IZZ
ZII
IZZ
ZII
−∠=+
=
∠=+
=
(100)
Así las potencias, reemplazando (99.3) son:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
24
][5.1925.71*·º·4.1719.0*·
][º87.405.307*·º·97.382.0*·
*****
*****
kVAIVIVS
kVAIVIVS
cbb
caa
−∠=∠==
−∠=−∠== (101)
7. El transformador de la figura es alimentado a través de una resistencia R = 100 [Ω] con la tensión rectangular de la figura. El núcleo tiene característica B – H de la figura.
a) Grafique la corriente del primario I1(t) con t enntre 0 y 0.2 [s] b) Determine el valor efectivo de la tensión V2. Ayuda: Cuantifique y grafique B(t). Datos: A = 40 [cm2], Lfe = 20 [cm], N1 = 500, N2 = 50, R = 100 [Ω]:
Figura 19.
Resolución:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
25
a) Cuando el transformador no se encuentra en estado de saturación la inductancia magnetizante Lm tiende a ∞. Entonces la corriente del primario sea igual a cero, y la tensión primaria E1 igual a V1.
Es necesario saber si el transformador está en estado de saturación o no en un semiperiodo. Para esto, se debe calcular el tiempo que tarda en cambiar de -1.5[T] a 1.5[T], a través de:
tANtV
BtBAN
tNtV ∂=∂⇒
∂∂
=∂Φ∂
= ··)(
···)(1
1111 (102)
Entonces, considerando Br como 1.5[T], entonces la variación de B es de 2·Br, luego:
1
1
1
1
0 11
···2···2
)·(··
1·2
VANBt
ANtVB
ttVAN
B
rr
t
r
=⇒=
∂= ∫ (103)
Entonces evaluando, t = 0.03[s]. Considerando que un semiperiodo dura 0.05[s], el transformador alcanza a saturarse en un semiperiodo.
Así, cuando el trafo no está saturado:
005.1
1 =⇒∞→== IHB
feμ (104)
Cuando el trafo está saturado:
][211 A
RV
I == (105)
Para realizar los gráficos, se debe considerar
122211 101··)(··)( VV
tBANtV
tBANtV =
∂∂
=∂∂
= (106)
⎩⎨⎧
≤≤∧≤≤≤≤∧≤≤
=][1.008.0][05.003.0];[2
][08.005.0][03.00;01 ststA
ststI (107)
Se tiene entonces:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
26
10 3020 40 6050 70 80 90 100
10 3020 40 6050 70 80 90 100
10 3020 40 6050 70 80 90 100
10 3020 40 6050 70 80 90 100t[ms]
V2[V]
I1[V]
B[T]
V2[V]
1.5
-1.5
200
-200
2
-2
20
-20
Figura 20. Gráficas
b) El valor efectivo de V2(t) es:
][75.7]03.0·2003.0·20·[1.0
1)·(·1 22
0
222 VttV
TV
T
ef =+=∂= ∫ (108)
8. Las dimensiones lineales del transformador A son el doble de las correspondientes al transformador B. Ambos transformadores tienen igual número de vueltas, láminas de igual espesor en el núcleo, la misma inducción de trabajo, igual densidad de corriente y la misma frecuencia. El diámetro de los conductores también está en relación 2 a 1. Determine:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
27
a) Las potencias nominales B
A
PP .
b) Las reactancias de magnetización B
A
XX .
c) Las resistencias del fierro feB
feA
RR
.
Resolución: a) Para conocer la relación de potencias nominales es necesario conocer las relaciones de las
tensiones del primario y entre las corrientes del primario de uno y otro transformador. Según:
4·2ˆ····44,4
ˆ····44,4 2
1
1
1
1 ===⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
B
B
B
A
B
A
BB
AA
VV
BqfNV
BqfNV (109)
4)·()·2·(
)·()·(
··
2
2
2
2
1
1
1
1 ====⇒⎭⎬⎫
==
cB
cB
cB
cA
cB
cA
B
A
cBB
cAA
radioradio
radioradio
SS
II
SJISJI
ππ
ππ
(110)
De este modo:
16···
1
1
1
1
1
1
111
111 ==⇒⎭⎬⎫
==
B
A
B
A
B
A
BBB
AAA
II
VV
PP
IVPIVP
(111)
b) Las reactancias de magnetización están dadas por:
221·2·
··
··
··
··
2
2
2
22
22
====⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=ℜ
=
=ℜ
=
feA
feB
B
A
feB
Bfe
feA
Afe
mB
mA
feB
Bfe
BmB
feA
Afe
AmA
ll
lq
N
lq
N
LL
lq
NNL
lq
NNL
μ
μ
μ
μ
(112)
Entonces:
2··
==mB
mA
mB
mA
LL
XX
ωω
(113)
c) Según las pérdidas del fierro, con "cfe" definido como las pérdidas del fierro por unidad de
volumen:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
28
82·
·3 ===⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
B
A
feA
feA
BfefeA
AfefeA
VolVol
PP
VolcP
VolcP (114)
Así la relación entre las resistencias del fierro:
281·4· 2
21
21
21
21
===⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
feA
feB
B
A
feA
feA
feB
BfeA
feA
AfeA
PP
VV
RR
PVR
PV
R
(115)
9. Un generador alimenta a una industria mediante el circuito de la figura. El transformador T2 está compuesto por 3 transformadores monofásicos de 333 [kVA], Z = 0.00145 + j·0.0078 [Ω] referida al lado de baja tensión. La línea de distribución tiene una impedancia ZL = 0.14 + j·0.5 [Ω] por fase. La resistencia de cortocircuito del transformador T1 es despreciable. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la reactancia de cortocircuito de T1 (en %) si la regulación máxima admisible es de 10 % cuando la industria trabaja a plena carga con factor de potencia 0.9?
Figura 21. Sistema de Distribución
Resolución: a) La impedancia de cortocircuito de un transformador monofásico de T2 referida al lado de
alta tensión es:
][78.0·145.0240
34160
)·0078.0·00145.0(240
34160
·'
2
*2
*2 Ω+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= jjZZ (116)
El transformador está en delta estrella, es decir:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
29
LLsfasep VNN
V ·1
2= (117)
Entonces, el circuito equivalente por fase referido al lado de la línea de distribución
(4160[Vll]) resulta:
j·ZT1 j·0.51 j·0.780.14 0.145
Zc’
In
41603
ZL’ Z2’
Figura 22. Circuito Equivalente Referido a Línea de Distribución
Donde la corriente nominal es:
][8.1384160·3
10·V3
6
LLn
3 Ω=== nn
SI φ (118)
Según la ecuación de regulación:
·sen(φsV·XI
(φφ·V·RI
ε TnTn
11
cos += (119)
Donde RT = 0.285[Ω], V1 = 2402[V], XT = XT1+1.29 [Ω].
][1.2
436.0·2402
)29.1·(8.1389.0·
2402285.0·8.1381.0
1
1
Ω=⇒
++=
T
T
X
X (120)
Llevándolo a porcentaje, se tiene antes que:
][3.178.138
2402Ω===
fb
fbb I
VZ (121)
De este modo:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
30
%1.12100·% 11 ==
b
TT Z
XX (122)
10. Un grupo formado por 3 transformadores monofásicos idénticos de 100 [kVA], 2400/120 [V] conectados delta – estrella es alimentado a través de una línea de impedancia Z = 0.8 + j·0.3 [Ω] por fase. La tensión al comienzo de la línea es 2400 [V] entre líneas. La prueba de uno de los transformadores con su lado de aja tensión en cortocircuito ha entregado Vcc = 52 [V], Icc = 41.6 [A], Pcc = 950 [W].
a) Calcule la tensión entre líneas del secundario cuando se suministra corriente nominal a una carga trifásica con factor de potencia unitario. b) Calcule las corrientes en el primario y en el secundario del transformador y en los conductores de la línea cuando se produce un cortocircuito trifásico en los terminales del secundario. c) Efectúe los cálculos anteriores usando el sistema por unidad.
Resolución: a) Primero se debe obtener el circuito equivalente por fase:
Figura 23. Circuito Equivalente por Fase
Donde:
1202400
2
1 =NN (123)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
31
Reflejando la impedancia de carga *CZ en el primario, resulta:
Figura 24. Circuito Equivalente por Fase Reflejado en el Primario
Donde:
2
2
1
*
1
22
2
12
1
1
*' ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛===
NNZ
NNI
NNV
IVZ CC (124)
Debido a que el primario está en delta, entonces:
3
'**
1
*
C
TOTAL
ZZZ
+= (125)
Del ensayo de cortocircuito, con alimentación desde lado primario, se obtiene la magnitud de
*1Z , su parte real con la ecuación de potencia y su parte imaginaria:
[ ]Ω=== 25.16.41
52*1
CC
CC
IVZ (126)
[ ]Ω=== 55.06.41
950221
CC
CC
IPR (127)
[ ]Ω=−= 12.121
211 RZXσ (128)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
32
Finalmente la impedancia es:
[ ]
[ ]Ω+=
Ω+=
37.018.03
12.155.0
*1
*1
jZ
jZ
(129)
La carga tiene factor de potencia unitario:
2
2
1
*'' ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
NNRRZ CCC (130)
Resultando el circuito equivalente por fase:
Figura 25. Circuito Equivalente por Fase
La carga está alimentada con corriente nominal I1:
( )[ ]A
VS
IInLL
nn 2.72
2400310·100·3
3
3
1
311 ==== φ (131)
Usando LVK:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ++=
3
'*1
**1
*1
C
Lnn
RZZIV
º2.72
3
'*1
*
*1
*1 α∠=
++
=⇒C
L
n
n RZZ
VI
(132)
Reemplazando:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
33
( ) ( )3
'37.018.03.08.0
º03
2400
º2.72CRjj ++++
∠=∠α (133)
El módulo de dicha corriente es:
( )22
37.03.03
'18.08.0
32400
2.72
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=CR
(134)
Con lo que se obtiene:
[ ]Ω= 6.54'CR º2−=α
(135)
Entonces, se tiene que las tensiones de fase del secundario suponiendo Dy0:
[ ]VRIV Cn º21314
36.54º·22.72
3''
*1
*2 −∠=−∠== (136)
[ ]VNNVV º2114
32400120º·21314
3
'1
2
*2
*2 −∠=−∠==
(137)
Y la tensión entre líneas del secundario:
[ ]VVV LL º28197º·303*2
*2 ∠=+∠= (138)
b) Circuito equivalente por fase, al producirse un cortocircuito en los terminales del
secundario:
Figura 26. Circuito Equivalente por Fase, Cortocircuito de Terminales del Secundario
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
34
Se tiene entonces que la corriente por los conductores de línea del lado del primario es:
( ) ( ) [ ]AjjZ
Z
VI
L
º34116737.018.03.08.0
º03
2400
3*1
*
*1
*1 −∠=
+++
∠=
+
= (139)
Figura 27. Equivalencia de Corrientes
Por equivalencia según la figura, en los devanados del primario circula una corriente:
[ ]AI
I º64674º303
*1
*1 −∠=−∠=Δ (140)
Y en los devanados del secundario:
[ ]ANNIIS º6413480
1202400º·64674
2
1
*1
*−∠=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−∠== Δ (141)
c) En (pu) se tiene:
[ ]puV º01*1 ∠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ (142)
Impedancia base del primario:
[ ]Ω=== 2.1910·100·3
24003
2
3
21
1φn
nLLb S
VZ (143)
Luego las impedancias en (pu) son:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
35
[ ]pujZ
ZZ
b
L
L º21045.02.19
3.08.01
*
*∠=
+==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ (144)
[ ]pujZ
ZZ
b
º64021.02.19
37.018.033 1
*1
*1
∠=+
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(145)
Figura 28. Circuito Equivalente por Fase en (pu).
Luego la corriente por los conductores de la línea (lado del primario):
[ ]puZ
Z
VI
L
º341.16º64021.0º21045.0
º01
3*1
*
*1
*1 −∠=
∠+∠∠
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
(146)
Como se está trabajando en (pu) resulta:
[ ]puIII ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Δ*1
*1
*2 (147)
Considerando las corrientes bases:
[ ]AV
SI
nLL
nb 2.72
2400·310·100·3
3
3
1
31 === φ (148)
[ ]AII bb 7.41
31
1 ==Δ (149)
( ) [ ]AV
SI
nLL
nb 3.833
120·3·310·100·3
3
3
2
32 === φ (150)
Comprobando las corrientes obtenidas anteriormente son:
i. en línea del primario:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
36
[ ]AIII b º3411622.72º·341.161*1
*1 −∠=−∠=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 51)
ii. En devanados del primario:
[ ]AIII b º64671º307.41º·341.16º301*1
*1 −∠=−∠−∠=−∠⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ΔΔ 52)
iii. En devanados del secundario:
[ ]AIII bSSS º34134163.833º·341.16**
−∠=−∠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (153)
Nota: Las pequeñas diferencias se deben a la aproximación y no uso de decimales.
11. La figura simboliza a un transformador trifásico de 3 devanados con el primario en conexión estrella, un secundario en delta y el otro secundario (terciario) en estrella. Este transformador alimenta a 2 rectificadores controlados, tal como se muestra en la figura, en lo que se conoce como rectificador de 12 pulsos, equipo muy utilizado en el control de alta potencia.
a) Haga el conexionado completo del transformador, especificando cómo van las bobinas en el núcleo, considerando una conexión del tipo Yd11 (P-S) e Yy0 (P-T). b) Determine la relación de transformación entre P-S y P-T para que las tensiones secundarias tengan igual valor, c) ¿Cuál es el ángulo de desfase entre las tensiones de los secundarios?
Figura 29. Transformador Trifásico
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
37
Resolución: a) Entre primario P y secundario S, suponiendo configuración Yd11:
Figura 30. Diagrama Fasorial entre P y S
Entre primario P y secundario T (terciario), suponiendo configuración Yy0:
Figura 31. Diagrama Fasorial entre P y T
Las conexiones son como se muestra a continuación:
Figura 32. Conexiones
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
38
b) Se requiere la siguiente condición:
TLLSLL VV = (154)
Considerando las siguientes relaciones de S y T con respecto a P:
SLL
PLL
S
P
VV
NN
=3
S
PSLLPLL N
NVV 3=
(155)
TLL
PLL
T
P
VV
NN
= (156)
Reemplazando VPLL en la segunda relación, resulta:
TLL
S
PSLL
T
P
VN
NV
NN
3
= (157)
Considerando la condición requerida, TLLSLL VV = , se llega a la relación entre las vueltas en los devanados del secundario y el terciario:
S
P
T
P
NN
NN 3
=
TS NN 3=⇒ (158)
c) Al observar los diagramas fasoriales de la parte a) se observa que, el ángulo entre
*aSV y
*aTV es 30º.
12. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7620/200 [V], 50 [Hz] tiene una impedancia de cortocircuito reflejada al devanado de alta tensión Zcc = 23+j·58 [] y es alimentado con 7.62 [kV] en el primario.
a) Determine la corriente (en [A]) que circula por el primario cuando en el secundario se conecta un condensador de 3180 [μF].
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
39
b) Determine la tensión de salida en la carga (en [V]) con la carga del punto a). c) Tres de estos transformadores se conectan formando un banco trifásico con conexión triángulo en el lado de alta tensión y conexión estrella en el lado de baja tensión. El banco trifásico es conectado a una red de 7.62 [kV] y alimenta una carga resistiva trifásica en conexión estrella de 2 [Ω] por fase. Determine: i. El circuito equivalente por fase referido al lado de baja tensión. ii. La tensión en la carga. iii. Las corrientes (magnitud) entregadas por la red de alimentación
Resolución: a) Consideremos el siguiente circuito equivalente simplificado:
Figura 33. Circuito Equivalente
Se tiene entonces que la impedancia del condensador es:
][110·3180·50··2
1·1
6 Ω=== −πω CX c (159)
Luego la impedancia del condensador reflejada al primario:
][1452200
7620·1·' 2
2
22
21
22
21
21 Ω=====
VV
X
XVV
PV
X c
c
c (160)
La corriente por el primario es entonces:
][º8946.5)145258·(23
º07620'·
*
*1
*A
jXjZ
VI
ccc
∠=−+∠
=−
= (161)
b) Luego la tensión que cae en el condensador es:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
40
][º17928º901452º·896.54)'··('**
VXjIV cc −∠=−∠∠=−= (162) Es necesario ahora reflejar esta tensión al secundario, para ello:
][º108.2087620200'·'·
1
2 VVNNVV ccc −∠=== (163)
c) Consideremos la figura:
Figura 34. Circuito Delta Estrella
Pasándolo a equivalente estrella – estrella:
Figura 35. Circuito Delta Estrella
Luego, el circuito equivalente por fase:
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
41
Figura 36. Circuito Delta Estrella
Luego, referido a baja tensión:
040.0·016.03
'
7620200)·58·23(·
3
·33
'
*
22
1
2
*
2
1
2**
jZ
jNN
ZNNZZ
cc
cc
cccc
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
(164)
Luego la tensión que cae en la carga se obtiene con un divisor de tensión, y es de:
][4.198040.0)2016.0(
2·20022
VVc =++
= (165)
Y por último la corriente de entrada. Para ello calculamos primero la corriente que pasa
por la carga, y que es la corriente que entrega el secundario del trafo.
][2.992
4.198' AR
VI c === (166)
Finalmente la corriente por las líneas de alta tensión:
][5.4
37620200·2.99
3
'·1
2 ANN
II =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= (167)
Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”
42
13. Dibuje el diagrama de conexiones de un transformador trifásico:
a) Yd1. b) Dy11. c) Yz5
Resolución: Según VDE 0532 se tiene que la primera letra indica la forma de conexión del pimario (D:
Delta, Y: estrella). La segunda determina la forma de conexión del secundario (d: delta, y: estrella, z: zigzag). Y finalmente el número "a" indica 30º·a de desfase entre las tensiones del primario y secundario.
Entonces se tiene:
a) Yd1: Estrella – Delta con 30 º de desfase.
b) Dy11: Delta – Estrella con desfase de 330º (-30º).
c) Yz5: Estrella –Zigzag con 150º de desfase.
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