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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 1 de 15
Guía de Estudio No.7 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada: Graficación mediante el Cálculo Diferencial (Guía Complementaria No.7 – 2do Parcial)
Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás
elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su
respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) Para los ejercicios mostrados en los incisos del No.1 – No.13, determine todas sus características como ser: dominio, asíntotas, interceptos, intervalos de monotonía, máximos-mínimos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión, con el objetivo final de realizar la gráfica de la función propuesta.
1.-) 33)( xxxf
2.-) 82)( 24 xxxf
3.-) 2
4 1)(
x
xxf
4.-) x
xxf
2)(
2
5.-) 1
4)(
2
x
xxxf
6.-) xxxf ln)(
7.-)
1ln)(
x
exf
x
8.-) 1
23)(
2
2
x
xxxf
9.-)
1
2ln)(
x
xxf
10.-) xx
xx
xf 302
24
)(2
34
11.-) xexxf 23)(
12.-) 21
)(x
xxf
13.-) 1ln)( 2 xxxf
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 2 de 15
Bibliografía Utilizada en la Selección/Solución de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning
Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill
Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas.
Universidad de Chile. Santiago de Chile. 11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma
de Honduras (UNAH). Tegucigalpa, Honduras. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República
Bolivariana de Venezuela. 13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.
Santiago de Chile, Chile. 14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. 15. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa.
Universidad de Valencia. Valencia, España. 16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José
Antonio Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela. JUCELO1209® D.R.2015
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Guía de Estudio No.7 – 2do Parcial
Aplicaciones de la Derivada: Graficación mediante el Cálculo Diferencial (Guía Complementaria No.7 – 2do Parcial)
SOLUCIONARIO v1.0
1.-) 3xx3)x(f
0,arribahaciaconcava;,0abajohaciaconcava
0,0Plexióninfdepuntos
A/N.E.Nx"f0x
0x60x"fcoscrítipuntos
x6)x("f
Derivadada2ladeCriterio).5
,1U1,eDecrecient;1,1Creciente2,1PMáximo;2,1PMínimo
A/N.E.Nx'f1x
0x330x'f
coscrítipuntos
x33)x('f
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NtotassinA).3
0,0PIy0,3P;0,0P;0,3PIxcortedePuntos).2
RiominDo).1
22
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Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 4 de 15
2.-) 8x2x)x(f 24
31,3
1abajohaciaCóncava,31U3
1,arribahaciaCóncava
56.8,31P,56.8,3
1PlexióninfdePuntos
A/N.E.Nx"f3
1x
04x120x"f4x12)x("f
Derivadada2ladeCriterio).5
1,0U1,eDecrecient;,1U0,1Creciente8,0PMáximo;9,1P,9,1PMínimo
A/N.E.Nx'f
1x;04x4;0x
04x4x
0x4x40x'f
x4x4)x('f
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NtotassinA).3
8,0PIy0,2P;0,2PIx
CortedePuntos).2
RiominDo).1
22
2
2
3
3
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3.-) 2
4
x1x
)x(f
A/NInflexióndePuntos
xfdeiomindodelfueraestá0xpero
0x0x.E.Nx"f
A/N3x
3x
03x20x"f
x3x2
x3xx2
x"f
xx3x
2x
x3x3x42
xx3x3x4
2x
x31xxx42x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
1,0U1,eDecrecient;,1U0,1CrecientetienenoMáximo;2,1P,2,1PMínimo
0x0x.E.Nx'f
1x01x0x'f
x1x2
)x('f
x1xx2
xx2x2
xx2x2x4
xx2x2x4
x
x21xxx4x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
x1x
limxx
1x
limm
A/NbmxyO
A/Nx
1xlimH
0xV
totassinA).3
tienenoIytienenoIx
CortedePuntos).2
0xRiominDo).1
4
4
4
4
4
4
6
42
6
26
6
266
6
266
23
2433
34
3
4
4
4
4
5
4
55
4
55
22
423
3
4
x
2
4
x
2
4
x
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4.-) x2
x)x(f
2
,2abajoCóncava;2,arribaCóncava;A/NlexióninfdePuntos
xfdeiomindodelfueraestá2xpero
x20x2.E.Nx'f
A/N080x"f
x2
8
x2
x2x8x2x4x48
x2
xx42x2x24
x2
x2xx42x2x24
x2
1x22xx4x2x24x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
,4U0,ntoDecrecimie;4,2U2,0oCrecimient8,4PMáximo;0,0PMínimo
xfdeiomindodelfueraestá2xpero
x20x2.E.Nx'f
4x0x4;0x
0x4x0xx40x'f
x2
xx4)x('f
x2
xx2x4
x2
1xx2x2x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
2x2
x2lim
x2x2xx
limxx2
xlimx1
x2x
limb
1xx2
xlim
xx2
x
limm
2xybmxyO
A/Nx2
xlimH
2xV
totassinA).3
0,0PIy0,0PIx
cortedePuntos).2
2xRiominDo).1
3
33
22
3
2
4
22
4
22
22
2
2
2
22
2
2
x
2
x
2
x
2
x
2
2
x
2
x
2
x
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5.-) 1x
4xx)x(f
2
,1abajoCóncava;1,arribaCóncava;A/NInflexióndePuntos
xfdeiomindodelfueraestá1xpero1x
01x.E.Nx"f
A/N080x"f
1x
8
1x
10x4x22x2x2x2
1x
5x2x21x2x2
1x
1x5x2x21x2x2
1x
11x25x2x1x2x2x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
A/NntoDecrecimie;,1U1,oCrecimienttienenoMáximo;tienenoMínimo
xfdeiomindodelfueraestá1xpero1x
01x.E.Nx'f
cerostieneno05x2x0x'f
1x
5x2x
1x
4xx1xx2x2
1x
14xx1x1x2x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
01x
xx4xxlim
1x1xx4xx
limx11x
4xxlimb
1xx
4xxlim
x1x
4xx
limm
xybmxyO
A/N01x
4xxlimH
1xV
totassinA).3
4,0PIy0,562.2P;0,562.1PIx
CortedePuntos).2
1xRiominDo).1
3
33
22
3
2
4
22
22
22
22
2
2
2
22
2
2
22
x
2
x
2
x
2
2
x
2
x
2
x
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6.-) xlnx)x(f
,16abajohaciaCóncava;16,0arribahaciaCóncava227.1,16PlexióninfdePuntos
xfdeiomindodelfueraestá0xpero0x0x4.E.Nx"f
x160x40x"f
x4x4
x44x2x
x4
22xx2x2
1
x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
4,0eDecrecient;,4CrecienteA/NMáximo;614.0,4PMínimo
xfdeiomindodelfueraestá0xpero0x0x2.E.Nx'f
4x02x0x'f
x22x
xx22xx
xx2x2x
x1x2
1x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
0x1
limx
1lim
1x
1limH'L
x1
limxxln
limxx
limx
xlnxlimm
A/NbmxyO
A/NxlnxlimH
0xV
totassinA).3
cosnúmerimétodosporcálculoA/NIyA/NIx
CortedePuntos).2
,0iominDo).1
2
222
21
xx
xxxxx
x
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7.-)
1xe
ln)x(fx
A/NabajohaciaCóncava;,1arribahaciaCóncavaA/NlexióninfdePuntos
xfdeiomindodelfuera1xpero1x
01x.E.Nx"f
A/N010x"f
1x
1
1x
2x1x
1x
12x1x1x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
2,1eDecrecient;,2CrecienteA/NMáximo;2,2PMínimo
xfdeiomindodelfuera1xpero1x01x.E.Nx'f
2x02x0x'f
1x2x
1x11x
1x1
1)x('f
1xlnx1xlnelnx1xlneln1x
elnxf
Derivadaera1ladeCriterio).4
1xlnlimx1xlnxlimx1xlnelnlimx1x
elnlimb
11x2x
lim1
1x11
limH'Lx
1xlnxlim
x1xlneln
limx
1xe
ln
limm
A/NbmxyO
A/Nln
e1
ex
1limln
e1e
1
1xe
limln1x
elnlimH
1xV
totassinA).3
A/NIyA/NIx
cortedePuntos).2
,1iominDo).1
2
222
xx
xx
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xxx
x
xx
x
x
x
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
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8.-) 1x
2x3x)x(f
2
2
,26.2U11.0,37.1abajohaciaCóncava;26.2,11.0U37.1,arribahaciaCóncava054.0,26.2P;66.1,11.0P;78.2,37.1PInflexióndePuntos
A/N01x.E.Nx"f
26.2x;11.0x;37.1x026.2x11.0x37.1x
02x18x6x60x"f
1x
2x18x6x6
1x
2x18x6x6
1x
x12x8x122x2x6x6
1x
x43x2x31x2x6
1x
x21x23x2x31x2x6x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
39.1,72.0eDecrecient;,39.1U72.0,Creciente08.3,72.0PMáximo;08.0,39.1PMínimo
A/N01x.E.Nx'f
39.1x;72.0x39.1x72.0x
03x2x30x'f
1x
3x2x3)x('f
1x
x4x6x23x3x2x2
1x
x22x3x1x3x2x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NO
1y11x
2x3xlimH
A/NV
totassinA).3
2,0PIy0,2P;0,1PIx
cortedePuntos).2
RiominDo).1
3223
32
23
32
23
32
2323
32
22
42
2222
222
22
2
22
2323
22
22
2
2
x
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9.-)
1x2x
ln)x(f
,2abajohaciaCóncava;1,arribahaciaCóncavaA/NInflexióndePuntos
iomindodelparteformanno1x,2xpero
1x;2x01x2x.E.Nx"f
iomindo
delparteformano21xpero
21x
01x20x"f
1x2x
1x23
1x2x
1x23
2xx
1x232xx0x"f
2xx3
2x2xx3
1x2x3x'f
Derivadada2ladeCriterio).5
A/NeDecrecient;,2U1,CrecienteA/NMáximo;A/NMínimo
iomindodelparteformanno1x,2xpero1x;2x
01x2x.E.Nx"f
A/N030x'f
1x2x3
1x2x2x1x
1x1
2x1x'f
1xln2xln1x2x
lnxf
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NO
0y01ln1x2x
limln1x2x
lnlimH
2x,1xV
totassinA).3
A/NIyA/NIx
cortedePuntos).2
,2U1,iominDo).1
22
22222
2
22
xx
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10.-) x302xx2
4x)x(f
23
4
082.4,082.0abajohaciaCóncava,,082.4U082.0,arribahaciaCóncava
506.47,082.4P,462.2,082.0PInflexióndePuntos
A/N.E.Nx"f082.4x;082.0x
0082.4x082.0x01x12x30x"f
1x12x3)x("f
Derivadada2ladeCriterio).5
5,3U2,eDecrecient;,5U3,2Creciente75.51,3PMáximo;75.43,5P,42,2PMínimo
A/N.E.Nx'f5x;2x;3x
05x2x3x030xx6x0x'f
30xx6x)x('f
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NOA/NHA/NV
totassinA).3
acalculadorresueltoIx0,0PIy0,0P;0,34.3PIx
cortedePuntos).2
RiominDo).1
2
2
23
23
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Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 13 de 15
11.-) x23ex)x(f
,0U64.0,37.2arribahaciaCóncava;0,64.0U37.2,abajohaciaCóncava0,0P,073.0,64.0P,116.0,37.2PlexióninfdePuntos
A/N.E.Nx"f
64.0x;37.2x;A/N;0x064.0x37.2x;A/N;0x
03x6x2;0e;0x
0x2x63xe20x"f
x2x63xe2)x("f
ex4ex12xe6ex4ex6ex6xe6
2exex322exex23x"f
ex2ex3x'f
Derivadada2ladeCriterio).5
23,eDecrecient;,2
3Creciente
A/NMáximo;168.0,23PMínimo
A/N.E.Nx'f
23x;A/N;0x
0x23;0e;0x
0x23ex0x'f
x23exex2ex32exex3x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
exlimxex
limm
A/NbmxyO
A/NexlimH
A/NV
totassinA).3
0,0PIy0,0PIx
CortedePuntos).2
RiominDo).1
2x2
2x2
2x2
x23x22x2x23x22x22x2
x23x22x22x2
x23x22
x22
x22
x22x23x22x23x22
x22
x
x23
x
x23
x
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 14 de 15
12.-) 2x1x
)x(f
3,0U3,abajohaciaCóncava;,3U0,3arribahaciaCóncava
43,3P,0,0P,4
3,3PInflexióndePuntos
A/N0x1.E.Nx"f
3x;0x
03x;0x2
03xx2
0x6x20x"f
x1
x6x2
x1
x4x4x2x2
x1
x4x1x1x2
x1
x2x12x1x1x2x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
,1U1,eDecrecient;1,1Creciente2
1,1PMáximo;21,1PMínimo
A/N0x1.E.Nx'f
x10x10x'f
x1
x1
x1
x2x1
x1
x2xx11x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
A/NO
0y0x1
xlimH
A/NV
totassinA).3
0,0PIy0,0PIx
CortedePuntos).2
RiominDo).1
32
2
2
3
32
3
32
33
32
22
42
2222
222
22
2
22
22
22
2
2x
Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
Guía Complementaria No.7 y Solucionario – Graficación mediante el Cálculo Diferencial Página 15 de 15
13.-) 1xlnx)x(f 2
,1U1,arribahaciaCóncava;A/NabajohaciaCóncava;A/NInflexióndePuntos
xfdeiomindodelfueraestá,1xpero1x
01x.E.Nx"f
A/N02x20x"f
1x
2x2
1x
x2x4x22x2x2x2
1x
x21x2x1x2x2x"f
Derivadada2ladeCriterio).5
41.2,1eDecrecient;,41.2U1,CrecienteA/NMáximo;84.0,41.2PMínimo
xfdeiomindodelfueraestá,1xpero1x
01x.E.Nx'f
41.2x;41.0x041.2x41.0x
01x2x0x'f
1x1x2x
1xx21x
1xx2
1x'f
Derivadaera1ladeCriterio).4
1xlnlim1xlnlimx11xlnxlimb
1011x
x2lim1lim
11x
x2
limH'L1limx
1xlnlim
xx
limx
1xlnxlimm
A/NbmxyO
A/N1xlnxlimH
1xV
totassinA).3
cosnúmerimétodosporcalculadofueIx**A/NIy
0,148.1PIxCortedePuntos).2
,1U1,iominDo).1
222
22
2
22
2323
22
22
22
2
2
2
2
2
2
x
2
x
2
x
2xx
2
xx
2
xx
2
x
2
x
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