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Lunes 7 de Septiembre de 2015. Semestre 2016-1
1
Guía de Problemas para el Examen Parcial #2. Curso de Cálculo Diferencial e Integral I.Grupo 4037. Profesor: Héctor de Jesús Argueta Villamar. Facultad de Ciencias. UNAM.
1. Dibujar el conjunto de todos los puntos ( , ) x y del plano cartesiano que satisface cada una
de las siguientes condiciones. Justificar detalladamente su respuesta.
Indicación: En la mayor parte de los casos la imagen será una parte apreciable del plano
cartesiano y no simplemente una recta o una curva).
a) x y b) 1 x y c)2 y x<
d)2 y x e) 1 x y f) 1 x y
g) .es un entero x y + h)
1.es un entero
x y
+
i)2 2
0 x y
j)2 2( 1) ( 2) 1 x y k)
2 4 x y x l) 0 xy
m) 1 1 x y- = - n) 1 x y ñ) 2 2 x y
Funciones
2. Dadas las funciones ( ) , f x x R y ( ) [ ], [ 2,3] g x x x . Proporcionar los
dominios de las funciones f g , , f
g fg y f g , así como sus respectivas gráficas.
Indicación: recordar que el símbolo [ ] x denota el mayor entero menor o igual que
x . Por ejemplo: 3 5[ ] 1, [ 0.5] 0, [ ] 3, [0.9] 1,[ ] 3 ,
3. Las siguientes funciones tienen como dominio los números reales, determinar si son inyectivas,
o suprayectivas , o biyectivas. Demostrar su respuesta.
) ( ) [ ]i f x x x 3) ( )ii f x x ) ( ) 3iii f x x
) ( ) sen( )iv f x x 2) ( ) 2v f x x x ) ( ) cos( )vi f x x
4. Investigar si cada una de las siguientes funciones con dominio los números reales, es par o
impar o ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.
3) ( )i f x x 2
1) ( )
1i i f x
x
2
) ( )1
xiii f x
x
2
2) ( )
1
xi v f x
x
2
2) ( ) xv f x
2 3) ( )vi f x x
) ( ) 3 1vii f x x
1) ( )
xviii f x
3) ( )ix f x x
3 2) ( ) x f x x
1) ( ) xi f x x
x
2
2
1) ( ) xii f x x
x
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Lunes 7 de Septiembre de 2015. Semestre 2016-1
2
5. Demostrar que cada una de las siguientes funciones, con Dominio los números reales, es
acotada.
2
1) ( )
1i i f x
x
2
) ( )1
xi i i f x
x
Tomar casos: 0 1 1 x o x , etc.
2
2) ( )
1
xi v f x
x
6. ¿Es cada una de las siguientes funciones creciente o decreciente en el intervalo (0, ) ? o
ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.
2) ( )i f x x 2
1) ( )
1i i f x
x
2
2) ( )
1
xiii f x
x
) ( ) xi v f x
7. ¿Es cada una de las siguientes funciones creciente o decreciente en el intervalo ( ,0) ? o
ninguna de las dos cosas. Demostrar su respuesta.
2
) ( )i f x x 2
1
) ( ) 1i i f x x
2
2) ( ) 1
x
iii f x x ) ( ) xi v f x
8. Sea1
( ) , 0 f x x x
= " ¹ . ¿Cuál es el Dominio de cada una de las siguientes reglas de
correspondencia?
( )( )) f f xi
1) f
xii
æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø
( 3 )) f xiii
- ( ) f xiv )
9. Las siguientes dos funciones están definidas en el conjunto de los números reales.
Sean2( ) g x x= y
0,( )
1,
x racional h x
x irracional
=ìïïíïïî
Realizar lo que se pide en cada uno de los siguientes incisos:
) ¿ ( ) ?i Para cuáles t es h t t £ ) ¿ ( ) ( ) ?ii Para cuáles t es h t g t
£
) ( ( )) ( )iii Calcular g h w h w
- ) ¿ ( ) ?iv Para cuáles w es g w w
£
) ¿ ( ( )) ?v Para cuáles r es g g r r = ) ¿ ( ) 4 ?vi Para cuáles x es g x
£
10. Encontrar el dominio de las funciones definidas por las expresiones matemáticas.
2) ( ) 1-i f x x= ( ) 2) 1 1ii f x x= - -
1 1) ( )
1 2 iii f x
x x= +
- -
2) ( ) 1iv f x x x= - +
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) ( ) 1 2v f x x x= - + + 2) ( ) 1vi f x x x= -
2) ( ) 2vii f x x= +
) ( ) 5viii f x x= -
1) ( )
1
xi x f x
x
+=
- 2
1) ( )
9
x x f x
x
+=
-
1) ( )
9
x xi f x
x
+=
-
1) ( )
4
x xii f x
x
-=
+
2) ( )
2
x xiii f x
x x=
- 2
4) ( )
4
x xiv f x
x
-=
-
( )
36) ( )
1 3
x xv f x
x x
-=
+ +
3, 3) ( )
10 , 1
x si x xvi f x
x si x
ì + £ïï= í
ï >ïî
11. Sean2( )r x x= , ( ) 2 x P x = y ( ) ( ) s x sen x= , ( ) f x x y ( ) 2 3 g x x . Calcular la
regla de correspondencia que se pide:
( )) ( )i r P t ) ( )( )ii r s w ) ( )( )iii f g u
( ) ( )) ( ) ( )iv r P s t s P t + 3) ( )v s t ) (g )( )vi f u
) ( )( ) ( )( )vii f g t g f t 1( )) xviii f
1( )) xix g
12. Expresar cada una de las siguientes funciones ( ) f x en términos , ,r P s
usando solamente
, , + × . Por ejemplo la función )i es P s . En cada caso, el resultado debe ser una
función.
sin( )) ( ) 2 xi f x = ) ( ) sin 2 xi i f x = 2
( )) sin f xiii x
2) ( ) siniv f x x= 2) ( ) 2t
v f x = ) ( ) sin(sin 2 ) xv i f x
13. Demostrar que la función ( ) [ ], f x x x x R tiene periodo 1.
14. Demostrar que si ( ) f x está definida para todo x R y es periódica entonces no es inyectiva.
15. En cada caso se supone que el dominio de la función son los números reales. Demostrar su
respuesta.
a) Dar un ejemplo de una función par.
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b) Dar un ejemplo de una función impar
c) Dar un ejemplo de una función acotada.
d) Dar un ejemplo de una función no acotada
e) ¿Qué significa que una función tenga período 0 p ? Dar dos ejemplos.
f) Exhibir un ejemplo de una función, que no sea monótona no creciente (esto es, que
decrece o se mantiene).
g) Exhibir un ejemplo de una función, que sea inyectiva, pero que no sea monótona
creciente ni monótona decreciente.
16. a) Si f es par o impar y g es para o impar, entonces f g es par, impar o ninguna de las
dos cosas. Las soluciones pueden ser convenientemente dispuestas en una tabla de 2x2.b) Hágase lo mismo para f g (multiplicación).
c) Hágase lo mismo para f g (composición).
Límites
17. A partir de la definición de límite (( )
, demostrar que
2
2) 4
xi lim x
®=
1) 1
xii lim x
®=
20
1) 1
1
xiii
xlim®
=-
2
1 1)
1 3
xiv lim
x®=
+
3
1) 1
2
xv lim
x® -= -
+ 2
) 2 x
ix lim x®
=
21
1) 1
xvii lim
x®=
0
2) 0
1
x
xviii lim
x®=
+
1
1) 1
2 xv lim
x
® -=
+
18. a) Demostrar que si ( ) 0 x alim g x®
= , entonces1
( ) 0 x alim g x sen
x®
æ öç ÷ =ç ÷ç ÷è ø
b) Demostrar que si ( ) 0 x alim g x®
= , entonces ( ) cos( ) 0 x alim g x x®
=
19. Para cada uno de los siguientes incisos:
Dados los números , 0 a L y > determinar 0 > tal que x Dom f " Î y
0 x a
< - < implica ( ) f x L - <
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5
La función a L 1 0 > 2 0 >
) ( ) 1 2i f x x= - 1a = - 3 L = 1 0 01 .= 2 0 001 .=
2) ( ) 4ii f x x= - 2a = 0 L = 1 0 01 .= 2 0 0001 .=
3) ( )iii f x x= 1a = 1 L = 1 0 002 .= 2 0 001 .=
20. Demostrar que:
Si f es una función definida en el conjunto de los números reales, cuya regla de
correspondencia es:
0,( )
1,
x irracional f x
x racional
=
ìïïíïïî
Entonces ( ) x alim f x®
no existe, cualquiera que sea a .
Indicación: Un esbozo de la gráfica de esta función puede ayudar.
Los siguientes ejercicios los pueden consultar en el libro: Cálculo de Arizmendi, Carrillo y Lara. Procedimientos para el
Cálculo de Algunos Límites.
21. Suponiendo que
01
( )
x
sen x
xlim®
= 01cos( )
x xlim
®=
00( )
x sen xlim
®=
Calcular los siguientes límites:
0
(5 ))
x
sen xi lim
x®
2
0
( ))
h
sen hii lim
h®
0
( ))
x
sen axiii lim
x®
0
(5 ))
(2 )
x
sen xiv lim
sen x®
( ) ( ))
x a
sen x sen av lim
x a®
-
-
20
( ))
(2 )
h
sen hvi lim h
sen h®
æ öç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø
cos( ) cos( ))
x a
x avii lim
x a®
-
-
0
( ) ( ))
h
sen x h sen xviii lim
h®
+ -
0
cos( ) cos( ))
h
x h xix lim
h
22. Calcular los siguientes límites:
21
1)
1
x
xi lim
x®
-
-
6
3
729)
3
x
xii lim
x®
-
-
2
22
6 8)
2 8
x
x xiii lim
x x®
+ +
- -
2
32
4)
8
x
xiv lim
x®
-
+
4 2
4 21
2)
10 9
x
x xv lim
x x®
+ -
- +
2
3 22
3 5 2)
2 3 6
x
x xvi lim
x x x®
- -
- + -
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6
9
31
1)
1
x
xvii lim
x®-
+
+
2
24
20)
2 8
x
x xviii lim
x x®
+ -
- -
2
22
6 16)
10 16
x
x xix lim
x x®
+ -
+ -
23. Calcular los siguientes límites.
2
1
1)
1
x
xi lim
x®
-
+
3
2
8)
2
x
xii lim
x®
-
-
3
3
8)
2
x
xiii lim
x®
-
-
) n n
x y
x yiv lim
x y®
-
- )
n n
y x
x yv lim
x y®
-
-
0)
h
a h avi lim
h®
+ -
24. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones, trazando una cantidad suficiente de sus
puntos en el plano cartesiano, para obtener una idea del aspecto general, y poder responder
las preguntas siguientes:
¿Qué ocurre cuando x está muy próximo a 0? ¿Qué ocurre cuando x es muy grande? ¿Qué
posición ocupa la gráfica en relación con la gráfica de la función identidad? ¿Por qué es
suficiente considerar sólo números reales positivos?
1) ( )i f x x
x
1) ( )ii f x x
x
2
2
1) ( )iii f x x
x
2
2
1) ( )iv f x x
x
Bibliografía
Michael Spivak. Calculus
3ª edición. Editorial Reverté
Haaser, Lassalle y Sullivan. Análisis
Introducción al Análisis Matemático Vol. 1.Editorial Trillas
Arizmendi, Carrillo, Lara. Cálculo.
Primer Curso. Editorial Limusa
Ignacio Canals Navarrete, Manuel Meda
Vidal, Rafael Pérez Flores, Carlos Antonio
Ulín Jiménez. Coordinador: Ernesto Javier
Espinosa Herrera. CÁLCULO
Diferencial.Editorial Reverté. 2009
Sitio de interés:Cálculo interactivo: http://newton.matem.unam.mx/calculo1/
Fecha del Examen Parcial #2:Viernes 9 de octubre de 2015. De 16:00 a 18:00 horas, en el salón de clases.
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