Hidrostatica

DR. NESTOR LANZA MEJIA

FAMILIA LANZA MEITCHOUK

9/5/2012

CAP. 2:

FUNDAMENTOS DE LA HIDROSTATICA

NELAME

CAPITULO 2: FUNDAMENTOS DE LA HIDROSTATICA NELAME

DR. NESTOR JAVIER LANZA MEJIA sábado, 11 de mayo de 2013 11:25:26 AM Page 2

Contenido

2 FUNDAMENTOS DE LA HIDROSTATICA ..................................................................................................... 3

2.1 PRESIÓN EN EL LÍQUIDO ................................................................................................................... 3

2.2 PROPIEDADES DE LA PRESION HIDROSTATICA ................................................................................. 5

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO DEL LÍQUIDO Y SU INTEGRACIÓN ........................... 7

2.4 ECUACIONES FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA ....................................................................... 9

2.5 ALTURA PIEZOMÉTRICA. VACÍO. MEDICIÓN DE LA PRESIÓN ......................................................... 11

2.5.1 PRESION ABSOLUTA ............................................................................................................... 11

2.5.2 PRESION MANOMETRICA ...................................................................................................... 11

2.5.3 PRESION DE VACIO ................................................................................................................. 11

2.5.4 ALTURA PIEZOMETRICA ......................................................................................................... 11

2.5.5 ALTURA MAXIMA DE VACIO .................................................................................................. 12

2.5.6 ESCALA PARA MEDIR PRESIONES ........................................................................................... 13

2.5.7 DISPOSITIVO PARA MEDIR PRESIÓN ...................................................................................... 15

2.6 PRINCIPIO DE PASCAL ..................................................................................................................... 17

2.7 DIAGRAMAS DE LA PRESIÓN........................................................................................................... 18

2.8 FUERZA DE PRESION DEL LIQUIDO SOBRE UNA PARED PLANA. ..................................................... 19

2.8.1 PUNTO DE APLICACIÓN DE LA FUERZA DE PRESIÓN. ............................................................. 20

2.8.2 MOMENTO DE INERCIA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS. ............................... 22

2.9 FUERZA DE PRESIÓN DEL LÍQUIDO SOBRE SUPERFICIE CILÍNDRICA Y ESFÉRICAS. ......................... 24

2.10 PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES ............................................................................................................ 27

2.11 EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS FLOTANTES (CASO ESPECIAL DE LA FUERZA DE EMPUJE). ............. 28

2.12 EQUILIBRIO RELATIVO DEL LÍQUIDO ............................................................................................... 31

2 FUNDAMENTOS DE LA HIDROSTATICA

La estática de los fluidos es la ciencia que estudia las condiciones de equilibrio de éstos en reposo, el cual consiste en el estudio de los problemas sobre fluidos donde no existe movimiento relativo entre los elementos de éstos. De acuerdo con lo anterior, la viscosidad no tiene efecto en los problemas de estática, y es relativamente fácil obtener soluciones analíticas exactas para estos problemas.

2.1 PRESIÓN EN EL LÍQUIDO

Debido a la fluidez del líquido (movilidad de sus partículas), en él no pueden actuar fuerzas concentradas y solamente es posible la acción de fuerzas continuamente distribuidas en su volumen o por su superficie. Por lo tanto, las fuerzas que actúan sobre los volúmenes de líquidos y que son respecto a estos fuerzas exteriores, las cuales se subdividen en masa y superficiales.

Las fuerzas de masa son proporcionales a la masa del cuerpo líquido o, para líquidos homogéneos, a su volumen. estas, ante todo, son la fuerza de gravedad y, después, las de inercia del movimiento de traslación, que actúan sobre el líquido que, hallándose en un reposo relativo, es trasladado en sus recipientes con un movimiento acelerado o que se halla en movimiento relativo en los recipientes que los limitan.

Las fuerzas superficiales están continuamente distribuidas por la superficie del líquido y son proporcionales al área de la misma (si su distribución es uniforme).

En el caso general, la fuerza superficial R, que actúa sobre la superficie A, está dirigida bajo cierto ángulo respecto a éste; la fuerza R se puede descomponer en sus componentes: la normal P y la tangencial T (ver fig. 2.1).

Fig. 2.1 .- Descomposición de la fuerza superficial en dos componentes.

La primera componente, si está dirigida hacia el interior del volumen, se denomina fuerza de presión, la segunda, fuerza de rozamiento.

En Hidromecánica tanto las fuerzas de masa como las superficiales se estudian generalmente como fuerzas relacionadas con las unidades correspondientes. Las fuerzas de masa se relacionan con la unidad de masa, y las superficiales, con la unidad de superficie.

Puesto que toda fuerza de masa es igual al producto de la masa por la aceleración, en cada caso la fuerza de unidad de masa será, por consiguiente, numéricamente igual a la aceleración correspondiente.

La tensión normal, o sea, la de la fuerza de presión, se denomina, en el caso de reposo de los líquidos, presión hidrostática, o bien, simplemente presión y se designa con la letra P.

Si la fuerza de presión Pf está uniformemente distribuida por la superficie A o si se quiere determinar el valor medio de la presión hidrostática, se emplea la fórmula:

En el caso general, la presión hidrostática en un punto dado es igual al límite, al que tiende la relación entre la fuerza de presión y la superficie sobre la cual aquélla actúa, cuando el valor de la superficie tiende a cero, es decir, al contraerse ésta a un punto:

En el sistema internacional de unidades (SI) como unidad de presión se ha adoptado una presión uniformemente distribuida, con la cual sobre una superficie de 1 m2 actúa una fuerza de 1 Newton o

sea: Pam

Desde el punto de vista técnico hasta ahora, se utiliza también el sistema de unidades MKGFS (metro,

kilogramo fuerza, segundo), en el cual como unidad de presión se adopta 2

Se aplica también ampliamente la unidad que no pertenece a ningún sistema: Atmósfera técnica que es igual a kilogramo-fuerza por cm2, o sea:

La presión Atmosférica (Patm ) está definida como la acción de un Kilogramo - Fuerza en un área de un centímetro cuadrado.

2.2 PROPIEDADES DE LA PRESION HIDROSTATICA

Como ya se ha indicado anteriormente dentro de los líquidos en reposo es posible solamente una forma de esfuerzo, el de compresión, es decir, la presión hidrostática.

Es necesario tener en cuenta las siguientes dos propiedades de la presión hidrostática en los líquidos.

1. La presión hidrostática en el líquido está siempre dirigida según la normal al interior del volumen del líquido que se examina. Esta propiedad se desprende directamente de la definición de la presión, como presión de una fuerza comprimente normal.

2. La presión hidrostática en cualquier punto interior del líquido es igual en todas las direcciones, es decir, la presión no depende del ángulo de inclinación de la superficie sobre la que actúa en dicho punto.

Se puede demostrar esta propiedad, si se tiene en un líquido en reposo, un volumen elemental en forma de tetraedro rectangular con aristas paralelas a los ejes de coordenadas e iguales a dx, dy y dz respectivamente (Fig. 2.2.)

Fig. 2.2.- Presión hidrostática es igual en todas las direcciones

Supóngase que una fuerza de unidad de masa, cuyas componentes son iguales a X, Y, Z, actúa sobre el líquido cerca del volumen elegido.

Designamos con Pxf la fuerza de presión hidrostática que actúa sobre la cara normal del eje Ox, y con Pnf la fuerza de presión hidrostática que actúa sobre la cara inclinada en dirección n, y la superficie de esta cara con dA. Todas presiones están dirigidas según las normales a las caras respectivas.

Apliquemos la ecuación de equilibrio al volumen escogido de líquido en la dirección del eje Ox.

Dónde: el tercer término de la parte izquierda de la igualdad es la fuerza de masa que actúa sobre el tetraedro a lo largo del eje Ox. Sustituyendo según la expresión (2.1), las fuerzas Pxf y Pnf, obtendremos:

Dónde: cosθx – es el coseno director de proyección de la fuerza Pnf.

Dividiendo cada término de esta ecuación por la superficie (½ dy dz), que representa la proyección de la cara inclinada dAn sobre el plano YOZ, y, por consiguiente, es igual a:

Obtenemos:

Si las dimensiones del tetraedro van disminuyendo hasta cero, el último término de la ecuación que contiene el factor dx también irá disminuyendo hasta cero, permaneciendo las presiones Px y Pn como magnitudes finales.

Por consiguiente, en el límite obtendremos:

Aplicando de un modo análogo las ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes Oy y Oz, después de razonamiento semejantes se tendrá:

Puesto que las dimensiones del tetraedro dx, dy y dz han sido elegidas a voluntad, la inclinación de la superficie dAn es también arbitraria y, por consiguiente, al reducirse el tetraedro a un punto, la presión sobre éste será idéntica en todas las direcciones.

De tal manera, la presión se determina solamente por la disposición de un punto dado en el espacio.

Entre otras palabras, la presión hidrostática forma parte del campo de magnitudes escalares.

2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO DEL LÍQUIDO Y SU INTEGRACIÓN

Obtengamos las ecuaciones diferenciales de equilibrio del líquido en el caso general, cuando sobre este último actúa no solo la fuerza de la gravedad, sino también otras fuerzas de masa, por ejemplo, las fuerzas de inercia.

Escojamos en el líquido un volumen elemental en forma de paralelepípedo rectangular con aristas paralelas a los ejes de coordenadas e iguales respectivamente a dx, dy y dz (Fig. 2.3)

Fig. 2.3.- para deducción de las ecuaciones diferenciales de equilibrio del líquido.

Examinaremos las condiciones de equilibrio del volumen escogido del líquido.

1. La presión P es la función de las coordenadas x, y, z, o sea P = f(x, y, z), pero junto al punto M es igual a lo largo de todas las tres aristas del paralelepípedo. Al pasar del punto M, por ejemplo, al punto N cambia sólo una coordenada x en una magnitud infinitesimal dx, por lo

cual la función adquiere un incremento igual diferencial parcia

2. Por eso la presión en el punto N será igual a

Dónde:

- es el gradiente de presión junto al punto M en dirección del eje x.

3. Una fuerza resultante de masa (fuerza de la gravedad, las fuerzas de inercia) cuyas componentes referidas a la unidad de masa, son iguales a X, Y, Z. Una fuerza de masa: dG=(ρ dx dy dz) X Dónde: X - es la proyección de la aceleración a de las fuerzas de masa sobre el eje x.

La proyección de las fuerzas de presión y las fuerzas de masa sobre el eje Ox es igual a:

Dividiendo esta ecuación por la masa del paralelepípedo y de forma análoga para los ejes Oy y Oz, obtenemos

El sistema de ecuaciones diferenciales de la hidrostática antes deducidas se denomina ecuaciones de Euler. (Euler Leonard 1707-1783 es un conocido matemático, físico, mecánico. Nació y adquirió la instrucción en Basel (Suiza). Más de 30 años vivió en Petersburgo, colaborando en la Academia de las Ciencias de Rusia).

Para los líquidos incompresibles, la densidad no depende de la presión, por eso es una constante.

Para el uso práctico multiplicamos el primer término de la ecuación (2.6) por dx, la segundo por dy, la tercero por dz y sumando todas las tres ecuaciones, obtendremos:

El trinomio comprendido entre paréntesis representa el diferencial completo de presión, o sea

La ecuación obtenida expresa el incremento de la presión dP condicionado por la variación de las coordenadas en las magnitudes dx, dy, y dz, en el caso más general de equilibrio del líquido. La ecuación (2.8) se denomina ECUACION FUNDAMENTAL DIFERENCIAL DE LA HIDROSTATICA.

Desde la ecuación (2.8) se puede obtener la ecuación para superficie de nivel. Si la densidad del líquido es constante y su presión también constante, entonces

2.4 ECUACIONES FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA

Supongamos que entre las fuerzas de masa sobre el líquido actúa sólo la de la gravedad y dirigimos el eje z por la vertical hacia arriba, entonces X = Y = 0, Z = - g. tendremos:

Al integrar esta fórmula (2.11), tendremos:

La ecuación (2.12) se denomina la ecuación fundamental de la hidrostática en el campo de las fuerzas de gravedad.

Hallemos la constante de integración de la condición de que z = z0 en la superficie libre (Fig. 2.4), cuando P = P0, por consiguiente:

Fig. 2.4.- Para la deducción de la ecuación de la hidrostática fundamental

Desarrollando la integral, obtenemos

Sustituyendo en la ecuación (2.13) la diferencia (z0 – z) por h, obtendremos otra forma de la relación en función de la profundidad

Hemos llegado a la otra forma de la ecuación fundamental de la hidrostática.

NOTA: Si los puntos están en el mismo plano horizontal, entonces, las presiones son las misma y se denomina plano isobárico.

Otra forma de demostración de la ecuación fundamental de hidrostática

Como solo actúan fuerzas normales, el cual el fluido esta en reposo la fuerzas que actúan son de presión y gravedad.

Conclusiones de la ecuación fundamental de la hidrostática. 1. En un líquido en reposo, la presión aumenta con la profundidad, y es proporcional a esta si

la densidad es constante y es expresada por la ec. (2.14).

2. En varios líquidos, a profundidades iguales (plano horizontal o plano isobárico) la presión aumenta con el peso específico del líquido, o con la densidad, proporcionalmente.

3. La superficie libre de un líquido en equilibrio es un plano horizontal o plano isobárico.

4. Cuando varios líquidos no miscibles (incapaces de mezclarse) se superponen por orden de densidades decrecientes y su superficie de separación son planos y horizontales.

2.5 ALTURA PIEZOMÉTRICA. VACÍO. MEDICIÓN DE LA PRESIÓN

2.5.1 PRESION ABSOLUTA

Se determina según la ecuación fundamental de la hidrostática (2.14)

2.5.2 PRESION MANOMETRICA

Es la presión que causa el peso de la columna líquido (o sea es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica).

Cuando P0 = Patm=0 (recipientes abiertos), entonces

2.5.3 PRESION DE VACIO

Si la presión absoluta en el líquido es menor que la atmosférica, entonces se dice que tiene lugar la cavitación o presión de vacío.

2.5.4 ALTURA PIEZOMETRICA

La altura piezometrica hp es igual a la altura de la columna de líquido dado correspondiente a la presión dada (absoluta o manométrica). La altura piezométrica se puede observar en el piezómetro, uno de los instrumentos más simples para medir la presión. El piezómetro es un tubo de vidrio dispuesto verticalmente, cuyo extremo superior se comunica con la atmósfera y el inferior está unido al volumen del líquido en que se mide la presión.

La suma de cota de altura del punto z y de la altura piezométrica g

, (Fig. 2.5) se denomina altura

de carga piezometrica

Fig. 2.5.- Piezómetro acoplado al depósito

2.5.5 ALTURA MAXIMA DE VACIO

Tememos un tubo con un pistón, hagamos bajar su extremo inferior en un recipiente con líquido y elevamos gradualmente el pistón, como se muestra en la Fig. 2.6.

Fig. 2.6.- aspiración del líquido por un embolo. Presión de vacío

El líquido se elevará a cierta altura hvacio., sobre la superficie libre con presión atmosférica. Según la ecuación (2.14) la presión absoluta del líquido bajo el pistón será igual a:

Y la magnitud del vacío

A medida que se eleva el pistón, la presión absoluta del líquido bajo el pistón irá disminuyendo. Si el líquido fuese agua, la altura de vacío máxima será igual en metros de columna de agua:

El dispositivo más sencillo para medir el vacío es un tubo de cristal. La presión de vacío en el recipiente puede medirse, bien con la ayuda del tubo en U.

Para medir presiones mayores de 0.3 Pa, se emplean manómetros mecánicos, de tubo flexible o de placa elástica. El principio de su funcionamiento se basa en la deformación de un tubo flexible o placa elástica bajo la acción de la presión que se mide. Esta deformación se transmite por un mecanismo a la aguja, que indica en un cuadrante la presión, como el Manómetro de Bourbon.

2.5.6 ESCALA PARA MEDIR PRESIONES

En la Mecánica de los fluidos se tiene dos formas de medir las presiones, una escala que corresponde al cero absoluto, donde el valor de la presión es siempre positivo y otra escala es con el valor de la presión atmosférica, donde el valor de la presión se puede ser negativo o positivo de acuerdo, si esta es mayor (presión manométrica positiva) que la presión atmosférica y si es menor (presión manométrica negativa o de succión o de vacío) que la presión atmosférica. Esto se puede resumir en el esquema que representa las escalas de medición de presión.

Las presiones se puede expresar mediante cualquier base de referencia, ya sea con respecto al cero absoluto o la presión atmosférica local o manométrica.

2.5.7 PRESION ATMOSFERICA

Está definida como la presión de 1.033 kilogramo fuerza que actúa un centímetro cuadrado, o sea Patm= 1.033 Kgf/cm2.

La presión atmosférica se puede expresar en diferentes formas, tales como:

Medida KPa Psi Plg Hg mm Hg Pie de agua bar

Patm 101.3 14.7 30 760 34 1.013

La presión se pueden expresar en altura del líquido, ver fig. 2.5, que sería la forma más practica en laboratorio para medir esta, por ejemplo:

A. PARA EL AGUA

La densidad del agua a 4ºC es igual a 1000 kg/m3, utilizando la ec. 2.17, y despejando la altura producida por la presión atmosférica, se tiene

B. PARA EL MERCURIO

La densidad del mercurio a 4ºC es igual a 13600 kg/m3, la altura producida por la presión atmosférica, se tiene

2.5.8 DISPOSITIVO PARA MEDIR PRESIÓN

Existen un sin número de dispositivos para medir la presión de un punto en el líquido, y sea esta positiva o negativa, o mayor o menor que la presión atmosférica, veamos algunos de estos más utilizados llamado Manómetro.

A. MANOMETRO SIMPLE O PIEZOMETRO

Sirve para medir presiones pequeñas mayores que la presión atmosférica, o sea una presión manométrica positiva.

Aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática

Para obtener una presión manométrica

Fig. - Piezómetro

B. MANOMÉTRO EN FORMA DE U

Sirve para medir presiones positivas mucho mayores que la presión atmosférica, también presiones negativas o de succión (vacío) o sea presiones menores que la presión atmosférica.

Para presiones negativas o presiones menores que la presión atmosférica

La presión atmosférica actúa en la superficie del líquido en el punto D, o sea

Aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática en la parte izquierda del manómetro en forma de U

Los puntos C y D por estar a la misma elevación forman un plano isobárico o sea las presiones en ese plano son iguales

La presión en el punto B

Determinando la presión manométrica en el punto B (Patm=0)

Para presiones mucho mayores que la presión atmosférica

Bajo esta condiciones de medir la presión mucho mayor que la presión atmosférica no se puede utilizar un piezómetro, ya que su objetivo de este es medir presiones pero pequeña que la presión atmosférica; si se utilitaria, el líquido al ascender para equilibrase con la presión atmosférica, este se desborda no logrando temer mediciones. Por lo tanto se debe de utilizar un manómetro en forma de U con varios líquidos, con la conveniencia poder medir la altura de equilibrio.

Para el caso de medir presiones negativa se utilizara dos líquidos inmiscibles (que no se pueden mezclar) donde ρ2 > ρ1.

La presión atmosférica actúa en la superficie del líquido en el punto C, o sea PC = Patm.

Aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática en la parte derecha del manómetro en forma de U

Los puntos A y E por estar a la misma elevación forman un plano isobárico o sea las presiones en ese plano son iguales (PA = PE)

C. MANOMÉTRO DIFERENCIAL

Sirve para medir diferencia de presiones entre dos puntos. En el manómetro se utilizara tres fluidos inmiscibles, donde ρ3> ρ2 > ρ1.

Aplicando la ecuación fundamental de la hidrostática en la parte derecha del manómetro en forma de U

Los puntos C y D forman un plano isobárico o sea las presiones en ese plano son iguales.

La diferencia de presión entre los puntos A y B

La dificultad de aplicar esta forma de cálculo consiste que para un plano isobárico se tendrá que resolver dos ecuaciones simultánea; si el manómetro diferencial tuviese n planos isobárico se tendría resolver 2n ecuaciones para resolver el problema, a saber. Por lo tanto, existe una regla para resolver esta dificulta, por ejemplo:

Si el análisis de transmisión de presión se hace de izquierda a derecha, podemos dictar una regla, que las presiones que se dirijan hacia abajo buscando un plano isobárico, tendrán un signo negativo en la transmisión de presión y las presiones que se dirijan hacia arriba buscando el plano isobárico, tendrán un signo positivo en la transmisión de presión.

De esta forma se logra plantear una sola ecuación de transmisión de presión, aunque el manómetro tenga un sin número de palmos isobárico.

Presiones atmosféricas de acuerdo con la altura sobre el nivel del mar.

Altura sobre el Nivel del mar [m]

Altura en m Hg a 0ºC

Altura en mca a 40ºC

0 760 10.3

100 751 10.2

200 742 10.1

300 733 9.9

400 724 9.8

500 716 9.7

600 707 9.6

800 690 9.4

1000 674 9.2

1500 635 8.6

2000 598 8.1

1 ATM = 10 mca (4o C) que es la atmosférica métrica ó técnica = 1 Kg-f/cm2.

2.6 PRINCIPIO DE PASCAL

Se enuncia así: “En cualquier punto en el interior de un líquido en reposo la presión es la misma en todas las direcciones.

La ecuación (2.14) es la expresión analítica del Principio de Pascal. El Principio de Pascal indica la propiedad de los líquidos de transmitir los esfuerzos sobre la distancia.

Un ejemplo del principio de Pascal es un esquema de una prensa hidráulica que al mismo tiempo puede servir de esquema de un gato hidráulico.

2.7 DIAGRAMAS DE LA PRESIÓN

De las fórmulas (2.15) y (2.17) se desprende que la presión varía en función de la profundidad en correspondencia lineal en proporción directa y los diagramas de la presión es en forma de trapecio (presiones absoluta) o en triángulo rectángulo (presiones manométricas). Cuando el líquido produce un esfuerzo sobre las superficies curvilíneas, entonces el diagrama de la presión es curvilíneo.

En la Fig. 2.10 se muestran los ejemplos de construcción de los diagramas de la presión sobre unas paredes planas.

Fig. 2.10.- Construcción de los diagramas de presión sobre paredes planas.

2.8 FUERZA DE PRESION DEL LÍQUIDO SOBRE UNA PARED PLANA.

Para hallar la fuerza total de presión del líquido sobre una pared plana, a un ángulo en relación a la horizontal (Fig. 2.11), debemos aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática.

Fig. 2.11.- determinación de la fuerza de presión del líquido sobre una pared plana

Para calcular la fuerza sumaria de presión P dirijamos el eje Ox por la línea de intersección del plano de la pared con la superficie libre del líquido, y el eje Oy perpendicularmente a esta línea en el plano de la pared.

Expresemos primeramente la fuerza elemental de presión dF aplicada a la superficie infinitesimal dA

Dónde: P0 - es la presión sobre la superficie libre; h - es la profundidad a que se halla la superficie dA.

Para determinar la fuerza total F efectuaremos la integración de toda la superficie A

∫ ∫ ∫ ∫

La presión Po esta aplicada en la superficie libre del líquido y no depende del área de la compuerta y la profundidad h que indica donde esta aplicada el elemento diferencial de fuerza en la superficie elemental de área y se puede expresar como . El área total de la compuerta es ∫ .

Donde, y es la coordenada del centro de la superficie dA.

Por la mecánica Teórica sabemos que la última integral es el momento estático de la superficie A respecto al eje 0x y es igual al producto de esta superficie por la coordenada de su centro de gravedad (punto c.g.), o sea ∫ .

- es la profundidad a que se halla el centro de gravedad de la superficie A

Si P0 = presión atmosférica y la presión se mide con respecto a la escala de la presión atmosférica, entonces la fuerza hidrostática es producida por el peso de la columna del líquido sería

es decir la fuerza total de presión del líquido sobre una pared plana es igual al producto de la superficie de la pared por el valor de la presión hidrostática en el centro de gravedad de esta superficie.

2.8.1 PUNTO DE APLICACIÓN DE LA FUERZA DE PRESIÓN.

Hallemos ahora la posición del centro de presión, es decir, la coordenada del punto de intersección de la fuerza de presión del líquido sobre la pared con el plano de la pared.

Para hallar el punto de aplicación de la fuerza de presión excesiva del líquido ( presión manométrica ), apliquemos la ecuación de la mecánica Teórica (teorema de Varignon), que consiste en que, el momento de la fuerza resultante de presión respecto al eje 0x es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes, o sea:

Donde y c.p es la coordenada del punto de aplicación de la fuerza P (Fig. 2.11). Resolviendo tenemos:

∫ ∫ ∫ ∫

∫ - es el momento de inercia IOX de la superficie A respecto al eje 0x

Del Teorema de Steiner, (teorema de los ejes paralelos)

Io - es el momento de inercia de la superficie A respecto al eje central, paralelo 0x). Tenemos definitivamente

De este modo, el punto de aplicación de la fuerza P está debajo del centro de gravedad de la

superficie de la pared y la distancia entre ellos es igual Ay

En el caso particular, cuando la pared es rectangular y uno de sus lados coincide con la superficie libre del líquido, la posición del centro de presión se halla muy fácilmente.

Fig. 2.12- Diagrama de presión sobre una pared plana rectangular

El centro de presión se encuentra a 1/3 de la altura B del triángulo, (a partir del fondo). Cuando una pared plana es vertical con la altura h y la anchura B, tenemos:

En la Figura 2.13 se muestra la distribución de la presión hidrostática del agua sobre orificio rectangular A B A' B' en la pared inclinada. El Diagrama de presión sobre el área es el trapecio con las

bases gh1 y gh2 y la altura a.

El área del trapecio por su magnitud es igual a la fuerza de presión de la unidad de anchura del orificio. De tal modo la fuerza total igual a:

O bien:

Fig. 2.13 – Diagrama de la presión hidrostática sobre el orificio AB A!B! en la pared inclinada

En la figura 2.13 se muestra el método gráfico para determinar la posición del centro de presión cuando el diagrama de la presión hidrostática es el trapecio.

Fig. Prisma de presión

2.8.2 MOMENTO DE INERCIA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS GEOMÉTRICAS.

En la tabla siguiente (2.1) se indicada expresiones correspondientes a los momentos de inercia de las principales figuras.

TABLA 2.1- Momento de inercia de las principales figura Geométricas.

2.9 FUERZA DE PRESIÓN DEL LÍQUIDO SOBRE SUPERFICIE CILÍNDRICA Y ESFÉRICAS.

Tomemos una superficie cilíndrica AB con la generatriz perpendicular al plano del diseño (Fig. 2.14) y determinaremos la fuerza de presión del líquido sobre esta superficie cuando se encuentra arriba.

Fig. 2.14- Presión del líquido sobre una superficie curva.

Separemos el volumen del líquido limitado por la superficie AB trazada por límites de este sector y la superficie libre del líquido, es decir, el volumen ABCD y analicemos las condiciones de su equilibrio en las direcciones verticales y horizontales.

Si el líquido actúa sobre la superficie AB con la fuerza F, la superficie AB ejerce sobre el líquido la misma fuerza de presión F, pero en sentido contrario. En la fig. 2.14 se muestra esta fuerza de reacción descompuesta en dos componentes: Horizontal y Vertical.

La condición de equilibrio del volumen ABCD en el sentido vertical es:

Dónde: Po - es la presión sobre la superficie libre del líquido; Ah - es la superficie de la proyección horizontal de la superficie AB; G - es el peso del volumen separado del líquido.

De tal manera, la componente vertical de la fuerza debido a las presiones sobre una superficie curva es igual al peso (G) de líquido situado verticalmente por encima de la superficie curva y extendida hasta la superficie libre o su continuación el cual se denomina "cuerpo de presión", o sea:

Dónde: Vcp - es el volumen entre la superficie curva y la superficie libre del líquido.

La condición de equilibrio del volumen ABCD en el sentido horizontal es:

Dónde: Ax - es la proyección perpendicular de la superficie AB con respecto al eje Ox, en otras palabras, es la fuerza de presión sobre la superficie BE (Fig. 2.14), hc.g. - es la profundidad a que se halla el centro de gravedad de la superficie BE.

De esta manera, la componente horizontal de la fuerza debido a las presiones sobre una superficie curva es igual a la fuerza debida a las presiones, que se ejercería sobre la proyección de la superficie curva.

El plano vertical de proyección es normal a la dirección de la componente. Se podría determinar estas fuerzas de forma analítica, como

De las proyecciones, obtenemos:

La Componente Vertical

∫ ∫ ∫

Como la profundidad h, no depende de la localización del diferencial de área proyecta en el eje z (eje vertical) y el líquido es homogéneo

Dónde: hAz - es el volumen entre la curva de la superficie y la superficie libre del líquido, por lo tanto o sea que la fuerza de presión hidrostática vertical es el peso de la columna del líquido sobre la compuerta.

La componente horizontal

∫ ∫ ∫

Determinando por las fórmulas (2.25) y (2.26) las componentes vertical y horizontal de la fuerza total de presión P, hallaremos esta última.

La dirección de la fuerza resultante de presión se caracteriza por el ángulo de inclinación con el horizonte, o bien (Véase en la Fig. 2.14)

En la figura 2.15 se muestra los cuerpos de presión.

Fig. 2.15- Cuerpo de presión real (a), cuerpos de presión ficticios o imaginarios (b, c).

En la figura 2.15 (a) el cuerpo de presión llena el líquido y por esta causa se denomina el cuerpo de presión real. En la misma Fig. (b) y (c) son los cuerpos de presión ficticios o imaginarios, porque estos volúmenes no están llenos de líquidos.

Se puede hallar fácilmente la posición del centro de presión en la pared cilíndrica se conocemos la magnitud y el sentido de las fuerzas Pv y Px, y si están determinados el centro de presión en la proyección vertical de la pared o el de gravedad del volumen escogido (cuerpo de presión).

2.10 PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES

El principio de Arquímedes dice: "todo cuerpo sumergido en un líquido, recibe un empuje hacia arriba con una fuerza igual al peso del volumen de líquido desalojado”

Supongamos que en un líquido está sumergido un cuerpo de forma arbitraria y volumen (fig. 2.16).

Fig. 2.46- Demostración del principio de Arquímedes.

La componente vertical de la fuerza de presión excesiva del líquido sobre la parte superior de la superficie del cuerpo P1 está orientada hacia abajo y es igual al peso del líquido en el volumen A A' B B' C A. La componente vertical de la fuerza de presión del líquido sobre la parte inferior de la superficie del cuerpo P2 está dirigido hacia arriba y es igual al peso del líquido en el volumen A A' B B' D A.

De esto se deduce que la resultante vertical de la fuerza de presión del líquido sobre el cuerpo estará orientada hacia arriba y es igual al peso del líquido en el volumen resultante (cuerpo de presión):

la fuerza PA se denomina fuerza de Arquímedes y el punto de su aplicación, es decir, el centro de gravedad del volumen Vcarena, o centro de flotación (volumen de carena). En dependencia de la correlación entre la fuerza del peso G del cuerpo y de la fuerza de Arquímedes PA son posibles, a saber, tres casos:

1. G > PA el cuerpo se hunde 2. G < PA el cuerpo emerge 3. G = PA el cuerpo flota.

2.10.1 EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS FLOTANTES

Sea un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas y en equilibrio. Se dice que este equilibrio es estable si cualquier variación de posición (lineal o angular) introduce fuerza o momentos que tienden a hacer regresar el cuerpo a su posición original.

Se estudiara el caso particular del equilibrio de un buque sometido a un desplazamiento angular pequeño.

Sea Cg su centro de gravedad y Cf su centro de flotación [el centro de gravedad de la carena, punto de aplicación de la fuerza de Arquímedes (flotación)].

Figura 2.17 - Estabilidad de un buque

1. Si CF está colocado encima de Cg (Fig. 2.17 a, b). C'F es la posición del centro de flotación

después del desplazamiento angular pequeño. Las fuerzas G y PA ejercen un par que tiene a enderezar el buque, pues " el equilibrio es estable"

2. Si CF está colocado debajo de Cg (Fig. 2.17 c, d, e,). Sean dos buques diferentes sometidos

a un desplazamiento angular pequeño. Después del desplazamiento, los centros de flotación ocupan las posiciones CF y C'F. Se ve que la estabilidad del equilibrio depende de la posición del centro de flotación con respecto a Cg.

Se admitirá que para cualquier desplazamiento angular pequeño, las fuerzas de Arquímedes finales PA1 y PA2 cruzan el eje inicial de simetría e-e del buque en un solo punto para cada buque (M1 ó M2). Este punto es el METACENTRO DEL BUQUE.

De la figura 2.17, se ve que la estabilidad del equilibrio depende de la posición del metacentro con respecto al centro de gravedad.

Figura 2.17 (a) - Caso especial de la fuerza de empuje

Inicialmente, cuando el sistema de fuerza esta en equilibrio (fig. a)), el momento producido por la fuerza de Arquímedes es igual a los momentos parciales producidos por las fuerzas de Arquímedes elementales:

Cuando se le aplica la fuerza F (fig. b)) provocando una rotación, el cual produce un desplazamiento del centro de flotación CF hacia C'F debido a las fuerzas de empuje de las cuñas que se emerge en la parte derecha. Después del desplazamiento:

∫ ∫ ∫

Donde la primera integral corresponde al momento de Inercia con respecto al eje de rotación de la superficie de flotación.

Por lo tanto obtenemos:

De la figura 2.17 (a) podemos observar que (CF' - CF)= r del punto de vista geométrico y el valor

⁄ F y obtenemos la

fórmula de Duhamel:

Dónde: M – punto metacéntrico, CF - centro de flotación, Vcarena - es el volumen de la carena, I0 - es el momento de inercia de la superficie de flotación (área que la superficie libre del líquido intercepta en el cuerpo flotante) con respecto al eje de inclinación y MCF - Radio Metacéntrico.

La siguiente expresión se denomina ALTURA METACENTRICA

El signo menos indica que el Cg está por encima de Cf, de lo contrario está por debajo. Podemos concluir que:

1. Si el metacentro esta debajo del centro de gravedad (fig.2.17, d) crean un par de momento que producen un vuelco: equilibrio inestable.

2. si el metacentro esta encima del centro de gravedad (fig. 2. 17,e) crean un par de momento que producen un enderezamiento: equilibrio estable.

La distancia MCf, denominada como altura metacéntrica mide la estabilidad del equilibrio y constituye un importante factor de construcción de los barcos.

2.11 EQUILIBRIO RELATIVO DEL LÍQUIDO

En el caso cuando el recipiente con líquido se encuentra en movimiento variado o curvilíneo, sobre todas las partículas del líquido actúan, además del propio peso, las fuerzas de inercia del movimiento de traslación. Debido a la acción de dicha fuerzas, si estas fuerzas son constantes en el tiempo, el líquido toma una nueva posición de equilibrio, es decir, se halla inmóvil respecto a las paredes del recipiente. Este caso de equilibrio del líquido se denomina equilibrio relativo.

Fig. 2.18 Equilibrio relativo del líquido durante el movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado del recipiente.

Examinemos los casos típicos del equilibrio relativo del líquido:

1. El líquido está en un recipiente que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración J (Fig. 2.18). Vamos a coincidir el eje X con dirección del movimiento del recipiente. El origen de las coordenadas lo colocamos en el punto O ó sea en el centro del fondo del recipiente. Sobre el líquido van a actuar la fuerza de gravedad con aceleración Z = -g y fuerza de inercia con aceleración X = -j dirigida en sentido contrario a la aceleración j.

De tal manera la ecuación diferencial de la superficie de nivel de la ecuación (2.9) puede ser escrita de tal modo:

∫ ∫

Cuando x=0 y z=H, entonces la constante tiene un valor de C=-gH , resultando la ecuación

Desde la última ecuación se desprende, que la superficie libre representa un plano con la pendiente

de la superficie libre a un ángulo (

La ecuación fundamental de la hidrostática (2.8) en este caso puede escribirse

Después de integrar recibiremos la siguiente ecuación de distribución de la presión en cualquier punto del recipiente:

Cuando x = 0 y z = 0 y C = P0, (en otras palabras, es igual a presión manométrica en el origen de las coordenadas) y X=0 , Z=0 y Po=ρgH

El análisis de la última fórmula nos da, que la presión máxima en el recipiente será en el punto que está en el nivel del fondo en la parte extrema izquierda, donde X tiene el máximo valor negativo y Z = 0.

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